SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra
Trigonometriai összefoglaló
α
45
2
b
⋅
a
45
b a , cos α = , c c b a 1 . tgα = , ctgα = = a b tgα sin α =
c
sin 45o = cos 45o =
O
1
o
1
o
3 1 , , cos30o = 2 2 1 3 tg 30o = = , ctg 30o = 3 3 3
60o 1
⋅
30o
3 1 , cos 60o = , tg 60o = 3 , 2 2 1 3 ctg 60o = = 3 3
sin 60o =
3
c
a2 + b2 = c2 , cos 2 α + sin 2 α = 1 .
b = c sin α
α
a = c cos α
⋅
y
sin α > 0, cos α > 0 tgα = ctgα > 0
2 , 2
sin 30o =
2
1 α sin α cos α x
2
=
tg 45 = ctg 45 = 1 .
⋅
O
1
y
y sin α
1
α
cos α
x
sin α > 0, cos α < 0 tgα = ctgα < 0
cos α α sin α 1
sin α < 0, cos α < 0 tgα = ctgα > 0
y
α
x
cosα x sin α 1
sin α < 0, cos α > 0 tgα = ctgα < 0
Vektoralgebrai összefoglaló
Skaláris mennyiség: nagyság (előjel) és mértékegység jellemzi. Vektor mennyiség: nagyság (előjel), irány és mértékegység jellemzi. 1-Trigonometria-Vektor
1/15
1.1. Példa
Vektorok megadása: G
ay a
j 0
α
x ax
i
G
G
G
Egységvektorok: i , j ; ⇒ | i |=| j |= 1 ; G G G Egy tetszőleges vektor: a = ax i + a y j ;
ea
y
G G G G G G G G a =| a | cos α i + | a | sin α j =| a | (cos α i + sin α j ) ; G a G G G G Mivel: a =| a | ea ; ⇒ ea = G , |a| G G ea : az a vektor irány-egységvektora . G | a |= ax2 + a y2 , (a vektor nagysága); G | ea |= cos 2 α + sin 2 α = 1 ,
Vektorok összeadása:
G G G b = bx i + by j . G G G G G G G G G Akkor: a + b = (ax i + a y j ) + (bx i + by j ) = (ax + bx ) i + (a y + by ) j = c .
cx cy
G
G
G
Ha: a = ax i + a y j ,
A két vektor összegének megszerkesztése: b c
a
a
c
b
Háromszög szabály Vektorok kivonása: G
G
G
G
G
G
Ha: a = ax i + a y j , b = bx i + by j , G
G
G
Paralelogramma szabály
G
G
G
G
G
G
akkor: a − b = (ax i + a y j ) − (bx i + by j ) = (ax − bx ) i + (a y − by ) j = d
dx
dy
Két vektor különbségének megszerkesztése: b −b
d a a
b
d G G G a + (−b ) = d
1-Trigonometria-Vektor
G G G a −b = d
2/15
Vektorok szorzása skalárral (az eredmény: vektor):
G G G G a = ax i + a y j + az k ; G G G G G G G λ a = λ ax i + a y j + az k = λ ax i + λ a y j + λ az k ; G G | λ a |= λ 2 ax2 + λ 2 a y2 + λ 2 az2 = λ ax2 + a y2 + az2 = λ | a |
(
)
Vektorok skaláris szorzása (az eredmény: skaláris mennyiség): G G
G G
G
G
G
G
G
G
G
G
Értelmezése: a ⋅ b =| a || b | cos α , ahol a = ax i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k , valamint α a két vektor által bezárt szög. Kiszámítása:
G G G G a ⋅ b = ax bx + a y by + az bz , vagy a ⋅ b = ax2 + a y2 + az2 ⋅ bx2 + by2 + bz2 ⋅ cos α
Egységvektorok skaláris szorzata:
G G G G G G i ⋅ i = 1 , j ⋅ j = 1 , k ⋅ k = 1 , mivel cos 00 = 1 , G G G G G G i ⋅ j = 0 , i ⋅ k = 0 , j ⋅ k = 0 , mivel cos 900 = 0 G G G G G G G Általánosítás: a ⋅ a =| a |2 és a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b .
Vektorok vektoriális szorzata (az eredmény: vektor): G G
G
G
b | sin α , ami az eredményvektor abszolút értéke. Értelmezése: | a × b | = | a | |
ma
G
G
G
G
G
G
G
G
Ha: a = ax i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k , kiszámítása a × b b
G i G G a × b = ax bx
|b| sin α
α a
G G j k G G G ay az = i (ay bz − by az ) − j (ax bz − bx az ) + k (ax by − bx ay ) by bz
Az eredményvektor merőleges mindkét vektorra (az általuk meghatározott síkra). Egységvektorok vektoriális szorzata:
G G G G G G G G G i × i = 0 , j × j = 0 , k × k = 0 , (mivel sin 00 = 0 ). G G G G G Általánosítás: a × b = 0 ⇔ a & b .
Jobbkéz-szabály!
G G G G G G G pl.: i × j = i j sin 900 = 1 ⇒ k ⊥ i , j
z G k
⋅ ⋅ ⋅
y
G j G i
G G G i × j =k ,
G G G j ×k = i ,
G G G k ×i = j ,
G G G j × i = −k ,
G G G i ×k = − j ,
G G G k × j = −i ,
Jobbkéz-szabály!
G k
G i
G j
x
G G
G
G
G
G
G
G
Házi feladat: a × b = ( ax i + a y j + az k ) × ( bx i + by j + bz k ) = ... kiszámítása.
1-Trigonometria-Vektor
3/15
1. 2. Példa
Adott: G G G a = 10i + 5 j
y ay
Feladat: a. A Koordináta tengelyekre eső vetületek meghatározása (síkbeli eset). G b. Az ea irány-egységvektor meghatározása.
G j
O
G ea
⋅
G a
β G i
α
x
⋅
ax
Megoldás: a. vetületek meghatározása G G G G G a ⋅ i = a i cos α = a cos α = ax N =1
G G G G G a ⋅ j = a j cos β = a cos β = a y G G G G G G G G G a ⋅ i = (10i + 5 j ) ⋅ i = 10 iN ⋅i + 5N j ⋅ i = 10
ax = 10
G G G G G G G G G a ⋅ j = (10i + 5 j ) ⋅ j = 10 iN ⋅ j +5N j⋅ j =5
ay = 5
=1
=0
=0
=1
b. irány-egységvektor kiszámítása G G G a = a ⋅ ea G G G G G G G a 10i + 5 j 10i + 5 j 10 G 5 G G ea = G = = = i+ j = 0,894427i + 0, 447214 j a 11,18 11,18 11,18 102 + 52 G G G ea = 0,894427i + 0, 447214 j
Ellenőrzés: G e = 0,894427 2 + 0, 4472142 = 0,8 + 0, 2 = 1
1-Trigonometria-Vektor
4/15
1. 3. Példa
Adott:
G G G F1 = (40i + 50 j ) N , G G G F2 = (−20i + 4 j ) N .
Fy
F2
50
Feladat: G G G a. A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása. G G G b. A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása. c. A két erővektor által bezárt α szög meghatározása.
α
−F2
40 30
F0
F1 F∗
20 10
Fx 10
20
30
40
50
60
Megoldás: G
G
G
a. A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása: G G G G G G G G G F0 = F1 + F2 = (40i + 50 j ) + (−20i + 4 j ) = (20i + 54 j ) N . G G G F0 = (20i + 54 j ) N
G
G
G
b. A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása: G G G G G G G G G F* = F1 − F2 = (40i + 50 j ) − (−20i + 4 j ) = (60i + 46 j ) N . G G G F* = (60i + 46 j ) N
c. A két erővektor által bezárt α12 szög meghatározása: G G G G F1 ⋅ F2 = F1 F2 cos α
G G F1 ⋅ F2 ⇒ cos α = G G . F1 F2
G G F1 ⋅ F2 = 40(−20) + 50 ⋅ 4 = −800 + 200 = −600 N 2 , G G F1 = F12x + F12y = 402 + 502 = 64,03 N ; F2 = F22x + F22y = 202 + 42 = 20,40 N , cos α =
−600 = −0,45934 64,03 ⋅ 20,40
α = arc cos(−0,45934) = 117,34°
1-Trigonometria-Vektor
5/15
1. 4. Példa
Adott:
G G G G F1 = (40i + 18 j − 26k ) kN , G G G G F2 = (−2i + 2 j + 3k ) kN , G G F3 = ( F3 y j ) .
Feladat: G
G
G
Mekkora legyen F3 y , ha azt akarjuk, hogy ( F1 + F3 ) merőleges legyen F2 -re?
Megoldás: G
G
G G
G G
Ha a ⊥ b , akkor a ⋅ b = 0 =| a || b | cos αN = 0 . 90o
G
G
G
Ezért teljesülnie kell az ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = 0 összefüggésnek. G G G G G G G G G ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = ⎡⎣ 40i + (18 + F3 y ) j − 26k ⎤⎦ ⋅ (−2i + 2 j + 3k ) = 0 , −40 ⋅ 2 + (18 + F3 y )2 − 26 ⋅ 3 = 0 , −80 + 36 + 2 F3 y − 78 = 0 , 2 F3 y = 122
F3 y = 61kN
1-Trigonometria-Vektor
6/15
1. 5. Példa
Adott: egy hasáb, valamint a H pont helye: AB = 8 m , BE = 3 m ,
e z
AD = 6 m , FH = 0,5 BF .
Feladat:
a)
A
H
pont
G rH
H G
D
helyvektorának
F C
O
meghatározása. b) A H-ból a B pontba mutató helyvektor meghatározása.
G rHB
x
E
y
A B
Megoldás: G
a. A H pont rH helyvektorának meghatározása: G G G rH = rOF + rFH . G G G G rOF = rF = (8 j + 6k ) m , G G G G G rFH = 0,5 rBF , és rFH = rFH e ; G G G G 2 2 rBF = (−3i + 6k ) m , ⇒ rBF = xBF + z BF = 32 + 62 = 9 + 36 = 45 m ,
G G rFH = 0,5 rBF = 0,5 45 m , G G G 1 G r ( −3i + 6k ) m ; e = GBF = | rBF | 45
G G G G 45 1 G G G rFH = rFH e = , i + 3k ) m , (−3i + 6k ) = (−15 2 45 G G G G G G G rH = rOF + rFH = (8 j + 6k ) + (−15 , i + 3k ) , G G G G rH = (−1,5i + 8 j + 9k ) m . G
b. A H-ból a B pontba mutató rHB helyvektor meghatározása. G G 3 3 1 G G rHB = − | rG BF | e = − 45 (−3i + 6k ) m , 2 2 45 G G G rHB = (4,5i − 9k ) m
G G G G Másképp: rB = rOB = ( 3i + 8 j ) m G G G G G G G G G G rHB = rB − rH = (3i + 8 j ) − (−1,5i + 8 j + 9k ) = (4,5i − 9k ) m 1-Trigonometria-Vektor
7/15
1.6. Példa
Adott egy háromszög-alapú egyenes hasáb, melynek egyik csúcsa az origó, többi pedig helykoordinátáival van megadva. z 50 C
A (30, 40, 0 ) mm , B (0, 50, 0 ) mm , C (0, 0, 60 ) mm , D (30, 40, 60 ) mm , E (0, 50, 60 ) mm .
E D
60
O B
30
y A
40 x
Feladat: G G G G a. Határozza meg az rOE , rOD , rAE , rBE helyvektorokat! b. Számítsa ki a CDE háromszög és az ABED téglalap területét! z
Megoldás: a. Elsőként az origóból az egyes csúcsokba mutató helyvektorok meghatározása szükséges:
C
D
G G G G rA = rOA = (30i + 40 j ) mm , G G G rB = rOB = (50 j ) mm , G G G rC = rOC = 60k mm , G G G G G rD = rOD = 30i + 40 j + 60k mm , K G G G rE = rOE = 50 j + 60k mm .
( ) (
(
)
E
G rD G rE
)
G k G i
Látható, hogy a kérdéses helyvektorok közül kettő már kiszámításra került. A maradék kettőt a következőképpen lehet meghatározni:
G rAE
G j
B
O
y
x A
G G G G G G rAE = rE − rA = − 30i + 10 j + 60k mm , G G G G rBE = rE − rB = 60k mm .
( ( )
1-Trigonometria-Vektor
G rBE
)
8/15
b. A CDE háromszög területe a CD oldalára tükrözéssel kapott paralelogramma területének fele. A paralelogramma területe definíció szerint:
TCEDE *
C
G G = rCE × rDE ,
G rCE
E
G rDE
így a háromszög területe:
TCDE =
y
G 1 G rCE × rDE . 2
E*
D x
Ehhez szükséges a fenti két helyvektor meghatározása: G G G G rCE = rE − rC = (50 j ) mm , G G G G G rDE = rE − rD = (− 30i + 10 j ) mm , G G rCE × rDE
G G G i j k G 50 0 = 1500k mm 2 , = 0 − 30 10 0
(
)
TCDE = 0,5 ⋅ 1500 2 = 750 mm 2 . Az ABED téglalap, mint speciális helyzetű paralelogramma területe: G G T ABED = rDE × rBE ,
G G rDE × rBE
G G G i j k G G = − 30 10 0 = (600i + 1800 j ) mm 2 , 0 0 60
G G TABED = rDE × rBE = 6002 + 18002 = 1897 ,37 mm 2 .
Megjegyzés: A kapott eredményeket érdemes összevetni a középiskolában megtanult területszámítási módszerekkel.
1-Trigonometria-Vektor
9/15
1.7. Példa
y
Adott két erő vektora: G G G F1 = (40i − 10 j ) N, G G G F2 = (− 5i + 20 j ) N.
G F2 x
Feladat:
G F1
a. Határozza meg a két erő eredőjét, illetve különbségét szerkesztéssel és b. számítással! c. Adja meg az erők hatásvonalának irány-egységvektorait! Megoldás: a. Szerkesztéshez két módszer választható: a paralelogramma vagy a háromszög módszer. Összeadásnál a paralelogramma módszer a következő: G G 1. párhuzamost húzunk az F2 erő végpontján keresztül az F1 hatásvonalával, G G 2. ugyanezt a lépést végrehajtjuk az F1 végpontjában az F2 hatásvonalával, 3. a két erő közös kezdőpontjából, a párhuzamosok metszéspontjába mutató vektor a két erővektor eredője (összege). A két erő különbségének szerkesztésénél a következő átalakítást használjuk fel: G G G G G F1 − F2 = F1 + − F2 , azaz elsőként előállítjuk az F2 vektor (-1)-szeresét, és az előzőekben leírt lépések alapján elvégezzük a szerkesztést.
(
)
y
y G F2
G G F1 + F2
G G F1 + F2
x
G F1 G − F2
G G F1 − F2
G F1
G F2 G G F1 − F2
x
G − F2
A háromszög módszer lépései (mind az összeg illetve különbség megszerkesztésére): G G 1. az F2 vektort eltoljuk az F1 végpontjába, G G 2. az F1 kezdőpontját és az F2 végpontját összekötő vektor a két erő eredője (összege).
1-Trigonometria-Vektor
10/15
b. Két (vagy több) vektor összegét illetve különbségét úgy kapjuk, hogy a megfelelő skalár-koordinátákat összeadjuk illetve kivonjuk:
[
G G G G G F1 ± F2 = (F1x ± F2 x )i + (F1 y ± F2 y ) j + (F1z ± F2 z )k
]
G G G G F1 + F2 = (35i + 10 j ) N G G G G F1 − F2 = (45i − 30 j ) N c. Az erők hatásvonalának irány-egységvektorai: G G G G G G G F1 ( 40i − 10 j ) ( 40i − 10 j ) ( 40i − 10 j ) ⎛ 4 G 1 G e1 = G = = = =⎜ i− 1700 10 17 17 F1 ⎝ 17 402 + 102 G G G G G G G F2 ( −5i + 20 j ) ( −5i + 20 j ) ( −5i + 20 j ) ⎛ 1 G G e2 = G = i+ = = = ⎜− 425 5 17 F2 ⎝ 17 52 + 202
G⎞ j⎟ ⎠ 4 17
G⎞ j⎟ ⎠
1 G⎞ G ⎛ 4 G e1 = ⎜ i− j⎟ 17 ⎠ ⎝ 17 4 G⎞ G ⎛ 1 G e2 = ⎜ − i+ j⎟ 17 ⎠ ⎝ 17
1-Trigonometria-Vektor
11/15
1. 8. Példa
Adott: G G G rA = (4i + j )m G G G rAB = (i + 3 j )m
y
B
G rB
Feladat: a. Az OAB háromszög T0 területének meghatározása G b. Az OAB háromszög rA -hoz tartozó m magasságának meghatározása
G j O
G i
α
T0 m ⋅ G rA
A x
Megoldás: a. A vektoriális szorzás alapértelmezése szerint: T0 =
1 G G 1 G G 1 G rA × rB = rA rB sin α = rA m
2 2 2 m
G G G i j k G G G G rA × rB = 4 1 0 = k (12 − 1) = (11k )m 2 1 3 0
vagy
G G G G G G G G G G G rA × rB = (4i + j ) × (i + 3 j ) = 0 + 12k − k + 0 = (11k )m 2
T0 = 5,5m 2
b. Ismét az alapértelmezés alapján: G G G G G rA × rB = rA rB sin α = rA m
és ebből
G G rA × rB 11 = = 2, 67m m= G 4,12 rA G rA = x A 2 + y A 2 = 42 + 12 = 4,12
m = 2, 67m
1-Trigonometria-Vektor
12/15
1. 8. Példa
Adott:
y
G G G G G G a = 12i + 4 j és b = 6i + 6 j
Feladat:
G G a. A b vektor a irányra eső vetületének és összetevőjének meghatározása. G G b. A b vektor a irányra merőleges vetületének, és összetevőjének meghatározása.
G b
6 4
b⊥ ⋅ bII
α O
G ea
6
G a x 12
Megoldás: G G a. A b vektor a irányra eső vetületének, és összetevőjének meghatározása. G G G G G a ⋅ b = a b cos α = a bII
⇒
G G a ⋅b 96 bII = G = ≅ 7,59 a 12, 65
bII
G G a ⋅ b = 12 ⋅ 6 + 4 ⋅ 6 = 72 + 24 = 96 G a = 122 + 42 = 144 + 16 = 4 ⋅ 10 ≅ 12, 65 G G G G G a 1 G ea = G = (12i + 4 j ) = (0,9486i + 0,3162 j ) a 12, 65 G G A b vektor a irányú összetevője: G G G G G G G G bII = bII ea = 7,59(0,9486i + 0,3162 j ) = (7,1999i + 2,3999 j ) ≅ 7, 2i + 2, 4 j G G G bII = 7, 2i + 2, 4 j
G G b. A b vektor a irányra merőleges vetületének és összetevőjének meghatározása. G G G G a × b = a b sin α
⇒
G G a ×b 48 b⊥ = G = ≅ 3, 79 a 12, 65
b⊥
G G G i j k G G G a × b = 12 4 0 = k (72 − 24) 6 6 0
1-Trigonometria-Vektor
⇒
G G a × b = 48
13/15
G G G aG × b aG (aG × b ) × aG G G b⊥ = G × G = = −1, 2i + 3, 6 j G 2 a a a N G ea
G G G G G G G G (a × b ) × a = 48k × (12i + 4 j ) = (576 j − 192 j ) G G G b⊥ = −1, 2i + 3, 6 j
és
G2 a = 160
Ellenőrzés: G G G G G G G G G b = bII + b⊥ = (7, 2i + 2, 4 j ) + (−1, 2i + 3, 6 j ) = (6i + 6 j )
1-Trigonometria-Vektor
14/15
1. 9. Példa
Adott két vektor: G G G G c = 20i + 60 j − 90k m, G G G G d = − 2i + 2 j + k m.
( (
)
)
Feladat: Határozza meg a G G a. c helyvektor d irányába eső összetevőjét, illetve b. az arra merőleges összetevőjét!
Megoldás: A feladat tulajdonképpen egy vektor felbontása egy adott iránnyal párhuzamos és arra merőleges vektorra. a. Vektorok skaláris szorzatára vonatkozó összefüggés:
G G G G c ⋅ d = d ⋅ c ⋅ cos α
,
c|| G G 10 c ⋅ d 20 ⋅ ( −2 ) + 60 ⋅ 2 − 90 ⋅1 ⇒ c|| = G = = − = −3,33 m . 2 2 2 3 d 2 + 2 +1 G Vektor ebből úgy lesz, hogy a kapott skalár számot megszorozzuk a d vektor hatásvonalának irány-egységvektorával: G G d ⎛ 2 G 2 G 1 G⎞ ed = G = ⎜ − i + j + k ⎟ , 3 3 ⎠ d ⎝ 3
G G ⎛ 20 G 20 G 10 G ⎞ c|| = c|| ⋅ ed = ⎜ i − j − k ⎟ m. 9 9 ⎠ ⎝ 9 G b. A merőleges összetevőt úgy kapjuk meg a legegyszerűbben, ha az eredeti c vektorból kivonjuk az előbb kiszámolt párhuzamos összetevőt:
20 ⎞ G ⎛ G G G ⎛⎛ ⎛ 20 ⎞ ⎞ G ⎛ ⎛ 10 ⎞ ⎞ G ⎞ c⊥ = c − c|| = ⎜ ⎜ 20 − ⎟ i + ⎜ 60 − ⎜ − ⎟ ⎟ j + ⎜ ( −90 ) − ⎜ − ⎟ ⎟ k ⎟ m , 9 ⎠ ⎝ ⎝ 9 ⎠⎠ ⎝ 9 ⎠⎠ ⎠ ⎝ ⎝⎝ G ⎛ 160 G 560 G 800 G ⎞ c⊥ = ⎜ i+ j− k ⎟ m. 9 9 ⎠ ⎝ 9
1-Trigonometria-Vektor
15/15
