Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT
Feladatlap NÉV:………………………………..tk.:………….
Feladat sorsz.:…………..
Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvizsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek mérési adatok formájában ismertek. A rendelkezésre álló 30 elemő minta alapján: 1./ Szerkessze meg lépcsıs függvény formájában a terhelı erı tapasztalati eloszlás- és sőrőségfüggvényét! (H(F), h(F)) 2./ Határozza meg a terhelı erı várható értékét és szórását! (E,s) 3./ Rajzolja meg a terhelı erı eloszlás- és sőrőségfüggvényének közelítését -∞ < F < +∞ feltételezésével! (F,f) 4./ Határozza meg az F* terhelı erı értékét P(F< F*)=0,9 esetén! 5./ Határozza meg az F** terhelı erı tartományát 0,75< P(F< F**)<0,9 esetén! 6./ Határozza meg a P(F***<1,1 .E(F)) értékét! A megoldásnál az alábbiakat vegye figyelembe: • • •
A tapasztalati eloszlás- és sőrőségfüggvény szerkesztésénél használja a mellékelt mm papírt. A függvényeket külön ábrában, egymás alatt, eloszlás- sőrőségfüggvény sorrendben ceruzával szerkessze meg, a koordináta tengelyek léptékeit az értékek nagyságától függıen vegye fel. A számításokat táblázatos formában kell elkészíteni 2 tizedes pontossággal.
Kidolgozási utasítás: 1./ A mellékelt adattáblázat a rendelkezésre álló minta értékeket véletlen sorrendben tartalmazza. A számításokhoz a nagyság szerint sorba rendezett mintát 1,1 . (Fmax- Fmin)/6 hosszúságú intervallumokba sorolja be. A kezdı intervallum induljon az Fmin -0,3 . 1,1 . (FmaxFmin)/6 értéktıl! 2./ A terhelı erı várható értékének és szórásának becslését a vonatkozó összefüggések alkalmazásával végezze el. A várható értéket jelölje be a függvény ábrán, a szórást [E-s,E+s] intervallum kijelölésével ábrázolja. A kapott eredményeket hasonlítsa össze a közelítı függvény adott pontbeli értékével! 3./ Az F* terhelı erı értékét a vonatkozó függvény ábrájáról olvassa le és jelölje be a függvény ábráján! 4./ Az F** terhelı erı tartományát a vonatkozó függvény ábrájáról olvassa le és jelölje be a függvény ábráján! 5./ A 6. feladatot a tapasztalati sőrőségfüggvény adatainak felhasználásával, számítással oldja meg! A feladat sorszámának megfelelı adatok a feladatlap mellékleteként megtalálhatók.
Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT
Adattáblázat Terhelı erı Fi [N] 9, 10 11 , 12 13 , 14
15 , 16
17 , 18
19 , 20
21 , 22
23 , 24
25 , 26
27 , 28
29 , 30
3363
3266
2966
3224
2990
3173
3227
3341
3154
3093
3174
3274
3233
3348
2907
3209
3082
3211
2978
3643
3370
3383
2729
3794
3403
3197
3299
3260
2834
2939
3210
3786
3625
3020
3139
2891
3269
3051
3001
3609
3565
3291
3376
3893
3323
3418
3336
3099
3663
2776
3597
3537
3835
3657
3441
3955
3372
3606
3622
3080
3043
3563
3498
3513
3644
4398
3458
3198
3497
3179
3701
3341
3345
2731
3297
3380
3557
3473
3065
3413
4362
3603
3265
3625
3103
3204
3457
2928
3426
3463
3594
3252
3823
3565
3207
4033
3513
3334
3646
3833
3790
4322
4040
3504
3908
3081
3401
3683
2794
3756
3553
3400
4430
3670
3434
3522
3276
4177
3596
3779
4015
3608
3795
3444
3925
4256
4165
3683
4320
3281
4028
3463
3600
4128
3658
4216
4076
4078
3851
3637
3647
4074
3813
3849
3665
4406
4503
3751
3382
3136
4815
4350
4029
3048
3893
3126
3725
3904
4278
3086
3264
3435
3960
2799
3981
3463
3728
4057
3921
4299
2854
3843
3428
3851
3166
3707
3916
3680
4775
4773
4398
3982
4002
3006
4628
4032
3718
3874
3814
4347
3625
4705
4605
3491
3326
3739
4615
4370
3449
3630
3252
3828
3496
3421
4204
4206
4676
3381
3674
4171
3890
3977
4508
3922
4020
3935
3692
4272
3361
4102
4153
3361
3816
4142
4448
4266
4044
4572
3973
4213
4230
3673
3635
4169
3640
4298
4209
4318
4050
4300
5731
3947
3452
4020
3417
4407
3725
3731
2565
2940
3780
3354
3798
4134
3974
3199
3861
5663
4221
3580
4264
3272
3464
3944
4455
4129
4487
3857
3919
4134
3572
4511
4086
3496
4857
4001
3706
4220
4526
3870
4345
5331
4867
3985
4650
3290
3817
4280
2817
4400
4067
3815
5509
4258
5879
3828
3803
3161
5507
3994
4471
5086
4027
4514
3597
4851
5714
5475
4220
4653
3175
5120
3649
4006
5381
4155
5610
5244
5250
4657
4100
4128
5238
4559
4885
4258
5016
5115
4346
3968
3717
5433
4958
4630
3627
4491
3707
4319
4502
4448
3666
3848
4023
4559
3373
4581
4051
4322
4658
4520
4906
3429
4440
4016
4420
3691
4299
4535
4269
5500
5498
5076
4608
4631
3511
5335
4665
4312
4488
3977
5019
4207
5422
5309
4057
3871
4335
5321
5046
4009
4212
3787
4436
4062
3828
4825
4827
5383
3852
4198
4785
4454
4556
5184
4492
4607
4507
4220
4905
4783
4705
4764
3829
4366
4752
5114
4898
4635
5259
4552
4835
4855
4197
4152
3028
4189
4900
4803
4921
4632
4902
6446
4520
3986
4599
3948
5017
4281
4287
4517
3434
4340
3880
4360
4722
4550
3713
4428
6373
4817
4124
4863
3792
3998
5151
5073
4714
5108
4416
4483
4719
4102
5134
4668
4020
5514
4574
4249
4814
4856
4430
4951
6035
5525
4556
5287
3793
4371
4881
3273
5012
4646
4370
6230
4796
6134
4481
4460
3942
5834
4614
4999
5495
4640
5033
4294
5305
6001
5809
5070
5145
3954
5522
4336
4624
5732
4744
5917
5622
5627
5149
4700
4723
5618
5041
5473
4764
5621
5733
4864
4437
4153
6093
5555
5186
4052
5028
4142
4834
4491
4980
4096
4302
4499
5105
3765
5129
4531
4837
5217
5060
5497
3827
4970
5071
4979
3988
4815
5136
4774
6449
6445
5872
5235
5266
3744
6224
5312
4833
4493
4377
5794
4690
6342
6189
4486
4233
4864
6205
5830
4420
4697
4119
5001
5691
4070
5571
5574
6411
4107
4628
5512
5012
5166
6112
5070
5243
5093
4661
4558
5509
5390
5480
4072
4881
5461
6006
5681
5286
6225
5159
5586
5617
4626
Sorszám
1,2
3,4
5,6
7,8
1
3381
3410
3181
3068
2993
3505
3032
3084
3244
2890
3251
3189
3327
3172
3890
3889
3136
3845
3779
3048
3599
4057
2796
3081
3547
2777
3219
3643
3596
3654
3370
3146
3591
3809
3722 3532
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT 22 23 24 25 minta
4876
3598
4776
5497
5399
5518
5225
5499
7066
5112
4570
5192
4532
5616
4869
4583
5109
4009
4929
4462
4949
5317
5142
4293
5018
6992
5413
4710
5460
4373
5420
5819
5726
5301
5767
4948
5028
5307
4576
5798
5246
4478
6248
5135
4751
7097
5469
4965
5582
6865
6262
5114
5980
4210
4895
5499
3595
5654
5221
4893
6559
5382
6937
5016
4991
4390
6589
5171
5618
6194
5201
5658
4799
5974
6782
6337
5700
5788
4403
6226
4848
5182
6470
5322
6685
6342
6348
5792
5270
5297
5430
4401
5260
5593
5217
6956
6953
6358
5697
5729
4148
6723
5776
5278
5526
4806
6277
5131
6846
6687
4918
4656
5311
6703
6314
4850
5138
4538
5453
4925
3405
4391
4393
4942
3429
3771
4351
4024
4125
4746
4061
4175
4077
3793
4470
4350
4272
4331
3406
3937
4318
4676
4463
4203
4820
4120
4401
4421
3770
3725
Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT
Mintafeladat megoldás A feladatmegoldás lépései: 1. A terhelı erı tapasztalati eloszlás- és sőrőségfüggvényének meghatározása 1.1. A mérési adatok maximumának és minimumának kiválasztása: Fmax=4942 N Fmin=3405 N 1.2. Az intervallumok hosszának kiszámítása: li =
1,1.( Fmax − Fmin ) 1,1.(4942 − 3405) = = 282 N 6 6
-induló érték: l0= Fmin-0,3 . 282 =3405 -0,3 . 282 =3320 N 1.3. Az induló érték és az intervallum hosszak ismeretében az osztályhatárok kiszámíthatók, elvégezhetı a mérési eredmények osztályba sorolása (1. sz. táblázat). A tapasztalati sőrőség függvény ordinátái: -a relatív gyakoriság és az intervallumhossz hányadosaként, az eloszlásfüggvény ordinátái: -a relatív gyakorisági értékek halmozott összeggyakoriságaként meghatározhatóak. Osztálysorszám i
1 2 3 4 5 6
Határok [N] 3320-3602 3603-3884 3885-4166 4167-4448 4449-4730 4731-5012
1. sz. táblázat eo. fv.
sőr. fv. Azonosítás absz. gyak. (n=30 db) gi III IIII IIIIII IIIII IIIII I III III
3 4 6 11 3 3
rel. gyak.
fi =
gi n
0,1 0,13 0,2 0,36 0,1 0,1
hi ( F ) =
fi li
3,54 . 10-4 4,73 . 10-4 7,09 . 10-4 1,3 . 10-3 3,54 . 10-4 3,54 . 10-4
i
H i ( F ) = ∑ hi ( F ).li i =1
0,1 0,23 0,43 0,79 0,89 0,99
A mellékelt mm papíron megfelelı skála beosztással a lépcsıs függvények megrajzolhatók. A koordináta tengelyek ordináta értékei eloszlás függvény esetén 0-1 érték közötti, sőrőség függvény esetén 0-h(F)max közötti értéket vesznek fel.
2. Várható érték és szórás meghatározása 2.1. Várható érték: A valószínőségi változó várható értéke összefüggésébıl kiindulva:
Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT E(F ) =
+∞
6
6
−∞
i =1
i =1
∫ x. f ( x)dx ≈∑ Fi .hi ( F ).li = ∑ Fi . fi
ahol: Fi…az i-ik intervallum középértéke, fi…relatív gyakoriság értéke az i-ik intervallumban.
2.2. Szórásnégyzet: +∞
6
6
−∞
i =1
i =1
s ( F ) = ∫ [ x − E ( F )]2 . f ( x)dx ≈ ∑ [ Fi − E ( F )]2 .hi ( F ).li = ∑[ Fi − E ( F )]2 . fi 2
ahol: E(F)…a mintaelemek várható értéke. A 2. sz táblázat összefoglalja a várható érték és szórásnégyzet meghatározásához szükséges számításokat. sorszám 1 2 3 4 5 6
Fi [N] 3461 3743 4025 4307 4589 4871
fi 0,10 0,13 0,20 0,36 0,10 0,10
Fi . fi [N] 346,1 499,0 805,0 1550,5 458,9 487,1 4146,6
Fi – E(F) -685,6 -405,6 -121,6 160,4 442,4 724,4
(Fi – E(F))2 4,7 . 105 1,65 . 105 1,48 . 104 2,57 . 105 1,96 . 105 5,25 . 105
2. sz. táblázat (Fi – E(F))2 . fi 4,7 . 104 2,19 . 104 2,96 . 103 9,25 . 103 1,96 . 104 5,25 . 104 153210
A mintaelemek -várható értéke: E(F)=4146,6 N -szórása: s(F)=391,4 N
3. A terhelı erı eloszlás és sőrőség függvényének közelítése A lépcsıs függvények intervallum középértékéhez tartozó ordináta értékeket jól közelítı folytonos (nem törött) vonallal kössük össze. 4. P(F<
6. F*** erı értékének meghatározása k
k
i =1
i =1
P(F ***< 1,1 . E(F))= H k ( F ) = ∑ hi .l i = ∑ f i Ahol: k…az 1,1 . E(F) erı osztályának sorszáma
Közlekedésmérnöki Kar Jármőelemek és Hajtások Tanszék
Jármőtervezés és vizsgálat alapjai I.
MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT 1,1 . E(F)=1,1 . .4146,6 N=4561,26 N ; k=5 P(F ***< 1,1 . E(F))=0,1+0,13+0,2+0,36+0,1=0,89 Mintafeladat eloszlás- és sőrőségfüggvény
Budapest, 2008. február 20.
