SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
5. feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer
α
y c1
R
A
α
k1
ϕ
R R
mrúd
c2
cred
R
mred
x
kred
q = q (t )
k2
Adott: Az ábrán látható A pontban csapágyazott csillapított, szabad rezgőrendszer redukált rezgőrendszere. Az általános koordináta legyen a rúd szögelfordulása: q ( t ) = ϕ ( t ) . A helyettesítő rezgőrendszer jellemzői: 1 / cred = 11875 Nm rad , k red = 1075 Nms/rad , mred = 64 kgm 2 /rad .
Kezdeti feltételek: t0 = 0 : y0 = ϕ0 = 8 ⋅10 −3 rad , y 0 = v0 = ϕ0 = 40 ⋅10 −3 rad/s. Feladat: a) Meghatározni a csillapított rendszer ν körfrekvenciáját! b) Eldönteni, hogy kialakul-e rezgés! c) Meghatározni a csillapított rezgőrendszer Tν rezgésidejét és a rezgés fν frekvenciáját. d) Felírni a rezgőrendszer mozgásegyenletének megoldását! e) A Λ logaritmikus dekrementum kiszámítása. f) Komplex kitérés(elmozdulás) vektor és a komplex sebességvektorok közötti Φ fázisszög meghatározása. Kidolgozás: a) A csillapított rezgőrendszer ν körfrekvenciájának meghatározása: rad 1 1 100000 rad 2 , α = 185,548 =13, 62 α2 = = = = 185,548 , −5 2 s 64 ⋅ 8, 421 s mred cred 64 ⋅ 8, 421 ⋅10
β=
kred 1075 rad = = 8, 398 , 2 mred 2 ⋅ 64 s
ν = α 2 − β 2 = 185,548 − 70,533 = 10, 724
b) α = 13, 6 rad/s > ν = 10, 724 rad/s . Ezért kialakul a rezgés! 2π Tν
2π
6, 28 = 0, 585 s . 10, 724 ν 1 1 1 A csillapított rezgés fν frekvenciája: fν = = = 1, 7 =Hz . Tν 0, 585 s d) A rezgőrendszer mozgásegyenletének megoldása (komplex alakban):
c) A Tν rezgésidő kiszámítása: ν =
⇒
Tν =
=
rad . s
z = z (t ) = A e (
− β + iν ) t
= ( a + i b ) e(
− β + iν ) t
= a e(
− β + iν ) t
+ i b e(
− β + iν ) t
- a komplex elmozdulás.
Ebből a megoldás képzetes része: Im ⎡⎣ z ( t ) ⎤⎦ = b e( − β + iν ) t = y ( t ) . − β + iν ) t0 ( − β + iν ) 0 −3 A kezdeti feltételből: y ( t0 = 0 ) = b e( = b e
= y0 = b = 8 ⋅10 rad. =1 A komplex sebességvektor: z (t ) = A ( − β + iν ) e( − β + iν ) t = ( a + i b )( − β + iν ) e( − β + iν ) t . Elvégezve a kijelölt műveleteket: z (t ) = ( − a β − bν ) e( − β + iν ) t + i ⎡( aν − b β ) e( − β + iν ) t ⎤ . ⎣ ⎦ ( − β + iν ) t Ebből a megoldás képzetes része: Im ⎡⎣ z ( t ) ⎤⎦ = ( aν − b β ) e = y ( t ) . − β + iν ) t0 ( − β + iν ) 0 A kezdeti feltételből: y ( t0 = 0 ) = y 0 = ( aν − bβ ) e( = ( aν − bβ ) e
= v0 . =1
v0 + b β
40 ⋅10−3 + 8 ⋅10−3 ⋅ 8,398 = ≅ 0, 01 rad. ( aν − bβ ) = v0 ⇒ a = ν 10, 724 Az a és b paraméterek meghatározása után a komplex megoldásfüggvény: z = z (t ) = A e(
− β + iν ) t
= ( a + i b ) e(
− β + iν ) t
= e − β t ⎣⎡( a + i b ) eiν t ⎦⎤ = e − β t ⎡⎣( a + i b ) (cosν t + i sinν t ) ⎤⎦ ,
z (t ) = ( a cosν t − b sinν t )e − β t + i ⎡⎣ ( a sinν t + b cosν t ) e − β t ⎤⎦ , Ebből a megoldás képzetes része: Im ⎡⎣ z ( t ) ⎤⎦ = ( a sinν t + b cosν t ) e − β t = y ( t ) .
y (t ) = (a sinν t + b cosν t ) e− β t = (0, 01sin10, 724 t + 0, 008cos10, 724 t ) e−8,39 t A fenti összefüggés a rúd A pont körüli , radiánban értelmezett ϕ (t ) ≡ y (t ) szögelfordulását adja meg az idő függvényében. ⎛y ⎞ β 8, 398 e) Logaritmikus dekrementum: Λ = ln ⎜ 1 ⎟ = 2π = 6, 28 = 4,92 . ν 10, 724 ⎝ y2 ⎠ e) A komplex kitérés és a komplex sebességvektor közötti fázisszög meghatározása és szemléltetése:
y
b
z ( t0 )
ϑ
a = 0,01 rad, b = 0,008 rad.
z ( t0 )
Φ a
Φ=
x
π 2
+ ϑ , ahol tgϑ =
β 8, 398 = = 0, 783 ν 10, 724
ϑ = arctg 0, 783 ≅ 38D π Φ = + ϑ = 90D + 38D = 128D . 2
6. feladat: Csillapítatlan gerjesztett rezgőrendszer y
c1
β Qg ( t )
c2
c1
A
R
α
R
α
R c3
c4
ϕ R
Fg ( t )
mrúdB
cred
x
mred
q = q (t )
Adott: Az ábrán látható az A pontban csapágyazott rezgőrendszer redukált rezgőrendszere (3. feladat). Az általános koordináta legyen a rúd szögelfordulása: q ( t ) = ϕ ( t ) . 1/ cred = 38750 Nm rad , mred = 64 kgm 2 /rad , Fg (t ) = Fg 0 sin(ω g t ) , Fg 0 = 100 N ,
ω g = 40 rad/s , R = 1m , ε = 0. Feladat: a) A redukált rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása. b) A redukált rendszer mozgásegyenletének általános megoldása. c) A Z komplex ellenállás meghatározása. d) A rezgés vektorábrájának megrajzolása.
Kidolgozás: a) A rezgőrendszer mozgásegyenlete: Általános koordináta: q = ϕ . A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet:
d ⎛ dE ⎞ dE = Qc + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ dq ⎠ dq
Az általános gerjesztő erő: Q g ( t ) G G G G Qg ( t ) = Fg ⋅ β B = Fg 0 sin(ω g t ) j ⋅ (4 Rj ) = 4 R Fg 0 sin(ω g t ) , ahol G G G G G G G ∂vB ∂vB ∂ (4 Rϕ j ) Fg = Fg 0 sin(ω g t ) j , β B = = = = 4 Rj . ∂q ∂ϕ ∂ϕ A rezgőrendszer mozgásegyenlete: ⎛ R 2 cos 2 α 4 R 2 4 R 2 9 R 2 cos 2 α 64 mrúd R 2ϕ + ⎜ + + + 12 c1 c2 c3 c4 ⎝
⎞ ⎟ ϕ = 4 RFg 0 sin(ω g t ). ⎠
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: 1 mred q + q = Qg (t ) = Qg 0 sin(ω g t ). cred 64q + 38750q = 400sin(40 t ) . b) A mozgásegyenlet általános megoldása: iω t P0 e g iα t . z (t ) = z h (t ) + z p (t ) = A e + i ωg Z Állandósult rezgések esetén bennünket a megoldás partikuláris része érdekel: iω t P0 e g iε iε 0 z (t ) ≈ z p (t ) = ahol P0 = Qg 0 e = 4 R Fg 0 e = 4 R Fg 0 eN = 4 RFg 0 ( Nm ) . i ωg Z , =1
c) A rezgőrendszer komplex ellenállása: ⎛ 1 ⎞ ⎛ 38750 ⎞ Z = i ⎜ ω g mred − ⎟⎟ = i ⎜ 40 ⋅ 64 − ⎟ = i ( 2560 − 968, 75 ) = i (1591, 25 ) Nms. ⎜ 40 ⎠ cred ω g ⎠ ⎝ ⎝ d) A gerjesztett rezgés vektorábrája: z p (t0 = 0) =
4 RFg 0 P 4 ⋅1 ⋅100 10 i ω g t0 eN = 0 = = = = − 6, 284 ⋅10 −3 rad , i ωg Z i ω g Z i ω g Z i 40 ⋅ (i 1591, 25) −1591, 25 =1 P0
z p (t0 = 0) = i ω g
iω t
P0 e g 0 = i ω g z p ( t0 ) = i 40 ⋅ ( −6, 284 ⋅ 10 −3 ) = − i 0, 251 rad/s , i ωg Z
z p (t0 = 0) = −ω g2 z p ( t0 ) = − 40 2 ⋅ ( −6, 284 ⋅ 10 −3 ) = 10, 05 rad/s 2 .
y
z p (t ) = ωg
Z
x
P0
z p (t0 )
i ωg Z
e
iωg t
=
P0
i ωg Z
( cos ω
g
t + i sin ω g t ) ,
z p (t ) = ( −6, 284 ⋅10 −3 cos 40 t ) + i ( − 6, 284 ⋅10 −3 sin 40 t ) ,
z p (t 0 )
z p (t 0 )
P0
z p (t ) = ( 0, 251sin 40 t ) + i ( − 0, 251cos 40 t ) , z p (t ) = (10, 05 cos 40 t ) + i (10, 05 sin 40 t ) .
A tényleges megoldást az ω g körfrekvenciával forgó komplex vektoroknak a függőleges, y képzetes tengelyre eső merőleges vetülete szolgáltatja: y(t ) = Im ⎡⎣ z p (t )⎤⎦ = −6, 284 ⋅10−3 sin 40 t rad, y (t ) = Im ⎡⎣ z p (t ) ⎤⎦ = − 0, 251cos 40 t rad/s, y (t ) = Im ⎡⎣ z p (t ) ⎤⎦ = 10, 05sin 40 t rad/s 2 .
7. feladat: Csillapítatlan gerjesztett rezgőrendszer y
c1
Qg ( t )
c2
c1
A
β
R
α
R
α
R c3
c4
ϕ R mrúdB
Fg ( t ) x
cred
mred
q = q (t )
Adott: Az ábrán látható az A pontban csapágyazott rezgőrendszer redukált rezgőrendszere (3.feladat). Az általános koordináta legyen a rúd szögelfordulása: q ( t ) = ϕ ( t ) . 1/ cred = 38750 Nm rad , mred = 64 kgm 2 /rad , Fg (t ) = Fg 0 sin(ω g t ) , Fg 0 = 100 N ,
ω g = 40 rad/s , R = 1m , ε = 0. Feladat: a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének meghatározása. b) A redukált rezgőrendszer α saját körfrekvenciájának meghatározása. c) A gerjesztett rezgés maximális kitérésének meghatározása.
d) A rúd maximális szögelfordulásának ábrázolása a gerjesztési körfrekvencia függvényében (a rezonanciagörbe megrajzolása). e) A c4 rugóállandójú rugóban ébredő maximális Q4 rugóerőt meghatározása. Kidolgozás: a) A rendszer mozgásegyenlete: d ⎛ dE ⎞ dE A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: = Qc + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ dq ⎠ dq A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: 1 mred q + q = Qg (t ) = Qg 0 sin(ω g t ) , cred 64q + 38750q = 400sin(40 t ) . b) A rendszer saját körfrekvenciája: 1 38750 rad 2 α2 = = = 605, 4 2 40 s mred cred
α = 605, 4 = 24, 606
→
rad . s
c) A maximális kitérés meghatározása: 400 ϕ stat = cred Qg 0 = cred 4 R Fg 0 = = 0, 01032 ( rad ) → ϕ stat = 0, 591D. 38750 2 α 24, 606 2 ϕ max = ϕ stat = 0, 01032 = 6, 284 ⋅10 −3 ( rad ) → ϕ max = 0, 36D. 2 2 (α 2 − ω g2 ) ( 24, 6062 − 402 )
c) A ϕ max = ϕ max (ω g ) rezonenciafüggvény meghatározása: A függvény jellegzetes pontjai: - statikus állapot esetén (ω g = 0 ) :
ϕ max = ϕ stat
α2
(α
2
−ω
)
2 2 g
=
0, 01032 ⋅ 24, 606 2
( 24, 606
2
−0
)
2 2
= 0, 01032 rad → ϕ max = ϕ stat = 0, 591D.
- rezonancia állapot esetén (ω g = α = 24, 606 rad/s ) :
ϕ max = ϕ stat
α2
(α
2
−ω
)
2 2 g
=
- ϕ max (ω g ) = ϕ stat esetén:
ϕ max = ϕ stat =
α2
(α
2
− ω g2 )
2
0, 01032 ⋅ 24, 606 2
( 24, 606
ϕ stat → 1 =
ω g = 2 α = 2 ⋅ 24, 606 = 34, 79 A rezonancia görbe:
2
− 24, 606
)
2 2
1
(1 − ξ )
2 2
= → ∞ (rad).
→ ξ=
ωg = 2 → ωg = 2 α , α
rad esetén ϕ max = ϕ stat = 0, 591D s
()
ϕ max
D
1,0
ϕ max = ϕ max (ω g )
0,8 0,6 0,4 0,2
0 0
10
20
↑
30
40
50
⎛ rad ⎞ ⎟ ⎝ s ⎠
ωg ⎜
rezonancia
d) A c4 rugóállandójú rugóban ébredő maximális Q4 rugóerőt meghatározása. Q4 (t ) =
9 R 2 cos 2 α 9 ⋅12 ⋅ cos 2 30D −6, 284 ⋅10 −3 sin 40 t ) = − 106 sin ( 40 t ) , ϕ (t ) = ( −4 c4 4 ⋅10
Q4max = − 106 sin ( 40 t ) = 106 N.
=1
8. feladat: Útgerjesztés - gerjesztés rugón keresztül y
yg ( t )
B
c1
c2
A
ϕ
l
B
m1
k1
x
Adott: Az ábrán látható, az A pontban csapágyazott rezgőrendszer. A rendszert a c2 rugó B pontjában az yg (t ) = yg 0 sin(ω g t + ε ) függvény szerint (útgerjesztés) gerjesztjük. l = 2 m, c1 = 2 ⋅10 −4 m N , c2 = 4 ⋅10 −4 m N , m1 = 12 kg , k1 = 200 Ns/m , y g 0 = 10 mm ,
ω g = 20 rad/s.
Feladat: a) Az ábrán látható rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása kis szögelfordulások esetén. b) A redukált rendszer jellemző paramétereinek meghatározása. Kidolgozás: Az általános koordináta legyen a rúd szögelfordulása q = ϕ . a) A mozgásegyenlet felírása: d ⎛ dE ⎞ dE A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: ⎜ = Q. ⎟− dt ⎝ dq ⎠ dq
A rendszer kinetikai energiája: 1 1 1 1⎛ 1 ⎞ E = J a ω 2 = J a q 2 = J a ϕ 2 = ⎜ m1 l 2 ⎟ ϕ 2 . 2 2 2 2 ⎝ 12 ⎠ dE dE 1 = = m1l 2ϕ dq d ϕ 12
⇒
d ⎛ dE ⎞ 1 m1l 2ϕ , ⎜ ⎟= dt ⎝ d ϕ ⎠ 12
dE dE = = 0. dq d ϕ
A rugókban felhalmozódott alakváltozási energia: 2 1 (l / 2 ϕ ) 1 ( yg − l / 2 ϕ ) + . U = U1 + U 2 = 2 2 c1 c2 2
Az általános visszatérítő erő és gerjesztő erő: Q=−
⎛ l2 ⎞ dU dU l2 l yg ⎟ , ϕ+ ϕ− =− =−⎜ dq dϕ 4c1 4 c2 2c2 ⎠ ⎝
Qc Qg
⎛ l2 l2 ⎞ Qc = − ⎜ ϕ+ ϕ⎟ , 4 c2 ⎠ ⎝ 4c1
⎛ l ⎞ Qg = ⎜ yg ⎟ . ⎝ 2c2 ⎠ G G Az általános csillapító erő: Qk = Fk ⋅ β B , 1
⎛l ∂ ⎜ ϕ G G G G ∂v G 2 ⎛l ⎞ Fk1 = − k1 vd1 = − k1 ⎜ ϕ j ⎟ , β B = B = ⎝ ∂ϕ ∂ϕ ⎝2 ⎠ 1 ⎛ l G ⎞⎛ l G ⎞ Qk = − k1 ⎜ ϕ j ⎟ ⎜ j ⎟ = − k1 l 2 .ϕ . 4 ⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet:
G⎞ j⎟ ⎠ =⎛ l ⎜ ⎝2
G⎞ j ⎟, ⎠
d ⎛ dE ⎞ dE = Qk + Qc + Qg . ⎜ ⎟− dt ⎝ dq ⎠ dq
2 l2 ⎞ l ⎛ 1 ⎛1 2⎞ ⎛ l 2⎞ m l k l y g 0 sin(ω g t ). ϕ ϕ + + + ⎜ ⎟ϕ = 1 ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ 2c2 ⎝ 12 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 4c1 4c2 ⎠
b) Redukált rezgőrendszer jellemzői: 1 1 mred = m1l 2 = ⋅12 ⋅ 22 = 4 kgm 2 , 12 12 k red =
1 2 1 k1l = 200 ⋅ 2 2 = 200 Nsm , 4 4
1 l2 l2 22 22 = + = + = 7500 Nm , cred 4c1 4c2 4 ⋅ 2 ⋅10 −4 4 ⋅ 2 ⋅10 −4 ⎛ l ⎞ 2 ⎛ ⎞ Qg = Qg 0 sin(ω g t ) = ⎜ y g 0 ⎟ sin(ω g t ) = ⎜ 0, 01 ⎟ sin(20 t ) = 25 sin(20 t ) Nm. −4 ⎝ 2 ⋅ 4 ⋅10 ⎠ ⎝ 2 c2 ⎠
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: 4 ϕ + 200 ϕ + 7500 ϕ = 25sin(20 t ).
Qg = Qg ( t ) cred
mred
kred
q = q (t )
