1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló 1.1. Mátrixalgebrai összefoglaló: a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza.  a11 a12 a13  Jelölése: A   a21 a22 a23   a31 a32 a33  Négyzetes mátrix: olyan mátrix, amelyben a sorok és oszlopok száma megegyezik.  a1  Oszlopmátrix: a   a 2  .  a 3  Sormátrix: a   a1 a 2 T

a3 

b) Műveletek mátrixokkal:  Mátrix transzponáltja: tükrözés a főátlóra. A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják. a  a21  T a a  A   11 12    A   11   a21 a22   a12 a22   22 



 22 

Mátrixok összeadása, kivonása: csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, ill. vonhatók ki egymásból. ABC

a A   11  a21

a12  b b  ; B   11 12   a22  b21 b22 

a A  B   11  a21

a12   b11 b12    a11  b11    a22  b21 b22   a21  b21 

 22 



 22 

 a12  b12    c11   a22  b22  c21

 22 

Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): A B  C ,

 a11 a12   b11 b12    a11b11  a12b21  a    21 a22  b21 b22   a21b11  a22b21   22 

 22 

 a11b12  a12b22    a21b12  a22b22 

 22 

-1-

c12  c22 

 22 

A b c,  a11 a  21

a12   b1    a11b1  a12b2    c1    a22  b2   a21b1  a22b2   c2   21

 22 

 21

 21

a B  d , T

T

b b  a2    11 12    a1b11  a2b21   a1b12  a2b22     d1 d 2  b21 b22  12  12  12

 a1



 22



c) Különleges mátrixok:

1 0  Egységmátrix: E    . Tulajdonsága: E  A  A  E  A . 0 1  Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. T  Szimmetrikus mátrix: A  A , azaz aij  a ji , ahol  i, j  1, 2,3,... . A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel.  1 3 2  Például: A   3 5 7   2 7 8  



Ferdeszimmetrikus mátrix: A   A, azaz aij  a ji , ahol i, j  1, 2,3,.... A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek.  0 5 2  Például: A   5 0 1  .  2 1 0  T

1.2. Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata: Vektor: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, ami jellemezhető iránnyal, nagysággal, mértékegységgel. a) Vektorok skaláris szorzata: Skaláris szorzás értelmezése: a  b  a b cos  , ahol  a vektorok által bezárt szög. A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: bx  a  b   ax a y az  by   axbx  a y by  az bz  bz  A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. b) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: a  b  c , vagy a  b  c









Kiszámítás kétféleképpen lehetséges: a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével, a kifejtési tétellel:

-2-

 a  b   c  b  a  c   a  b  c  , ill. a   b  c   b  a  c   c  a  b  . c) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az a, b és c tetszőleges vektor. Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: a diadikus szorzás és a skaláris szorzás asszociatív (csoportosítható, azaz a szorzások elvégzésének sorrendjét felcserélhetjük): a b c  a bc ,



-



 

a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról vagy balról szorzunk skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk).



 



c a b  a b c Ha a szorzás a fent leírt összefüggéseket kielégíti a szorzás diadikus. Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordináta rendszerben. a x b x a x b y a x b z  a x    a b   a y  b x b y b z   a y b x a y b y a y b z        a z bx a z b y a z bz   a z    1.3. Tenzorok előállítása: a) Tenzorok értelmezése és tulajdonságai: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés). w  f  v  T  v .

v

hozzárendelés

w

Ow

Ov A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá.

b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű descartesi koordináta-rendszerben: Tenzor megadása: a tenzor koordinátáival (mátrixával) és koordináta rendszerrel történik. Tenzor koordinátáinak jelölése mátrixba rendezve: Txx Txy Txz   T11 T12 T13    T   Tyx Tyy Tyz   T21 T22 T23  .   xyz  Tzx Tzy Tzz  T31 T32 T33   

-3-

Tenzor előállítása: Legyen ismert három értékpár:

 j  b  f  j, k  c  f k,

a  a x i  a y j  a z k,

i a f i ,

b  bx i  b y j  bz k, c  cx i  c y j  cz k.





A tenzor diadikus előállítása: T  a i  b j  c k .

a x A tenzor mátrixa: T   a y xyz  a z 1.3.1. Tenzor előállítása: Adott: rP  12i  4 j m.



bx by bz

cx  c y  . c z 



Feladat: a) Azon T tenzor mátrixának

y P

rP

előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordinátarendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő. b) Előállítani azt az rA vektort, amely az rP vektor origóra vett tükörképe.

x

O

rA A

a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: i  a   i, j  b   j.



A két értékpárból a tenzor: T  a i  b j



 1 0  A tenzor mátrixa: T   .  0 1 b) Az origóra tükrözött rA képvektor meghatározása:

 1 0  12  12 rA  T  rP       .  0 1  4   4  rA  12i  2 j m.





-4-

1.3.2. Tenzor előállítása: Adott: rP  8i  2 j m,   60 .





y

Feladat: a) Azon T tenzor mátrixának

A

előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül  szöggel elforgatott vektorait állítja elő. b) Előállítani azt az rA vektort, amelyet az rP vektor  szöggel történő elforgatásával kapunk.

rA



P

rP

x

a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

y

  j  b    sin  i  cos  j  .

i  a  cos  i  sin  j , j

b



rP



x

i

A diádok kiszámítása: a  a a i    x  1 0   x   ay   a y

0 cos  0  , 0  sin  0 

b  0 b x  0  sin   b j    x  0 1    .   by   0 b y  0 cos   A tenzor mátrixa: cos   sin   0,5 0,866 T    .  0,5   sin  cos   0,866 b) Az elforgatott rA vektor meghatározása:

cos   sin   x P   0,5 0,866 8   2, 268 rA  T  rP    .     0,5   2  7,928  sin  cos    yP  0,866







A két értékpárból a tenzor: T  a i  b j .

a



rA  2, 268i  7,928 j m.

-5-

1.4. Differenciálszámítás: Az f függvény deriváltján az

f  x  h  f  x h 0 h határértéket értjük (feltételezve, hogy létezik és véges). f   x  : lim

Az y  f  x  függvény deriváltjának jelölései: f , f   x  , y, y  x  , y,

dy stb. , ahol y az idő dx

szerinti első derivált. A derivált x0 helyen vett f   x0  helyettesítési értékét szokás a függvény x0 helyhez tartozó differenciálhányadosának is nevezni. A derivált előállítását deriválásnak vagy differenciálásnak nevezzük. A f   x0  differenciálhányados geometriai jelentése az y  f  x  görbe x0 helyhez tartozó érintőjének az iránytangense, azaz f   x0   tg (1. ábra). y

y  f  x érintő

 tg  f   x0 

f  x0 

 0

x0

x

1. ábra Amennyiben egy függvény valamely helyen vagy intervallumon deriválttal rendelkezik, akkor a függvény itt differenciálható. A differenciálhatóságból pedig a függvény folytonossága következik. 

Deriválási szabályok: Legyenek u, v, f , g differenciálható függvények. Ekkor: 1.

 Cu   Cu, C állandó;

2.

 u  v   u  v;

3.

 uv   uv  uv ;

 u  uv  uv 4.    , v  0; v2 v  5. f  g  x    f   g  x    gx láncszabály ; 6. Legyen y  f  x  és x  f 1  y  . Ekkor f   x   7. Ha x  x  t  , y  y  t  , akkor y 

-6-

y . x

1 f  y   1

;

 Alapfüggvények deriváltja:

 x   x

C  0, C állandó



 sin x   cos x  tg x  

1  1  tg 2 x; 2 cos x

 e   e x

1

 cos x    sin x  ctg x  

1   1  ctg 2 x  2 sin x

 a   a

x

x

x

 ln a

Értelmezzük a függvény második, harmadik stb. deriváltját. Jelölésük: f , f , A f függvény differenciálja: df  f   x  dx (2. ábra).

, f  , n

.

y  f  x

y

df

dx 0

x

x  dx

x

2. ábra 1.4.1. Példa:

f  x  h  f  x 1 formula alapján határozzuk meg az f  x   x 2 és a g  x   h 0 h x függvény deriváltját. A f   x  : lim

f  x

 x  h  lim h 0

2

h

 x2

 lim h 0

x 2  2 xh  h 2  x 2 2 xh  h 2  lim  lim  2 x  h   2 x; h 0 h 0 h h

x   x  h 1 1   x  h  x  lim h  lim 1   1 . g   x   lim x  h x  lim h 0 h 0 h 0 h  x  h  x h 0 x  x  h  h h x2

-7-

1.4.2. Példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltját: 1 1 1 1 1    1  x   x2   x 2   ; 1 2 2 2 x   2 x 1    43  4 13 4 3   3 3 x x   x x    x   x  x; 3     3

  



1.5. A határozatlan integrál: A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt F   x   f  x  . Egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük. Jelölése:

 f  x  dx  C , ahol C tetszőleges állandó (integrációs állandó). Például:  2 dx  2x  C . Alapintegrálok: n  x dx 

1. 2. 3.

x n 1  C, ahol C konstans , például: n 1

2  x dx 

x3 C; 3

1

 x dx  ln x  C ;  e dx  e  C ;

4. 5. 6.

x

x  a dx 

x

2x ax  C, például  2x dx  C; ln 2 ln a

 sin x dx   cos x  C;  cos xdx   sin x  C .

Integrálási szabályok: 1.  k  f  x  dx  k  f  x  dx  k  F  x   C , például:  2cos xdx  2sin x  C ; 2.

  f  g  h  dx  F  G  H  C , például: 

1  sin x   dx  e x  cos x  ln x  C ; x f n 1 ln x 1 ln 2 x  C , például:  dx   ln x dx  C; 3.  f   f n dx  n 1 x x fn 2

  e

x

f

-8-

4.

f

f

dx  ln f  C, például:

1 f  1 1 1 x  x  ln x dx   x ln x dx   ln x f dx  ln ln x  C , sin x f 

 tgx dx    cos x f  ctgx dx   5.

cos x f  sin x f

F  kx 

 f  kx  dx  e

2x 5

dx 

1

e

k

2x 5

2

dx  ln cos x  C ,

dx  ln sin x  C .

 C , például:  cos 3x dx 

sin 3x C, 3

C,

1

 2x dx  2 ln x  C F  ax  b 

n 1

6.

  ax  b  dx   n  1 a

7.

 f  e dx  e

9.

  6x  3 sin 3x  3x  dx   cos 3x  3x   C  f  cos  f dx  sin  f   C , például:   e  2x  cos  e  x  dx  sin  e  x   C

n

f

 C , például:

f

C

2e

2x 3

f

f 8.  f  sin  f dx   cos  f   C , például: 2

x

2

x

f Parciális integrálás:  uvdx  uv   uv dx

dx  e2x 3  C ;

2

x

2

f

1.6. A határozott integrál: Az f függvény  a, b  intervallumra vonatkozó határozott integrálján az integrálközelítő összegek sorozatának határértékét értjük (feltéve, hogy ez létezik és véges), b

 a

f  x  dx : lim

n

max x 0

ahol xi  xi  xi 1 , ahol a  x0  x1  x2 

 f  x , i 1

i

i

(1)

 xn  b az  a, b  intervallum egy felosztása,  i

pedig az  xi  xi 1  részintervallum egy tetszőleges pontja. Azt így értelmezett integrált Riemann-integrálnak is nevezzük. Ha létezik az (1) határérték, akkor azt mondhatjuk, hogy f az  a, b  intervallumon integrálható. Ha a függvény folytonos valamely intervallumon, akkor ott integrálható.

-9-

Ha f az  a, b  intervallumon integrálható, és itt f  x   0 , akkor az (1) határozott integrál geometriai jelentése az y  f  x  görbe alatti és  a, b  szakasz fölötti síkidom területe. y

y  f  x

b

 f  x  dx  0 a

x

a

b

3. ábra A határozott integrál tulajdonságai: b

b

a

a

 cf  x  dx  c  f  x  dx, b

b

C állandó; b

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx ; a b

c

a

b

a

a

a

c

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, a  c  b.

- 10 -