Matematikai statisztika gyakorlat – félévkezdı tudnivalók. IP-aMSG A tantárgy tartalma (kb): Statisztikai mezı, minta, statisztika. Leíró statisztikák. Rendezett minta, tapasztalati eloszlásfüggvény. Torzítatlan, hatásos és konzisztens becslés. Teljes ill. elégséges statisztika. Neyman faktorizációs tétele. Fisher információ, Cramer-Rao egyenlıtlenség. Rao-Blackwell-Kolmogorov tétel. Maximum likelihood becslés, tulajdonságai. Momentum módszer. Konfidencia intervallumok. Hipotézisvizsgálat. Véletlenített próbák. Neyman-Pearson lemma. U-, Student t-, és Fpróbák. Khínégyzet-próba és alkalmazásai. Nemparaméteres próbák. Szekvenciális próbák. Lineáris regresszió, legkisebb négyzetek módszere. A szóráselemzés legegyszerőbb esetei. Az idısorelemzés legegyszerőbb esetei. Ajánlott irodalom: Móri-Szeidl-Zempléni: Matematikai statisztikai példatár. ELTE, 1997. Bognár-Göndıcs-Kászonyi-Kováts-Michaletzky-Móri-Somogyi-Szeidl-Székely: Matematikai statisztika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest 1995. Bolla-Krámli: Statisztikai következtetések elmélete. Typotex, Budapest 2005. Órák: Heti egyszer 90 perc gyakorlat, a részvétel kötelezı (a jelenlétet ellenırzöm). A HKR 66. § (1) bekezdése szerint a foglalkozások egyharmadát meghaladó távollét esetén a gyakorlati jegyet meg kell tagadnom. A feladatsorokat minden órán kinyomtatva kiosztom. Számonkérés: Két darab 90 perces zh, a 6./7. héten (márc. 10, 18) és a 13. héten (ápr. 28, 29). Mindkét zh 100 pontos lesz. A zhn egy “puskalap” használható (beleértve a pótzht és a gyakjegyuvt is). Az elégségeshez mindkét zhn legalább 30 pontot kell elérni. A többi jegy ponthatárát félév végén állapítom meg (kb. 45-60-75%-nál). A félév végén lesz lehetıség pótzh illetve javítózh írására, összesen egy alkalommal (akár mindkét zht lehet pótolni, de csak 90 perc lesz rá). A pótzht követıen még egy alkalommal lesz lehetıség az elégtelen gyakorlati jegyet javítani.
Elérhetıségeim: 3-416. szoba tel.: 2090555/8530 e-mail:
[email protected] honlap: www.math.elte.hu/~villo (nem ígérem, hogy ez mindig nagyon aktuális lesz) fogadóóra: kedd 10-12.
Matematikai statisztika gyakorlat – 1. IP-aMSG 1. Egy ellenállást 12-szer megmérünk. A mérési hiba minden alkalommal, egymástól függetlenül, standard normális eloszlású. Adjuk meg a következı két valószínőségi változó eloszlását: X: a mérések összege, Y: a mérések átlaga! Melyik adat adja meg pontosabban az ellenállás valódi értékét, az elsı mérés, vagy a 12 mérés átlaga? 2. Péter n-szer dob kosárra. Minden dobása, egymástól függetlenül, p valószínőséggel talál be. Jelölje X, hogy a dobások hányad része talált be. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! a) Tegyük fel, hogy p = ¼. Közelítıleg mekkora az esélye, hogy Péter 400 dobásból legalább 160-szor betalál? b) 400 dobásból Péter 200-szor betalált. Hihetı-e, hogy p = ¼? 3. Egy (esetleg cinkelt) dobókockán 10000 dobásból 1300-szor lett az eredmény hatos. a) Mire tippelnénk, mekkora a kockán a hatos dobás valószínősége? b) Mondanánk-e az eredmény alapján, hogy a kocka nem szabályos? 4. Legyen X1, ..., Xn független, azonos, az (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású valószínőségi változók sorozata. a) Adjuk meg az X1(n) = min(X1, ..., Xn), illetve az Xn(n) = max(X1, ..., Xn) valószínőségi változók eloszlás- és sőrőségfüggvényét! b) Hova tartanak ezek a valószínőségi változók (eloszlásban illetve sztochasztikusan)? Mennyi a várható értékük? c) Adjuk meg a fenti valószínőségi változók olyan lineáris függvényét, amelynek nem-elfajuló határeloszlása van! d) Adjuk meg, hogy közelítıleg mekkora az esélye, hogy X1(n) nagyobb, mint 2/n! 5. Legyen X1, ..., Xn független, azonos eloszlású valószínőségi változók sorozata. Adjuk meg az Y = X1 + ...+ Xn , valamint az Y/n valószínőségi változó eloszlását abban az esetben, ha az Xi-k a) binomiális b) exponenciális c) Poisson eloszlásúak! 6. Legyen X1, ..., Xn független, azonos abszolút folytonos eloszlású valószínőségi változók sorozata. a) Adjuk meg X1(n), illetve Xn(n) eloszlás- és sőrőségfüggvényét! b) Hova tartanak ezek a valószínőségi változók? c) A minimumnál külön is vizsgáljuk meg azt az esetet, ha az Xi változók exponenciális eloszlásúak. Mivel standardizálhatunk, hogy nem-elfajuló határeloszlást kapjunk? 7. Az alábbi számok Budapest évi középhımérsékletét mutatják 1981-tıl 2000-ig. (http://www.met.hu/pages/climate/bp/Navig/Index2.htm) Számítsuk ki a mintaközepet, a tapasztalati szórást és a szórási együtthatót! 11.4 11.5 12.1 11.0 10.4 11.1 10.7 11.3 11.8 11.9 10.8 12.2 11.3 12.5 11.4 10.6 11.4 11.8 11.6 12.7
Matematikai statisztika gyakorlat – 2. IP-aMSG 1. Legyen X1, ..., Xn független, azonos, a (0, a) intervallumon egyenletes eloszlású valószínőségi változók sorozata, ahol a-t nem ismerjük. Adjunk becslést az a paraméterre a) a mintaátlag, b) a maximum, c) a minimum függvényében. Melyik becslést tartjuk a legjobbnak, és miért? Számítsuk ki a becsléseket a lenti táblázat alapján generált mintákon is! 2. Vizsgáljuk meg az 1. feladatban megadott becslések torzítatlanságát, és tegyük torzítatlanná azokat, amelyek nem ilyenek. Számítsuk ki a becslések szórását is! 3. Legyen X1, ..., Xn független, azonos eloszlású indikátorváltozók sorozata. Adjunk többféle torzítatlan becslést az ismeretlen p paraméter négyzetére, ha n legalább kettı. Mi a helyzet n = 1-re? 4. Mutassuk meg, hogy egy független, azonos eloszlású mintából számolt tapasztalati szórásnégyzet nem torzítatlan becslés a mintaelemek elméleti szórásnégyzetre! Hogyan tehetjük torzítatlanná a becslést? 5. Tegyük fel, hogy a paraméterő exponenciális eloszlásból van n elemő mintánk. Adjunk torzítatlan becslést 1/a-ra és exp(-3a)-ra! 6. Legyen X1, ..., X8 a Bin(4, p), Y1, ..., Y10 pedig a Bin(6, p) eloszlásból származó független minta, ahol p ismeretlen paraméter. a) Milyen a és b értékekre lesz a X + bY torzítatlan becslése p-nek? b) Milyen a és b választással kapjuk meg a legkisebb szórású becslést (a torzítatlanok között)? 7. Oldjuk meg az elızı feladatot általános esetben, azaz egyforma paraméterő, különbözı (ismert) rendő binomiális eloszlású mintákra! 8. Dobjunk fel 6-szor egy kockát. Határozzuk meg a következı alapstatisztikákat: mintaátlag, korrigált tapasztalati szórás, rendezett minta. Rajzoljuk fel a tapasztalati és az elméleti eloszlásfüggvényt! Határozzuk meg a sup|F(x) – Fn(x)| statisztika értékét! 9. Legyen n elemő mintánk b paraméterő Poisson eloszlásból. Adjunk torzítatlan becslést b2-re és exp(-b)-re! A (0,1) intervallumon egyenletes eloszlásból vett 100 elemő minta 0.688 0.977 0.389 0.336 0.185 0.133 0.844 0.823 0.147 0.716 0.859 0.305 0.118 0.707 0.253 0.469 0.643 0.120 0.360 0.443 0.550 0.953 0.337 0.349 0.181 0.808 0.517 0.981 0.677 0.202 0.479 0.563 0.948 0.755 0.387 0.031 0.268 0.446 0.371 0.960 0.492 0.426 0.882 0.807 0.374 0.138 0.489 0.244 0.936 0.857 0.967 0.048 0.980 0.181 0.522 0.191 0.802 0.908 0.301 0.658 0.486 0.512 0.363 0.741 0.058 0.134 0.490 0.986 0.482 0.826 0.456 0.223 0.482 0.703 0.638 0.765 0.443 0.779 0.127 0.385 0.933 0.706 0.098 0.293 0.278 0.747 0.445 0.538 0.878 0.563 0.850 0.911 0.322 0.736 0.855 0.342 0.371 0.722 0.216 0.760
Matematikai statisztika gyakorlat – 3. IP-aMSG 1. Mutassuk meg, hogy exponenciális eloszlású minta esetén n·min(X1, ..., Xn) torzítatlan, de nem konzisztens becslés a várható értékre. 2. Mutassuk meg, hogy ha egyelemő mintánk van az (a, a+1) intervallumon egyenletes eloszlásból, akkor nincs hatásos becslés a paraméterre. (Ötlet: adjunk meg minél többféle torzítatlan becslést a megfigyelés egész része segítségével.) 3. Adjunk elégséges statisztikát indikátormintánál a paraméterre a definíció alapján. 4. Adjunk n elemő mintából elégséges statisztikát a faktorizáció segítségével a következı eloszlásokra: a) negatív binomiális eloszlás ( r ismert, p paraméter) b) gamma eloszlás (α, λ paraméter) c) normális eloszlás (µ, σ paraméter) 5. Tegyük fel, hogy október 4-e középhımérséklete Budapesten az elmúlt 10 évben az alábbiak szerint alakult: 12.0, 10.5, 8.6, 14.5, 13.3, 11.9, 14.2, 7.6, 12.2, 15.6. Számoljuk ki a sőrőségfüggvény Parzen-Rosenblatt-féle becslésének értékét a 13 helyen, ha h = 2 és a magfüggvényünk k(x) = 1, ha –0.5 < x < 0.5 (és 0 különben). Rajzoljuk fel a sőrőségfüggvény Parzen-Rosenblatt-féle becslését! 6. Legyen X1, ..., Xn független, az alábbi sőrőségfüggvényő eloszlásból származó minta: fa(x) = 2x/a2, ha 0 < x < a, és 0 különben. (a > 0 tetszıleges) a) Adjunk elégséges statisztikát az ismeretlen a paraméterre! b) Konstruáljunk torzítatlan becslést a-ra a mintaátlag és a maximális mintaelem segítségével is. c) Mutassuk meg, hogy mindkét becslés konzisztens. d) Melyik a hatásosabb? 7. Legyen X1, ..., Xn független, az alábbi sőrőségfüggvényő eloszlásból származó minta: fa(x) = axa - 1, ha 0 < x < 1 és 0 különben. (a > 1 tetszıleges) a) Legyen Xn(n) a legnagyobb mintaelem. Hová tart Xn(n) ? Hogyan lehet standardizálni, hogy nemelfajuló határeloszlást kapjunk, és mi ez a határeloszlás? b) Adjunk elégséges statisztikát a-ra! c) Adjunk kétféle „értelmes” becslést a-ra! d) Válasszunk egy konkrét a-t (pl. a = vezetéknevem hossza) és mintaelemszámot! Szimulációval vizsgáljuk meg a becslések eloszlását (speciálisan: torzítatlanok-e, melyiknek kisebb a szórása)! Lehet többféle mintanagyságra és a-ra is vizsgálódni! 8. Határozzuk meg az ismeretlen paraméter ML becslését és momentum módszerbıl adódó becslését, ha az n elemő minta a) geometriai b) E(a, b) c) E(a, 2a) d) exponenciális e) normális eloszlású!
Matematikai statisztika gyakorlat – 4. IP-aMSG 1. Határozzuk meg az ismeretlen paraméter maximum likelihood (ML) becslését a következı eloszlásokból vett n elemő mintából: a) geometriai b) E(0, a) c) exponenciális. 2. Legyenek X1, X2, …, Xn és Y1, Y2, …, Yn egymástól független α, illetve 1/α paraméterő, exponenciális eloszlású minták. Határozzuk meg α ML becslését! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: X Y
0.28 1.75
0.69 0.48
0.23 7.81
0.35 0.47
0.19 0.58
0.11 4.60
0.51 1.06
0.10 0.14
0.05 2.09
0.03 1.29
3. A genetikusok szerint egy növényfajban egy bizonyos tulajdonság az alábbi eloszlásban fordul elı: P(AA) = p2, P(AB) = 2p(1-p), P(BB) = (1 – p)2. Tegyük fel, hogy egy adott területen a három fajta gyakoriság rendre NAA, NAB, illetve NBB. Adjunk ML becslést p-re! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: NAA = 320, NAB = 165, NBB = 15. 4. Legyen X1, X2, …, Xn a következı eloszlásból származó minta: P(X1 = k) = 2k / (3N(N+1)), ha N ≤ k ≤ 2N, különben pedig 0. Itt N ismeretlen, pozitív egész értékő paraméter. Adjunk N-re ML becslést! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: 91, 73, 60, 77, 71, 91, 56, 97, 92, 67 5. Legyen X1, X2, ..., Xn a következı eloszlásból származó minta: P(Xi = 1) = c, P(Xi = 2) = 3c, P(Xi = 3) = 1 – 4c (0 < c < ¼ ismeretlen paraméter). a) Határozzuk meg c ML becslését! b) Határozzuk meg c momentum módszerbıl adódó (MM) becslését! c) Írjunk fel egydimenziós elégséges statisztikát az ismeretlen paraméterre! d) Adjunk torzítlan becslést c-re X1 segítségével! e) A d)-ben megadottnál konstruáljunk jobb becslést blackwellizálással! Számítsuk ki a becsléseket arra a 100 elemő mintára, melyben 12 darab 1-es, 39 darab 2-es, és 49 darab 3-as van. 6. Legyen Y ~ E(0, b), ahol b > 0. Legyen X = Ya, ahol a > 0. a) Írjuk fel X sőrőségfüggvényét! b) Legyen X1, X2, …, Xn a fenti eloszlásból vett minta. Adjunk elégséges statisztikát az (a, b) paramétervektorra! c) Adjuk meg (a, b) MM illetve ML becslését! Számítsuk ki a becsléseket a következı konkrét (nagyság szerint rendezett) mintára: 0.03, 0.28, 1.49, 2.05, 9.88, 19.81, 28.16, 39.17, 57.72, 69.49. A mintaelemek összege 228, négyzetösszege 10 984, szorzata pedig 22 217 526. 7. Legyen X1, X2, …, Xn indikátor eloszlású minta (n>2). a) Adjunk X1 és X2 függvényeként torzítatlan becslést p(1-p)-re! b) Az a)-ban megadottnál konstruáljunk jobb becslést blackwellizálással!
8. Egy ezer fıs közvéleménykutatásnál 650-en válaszolták azt, hogy szeretik a kutyákat. Becsüljük meg ML és MM módszerrel a tényleges arányt! Hogyan módosul ez a becslés, ha tudjuk, hogy a kutyákat szeretık 10%-a hazudik, a kutyákat nem szeretıknél pedig 20% ez az arány? 9. Egy CASCO biztosítás kárai 2003-ban 200, 1200, 1800, 125, 485 E Ft voltak. A káreloszlásról feltételezzük, hogy (α, β) paraméterő Pareto eloszlású azaz eloszlásfüggvénye F(x) = 1 – [β / (β + x)]α , ha x>0. Határozzuk meg az ismeretlen paraméterek ML és MM becslését! 10. Számítsuk ki a Fisher-információt a következı eloszlású n elemő minták esetén: a) Poisson(λ), λ > 0 paraméter. b) Bin(r, p), r ismert, 0 < p < 1 paraméter. c) Geo(p), 0 < p < 1 paraméter. d) Exp(λ), λ > 0 paraméter. 11. Egy közvéleménykutatás során 1000 embert kérdeztek meg. Közülük 88-an szavaznának a FUMI pártra. Adjunk 95%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot a FUMI párt tényleges szavazatarányára! (Alkalmazzunk normális eloszlással való közelítést.) 12. Adjunk 95%-os konfidenciaintervallumot az exponenciális eloszlás várható értékére! 13. Legyen (1.8, 2, 3, 3.2, 3.4) öt elemő minta az fa(x) = 2x/a2 (ha 0 ≤ x ≤ a, egyébként 0) sőrőségfüggvényő eloszlásból. Adjunk 95%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot a-ra! (Lépések: adjunk ML becslést a paraméterre, standardizáljuk, határozzuk meg a kapott statisztika eloszlását és ennek „tipikus” értékeit). 14. Legyen X1, X2,…Xn független, azonos eloszlású minta az fa(x) = 2x/(3a2) (ha a ≤ x ≤ 2a, egyébként 0) sőrőségfüggvényő eloszlásból, ahol a pozitív paraméter. Tekintsük a következı hipotézisvizsgálati feladatot: H0 : a ≤ 1, H1 : a < 1. a) Adjunk a legnagyobb mintaelem (Xn(n) ) függvényében 10%-os terjedelmő próbát! b) Írjuk fel a próba erıfüggvényét! c) Milyen c-re lesz a (0.5 Xn(n), c Xn(n) ) intervallum éppen 95%-os megbízhatósági szintő konfidenciaintervallum a-ra?
Matematikai statisztika gyakorlat – 5. IP-aMSG 1. A „Reggeli ital” tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrók minıségét. H0: p ≤ 0,01 a romlott túrócsomagok aránya (ez még elfogadható a gyár számára), H1: p > 0,01 (ebben az esetben a túrót újrahasznosítják, túrókrémet készítenek belıle). A gyár eljárása a következı: N csomagot bontanak fel és amennyiben legalább 2 köztük romlott, akkor újrahasznosítást rendelnek el. Írjuk le a statisztikai próbát (paramétertér, mintatér, kritikus tartomány, elfogadási tartomány)! Milyen N-re lesz az elsıfajú hiba valószínősége kisebb 5%-nál? Írjuk fel az erıfüggvényt! 2. A Dezinformatikai Kar HÖK elnöke nagyon fontosnak tartja népszerőségét. Amennyiben a hallgatók legfeljebb 70%-a utálja, az számára elfogadható (H0 hipotézis). Az ennél nagyobb arány esetén (H1 hipotézis) lemond. Minden negyedév végén 10 hallgatót kérdez meg (közvéleménykutatást tart). Az elnök akkor mond le, ha a tízbıl legalább 8 diák utálja. Mekkora a próba terjedelme? Várhatóan hány negyedévet fog tevékenykedni az elnök, ha stabilan a diákok 65%-a utálja? 3. A „Reggeli ital” tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrók ólomtartalmát. 2009. március 31-én a még megengedett szint %-ban a mérések a következık voltak: 98,5; 101,4; 99,5; 100,9; 100,7. A korábbi tapasztalatok alapján az ellenır az eredményekrıl feltételezi, hogy szórásuk 1. Elfogadható-e a H0: m ≤ 100 nullhipotézis a H1: m > 100 ellenhipotézissel szemben (α = 0,05)? Mennyi a p-érték? Mennyi a próba erıfüggvényének értéke az m = 102 pontban? Hogyan döntene az ellenır, ha nem ismerné a szórást? 4. (folyt.) A „Magyar tarka” tejgyárban ugyanezen a napon a következı százalékokat mérték: 97,4; 99,5; 99,9; 98,7. Korábbi tapasztalatok alapján az ellenır mindkét gyár eredményeirıl feltételezi, hogy szórásuk 1. Mondhatja-e, hogy valamelyik gyár jobb minıségő túrót gyárt, mint a másik? Mi a helyzet, ha az ellenır nem ismeri a szórásokat? 5. Az alábbi minta 4 év április 18-án Budapesten mért napi középhımérséklet adatait tartalmazza. Ellenırizzük a H0: m = 16 hipotézist α = 0,05 terjedelem mellett a H1: m ≠ 16 ellenhipotézissel szemben, ha (a) korábbi tapasztalatok alapján a szórást 2-nek tekintjük! Mennyi a p-érték? (b) a szórásról nincs információnk. hımérséklet 14,8 12,2 16,8 17,1 6. A Dezinformatikai Kar III. évfolyamán 5 (nagy létszámú) csoport írt statisztika zárthelyit, de a rossz eredmény miatt mindenki írt egy javítózht is. Az alábbi táblázat a nulla pontos zárthelyi dolgozatok csoportonkénti %-os arányát tartalmazza, mindkét alkalomra. Mondhatjuk-e (α = 0,05), hogy a javítózhra jobban felkészültek a hallgatók? eredeti zh 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 javítózh 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7
Matematikai statisztika gyakorlat – 6. IP-aMSG 1. Az alábbi két minta 5 – egyforma képességőnek feltételezett – sportoló súlylökésben elért eredményeit tartalmazza. Az elsı dobás elıtt az edzı büszkén állította, hogy tanítványai átlagosan legalább 17 métert dobnak, amit a klub igazgatója kétségbe vont. Úgy döntött, hogy csak akkor hosszabbítja meg az edzı szerzıdését, ha a H0: m ≥ 17 hipotézis α = 0,05 terjedelem mellett elfogadható a H1: m < 17 ellenhipotézissel szemben. a) Hogyan döntött az igazgató, ha a korábbi tapasztalatok alapján a dobások szórását 2-nek tekintette? b) Változott volna-e a helyzet, ha nem tekinti a szórást ismertnek? c) Az elızıek alapján az igazgató még egy esélyt adott az edzınek, aki elmagyarázta a sportolóknak, hogy mire figyeljenek jobban oda. Ezután a sportolók még egyszer dobtak. Mondhatjuk-e, hogy a magyarázat hatásos volt? 1. eredmény 14,8 12,2 16,8 17,1 16,1 2. eredmény 18,0 12,1 17,2 17,7 17,0 2. A „Reggeli ital” tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrókban található hajszálak számát, jelölje ezt X. A H0 hipotézis szerint P(X=0)=1/2, P(X=1)=1/3, P(X=2)=1/6. Száz csomag túró ellenırzésekor 40 csomagban nem találtak hajszálat, 40-ben egy hajszál volt, 20-ban pedig 2 hajszál tekergızött. Elfogadjuk-e a nullhipotézist α = 2,5% mellett? 3. A Dezinformatikai Kar III. évfolyamán 300-an tanulnak. Megszámolták, hogy a legutóbbi vizsgaidıszakban hányszor buktak az egyes hallgatók. Az eredményeket tartalmazza az alábbi táblázat. Bukások száma 0 1 2 3 4 Hallgatók száma 66 122 100 10 2 Elfogadhatjuk-e azt a nullhipotézist, hogy egy hallgató bukásszáma Bin(4; 0,2) eloszlású? És azt, hogy négy rendő, tetszıleges paraméterő binomiális eloszlású? 4. Kaliforniai gépjármővezetık kárszámát vizsgálták egy kétéves (1961-1962) periódusban. A 148006 vezetı adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Tekinthetı-e a veztınkénti kárszám Poisson eloszlásúnak? Kárszám 0 1 2 3 4 5 6 7 >7 Összesen Vezetık száma 129524 16267 1966 211 31 5 1 1 0 148006 5. Az alábbi táblázat mutatja, hogy 100 évben a csapadék menyisége és az átlaghımérséklet hogyan alakult.
hővös hımérséklet átlagos meleg
kevés 15 10 5
csapadék átlagos 10 10 20
sok 5 20 5
Tekinthetı-e a csapadékmennyiség és a hımérséklet függetlennek (α = 0,05)? 6. Megvizsgáltak összesen 460 darab csavart, amelyek közül 439 mérete volt
megfelelı. A megfelelı méretőek közül 416-nak az alakja is megfelelı volt, a többinek nem. Az összes csavar közül 28 darab alakja volt kifogásolható. Függetlennek tekinthetı-e a méret és az alak megfelelısége (α = 0,05)? 7. Két dobókockával dobva a következı eredmények adódtak: gyakoriság
dobott érték: 1. kocka 2. kocka
1 7 16
2 11 11
3 8 20
4 10 19
5 8 18
6 6 16
Tekinthetı-e a két kocka egyformának (α = 0,05)? 8. Az alábbi táblázat CASCO biztosítással rendelkezık éves kárszámát tartalmazza 2003-ban és 2004-ben. Tekintehetı-e a kárszám azonos eloszlásúnak a két évben? Kárszám 0 1 2 3 4 5 >5 2003 3692 232 65 7 3 1 0 vezetık száma 2004 3542 284 135 24 9 5 1 9. 10 – egyforma képességőnek feltételezett – sportolónak súlylökésben pontossági dobásokat kell teljesítenie. A cél, hogy a dobás minél közelebb legyen a 11 méterhez. Az 11 métertıl való eltérésekrıl feltételezzük, hogy N(0,σ2) eloszlásúak. A következı hipotéziseket vizsgáljuk. H0: σ = 1 és H1: σ = 2. Adjuk meg az α = 0,05 elsıfajú hibavalószínőséghez tartozó valószínőséghányadospróbát! Változna-e a próba, ha H1: σ = 3 lenne az ellenhipotézis? 10. A „Reggeli ital” tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrókban található hajszálak számát, jelölje ezt X. A H0 hipotézis szerint P(X=0) = 1/2, P(X=1) = 1/3, P(X=2) = 1/6, míg a H1 szerint P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = 1/3. A hipotéziseket 5 csomag túró ellenırzésével tesztelik. Adjuk meg az α=0,01 elsıfajú hibavalószínőséghez tartozó valószínőséghányados-próbát! 11. Két széria izzólámpából 10 – 10 elemő mintát vettek. Az élettartamukra a következı értékek adódtak: (A) széria: 10,2 150,3 180,7 52,0 69,1 6,2 91,5 101,8 75,1 83,6 (B) széria: 23,2 12,3 128,6 96,5 43,2 54,0 200,3 75,4 7,9 15,6 Döntsünk arról, α = 0,05 mellett ,hogy a két széria izzóinak élettartama azonos eloszlásúnak tekinthetı-e ! 12. Az Antarktiszon az F-12 gáz koncentrációjára az alábbi értékeket kapták: Év 1990 1992 1994 1996 1998 Koncentráció (ppt) 195 216 244 260 284 a) Határozzuk meg és ábrázoljuk is az y = ax + b regessziós egyenest! b) Vizsgáljuk az a = 0 hipotézist az a > 0 ellenhipotézissel szemben! c) Adjunk elırejelzést és konfidenciaintervallumot 2010-re az egyenes alapján. Mi a veszély ebben?
