PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Ábrázoló geometria példákon keresztül

PROK ISTVÁN – SZILÁGYI BRIGITTA

ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA Ábrázoló geometria példákon keresztül

2011

1

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 számú, a „Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban” című projekt keretében. Készült:a Typotex Kiadó és a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Felelős Kiadó: Votisky Zsuzsa Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN: 978-963-279-462-4 Copyright: 2011–2016, Szilágyi Brigitta, Prok István „A terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.”

2

Készségfejlesztő feladatok Tangram Kockaforgatás Formafelismerés Vetületek 1. Térgeometriai bevezetés 2. Merőleges vetítés, kétképsíkos ábrázolás 3. Térelemek ábrázolása, illeszkedési feladatok, láthatóság 4. Egyenes és sík döféspontja, síkok metszésvonala Síkidomok áthatása 5. Áttérés új képsíkrendszerre, egyenes és sík transzformálása Poliéder adott irányú nézete Kitérő egyenesek távolsága, hajlásszöge és normáltranszverzálisa Testábrázolás képsík-transzformációval 6. Poliéder-felület metszete síkkal és egyenessel Poliéder síkmetszete 7. Poliéder-felületek áthatása Poliéder és vetítőhasáb áthatása Poliéderek áthatása 8. Méretes alapszerkesztések Méretes testábrázolás 1 – Vetítősíkra épített test Méretes testábrázolás 2 – Általános síkra épített test Méretes testábrázolás 3 – Általános síkra épített test 9. Ellipszis, hiperbola, parabola 10. Körábrázolás Vetítősíkra illeszkedő kör Általános síkra illeszkedő kör 11. Axonometrikus ábrázolás Testábrázolás ortogonális axonometriában 12. Felületek ábrázolása 13. Forgásfelületek síkmetszete Forgáskúp síkmetszeteinek osztályozása Gömb síkmetszete Forgáshenger síkmetszete Forgáskúp síkmetszete 14. Forgásfelületek áthatása Forgáskúp és gömb áthatása

3

4

TANGRAM Mi is a Tangram? Egy hét elemből álló összerakós játék, amely Kínából jutott el Európába és Amerikába a XIX. század elején. Számtalan legenda fűződik hozzá. A legelterjedtebb szerint a játék ősi eredetű, és a császári dinasztiák már évezredek óta használják díszítésre, jóslásra, játékra. Ma már a világ egyik legnépszerűbb kirakó játéka. A kalandos eredet azonban, amelyről több forrás is beszámol, valószínűleg csak ügyes reklámfogás. A feladatokban szereplő alakzatokat Tangram elemeiből kell kirakni. Javasoljuk az elemek elkészítését, akár úgy, hogy az alábbi képet kinyomtatjuk és a vastag vonalak mentén feldaraboljuk, akár egyéb időállóbb anyagból hozzuk létre saját játékunkat.

Ha feltesszük, hogy a darabokból kirakható alapnégyzet átlója egység hosszúságú, akkor az alkotó elemek méretei a következők: Két nagy egyenlő szárú, derékszögű háromszög – az ábrán narancssárga és ciánkék – melynek befogói ξʹΤʹ, átfogója pedig ͳ hosszúságú.

Egy közepes egyenlő szárú, derékszögű háromszög – sárga – melynek befogói ͳΤʹ, átfogója ξʹΤʹ hosszúságú.

Két kis egyenlő szárú, derékszögű háromszög – világoszöld és sötétzöld– melynek befogói ξʹΤͶ, átfogója ͳΤʹ hosszúságú.

A barna négyzet oldalhossza:ξʹΤͶ.

A sötétkék parallelogramma hosszabbik oldalai ξʹΤͶ, rövidebb oldala ͳΤʹ hosszúságúak (szögei 45○ és 135○).

5

Fu Traing Wang és Chuan-chin Hsiung 1942-ben bizonyította, hogy tizenhárom különböző konvex alakzat készíthető az összes elem felhasználásával. Ezek az alábbiak:

A Tangramból kirakhatók például hiányos négyzetek:

Emberfigurák:

Különböző állatfigurák:

Javasoljuk az olvasónak, hogy próbálja meg kirakni a fenti alakzatokat, és ha kedvet kapott a játékhoz, gondolkodjon a mellékelt példatár feladványainak megoldásán is.

6

1.

2.*

3.

4.*

Hogyan építhetők fel a fönti ábrák a tangram játék elemeiből?

*a csillaggal jelölt ábrákhoz nem kell a készlet összes darabját felhasználni

7

1.

2.*

3.

4.*

Megoldás

8

5.

6.*

7.

8.



9

5.

6.*

7.

8.

Megoldás

10

9.

10.

11.*

12.*



11

9.

10.

11.*

12.*

Megoldás

12

13.*

14.*

15.*

16.*



13

13.*

14.*

15.*

16.*

Megoldás

14

17.*

18.*

19.

20.*



15

17.*

18.*

19.

20.*

Megoldás

16

21.*

22.*

23.

24.*



17

21.*

22.*

23.

24.*

Megoldás

18

25.*

26.*

27.*

28.



19

25.*

26.*

27.*

28.

Megoldás

20

29.

30.

31.*

32.



21

29.

30.

31.*

32.

Megoldás

22

33.

34.

35.

36.



23

33.

34.

35.

36.

Megoldás

24

37.

38.

39.

40.



25

37.

38.

39.

40.

Megoldás

26

41.

42.

43.

44.



27

41.

42.

43.

44.

Megoldás

28

45.

46.

47.

48.



29

45.

46.

47.

48.

Megoldás

30

49.

50.

51.

52.



31

49.

50.

51.

52.

Megoldás

32

53.

54.



33

53.

54.



34

1.

2.

3.

4.

5.

Egy kocka pontosan három lapjára vonalakat rajzoltunk, a többit üresen hagytuk. Válasszuk ki a szaggatott vonal után állók közül azokat, amelyek a vonal előtt álló kocka elforgatásával nyerhetők!

35

6.

7.

8.

9.

10.


36

11.

12.

13.

14.


37

Állítsuk elő a fönti, több nézőpontból ábrázolt testnek az élek irányából adódó három rendezett vetületét! Tüntessük föl a láthatóságot! Hány egybevágó kockából építhető fel az alakzat?

38

Egy lehetséges megoldás -8 kocka-

39


40


41


42


43


44


45


46


47


48


49


50


51


52


53


54


55


56


57


58


59


60


61

Az ábrán egy síklapokkal határolt test rendezett felül-, oldal- és elölnézeti képeit láthatjuk. Mi lehet a test? Rajzoljuk meg egy általános (pl. axonometrikus) vetületét!

62

Megoldás

63


64

Megoldás

65


66

Megoldás

67


68

Megoldás

69

Rajzoljuk meg a fönti, síklapokkal határolt testnek a nyilakkal jelölt irányokból adódó három rendezett vetületét!

70

Megoldás

71


72

Megoldás

73


74

Megoldás

75

TÉRGEOMETRIAI BEVEZETÉS

76

1. Térelemek – pont (0-dimenziós); jelölése: A, B, C, Ľ – egyenes (1-dimenziós); jelölése: a, b, c, Ľ – sík (2-dimenziós); jelölése: a, b, g, Ľ 2. A sík megadása alacsonyabb dimenziós térelemekkel A síkot meghatározza: – három nem egy egyenesre illeszkedő (nem kollineáris) pont; – egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont; – két párhuzamos egyenes; – két metsző egyenes. 77

3. Térelem-párok kölcsönös helyzete a. Két egyenes lehet párhuzamos, metsző vagy kitérő. – Egy párhuzamos vagy metsző egyenespár egy síkot határoz meg: egysíkúak. – Kitérő egyenespár esetén nincs olyan sík, amely a két egyenest tartalmazza (torz egyenespár). a és b kitérő egyenesek, A Î a és t a B Î b az egyenesek tetszőleges b pontjai. B Ekkor a t = AB egyenes metszi A a-t és b-t is: t az a és b kitérő egyenesek egy transzverzálisa. Az AB szakaszt transzverzális szakasznak is mondjuk. 78

b. Egyenes és sík kölcsönös helyzete. – Ha nincs közös pontjuk, (definíció szerint) párhuzamosnak mondjuk őket. Állítás: Egy egyenes pontosan e akkor párhuzamos egy őt nem a tartalmazó síkkal, ha a sík tara talmaz az adott egyenessel párhuzamos egyenest. e e || a Ű e Ë a Ů $ a Ě a: e || a a – Ha egyetlen közös pontjuk van, D metszik egymást (a metszéspontot döféspontnak is mondhatjuk): D = e Ç a. – Ha két közös pontjuk is van, akkor az egyenes minden pontja a síkon van, az 79egyenes illeszkedik a síkra: e Ě a.

c. Két sík kölcsönös helyzete. – Ha nincs közös pontjuk, (definíció szerint) párhuzamosnak mondjuk őket. Állítás: Két sík pontosan akkor a e párhuzamos, ha az egyikben található két egymást metsző f b egyenes, amelyek mindketten párhuzamosak a másik síkkal. a || b Ű $ e, f Ě a metszők: e || b Ů f || b a e Az előző (b) pontot is figyelembe véve: a || b Ű $ e, f Ě a f b Ů $ u, v Ě b metsző egyenesu v párok: e || u Ů f || v. 80

– Ha két (különböző) síknak van egy közös pontja, akkor végtelen sok közös pontjuk is létezik, amelyek egy egyenest, a két sík metszésvonalát alkotják: m = a Ç b.

81

b a m

4. Térelemek hajlásszöge a. Metsző egyenesek szöge. A két egyenes az általuk meghatározott síkot négy szögtartományra osztja, amelyek közül az egymással szemköztiek (a csúcsszögek egyenlősége miatt) egybevágók. a j b

Ekkor a két egyenes szögét a kisebbik (90°-nál nem nagyobb) tartomány mértékeként definiál juk: (a, b)Đ = j Ł 90°

Ha két egyenes szöge 90°, akkor az egyeneseket merőlegesnek mondjuk. A további hajlásszögek értelmezését erre az esetre vezetjük vissza. 82

b. Kitérő egyenesek szöge. a

b

u P

j v

A tér egy tetszőleges P pontján át az a és b kitérő egyenesekkel párhuzamos u és v egyeneseket veszünk, és ezen metsző egyenesek szögeként értelmezzük a és b szögét: P tetszőleges, P Î u || a, P Î v || b, (a, b)Đ = (u, v)Đ = j. Az egyállású szögek tétele miatt, ez a definíció független P megválasztásától. Hasonló megfontolásból a párhuzamos egyenesek szö83 ge 0°-nak adódik.

c. Egyenes és sík merőlegessége. n Egy egyenes (definíció szerint) merőleges egy síkra, ha merőleges a annak minden egyenesére. Állítás: Egy egyenes pontosan akkor merőleges egy síkra, ha n található a síkban két egymást e metsző egyenes, amelyek merőf legesek rá. n ^ a Ű $ e, f Ě a a metszők: n ^ e Ů n ^ f Állítás: Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor a) a vele párhuzamos egyenesek mindegyike is merőleges rá: n ^ a Ů e || n Ţ e ^ a; b) az egyenes merőleges a síkkal párhuzamos bármely másik síkra is: n ^ a 84 Ů e || a Ţ n ^ e.

– Így egy egyenes meghatározza a rá merőleges síkokat (azok állását), és fordítva, egy sík meghatározza a rá merőleges egyeneseket (azok állását). – Egy adott síkra merőleges egyenest a sík normálisának is szokás nevezni. P Állítás (három merőleges tétele): Legyen adott egy sík és a síkban e T D egy egyenes, továbbá (a síkon kíl a m vül) egy pont. Tekintsük a pontn ból a síkra és az egyenesre bocsátott egy-egy merőlegest. Akkor az ezek talppontját összekötő egyenes is merőleges az adott egyenesre: e Ě a, (P Ď a) Ů P Î n ^ a, D = n Ç a Ů P Î m ^ e, T = m Ç e (T Î a) Ţ l = DT ^ e. 85

d. Síkok hajlásszöge. b Ha a két sík nem metszi egymást, akkor párhuzamosak, és így a b j M hajlásszögük 0. a m a Ha a síkok metszik egymást, akkor a metszésvonalra egy tetszőleges pontján át merőlegest állítunk mindkét síkban, és ezek szögével értelmezzük a síkok hajlásszögét: m = a Ç b, M Î m; M Î a Ě a, a ^ m; M Î b Ě b, b ^ m; (a, b)Đ = (a, b)Đ = j. b nb A metszésvonal irányából nézve látP ható, hogy a síkok normálisainak szöge megegyezik a síkok szögével j j m a (merőleges szárú hegyesszögek): na P tetsz; P Î na^ a, P Î86 nb^ b; (a,b)Đ = (na,nb)Đ = j.

Állítás: Két sík pontosan akkor merőleges egymásra, ha egyikük tartalmaz a másikra merőleges egyenest. a ^ b Ű $ a Ě a: a ^ b Következmény: Ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor az egyenesen átfektetett bármely sík is merőleges rá. Állítás: Ha egy egyenes nem merőleges egy adott síkra, akkor az egyenesen át pontosan egy olyan sík fektethető, amely az adott síkra merőleges. Ř(e ^ a) Ţ $! e: e Ě 87e ^ a

a a b b

e

a

e

e. Egyenes és sík hajlásszöge. Ha az egyenes nem metszi a síkot, akkor párhuzamosak, és így a hajlásszögük 0°, ha pedig merőlegesek egymásra, akkor hajlásszögük 90°. e e E Ha az egyenes metszi a síkot, és nem merőleges rá, akkor hajlásszögüket e* j az egyenesnek és a síkra eső merőleges vetületének szögével értel- a T D mezzük. n A merőleges vetületet például az egyenes egy pontjából a síkra bocsátott merőleges talppontja és a síkon lévő döféspont határozza meg. D = e Ç a, E Î e (E ą D) tetszőleges, E Î n ^ a, T = n Ç a, e* = DT; (e, a)Đ = (e, e*)Đ = j. Az ábra alapján – az ETD derékszögű háromszögből – adódik, hogy a hajlásszög az egyenes és a sík normá88 lisa által bezárt szög pótszöge: j = 90°– (e, n)Đ

5. Térelemek távolsága P a. Pont és sík távolsága a pont és a pontból a síkra bocsátott merőT leges talppontjának távolságaként a értelmezhető: n P Î n ^ a, T = n Ç a; |Pa| = |PT|. b. egyenes és sík távolsága 0, ha van közös pontjuk, egyébként pedig, ha párhuzamosak, az egyenes egy tetszőleges pontjának és a síknak a távolsága lesz, ami független a pont megválasztásától. c. két sík távolsága 0, ha van közös pontjuk (metszik egymást, vagy egybeesnek), egyébként pedig, ha párhuzamosak, az egyik sík egy tetszőleges pontjának és a másik síknak a távolsága lesz, ami most is 89 független a pont megválasztásától.

d. Kitérő egyenesek távolsága. Állítás: Két kitérő egyenesnek egyértelműen létzik olyan transzverzálisa, amelyen a transzverzális szakasz hossza minimális. bb B a n Ez a transzverzális a két egyenes normáltranszverzálisa. A a Állítás: A normáltranszverzális e mindkét egyenest merőlegesen metszi. Az a és b egyenesek normáltranszverzálisának előállításához fölvesszük az a-n átfektetett, b-vel párhuzamos e síkot. Ekkor az a-n és b-n átfektetett e-ra merőleges a és b síkok metszésvonalaként kapjuk az n normáltranszverzálist. A két egyenes távolsága a 90normáltranszverzális-szakasz hossza: |ab| = |eb| = |AB|.

6. Térgeometriai szerkesztések Elvi megállapodások a síkban megszokott szerkesztési lépések térbeli általánosítására: a. Ha adott három, nem egy egyenesre illeszkedő pont, akkor az általuk meghatározott síkot is adottnak tekintjük. Tehát 3d-vonalzónkkal (elvileg) megrajzolhatjuk a pontokon átfektetett síkot, ahogy síkbeli szerkesztés során két pontot összekötő egyenest megrajzolhatunk egy szokásos vonalzóval. b. Ha adott két metsző sík, akkor metszésvonalukat is ismertnek tekinthetjük. Tehát két sík metszésvonalát hasonlóképpen kijelölhetjük, mint ahogyan egy síkbeli szekesztés során két metsző egyenes közös pontját is 91 kijelölhettük.

c. Ha adott egy sík, akkor abban a (megengedett) síkbeli szerkesztések elvégezhetők. Ez a megállapodás teremt kapcsolatot az a és b pontokban leírt lépések és a szokásos síkbeli szerkesztési lépések között. Így elvi szinten (ábrázolásmódtól függetlenül) gondolhatjuk végig a térgeometriai feladatok megoldását. Az egyes ábrázolási módokban pedig az a, b és c pontokban leírt lépéseket implementálva, ténylegesen is megoldhatjuk a feladatokat. A kétképsíkos ábrázolás esetében például az a ponttal összhangban adottnak tekintjük a térelemekkel meghatározott síkot. Kidolgozunk egy eljárást két tetszőleges sík metszésvonalának szerkesztésére, ezzel megvalósítva a b pontot. Végül egy teszőleges síkot képsíkkal párhuzamos helyzetbe transzformálva (v. leforgatva) a sík92 beli szerkesztések is elvégezhetők lesznek c szerint.

MERŐLEGES VETÍTÉS, KÉTKÉPSÍKOS ÁBRÁZOLÁS

93

A merőleges vetítés definíciója P

p egy rögzített sík: képsík; P tetszőleges pont; vp : P Î vp ^ p P vetítősugara;

P' p

P' = vp Ç p P képe v. vetülete.

vp 94

P Q P, Q Î v ^ p; P' = Q'

P'=Q' p v

A merőleges vetítés egyértelmű, de nem kölcsönösen egyértelmű leképezés. 95

s v ^ p vetítőegyenes v. vetítősugár. Képe v'= v Ç p egyetlen pont.

v

s'

v'

s ^ p vetítősík. Képe s'= s Ç p egy egyenes.

p

Hasonlóan, a képsíkkal párhuzamos egyenest főegyenesnek, a képsíkkal párhuzamos síkot fősíknak mondjuk. 96

e általános helyzetű (nem vetítő) egyenes se : e Ě se ^ p e vetítősíkja e' = se Ç p egy egyenes,

P se

e e'

vP P'

p

P Î e Ţ vP Ě se Ţ P'Î e'

A merőleges vetítés egyenestartó (kivéve a vetítőegyenesek esetét) és illeszkedéstartó (mindig!) leképezés. 97

e e'

se sf

e || f általános egyenesek Ţ se || sf Ţ e' || f '

f f'

p

A merőleges vetítés párhuzamosság-tartó leképezés (kivéve most is a vetítőegyenesek esetét). 98

e A

e egy (irányított) általános helyzetű egyenes, A, P, B Î e Ţ A', P', B' Î e' A párhuzamos szelők tételéből:

P e'

B A'

p

P' B'

|A'P'| : |P'B'| = |AP| : |PB| A merőleges vetítés osztóviszonytartó (egyenes mentén aránytartó) leképezés. 99

B

e tetszőleges egyenes A, B Î e; j = (e, p)Đ Ţ |A'B'| = |AB*| = = |AB| cos j Ł |AB|,

e A j B*

j p

A'

e'

B'

|A'B'| = |AB| Ű j = 0 Ű e || p (e főegyenes)

Egy szakasz merőleges vetülete nem lehet hosszabb az eredeti szakasznál. Hosszuk csakis akkor egyenlő, ha a szakasz tartóegyenese főegyenes. A merőleges vetítés nem távolságtartó, nem szögtartó, és nem aránytartó leképezés. 100

s

p

C

B

O

B' C' A

O'

A'

Az AOBĐ derékszög, AO, OB || p Ţ A'O'B'Đ is derékszög Az AOCĐ az AOBĐ elforgatottja AO körül Ţ AOCĐ is derékszög A forgatás közben OB végig a s vetítősíkban marad Ţ OC Ě s.

Ha egy derékszög egyik szára párhuzamos a képsíkkal, akkor a derékszög merőleges vetülete is derékszög. 101

Ha a egy általános helyzetű (nem vetítő) sík akkor a'= p. e Ha létezik az sa = a Ç p metszésvonal, akkor azt a nyomvonalának a mondjuk; f : f Ě a, f || p (f || sa) e' f a egy fővonala; f' e : e Ě a, e ^ f (e ^ sa) s a p=a' a egy esésvonala; e ^ f és f || p Ţ e' ^ f ' (a, p)Đ = (e, e')Đ Egy általános helyzetű sík merőleges vetülete a teljes képsík. 102

j || p fősík j merőleges vetítése p-re párhuzamos eltolás (egybevágóság) Y Ě j Ţ Y' @ Y

Y j Y' p

Fősíkra illeszkedő alakzat merőleges vetülete egybevágó az eredeti alakzattal. 103

A kétképsíkos ábrázolás p1 ^ p2 rögzített képsíkok p2 képsíkrendszert P" alkotnak: I. és II. képsík x12= p1 Ç p2 a képsíkrendv2 r sp P 2 szer tengelye. v1 P12 v1 és v2 a P pont I. és II. x12 vetítősugara r1 P' és P" a P pont I. és II. r 1 P' képe p P' 1 r1 és r2 a P pont I. és II. rendezője v1 és v2 valamint r1 és r2 téglalapot alkotnak sp-ben, P vetítősíkjában 104 Végül p1-et x12 körül 90°-kal elforgatva p1-et és p2-t egyesítjük

A kétképsíkos ábrázolást Monge-féle ábrázolásnak is szokás nevezni

GASPARD MONGE (1746 – 1818) francia matematikus, „az ábrázoló geometria atyja” 105

TÉRELEMEK ÁBRÁZOLÁSA, ILLESZKEDÉSI FELADATOK, LÁTHATÓSÁG

106

Az egyenes ábrázolása

e" P"

f"1

f"2

x12

x12 f'1

e'

f'2

P'

e általános egyenes; pont felvétele: PÎe, P" adott, ? P'

x12

f1 || p1 I. főegyenes: f1" || x12

f2 || p2 II. főegyenes: f2' || x12

v"2

v"1 g" x12 g' g || p1 és g || p2 mindkét képsíkkal párhuzamos egyenes: g' ||g" ||x12

A"

x12

x12 v'2

A' v'1 (AÎv1) v1 ^ p1 I. vetítőegyenes: v1' egyetlen 107 pont v1" ^ x12 (spec. II. főegyenes is!)

v2 ^ p2 II. vetítőegyenes: v2" egyetlen pont, v2' ^ x12 (spec. I. főegyenes is!)

A profilegyenes és kezelése A"

A"

A"

A"

u"

P" u"

P" u"

P" u"

B"

B"

B"

B"

B'

x12

u'

B' u'

x12

s

B' u'

B* P*

A'

A'

u = AB profilegyenes. Megadásához két pontja (itt most A, B) szüséges.

P Î u, P" adott, keressük P'-t.

x12

s

A* A'

|A'P'| : |P'B'| = |A"P"| : |P"B"| = = |AP| : |PB| (osztóviszony-tartás). A* ş A'Îs tetsz. segédegyenes: |P*A*| = |P"A"|, |B*A*| = |B"A"|.

B*

B' u' P' P* A* A'

x12

B*B' a szelők iránya; a P*-hoz tartozó szelő kijelöli P'-t: P*P' ||B*B'.

Néhány NEM LEHETSÉGES vetületpár e"

e" x12

x12 e'

e"

e'

108

e" x12

e'

x12 e'

Metsző, párhuzamos és kitérő egyenespárok ábrázolása a"

P" e"

b"

f"

b" q"

x12

b'

e'

M=aÇb

b"

v"

x12

a'

e"

a"

p"

M"

M'

a"

P'

v' P=eÇv

Ha két egyenes metszi egymást, akkor az illeszkedéstartás miatt metszéspontjuk vetülete mindkét egyenes vetületére illeszkedik. A metszéspont két képének pedig egy rendezőn kell lennie. a és b általános helyzetű egyenesek az M pontban metszik egymást. Hasonlóan, az általános helyzetű e egyenes P-ben metszi a v I. vetítő egyenest. További speciális esetek adódnak például akkor, ha az egyik, vagy akár mindkettő egyenes profilegyenes.

x12

x12

a'

p' q'

b' a || b

b' a'

x12

e'

x12

f'

p || q

Ha két (nem vetítő helyzetű) egyenes párhuzamos, akkor a párhuzamosság-tartás alapján a vetületeik is párhuzamosak, vagy egybeesnek. Ha az egyenesek nem profilegyenesek, az állítás meg is fordítható: két egyenes párhuzamos, ha vetületeik mindkét képen párhuzamosak.

109

Ha két egyenes kitérő, akkor vetületeik egyik képen föllépő metszéspontja csak "látszólagos" metszéspont lehet, amelynek másik képe a két egyenes vetületén különböző pontokhoz vezet. Az a és b kitérő egyenesk vetületei mindkét képen metszik egymást, de ezek a metszéspontok különböző rendezőkön vannak. Az e és f kitérő egyenesek vetületei csak a II. képen metszik egymást, de ennek a pontnak a rendezője az egyenesek I. képén különböző pontokat jelöl ki.

A sík ábrázolása P"

s"2

s"1

Q"

x12 P'

r" x12

x12 r'

s'2

s2 II. vetítősík, s2^p2: s2" egy egyenes, s2' a teljes I. képsík (ált. nem jelöljük), PÎs2

s'1

Q'

s1 I. vetítősík, s1 ^ p1: s1' egy egyenes, s1" a teljes II. képsík (ált. nem jelöljük), Q Î s1

r profilsík (egyszerre I. és II. vetítősík), r ^ x12: r' ş r" egy rendező irányú egyenes

a"1

a"

M"

a

a általános sík. Vetületei a' (a teljes I. képsík) és a" (a teljes II. képsík) nem határozzák meg.

b

b"1

b

x12 b'2

a"2 x12

x12 a'

b"2

M'

a

a'2 a'1

Sík ábrázolása metsző egyenespárral: a = [a1, a2] 110

b'1 Sík ábrázolása párhuzamos egyenespárral: b = [b1, b2].

Síkra illeszkedő egyenes ábrázolása M"

A"1

a

a"1

A"

a"2 l' A'1

A"

f1"

A"2

x12

e"1

C"

l"

B" x12

a'1

B'

C" f1"

B" x12

f1'

B'

f1' C'

C' M'

e'1

a A'2 a'2 Keressük az a síkra illeszkedő l egyenest, ha l" adott: l Ě a = [a1, a2].

A'

A'

Az [A, B, C] sík A-n áthaladó f1 I. fővonalának felvétele. (f1" || x12) 111

Az [A, B, C] sík B-n áthaladó e1 I. esésvonalának felvétele. (e1'^ f1')

Síkra illeszkedő pont ábrázolása

a"2

a

a"2

a

a"2

a

A"2

P"

A"2

P"

P" x12

x12 a'2 a

s" a" 1 A"1

s" a" 1 A"1

a"1

a'2

A'2

a'1

a

A'1

a'1

s tetszőleges P-n áthaladó, a-ra illeszkedő segédegyenes: P Î s Ě a. 112

a'2

A'2

s' Keressük az a síkra illeszkedő P pontot, ha P" adott. P Î a = [a1, a2], keressük P'-t.

x12

P'

a

A'1 s'

Mivel P Î s, P' rendezővel adódik.

a'1

Fedő pontpárok, láthatóság Megállapodás: az I. kép felülnézet; a II. kép elölnézet.

A"

A" a"

v"1 S"şT"şv"2 B"

B" x12 A'şB'şv'1

T'

x12

v'2 S'

v1 I. vetítőegyenes, A, B Î v1. Ekkor A és B I. fedő pontpárt alkot. A eltakarja B-t, mert magasabban van, ill. mert a II. rendezője hosszabb.

v2 II. vetítőegyenes, S, T Î v2. Ekkor S és T II. fedő pontpárt alkot. S eltakarja T-t, mert közelebb van, ill. mert I. rendezője hosszabb. 113

A' B'

b"

b'

S" T"

x12 T'

a' S' a és b kitérő egyenesek. A Î a, B Î b I. fedő pontpár; A eltakarja B-t, így a és b I. képen fellépő látszólagos metszéspontjánál a eltakarja b-t. Hasonlóan, S Î a, T Î b II. fedő pontpár, így S fedi T-t, tehát elölnézetben a eltakarja b-t.

EGYENES ÉS SÍK DÖFÉSPONTJA, SÍKOK METSZÉSVONALA

114

Egyenes és sík metszéspontjának ábrázolásmódtól független szerkesztése (térgeometriai megoldás)

s

Keressük a D = e Ç a döféspontot. s: e Ě s tetszőleges alkalmas segédsík; m = s Ç a; a két sík metszésvonala; D = e Ç m metszéspont s-ban megkereshető. Állítás: D = e Ç a.

e D

a

m

115

Két sík metszésvonalának szerkesztése Keressük az m = a Ç b metszésvonalat.

a

a2

m A2

a1 b

A1

a1, a2 Ě a két egyenes; A1 = a1 Ç b, A2 = a2 Ç b, A1 ą A2 Ţ m = A1A2.

B

Vagy a1 Ě a, b Ě b két egyenes; A1 = a1 Ç b, B = a Ç b, A1 ą B Ţ m = A1B.

b

116

s"2

Egyenes és vetítősík döféspontja, sík és vetítősík metszésvonala a

D"

s"2

s"2

a a"1

A"1

e"

a"1

A"2 m" a"2

x12

x12

a"2 x12

a'1

a'1

e'

A'1 a

a

D' a'2 Keressük az e egyenes döféspontját a s2 II. vetítősíkon. D" = e" Ç s2", D' Î e' rendezővel adódik

m'

A'2

Keressük az a = [a1, a2] általános helyzetű sík és a s2 II. vetítősík m = a Ç s2 metszésvonalát. A1 = a1 Ç s2, A2 = a2 Ç s2, a két sík két közös pontja, amelyeknek II. képét közvetlenül látjuk, I. képük pedig rendezővel adódik; 117 m = A1A2 a keresett metszésvonal.

a'2

Egyenes és sík döféspontja C"

C" s"2 e"

e"

C"

e"

D" A"

e

A" B"

x12 A'

e m"

x12

m"

B'

B"

m'

A'

e'

e

e'

e

B" x 12

m'

A' e

A"

e'

e B'

B' D'

C'

C'

Keressük az e = [A, B, C] sík és az e egyenes D döféspontját. Segédsíknak e II. vetítősíkját, s2-t választjuk, és megszerkesztjük a két sík m = e Ç s2 metszésvonalának képeit. Az I. képen s2-ben kijelölhetjük a D = e Ç m = e Ç e metszéspont 118 vetületét, és rendezővel megkeressük annak II. képét. Feltüntettük a háromszöglemez és az egyenes láthatóságát is.

C'

Két sík metszésvonala a

a

e

m"

a

e E"

e" x12

a"

e'

b' a a'

a"

F"

b'

F'

e"

E' a'

b"

f" f'

e'

b'

F' a

e

a"

F" x12

b"

f" f'

e'

a e

E"

e" x12

b"

f" f'

e

E' m'

e

a'

Keressük az a = [a, b] és e = [e, f] általános helyzetű síkok m = a Ç e metszésvonalát. Megszerkesztjük az e sík e és f egyenesének a-val közös E = a Ç e és F = a Ç f pontjait. A keresett metszésvonal az m = EF egyenes. A szerkesztést az m metszésvonal a-val és b-vel 119 közös pontjainál ellenőrizzük. Végül a síksávok láthatóságát is feltüntettük.

ÁTTÉRÉS ÚJ KÉPSÍKRENDSZERRE, EGYENS ÉS SÍK TRANSZFORMÁLÁSA

120

p1 ^ p2 : I - II képsíkp2 rendszer, tengelye: P" x12= p1 Ç p2; P''' p1 ^ p3 : I - III képsíkv2 P r2 p3 v3 rendszer, tengelye: r3 x13= p1 Ç p3; v1 P12 x12 p1 közös képsík; r1 P13 r1 p3 új képsík; P' x13 p2 elmaradó képsík. p1 A PP'P12P" téglalapban r2 = v1, a PP'P13P''' téglalapban pedig r3 = v1, így r3 = r2. Az új rendező előjeles hossza megegyezik 121 az elmaradó rendező előjeles hosszával.

P"

P'''

P13

Q12 x12 Q"

Q13 x13

P12

P' Q''' Q'

Adott a P és Q pont két vetületével az I - II képsíkrendszerben, és adott az I - III rendszer x13 tengelye. Keressük P és Q III. képét. Az I - III rendszerben a rendezők merőlegesek x13-ra; P új III. rendezőjének hossza megegyezik az elmaradó II. rendezővel: P13P''' = P12P"; Q új III. rendezőjének hossza megegyezik az elmaradó II. rendezővel: Q13Q''' = Q12Q"; Ha az elmaradó rendezők ellentétes irányításúak, akkor az új rendezők is ilyenek. 122

A"

f1"

B"

x12

A'''şB'''şf''' 1 B' f1'

x13

A'

Adott az f1 I. főegyenes (f1" || x12). Keressük az I - III képsíkrendszer x13 tengelyét úgy, hogy f1 III. vetítőegyenes legyen. x13 ^ f1': Ekkor az I - III rendszerben f1 minden pontjának rendezője egybeesik f1'-vel, továbbá f1" minden pontjának elmaradó II. rendezője egyforma hosszúságú, így f1''' egyetlen pontnak adódik. Tehát f1 III. vetítőegyenes. 123

A" e" B" x12 A'

AIVşBIVşeIV

B'

e'

B'''

x13

x34

e''' A''' Adott az általános helyzetű e egyenes. Keressük az I - III képsíkrendszer x13 tengelyét úgy, hogy e III. főegyenes legyen. Ezt követően pedig adjuk meg a III - IV rendszer x34 tengelyét úgy, hogy e IV. vetítőegyenes legyen. III. képsíknak az e egyenes I. vetítősíkjával párhuzamos síkot választunk: x13 || e'. Ekkor e || p3, tehát e III. főegyenes. Ezután alkalmazható a főegyenes vetítőegyenessé transzformálásának szabálya: x34 124 ^ e''', így e IV. vetítőegyenes lesz.

AIV C"

IV

f1

a

f"1

Adott az általános helyzetű a sík. Keressük az I - III képsíkrendszer x13 tengelyét úgy, hogy a III. vetítősík legyen. IV C Ezt követően pedig adjuk meg a III - IV rendszer x34 tengelyét úgy, hogy a IV. fősík legyen.

B"

a A" x12 BIV a'''

A'''

x34 f'''şB''' 1

B' A' a x13 f'1

125

C'

C'''

Ha a egy f1 I. fővonalát vetítőegyenessé transzformáljuk, akkor a tartalmaz egy p3-ra merőleges egyenest, így a ^ p3 III. vetítősík lesz: x13 ^ f1'. Ha p4 || a, akkor p4 ^ p3, így képsíkrendszert alkotnak, amelyben a IV. fősík. Ekkor az a-ra illeszkedő alakzatok egybevágóak a IV. képükkel. Például AIVBIVCIVD @ ABCD, így valódi méretükben láthatók az oldalhosszak és a szögek is.

POLIÉDER-FELÜLET METSZETE SÍKKAL ÉS EGYENESSEL

126

– A poliéder-felület (teljes) síkkal alkotott metszésvonala a metszetpoligon. – A metszetpoligon csúcsai a poliéder éleinek a metsző síkon lévő döféspontjai. – A metszetpoligon élei illeszkednek a lapsíkok és a metsző sík metszésvonalaira. – Konvex lapú test esetében, a metszetpoligon két csúcsát pontosan akkor köti össze egy él, ha a testnek van olyan lapja, amely mindkét csúcsot tartalmazza. 127

M"

M"

s"

M"

s"

s" 1" 2"

1" 2" 3"

3" 4"

A"

D" C" D'

B"

A"

D" C" D'

B"

3'

A'

A'

1'

M' C' B'

B'

A"

D" C" D'

B"

3'

A' 1'

M' 2'

4"

4' C'

M' 2'

4' C'

B'

Az I. képsíkon álló ABCDM szabályos négyoldalú gúla, és a s II. vetítősík metszetének szerkesztése. 1. Előállítjuk a poligon csúcsait, a test éleinek s-val alkotott metszéspontjait. 2. Megrajzoljuk az éleket: két csúcsot összekötünk, ha a testnek van olyan lapja, amely mindkét csúcsot tartalmazza (ha nincs ilyen lap, akkor a két csúcs 128 nem köthető össze). 3. Feltüntetjük a láthatóságot: most feltételeztük, hogy a gúla s fölötti darabját eltávolítottuk.

e" A"X

B"X

C"X

s"

e" A"X

C"X

B"X

s"

e" A"X

1"

C"X

B"X

1" P" 2"

2"

Q" 3" A"

B"

A'

C"

A"

C'X

A'X

C"

B"

A'

C'

C' 1'

3" A" A'

C'

3' C'X

A'X

C"

B"

1'

3' C'X

A'X Q' P'

e' B'

e' B' BX'

2'

e' B' BX'

2'

BX'

Az e egyenes döféspontjainak szerkesztése az ABCAXBXCX háromoldalú ferdehasáb felületén: 1. Elmetszük a test felületét az egyenes (pl.) II. vetítősíkjával, s-val (e Ě s): a metszetpoligon 123. 2. A metszetpoligon e-vel közös P és Q pontjai a keresett döféspontok. 129 3. Feltüntetjük a láthatóságot, feltéve, hogy a hasáb lemezből van, és véglapjait eltávolítottuk.

POLIÉDER-FELÜLETEK ÁTHATÁSA

130

A két poliéder-felület metszésvonala a lappárok (mint síkidomok) áthatási szakaszainak összessége. Így a metszésvonal egymáshoz fűzött egyenes szakaszokból álló térbeli sokszög, az úgynevezett áthatási poligon. 131

– Az áthatási poligon csúcsait az egyik poliéder (a gúla) éleinek és a másik poliéder (a hasáb) lapjainak döféspontjai, továbbá a második poliéder (a hasáb) éleinek és az első poliéder (a gúla) lapjainak döféspontjai alkotják. – Két ilyen csúcs pontosan akkor köthető össze, ha az összekötő szakaszt mindkét test felülete tartalmazza. – Konvex lapú testek esetén az áthatási poligon két csúcsát csakis akkor köti össze a poligon egy éle, ha mindkét testnek van olyan lapja, amely a két csúcsot tartalmazza. – Két csúcs nem köthető össze, ha valamelyik testnek nincs olyan lapja, amely a két csúcsot tartalmazza, és így az összekötő szakasz nem illeszkedik e test felületére. 132

MÉRETES ALAPSZERKESZTÉSEK

133

Q j

Dh P

1. Két pont távolsága, távolság felmérése

AB

A'B'

j

Az AB szakasz A'B' vetületét párhuzamosan eltoljuk úgy, hogy az A' végpont A-ba kee rüljön. Az így adódó AB* B B* j A derékszögű háromszöget az Q' P' B' AB szakasz (p képsíkra voj e' natkozó) különbségi háromA' p szögének nevezzük. A függőleges befogó hossza Dh, az A és B végpontok p-től mért távolságának különbsége (ha p vízszintes, akkor A és B magasságkülönbsége). A különbségi háromszög A-nál lévő szöge megegyezik a szakasz e tartóegyenesének a p képsíkkal bezárt j szögével. Ugyanazon egyenesre illeszkedő szakaszok különbségi háromszögei hasonlók. 134

B

A"

A"

Dh B"

B" x12

B' B'''

B'

| B A |

|A'B'|

Dh

| |AB

A'

A' x13

A'''

Az A és B pontok távolságának meghatározásához elkészítjük az AB szakasz (I. képsíkra vonatkozó) különbségi háromszögét. A vízszintes befogó hossza A'B', a függőleges befogó hossza pedig A és B magasságkülöbsge, amit a II. képről olvashatunk le. A szerkesztés képsík-transzformációval is megoldható, ha AB-t főegyenessé transzformáljuk (x13 || A'B', ill. azonos is lehet vele). Ekkor a szerkesztési területen jön létre a különbségi háromszög. 135

e"

e" S" Dh

Q"

P"

P"

e'

e' Q' S' r P'

r P'

r

P'S'

P'Q' Keressük a P kezdőpontú e félegyenesre illeszkedő Q pontot, amelynek P-től mért távolsága r. Kijelölünk egy (P-től különböző) tetszőleges S segédpontot a félegyenesen, és előállítjuk a PS szakasz különbségi háromszögét. PQ különbségi háromszöge ehhez hasonló, de átfogójának hossza r. Így az eredeti háromszög átfogójának egyik végpontjából centrálisan nagyítunk (vagy kicsinyítünk). Az új háromszög vízszintes befogója adja P' és 136 Q' távolságát. (A függőleges befogó hossza pedig P és Q magasságkülönbsége.)

2. Egyenes és sík merőlegessége • A merőleges vetítés tulajdonságai között már szerepelt, hogy ha egy derékszög egyik szára párhuzamos a képsíkkal, akkor merőleges vetülete is derékO szög. • Fordítva, ha egy (a, b)Đ szög a szára a képsíkkal párhuzamos, és a szög (a', b')Đ b' a O' vetülete derékszög, akkor a b szár b'-t tartalmazó s veítősíkja merőleges a'-re p a' és így a vele párhuzamos a szárra is. A b szár tehát az a szárra merőleges s síkban van, így (a, b)Đ derékszög. • Így, ha egy szög egyik szára főegyenes, és a merőleges vetülete derékszög, akkor maga a szög is derékszög. • Általánosabban összefoglalva: ha két (akár kitérő) egyenes közül az egyik főegyenes, a másik pedig nem vetítőegyenes, akkor merőlegességüknek szükséges és elégséges 137 feltétele, hogy merőleges vetületük derékszöget alkosson.

s b

n a1

a

a2

• Egy n egyenes pontosan akkor merőleges egy a síkra, ha a-ban található két egymást metsző a1 és a2 egyenes, amelyek mindketten merőlegesek n-re: a1 ^ n és a2 ^ n. n az a sík egyik normálisa.

• Kétképsíkos ábrázolásban egy egyenes pontosan akkor merőleges egy általános helyzetű síkra, ha I. képe merőleges a sík I. fővonalának I. képére, és II. képe merőleges a sík II. fővonalának II. képére. • Vetítősíkra merőleges egyenes olyan főegyenes, amelynek képe merőleges a sík képére. Az x12 tengellyel párhuzamos (de nem vetítő helyzetű) sík normálisa pedig profilegyenes (szerkesztéséhez transzformáció szükséges). 138

A" f"1

r"

a P"

h" n"

f"2

A'''

d

Q"

s"

R"

r''' R'''

B'''

B" x23

f'1 n'

A'

s'

a P'

Q'

x12 s'

d f'2

s'''

d'''

r'

h'

R'

B'

1. Keressük a P ponton áthaladó, n egyenesre merőleges a síkot. A sík fővonalait tudjuk fölvenni: P' Î f1' ^ n', P" Î f2" ^ n" (P' Î f2', P" Î f1" a rendező irányra merőlegesek). 2. Keressük a Q ponton áthaladó h I. főegyenesre merőleges s síkot: s I. vetítősík és s' ^ h'. 3. Vegyük föl az AB profilegyenesre merőleges R ponton átfektetett d síkot. Az AB egyenest főegyenessé transzformálva (x23 || A"B") visszavezetjük a feladatot a 2. feladatban leírt esetre. d-t az r és s párhuzamos egyenesekkel adtuk meg: d = [r, s]. 139

C" a

C" a

B" A"

f"2

f"1

B"

A"

P"

n" C" a

f"1

B"

A"

P"

f"2

P" n'

B' A'

B' A'

B' A'

f'2 a C'

P'

f'1

a C'

P'

f'2 f'1

a C'

P'

Szerkesszük meg az a = [A, B, C] síkra merőleges, a P ponton áthaladó n egyenes vetületeit. Felvesszük a-nak egy I. és egy II. fővonalát, f1-et és f2-t. Megrajzoljuk n vetületeit: P' Î n' ^ f1', P" Î n" ^ f2". 140

· Egy a sík leforgatása a p képsíkkal párhuzamos helyzetbe csakis egy fővonala (pl. f ) körül történhet. · A sík egy P pontjának pályája P olyan kör, amelynek síkja f -re (a) merőleges, és O középpontja f Dh illeszkedik f -re. j · A leforgatás különbségi háromP'O' O (P) szögében a p-vel párhuzamos befogó P' és f ' távolsága, a p-re merőleges befogó P és f magasf' ságkülönbsége, az átfogó pedig P és f valódi távolsága. · A háromszögben a p-vel pár(P)' P' O' huzamos befogónál lévő j szög p az a és p síkok szöge. · Az a sík pontjainak az f körüli leforgatáshoz tartozó különbségi háromszögei hasonlók. · P'(P)' ^ f ' (pont képét és leforgatottjának képét a tengely vetületére merőleges egyenes köti össze); továbbá, |(P)'O'| =141 |PO| a különbségi háromszög átfogója.

3. Sík leforgatása a

s"

s"

P"

P" X"

f1" (X)"

P'

(P)' (X)'

X' f'1

X"

(s)" (P)"

f1"

P'

(P) (X)

X' f'1

A s II. vetítősíkot forgatjuk le f1 I. fővonala (egyben II: vetítőegyenes) körül. 1. Leforgatjuk a sík P pontját. A forgatás köríve II. fősíkra illeszkedik, amely merőleges f1-re.A körívet a II. képen megrajzolhatjuk, kijelölve (P)"-t. Mivel P'(P)' e körív I. képe, így ez merőleges f1'-re. Ha (X)' a leforgatott síkon végzett valamely szerkesztés eredménye, keressük X vetületeit. (X)" kijelölése után a visszaforgatás körívével adódik X". Ekkor X rendezőjének ismeretében kapjuk X'-t kihasználva, hogy X'(X)' merőleges f1'-re. 2. P leforgatásának közvetlenebb módja, ha kihasználjuk P'(P)' és f1' merőlegességét, valamint azt, hogy (P)' és f1' távolsága megegyezik P" és f1" távolságával. (X)' visszaforgatásakor pedig figyelembe 142 fix. vehetjük, hogy a (P)'(X)' egyenes f1'-vel közös pontja Megjegyezzük, hogy a leforgatás P'-vel azonos oldalra is történhet, a fent leírtakhoz teljesen hasonlóan.

P" X"

Dh f" 1 |Pf1 |=

f'1

X'

(X)

j

)f1'|

P'

|(P

Dh

|P'f'| 1

(P)

Az a = [P, f1] (általános) síkot forgatjuk le f1 I. fővonala körül. 1. A különbségi háromszög megszerkesztésével előállítjuk P és f1 távolságát. A vízszintes befogó hossza P' és f1' távolsága, a függőleges befogó pedig P és f1 magasságkülönbsége. A keresett távolság az átfogó hossza. Ez lesz (P) és f1' távolsága, amit az f1'-re merőleges egyenesre (a leforgatási körív képére) kell felmérni. 2. A leforgatott síkon végzett valamely szerkesztés eredményeként adódó (X) pont vetületeit keressük. A (P)(X) egyenes f1 forgástengellyel közös pontja a forgatás során helyben marad. Ezt P-vel összekötve a PX egyenest kapjuk (mindkét képen). Ezen már X kijelölhető (előbb X', majd X"). Szükség eseten az X 143 leforgatásához tartozó különbségi háromszög is használható, amely P-éhez hasonló.

C"

C"

C"

Dh B" A"

B" f1"

B'

C'

A"

M" f1"

B'

C'

A"

B'

C' M'

(B) A' f1'

A' (A)

f1'

A' (A)

(B) (M)

|(C | )f '1

Dh

B"

|C'f1'|

(C)

(C)

Szerkesszük meg az ABC háromszög M magasságpontjának vetületeit. 1. Fölvesszük a háromszög síkjának f1 fővonalát A-n keresztül. és a háromszög síkját (a háromszöggel együtt) leforgatjuk körülötte. 2. A leforgatott háromszögben megrajzolhajuk a magasságvonalakat, amelyeknek metszéspontjaként kapjuk az (M) magasságpont. Ezt például a (C)(M) magasságvonal egyenesének segítsgével visszaforgatjuk, előállítva a keresett M' és M" vetületeket.144

lÎR PP' ^ t P'T = lPT (előjelesen)

l= –1 tengelyes tükrözés

l<0 R R'

1. Merőleges affinitás

P T

t

P' P T

t

P' P Q Q'

t P'

· Adott a l valós szám és a sík t egyenese. A sík egy tetszőleges P pontjához hozzárendeljük P'-t az alábbi módon: Jelölje T a P-ből t-re bocsátott merőleges talppontját. Legyen P' a PT egyenesnek az a pontja, amelyre P'T = lPT teljesül (a távolságokat előjelesen értve). A sík így értelmezett önmagára való leképezését a t tengelyű l arárányú merőleges tengelyes affinitásnak nevezzük. · Speciálisan: l = 1 esetén identikus leképezés; l = 0 esetén merőleges vetítés t-re (a sík képe t); l = –1 esetén t-re vonatkozó tengelyes tükrözés. · Továbbá: l > 0 esetén orientáció (körüljárás) tartó, pont és képe a tengelynek ugyanazon oldalára esik; 145 l < 0 esetén orientáció váltó,

P

f

e T

· Egyenestartó és illeszkedéstartó. A tengely pontjai fixek. Ha egy e egyenes metszi a t tengelyt egy T pontban, akkor e' is metszi t-t, mégpedig éppen T-ben.

t e'

P'

f' A e

P B B' (P) P'

t P'

A' e'

l = –cos j

f'1

· Párhuzamosság-tartó. Speciálisan, ha egy egyenes párhuzamos t-vel, akkor képe is párhuzamos vele. · Osztóviszonytartó. · Nem aránytartó és nem szögtató. Kivéve a l = ±1 esetet, amikor is egybevágóság (identitás vagy tükrözés), tehát távolság- és szögtartó. Megjegyzés: Sík leforgatásakor a leforgatott kép és az I. kép kapcsolata is merőleges tengelyes affinitás, amelynek tengelye f1', aránya pedig l = ±cos j, ahol j a leforgatott sík és a p1 képsík hajlásszöge (a különbségi háromszög p1-gyel párhuzamos befogóján lévő szög): P'f1' = l(P)f1. 146

ELLIPSZIS, HIPERBOLA, ÉS PARABOLA

147

1. Az ellipszis Adottak a síkon az F1 és az F2 pontok (fókuszok) valamint a 2a távolság úgy, hogy 2c = P = |F1F2| < 2a teljesüljön. Ellipszisnek nevezzük a sík azon P pontjainak halmazát, v1 v2 amelyekre fennáll a |PF1| + |PF2| = 2a c O C1 F1 F2 C2egyenlőség (a v1 = PF1 és v2 = PF2 szakaszok a P pont vezérsugarai). b a a Szimmetriák: az F1F2 egyenesre (a nagytengely egyenesére) és az F1F2 szakasz feleB2 ző merőlegesére (a kistengely egyenesére) 2a vonatkozó tengelyes szimmetriák, és e két 2 2 2 egyenes O metszéspontjára (a középpontra) b +c =a vonatkozó centrális szimmetria. A szimmetriatengelyekre illeszkedő pontok a C1 és C2 csúcspontok vagy nagytengely végpontok (|OC1| = |OC2| = a), továbbá a B1 és B2 kistengely végpontok (|OB1| = |OB2| = b, |F1Bi| = |F2Bi| = a, i = 1, 2). A tengelyvégpontokhoz tartozó érintő merőleges a tengely egyenesére. Állítás: Az ellipszis egy P pontjához tartozó érintője felezi a ponthoz tartozó v1 és 148 v2 vezérsugarak külső szögét.

B1

Ellipszispontok és érintők szerkesztése B1 B1 2 1 v

N v1 C1 F1 v1

N+ a

2 1

2

O v2 b a B2 2a

F2 C2

C1 F1 1

2

O

F2 C2

1

1 2

B2

2

Legyenek adottak az ellipszis F1 és F2 fókuszai, valamint a 2a > |F1F2| távolság. · Az F1F2 egyenesen O-tól a távolságra kijelöljük a C1 és C2 csúcspontokat. · Az F1F2 szakasz felező merőlegesén a fókuszoktól a távolságra adódnak a kistengely B1 és B2 végpontjai. · Ha a 2a hosszúságú C1C2 szakaszt egy F1 és O közé eső N+ ponttal két részre osztjuk, akkor a létrejövő, rendre v1 és v2 hosszúságú N+C1 és N+C2 szakaszok (v1 + v2 = 2a miatt) egy, az ellipszisre illeszkedő (megfelelő) N pont vezérsugarai. · N+-hez hasonlóan további osztópontok is felvehetők F1-től O felé haladva növekvő közökkel. Mindegyikhez megszerkeszthetjük a megfelelő ellipszispon149 tokat, amelyek a szimmetriák miatt négyesével adódnak. A szimmetriákat az érintők szerkesztése során is kihasználhatjuk.

y B1

P

Az ellipszis egyenlete 2 2 2 |C1C2| = 2a; |F1F2| = 2c; b = a – c F1(–c, 0); F2(c, 0); P(x, y) F2 C2 x

O

C1 F1

|F1P| = Ö(x + c)2 + y2 2

2

|F2P| = Ö(x – c) + y F1P + F2P = 2a

B2 2

Ö(x + c)2 + y2 + Ö(x – c)2 + y2 = 2a 2

2

2

Ö(x + c) + y = 2a – Ö(x – c) + y 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(x + 2xc + c ) + y = 4a – 4aÖ(x – c) + y + (x – 2xc + c ) + y aÖ(x – c)2 + y2 = a2 – xc 2

2

2

2 2

4

2

2 2

a (x – 2xc + c ) + a y = a – 2a xc + x c (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)

(x – u) (y – v) x2 y2 150 = 1, illetve K(u, v) középponttal: =1 + + 2 2 2 2 a b a b

2

K

Az ellipszográf elve, papírcsík szerkesztés

y a

B

x

P(x, y) y b

O

Az a + b hosszúságú KL egyenes szakasz úgy mozog a koordinátarendszerben, hogy mozgása közben K és L végpontjai rendre az x ill. y tengelyen maradnak. Vizsgáljuk, milyen pályán mozog eközben a szakaszt a és b hosszúságú darabokra osztó P pont. A megjelölt hasonló derékszögű háromszögekből:

2 y2 x Öb2 – y2 , majd négyzetre emelve: x + =1 L C x a= b a2 b2

Láthatjuk tehát, hogy a P pont egy origó középpontú a, b féltengelyű ellipszis pályán mozog (a = |OC|, b = |OB|). Ez az ellipszográf elve (ill. az ún. papírcsík szerkesztés). Feladat: Adott egy ellipszis C1C2 nagytengelye és azon kívül egy P pontja. Állítsuk elő a B1B2 kistengelyt. Megoldás a papírcsík szerkesztés megfordítása alapján: B1B2 egyenese a C1C2 szakasz felező merőlegese. P köré körívet rajzolunk a = |C1C2| / 2 sugárral. Ez a kör a B1B2 egyenesből (P oldalán) kimetszi a K pontot, a KP egyenes pedig C1C2ből az L pontot. A fél kistengely hossza a151PL távolság: b = |B1B2| / 2 = PL. Ezt kell felmérni a középponttól (a tengelyek metszéspontjától) B1 és B2 kijelöléséhez.

A kör affin képe ellipszis y

B1 P(x, y)

r C1

O C'1

K(u, v)

C2

B2 T x=t B'2 K'(u', v') a C'2 b P'(x', y') B'1

Adott a t tengelyű l arányú merőleges affinitás, és a K középpontú r sugarú kör. Keressük a kör képét. Koordinátarendszert rögzítünk a síkon úgy, hogy annak x tengelye egybeessen t-vel. Tekintjük a kör egy P pontját. Ennek koordinátáira az alábbi egyenlet teljesül:

(x – u)2 + (y – v)2 = r2 Az affinitás definíciója szerint |P'T| = l|PT|, így P' koordinátai az x' = x és y' = ly kifejezésekkel adódnak. Fordítva, P koordinátái is kifejezhetők P'-éből: x = x', y = y'/l. Ezt a kör egyenletébe helyettesítve:

(x' – u)2 (y' – lv)2 + =1 (x' – u) + (y'/l – v) = r , amiből az r2 (lr)2 2

2

2

egyenlet adódik. Ez pedig a K' középpontú (u' = u, v' = lv) ellipszis egyenlete, amelynek x-szel párhuzamos féltengelye (|l| < 1 esetén fél nagytengelye) a = r, 152 míg y tengellyel párhuzamos féltengelye (fél kistengelye) b = |l|r.

R

P

S S'

t

P' X1

B1 b O

Y2

Konjugált átmérőpár

Az ellipszis (spec. a kör) két átmérőjét konjugált átmérőpárnak nevezzük, ha az egyik átmérő végpontjaihoz tartozó érintők párhuzamosak a másik átmérővel, és a második átmérő végpontjaihoz tartozó érintők párhuzamosak az első átmérővel. Q A kör konjugált átmérőpárjai a merőleges átmérőpárok. A párhuzamosságtartás miatt a kör (vagy egy ellipQ' szis) konjugált átmérőpárjának affin képe a képellipszis egy konjugált átmérőpárja. Rytz-szerkesztés. Adott egy ellipszis X1X2, Y1Y2 R' konjugált átmérőpárja. Keressük a C1C2, B1B2 tenV gelyeit. Az OX1 átmérőt O körül 90°-kal elforgatva OX1 adódik. Az X1Y1 szakasz F felezőpontja körül X1 O-n áthaladó kört rajzolunk, amely az X1Y1 egyea F nest az U és V pontokban metszi (U az X1X2, Y1Y2 Y1 átmérők hegyesszögű tartományába esik). Ekkor b U OU a nagytengely egyenese, és a = |OC1| = |VY1|; a a C1 kistengely egyenese pedig OV, és b = |OB1| = 153 = |UY1|. X2

Kétkörös szerkesztés

P B

P

P'

b O

T

a

C P

Q Q'

P'

Ha adottak az ellipszis tengelyei, megrajzoljuk a főkört – a nagytengely Thalész-körét (sugara a) – és a mellékkört – a kistengely Thalész-körét (sugara b). P a főkör egy tetszőleges pontja. Az OP sugár P-ban metszi a mellékkört. P-ben merőlegest állítunk az OC nagytengelyre, P-ban pedig az OB kistengelyre. Ekkor e két egyenes P' metszéspontja illeszkedik az ellipszisre. Ugyanis OT és PP' az OPT szög szárainak párhuzamos szelői, így |P'T| / |PT| = |PO| / |PO| = = b/a = l állandó, vagyis P' a P pont OC tengelyre vonatkozó l arányú affin képe. A főkör további pontjaiból kiindulva tetszőlegesen sok ellipszispont megszerkeszthető. Célszerű a főkör egymásra merőleges (konjugált) OP és OQ átmérőpárjaiból kiindulni. Ekkor a kapott átmérők konjugáltságából egyszerűen adódnak154az érintők is.

a1

a2

2. A hiperbola 2a < |F1F2|; {P : ||PF1| – |PF2|| = 2a}.

2 F , F : fókuszok, |F F | = 2c fókusztáv.; 1 2 1 2 B1 C1, C2: csúcsok, |C1C2| = 2a valós tengely; P 1 B1, B2: képzetes tengely, |B1B2| = 2b; C1C2, B1B2 szimmetriatengelyek; c b v2 v1 x O szimmetriacentrum, középpont. a C1 O C2 F2 v1 = PF1 és v2 = PF2 szakaszok P vezérsu1 F1 2 garai. P-ben az érintő belülről felezi v1, és v2 szögét. Az a1, a2 aszimptotáknak a 1 1 csúcsérintőkkel alkotott metszéspontja ilB2 leszkedik az F1F2 szakasz Thalész-körére. 2 2 a2 + b2 = c2 (x2 / a2) – (y2 / b2) = 1 a görbe, y = ± bx/a az aszimptoták egyenlete. Hiperbola pontok szerkesztéséhez a valós tengelyen a fókusztól kifelé haladva növekvő közökkel veszünk föl osztópontokat (1, 2, Ľ). Az ezekhez tartozó görbepontok vezérsugarainak hossza az osztópont és a csúcspontok távolsága. Például v1 = 1C1 és v2 = 1C2; a görbe 155 megfelelő pontjai négyesével adódnak. 2a

2

y

P

v 1

3. A parabola

2

{P : |PF| = |Pd|}. F a fókusz, d a direktrix, |Fd| = |FD| = p a paraméter. A C csúcspont felezi az FD szakaszt; FD egyenes a szimmetriatengely, a d-re merőleges egyenesek az átmérők. P-ben az érintő felezi a v = FP vezérsugár és a direktrixre bocsátott PT merőleges szögét.

2

F 1 C

T

y

D

1 x

p

y = x2 / 2p

d

Parabola pontok szerkesztéséhez a tengelyen a csúcsponttól indulva a tengely irányában haladva növekvő közökkel veszünk föl osztópontokat (1, 2, Ľ). Az ezekhez tartozó görbepontok vezérsugarainak hossza D és az osztópont távolsága lesz (pl. v = D2). F körül ezzel a sugárral körívezve metszhetjük ki az osztóponton áthaladó d-vel párhuzamos szelő egyeneséből a görbe megfelelő pontjait. 156

KÖRÁBRÁZOLÁS

157

3. A kör merőleges vetülete, körábrázolás a A D f

e

(A) (a) C

(C)

(D)

(e)

B h

D' e' p

(f )

B' h'

(B) A' f' C' (C)'

(A)' (f )'

(D)'

(e)' (B)'

158

A leforgatott kép és a vetület merőleges affin kapcsolatban van, így a kör merőleges vetülete ellipszis. A képellipszis A'B' nagytengelye a kör f fővonalra illeszkedő AB átmérőjének vetülete. Hossza megegyezik a kör átmérőjével: A'B' = AB. A képellipszis C'D' kistengelye pedig az e esésvonalra illeszkedő CD átmérő képe. Hossza: C'D' = CD × cos j, ahol j a kör a síkjának a képsíkkal bezárt szöge.

A körábrázolás lépései A kör ábrázolásához ismerni kell: • a kör középpontját, • a kör sugarát, • a kör síkját. Egy feladat megoldása során ezek explicit előállítása az első feladat, amely általában a kör síkjának leforgatását igényli. Kétképsíkos ábrázolásban a szerkesztés során elő kell állítani az alábbi, úgynevezett lényeges átmérők mindkét képét a végpontjaikhoz tartozó érintőkkel együtt: • az I. képellipszis nagytengelyére képeződő átmérőt, • az I. képellipszis kistengelyére képeződő átmérőt, • a II. képellipszis nagytengelyére képeződő átmérőt, • a II. képellipszis kistengelyére képeződő átmérőt, • a szélső pontokat tartalmazó átmérőt. Végül a lényeges átmérők, valamint a feladatban megadott görbepontok és érintők figyelembevételével (görbevonalzó segítségével) meg kell rajzolni a kép159 ellipsziseket.

r

Q"

r

Q"

r f"1

a O"

f"1 A"

r

r

a O"

B"

f"1 A"

P" f"2

f"2

f'1

a O'

f"2

f'2 P' f'1

B"

P"

B'

r f'2

r

a O"

A'

r

a O'

B'

r f'2

Q'

P' f'1

r

a O'

Q'

A'

Ábrázoljuk az a = [f1, f2] (fővonalaival adott) síkra illeszkedő, O középpontú r sugarú kört. 1. Kijelöljök a fővonalakra illeszkedő átmérőket. Az f1 egyenesre illeszkedő AB átmérő az I. képen nem rövidül: A'O' = B'O' = r. A végpontok II. képe rendezővel adódik. Hasonló módon, az f2 egyenesen P"O" = Q"O" = r, és az I. képeket rendezőkkel kapjuk. 2. Mivel AB az I. PQ pedig a II. képellipszis nagytengelye, ezért a végpontokhoz tartozó érintők rendre az a sík f1 ill. f2 fővonalára merőleges, I. ill. II. esésvonalakra illeszkednek. 160

r

Q"

r

r

a O"

B"

f"1 A"

e2"

P" f"2

Q"

r R"

r f"1 A"

b2 b2 r P"

a O" b2

B"

f'2 P' A'

r

r

D' b1

P' r b1

e'1 f'1

r P"

a O" b2

B" S" e2"

D"

f"2

B' Q'

r b2

f"1 A"

D"

f'2

a O'

Q"

R"

S" e2"

f"2 r

r

r

e'2

f'1

e C" "1

e C" "1

e"1

A'

R'

S' e'2 B' r a O' Q' b1 C' e'1

D' b1

f'2 P' f'1

A'

r

S' e'2 B' r a O' Q' b1 C' e'1

R'

3. Az előbbi érintőkkel párhuzamosan, az O középponton át fölvesszük az e1 és e2 esésvonalakat is. Ezekre illeszkednek a kistengelyekre képeződő átmérők. 4. A kistengelyek végpontjait a papírcsík szerkesztés alkalmazásával kapjuk. Az I. képen az AB nagytengely és az ellipszis P pontja alapján dolgoztunk, a II. képen pedig a PQ nagytengelyből és az A pontból kiindulva végeztük el a szerkesztést. A kapott C, D, ill. R, S pontokat rendező jelöli ki az e1 és e2 egyenesek II. ill. I. képén. 161 5. A C és D pontban f1-gyel, az R és S pontban pedig f2-vel párhuzamos az érintő. Végül megrajzoljuk a görbe képeit.

r

AXONOMETRIKUS ÁBRÁZOLÁS

162

Az axonometrikus ábrázolás lényege, hogy az alakzatokat a hozzájuk rögzített térbeli derékszögű koordinátarendszerrel együtt vetítjük a képsíkra (axonometrikus képsík). Ha a vetítősugarak a képsíkra merőlegesek, ortogonális vagy merőleges axonometriáról beszélünk. z e Az egységszakasz hossza: e. e rövidült hossza a tengelyeken: ex = O1x , ey = O1y , ez = O1z . A tengely irányú rövidülések: P qx = ex / e,ü qy = ey / e,ý qx2+ qy2+ qz2 = 2 1z qz = ez / e. ţ P pont x, y, z koordinátái: O 1 1 y x x x = OPx / qx , y = OPy / qy , z = OPz / qz . P'

Pz z P'''

P" P

y x P x

O y Py P'

Pont ábrázolása axonometrikus képével (P-vel) és valamelyik koordinátasíkon lévő merőleges vetületével (pl. P'-vel) történik. Ezek meghatározzák a pont koordináta-téglatestjét, aminek csúcsai kijelölik P koordinátapontjait (Px , Py , Pz ), és ezek révén – a rövidülések ismeretében – P koordinátáit. Létrejönnek továbbá 163 a pont többi koordiátasíkon lévő vetületei is.

1. Ortogonális axonometriában a tengelykereszt képe nem teljesen tetszőleges: bármely tengely vetülete a másik két tengely vetülete által meghatározott tompaszögű tartományba esik.

z

x

b a g

z

x

y

felülnézeti axonometria a, b, g tompaszögek

b a

y

alulnézeti axonometria a, b hegyesszögek, g = a + b tompaszög 164

Ortogonális axonometriában a tengelykereszt képe meghatározza a tengelyirányú (és ezáltal bármely más irányú) rövidüléseket is. z z z [z] [1z ] e e [O] 1z 1z ez (x) 1x

O ex ey

1y

x (1x ) e

(y) y x

e (1y )

1x

O ex ey

1y

1x

O

1y

y x

y egységkocka

(O) Egy koordinátasík fővonalának képe merőleges a harmadik koordinátatengely vetületére. (Ugyanis egy ilyen fővonal a térben párhuzamos az axonometrikus képsíkkal, és – a koordinátasík többi egyenesével együtt – merőleges a harmadik koordinátatengelyre.) A koordinátasíkot egy fővonala körül leforgathatjuk. Mivel az x és y koordinátatengelyek a térben merőlegesek egymásra, így a leforgatott (O) origóból a 165 szakasza derékszögben látszik, tehát fővonal koordinátatengelyek közé eső illeszkedik e szakasz Thalész-körére.

z"

ex

e

ex

bx

e

y" y'

v u

y by

v

x" z'

ey z ez

z y

P(u, v, w)

w

x

bz

P"

bx

z

x P wz

w u v wz vy ux

x

ux vy

P'

y

P' x' Ha sok – koordinátáival adott – pontot kell ábrázolni, célszerű elkészíteni az ún. rövidülési szögeket. Ezek a koordinátatengelyek képsíkkal bezárt bx , by , bz szögeinek a pótszögei. Ha egy távolságot valamelyik koordinátatengelyre, vagy azzal párhuzamos egyenesre akarunk felmérni, akkor először a tengelynek megfelelő szögszárra mérjük, majd leolvassuk a kapott pont vízszintes szártól mért távolságát. Ez lesz a szakasz rövidült hossza a tengelyirányú 166 egyenesen.

z

z r

K

r

K' y

(x) O rx K' ry x r r

r 4

K

O x

z

K rx

ry

3

1O rx K' ry

(y) y

2

x

y

(O) Ortogonális axonometriában adott a tengelykereszt vetülete, továbbá adott a K pont és az r távolság. Ábrázoljuk az [x, y] koordinátasíkkal párhuzamos síkra illeszkedő K középpontú r sugarú kört. · Az [x, y] sík leforgatásával előállítjuk az r sugár x és y irányú rövidülését, az rx és ry távolságokat. · A K ponton keresztül megrajzoljuk a koordinátatengelyekkel párhuzamos átmérők egyenesét és K-tól mindkét irányban felmérjük az rx ill. ry távolságokat. Így kapjuk a koordinátatengelyekkel párhuzamos 12 és 34 átmérőket. Ezek 167 konjugált átmérőpárt alkotnak, így az érintők is rögtön adódnak.

z

z

r

r 2

4

K

B

C Kb

4

r

A

z

B

C

2 b

4 A

1O

1O y

x

2 A 3

1O

D K'

K'

r

K

B

3

3

x

r

D K'

y

x

y

· A képellipszis nagytengelyére képeződődő AB átmérő a kör ([x, y]-nal párhuzamos) síkjának K-n áthaladó fővonalán van, így képe merőleges z vetületére. Ezen az átmérőn nem lép fel rövidülés, tehát az A és B végpontok kijelöléséhez a sugár r hosszát kell felmérni K-tól. · A képellipszis kistengelyére képeződő CD átmérő a kör síkjának K-n áthaladó esésvonalán van, így képe párhuzamos z vetületével. A fél kistengely b hosszát pl. a ,,papírcsík” szerkesztés megfordításából adódó elven szerkeszthetjük meg. A 2 pont körül r sugárral megrajzolt ívvel elmetszük a kistengely egyenesét. A kapott pontot 2-vel összekötő egyenesen 2 és a nagytegelyen lévő metszéspont közé eső szakasz hossza éppen b lesz, amit K-ból felmérve C és D adódik. · Végül megkeressük z metszéspontját a168kör síkján, és feltüntetjük a láthatóságot.

Ortogonális axonometria tengelykeresztjének előállítása a rövidülések adott arányához z

k 2e

2

le

x

2 2 2 y me ke le qx : qy : qz = k : l : m, ahol k, l, m adott természetes számok, amelyekre teljesülnek a k 2 + l 2 > m 2, l 2 + m 2 > k 2, m 2 + k 2 > l 2 egyenlőtlenségek, e pedig egy (tetszőlegesen) rögzített távolság egység.

Tipikus esetek: Izometrikus: 1 : 1 : 1; Dimetrikus: 1 : 2 : 2, 2 : 3 : 3, 1 : 3 : 3; Trimetrikus: 4 : 5 : 6, 169 5 : 9 : 10, 6 : 7 : 8.

2. Klinogonális axonometria. Az alakzatokat továbbra is a hozzájuk rögzített térbeli derékszögű koordinátarendszerrel együtt párhuzamos sugarakkal vetítjük a képsíkra. Ha ezek a vetítősugarak nem merőlegesek a képsíkra, ferdeszögű v. klinogonális axonometriáról beszélünk. Pohlke tétele: A tengelykereszt és a tengelyeken fellépő rövidülések aránya tetszőlegesen megadható. Mindig előállítható a térbeli derékszögű koordinátarendszernek egy alkalmas állása és a vetítősugarak iránya úgy, hogy képként az adott tengelykeresztet kapjuk a rövidülések adott arányával. (KARL WILHELM POLKE, német matematikus, 1810 – 1876.) A tengelykereszt és a rövidülések arányának megválasztásában tehát nagy szabadsági fokunk van. Törekedni kell azonban a képiesség megőrzésére. qx : qy : qz = 31 : 50 : 50 z

qx : qy : qz = 19 : 11 : 20 z y

az egységkocka képe: y x

x képies

170

nem képies

Frontális axonometria: y ^ z z a = 30°, 45°, 60°; qx = 1/2, 2/3, 1; qy = qz = 1; (a = 45°, qx = 1: kavalier-perspektíva) y a x Horizontális axonometria v. katona-perspektíva: x ^ y z a = 30°, 45°, 60°; qx = qy = 1; qz = 1/2, 2/3, 1. a x

(E hagyományos elnevezésekben szereplő "perspektíva" szó most nem a centális ábrázolásra utal.)

y Konvencionális axonometria z q = 1/2, q = q = 1; x y z (közelítően egy nagyított 8 ortogonális kép) 8 1 y 7 x 171

Izometrikus axonometria z a = b = 30°; qx = qy = qz = 1; (nagyított ortogonális kép) a b y x

z z

z

z

y

y x x

y

x

y

x

y

Ábrázoljuk az elölnézeti és felülnézeti képeivel adott alkatrészt katona-perspektívában: a = 30°, qx = qy = qz = 1. Mivel qx = qy = 1, továbbá az x és y tengelyek vetülete merőleges egymásra, ezért az axonometrikus képsík párhuzamos (vagy egybeesik) az [x, y] koordinátasíkkal. Így az alaprajz képe egybevágó a felülnézettel (pl. az [x, y] síkon lévő kör képe kör lesz). Ezért az alaprazot, megfelelően elforgatva, egyszerűen átmásoljuk. 172 mérhetjük föl a z tengelyre. Mivel qz = 1, az egyes szinteket is közvetlenül Ezt követően elkészítjük a test éleinek struktúráját, majd feltüntetjük a láthatóságot.

FELÜLETEK ÁBRÁZOLÁSA

173

tP p5

p4

p3

ep P el tP

g p2

p1

l2

l3

l4

l5

l1

l0 p0 · Egy görbe pontjai mozgatás közben egy felületet súrolnak. · l a leíró görbe, amit mozgatunk, l = l0 , l1 , l2 , . . . ennek példányai. · A mozgás során a leíró görbe pontjai pályagörbéket írnak le: p0 , p1 , p2 , . . . · Minden (reguláris) P felületi ponton áthalad a leíró görbe egy példánya és egy pályagörbe.

· A leíró görbe és a pályagörbe P-hez tartozó el és ep érintői kifeszítik a P-hez tartozó tP érintősíkot. · Ha g egy P-n áthaladó felületi görbe, amelynek P-hez tartozó érintője tP , akkor tP illeszkedik tP-re. · Így egy (reguláris) felületi ponton áthaladó bármely két felületi görbe pontbeli érintői, ha azok léteznek és nem 174 esnek egybe, kifeszítik az érintősíkot.

p t'K g'

K'

tK'

tK g

K

tK

k'

k

· p rögzített képsík. Egy K felületi pontot (p-re vonatkozóan) kontúrpontnak nevezünk, ha a felület K-hoz tartozó tK érintősíkja vetítősík. A K kontúrpont K' vetületét képkörrajzi pontnak mondjuk. A kontúrpontok összessége általában egy felületi görbét alkot, ez a k kontúrgörbe, aminek k' vetülete a képkörrajz. · Ha egy g felületi görbe áthalad a K kontúrponton, akkor a görbe g' képének és a k' képkörajznak a K'-höz tartozó érintője egybeesik. (Ugyanis, a g és a k térbeli görbék K-hoz tartozó érintője a tK érintősíkban van, ami egy vetítősík). Így g 175 láthatósága éppen K-ban változhat meg.

k" t" s" a"

m"

m"

l" b"

l'a'

b'

m'

k'

s'

t'

m'

· Síkbeli görbét forgatva egy síkjára illeszkedő t egyenes, mint forgástengely körül, forgásfelületet kapunk. Most t-t I. vetítőegyenesnek választjuk. · A forgásfelület leíró görbéjét, a megforgatott síkgörbét (és annak elforgatott példányait) meridiánnak mondjuk. A képsíkkal párhuzamos síkú m meridián a főmeridián. · A forgástengelyt tartalmazó síkokat meridiánsíknak nevezzük. · A forgásfelület pályagörbéi a forgástengelyre merőleges (egymással párhuzamos) síkú körök, a parallelkörök. · Az I. kontúrt a lokálisan legnagyobb és lokálisan legkisebb sugarú parallelkörök (egyenlítői- és torokkörök) alkotják: l és s. · A II. kontúrhoz a főmeridián (m) és a lokálisan legfelső (k) és legalsó parallelkörök tartoznak. · Ábrázoljuk még a lezáró és csatlakozó 176 parallelköröket is (a, b).

t" m" P"12 (P)

P'1 t' m'

· Adott a P felületi pont II. képe. Keressük a lehetséges I. képeket. · Megrajzoljuk a P-t tartalmazó parallelkör (vízszintes egyenes szakaszra illeszkedő) II. képét, ami kijelöli az m főmeridiánra beforgatott (P) pontot. · m'-n adódik (P) I. képe, és ennek alapján P parallelkörének I. képe is. · P rendezője kijelöli a körön P lehetséges I. képeit. · Így most két megoldás adódott P1 és P2 · A megoldások száma általában attól függ, hogy hány parallelkört metsz ki a P-n átfektetett t-re merőleges sík a felületből.

(P)

P'2 177

t" (Q2)

Q"2 m"

(Q1)

(Q12)

Q"1

· Adott a Q felületi pont I. képe. Keressük Q lehetséges II. képeit. · Az I. képen Q'-t az őt tartalmazó parallelkör mentén beforgatjuk a főmeridián m' képére, és megkeressük ennek lehetséges II. képeit m"-n: (Q1) és (Q2). Ezek a parallelkörök szélső pontjai. · A szélső pontok alapján megrajzoljuk a két parallelkör II. képét (vízszintes szakaszok) és ezeken megkapjuk Q lehetséges II. képeit. · Végül most is két megoldás adódott. · A megoldások száma általában attól függ, hogy a beforgatott (Q) rendezője hány pontban metszi m"-t.

m' t' Q'12

178

t"

· Előállítjuk az F felületi ponthoz tartozó tF érintősíkot. · Ha F például I. (vagy II.) kontúrpont lenne, akkor tF I. (II.) vetítősík, amelynek I. (II.) képe F'-ben (F"-ben) érinti az I. (II:) képkörrajzot. A továbbiakban tegyük föl, hogy F nem kontúrm" pont. · A tF síkot ekkor is kifeszíti az F ponton áthaladó tF meridián em érintője és a parallelkör ep érintője. F" (F)" e"p · em' = t'F', mert az F-en áthaladó meridián síkja (em)" (az összes többi meridiánsíkhoz hasonlóan) egy e"m t-t tartalmazó I. vetítősík. Erre illeszkedik a meridián em érintője is. · em" szerkesztéséhez az F pontot beforgatjuk az m főmeridiánra. (F)"-ben megrajzoljuk m" érintőjét. Így kapjuk a keresett érintő (em)" beforgatottját. Ezt forgatjuk vissza, kihaszálva, hogy (em)' t"-vel közös pontja helyben marad. A fixpontot m' t' F"-vel összekötve adódik em". (F)' · ep közvetlenül megrajzolható, mert a parallelkör síkja I. fősík. Így ep' körérintőként a sugárirányú e'p em'-re179 merőleges, em" pedig a fősík képével egybetF eső vízszintes egyenes. F' e'm

FORGÁSFELÜLETEK SÍKMETSZETE

180

Forgásfelület síkmetszete esetén áthatási pontok szerkesztésére mindig alkalmazhatunk a felület tengelyére merőleges szeletelősíkokat. Ezek a metsző síkból egy egyenest, a felületből pedig parallelkört metszenek ki. A metszésvonal és a parallelkör közös pontjai a metszetgörbének a szeletelősíkon lévő pontjai lesznek. Az ábrán egy (egyköpenyű) forgási hiperboloid és az a sík (ellipszis) metszete látható. A p szeletelő sík a-t az m egyenesben metszi, a hiperboloidból pedig a k parallelkört metszi ki. Ezek közös pontjai, P1 és P2, a metszetgörbe p-re illeszkedő a S1 pontjai. p-vel párhuzamos további szeletelő síL1 kok alkalmazásával a metszetgörbének tetszőleB2 m gesen sok további pontja előállítható. P2 B1 Lényeges pontokként először szimmetriaponp L2 k P1 tokat (S1 és S2) keressük, amelyek a felület és a S2 metsző sík (a) közös szimmetriasíkján lévő áthatási pontok. Ez a sík a felület tengelyén átfektetett, a metsző síkra merőleges sík. Metszésvonaluk a metszetgörbének is szimmetriatengelye. (Esetünkben S1S2 a metszetellipszis nagytengelye.) Megjegyezzük, hogy ha a metsző sík merőleges a tengelyre, akkor a tengelyen átfektetett bármely sík szimmetriasík. Így, például gömb síkmetszete esetén a metszet minden pontja szimmetriapont, hiszen a gömbnek 181 van a metsző síkra merőleges tengelye is.

Szimmetriapontban a metszetgörbe érintője merőleges a szimmetriasíkra. Pontosabban, ha a (valódi) metsző sík egyben érintősík is, akkor az érintési pont olyan szimmetriapont, amelyen a metszetgörbe kétszer halad át (úgynevezett duplapont). Ekkor a szimmetriasíkra való tükrözés során az egyik görbeág a másikra képeződik. Így egy duplapontban a görbének két érintője van (a két ágnak egy-egy), amelyek szintén egymásra képeződnek a szimmetriánál. Szerkesztésük egyedi meggondolást igényel. Például az egyköpenyű forgási hiperboloid érintősíkjai a felületből két, egymást metsző alkotót (egyenest) metszenek ki. Lényeges pontokként kell megkeresni a kontúrpontokat, vagyis metszetgörbének a felület kontúrjára eső pontjait is. Ezek a kontúrgörgörbe metsző síkkal közös pontjai (L1 és L2). Az ábrázolás szempontjából azért fontosak, mert a metszetgörbe láthatósága ezekben változhat. Kontúrpontban a metszetgörbe (mint felületi görbe) érintőjének vetülete érinti a képkörrajzot. (Ennek alapján kétképsíkos ábrázolásban könnyen adódik a kontúrponthoz tartozó érintő egyik képe. Az érintő másik képét pedig annak kihasználásával kaphatjuk, hogy az érintő illeszkedik a metsző síkra, hiszen maga a metszetgörbe is ebben van.) Lehetnek még további lényeges pontok és lényeges érintők is. Például ellipszis metszet esetén a kistengely végpontjai (B1 és B2) a hozzájuk tartozó érintőkkel, hipebola metszet esetén pedig az aszimptoták (mint a metszetgörbe végtelen távoli pontjaihoz tartozó érintők, amelyek a középponttól távoli görbeívek helyes megrajzolását segítik). Ide sorolhatók továbbá a lezáró és csatlakozó parallelkörökön lévő áthatási pontok is. 182

FORGÁSFELÜLETEK ÁTHATÁSA

183

Az áthatási görbe szerkeszthetősége pontonkénti szerkeszthetőséget jelent. Általában szeletelősíkokat (vagy gömböket) alkalmazunk arra törekedve, hogy a szeletelésel mindkét felületből vagy egyenest, vagy kört messünk ki. Ezek metszéspontjait előállítva a két felületnek a szeletelősíkon lévő áthatási pontjai adódnak. Például, ha a két forgásfelület tengelye párhuzamos, akkor a tengelyek közös irányára merőleges szeletelősíkok mindkét felületből parallelkört metszenek ki, amelyek metszéspontjai a szeletelő síkra illeszkedő áthatási P2 pontok lesznek. p v Az ábrán egy forgáskúp és egy gömb u P1 áthatásának szerkesztését láthatjuk. A gömbnek bármely olyan egyenes forgástengelye, amely áthalad a középpontján, így a kúp tengelyével párhuzamos tengelyt is választhatunk. A kúp tengelyére merőleges p szeletelősík a kúp felületéből az u, a gömbéből pedig a v parallelkört metszi ki, amelyeknek P1 és P2 metszéspontjai a két felület p-re illeszkedő áthatási pontjai. Ez a szeletelés tetszőlegesen sok p-vel párhuzamos síkkal megismételhető, és így az 184 áthatási görbe tetszőlegesen sok pontja előállítható.

Ha a két forgásfelület tengelye metszi egymást, akkor a metszéspont köré írt gömbfelületekkel szeletelve kaphatunk áthatási pontokat. Egy ilyen gömbnek ugyanis mindkét eredeti felület tengelye egy-egy forgástengelyét alkotjat. Közös tengelyű forgásfelületek áthatása pedig parallelkörökből áll, amelyeket a (közös síkban lévő) meridiánok közös pontjai írnak le. Így egy szeletelő gömb mindkét eredeti felületből gömbi köröket metsz ki, amelyeknek közös pontjai a két felületnek a gömbön lévő áthatási pontjai lesznek. Az ábrán látható forgáskúp és forgáshenger tengelyei a K pontban metszik egymást. A K középpontút gömb a kúpból az u és v parallelköröket metszi ki, a henger adott darabjából pedig az s kört. Ezek u P2 mindannyian illeszkednek a gömb felüleP1 tére. Közös pontjaik – az u körön P1 és P2 , s Q 2 v K a v körön pedig Q1 és Q2 – a kúp- és a hengerfelülenek a szeletelő gömbön lévő átQ1 hatási pontjai. Az eljárást tetszőlegesen sok, az előbbivel koncentrikus szeletelő gömbbel megismételve az áthatási görbe további pontjait kaphatjuk. 185

Kitérő tengelyű forgásfelületek esetében nincs általános eljárás az áthatási pontok szerkesztésére. Vannak azonban jól kezelhető speciális esetek. Például, ha az egyik felület egy forgáshenger, amelynek tengelye merőleges a másik forgástest tengelyére, akkor a második test tengelyére merőleges szeletelősíkok abból mindig parallelköröket, a hengerből pedig alkotókat, tehát egyeneseket metszenek ki. Kitérő tengelyű forgáshengerek esetében pedig a két tengellyel egyidejűleg párhuzamos (a tengelyek normál-transzverzálisára merőleges) szeletelősíkok alkalmazhatók. Az ábrán egy vízszintes tengelyű forgáshenger és egy függőleges tengelyű forgástestet metszetét láthatjuk. (A forgástestet egy körív megforgatásából származtattuk, amelynek középpontja nem illeszkedik a tengelyre.) A test tengelyére merőleges p szeletelősík a test felületéből az u parallelkört metszi ki, a hengeréből pedig az a és b alkotókat. A közös pontok az a alkotón P1 és P4 P2, a b-n pedig P3 és P4. Ezek a pontok a két felület p-re illeszkep dő áthatási pontjai. p-vel párhuzab P3 P2 mos további szeletelősíkok alkalu mazásával az áthatási görbe teta P1 szőlegesen sok további pontja is 186 előállítható.

Az áthatás szerkesztése során először az úgynevezett lényeges pontokat keressük. Mindenek előtt a szimmetriapontok előállítására törekszünk. Így nevezzük a két felület közös szimmetriasíkjaira illeszkedő áthatási pontokat. Szerkesztésük általában úgy történik, hogy magát a szimmetriasíkot választjuk szeletelősíknak. Ilyen pontokban (ha rajtuk csak egyszer halad át a görbe) az érintő merőleges a szimmetriasíkra, hiszen a tükrözésnél ennek is önmagára kell képeződni. Ha pedig a görbe önmagát átmetszve kétszer halad át rajta (úgynevezett duplapont), akkor a két ág egymásra képeződik a tükrözésnél, és ugyanez történik az ágak érintőivel is. Ilyen eset akkor fordulhat elő, ha a pontban a két felület érintősíkja egybeesik. Az ábrázolás szempontjából további lényeges pontok a kontúrpontok. Ezek az egyes felületek kontúrgörbéinek a másik felülettel közös pontjai. Kétképsíkos ábrázolás esetén például sorra kell venni mindkét felület mindkét kontúrját, így általában négy részfeladatot kell megoldani. Bizonyos esetekben nem tudjuk (esetleg elvileg sem) megszerkeszteni ezeket. Ilyenkor a görbe másik képének közelítő megrajzolása után olvashatjuk le a kontúrral közös pontokat. Az érintő vetületének megrajzolásakor pedig kihasználjuk, hogy az érinti a képkörrajzot. Forgásfelületek esetében egyéb lényeges pontok lehetnek a lezáró és csatlakozó (különböző típusú felületrészek közös határát képező) parallelkörökön lévő 187 áthatási pontok is.

Végül néhány fontos elméleti összefüggést tekintünk át. A gömb, a forgáshenger és a forgáskúp is (speciális) másodrendű felületek, ami azt jelenti, hogy másodfokú egyenlettel írhatók le. Az x, y, z térbeli derékszögű koordinátarendszerben például az origó középpontú r sugarú gömb egyenlete x2 + y2 + z2 = r2, a z tengelyű r sugarú forgáshengeré x2 + y2 = r2, a z tengelyű origó csúcsú j nyílásszögű forgáskúpé pedig x2 + y2 = z2×ctg2(j/2). Ennek geometriai jelentése az, hogy egy egyenessel legfeljebb 2 metszéspontjuk lehet. Hasonlóan az n-edfokú egyenlettel leírható felületeket n-edrendűnek mondjuk. Belátható, hogy egy n-edrendű és egy m-edrendű felület áthatási görbéje n×m-edrendű térgörbe, így két másodrendű felület áthatása negyedrendű görbe. Geometriai szempontból ez azt jelenti, hogy egy ilyen görbének egy síkkal, legfeljebb 4 közös pontja lehet. Mivel ez a vetítősíkokra is igaz, a negyedrendű görbe vetülete is legfeljebb negyedrendű síkgörbe, annak egy egyenessel szintén csak legfeljebb 4 közös pontja lehet. Ez egy fontos támpont lesz a vetületi görbék megrajzolása során. Ebből a szempontból további alapvető tudnivaló, hogy amennyiben egy fősíkra vonatkozó szimmetria következtében egy 2n-edrendű görbe vetülete kettős vetület, vagyis a vetület minden pontja a térbeli görbe két pontjának a képe, akkor a vetületi görbe egy n-edrendű síkgörbére illeszkedik. Negyedrendű görbe kettősvetülete tehát másodrendű görbére, vagyis kúpszeletre (ellipszisre, parabolára, 188 hiperbolára, ...) illeszkedik.

PROK ISTVÁN SZILÁGYI BRIGITTA ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA. Ábrázoló geometria példákon keresztül

Recommend Documents