Matematikai statisztika feladatsor

Matematikai statisztika feladatsor Nagy-György Judit

A feladatsor Bolla Marianna és Krámli András Statisztikai következtetések elmélete cím¶ könyvének [1] elméletére épül, a fejezetek számozása és a jelölések is ennek megfelel®ek.

Tartalomjegyzék 1. El®ismeretek

2

2. Statisztikai alapfogalmak

7

3. Becsléselmélet

12

4. Hipotézisvizsgálat

21

5. Többváltozós módszerek

27

6. Lineáris módszerek

33

1

1. El®ismeretek

A1 , . . . , An mátrixokat, ahol Ai mi × mi+1 -es i = 1, . . . , n − 1 esetén és An mn × m1 -es mátrix. Igazoljuk, hogy tr(A1 . . . An ) = tr(An A1 . . . An−1 )!

1. Tekintsük

2. Legyen

A egy n × n-es szimmetrikus mátrix λ1 , . . . , λn tr(A) = λ1 + . . . + λn .

sajátértékekkel.

Mutassuk meg, hogy 3. Legyen

R

egy

d × d-s r.

mátrix, amely f®diagonálisának minden eleme 1,

minden más eleme (a) Adjuk meg

R

spektrálfelbontását!

(b) Adjunk szükséges és elégséges feltételt

r-re, hogy R pozitív denit

legyen! 4. Igazoljuk, hogy ha létezik egy

V

A

egy pozitív denit mátrix, akkor egyértelm¶en A = VV∗ (Cholesky

alsó trianguláris mátrix, amelyre

felbontás). 5. Bizonyítsuk be, hogy az unitér mátrixok sajátértékei a komplex egységkörön helyezkednek el! 6. Mutassuk meg, hogy ha egy mátrix sajátértékei különböz®ek, akkor sajátvektorai lineárisan függetlenek! 7. Két személy megbeszéli, hogy 3 óra után találkoznak. Érkezésük független, (a) 3 és 4 óra között egyenletes eloszlást követ. (b) 4 paraméter¶ exponenciális eloszlást követ (órában mérve). Adjuk meg a korábban érkez® érkezési idejének s¶r¶ségfüggvényét! Adjuk meg a korábban érkez® várakozási idejének s¶r¶ségfüggvényét is! Adjuk meg a kés®bb érkez®

Y

várakozási idejének "abszolút", és a ko-

rábban érkez® érkezési idejere vett feltételes s¶r¶ségfüggvényét is! 8. Számítsuk ki a 9. Legyen

λ

paraméter¶ Poisson eloszlás els® négy momentumát!

X egy (n, p) paraméter¶ negatív binomiális eloszlású valószín¶sé1 ) várható értéket! E( X−1

gi változó. Számítsuk ki

1. ELISMERETEK

3

n-edrend¶ λ paraméter¶ Gamma eloszlás −k -adik moahol k < n.

10. Számoljuk ki az mentumát,

11. Igazoljuk, hogy

(a) a Poisson eloszlás (b) a Gamma eloszlás korlátlanul

osztható! 12. Legyenek

X, Y

független, azonos eloszlású, véges várható érték¶ valószín¶sé-

gi változók. Határozzuk meg

E(X + Y |X)

és

E(X|X + Y )

feltételes

várható értékeket! 13. Legyen

X és Y

két független, 1/2 paraméter¶ Bernoulli-eloszlású valószín¶sé-

gi változó. Adjuk meg

Y)

E(X|X +Y ) által generált σ -algebrát és E(X|X +

eloszlását!

14. Legyen

X

nemnegatív valószín¶ségi változó.

(a) Határozzuk meg

E(X 2 |X)-et!

(b) Határozzuk meg

E( X1 |X)-et!

[−1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín¶ségi vál2 Határozzuk meg E(X|X )-t!

15. Legyen tozó.

X

16. Legyenek

a

X1 , X2

a

[0, 1]

intervallumon egyenletes eloszlású független

valószín¶ségi változók, továbbá

max{X1 , X2 }. Határozzuk meg

Y := min{X1 , X2 }, valamint Z := (a) E(Y |Z), (b) E(Z|Y ), (c) E(X1 |Z)

feltételes várható értékeket!

X, Y ∼ N (0, 1)

17. Legyenek

független valószín¶ségi változók, továbbá

a, b, c ∈ R. (a) Milyen eloszlású (b) Adjuk meg

|X|

s¶r¶ségfüggvényét!

(c) Határozzuk meg (d) Milyen eloszlású 18. Legyenek

aX + bY + c? X 2 s¶r¶ségfüggvényét! Milyen eloszlást követ X 2 ? X 2 + Y 2?

X, Y ∼ exp(λ)

(a) Milyen eloszlású (b) Adjuk meg

független valószín¶ségi változók.

X +Y?

X s¶r¶ségfüggvényét! Y

1. ELISMERETEK

19. * Legyenek

p

4

N, X1 , X2 . . .

független valószín¶ségi változók, ahol

paraméter¶ geometriai eloszlású,

N

egy

X1 , X2 , . . .P pedig λ paraméter¶ exN i=1 Xi is exponenciális

ponenciális eloszlásúak. Bizonyítsuk be, hogy eloszlású!

20. Mi a kapcsolat az alábbi eloszláscsaládok között? (a) Bernoulli, binomiális és Poisson; (b) geometriai és negatív binomiális; (c) exponenciális,

χ2

és Gamma;

(d) Student és Cauchy. 21. Legyen

X

egy

(α, λ), Y

pedig

(β, λ)

paraméter¶ Gamma eloszlású,

egymástól független valószín¶ségi változó. Igazoljuk, hogy

X/Y

egy

(α, β) paraméter¶ másodfajú Béta eloszlású valószín¶ségi változó, amely s¶r¶ségfüggvénye

f (x) = 22. Legyen

X

egy

xα−1 Γ(α + β) · . Γ(α)Γ(β) (x + 1)α+β

(α, β) paraméter¶ másodfajú Béta eloszlású valószín¶ségi

változó. Igazoljuk, hogy (a)

1 valószín¶ségi változó X zlású!

(β, α)

X valószín¶ségi változó 1+X 1 (c) valószín¶ségi változó 1+X

(b)

23. Legyen

paraméter¶ másodfajú Béta elos-

(α, β)

paraméter¶ Béta eloszlású!

(β, α)

paraméter¶ Béta eloszlású!

X1 , . . . , Xn , Xn+1 , . . . , Xn+m ∼ exp(λ)

fae valószín¶ségi vál-

tozók. (a) Milyen eloszlású

Pn

(b) Igazoljuk, hogy

statisztika

(n, m)

i=1

Xi ? Pn i=1 Xi Z = Pn+m i=n+1 Xi

paraméter¶ másodfajú Béta eloszlású!

1. ELISMERETEK

5

(c) Igazoljuk, hogy

Pn 1 i=1 Xi = ∼ Beta(n, m). Pn+m 1 + 1/Z i=1 Xi 24. Mi a kapcsolat a Student, F és Béta eloszláscsaládok között? 25. Legyenek

X1 , . . . , Xn ∼ N (0, 1) és Y1 , . . . , Ym ∼ N (0, 1) független Tn2 := X12 + . . . + Xn2 és Tm2 := Y12 + . . . + Ym2 .

vál-

tozók, továbbá

(a) Határozzuk meg

X12

s¶r¶ségfüggvényét!

Tn2

(b) Mutassuk meg, hogy

Gamma(n/2, 1/2)

statisztika egy

n

szabadságfokú

χ2 (n) =

eloszlású valószín¶ségi változó.

(c) Bizonyítsuk be, hogy

Y1 Zn := p Tn2 /n statisztika Student eloszlású! (d) Bizonyítsuk be, hogy

Zn,m := (n, m)

statisztika ságfokú

F

szabadságfokú

mTn2 nTm2 F eloszlású!

Az

(n, m)

szabad-

eloszlás s¶r¶ségfüggvénye:

n2 −1 n nΓ n+m z m 2 · fn,m (z) = n+m . n mΓ n2 Γ m2 1+ m z 2 26. Legyen

X1 , . . . , Xn+m

független standard normális eloszlású változók.

Bizonyítsuk be, hogy

Z˜n,m statisztika 27.

(n/2, m/2)

(a) Adjuk meg

Xn

Pn 2 i=1 Xi := Pn+m 2 i=1 Xi

paraméter¶ béta eloszlású!

határeloszlását (n

→ ∞),

ha

Xn

egy

n

szabadság-

fokú Stundent eloszlású valószín¶ségi változó, amely s¶r¶ségfüggvénye

Γ n+1 2 gn (x) = √ πn · Γ

n 2

x2 1+ n

− n+1 2 ,

(x > 0).

1. ELISMERETEK

6

(b) Adjuk meg ságfokú

χ

2

X√ n −n határeloszlását (n n

ha

n

egy

szabad-

(x > 0).

X1 , . . . , Xn ∼ N (0, 1) fae változók, továbbá T := Z1 := X1 /T . Bizonyítsuk be, hogy Z12

(b) Legyen

Z := X/T .

29. Legyenek

n

x

x 2 −1 e− 2 , n 2 2 Γ( n2 )

(a) Legyen

Xn ?

Xn

eloszlású valószín¶ségi változó, amely s¶r¶ségfüggvénye

fn (x) =

28. * Legyen

→ ∞),

Bizonyítsuk be, hogy

Z

és

és

T2

T2

p X12 + . . . + Xn2 .

is függetlenek!

is függetlenek!

X1 , . . . , Xn ∼ χ2 (m) fae változók. Milyen eloszlású X1 + . . . +

2. Statisztikai alapfogalmak 1. Az 1. táblázat néhány diák testsúlyát és magasságát tartalmazza. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

testsúly (kg)

90

45

70

45

40

54

60

53

53

58

56

78

magasság (cm)

175

160

180

160

157

165

168

161

157

175

158

187

1. táblázat.

(a) Adjuk meg a testsúly empirikus eloszlásfüggvényét! (b) Adjuk meg a testsúly tapasztalati mediáját! (c) Határozzuk meg a testsúly empirikus várható értékét, empirikus szórását és korrigált empirikus szórását! (d) Határozzuk meg a testsúly és testmagasság empirikus kovarianciáját! (e) Adjuk meg az empirikus korrelációt! Jellemezzük a kapcsolat szorosságát! 2. Igazoljuk, hogy a tapasztalati korreláció

−1

és 1 közé esik. Mikor tel-

jesül valamelyik egyenl®ség? 3. Legyen

X1 , . . . , X n

független,

p

paraméter¶ Bernoulli eloszlásból vett

statisztikai minta. (a) Milyen eloszlású

Pn

i=1

k -adik

(b) Adjuk meg a

Xi ? empirikus (tapasztalati) momentum elos-

zlását! (c) Adjuk meg a második empirikus (tapasztalati) centrális momentum eloszlását! 4. Legyen

X1 , . . . , Xn független, λ1 , . . . , λn paraméter¶ Poisson eloszlásból

vett minta. (a) Milyen eloszlású (b) Adjuk meg

X

Pn

i=1

Xi ?

eloszlását!

2. STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK

5. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 )

8

független minta. Milyen eloszlású

X?

(Adjuk meg a várható értéket és a szórásnégyzetet is!)

X1 , . . .√ , Xn ∼ U (−1, 1) n · X? eloszlású

6. Legyen lyen

7. Legyen

X1 , . . . , X n X1 , . . . , X n

λ X?

független,

vett minta. Milyen eloszlású 9. Legyen

f (x) = √12 e− √ n · X? eloszlású

√

független minta

nyel. Aszimptotikusan milyen 8. Legyen

független minta. Aszimptotikusan mi-

2|x|

s¶r¶ségfüggvén-

paraméter¶ exponenciális eloszlásból

X1 , . . . , Xn+1 független, λ paraméter¶ exponenciális eloszlásból Yk := X1 + . . . + Xk , ahol k = 1, . . . , n + 1.

vett minta, továbbá

(a) Bizonyítsuk be, hogy az

Y1 , . . . , Y n

valószín¶ségi változók együttes

eloszlása amellett a feltétel mellett, hogy

Yn+1 = θ,

éppen a

[0, θ]

intervallumon egyenletes eloszlás rendezett mintájának az eloszlása. (b) Bizonyítsuk be, hogy az

Yk /Yn+1 eloszlása éppen a [0, 1] interk -adik rendezett mintaelemének az

vallumon egyenletes eloszlás eloszlása. (c) Bizonyítsuk be, hogy az

Y1 /Yn+1 , . . . , Yn /Yn+1 valószín¶ségi vál[0, 1] intervallumon egyenletes

tozók együttes eloszlása éppen a

eloszlás rendezett mintájának az együttes eloszlása. 10. Legyen

X1∗ < . . . < Xn∗

a

[0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett

rendezett minta. (a) Igazoljuk, hogy

X1∗ , . . . , Xn∗

(b) Igazoljuk, hogy

1 − Xn∗ , . . . , 1 − X1∗

nem függetlenek! szintén a

[0, 1]

intervallumon

egyenletes eloszlásból vett rendezett minta! (c) Milyen eloszlású

ahol

1 ≤ k < n?

X1 , . . . , Xn független, az [a, b] intervallumon egyenletes eloszlásX1∗ < . . . < Xn∗ pedig a bel®le gyártott rendezett minta. Adjuk meg Xk eloszlás- és s¶r¶ségfüggvényét, valamint várható értékét! √ Legyen X1 , . . . , Xn független minta az F (x) = x (0 < x < 1) elos∗ zlásfüggvénnyel. Adjuk meg Xk s¶r¶ségfüggvényét!

11. Legyen

ból vett minta,

12.

∗ Xk+1 − Xk∗ ,


9

X1∗ < . . . < Xn∗ a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlásból vett ∗ ∗ rendezett minta, és Y1 < . . . < Yn az el®z®t®l független, szintén a [0, 1]

13. Legyen

intervallumon egyenletes eloszlásból vett rendezett minta. Adjuk meg Xk∗ − Yk∗ s¶r¶ségfüggvényét (1 ≤ k ≤ n)! 14. Legyen

X1∗ , . . . , Xn∗

λ

a

paraméter¶ exponenciális eloszlásból vett ren-

dezett minta. (a) Adjuk meg a

k -adik (1 ≤ k ≤ n) mintaelem eloszlás- és s¶r¶ségfüg-

gvényét! (b) Milyen eloszlású 15. Legyen

X1 , . . . , X n

∗ Xk+1 − Xk∗ ,

független, a

ahol

1 ≤ k < n?

(θ − 12 , θ + 12 )

intervallumon egyenletes

eloszlású minta. Legyen

X1∗ + Xn∗ . T (X) = 2 Határozzuk meg

T (X)

16. Igazoljuk, hogy ha

eloszlásfüggvényét!

n > 1,

akkor

T (X) = X1

semmilyen paraméterre

sem elégséges! 17. Igazoljuk, hogy a rendezett minta minden paraméterre elégséges statisztika! 18. Elégséges statisztika-e 19. Legyenek

θ paraméterre Lθ (X) (ahol Lθ a likelihood-függvény)?

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ Poisson eloszlású valószín¶sé-

gi változók. (a) Igazoljuk, hogy (b) Adjunk a 20. Legyen

X

elégséges statisztika a

λ

paraméterre!

λ paraméterre a fentit®l különböz® elégséges statisztikát!

X1 , . . . , X n

független,

λ

paraméter¶ exponenciális eloszlásból

vett statisztikai minta. (a) Igazoljuk, hogy (b) Adjunk a 21. Legyen minta.

Pn

i=1

Xi

elégséges statisztika a

λ

paraméterre!

λ paraméterre a fentit®l különböz® elégséges statisztikát!

X1 , . . . , Xn független, p paraméter¶ geometriai Adjunk p paraméterre elégséges statisztikát!

eloszlásból vett


22. Legyen

23.

X1 , . . . , X n

paraméter¶ binomiális eloszlásból

vett minta. Adjunk

p

X1 , . . . , X n

(3, p) paraméter¶ negatív binomiális az p paraméterre elégséges statisztikát!

paraméterre elégséges statisztikát!

független,

vett minta. Adjunk 24.

(5, p)

független,

10

eloszlásból

X1 , . . . , Xn független, θ = (r, p) paraméter¶ negatív binomiális eloszlásból vett minta. A θ paraméterre elégséges statisztika-e a mintaátlag?

25. Legyen

X1 , . . . , X n

vett statisztikai minta. 26. Legyen

X1 , . . . , X n

(2, λ) paraméter¶ Gamma eloszlásból Adjunk λ paraméterre elégséges statisztikát!

független,

független,

vett statisztikai minta. Adjunk 27. Legyen

X1 , . . . , X n

független,

28. Legyen

X1 , . . . , X n

független

(α, 2) paraméter¶ Gamma eloszlásból α paraméterre elégséges statisztikát!

θ = (α, λ) paraméter¶ Gamma eloszlásból vett statisztikai minta. Adjunk θ paraméterre elégséges statisztikát! µ-re

N (µ, 1)

eloszlásból vett minta. Adjunk

elégséges statisztikát!

29. Legyen minta. 30. Legyen

X1 , . . . , Xn független, m szabadságfokú χ2 eloszlásból vett statisztikai Adjunk m-re elégséges statisztikát! X1 , . . . , X n

független,

θ = (a, b) paraméter¶ Béta eloszlásból θ paraméterre elégséges statisztikát!

vett statisztikai minta. Adjunk 31. Legyen X1 , . . . , Xn független σ 2 -re elégséges statisztikát! 32. Legyen 2

(µ, σ )

X1 , . . . , X n

független

N (0, σ 2 )


N (µ, σ 2 )


paraméterre elégséges statisztikát!

33. Legyen θ−1

X1 , . . . , Xn független, azonos eloszlásból vett minta az fθ (x) = (0 < x < 1) s¶r¶ségfüggvénnyel. Adjunk a θ-ra elégséges statisztikát!

34. Legyen 2 α−1

X1 , . . . , Xn független, azonos eloszlású minta az fα (x) = 2αx(1− (0 < x < 1) s¶r¶ségfüggvénnyel. Adjunk a α-ra elégséges

θx

x)

statisztikát!

[0, θ] intervallumon egyenletes elos∗ zlásból vett minta! Igazoljuk, hogy Xn a θ paraméterre elégséges statiszti-

35. Legyenek ka!

X1 , . . . , X n

független, a


X1 , . . . , Xn független, a [−α, α] intervallumon egyenletes elosvett minta! Adjunk a α-ra elégséges statisztikát!

36. Legyenek zlásból

11

3. Becsléselmélet 1. Tekintsünk egy 0 várható érték¶ 1 szórásnégyzet¶ eloszlást. Hány mintaelem kell a várható érték becsléséhez, hogy

P(|X| > 0,1) < 0,1

legyen, ha

(a) a Csebisev egyenl®tlenséget alkalmazzuk? (b) a centrális határeloszlástételt alkalmazzuk?

θ paraméternek. Tekintsünk egy tetsz®leges S statisztikát. Igaz-e, hogy E(T |S) is torzítatlan becslése θ -nak?

2. Tegyük fel, hogy

3. Legyen

X

T

statisztika torzítatlan becslése

valószín¶ségi változó, amelynek létezik a szórása.

(a) Tegyük fel, hogy ismert az E(X) = θ várható érték. Igazoljuk, Pn 1 2 hogy S1 = i=1 (Xi −θ) torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek! n Mit mondhatunk a konzisztenciáról?

Pn 1 i=1 (Xi −X) emn pirikus szórásnégyzet nem torzítatlan becslése a szórásnégyzetnek!

(b) Az (a) pont segítségével igazoljuk, hogy

Sn2 =

Készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

X1 , . . . , Xn független, p paraméter¶ geometriai eloszlású minta, n−1 ? továbbá legyen Y = X1 + . . . + Xn . Torzítatlan becslése-e p-nek Y −1

4. Legyen

5. Legyen

X1 , . . . , X n

[θ + 12 , θ − 12 ]

független, a

intervallumon egyenletes

eloszlású minta. (a)

X

torzítatlan becslése-e

θ-nak?

Ha nem, készítsünk segítségével

torzítatlan becslést! (b)

Xn∗ −

1 torzítatlan becslése-e 2 ségével torzítatlan becslést!

(c) Igazoljuk, hogy becslései 6. Legyen

X és Xn∗ − 12

θ-nak?

Ha nem, készítsünk segít-

is (gyengén illetve er®sen is) konzisztens

θ-nak!

X1 , . . . , X n

független, a

[0, θ] intervallumon egyenletes eloszlású

minta. (a) Igazoljuk, hogy

2X

torzítatlan becslés

θ-ra!

3. BECSLÉSELMÉLET

13

θ/2-re

(b) Mivel a

szimmetrikus az eloszlásunk, a medián egybeesik

a várható értékkel. Tegyük fel, hogy

n

páratlan, és készítsünk a

tapasztalati medián segítségébel torzítatlan becslést (c)

X1


θ-ra!

θ-nak?


θ-nak?


θ-nak?


torzítatlan becslést! (d)

X1∗


torzítatlan becslést! (e)

Xn∗


torzítatlan becslést! (f ) A fenti becslések közül melyik konzisztens? (g) Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a fenti torzítatlan becslések szórásnégyzetét! Melyik a leghatásosabb?

In (θ) = nI1 (θ)

(h) Teljesül-e az

összefüggés? Teljesül-e minden eset-

ben a Cramér-Rao egyenl®tlenség? (i) Igazoljuk, hogy

Xn∗

elégséges statisztika

θ-ra.

Segítségével black-

wellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket! 7. Legyen

X1 , . . . , X n

független, a

[−θ, θ]

intervallumon egyenletes elos-

zlású minta. (a) Adjunk

θ-ra

torzítatlan becslést a rendezett minta segítségével!

(b) Adjunk

θ-ra

torzítatlan becslést

|X|

segítségével!

(c) Konzisztensek-e a fenti becslések? 8. Legyenek

X1 , X2 , X3 rendre N (µ, 1), N (µ, 4), N (µ, 1/4) eloszlású független

mintaelemek. (a) Milyen

a, b, c

értékekre lesz

aX1 + bX2 + cX3

a, b, c

választással kapjuk meg a leghatásosabb becslést a

torzítatlan becslése

µ-nek? (b) Milyen

torzítatlanok közül? 9. Tekintsük az

X1 , . . . , X n

független,

p

paraméter¶ Bernoulli eloszlású

mintát és számítsuk ki a Fisher-információját! Tekintsük az független mintát is, amely háttérváltozója valószín¶séggel

−1

p

Y1 , . . . , Y n 1−p

valószín¶séggel 1,

értéket vesz fel. Számítsuk ki ennek is a Fisher-

információját és vessük össze az el®bb meghatározott információval!

3. BECSLÉSELMÉLET

X1 , . . . , X n

10. Legyen

(a) Számítsuk ki

14

független,

p

paraméter¶ Bernoulli eloszlású minta.

D2p (X)-ot is! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl®tlenség

alapján?

p-re

(b) Szeretnénk

torzítatlan becslést adni. Mekkora legyen

n,

ha

azt szeretnénk, hogy becslésünk szórása ne haladja meg 0,03-at

p

bármely értéke esetén sem? (c) Adjunk

p-re

er®sen konzisztens becslést!

T torzítatlan becslést p(1 − p)-re! p-re, majd adjunk a Rao-BalckwellKolmogorov tétel segítségével legalább olyan hatásos becslést p(1− p)-re, mint T !

(d) Adjunk

X1

és

X2

függvényeként

Adjunk elégséges statisztikát

4λ paraméter¶ Poisson eloszlásból vett független minta. Milyen a és b értékekre lesz aX +bY torzítatlan becslése λ-nak? Melyik a és b választással kapjuk ezek közül a

11. Legyen

X1 , . . . , X n

egy

λ, Y 1 , . . . , Y n

pedig

leghatásosabb becslést? 12. Legyen

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ exponenciális eloszlású minta.

(a) Számoljuk ki a minta Fisher-információját! (b)

1/X

ségével (c) Az

λ paraméternek. Készítsünk segítés számoljuk ki η ˆ szórásnégyzetét!

nem torzítatlan becslése a

X

ηˆ torzítatlan

becslést

elégséges statisztika segítségével blackwellizáljuk a fenti

torzítatlan becslést! (Ismert, hogy az így kapott becslés hatásos becslése

λ-nak.

Ellentmond-e ez a CramérRao egyenl®tlen-

ségnek?) (d)

1/X

konzisztens becslése-e

λ

paraméternek?

Pn

1 (e) Mutassuk meg, hogy i=1 I(Xi ≥ 1) torzítatlan és konzisztens n −λ −λ becslése e -nak, de nem éri el az e -ra vonatkozó információs határt! 13. Legyen

X1 , . . . , Xn független, (2, λ) paraméter¶ Gamma eloszlású minta.

(a) Torzítatlan becslése-e

X1

statisztika a

1/λ-nak?

Ha nem, készít-

sünk segítségével torzítatlan becslést! (b) Torzítatlan becslése-e

1/X1 statisztika a λ paraméternek? Ha nem,

készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

3. BECSLÉSELMÉLET

15

1/X

(c) Torzítatlan becslése-e

statisztika a

λ paraméternek? Ha nem,

készítsünk segítségével torzítatlan becslést!

Pn

i=1 Xi elégséges statisztika a λ paraméterre! Segítségével blackwellizáljuk a fenti torzítatlan becsléseket!

(d) Igazoljuk, hogy

14. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, 1)

(a) Igazoljuk, hogy

X1

független minta.

torzítatlan, de nem konzisztens becslése

µ-nek!

Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl®tlenség alapján? (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! Számítsuk ki ot is! Igazoljuk, hogy

X

(c) Torzítatlan becslése-e

hatásos becslése

µ2 -nek X1 X2 ?

D2µ (X)-

µ-nek!

Mennyi a szórásnégyzete?

Mondhatunk-e valamit a CramérRao-egyenl®tlenség alapján? (d) Torzítatlan becslése-e

µ2 -nek X

2

? Ha nem, tegyük azzá, és számít-

suk ki a szórásnégyzetét!

X1 , . . . , Xn ∼ N (0, σ 2 ) független minta. Pn 1 2 2 2 Igazoljuk, hogy S1 = i=1 Xi hatásos becslése σ -nek! n

15. Legyen (a)

(b) Igazoljuk, hogy a korrigált empirikus szórásnégyzet nem hatásos 2 becslése a σ paraméternek! 16. Válasszunk a

{1, 2, . . . , θ} halmazból egymástól függetlenül találomra n θ maximum likelihood becslését! Torzítatlan-e?

darab számot. Vegyük

Konzisztens-e? Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 17. Legyen

X1 , . . . , X n

(a) Vegyük

független,

λ

paraméter¶ Poisson eloszlású minta.

λ maximum likelihood becslését! Minden realizáció mellett

létezik-e ML becslés? (b) Igazoljuk, hogy a maximum likelihood módszerrel kapott becslés torzítatlan és számítsuk ki a szórásnégyzetét! Mit mondhatunk a CramérRao-egyenl®tlenség alapján? (c) Igazoljuk, hogy

X1

is torzítatlan becslése

λ-nak!

Az

X

elégséges

statisztika (ld. 2. feladatsor 19.(a) feladat) segítségével blackwellizáljuk az

X1

becslést!

(d) Torzítatlan becslése-e

λ-nak az empirikus szórásnégyzet? Ha nem,

tegyük azzá! Hatásos becslést kapunk-e így?

3. BECSLÉSELMÉLET

16

(e) A fenti becslések közül melyik konzisztens? 18. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ Bin(5, p).

(a) Vizsgáljuk meg a maximum likelihood és a momentumok módszerével kapott becslések torzítatlanságát és hatásosságát! (b) Számítsuk ki a minta Fisher-információját! 19. A kékbálnaállomány becslésére a következ® módszert alkalmazták: néhány napon át kb.

30

cm hosszú fémhengereket l®ttek be a bálnák zsír-

párnájába, közvetlenül a b®r alá. Feljegyezték, hogy hány bálnát jelöltek meg

(M ).

Ezután felszólították a bálnahalászhajókat, hogy adják

meg, hány bálnát fogtak

(n),

s azok közt hány volt megjelölve

Adjunk maximum likelihood becslést a bálnák 20. Egy céllöv®

N

(k).

számára!

p valószín¶séggel talál el egy célpontot egy lövésb®l. Adjunk p-re, ha

maximum-likelihood becslést (a) a céllöv®

n

kísérletb®l

(b) az els® találat

k

k -adikra

találatot ért el!

következett be!

21. Adjunk becslést a negatív binomiális eloszlás paramétereire momentumok módszerével!

[1, Θ] intervallumon egyenletes eloszlásból származó mintát! Adjunk maximum likelihood becslést Θ-ra az x1 , . . . , xn realizáció segít-

22. Tekintsünk az ségével! 23. Legyen

X1 , . . . , X n

független, a

√ [0, θ]

intervallumon egyenletes elos-

zlású minta. Adjunk maximum likelihood becslést

θ-ra,

majd a kapott

becslést tegyük torzítatlanná! 24. Tekintsünk az

n

[−Θ, Θ]

intervallumon egyenletes eloszlásból származó

elem¶ mintát! Adjunk becslést

Θ-ra

maximum likelihood elv és mo-

mentumok módszere segítségével is! 25. Határozzuk meg egy ismeretlen helyzet¶ 1 hosszúságú intervallum felez®pontjának maximum likelihood becslését! Adjunk becslést a momentumok módszerével is!

3. BECSLÉSELMÉLET

26. Tekintsünk egy

n

17

elem¶ független,

zlású mintát. Az likelihood becslést

λ

paraméter¶ exponenciális elos-

x1 , . . . , xn realizáció segítségével adjunk maximum λ-ra! Adjunk becslést a momentumok módszerével

is! 27. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású

t

η/t

paraméterrel, ha

h®mérsékleten m¶ködtetjük. (a) Hogyan függ a várható élettartam a

t

h®mérséklett®l?

n meggyelést különböz® t1 , t2 , . . . , tn h®mérsékleten végeztünk és x1 , x2 , . . . , xn élettartamot gyeltünk meg. Adjunk maximum likelihood becslést η -ra!

(b) Tegyük fel, hogy

28. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ Gamma(α, λ)

(a) Tegyük fel, hogy

α

független minta.

ismert. Adjunk maximum likelihood becslést

λ-ra! (b) * Adjunk maximum likelihood becslést a két paraméterre! (A 0 (x) d log Γ(x) = ΓΓ(x) digamma függvényt tekinthetjük isΨ(x) = dx mertnek.)

n elem¶ független, N (µ, σ 2 ) eloszlású mintát. Az x1 , . . . , xn 2 realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (µ, σ )-

29. Tekintsünk egy

re! Adjunk becslést a momentumok módszerével is! 30. Legyen

( fα (x) = ahol

α > 0

2α · x(1 − x2 )α−1 , 0

ha

0 < x < 1,

különben

n elem¶ független x1 , . . . , xn realizáció segítbecslést α-ra!

ismeretlen paraméter. Tekintsünk egy

mintát közös

fα (x)

s¶r¶ségfüggvénnyel. Az

ségével adjunk maximum likelihood 31. Legyen

( fα (x) =

ha

0 ≤ x ≤ 1,

különben

n elem¶ független fα (x) s¶r¶ségfüggvénnyel. Az x1 , . . . , xn realizáció segítségével adjunk θ -ra maximum likelihood becslést, illetve adjunk becslést

ahol

θ > 0

θxθ−1 , 0


mintát közös

a momentumok módszerével is!

3. BECSLÉSELMÉLET

18

32. Legyen

( fϑ (x) = ahol

ϑ > 0

2ϑ2 x−3 , 0

x ≥ ϑ,

ha

különben

n elem¶ független x1 , . . . , xn realizáció segítbecslést ϑ-ra!


mintát közös

fϑ (x)

s¶r¶ségfüggvénnyel. Az

ségével adjunk maximum likelihood 33. Legyen

 2  3x , 2η 3 fη (x) =  0

− η ≤ x ≤ η,

,

különben

n mintát közös fη (x) s¶r¶ségfüggvénnyel. Az x1 , . . . , xn ségével adjunk maximum likelihood becslést η -ra! ahol

(η > 0)

ha


34. Tekintsük az

 p  pa , xp+1 fa,p (x) =  0

ha

elem¶ független realizáció segít-

x ≥ a,

különben

a, p > 0 paraméterek. Az x1 , . . . , xn realizáció segítségével adjunk maximum likelihood becslést θ = (a, p)re! Tegyük fel, hogy p > 2. Adjunk becslést θ -ra a momentumok móds¶r¶ségfüggvény¶ Pareto-eloszlást, ahol

szerével!

fα,β (x) = αe−α(x−β) (x ≥ β) s¶r¶ségfüggvény¶ eloszlásból (α pozitív, β valós). Adjuk becslést (α, β)-

35. Legyen

X1 , . . . , X n

független minta az

ra maximum likelihood módszerrel, illetve momentumok módszerével! 36. Tekintsünk egy kételem¶ független, mintát! A

(µ, σ)

(µ, 1) paraméter¶ Cauchy eloszlású

paraméter¶ Cauchy eloszlás s¶r¶ségfüggvénye:

fµ,σ (x) =

π(σ 2

σ . + (x − µ)2 )

(a) Adjunk maximum likelihood becslést

µ-re az x1 , x2 realizáció segít-

ségével! (b) Tudunk-e becslést adni momentumok módszerével? Használjuk ki, hogy 1-nél kisebb momentumok is léteznek!

3. BECSLÉSELMÉLET

37. Legyen

X1 , . . . , X n

19

független,

minta. Adjunk becslést

[a, b]

(a, b)-re

intervallumon egyenletes eloszlású

a momentumok módszerével! Adjunk

maximum likelihood becslést is! 38. Legyen X1 , . . . , Xn ∼ X)2 . Adjunk becslést

P oisson(λ) független minta. Legyen Yi = (Xi − λ-ra az Y1 , . . . , Yn minta alapján momentumok

módszerével! Számítsuk ki a kapott becslés szórását!

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ) független minta. Szerkesszünk 1−ε megbízhatósági szint¶ kondencia intervallumot µ-re ismert és ismeretlen szórás esetén is! Használjuk segítségül µ torzítatlan, konzisztens bec-

39. Legyen

slését! Hogyan változik az intervallum hossza a mintaelemszám növelésével?

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 )

független minta. Adjunk 1 − X−µ √ , bízhatósági szint¶ kondencia intervallumot σ -ra (a) σ/ n segítségével!

40. Legyen

ε meg2 n (b) nS σ2

41. Tekintsük az 1. táblázat adatait. (a) Feltételezzük, hogy a testsúly normális eloszlást követ 15 kg szórással. Adjunk 95%-os kondencia intervallumot a testsúly várható értékére! (b) Feltételezzük, hogy a testmagasság normális eloszlást követ. Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely a magasság várható értékét 0,99 valószín¶séggel tartalmazza! (c) Adjunk egy 95%-os kondencia intervallumot a magasság szórására! (d) Mit mondhatunk, ha nem tesszük fel a testsúlyról és a testmagasságról, hogy normális eloszlásúak? 42. Egy cukorgyárban kockacukrokat gyártanak. Tegyük fel, hogy a cukrok élhossza közelít®leg normális eloszlású. Megmérjük 16 cukor élhosszúságát. Az adatok átlaga 10,06 mm, tapasztalati szórása 0,46 mm. Adjunk 95% 3 megbízhatósági szint¶ kondencia intervallumot µ -re (azaz egy átlagos kockacukor térfogatára)!

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ1 , σ 2 ) és Y1 , . . . , Ym ∼ N (µ2 , σ 2 ) független minták. Adjunk 1 − ε szint¶ kondencia intervallumot µ1 − µ2 -re X − Y

43. Legyenek

segítségével!

3. BECSLÉSELMÉLET

20

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ1 , σ12 ) és Y1 , . . . , Ym ∼ N (µ2 , σ22 ) független Adjunk 1 − ε szint¶ kondencia intervallumot σ1 /σ2 -re!

44. Legyenek minták. 45. Legyen

X1 , . . . , X n

[0, θ] intervallumon egyenletes eloszlás1 − ε megbízhatósági szint¶ kondencia inter(a) X1 + X2 , (b) Xn∗ segítségével! független, a

ból vett minta. Adjunk vallumot

θ-ra

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ Poisson eloszlású minta. Adjunk λ-ra 1 − ε megbízhatósági szint¶ kondencia intervallumot Pn (a) i=1 Xi segítségével!

46. Legyen

(b) a Csebisev-egyenl®tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel! 47. Legyen Adjunk (a)

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ exponenciális eloszlású minta. λ-ra 1 − ε megbízhatósági szint¶ kondencia intervallumot

Pn

i=1

Xi

segítségével!

(b) a Csebisev-egyenl®tlenség felhasználásával! (c) a centrális határeloszlás-tétellel!

n-szer egy kísérletet, legyen az A esemény bekövetkezéseinek száma Kn . Szerkesszünk 1 − ε megbízhatósági szint¶ kondencia intervallumot p = P(A)-ra n = 10 és n = 10000 esetén is!

48. Végezzünk el

(θ − 1/2, θ + 1/2) intervallumon egyenletes eloszlású minta. Adjunk 1 − ε megbízhatósági szint¶ kondencia ∗ ∗ intervallumot θ -ra T (X) = (X1 + Xn )/2 segítségével! Használjuk fel a

49. Legyen

X1 , . . . , X n

független, a

2. feladatsor 15. feladatát! 50. Legyen

X

egy egyelem¶ minta, s¶r¶ségfüggvénye

1 − ε megbízhatósági paraméterre X segítségével!

erkesszünk

eθ−x ,

ha

x > θ.

Sz-

szint¶ kondencia intervallumot a

θ

4. Hipotézisvizsgálat

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ) független minta. Tekintsük a H0 : σ = σ0 és H1 : σ < σ0 hipotéziseket, és azt a próbát, amelyre Xk = {x : nSn2 /σ02 > Pc} n 1 2 2 (Sn = i=1 (Xi − X) az empirikus szórásnégyzet). Torzítatlan-e az n

1. Legyen

adott próba? 2. Legyen

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ exponenciális eloszlású minta. ε terjedelm¶ próbát H0 : λ = λ0 X1∗ segítségével!

és

H1 : λ 6= λ0

ε terjedelm¶ 1/X alapján!

és

H1 : λ 6= λ0

(a) Konstruáljunk hipotézisekre

(b) Konstruáljunk hipotézisekre

próbát

H0 : λ = λ0

(c) A fenti próbák közül melyik konzisztens? 3. Valódi (θ ) selejtarányra szeretnénk min®ségellen®rzést. Vegyünk egy

n = 25 elem¶ független Bernoulli-mintát: X1 , . . . , Xn . Konstruáljunk ε terjedelm¶ (randomizált) próbát a H0 : θ = θ0 és H1 : θ > θ0 választáshoz! Határozzuk meg a másodfajú hibát! 4. Legyen (a) A

X1

egy egyelem¶,

H0 : p = 0,5

vs.

p

paraméter¶ geometriai eloszlású minta.

H1 : p = 0,9

esetén a mekkora a terjedelme

annak a véletlenített próbának, amelynek er®függvénye

 k≥3  0 0,5 k = 2 ? Ψ(X1 ) =  1 k=1 Adjuk meg a mádosfajú hiba valószín¶ségét is!

pontosan ε terjedelm¶ (randomizált) próbát a H0 : H1 : p < p0 választáshoz! Torzítatlan-e a konstruált

(b) Konstruáljunk

p = p0

és

próba?

X1 , . . . , Xn független, λ paraméter¶ exponenciális eloszlású minta. Konstruáljuk meg a H0 : λ = λ0 és H1 : λ = λ1 egyszer¶ alternatívához tartozó ε terjedelm¶ leger®sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma

5. Legyen

segítségével!

4. HIPOTÉZISVIZSGÁLAT

6.

22

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, 1) független minta. Konstruáljuk meg a H0 : µ = µ0 és H1 : µ = µ1 egyszer¶ alternatívához tartozó ε terjedelm¶ leger®sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével!

7.

X1 , . . . , Xn ∼ N (0, σ 2 ) független minta. Konstruáljuk meg a H0 : σ = σ0 és H1 : σ = σ1 egyszer¶ alternatívához tartozó ε terjedelm¶ leger®sebb próbát a Neyman-Pearson alaplemma segítségével!

8. 5 elem¶ mintát feltételezve konstruáljuk meg a Bernoulli-eloszlás

H0 : p = 1/2 és H1 : p = 1/4 egyszer¶ pontosan 0,2 terjedelm¶, leger®sebb próbát!

paraméterére vonatkozó ternatívához tartozó 9. Legyen

X1 , . . . , X n

p paraméter¶ geometriai eloszlású minta. H0 : p = p0 és H1 : p = p1 egyszer¶ alternatívához

független,

Konstruáljuk meg a tartozó

p

al-

pontosan ε

terjedelm¶, leger®sebb próbát!

10. Írjuk fel a likelihood-hányados próba statisztikáját, ahol (a) X

∼ geom(p)

(b) X

∼ P oisson(λ)

(c) X

∼ exp(λ)

és

H0 : λ = λ0

(d) X

∼ U (a, b)

és

H0 : b = b0

és

H0 : p = p0 és

vs

H0 : λ = λ0 vs vs

H1 : p 6= p0 . vs

H1 : λ 6= λ0 .

H1 : λ 6= λ0 . H1 : b 6= b0 .

(e) Teljesülnek-e a fenti esetekben a regularitási feltételek?

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 ) független minta, mindkét paraméter ismeretlen (n elegend®en nagy). Legyen H0 : σ = 1 és H1 : σ 6= 1.

11. Legyen

Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm¶ likelihood-hányados próbát! 12. Legyenek

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ1 , σ 2 )

és

Y1 , . . . , Ym ∼ N (µ2 , σ 2 )

független

minták. (a) Írjuk fel a

H0 : σ = σ0

és

H1 : σ 6= σ0

hipotézisekhez konstruált

likelihood-hányados próba statisztikáját! (b) Írjuk fel a

H0 : µ1 = µ2

és

H1 : µ1 6= µ2


likelihood-hányados próba statisztikáját, ha (c) Írjuk fel a

H0 : µ1 = µ2

és

H1 : µ1 6= µ2

σ

ismert!


likelihood-hányados próba statisztikáját, ha

σ

ismeretlen!


23

13. Az 1. táblázatbeli adatok alapján Teszteljük azt a nullhipotézist, hogy a testsúly várható értéke 45 kg, ha (a) a szórás ismeretlen! (b) a szórás 15 kg! (c) Fel kell-e tennünk a normalitást? 14. Igazoljuk, hogy az

ε

erkesztett

1−ε

u-próba pontosan akkor foX segítségével µ-re sz-

terjedelm¶ (kétoldali)

gadja el a nullhipotézist, ha

µ0

benne van az

szint¶ kondencia intervallumban!

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ02 ) független minta, (σ0 ismert). Legyen H0 : µ = µ0 és H1 : µ 6= µ0 . Konstruáljunk ezekhez 0,05 terjedelm¶ likelihood-hányados próbát! Vessük össze a kapott próbát az u-próbával

15. Legyen

(két- és egyoldali változatával is)! 16. Legyen

(X1 , Y1 ), . . . (Xn , Yn ) ∼ N (m, C), ahol 2 σ1 0 > . m = (µ1 , µ2 ) és C = 0 σ22

Alkalmazzunk önkontrollos vizsgálatot a

H0 : µ1 = µ2

vs

H1 : µ1 6= µ2

hipotézisek vizsgálatára ismert szórások esetén, és vessük össze a kapott tesztet a kétmintás 17. Legyen

u-próba

kétoldali változatával!

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 )

független minta. Tekintsük a t-próba

statisztikáját:

t(X) =

X − µ0 √ Sn∗ / n

és a következ® (likelihood-hányados próbához tartozó) statisztikát:

λn (X) =

! Pn 2 n/2 (X − X) j Pnj=1 . 2 j=1 (Xj − µ0 )

Igazoljuk, hogy

λn (X) =

1 1+

t2 (X) n−1

!n/2 .

Mutassuk meg, hogy ez azt jelenti, hogy a fenti likelihood-próba a tpróba kétoldali változatával ekvivalens!


24

18. Határozzuk meg az egyoldali

u-próba

er®függvényét! Igazoljuk, hogy a

próba torzítatlan és konzisztens is! Hogyan változik a próba ereje, ha

(a) ε, (b) θ − θ0 , (c) n

n®?

19. Ha kétdimenziós normális eloszlású mintánk van, ahol a komponensek függetlenek, azonos szórásúak, akkor a komponensek várható értékeinek egyenl®ségének tesztelésére a páros és a kétmintás

t-próbát

is alka-

lmazhatunk. Írjuk fel a két próba er®függvényt! Ha az empirikus kovariancia 0, mondhatjuk-e, hogy a kétmintás

t-próba

er®sebb?

20. Egy, az 1. táblázatbelit®l különböz® csoportban a diákok magassága rendre 176, 165, 145, 177, 155, 175, 164, 166, 148, 163, 145, 161, 170 cm. Azt a nullhipotézist szeretnénk tesztelni, hogy a két csoport magasságának várható értéke megegyezik. Alkalmazható-e a kétmintás tpróba? Ha igen, alkalmazzuk, ha nem, milyen próbát használhatunk helyette?

n = 1200-szor dobunk. Az egyes oldalak gyakorisáν1 = 184, ν2 = 212, ν3 = 190, ν4 = 208, ν5 = 212, ν6 = 194.

21. Egy dobókockával gai:

Teszteljük 90%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy a dobókocka szabályos! Hogyan változik az eredmény, ha és

νi -k

n = 12000 lenne

10-szereseik? Miért?

22. Tekinthet®-e az 1. táblázatban a testsúly normális eloszlásúnak 5%-os szignikancia-szinten? 23. Békéscsabán 80 évig gyelték az októberi középh®mérsékletet. Az adatok gyakorisági eloszlása az alábbi:

◦ <11 C

◦ 11-12 C

◦ 12-13 C

◦ 13-14 C

◦ >14 C

16

13

22

15

14

Igazolható-e 0,05 szinten az adatok normális eloszlás szerinti megoszlása? Milyen próbát alkalmaznánk, ha ismernénk a 80 év pontos októberi középh®mérsékleteit? 24. Egy kísérlet során kiderült, hogy két egyetemi csoportban a úk közül 7-en dohányoznak, 8-an nem. A lányok közül 28 a dohányos és 7 nem az. Hogyan tudnánk ezekb®l az adatokból eldönteni, hogy az egyetemisták esetében a úk vagy a lányok között magasabb a dohányzók aránya (5%-os szignikancia-szinten)? Mi itt a nullhipotézis?


25

25. Egy társaságban 20 dohányzó fér, 10 nemdohányzó fér, 10 dohányzó n® és 10 nemdohányzó n® van. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten, hogy a nem és a dohányzás függetlenek! 26. Igazoljuk, hogy a függetlenségvizsgálatra vonatkozó

χ2

próba becslés2 es változata a diszkrét minták homogenitásvizsgálatára vonatkozó χ próba általánosítása!

27. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok mediánja 170 cm! 28. Teszteljük 5%-os szignikancia-szinten azt a nullhipotézist, hogy az 1. táblázatbeli magasságok és a 20. feladatbeli adatok azonos eloszlásból származnak! 29. Legyenek

i,j -t

X1 , . . . , Xn és Y1 , . . . , Yn független, 0 mediánú minták. Deniáljuk

a következ®képpen:

( i,j = Feltehetjük, hogy próba

R=

1, 0

ha ha

Xi < Yj , Xi > Yj .

P(Xi = Yj ) = 0. Számítsuk ki a kétmintás Wilcoxon-

P

30. Tekintsük az

i,j i,j statisztikájának várható értékét és szórásnégyzetét!

(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) mintát és az rsp Spearman-féle rangko-

rrelációs együtthatót.

|rsp | ≤ 1 és egyenl®ség pontosan akkor teljesül, ha minden i 6= j párra Xi ≤ Xj az Yi ≤ Yj , illetve Yi ≥ Yj relációt vonja maga után (rsp el®jelének megfelel®en).

(a) Igazoljuk, hogy

(b) Igazoljuk, hogy ha a háttérváltozók függetlenek, akkor

X1 , X2 , . . . ∼ N (µ, σ02 ) ismert). Adjunk a H0 : µ = µ0

31. Legyen

E(rsp ) = 0.

független azonos eloszlású minta (σ0 vs.

H1 : µ = µ1 egyszer¶ alternatíva ε2 másodfajú hibával)!

eldöntésére szekvenciális eljárást (ε1 els®fajú és Adjuk meg a várható lépésszámokat!

X1 , X2 , . . . ∼ B(p) független azonos Bernoulli eloszlású minta. H0 : p = p0 vs. H1 : p = p1 egyszer¶ alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε1 els®fajú és ε2 másodfajú hibával)! Adjuk meg

32. Legyen

Adjunk a

a várható lépésszámokat!


26

X1 , X2 , . . . ∼ exp(λ) független azonos eloszlású minta. Adjunk a H0 : λ = λ0 vs. H1 : λ = λ1 egyszer¶ alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε1 els®fajú és ε2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható

33. Legyen

lépésszámokat!

5. Többváltozós módszerek 1. Igazoljuk, hogy egy többdimenziós normális eloszlású vektorváltozó komponensei pontosan akkor függetlenek, ha páronként korrelálatlanok! 2. Mutassuk meg, hogy ha együttes eloszlásuk

Y1 , . . . , Ym független normális eloszlásúak, akkor

m-dimenziós

normális!

3. * Adjunk olyan véletlen vektorváltozót, amely komponensei 1-dimenziós normális eloszlásúak, ® maga nem többdimenziós (és nem is elfajult többdimenziós) normális eloszlású! 4. Legyen

Y ∼ Nd (m, C),

ahol

C

B X = BY?

pozitív denit,

nemszinguláris mátrix. Milyen eloszlású 5. Legyen

pedig egy

d × d-s

X ∼ N2 (m, C).

(a) Adjuk meg a komponensek összegének, különbségének eloszlását! (b) Adjuk meg

X komponenseinek tetsz®leges aX1 +bX2 lineáris kom-

binációjának eloszlását! (c) Adjuk meg

X

komponenseinek korrelációs mátrixát!

(d) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely

X

véletlen vektort a 2-dimenziós standard normális eloszlásúba

viszi át. Egyértelm¶-e ez a mátrix? 6. Legyenek

XP i ∼ Nd (mi , Ci ), i = 1, . . . , n n i=1 Xi eloszlását!

független véletlen vektorok.

Adjuk meg 7. Legyen

X

egy

d

dimenziós ún. szimmetrikus normális eloszlású vek-

tor, azaz komponensei azonos eloszlásúak és bármely két komponens kovarianciája ugyanakkora. (a) Határozzuk meg a korrelációs mátrix spektrálfelbontását! (b) Határozzuk meg

C−1 -et,

ahol

C

a kovarianciamátrix!

(c) Adjuk meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely

X

véletlen vektort a

d-dimenziós

standard normális eloszlásúba

viszi át. (d) Mutassuk meg, hogy bármely két komponens korrelációja nagyobb −1 mint (1 − d) .

5. TÖBBVÁLTOZÓS MÓDSZEREK

A

8. * Legyen

és

B

két

n × n-es

28

pozitív denit mátrix. Mutassuk meg,

hogy elemenkénti szorzatuk is pozitív denit!

d-dimenziós normális eloszlású vektorváltozó (d >)k -t tetsz®legesen kiválasztva azok együttes

9. Mutassuk meg, hogy egy komponensei közül eloszlása

k -dimenziós

10. * Van-e olyan

normális!

d-dimenziós vektorváltozó, amely nem többdimenziós (és

nem is elfajuló többdimenziós) normális, de komponensei közül bárhogy kiválasztva

d − 1-et

azok együttes eloszlása már

d − 1-dimenziós

nor-

mális? 11. Mutassuk meg, hogy (X1 , X2 ) ∼ 2 pontosan akkor χ (2) eloszlású, ha 12. Legyen

Y ∼ Nd (0, C),

mátrix. Igazoljuk, hogy

N2 (0, C) X1 és X2

esetén

X12 /c1,1 + X22 /c2,2

korrelálatlanok!

A egy d × d-s szimmetrikus r rangú Y AY ∼ χ2 (r) pontosan akkor teljesül, ha

továbbá >

ACA = A. 13. Legyen

ν = (ν1 , . . . , νk ) ∼ P olyn (p1 , . . . , pk ).

Igazoljuk, hogy

νi ∼

Bn (pi ). 2 14. A polinomiális és χ eloszlások kapcsolatát felhasználva adjuk meg a 2 χ -próbák statisztikáinak aszimptotikus eloszlásainak szabadságfokait!

X = (X1 , . . . , Xn ) mátrixot, amely oszlopvektorai Xi ∼ Nd (0, C), i = 1, . . . , n fae változók, valamint a W = XX> Wishart-

15. Tekintsük az mátrixot!

(a) Milyen eloszlású

W> ?

(b) Hogy változik meg

W,

ha

X

két oszlopát felcseréljük?

(c) Hogy változik meg

W,

ha

X

két sorát felcseréljük?

(d) Adjunk meg

W

(e) Milyen eloszlású

várható értékét!

W k -adik

f®minora?

Wi ∼ P Wd (ni , C), i = 1, . . . , k k eloszlású i=1 Wi ?

16. Legyenek Milyen 17. Legyen

W ∼ Wd (n, C)

és

a ∈ R+ .

független Wishart-mártixok.

Milyen eloszlású

aW?


29

W ∼ Wd (n, C) és B egy d × d-s nemszinguláris mártix. Milyen > eloszlású BWB ?

18. Legyen

19. Legyen

W ∼ Wd (n, I).

(a) Milyen eloszlásúak

W

diagonális elemei?

trW?

(b) Milyen eloszlású

(c) Igazoljuk, hogy W nemdiagonális elemei el®állnak két független χ2 (n) eloszlású változó különbségének konstansszorosaként! 20. Legyen (a)

X1 , . . . , Xn ∼ Nd (m, C)

független minta. Milyen eloszlású

(X − m)(X − m)> ?

(b) az empirikus kovarianciamátrix? (c) a korrigált empirikus kovarianciamátrix? 21. Igazoljuk a Steiner-egyenl®ség következ® többdimenziós változatát: d ha x1 , . . . , xn , v ∈ R , akkor

n X

>

(xk − v)(xk − v) =

n X

(xk − x)(xk − x)> + n(x − v)(x − v)> .

k=1

k=1 22. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ Nd (m, C)

független minta. Igazoljuk, hogy

Cov(X, Xi − X) = 0. 23. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ N (µ, σ 2 )

(a) Adjuk meg az

I1

(b) Igazoljuk, hogy

minta.

Fisher-féle információs mátrixot!

(X, Sn∗2 )

hatásos becslése

(µ, σ 2 )-nek (Sn∗2

a kor-

rigált empirikus szórásnégyzet)! 24. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ U (a, b)

független minta. Adjuk meg az

I1

és

In

Fisher-féle információs mátrixokat! 25.

X1 , . . . , Xn egy d-dimenziós a középpontú b sugarú gömbben egyenletes eloszlásból vett független minta. (a) Adjuk meg az

I1



30

(b) Adjunk maximum likelihood becslést

a-ra b = 1

(c) Adjunk maximum likelihood becslést

(a, b)-re!

esetben!

26. 49 id®s embert az orvos két csoportba sorolt aszerint, hogy van-e szenilis faktor a viselkedésükben (I. csoport) vagy sem (II. csoport). Ezután elvégeztettek velük 4 pszichológiai tesztet (1. információ, 2. hasonlóság, 3. aritmetika, 4. képfelismerés), melyekre kapott átlagpontszámok az alábbi táblázatban láthatók: I. (n=37)

II. (m=12)

1.

12,57

8,75

2.

9,57

5,33

3.

11,49

8,50

4.

7,97

4,75

Vizsgálja meg, 95%-os szignikanciaszinten elfogadható-e az a nullhipotézis, hogy a két csoport várhatóan nem különbözik szignikánsan a teszteredmények alapján. Feltesszük, hogy az egyes emberek teszteredményei 4-dimenziós normális eloszlást követnek ismeretlen (közös) kovarianciamátrixszal. Az egyesített (49) elem® mintából számolt

S1 + S2

S =

mátrix inverze:



S−1

27. Legyen

 0,0052 −0,0028 −0,0012 −0,0012  −0,0028 0,0038 −0,0008 −0,0002  . =  −0,0012 −0,0008 0,0030 −0,0004  −0,0012 −0,0002 −0,0004 0,0042

X1 , . . . , Xn ∼ Nd (m, C)

(a) Adjuk meg az

I1

(b) Igazoljuk, hogy

független minta, ahol

C

ismert.


X hatásos becslése m-nek! (Használjuk a Cramér-

Rao egyenl®tlenség többdimenziós változatát!) (c) Igazoljuk, hogy a

H0 : m = m0 , H1 : m 6= m0

hipotézisek vizs-

gálatára konstruált próba likelihood-hányados teszt! (d) Igazoljuk, hogy az el®z® pontbeli teszt az u-próba általánosítása!


28. 20 atal emberre az

A, B, C

31

stimuláló szerek hatását vizsgálták a reak-

cióid® szempontjából (századmásodpercben).

X A = 21,05 X B = 21,65 X C = 28,95, 

 45,2 43,6 32,6 S =  43,6 53,2 36,4  . 32,6 36,4 49,4 95%-os szignikanciaszinten vizsgálja meg az egyenl® hatás elvét a

B − A, C − B

különbségekre! (Feltesszük, hogy a hatások többdimen-

ziós normális eloszlást követnek, és azt teszteljük, hogy a különbsége, valamint a

C

és

B

mális eloszlású véletlen vektor

B

és

A hatás

hatás különbsége mint 2-dimenziós nor-

0

várható érték vektorúnak tekinthet®-

e.) Megjegyezzük, hogy valójában a három stimulálószer hatása várható értékének egyenl®sége itt a nullhipotézis, azonban meggyeléseink nem független mintákra, hanem ugyanarra a 20 emberre vonatkoznak. Így a javasolt vizsgálat a t-próbánál bevezetett önkontrollos vizsgálat többdimenziós általánosításának tekinthet®. 29. Legyen

X1 , . . . , Xn ∼ Nd (m, C) független minta. Vegyük az (m, C) ˆ = (X, S/n) (maximum likelihood) becsléseit! ˆ C) (m,

paraméter

(a) Igazoljuk, hogy

(X, S)

(b) Torzítatlan becslése-e

elégséges statisztika

(m, C)-re!

(X, S/n) az (m, C) paraméternek? Ha nem,

korrigáljuk! (c) Mutassuk meg, hogy a (Hotelling-féle)

T 2 -próba

a t-próba (ké-

toldali változatának) általánosítása (de az egyoldalinak nem)! (d) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a

H0 : C = C0 hipotézis

tesztelésére!

ε terjedelm¶ egyenletesen leger®sebb próbát a NeymanH0 : (m, C) = (m0 , C0 ) vs. H1 : (m, C) = (m1 , C0 ) egyszer¶ alternatíva vizsgálatára!

(e) Konstruáljunk

Pearson alaplemma segítségével a

30. Igazoljuk, hogy a (Hotelling-féle) kétmintás

T 2 -próba likelihood-hányados

próba! Igazoljuk, hogy ez a teszt a kétmintás t-próba általánosítása!


32

X1 , . . . , Xn1 ∼ Nd (m1 , C1 ) és Y1 , . . . , Yn2 ∼ Nd (m2 , C2 ) független minták. Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a H0 : C1 = C2 , H1 : C1 6= C2 hipotézisek vizsgálatára (kétmintás T 2 próba feltételének el-

31. Legyen

len®rzése)!

X1 , X2 , . . . ∼ Nd (m, C) fae. Adjunk a H0 : (m, C) = (m0 , C0 ) H1 : (m, C) = (m1 , C0 ) egyszer¶ alternatíva eldöntésére szekvenciális eljárást (ε1 els®fajú és ε2 másodfajú hibával)! Adjuk meg a várható

32. Legyen vs.

lépésszámokat!

A1 , . . . , Ak teljes eseményrendszer, P(Ai ) = pi . Legyen X az esk -dimenziós indikátorváltozója, valamint p = (p1 , . . . , pk )> . Legyenek X1 , X2 . . . független vektorok, amelyek eloszlása megegyezik X eloszlásával. Pn (a) Mutassuk meg, hogy i=1 Xi ∼ P olyn (p1 , . . . , pk ).

33. Legyen

eményrendszer

(b) Adjunk maximum likelihood becslést az els®

p-re

n mintaelem alapján

a Lagrange-multiplikátor módszerével!

(c) Adjunk maximum likelihood becslést az els®

p-re pk = 1 − p1 − . . . − pk−1 (d) Adjunk a

H0 : p = p0

vs.

n mintaelem alapján

felhasználásával is!

H1 : p = p1

egyszer¶ alternatíva eldön-

tésére szekvenciális eljárást (ε1 els®fajú és Adjuk meg a várható lépésszámokat!

ε2

másodfajú hibával)!

6. Lineáris módszerek

d-dimenziós vektorváltozó és Y a hozzá tartozó f®komXi és Yj kovarianciáját! 1 ρ Legyen X ∼ N2 (0, C), ahol C = , ahol 0 < ρ < 1. Adjuk meg ρ 1

1. Legyen

X

egy

ponensvektor. Adjuk meg

2.

a f®komponenseket és a f®komponensvektor kovarianciamátrixát! 3. Legyen

X ∼ Nd (0, C), ahol C diagonális mátrix f®átlójában különböz®

(pozitív) értékekkel. Adjuk meg a f®komponensvektort!

X ∼ Nd (0, C), ahol C f®diagonálisának más eleme r valamely 0 < r < 1 számra.

4. Legyen den

(a) Adjuk meg

X

minden eleme 1, min-

els® f®komponensét!

(b) Adjuk meg a f®komponensek szórásnégyzeteit!

5. Legyen

X ∼ N2 (0, C),

hood becslést

C

ahol

C=

λ1 0 0 λ2

. Adjunk maximum likeli-

sajátértékeire!

6. A f®komponensanalízis egy módosított változatában a korrelációs mátrixból indulunk ki. (a) Mutassuk meg, hogy ezzel a módszerrel más megoldást kapunk, mint a kovarianciamátrixot használó modellben! (b) A Kaiser-kritérium azon sajátvektorokkal konstruált f®komponenseket választja, amelyekhez tartozó sajátérték legalább a sajátértékek átlaga. Igazoljuk, hogy tetsz®leges nemszinguláris korrelációs mátrix sajátértékeinek átlaga 1! (c) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix minden eleme nagyobb mint

1 − ε. Mutassuk meg, hogy a legnagyobb sajátérték nagyobb d(1 − ε)-nál (egy nagy és sok kis szórású f®komponens van)! (d) Tegyük fel, hogy a korrelációs mátrix sajátértékei a legnagyobb kivételével kisebbek mint

ε.

Mutassuk meg, hogy a mátrix ele-

meinek abszolutértékei nagyobbak mint

1 − 2dε.

6. LINEÁRIS MÓDSZEREK

7. Legyen

34

X egy d-dimenziós véletlen vektor, k < d, és tekintsük a következ®

modellt:

X = AY + Z + m, ahol

A

d × k -as

egy

Y egy k -dimenziós, Z egy d-dimenziós E(Y) = 0, E(YY> ) = Ik , E(Z) = 0,

mátrix,

véletlen vektor, amelyekre E(YZ> ) = 0 k × d-s azonosan 0 mátrix (a faktoranalízissel szemben > itt nem követelmény E(ZZ ) diagonális volta, de elvárjuk, hogy elemei kicsik legyenek). Adjunk megoldást a f®komponensanalízis segítségével!

X = Af + e + m k -faktor modellt (X egy d-dimenziós A a d×k -as faktorsúlymátrix, f a k -dimenziós közös faktor Ik kovarianciamátrixszal, e d-dimenziós egyedi faktor D diagonális > kovarianciamátrixszal, amelyre E(fe ) = 0).

8. Tekintsük az

vektorváltozó,

(a) Mutassuk meg, hogy ha (b) Adjuk meg

Xi

i 6= j , ei

változó és

akkor

Xi

és

ej

korrelálatlanok!

egyedi faktorkomponens kovarian-

ciáját! (c) Adjuk meg

Xi változó és fj

közös faktorkomponens kovarianciáját!

9. A faktoranalízis modelljében legyen A és B két faktorsúly-mátrix, ame> lyekre AA = BB> . Mutassuk meg, hogy ekkor van olyan G k × k méret¶ ortogonális mátrix, amelyre

B = AG.

10. A faktoranalízis modelljének mátrixalakja egy

d × k -s

mátrix,

D

pedig egy

elemekkel. Tekintsük a

d=2

és

C = AA> + D,

d × d-s diagonális k = 1 esetet!

ahol

A

mátrix nemnegatív

(a) Mikor van megoldása a fenti modellnek? (b) Adjunk maximum likelihood becslést 11. Legyen

A-ra

és

D-re!

(Y, X1 , . . . , Xm ) ∼ N (m, C). Adjuk meg az E((Y −g(X1 , . . . , Xm ))2 )-

et mininalizáló regressziós függvényt! 12. Igazoljuk, hogy ha

Y ∼ aX + b

X, Y

véges szórású valószín¶ségi változók, valamint

a legjobb lineáris közelítés négyzetes értelemben, akkor

D(X) , D(Y )

(a)

r(X, Y ) = a ·

(b)

E((Y − (aX + b))2 ) ≥ (1 − r(X, Y ))D2 (Y ).


35

(X, Y ) véletlen vektort, az l1 (X) = aX + b (amelyre E((Y −l1 (X)) ) minimális) és az l2 (Y ) = cY +d (amelyre E(X −l2 (Y ))2 minimális) regressziós egyeneseket. Mikor teljesül, hogy c = 1/a?

13. Tekintsük az

2

x1 , . . . , xn mérési pontok, továbbá Y1 , . . . , Yn változók amelyek kielégítik a Yi = axi +b+i , i = 1, . . . , n regressziós modellt, ahol 2 a mérési hibák 1 , . . . , n ∼ N (0, σ ) független valószín¶ségi változók.

14. Legyenek

(a) Adjunk maximum likelihood becslést az

Y

(a, b, σ 2 )

paraméterre a

minta segítségével! (Mi köze a kapott becslésnek a legkisebb

négyzetek módszeréhez?) (b) Igazoljuk, hogy lanok, ha

a

és

b

fenti becslései pontosan akkor korrelálat-

x = 0.

(c) Adjunk kondencia intervallumot (d) Konstruáljunk a

H0 : a = a0

a-ra,

ha

b=0

H1 : a 6= a0 b és σ 2 ismert!

és

terjedelm¶ próbát, feltéve, hogy

σ

ismert.

hipotézisekhez

ε

: a = a0

és

H1 : a 6=

H0 : a = a0

és

H1 : a 6=

(e) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát H0 a0 hipotézisekhez, ha b = 0 és σ 2 ismeretlen! (f ) Konstruáljunk likelihood-hányados próbát a0 hipotézisekhez, ha b és σ 2 ismeretlen!

és

(g) Hogyan ellen®rizhetjük a modell alkalmazhatóságát, azaz a mérési hibákra vonatkozó feltételek teljesülését? 15. Tekintsük az

Y = a> x +

regressziós modellt, ahol

∼ N (0, σ 2 ), σ 2

ismert értékre. Konstruáljuk meg a Neyman-Pearson alaplemma segítségével a

H0 : a = a0

vs.

H1 : a = a1

egyszer¶ alternatívához tartozó

ε

terjedelm¶ egyenletesen leger®sebb próbát!

Y = a1 x1 + . . . + ad xd + b + regressziós modellt és a H0 : a1 = . . . = ad = 0 hipotézist tesztel® regresszióanalízist. Pn ˆ Pn ˆ Pn 2 2 (a) Legyen Q = i=1 (Yi −Y ) és Qe = i=1 (Yi − i=1 (Yi −Y ) , Qr = 2 ˆ ˆ Yi ) , ahol Yi = a ˆ1 xi,1 +. . .+ˆ ad xi,d + b. Igazoljuk, hogy Q = Qr +Qe .

16. Tekintsük az

(b) Jelölje

Rn a többszörös korrelációs együttható becslését. Mutassuk Rn2 = QQr .

meg, hogy

(c) Igazoljuk, hogy a próbastatisztika alakokban is felírható!

F =

(n−d−1)Qr dQe

=

2 (n−d−1)Rn 2) d(1−Rn


36

(d) Vessük össze a regresszióanalízist a korrelációs együtthatókra vonatkozó tesztekkel! Indokolt-e a regresszióanalízist függetlenség tesztelésére használni? (e) A regresszióanalízist szokás varianciaanalízisnek is nevezni. Magyarázzuk meg az elnevezést! 17. Vessük össze a lineáris regresszió megoldását (a

= C−1 d,

ha a várható

ˆ értékek 0-k) a determinisztikus változók esetén kapott megoldással (a > −1 > (X X) X Y)! 18. Igazoljuk, hogy

X> X

pontosan akkor nemszinguláris, ha

X

=

oszlopvek-

torai lineárisan függetlenek. 19. Tekintsük a következ® multiplikatív modellt:

Y = bX1a1 · . . . · Xkak .

Vezessük vissza a lineáris modellre, és adjunk becslést a paraméterekre a módosított modellben a legkisebb négyzetek módszerével! Más becslést kapnánk-e, ha a legkisebb négyzetek módszerét közvetlenül az eredeti modellre alkalmaznánk?

Y = b + a1 X + . . . + ak X k i alakú. A megoldást úgy keresik, hogy az X = Xi független változókra i j vonatkozó többváltozós lineáris regressziót vizsgálják. Viszont X és X

20. Polinomiális regresszió esetén a modell

nem független változók. Okoz-e ez problémát a megoldás egyértelm¶sége tekintetében? Miért? 21. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis modelljében a paraméterek legkisebb négyzetek módszerével kapott becsléseit. (a) Mutassuk meg, hogy ezek maximum likelihood becslések! (b) * Számoljuk ki ezeket a becsléseket Lagrange-multiplikátor módszerrel! 22. Tekintsük az egyszempontos varianciaanalízis csoporthatás-vizsgálatát, Pk Pk Pni 2 2 ahol Qe = i=1 ni (X i· − X ·· ) . i=1 j=1 (Xij − X i· ) és Qa = (a) Mutassuk meg, hogy

H0 teljesülése mellett Qa /σ 2 ∼ χ2 (k − 1), 2 teljesül, Qa nem χ eloszlású!

(b) Igazoljuk, hogy

H0

nem

Qe /σ 2 ∼ χ2 (n − k)!

(c) Adjuk meg

de ha

H0 mellett Qa és Qe várható értékét és szórásnégyzetét!


37

23. Adjunk maximum likelihood becslést

σ 2 -re

az egyszempontos varianci-

aanalízis modelljében! Torzítatlan lesz-e becslésünk? 24. Mutassuk meg, hogy az egyszempontos varianciaanalízis csoporthatásvizsgálata (a) likelihood-hányados próba! (b) a kétmintás t-próba általánosítása több mintára! 25. Tekintsük az

(X, Y ) vektorváltozót, ahol X

normális eloszlású,

Y

pedig

véges sok értéket felvev® diszkrét változó. Csoportosítsuk a mintát az

Y

értékei szerint. Alkalmazhatjuk-e az egyszempontos varianciaanalízist

X

és

Y

függetlenségének tesztelésére?

n elem¶ mintát egy el®re tervezett hatás és egy kísér® változó esetén: Yi = bi a+di c+εi , ahol a, c paraméterek, bi -k tervezett hatások, di -k kísér® változók, εi ∼ N (0, σ 2 ), i = 1, . . . , n független hibák.

26. Tekintsük a kovarianciaanalízis modelljét és ebben egy

(a) Adjunk becslést a paraméterekre a legkisebb négyzetek módszerével! (b) Konsturáljunk likelihood-hányados próbát a

H0 : c = 0

hipotézis

tesztelésére! 27. Tekintsünk egy mintát, amely teljesíti az alábbi modellt:

Yi,j = axi,j + ci + εi,j , i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , ni ,

ahol

terminisztikus) kísér® változók,

c1 , . . . , cr és a paraméterek, xi,j -k εi,j ∼ N (0, σ 2 ) független hibák.

(de-

(a) Adjunk becslést a paraméterekre a legkisebb négyzetek módszerével! (b) Mutassuk meg, hogy a fenti modell a kovarianciaanalízis egy modellje.

Hivatkozások [1] Bolla Marianna, Krámli András, Statisztikai következtetések elmélete, Typotex, 2005 [2] Bevezetés a matematikai statisztikába, KLTE jegyzet, Szerk. Fazekas István, Kossuth Egyetemi Kiadó, 2005 [3] Flury, A rst course in multivariate statistics, Sringer, 1997 [4] Giri, Multivariate statistical analysis, Marcel Dekker, 2004 [5] Móri, Szeidl, Zempléni: Matematikai statisztika példatár, ELTE Eötvös Kiadó, 1997

Matematikai statisztika feladatsor

Recommend Documents