Trigonometria és koordináta geometria

Tantárgy neve Tantárgy kódja Meghirdetés féléve Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) Számonkérés módja Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve Tantárgyfelelős beosztása

Trigonometria és koordináta­geometria MTB1001 I. 4k 30+30 Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Dr. Szalontai Tibor, PhD Főiskolai tanár

1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A középiskolai trigonometriai és koordináta-geometriai anyag ismétlése és kiegészítése, továbbfejlesztése. Speciálisan további trigonometriai összefüggések és tételek megismerése; a szabadvektor fogalmára építve a háromdimenziós euklideszi tér mint speciális vektortér kiépítése, a skaláris szorzat mellett a vektoriális és a vegyes szorzás bevezetése és változatos alkalmazásaik; a tér egyeneseinek és síkjainak vizsgálata. Különös figyelmet fordítunk azokra az ismeretekre, amelyeket más matematikai kurzusok felhasználnak, illetve amelyek a lineáris algebra tantárgyat készítik elő. 2. A tantárgy tartalma     1. Előadás: A szabadvektor fogalma a háromdimenziós euklideszi térben. Vektorok összege, az összeadás tulajdonságai. Vektor valós számmal (skalárral) szorzása, tulajdonságai. A helyzetvektor fogalma. Osztóviszony. Példák vektorok felhasználására geometriai bizonyításoknál, feladatoknál. Gyakorlat: Sík­ és térgeometriai tételek bizonyítása, feladatok megoldása vektorok összeadása, kivonása, skalárszorosa segítségével.  2. Előadás: Vektorok lineáris kombinációja, lineáris függősége. Bázis, a vektor koordinátái. Egységvektor. Ortonormált bázis. A síkbeli és a térbeli Descartes­féle koordináta­rendszer. Koordinátákkal adott vektorok összege, különbsége, számszorosa, lineáris kombinációja. Gyakorlat: Feladatok szakaszt adott arányban osztó pontra. A háromszög súlypontja. Feladatok koordinátákkal adott vektorok összegére, különbségére, számszorosára. Vektor hossza (normája), két pont távolsága.  3. Előadás: A szögfüggvények geometriai értelmezése és alapvető tulajdonságai. Az arkusz függvények. A háromszögre vonatkozó szinusztétel. A paralelogramma, a háromszög, a szabályos sokszög területe szögfüggvénnyel. Ferde hengerszerű test térfogata az alapterület, az alkotó és annak az alaplap síkjával bezárt szögének ismeretében. Gyakorlat: Nevezetes szögek szögfüggvényei, leolvasóábrák. Feladatok szinusztételre, területre, térfogatra. Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. 4. Előadás:

Vektorok skaláris szorzata, tulajdonságai. A háromszögre vonatkozó koszinusztétel. Vektor adott irányra eső merőleges vetülete. Skaláris szorzat kiszámítása ortonormált bázisra vonatkozó koordinátákkal.  Gyakorlat: Feladatok skaláris szorzatra. Feladatok szinusz­ és koszinusztételre.      5. Előadás: Nevezetes trigonometrikus összefüggések, azonosságok. Addíciós tételek, kétszeres és félszögek szög­függvényei. (Továbbá például szögfüggvények transzformációival egyszerűen belátható összefüggések:     sin x=cos x−  , cos x=sin  x  , sin xcos x=  2 sin  x =  2  cos x−  ) 2 2 4 4 Gyakorlat: Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.     6. Előadás: A háromszögre vonatkozó tangenstétel. A skaláris szorzat további alkalmazásai: Koordinátákkal adott két vektor szögének meghatározása. Pont és egyenes távolsága a síkban.  Gyakorlat: Feladatok a háromszögre vonatkozó tételekre. Vegyes trigonometriai feladatok. Feladatok skaláris szorzatra, vektorok szögére, pont és egyenes távolságára.     7. Előadás: Vektorok vektoriális szorzata és tulajdonságai. A paralelogramma és a háromszög területe vektoriális szorzattal. A 2×2­es és a 3×3­as determináns. Sarrus­szabály. Kifejtési tétel. Jacobi azonosság. Gyakorlat: 1. zárthelyi dolgozat.     8. Előadás: Három vektor vegyes szorzata és tulajdonságai. A paralelepipedon és a tetraéder térfogata. Gyakorlat: Feladatok vektoriális szorzásra és vegyes szorzatra (koordinátákkal adott vektorokkal, determinánssal is). Problémamegoldás (pl. terület, térfogat, vetület, távolság, szög, szögfelező, komplanaritás, triéder)     9. Előadás: A sík paraméteres előállítása. A sík normálvektoros előállítása és egyenlete. Két sík szöge. Pont és sík távolsága. Két párhuzamos sík távolsága. Gyakorlat: Koordináta­geometriai feladatok síkokkal.     10. Előadás:  Az egyenes paraméteres előállítása a síkban és a térben. Irányvektoros egyenlete a síkban,   egyenletrendszere a térben.  Az egyenes normálvektoros előállítása és egyenlete a síkban.   Két  egyenes szöge. Két párhuzamos egyenes távolsága. Egyenes és vele párhuzamos sík 

 távolsága. Egyenes és sík szöge.   Gyakorlat:  Az egyenes további egyenletei a síkban. Koordináta­geometriai feladatok egyenesekkel és  síkokkal.     11. Előadás:  Az egyenes normálegyenlete a síkban. Két metsző egyenes által bezárt szögeket felező    egyenesek (szimmetriatengelyek) a síkban. A sík normálegyenlete. Két metsző sík által  bezárt  szögeket felező síkok (szimmetriasíkok vagy szögfelezősíkok).  Gyakorlat:  Koordináta­geometriai feladatok egyenesekkel és síkokkal.     12. Előadás:  A kör egyenlete a síkbeli Descartes­féle koordináta­rendszerben. A gömb egyenlete.    Polárkoordináták a síkban. A kör paraméteres egyenletrendszere.  Gyakorlat:  Koordináta­geometriai feladatok egyenesekkel, körökkel, síkokkal, gömbökkel.     13. Előadás:  Az ellipszis, a hiperbola és a parabola értelmezése és egyenletei a síkban. Az ellipszis   paraméteres egyenletrendszere.  Gyakorlat:  Koordináta­geometriai feladatok a másodrendű görbékkel (érintők is).      14. Előadás:  További példák paraméteres egyenletrendszerrel adott síkgörbékre.   Gyakorlat: 2. zárthelyi dolgozat.     15. Előadás:  Példák egyenletükkel adott másodrendű felületekre. Koordinátasíkokkal párhuzamos   síkmetszeteik vizsgálata.  Gyakorlat:  Vektorokkal, illetve koordináta­geometriai úton megoldható vegyes feladatok. 3. Évközi ellenőrzés módja 2 zárthelyi dolgozat 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom [1] Gaál István, Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1998.        (Kötelező: 1. Szabadvektorok és analitikus geometria, 5­19. oldal; Ajánlott: 11.        Másodrendű görbék és felületek, 131­140. oldal; 12. Függelék, 12.3. MAPLE: lineáris        algebrai programcsomag, 147­ 158. oldal; Irodalom, Tárgymutató, 159­163. oldal.)

[2] Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth Egyetemi       Kiadó, Debrecen, 1998. (Kötelező: 1. fejezet) [3] Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, 1972. [4] Bélteky Károly: Analitikus geometria és lineaáris algebra. Tankönyvkiadó, 1987. [5] Pogáts Ferenc: Vektorok, koordinátageometria, trigonometria. TYPOTEX, Budapest,       1998. [6] Hajnal Imre, Nemetz Tibor, Pintér Lajos: Matematika III. (fakultatív B változat).        Tankönyvkiadó, Budapest, 1992.  [7] Hortobágyi István, Marosvári Péter, Pálmay Lóránt, Pósfai Péter, Sipos András, Vancsó       Ödön: Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II. Konsept­H Kiadó, Budapest,      2002. [8] Széplaki Györgyné: Matematika 16­18 éveseknek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2002. [9] Czeglédy István, Hajdu Sándor, Kovács András, Hajdu Sándor Zoltán: MATEMATIKA       11. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2004. [10] Lukács Judit, Vancsó Ödön, Székely Péter, Bárd Ágnes, Frigyesi Miklós, Major Éva:          Készüljünk az érettségire matematikából, emelt szinten. Feladatgyűjtemény. Műszaki        Könyvkiadó, 2004.   6. A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása Egyes előadásokon számítógépes projektor, egyes gyakorlatokon számítógép-terem Maple programcsomaggal.

 1. zárthelyi dolgozat  (Minta) 1. Az   OB=b legyen két lineárisan független vektor. Mutassa meg, hogy az  OA=a és  

∥a∥ b∥b∥ a vektor párhuzamos az AOB∠

szögfelezőjével, az ∥a∥ b−∥b∥ a pedig az AOB∠

mellékszögének szögfelezőjével! 2. Igazolja, hogy az S pont akkor és csakis akkor súlypontja az ABC ∆ −nek, ha   SA SB SC=0   ! 3. A    lg   1 −cos2 x   kifejezés értemezhető a) minden valós számra; b) minden valós számra, kivéve π páratlan többszöröseit; c) minden valós számra, kivéve π egész számú többszöröseit; d) minden valós számra, kivéve az x = π és x = ­π értékeket. Döntse el, hogy melyik állítás igaz és indokolja meg! 4. Két közös támadáspontú erő egymással 120º­os szöget zár be. Az egyik erő 30 N, a másik 70 N nagyságú. Mekkora az eredő erő és mekkora szöget zár be a másik két összetevővel? 5. Mely valós számokra igaz, hogy  

sin  10  

3 x 2 

=sin 

3  10 

x

− 2   ?

6. Adott két pont a Descartes­féle koordináta­rendszerben:  A(8,4,1) és B(2,­2,1), továbbá az ezekbe mutató helyzetvektorokat jelölje a és b. a)  Adja meg az  AB vektort! b)  Számítsa ki az AB szakasz hosszát! c) Számítsa ki az  a és a  b vektor hosszát! d) Számítsa ki az  a és b vektorok skaláris szorzatát! e)  Számítsa ki az  a és b vektorok által bezárt szöget! f)  Számítsa ki az  a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területét!  7. Számítsa ki a sík P(2; ­4) pontjának az 

1   3 y=6  egyenestől vett távolságát! x 2  2 

2. zárthelyi dolgozat  (Minta)   1. Adott három vektor:  a(8,4,1),  b(2,2,­1) és c(5,0,3). a) Számítsa ki az a×b vektoriális szorzatot! b) Számítsa ki az (a,b,c) vegyes szorzatot! c) Adja meg a három vektor által kifeszített tetraéder térfogatát! 2. Írja fel a P(7,9,11) pontra illeszkedő, n(1,1,2) normálvektorú sík egyenletét! 3. Egy sík paraméteres előállítása x = 3u – 4v + 2 y= -v+4 z = 3u + 2. Írja fel a sík egyenletét! 4. Számítsa ki az alábbi párhuzamos síkok távolságát! x – 2y – 2z – 12 = 0

x – 2y – 2z – 6 = 0

5. Írja fel annak az egyenesnek a kanonikus egyenletrendszerét, mely illeszkedik a P(2,0,-3) pontra és párhuzamos az a(2,-3,5) vektorral. 6. Határozza meg az alábbi egyenesek távolságát!  x5  y5 1−z = = 3  2 2

x = 6t + 9 y = -2t z = - t + 2.

7. Adja meg a síkban paraméteresen adott x=5 cos  kör és az  x−52  y52 =25 kör metszéspontjait! y=5 sin 