1. Trigonometria 1.1. Bevezetés Elöljáróban csak annyit: A szögekkel ideje lenne megtanulni rendesen számolni. Láttuk: Két vektor, vagy ha úgy tetszik, két erő összege igen kényes arra, hogy az összegzendők által bezárt szög mekkora. Ez a fejezet arról fog szólni, hogy hogyan kell hidat építeni a hosszúság és a szögmérték matematikája között. Vegyünk két egyszerű példát, amikor ez jól jönne. 1. Példa.
1. Állsz egy hatalmas gyárkémény előtt és kíváncsi vagy, megvan-e 100
méter. Normális esetben az embernek nincs módja mérőszalaggal felmászni egy ilyen kéményre és kedved sincs leszámolni a téglákat. Az viszont módodban áll, hogy megmérd: milyen szöget zár be a tekinteted a földdel, mikor a kéményre nézel. Szögmérővel való szenvedés helyett persze van ehhez való precíz eszköz is: ez az ún. teodolit. Egy ilyen szerkezet elfér egy ember hóna alatt és égen-földön bármit meg lehet vele mérni – pusztán az által, hogy megméri a szögeket (és egy ún. tachiméterrel a dolgok tőle való távolságát). 2. Régen, mikor még nem tudott egy uszály önerőből felúszni egy folyón, azokat lovakkal vontatták. Nyilván persze nem a vízben úsztak ezek a lovak, hanem a folyó mellett húzták az úszályt. Világos, hogy akkor könnyű a lovaknak, ha egészen a part mellett húzhatják a hajót, és annál nehezebb nekik, minél távolabb kerülnek a parttól. Más szavakkal: Minél meredekebb szöget zár be a vontatókötél a hajó útvonalával, annál rosszabb a lónak – ti. az energia egy része, amit belefektet a hajó húzásába, arra megy, hogy akarva-akaratlanul is kihúzza azt a partra. A hajó persze a kormánnyal ellentart, mindenesetre a szegény pára rengeteg energiát feleslegesen fejt ki. Ha a ló közvetlenül a hajó előtt húzhatná azt, akkor világos, hogy a befektetett energia 100%-a arra megy, amire kell. Ha viszont a szerencsétlen ló vontatókötele valamilyen okból kifolyólag derékszöget zár be a hajó szándékolt útvonalával, akkor esélye sincs, hogy a vontatandó irányba húzza. A fenti példákból világosnak tűnik tehát, hogy érdemes lenne ezeket a szögeket méterekbe és hatékonyságba átszámolni. Ehhez teremtjük meg a matematikát ebben a fejezetben.
1
1.2. Arányok bonyolult elnevezései Lerajzolok egy szöget:
Ha erről azt állítom, hogy ez egy derékszögű háromszög egyik szöge, akkor elég világosnak tűnik, hogy hogyan fog kinézni majd, ha befejezem az ábrát:
vagy
vagy
vagy
vagy Ha még azt is megmondtam volna, hogy melyik oldalra kell majd a derékszög, még ez a változatosság is eltűnik.
vagy
vagy
vagy
vagy
Ha ezt tettem volna, akkor az egyetlen különbség, ahogy ezt másvalaki máshogy egészíthette volna ki, annyi lehetett volna csak, hogy nagyobb ez a háromszög, vagy kisebb. De lényegében ugyanarról a derékszögű háromszögről lett volna szó! Csak nagyság szerint különböztek volna ezek. Ez a matematikában úgy fogalmazzák meg, hogy az összes ilyen háromszög hasonló.
2
A fontos részlet tehát a következő: Ha mondok egy szöget, amiről azt állítom, hogy egy derékszögű háromszög egyik szöge, és megmondom, merre van a derékszög, akkor ezzel lényegében meg is adtam a háromszöget. Azért csak lényegében, mert az oldalak pontos hosszáról nem nyilatkoztam – csak arról, kb. hogyan néz ki: melyik oldal hosszabb, mennyivel, hányszorosa a másik oldalnak. . . Egyszóval az oldalak aránya van rögzítve. Arány: ez ennek a fejezetnek a kulcsszava.
1.3. Arányok nevei egy derékszögű háromszögben. 1.3.1. Tangens Tangens α-nak nevezzük és tg α-val jelöljük a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó arányát: szemközti def. melletti
átf og
ó
1.3.2. Kotangens Kotangens α-nak nevezzük és ctg α-val jelöljük a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó arányát: szemközti def. melletti
szemközti
tg α =
ctg α =
α
1.3.3. Szinusz melletti Szinusz α-nak nevezzük és sin α-val jelöljük a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát: szemközti def. átfogó
sin α = 1.3.4. Koszinusz
Koszinusz α-nak nevezzük és cos α-val jelöljük a szög melletti befogó és az átfogó arányát: cos α = def.
melletti átfogó
3
1.3.5. Számológép Ezeket azért érdemes ’függvényesíteni’, mert vannak ilyen gombok a számológépen. Például a fenti háromszögben ez az α szög: α = 56, 31◦ Erre ráütve a(z angolul beszélő számítógépek esetén a tan) tg függvényt: tg (56, 31) ≈ 1, 500 Tehát a szemközti befogó másfélszerakkora, mint a melletti befogó. Üssük be a szinuszt is beütve: sin (56, 31) ≈ 0, 832 Tehát a szemközti befogó pedig kábé 83%-a az átfogónak, azaz kb. négyötöde Ennek ott van haszna, hogy ha a szög mellé még azt is megmondom, hogy a melletti befogó igazából 4 cm (tényleg annyi), akkor a szemközti oldal a fenti számítások alapján 6 cm, és az átfogó (számológéppel:) 7,21. Tehát ezekkel igen gyorsan lehet derékszögű háromszögeket számolni. Kivéve a kotangenssel! Azt ugyanis nem fogjuk megtalálni a számológépen. Miért? Mert olyan egyszerű visszavezetni a tangensre, hogy nem érdemes rá külön gombot fenntartani: ctg α =
1 tg α
Azaz egy szög tangense és kotangense mindig egymás reciprokai, csak meg kell nézni a definícióikat. Az iménti ’gombokat’, új matematikai függvényeket, azaz az sin , cos , tg , ctg függvényeket trigonometrikus függvényeknek nevezik. Tehát e fejezet címét – „Arányok nevei egy derékszögű háromszögben” – nevezhettük volna „Trigonometrikus függvények”nek is.
1.4. Árkuszfüggvények Felmerülhet a kérdés persze, hogy hogyan lehet ezeket a függvényeket ’levakarni’ egy α szögről? Erre is van gomb, ami visszacsinálja az iménti függvényeket. Ezeket árkuszfüggvényeknek nevezik, de a számológépen csak egy −1-gyel szokás jelölni a függvény jobb felső sarkában:
4
sin −1
1 2
= 30◦
1 2
= sin (30◦ )
A sin −1 1/2 tehát arra adja meg a választ, hogy „minek a szinusza az 21 ?” avagy „Milyen szögű derékszögű háromszögben fele a szöggel szemközti befogó az átfogónak?”. Ehhez hasonlóan cos −1 1/2 azt mondja meg, hogy „minek a koszinusza az 21 ?”. A tg −1 1/2 pedig azt mondja meg, hogy „minek a tangense az 12 ?”. Ez utóbbit pedig az előbbihez hasonlóan nem tg −1 -ként hanem tan−1 -ként találjuk meg a számológépen. És ugyanígy, a kotangenst visszaalakító függvényre való gombot szintén nem találunk a számológépen. Ezeket a visszaalakító függvényeket összefoglalóan árkuszfüggvényeknek nevezik. És bár a számológépen a kapcsolódó függvény nevét bélyegzik meg −1 indexszel, az árkuszszinuszt arcsin-szal, az árkusz-koszinuszt arccos-szal, az árkusz-tangenst arctg-sel, az árkusz-kotangenst pedig arcctg-sel szokás még jelölni.
1.5. Nevezetes szögek arányai – Nevezetes arányok szögei Két nagyon egyszerű derékszögű háromszög van: A négyzet és a szabályos háromszög √ elfelezésével kapott derékszögű háromszög. Mivel egy a oldalú négyzet átlója a 2, és √ egy a oldalú szabályos háromszög magassága/súlyvonala/. . . pedig a 3 – bizonyítás Pitagorasz-tétellel, de érdemes egy életre megtanulni ezeket! –, így az ábrákról csak le
5
kell olvasni a 30, 45, 60 fokos szögek szögfüggvényeit.
2 1
2·
√
3 2
45◦
√ 2
=
√
3
30◦
60◦
45◦
1
sin 45◦ = cos 45◦ = tg 45◦ = ctg 45◦ =
1
√1 2 1 √ 2 1 1 1 1
√
= =
2 √2 2 2
sin 60◦ = cos 60◦ =
= 1
tg 60◦ =
= 1
ctg 60◦ =
√
3 2 1 2
√
sin 30◦ = cos 30◦ =
3 ctg 30◦ =
√1 3
ctg 30◦ =
1 2 √
3 2 √1 3
√ 3
1.6. Általánosabb definíció. Ha beütjük a 123795 szinuszát, a következőt kapjuk (én legalábbis): √ 2 sin 123795 = − 2 De mit is jelentene ez a fentiek kapcsán? Azt, hogy van egy derékszögű háromszög, √ amelyben az 123795 fokos szöggel szembeni befogó és az átfogó aránya − 2 : 2. Ami fura. De ez még semmi: Mi lenne a 150 fok szinusza? (Számológép: 12 ): Ez egy ilyen derékszögű háromszöget jelentene:
Hol van itt háromszög?
1.7. „Célkeresztes” definíció Távolabbi, idő hiányában itt most nem részletezett célok érdekében érdemes kiterjesztenünk a trigonometrikus függvények definícióit nem pusztán a ]0◦ ; 90◦ [ intervallum
6
elemeire, hanem minél több – akár negatív – szög értékeire is. Erre a következő gondolatmenettel fogunk jutni: • Azt fogjuk látni, hogy a trigonometrikus függvények valami fontosat mondanak el egy szöggel kapcsolatos műveletről: a pont körüli forgatásról. • Forgatni viszont nem csak 0◦ és 90◦ közt lehet. • Újradefiniáljuk majd a szögfüggvényeinket úgy, hogy 0◦ és 90◦ között ugyanazt mondják a forgatásokról, mint eddig, de a nagyobb szögek esetén is továbbjellemezzék a forgatásokat. 1.7.1. Szinusz és koszinusz Most hogy kellően homályos lett minden, jöjjön a rajz: Vegyünk egy egység sugarú kört egy koordinátarendszer közepében. Ekkor fogjuk az vízszintes jobbramutató, más néven (1, 0) vektort és forgassuk el az origó körül α fokkal. Legyenek a forgatás után kapott koordinátái (x, y). Csak a rajzra kell pillantani, és máris beláthatjuk, hogy ezek a koordináták nem mások, mint (cos α, sin α):
(x, y)
y
1
1
y
y 60◦
60◦
x
x
sin 60◦ = cos 60◦ =
Azaz a mostantól mindenki figyelmébe ajánlott ábra:
7
y 1 x 1
= y = x
sin α
1
(sin α, cos α)
α cos α
Tehát a cos α és sin α nem más, mint az (1, 0) vektor α szögű elforgatása után kapott vektor első és második koordinátája – ahol 0◦ < α < 90◦ . Legyen mától a sin és cos definíciója az, amit akkor kapunk, ha az előbbi mondat végéről azt a kiegészítést elhagyjuk! 2. Definíció (Szinusz és Koszinusz). cos α és sin α alatt (1, 0) vektor α szögű elforgatása után kapott vektor első és második koordinátáját értjük. Mától kezdve tehát van értelme bármilyen nagy – és bármilyen kicsi, akár negatív – szög elforgatása után kapott vektor koordinátáiról beszélni. Fontos, hogy innentől kezdve a szinusz akár lehet negatív is! Hiszen egy 270 fokos forgatás után állhat ’lefele’ az elforgatott vektor, azaz az y-koordinátája lehet negatív. 1.7.2. Tangens és kotangens Ahogy a forgatás kapcsán a szinusz és a koszinusz igen fontos dolgokat mondott el a forgatásról – az új koordinátákat – úgy a tangens is fontos információkkal szolgál: Ez mondja meg, hogy ha az elforgatott nyílra egyenest fektetnénk, akkor ’mennyit menne felfele az egyenes, amíg egyet lép jobbra’. Ezt ábrán a következőképpen szemléltethetnénk: a tangens a kör (1, 0) pontjába húzott érintőn lenne. A tangens egyébként szó szerint ezt jelenti: Érintő. A tangens
8
pedig nem lenne más, mint annak a pontnak a második koordinátája, amit az α-ra fektetett egyenes metsz ki ebből az érintőből. Ezen kell meditálni:
(1, z)
z
1
z
α
α
1
1 tg α =
Tehát, helyet nem kímélve a végleges ábra:
9
z 1
=z
1
(1, tg α)
α
1
A kotangens egy ehhez nagyon hasonló ábra lesz, csak nem a kör függőleges érintőjén kell majd keresni azt a szakaszt, hanem a vízszintes érintőn, a kör (0, 1) pontjába húzott érintőn. De azzal is igaz lesz az, hogy ctg α =
1 , tg α
így a kotangenssel sohasem kell külön
foglalkozni. Főleg, mivel a számológépek sem törődnek vele.
1.8. Trigonometrikus egyenletek 1.8.1. Szinusz A feladat: Mik lehetnek a megoldása a következő ún. trigonometrikus egyenletnek: sin x =
1 2
Számológépbe beütjük a sin −1 -et az 12 -re: x = 30◦
10
Ez azonban nem igaz. Mondunk pár másik megoldást: . . . − 1050, −690, −330, 390, 750, 1110, 1470, 1830, 2190, 2550, 2910, 3270, 3630, 3990, . . . Üssük be bátran bármelyiket a számológépbe és nézzük meg, tényleg 12 -t ad-e a szinuszuk, azaz tényleg jó megoldások-e. Tényleg jók. Némileg egyszerűsíthetünk a megoldások felsorolásán: . . . , 30+(−3)·360, 30+(−2)·360, 30+(−1)·360, 30+0·360, 30+1·360, 30+2·360, 30+3·360, . . . Vagy akkor már inkább: x = 30 + k · 360, ahol k egy egész szám. Nyilván. a 360◦ -os továbbforgatás, mivel egy teljes környi forgatást jelent, ugyanoda viszi vissza a nyilat – csak tesz közben egy kört. Olyan ez, mint mikor ha ránéz az ember egy órára, majd vár 12 órát és megint ránéz, nem fog különbséget látni. Miért is látna. Van azonban még így is kihagyott megoldás. Gondoljunk bele a körbe! sin x =
1 2
megoldásainak keresése azt jelenti, hogy milyen szögnek lesz a szinusza 21 , avagy milyen forgatás után lesz az y-ra vetített szakasz 12 ? Hát a 150 is jó, egy könnyed ábra rögtön el is árulja: ÁBRA! Ez általában is elmondható 3. Tétel (Szinusz és az y-tengely). sin (α) = sin (180◦ − α) Ez lényegében azt mondja csak, hogy egy szög szinusza az y-tengelyre vonatkozó tükrözés során nem változik. Tehát sin x =
1 2
összes megoldásai: x = 30 + k · 360◦ x = 150 + k · 360◦
11
1.8.2. Koszinusz MAGYARÁZAT ÉS ÁBRA 4. Tétel (Koszinusz és az x-tengely). cos (α) = cos (−α) Ez lényegében azt mondja csak, hogy egy szög szinusza az x-tengelyre vonatkozó tükrözés során nem változik. 1.8.3. Tangens 1.8.4. Kotangens
1.9. Skaláris szorzat Régen, mikor még nem tudott egy uszály önerőből felúszni egy folyón, azokat lovakkal vontatták. Nyilván persze nem a vízben úsztak ezek a lovak, hanem a folyó mellett húzták az úszályt. Világos, hogy akkor könnyű a lovaknak, ha egészen a part mellett húzhatják a hajót, és annál nehezebb nekik, minél távolabb kerülnek a parttól. Más szavakkal: Minél meredekebb szöget zár be a vontatókötél a hajó útvonalával, annál rosszabb a lónak – ti. az energia egy része, amit belefektet a hajó húzásába, arra megy, hogy akarva-akaratlanul is kihúzza azt a partra. A hajó persze a kormánnyal ellentart, mindenesetre a szegény pára rengeteg energiát feleslegesen fejt ki. Ha a ló közvetlenül a hajó előtt húzhatná azt, akkor világos, hogy a befektetett energia 100%-a arra megy, amire kell. Ha viszont a szerencsétlen ló vontatókötele valamilyen okból kifolyólag derékszöget zár be a hajó szándékolt útvonalával, akkor esélye sincs, hogy a vontatandó irányba húzza. Tehát az a bizonyos szög az elmozdulás és a befektetett erő közt igen fontos. De ismerjük ezt fizikából: W = Fs Balra van az ún. mechanikai munka (W ), ez lenne a hasznos energiamennyiség, ami a hajót a lovak erejével (F ) valamilyen irányba elmozdít valamennyit (s). Mármost ezek itt vektorok: A befektetett erő nagysága és az elmozdulás mértéke mellett az irány is nagyon fontos. Ugyanakkor ezek itt vektorok – hogy kell ezeket összeszorozni? Így: F s = |F | · |s| · cos α
12
ahol |F | az erő nagysága, |s| az elmozdulás nagysága, α pedig az erő és az elmozdulás által bezárt szög. Ezt általánosítjuk bármely két vektorra: ~a · ~b =def. |~a| · |~b| · cos γ γ Világos, hogy az így definiált szorzásban fel lehet cserélni a tagokat: ab = ba mivel cos 0◦ = 1, ~a~a = |~a| · |~a| · 1 = |~a|2 és a számunkra legfontosabb tulajdonság: a zárójeleket a szokásos módon kell felbontani: ~a(~b + ~c) = ~a~b + ~a~c
1.10. Koszinusz-tétel Talán emlékszünk arra, hogy mikor lehet egy háromszöget egyértelműen megszerkeszteni. Például akkor, amikor • Ha meg van adva a három oldala. Ezek egyértelműen meghatározzák a háromszög szögeit is. • Ha meg van adva két oldala, és a közbezárt szögük. Innen már könnyű a harmadik oldalt megszerkeszteni. • Ha meg van adva két oldala, és az egyikkel szemközti szög. Innen meg lehet szerkeszteni a hiányzó oldalt. Itt mind a három pontban 3 dologról volt szó: kettő vagy három oldalról, és néha egy szögről. Az úgynevezett koszinusz-tétel feladata, hogy összefoglalóan tárgyalja a fenti három pontot: 5. Tétel (Koszinusz-tétel). c2 = a2 + b2 − 2abcos γ Más szóval: Ha bármely háromszögben adott az a, b, c, γ adatok közül három, akkor a negyedik kiszámítható.
13
Bizonyítás: Ha veszünk egy tetszőleges háromszöget, pl c a
γ
b
Akkor ha az ábrán látható módon teszünk minden oldalra egy akkora vektort – más szóval |~a| = a, |~b| = b, |~c| = c –, akkor a c-t fel tudjuk írni az ~a és ~b vektorok különbségeként. ~c = ~a − ~b
~a
γ
~b
És így: ~c = ~a − ~b ~c2 = (~a − ~b)2
/()2 (szorzat felbontása)
~c2 = ~a2 − 2~a~b + ~b2 2
|~c|
(skalárszorzás)
= |~a| − 2 · |~a| · |~b| · cos γ + |~b| 2
2
(skalárszorzás)
c2 = a2 − 2 · a · b · cos γ + b2 c2 = a2 + b2 − 2abcos γ
1.11. Szinusz-tétel Ez a koszinusz-tétel testvére. Ugyanis máshogy is meg lehet még egyértelműen adni háromszöget, pl. több szöggel és kevesebb oldallal. • Ha meg van adva egy oldala, egy ezzel szemközti szöge és egy ezen lévő szöge. 6. Tétel (Szinusz-tétel). sin α a = sin β b Más szóval: Ha bármely háromszögben adott az a, b, α, β adatok közül három, akkor a negyedik kiszámítható.
14
Bizonyítás:
a
b
β
α
c a
mc
β
b α
c
Rajzoljuk be a c-hez tartozó magasságot!
Itt van két derékszögű háromszög, írjuk fel a bennük lévő α és β szögekre a szinuszt: sin α =
mc b
mc a De mivel az mc senkit sem érdekel, rendezzük ezt a kettőt úgy, hogy kihagyhassuk az sin β =
mc -t: bsin α = mc asin β = mc Mármost amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők1 . bsin α = asin β Ez már az, hiszen egy oldalra hozva a szinuszokat és az oldalakat: a sin α = b sin β
1.12. A háromszög trigonometrikus területképlete Egy háromszög területe: T4 = 1
a · ma b · mb c · mc = = 2 2 2
Euklidészt idéztem.
15
Magyarul az oldal és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele. Mármost a szinusztétel bizonyításában volt egy pillanat, amikor kifejeztük mc -t a-val és b-vel: asin β = mc Tehát ezt ki lehetne ütni a területképletből: T4 =
c · mc c · a · sin β = 2 2
Tehát 7. Tétel (Trigonometrikus területképlet). T4 =
a · c · sin β 2
a · b · sin γ 2 b · c · sin α T4 = 2 Tehát egy háromszög területe nem más, mint a fele a két oldal és a közbezárt szög T4 =
szinusza által alkotott szorzatnak.
16
