IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

214

IX. A

Tartalomjegyzék

Fejezet tartalma

Vissza

A trigonometria alkalmazása a geometriában TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX.1. A szinusz tétel 1.1. Feladat. Számítsd ki az ABC háromszög köré írható kör sugarát a háromszög egy oldala és a szemben fekvő szög függvényében. Megoldás. Az ABC∆ jelöljük O -val a körülírt kör sugarát és A1 -gyel a m ) = 2m( BAC n) BC oldal felezőpontját. Ekkor m(n BOC ) = m( BC n hegyesszög, akkor m(COA n ) = 1 m( BOC n ) = m( BAC n ) , tehát Ha a BAC 1 2 n = A1C . az OA1C derékszögű háromszögben sin COA 1 OC a n ) = m( BAC n ) , tehát az R = a . De A1C = , OC = R és m(COA 1 2 sin A 2 D n ) = 2m(COA n ) = 360 − 2m( BAC n) . n tompaszög, akkor m( BOC Ha BAC

IX.1. ábra

A

O B

C

A1

A A1

B

C

O

1

n= Így a COA1 derékszögű háromszögben a sin COA 1

alapján R = OC =

A1C egyenlőség OC

IX.2. ábra

a a . = 2 sin(180 D − BAC ) 2 sin A

a b c = = = 2 R , tehát érvényes a következő tétel: sin A sin B sin C 1.2. Tétel. (A szinusz tétel) Ha az ABC háromszög oldalainak hossza IX.3. ábra a b c = = = 2R . a , b és c , és a köré írt kör sugara R , akkor A sin A sin B sin C Az előbbi tételt gyakran használjuk a háromszög oldalainak kiszámítására vagy egyéb összefüggések levezetésére. Más bizonyítást is adhatunk a O tételre, ha megszerkesztjük valamelyik csúcsból kiinduló átmérőt. B n n C Ha A1 az A átmérősen ellentett pontja, akkor BA 1 A ≡ BCA és AA1 = 2 R , A 1 AB c n tehát sin C = sin B . A1 A = = AA1 2 R

Az előbbiek alapján

IX.1.1. Alkalmazások 1. Az ABC∆ -ben M a BC tetszőleges pontja. Ha R1 és R 2 az ABM ∆ illetve ACM ∆ köré írt kör R1 AB = . R 2 AC AM Bizonyítás. Az ABM ∆ -ben = 2 R1 és az sin n ABM

A

sugara, bizonyítsuk be, hogy

AM ACM ∆ -ben = 2 R2 , tehát n sin ACM

O1 B

R1

IX.4. ábra

R 2 O2

M

C

Tartalomjegyzék

Fejezet tartalma

A trigonometria alkalmazása a geometriában

215

AB n sin C R1 sin ACM AB = = = 2R = , ahol R az ABC∆ köré írt kör sugara. n AC R2 sin ABM sin B AC 2R BM CM Megjegyzés. Az ABM és ACM háromszögekben = 2 R1 és = 2 R 2 , tehát sin BAM sin CAM n BM AB sin BAM az előbbi egyenlőség ekvivalens a (*) = ⋅ n MC AC sin CAM

egyenlőséggel. Ezt nagyon gyakran használhatjuk feladatok megoldásában. 2. Bizonyítsuk be, hogy ha H az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja, akkor HA = 2 R cos A és HA1 = 2 R cos B cos C . n≡n IX.5. ábra Bizonyítás. A IX.5. ábra jelölései alapján AHC A BC , tehát 1

1

1

AC1 AC1 sin B = . Az AC1C háromszögben cos A = , AC HA AC1 AC cos A = = 2 R cos A . HA = sin B sin B Ebből következik, hogy HA1 = cos B ⋅ HC = 2 R cos B ⋅ cos C .

A

tehát

C1 B

B1 A1 C

IX.1.2. Gyakorlatok 1. Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög pontosan akkor derékszögű A -ban, ha sin 2 A = sin 2 B + sin 2 C .

2 . Határozd meg a C szög mértékét. 5 3. Számítsd ki az ABC háromszög oldalainak és szögeinek a mértékét, ha

2. Az ABC háromszögben a = 3 , b = 4 és sin A =

a) a = 2 , b = 4 és A =

π

;

b) a =

π 2 3 , b = és A = ; 6 2 2

3 sin( A − B ) a 2 − b 2 = 4. Bizonyítsd be, hogy . sin( A + B ) c2 5. Bizonyítsd be, hogy b+c B+C a) ha a = és A = , akkor az ABC háromszög egyenlő oldalú. 2 2 sin 2 A a 2 b) ha = , akkor az ABC háromszög derékszögű. cos A bc A− B C a−b 6. Bizonyítsd be, hogy bármely ABC háromszögben tg tg = . (Tangens tétel) 2 2 a+b

Fejezet tartalma

216

Tartalomjegyzék

A trigonometria alkalmazása a geometriában IX.2. A koszinusz tétel

2.1. Feladat. Az ABC háromszögben jelöljük D -vel az A -ból húzott magasság

l ) < π . Hogyan talppontját. Bizonyítsuk be, hogy AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 BC ⋅ DC , ha m(C 2 π l) ≥ ? változik az előbbi egyenlőség, ha m(C 2 l ) < π , akkor C ∉ ( BD) . Megoldás. Ha m(C IX.6. ábra 2 A Ha D ∈ ( BC ) , akkor az ABD és ADC háromszögekben:

B

D

C

AD 2 = AC 2 − DC 2 , AD 2 = AB 2 − BD 2 , tehát AC 2 − AB 2 − DC 2 + BD 2 = 0 . Így AB 2 = AC 2 − ( DC − BD )( DC + BD ) = AC 2 − ( DC − ( BC − DC )) BC = AC 2 + BC 2 − 2 BC ⋅ DC .

Ha B ∈ (DC ) , akkor

A IX.7. ábra

AB 2 = AC 2 − ( DC − BD )( DC + BD ) = AC 2 − ( DC − BC + DC ) BC =

D

B IX.8. ábra

C A

AC 2 + BC 2 − 2 BC ⋅ DC Mindkét esetben a kívánt egyenlőséghez jutunk. l ) > π ), akkor Ha C ∈ (BC ) (vagyis m(C 2 AB 2 = AC 2 − ( DC − BD )( DC + BD ) =

AC 2 − ( DC − BC + DC )(− BC ) = AC 2 + BC 2 + 2 BC ⋅ DC , tehát az utolsó tag előjele változik meg. π l ) < , akkor az ADC -ben cos C = DC , tehát AC = DC ⋅ cos C és így az előbbi Ha m(C ∆ 2 AC

B

C D

összefüggés AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 BC ⋅ AC ⋅ cos C alakba írható. Ugyanez az összefüggés l ) ≥ π esetén is, hisz ekkor cos C = − DC . érvényes m(C 2 AC Az előbbiek alapján érvényes a következő tétel: 2.2. Tétel. (Koszinusz tétel) Az ABC háromszögben a , b és c a BC , CA és AB oldal hossza, akkor érvényesek az alábbi egyenlőségek: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C . 2.3.Következmény. Az ABC háromszögben sin cos

A = 2

p( p − a) a+b+c , ahol p = . bc 2

A = 2

( p − c)( p − b) és bc

Tartalomjegyzék

Fejezet tartalma

A trigonometria alkalmazása a geometriában

217

Bizonyítás sin

1−

1 − cos A A = = 2 2

b2 + c2 − a2 2bc = 2

cos

1 + cos A A = = 2 2

(a − b + c)(a + b − c) = 4bc

( p − b)( p − c) . bc

= 1+

a 2 − (b − c) 2 = 4bc

b2 + c2 − a2 2bc = 2 =

(b + c) 2 − a 2 = 4bc

(a + b + c)(− a + b + c) = 4bc

p( p − a) . bc

IX.2.1. Alkalmazások l ) = 3 35 . Számítsuk ki az AC oldal hosszát. 1. Az ABC∆ -ben AB = 5 , BC = 7 és m( B 70 3 35 Megoldás. AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB ⋅ BC ⋅ cos B = 5 + 7 − 2 35 = 12 − 3 = 9 . 70 2. Bizonyítsuk be, hogy ha a , b és c az ABC∆ oldalainak hossza, akkor

(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c ) +1 . 2abc b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 Bizonyítás. A koszinusz tétel alapján cos A = , cos B = és 2bc 2ca a2 + b2 − c2 , tehát cos C = 2ab a(b 2 + c 2 − a 2 ) + b(c 2 + a 2 − b 2 ) + c(a 2 + b 2 − c 2 ) cos A + cos B + cos C = = 2abc (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) ab 2 + a 2 b + ac 2 + a 2 c + bc 2 + b 2 c − a 3 − b 3 − c 3 = = +1. 2abc 2abc 3. Bizonyítsd be, hogy ha A , B és C egy háromszög szögei, akkor érvényes az alábbi egyenlőtlenség: 3 cos A + cos B + cos C ≤ . 2 1. bizonyítás. A 2. feladat alapján (− a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) cos A + cos B + cos C − 1 = , 2abc tehát elégséges igazolni, hogy (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) ≤ abc . Az előbbi egyenlőtlenség bal oldalán minden tényező pozitív (a háromszög-egyenlőtlenség alapján). Szorozzuk össze az a 2 − (b − c) 2 ≤ a 2 , b 2 − (c − a) 2 ≤ b 2 és c 2 − (b − a) 2 ≤ c 2 cos A + cos B + cos C =

Fejezet tartalma

218

Tartalomjegyzék

A trigonometria alkalmazása a geometriában

egyenlőtlenségeket. Így az [(−a + b + c)(a − b + c )(a + b − c)] ≤ a 2 b 2 c 2 egyenlőtlenséghez jutunk. Innen következik a kívánt egyenlőtlenség. 2. bizonyítás. A C = π − ( A + B ) egyenlőség alapján 2

3 − 2 cos A − 2 cos B − 2 cos C = cos 2 A + sin 2 A + cos 2 B + sin 2 B + +1 − 2 cos A − 2 cos B + 2 cos A cos B − 2 sin A sin B = = (sin A − sin B ) 2 + (cos A + cos B − 1) 2 ≥ 0 .

IX.2.2. Gyakorlatok és feladatok 1. Bizonyítsd be, hogy az ABC∆ pontosan akkor hegyesszögű, ha a 2 , b 2 és c 2 lehet egy háromszög oldalainak hossza. b+c 2. Bizonyítsd be, hogy az ABC∆ pontosan akkor egyenlőszárú, ha = cos B + cos C . a 3. Bizonyítsd be, hogy b) b cos B + c cos C = a cos( B − C ) ; a) b cos C + c cos B = a ; b2 − c2 b2 − c2 ; d) b cos B − c cos C = − cos A ⋅ . a a 4. Bizonyítsd be, hogy ha 2 cos A + cos B + cos C = 2 , akkor b + c = 2a . 5. Számítsd ki a következő összegeket: a) (a + b) cos C + (b + c ) cos A + (c + a) cos B ;

c) b cos C − c cos B =

cos B − cos C cos C − cos A cos A − cos B + + . b+c−a b+c−a a+b−c 6. Adott az ABC∆ .

b)

a) Bizonyítsd be, hogy ha M ∈ (BC ) , akkor AB 2 ⋅ MC + AC 2 ⋅ MB − BC ⋅ MA2 = MB ⋅ MC ⋅ BC . (Stewart tétel) b) Bizonyítsd be ebből kiindulva az oldalfelező hosszára vonatkozó tételt. c) Számítsd ki a belső szögfelező hosszát. d) Bizonyítsd be, hogy ha a két belső szögfelező kongruens, akkor az ABC∆ egyenlőszárú. e) Lehet-e egyenlő egy belső és egy külső szögfelező hossza? 7. Bizonyítsd be, hogy ha G az ABC∆ súlypontja és O a köré írt kör középpontja, akkor

a) ha M egy pont az ABC∆ síkjában, akkor MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 +

a2 + b2 + c2 . 3

(Leibniz tétel)

b) azon pontok mértani helye, amelyekre MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3R 2 a G középpontú OG sugarú kör. 8. Bizonyítsd be, hogy ha a, b, c > 0 , akkor 9. Oldd meg a következő egyenleteket:

a 2 − ab + b 2 + a 2 − ac + c 2 ≥ b 2 + bc + c 2 .

a)

 π 15 − 12 cos x + 7 − 4 3 sin x = 4 , ha x ∈  0,  ;  2

b)

 π 2 − 2 cos x + 10 − 6 cos x = 10 − 6 cos x , ha x ∈  0,  .  2

Tartalomjegyzék

Fejezet tartalma

A trigonometria alkalmazása a geometriában

219

10. Az ABC∆ -ben M ∈ (AC ) és N ∈ ( AB) . Bizonyítsd be, hogy a BC 2 + MN 2 = BM 2 + CN 2 egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha m( lA) = 90D .

IX. 3. A háromszög területképletei. A háromszögbe írt és a háromszög köré írt kör Az a és b oldalhosszú téglalap területe T = a ⋅ b . Ebből következik, hogy a paralelogramma területe T = a ⋅ h , mert minden paralelogramma ugyanakkora területű, mint az ugyanolyan alapú és ugyanolyan magasságú téglalap.(lásd a IX.9. ábrát).

A

h

h

a IX.9. ábra

B’

ha a

B

A’

IX.10. ábra

C

Ha az ABC∆ BC = a oldalához tartozó magassága ha , akkor az ABCB ′ paralelogramma a ⋅ ha területe az ABC∆ területének a kétszerese. Így T [ ABC∆ ] = . 2 h a ⋅ c ⋅ sin B . Az ABA∆′ -ben sin B = a , tehát T [ ABC∆ ] = 2 AB abc Ha ebben az egyenlőségben a szinusz tételt alkalmazzuk, akkor a T [ABC ] = 4R egyenlőséghez jutunk. Az a = 2 R sin A , b = 2 R sin B és c = 2 R sin C egyenlőségek alapján T [ABC ] = 2 R 2 sin A sin B sin C . ac sin B A T [ ABC∆ ] = egyenlőségből következik, hogy 2 B B ( p − a )( p − c) p( p − b) T [ ABC∆ ] = ac sin cos = ac ⋅ = p ( p − a)( p − b)( p − c) 2 2 ac ac Tehát

T [ ABC∆ ] =

p( p − a)( p − b)( p − c) .

(Heron képlet)

Ha P egy tetszőleges pont a háromszög belsejében és x , y , z a BC , CA illetve AB oldalaktól mért távolságai, akkor A ax + by + cz T [ ABC∆ ] = T [ BCP∆ ] + T [CAP∆ ] + T [ APB∆ ] = . 2 P Sajátos esetben, ha x = y = z = r ( r a háromszögbe írt kör sugara), C B IX.11. ábra akkor az előbbi összefüggés alapján a+b+c A T= ⋅r = p⋅r. 2 Hasonló összefüggéshez jutunk, ha a háromszög oldalait érintő külső körök (a háromszöghöz írt körök) középpontjait tekintjük (lásd a IX.12. ábrát): B C T [ ABC∆ ] = T [ I a BA∆ ] + T [ I a CA∆ ] − T [ I a BC∆ ] = 1 1 1 −a + b + c c ⋅ ra + b ⋅ ra + c ⋅ ra = ⋅ ra = ( p − a )ra 2 2 2 2

Ia

ra

IX.12. ábra

Fejezet tartalma

220

Tartalomjegyzék

A trigonometria alkalmazása a geometriában

IX.3.1. Gyakorlatok és feladatok 1. Ha az ABC háromszögben M ∈ BC , akkor n BM AB sin BAM = ⋅ . n MC AC sin CAM 2. Ha az ABC háromszögben D ∈ (BC ) , M ∈ ( AB ) , N ∈ ( AC ) és {E} = MN ∩ AD , akkor BD NE AB AN ⋅ = ⋅ . DC EM AC AM 3. Határozd meg az ABC háromszög azon belső pontját, amelyre az oldalaktól való távolságok négyzetösszege minimális. 4. Bizonyítsd be, hogy az A -ban derékszögű ABC háromszögben B a−c C a −b tg 2 = és tg 2 = . 2 a+c 2 a+b 5. Bizonyítsd be, hogy ha egy háromszögben sin B + cos B = sin C + cos C , akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű. 6. Határozd meg az ABC háromszög oldalainak hosszát és szögeinek a mértékét, ha ismerjük a következő adatokat: 24 12 l ) = 30D ; a) a = 4 , sin B = , sin C = ; b) b = 1 , m( lA) = 135D , m(C 25 13 c) a = 7 , b = 5 , c = 6 ; d) m( l A) = 18D , b = 2 , c = 3 ;

e) a = 15 , c = 13 , T = 24 ;

f) a = 14 , c = 13 , cos B =

53 3 , cos C = ; 65 5 4 i) a = 10 , b = 14 , cos C = ; 5

g) b = 3 , cos A =

5 ; 13

h) a = 15 , b = 4 , c = 13 ; j) a = 2 , b = 2 , m( lA) = 30D ;

2 10 ; l) a = 3 , b = 6 , m( lA) = 60D ; 7 4 1 1513 . m) a = 13 , cos A = , m a = 5 2 7. Határozd meg az ABC háromszög oldalainak hosszát és szögeinek a mértékét, ha ismerjük a következő adatokat: b) a + b = m , A és B ; c) A , B , T ; a) A , B , p ;

k) a = 10 , b = 14 , cos A =

d) a , mb , m c ; g) a , hb , hc ;

e) a , b , m c ; h) a , m a , ha ;

f) ha , hb , cos A ; i) a , A , b − c = d ;

l ) = 30D , T = 8,75 m 2 . j) a 2 − b 2 = 24 , m(C AC 2 2 8. Az ABC háromszögben m( lA) = 45D és . Bizonyítsd be, hogy tgB = 2 . = AB 3 9. Határozd meg az ABC háromszög szögeinek mértékét, ha sin A + sin B =

2 2 (1 + 3 ) és cos A + cos B = (3 + 3 ) . 4 4

Fejezet tartalma

A trigonometria alkalmazása a geometriában 10. Az ABC háromszögben AC = b , cos B =

Tartalomjegyzék

221

7 és hb = ha + hc . Számítsd ki a háromszög 8

területét! 11. Az ABC háromszög oldalai egyenesen arányosak a 2 , 1 + 3 és 6 számokkal. Számítsd ki a háromszög szögeit! 12. Az ABC háromszögben b > c , a = 78 , R = 65 és r = 28 . Számítsd ki b -t és c -t! 13. Egy háromszög egyik csúcsából induló magasság és oldalfelező három egyenlő részre osztja a szöget. Bizonyítsd be, hogy a háromszög derékszögű. 14. Egy háromszög egyik csúcsából induló magasság, oldalfelező és szögfelező négy egyenlő részre osztja a szöget. Bizonyítsd be, hogy a háromszög derékszögű. 15. a) Számítsd ki a beírt kör érintési pontjai által az oldalon meghatározott szakaszok hosszát. b) Számítsd ki az oldalakhoz írt körök érintési pontjai által meghatározott szakaszok hosszát. c) Bizonyítsd be, hogy ha a beírt kör a BC , CA és AB oldalt M , N illetve P -ben érinti, akkor AM , BN és CP összefutó egyenesek. (Gergonne pont) d) Bizonyítsd be, hogy ha a BC , CA és AB oldalához írt körök ezeket az oldalakat M , N illetve P -ben érintik, akkor AM , BN és CP összefutók. (Nagel pont) 4S . 16. Bizonyítsd be, hogy tg A = 2 b + c2 − a2 17. Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszögben pontosan akkor teljesül a  2 ctg A + ctg B = k ⋅ ctg C egyenlőség, ha a 2 + b 2 = 1 + c 2 .  k 18. Számítsd ki az R sugarú körre írt n oldalú szabályos sokszög területét, ha 1 1 1 = + . AB AC AD 19. Bizonyítsd be a következő egyenlőségeket: A B C A A a) r = ( p − a ) tg ; b) T = p ( p − a) tg ; c) p = 4 R cos cos cos ; 2 2 2 2 2 A B C A B C r d) p − a = 2 R cos sin sin ; e) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 − ; 2 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 1 1 1 1 1 f) g) + + = ; h) ra + rb + rc − r = 4 R ; + + = ; ra rb rc r h a hb h c r A B C S i) rra rb rc = S ; j) ctg + ctg + ctg = 2 ; 2 2 2 r a(b + c) b( a + c ) c ( a + b) + k) + = 4 ; l) a 2 ctg A + b 2 ctg B + c 2 ctg C = 4S ; ra (rb + rc ) rb (ra + rc ) rc (ra + rb ) m) 16S 2 = 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − a 4 − b 4 − c 4 ; A B C + b 2 ctg + c 2 ctg 2 2 2 = 2p . n) a ⋅ ctg A + b ⋅ ctg B + c ⋅ ctg C a 2 ctg

(Héron)

Tartalomjegyzék

Fejezet tartalma

222

A trigonometria alkalmazása a geometriában

20. Bizonyítsd be a következő egyenlőtlenségeket: A B C 1 a) sin ⋅ sin ⋅ sin ≤ ; b) cos 2 2 2 2 8 21. Bizonyítsd be, hogy 1 a) sin 18° ⋅ sin 54° = ; 4 c) tg 3 D = tg 15 D ⋅ tg 21D ⋅ tg 27 D ; 22. Oldd meg a következő egyenletrendszereket:  x 2 + y 2 = 4 a)  ;  x 3 y − xy 3 = 12

B − C 2r ≥ ; R 2

c) 27 Rr ≤ 2 p 2 .

b) sin 84° ⋅ sin 24° = sin 54° ; d) tg 5 D ⋅ ctg 15 D ⋅ ctg 25 D ⋅ ctg 35 D = 1 .

 x 2 + y 2 = 1 b)  2 ;  x − y 2 = 2 xy  x 2 + y 2 = 1  x 2 + y 2 = 1 c)  3 ; d) .  4 x − 3x = 3 y − 4 y 3  x + 3 y = 4 xy 23. Az x , y , z pozitív számok teljesítik a következő egyenlőségeket: y2 + z2 = 9 , 3 Számítsd ki az xy + 2 yz + 3xz kifejezés értékét. x 2 + xy + y 2 = 25 ,

z 2 + xz + x 2 = 16 .

24. Oldd meg a 1 − x 2 = 4 x 2 − 3x egyenletet, ha x ∈ \ . 25. Oldd meg az  2x y = − x2 1  2y  egyenletrendszert, ha x, y , z ∈ \ . z = 2  1− y  2z x = 1− z2  26. Oldd meg a 2 x − 1 − 4 x 2 = 2 (8 x 2 − 1) egyenletet a valós számok halmazában. 4 xy (2 x − 1) = 1 27. Oldd meg \ -en a  2 egyenletrendszert.  x + y 2 = 1 28. Bizonyítsd be, hogy ha a k1 , k 2 és k 3 pozitív számok teljesítik a 2

k1 (1 + k 2 ) 2 = k 2 (1 + k 1 )(1 + k 3 ) k 2 (1 + k 3 ) 2 = k 3 (1 + k 2 )(1 + k1 )

egyenlőségeket, akkor k1 = k 2 = k 3 .

Tovább