PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET

K´esz´ıtette: Oszt´enyi J´ozsef Geometria Tansz´ek

Projekt´ıv geometria

2

´ I. BEVEZETES

A geometria tudom´anya azzal kezd˝od¨ott, hogy a tapasztalati t´argyakb´ol absztrakci´ oval megalkott´ ak a geometriai idom fogalm´at, s megismert´ek az elvont fogalmak k¨ ozti kapcsolatokat, melyek tapasztalati t´enyeket t¨ ukr¨oznek vissza. EUKLIDES elemei, amelyek a geometria tudom´anyos fejl˝od´es´enek alapjait adt´ak, igen hossz´ u tapasztalati ´es tudom´anyos fejl˝od´esnek eredm´enyeit foglalaj´ak magukban. Majd k´etezer ´even ´at tartotta meg az euklideszi geometria egyeduralkod´o szerep´et, s˝ ot m´eg ma is sokan azt hiszik, hogy ezt a geometri´at maga a term´eszet alkotta meg, s minden m´as, az´ota keletkezett geometria emberi tal´alm´any. Bizonyos, hogy a term´eszet ´at meg ´at van sz˝ove geometri´aval, de ez nem okvetlen¨ ul euklideszi geometria. A term´eszeti jelens´egeknek, nevezetesen a mozg´asoknak le´ır´as´ahoz c´elszer˝ u az euklideszi geometria, a relativit´as elv´en alapul´o, modern mechanika c´eljainak m´ar jobban megfelel a nem-euklideszi geometria. A t´argyak ´abr´azol´as´ahoz egy eg´eszen m´ asfajta geometri´ara, a projekt´ıv geometri´ara van sz¨ uks´eg. ´ Erdekes visszatekinteni a projekt´ıv geometria megsz¨ ulet´es´ere s fejl˝od´es´ere. Nem hivat´ asos geom´eterek, hanem a renesz´ansz m˝ uv´eszi alapozt´ak meg ezt a tudom´anyt. LEONARDO DA VINCI Utols´ o vacsor´ aja a m˝ uv´eszi eszm´eny t¨ok´eletess´eg´en kiv˝ ul p´eldak´epe a perspekt´ıv ´abr´ azol´ asnak. M´asik klasszikus p´eld´aja a perspekt´ıv ´abr´azol´asnak MICHELANGELO r´omai Capitoliuma.

1. LEONARDO DA VINCI: Utols´o vacsora ´ azadokkal k´es˝ Evsz´ obb, k¨ ul¨ on¨osen PONCELET m˝ uveiben s azok nyom´an alakult ki az ´abr´ azol´ o geometria ´es a projekt´ıv geometria tudom´anya. Ezt a l´at´as geometri´ aj´ anak tekinthetj¨ uk, ellent´etben az euklideszi geometri´aval, mely a tapint´as

Projekt´ıv geometria

3

geometri´ aja. A l´at´ as geometri´aj´ at nagyj´ab´ol a k¨ovetkez˝o t´enyek jellemzik: minden egyenest egyenesnek (vagy pontnak) l´atunk; p´arhuzamos egyenesek olyanoknak t˝ unnek, mintha egy pontba futn´anak ¨ossze; nem tudjuk meg´ıt´elni, vajon k´et t´ avols´ ag egyenl˝ o, vagy k´et sz¨og egyenl˝o egym´assal, mert azok k¨ ul¨onb¨oz˝o helyzetekben k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o nagys´ag´ uaknak l´atjuk.

2. MICHELANGELO: Capitolium

Projekt´ıv geometria

II. A

4

PROJEKTIV GEOMETRIA ALAPJAI

1. Idealis elemek a s´ıkon Ebben a fejezetben adottnak tekint¨ unk egy Σ euklideszi s´ıkot. A s´ık k´et egyenese vagy p´arhuzamos, vagy pedig van egy k¨oz¨os pontjuk. Ezt a k´etf´eles´eget megsz¨ untetj¨ uk az ´altal, hogy az egyenes pontjainak ¨osszess´eg´et egy ide´ alis pontnak ( v´egtelen t´avoli pont) mondott elemmel b˝ov´ıtj¨ uk, m´egpedig k´et egyenes pontjainak az ¨osszes´eg´et akkor ´es csak akkor b˝ov´ıtj¨ uk ugyanazzal az u ´j elemmel, ha a k´et egyenes p´arhuzamos. A nem ide´alis pontokat megk¨ ul¨onb¨oztet´es¨ ul k¨ oz¨ ons´eges pontoknak is nevezz¨ uk. Egy ide´alis pontot azzal adhatunk meg, hogy megadunk egy olyan egyenest, amely azt tartalmazza. Bet˝ ukkel val´o jel¨ol´esben nem tesz¨ unk ´ k¨ ul¨ onbs´eget az egyenes k¨oz¨ ons´eges pontjai ´es ide´alis pontja k¨oz¨ott. Abr´an az egyenessel p´arhuzamosan rajzolt ny´ıl mell´e ´ırjuk az egyenes ide´alis pontj´at jel¨ol˝o bet˝ ut.

3. ´abra

Az ide´alis pontok bevezet´ese ut´an elmondhatjuk, hogy a s´ık b´armely k´et egyenes´enek egyetlen egy k¨oz¨ os pontja van. A k¨oz¨os pontot metsz´es pontnak mondjuk akkor is, ha az ide´alis pont. K´et k¨oz¨ons´eges pont, valamint egy k¨oz¨ons´eges ´es egy ide´ alis pont egyetlen egy egyenest hat´aroz meg, viszont k´et ide´alis pontr´ol ugyanezt nem mondhatjuk el. Ezt a kiv´etelet megsz¨ untethetj¨ uk az ´altal, hogy a s´ık egyeneseinek ¨osszess´eg´et a s´ık egyeneseinek ide´alis pontjai ´altal alkotta alakzattal, a s´ık ide´ alis egyenes´evel ( v´egtelen t´avoli egyenes) b˝ov´ıtj¨ uk. Egy nem ide´alis egyenest megk¨ ul¨ onb¨ oztet´es¨ ul k¨ oz¨ ons´eges egyenesnek mondunk. Bet˝ ukkel val´o jel¨ol´esben nem ´ an a s´ık tesz¨ unk k¨ ul¨ onbs´eget a s´ık k¨oz¨ ons´eges egyenesei ´es ide´alis egyenese k¨oz¨ott. Abr´ ide´ alis egyenes´et k´et egym´assal nem p´arhuzamos ny´ıl mell´e rajzolt vonallal jel¨olj¨ uk. A s´ık ide´alis egyenes´enek bevezet´ese ut´an m´ar az is igaz, hogy b´armely k´et pont egyetlen egy egyenest hat´aroz meg, hiszen egy k¨oz¨ons´eges egyenes ´es a s´ık ide´alis egyenes´enek metsz´espontja a k¨oz¨ ons´eges egyenes ide´alis pontja.

Projekt´ıv geometria

5

4. ´abra

Az egyenesb˝ ol, a s´ıkb´ ol v´egtelen t´avoli elemek hozz´af˝ uz´es´evel sz´armaz´o alakzatotkat affin vagy projekt´ıv egyenesnek, s´ıknak nevezz¨ uk, m´egpedig a szerint, hogy megtartjuk vagy megsz¨ untetj¨ uk ezekben a v´egtelen t´avoli elemek kiv´eteles szerep´et. 2. A projekt´ıv s´ıkgeometria illeszked´ esi axi´ om´ ai Az euklideszi s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´ai ´es a p´arhuzamoss´agi axi´om´aja, valamint az ide´alis t´erelemek fenti ´ertelmez´ese alapj´an bebizony´ıtjuk a projekt´ıv s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´ ait, melyekben pont, egyenes ´es s´ık a projek´ıv geometria elemeit jelentik. Mik´ent az euklideszi s´ıkgeometria fel´ep´ıt´ese sor´an tett¨ uk, a projekt´ıv s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´aiban is a pont egyenesre val´o illeszked´es´et vessz¨ uk fel alapfogalomnak. 2.1 a) a’) b) b’) c) c’)

T´ etel. B´ armely k´et ponton egy ´es csak egy egyenes megy ´ at. B´ armely k´et egyenesnek egy ´es csak egy k¨ oz¨ os pontja van. B´ armely egyenesre illeszkedik legal´ abb h´ arom pont. B´ armely ponton ´ atmegy legal´ abb h´ arom egyenes. Van a s´ıkon h´ arom, nem egy egyenesre illeszked˝ o pont. Van a s´ıkon h´ arom, nem egy ponton ´ atmen˝ o egyenes.

Bizony´ıt´ as. Az a ´all´ıt´ as bizony´ıt´ asa: K´et k¨oz¨ons´eges pont eset´eben igaz az ´all´ıt´as, mert a k¨oz¨ ons´eges egyenesek k¨ozz¨ ul csak a k´et pont ¨osszek¨ot˝o egyenese felel meg, s az ujonnan bevezetett ide´alis egyenesnek nincsen k¨oz¨ons´eges pontja. Egy k¨oz¨ons´eges ´es egy ide´alis pont eset´eben is igaz az ´all´ıt´as, mert egy adott ponton ´at egyetlenegy adott ´all´ as´ u k¨oz¨ ons´eges egyenes halad, ´es az ide´alis egyenes nem tartalmaz k¨oz¨ons´eges pontot. V´eg¨ ul k´et ide´alis pontot csak az ide´alis egyenes tartalmazhatja. Az a0 ´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asa: K´et k¨oz¨ons´eges egyenes eset´eben igaz az ´all´ıt´as, ha a k´et k¨ oz¨ ons´eges egyenes p´arhuzamos, akkor v´egtelen t´avoli pontjuk k¨oz¨os, viszont nincs k¨ oz¨ os a k¨oz¨ ons´eges pontjaik k¨oz¨ ott. Nem p´arhuzamos egyenesek eset´eben egyetlenegy k¨ oz¨ os k¨oz¨ ons´eges pontjuk van, v´egtelen t´avoli pontjaik k¨ ul¨onb¨oz˝oek. Egy k¨oz¨ons´eges

Projekt´ıv geometria

6

´es az ide´alis egyenes eset´eben is igaz az ´all´ıt´as, mert egyetlenegy k¨oz¨os pontjuk van a k¨oz¨ ons´eges egyenes v´egtelen t´avoli pontja, az ide´alis egyenes nem tartalmaz k¨ oz¨ ons´eges pontot. Ab´ all´ıt´ as bizony´ıt´ asa: Az euklideszi s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´ai alapj´an egy k¨oz¨ ons´eges egyenesnek leg´al´ abb k´et k¨oz¨ons´eges pontja van, valamint minden egyenesen tartalmaz v´egtelen t´avoli pontot. Igy minden k¨oz¨ons´eges egyenesnek van legal´ abb h´arom ponja. Az euklidesi s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´ai alapj´an van a s´ıkban h´arom nem kolline´ aris pont, az ´altaluk meghat´arozott h´arom egyenes v´egtelen t´ avoli pontjaik k¨ ul¨ onb¨ oznek egym´ast´ol, ´es mind a v´egtelen t´avoli egyenesre illeszkednek. ¥ A fentiekhez hasonl´o meggondol´asokkal ad´odik a t¨obbi, felsorolt ´all´ıt´as. A projekt´ıv s´ıkgeometria illeszked´esi axi´om´aiban a pont ´es egyenes szerepe szimmetrikus, az ugyanazzal a bet˝ uvel jel¨olt ´all´ıt´ asok k¨ozz¨ ul b´armelyikb˝ol a m´asikat megkapjuk, ha benne a pont ´es egyenes szerep´et felcser´elj¨ uk egym´assal. Ezt a szab´alyszer˝ us´eget u ´gy fejezz¨ uk ki, hogy a projekt´ıv s´ıkgeometria illeszked´esi t´eteleiben ´erv´enyes a s´ıkbeli dualit´ as elve, amely szerint: 2.2 T´ etel. A projekt´ıv s´ıkgeometria t´eteleiben a pont ´es egyenes szerepe felcser´elhet˝ o. Megjegyz´es: A f´elre´ert´es elker¨ ul´ese v´egett megjegyezz¨ uk, hogy a fent megfogalmazott dualit´asi elvet nem bizony´ıtottuk be, csup´an meg´allap´ıtottuk, hogy a felsorolt illeszked´esi axi´om´ akban ez az elv ´erv´enyes¨ ul. A projekt´ıv geometria fel´ep´ıt´es sor´an u ¨gyelni fogunk arra, hogy az alkalmazott m´odszerekben ´erv´enyes¨ ulj¨on a dualit´as elve, ebb˝ ol majd ¨onk´ent k¨ovetkezik, hogy a fent megfogalmazott dualit´asi elv a maga altal´ ´ anoss´ ag´ aban ´erv´enyes. Mid˝on pedig egy bebizony´ıtott t´etel du´alis´at bizony´ıt´as n´elk¨ ul kimondjuk, utalunk arra, hogy a t´etel bizony´ıt´as´anak a dualit´as elve szerint val´ o ´atalak´ıt´ as szolg´alja a du´alis t´etel bizony´ıt´as´at. 3. Projekt´ıv alapm˝ uveletek Egy egyenesre illeszked˝ o pontok halmaz´at pontsornak nevezz¨ uk. Ennek du´alis´at, egy ponton ´atmen˝ o egyenesek halmaz´at pedig sug´ arsornak nevezz¨ uk. A pontsorok ´es a sug´arsorok egydimenzi´ os elemi alakzatok. A projekt´ıv geometria alapm˝ uveletei k´et egydimenzi´os elemi alakzat k¨oz¨otti k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´esek. Az O pontb´ ol val´ o vet´ıt´es az a lek´epez´es, mely minden, O-t´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A pontnak az eOA egyenest felelteti meg. Az s egyenessel val´ o metsz´es minden a egynesnek a ´es s metsz´espontj´at: az a · s pontot felelteti meg. Ha k´et pontsor ugyanannak a sug´arsornak k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenes ´altal alkotott metszete, akkor a k´et pontsor k¨oz¨otti megfeleltet´est perspektivit´ asnak nevezz¨ uk. Ebben az esetben azt ´ırjuk, hogy X = X0 ∧

O

vagy X = X 0 , ∧

ez azt jelenti, hogy ha X ´es X 0 a k´et pontsor egym´asnak megfelel˝o pontjait jel˝oli, akkor az eXX 0 egyenesek mindny´ ajan egy r¨ogz´ıtett O ponton mennek ´at, amelyet a

Projekt´ıv geometria

7

perspektivit´as tart´ opontj´ anak nevez¨ unk. Mag´at´ol ´ertet˝odik, hogy a pontsorok helyett sug´ arsorokb´ ol kiindulva, ezzel du´alis t´ıpus´ u perspektivit´ast kapunk. Legyen p´eld´ aul l egy egyenes, O egy hozz´a nem tartoz´o pont. Az O pontb´ol val´o vet´ıt´esn´el az l-en fekv˝o pontsornak az O tart´opont´ u sug´arsor felel meg.

5. ´abra Mess¨ uk a sug´arsort egy az O pontra nem illeszked˝o l0 egyenessel, ez´altal a sug´ arsornak az l0 -n fekv˝o pontsor felel meg az l0 -vel val´o metsz´essel. A fenti ´ertelmez´es szerint az l-en ´es l0 -n fekv˝o pontsorok perspekt´ıv vonatkoz´ asban ´allnak, O

ABC . . . X = A0 B 0 C 0 . . . X 0 . ∧

6. ´abra

Tetsz˝ oleges sz´am´ u perspektivit´as szorzat´at projektivit´ asnak nevezz¨ uk. K´et pontsorra ( vagy sug´arsorra), melyeket projektivit´as kapcsol ¨ossze, azt mondjuk, hogy projektiv vonatkoz´ asban ´ allnak ´es ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırjuk: X Z X 0.

Projekt´ıv geometria

8

A k¨ovetkez˝ o ´abr´ an p´eld´ aul O

O0

∧

∧

ABCD = A0 B0 C0 D0 = A0 B 0 C 0 D0 ´es ez´ert ABCD Z A0 B 0 C 0 D0 .

7. ´abra

Anal´ og m´odon defini´alhatjuk a sug´arsorral projekt´ıv vonatkoz´asban ´all´o pontsort ´es ford´ıtva. 4. Oszt´ oviszony, kett˝ osviszony Az euklideszi s´ıkgeometria egybev´ag´os´agi axi´om´ainak felhaszn´al´as´aval ´ertelmezz¨ uk a projekt´ıv egyenesen az oszt´oviszonyt ´es a kett˝osviszonyt. Egy egyenes h´ arom k¨oz¨ ons´eges A, B, C pontj´ anak (ABC) oszt´ oviszony´ an az AC ´es BC ir´any´ıtott szakaszok h´anyados´ at ´ertj¨ uk, azaz (ABC) :=

AC . BC

Defin´ıci´ o szerint az (ABC) oszt´oviszony el˝ojellel ell´atott szakasznagys´ag, amelyet az A, B, C pontok egy´ertelm˝ uen meghat´aroznak. Az A, B pont ´es az (ABC) oszt´ oviszony egy´ertelm˝ uen meghat´arozza az eAB egyenes C pontj´at, a k¨ovetkez˝o szerkeszt´es szerint. Jel¨olj¨ uk 1-gyel az egys´egszakaszt, ´es legyen a egy tetsz˝oleges szakasznagys´ ag. K´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, egym´assal p´arhuzamos egyenest fektet¨ unk az A, illetve a B ponton ´at, s ezekere r´am´erj¨ uk rendre az A pontb´ol az a = AA0 , ´es a B pontb´ ol az 1 = BB 0 szakaszt, az eAB egyenesnek ugyanazon oldal´an vagy ellenkez˝o oldalon, a szerint, hogy a pozit´ıv vagy negat´ıv. A k´et szakasz A0 , B 0 v´egpontj´at osszek¨ ¨ ot˝ o egyenes olyan C pontot metsz ki az eAB egyenesen, melyre (ABC) = a.

Projekt´ıv geometria

9

8. ´abra

A fenti szerkeszt´esb˝ ol kider¨ ul, hogy ha a = 1 akkor C az eAB egyenes v´egtelen t´ avoli pontja, ha a = −1, akkor C az AB szakasz felez˝opontja, s ha A = 0, akkor C = A. Egyik szakasznagys´ agnak sem felel meg a C = B pont, ez´ert bevezetj¨ uk a v´egtelen szakasznagys´ agot, s ezt feleltetj¨ uk meg a C = B pontnak. Ilyen m´odon a k´et megadott A, B pontra vonatkoz´ o (ABC) oszt´oviszonyt mint koordin´atat vezett¨ uk be az eAB egyenesen: minden C pontnak megfelel egy meghat´arozott szakasznagys´ag ´es viszont. Egy egyenes n´egy k¨oz¨ ons´eges A, B, C, D pontj´anak (ABCD) kett˝ osviszony´ an ´ertj¨ uk az (ABC) ´es (ABD) oszt´oviszonyok h´anyados´at: (ABCD) :=

(ABC) AC BD = · . (ABD) BC AD

A defin´ıci´ ob´ ol k¨ozvetlen¨ ul k¨ovetkezik, hogy (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) ´es (ABDC) = (BACD) =

1 . (ABCD)

4.1 T´ etel. Ha az a egyenesnek az a0 egyenesre egy rajtuk k´ıv˝ ul fekv˝ o O pontb´ ol 0 val´ o vet´ıt´esn´el az a egyenes n´egy k¨ oz¨ ons´eges A, B, C, D pontj´ anak az a egyenes A0 , B 0 , C 0 , D0 k¨ oz¨ ons´eges pontja felel meg, akkor (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D0 ). Bizony´ıt´ as. A B, B 0 pontokon ´at az eOA egynenessel p´arhuzamos egyeneseket fektet¨ unk. Ezen egyenesek eOC illetve eOD egyenesekkel vett metsz´espontjait jel¨olj¨ uk E, E 0 -vel illetve F, F 0 -vel. A kett˝ osviszonyok (ABCD) =

AC BD · BC AD

´es (A0 B 0 C 0 D0 ) =

A0 C 0 B 0 D 0 · B 0 C 0 A0 D 0

Projekt´ıv geometria

10

9. ´abra

´ert´ek´et a p´arhuzamos szel˝ok t´etele alapj´an a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet ´atalak´ıtani: AC AO = ; BC BE A0 C 0 A0 O = ; B0C 0 B0E0 Ezt felhaszn´alva (ABCD) =

BD BF = ; AD AO B 0 D0 B0F 0 = . A0 D0 A0 O

AO BF BF · = BE AO BE

(A0 B 0 C 0 D0 ) =

´es

A0 O B 0 F 0 B0F 0 · = . B 0 E 0 A0 O B0E0

Ism´et a p´arhuzamos szel˝ok t´etel´et haszn´alva BE OB = ; 0 0 BE OB 0

BF OB = . 0 0 BF OB 0

¥ Ha D az a egyenes v´egtelen t´avoli pontja, akkor a fenti elj´ar´assal arra az eredm´enyre jutunk, hogy az (ABCD) kett˝osviszony egyenl˝o az (A0 B 0 C 0 ) oszt´ oviszonnyal. Ennek megfelel˝oen kiterjesztj¨ uk a kett˝osviszony ´ertelmez´es´et. Ha az A, B, C, D pontok egy k¨oz¨ ons´eges a egyenesen fek¨ usznek, s ha a v´egtelen t´avoli pontja D, akkor (ABCD) kett˝ osviszonyon az (ABC) oszt´oviszonyt ´ertj¨ uk. Ha A, B, C, D a v´egtelen t´avoli egyenes n´egy pontja, akkor egy k¨oz¨ons´eges O pontb´ol vet´ıts¨ uk a n´egy pontot egy k¨oz¨ ons´eges a0 egyenes A0 , B 0 , C 0 , D0 pontjaiba. A megadott u ´j pontok kett˝ osviszony´ an ´ertj¨ uk az (ABCD) kett˝osviszonyt. Ez ut´obbi ´ertelmez´es igazol´ as´ ahoz jegyezz¨ uk meg, hogy a fenti t´etel szerint az (A0 B 0 C 0 D0 ) kett˝osviszony f¨ uggetlen az a0 v´ alaszt´ as´ at´ ol. K¨ovetkez˝ok´eppen l´atjuk be, hogy az O pont v´alaszt´ast´ol 0

0

Projekt´ıv geometria

11

is f¨ uggetlen az ily m´odon ´ertelmezett (ABCD) kett˝osviszony. Legyen O00 egy m´asik k¨ oz¨ ons´eges pont, mess¨ uk az O00 A, O00 B, O00 C, O00 D egyeneseket egy a0 -vel p´arhuzamos 00 00 a egyenessel az A , B 00 , C 00 , D00 pontokban. Ha az a00 egyenest u ´gy vessz¨ uk fel, hogy OA0 = O00 A00 , akkor az OA0 B 0 C 0 D0 ´es az O00 A00 B 00 C 00 D00 idomok egybev´ag´ok ´es ´ıgy (A0 B 0 C 0 D0 ) = (A00 B 00 C 00 D00 ). Fenti eredm´enyek s az ´ertelmez´es alapj´an ad´odik a k¨ovetkez˝o: 4.2 T´ etel. Ha k´et egyenesnek egy hozz´ ajuk nem tartoz´ o pontb´ ol egym´ asra val´ o 0 0 0 0 vet´ıt´esn´el az egyik egyenes A, B, C, D pontj´ anak m´ asik egyenes A , B , C , D pon0 0 0 0 tja felel meg, akkor (ABCD) = (A B C D ). Ha A, B, C egy egyenes h´arom pontja, akkor az egyenes tetsz˝oleges negyedik D pontj´ anak ezekre vonatkoz´ o (ABCD) kett˝ osviszony koordin´ ata jelleg˝ u. Ugyanis minden D pontnak egy´ertelm˝ uen megfelel egy (ABCD) kett˝osviszony. Az oszt´ oviszonyokra vonatkoz´ o hasonl´o tulajdons´agb´ol k¨ovetkezik, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o D ´es D0 pontoknak megfelel˝o kett˝osviszony k¨ ul¨onb¨oz˝o. Minden a szakasz nagys´ agnak megfelel egy D pont, melyre (ABCD) = a, a k¨ovetkez˝o szerkeszt´es szerint, melyben feltessz¨ uk, hogy A, B, C k¨oz¨ons´eges pontok. Egy, a B ponton ´athalad´ o, eAB -t˝ ol k¨ ul¨ onb˝ oz˝ o egyenesre a B pontb´ol r´am´erj¨ uk az a ´es az 1 szakaszt, a B pontnak ugyanazon az oldal´an vagy k¨ ul¨onb¨oz˝o oldal´an, a szerint, hogy a pozit´ıv vagy negat´ıv, legyen BL = a, BM = 1. Az A ponton ´at eLM egyenessel p´arhuzamost fektet¨ unk, ennek eCM egyenessel val´o metsz´espontja legyen N , az eLN egyenesnek az eAB egyenessel k¨oz¨os pontja pedig D.

10. ´abra

A szerkesztett hasonl´o h´aromsz¨ogek megfelel˝o oldalaiknak ar´anyoss´ag´ab´ol ad´ odik: AN : BM = AC : BC, s mert BM = 1, teh´at AN = (ABC) BD = (ABCD). BL : AN = BD : AD, teh´at a = BL = (ABC) · AD Eszerint az a szakasznagys´ agnak az A, B, C pontokra vonatkoz´oan egy ´es csak egy olyan D pont felel meg, amelyre (ABCD) = a.

Projekt´ıv geometria

12

A kett˝ osviszony ´ertelmez´es´et sug´arsorra k¨ovetkez˝ok´eppen terjesztj¨ uk ki. Egy sug´ arsorhoz tartoz´o n´egy a, b, c, d egyenes kett˝osviszony´an n´egy olyan A, B, C, D pontnak a kett˝ osviszony´ at ´ertj¨ uk, melyekben egy, a sug´arsor tart´opontj´an ´at nem halad´ o s egyenes metszi az a, b, c, d egyeneseket. A megadott ´ertelmez´esb˝ ol ´es a 4.2 t´etelb˝ol k¨ovetkezik a 4.3 T´ etel. Ha k´et egyenes k¨ oz¨ otti projektivit´ as az egyik egyenes A, B, C, D pontj´ anak m´ asik egyenes A0 , B 0 , C 0 , D0 pontj´ at felelteti meg, akkor (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D0 ). Ebb˝ ol a t´etelb˝ ol a kett˝ osviszony koordin´ata jelleg´et tekintve ad´odik a k¨ovetkez˝o 4.4 T´ etel. Ha k´et egyenes k´et projekt´ıv vonatkoz´ asa h´ arom-h´ arom elemre n´ezve megegyez˝ o, akkor a k´et vonatkoz´ as azonos egym´ assal. P´eld´ aul tegy¨ uk fel, hogy az a egyenes az a0 egyenesre val´o projekt´ıv lek´epez´es´en´el az a egyenes A, B, C pontj´ anak rendre az a0 egyenes A0 , B 0 , C 0 pontja felel meg, ez´altal a lek´epez´es egy´ertelm˝ uen meg van hat´arozva: minden D pontj´anak a0 -nek az a D0 pontja felel meg, melyre (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D0 ). 5. Egyenesek projekt´ıv lek´ epez´ esei Az egyenes ¨onmag´ ara, vagy egy m´asik egyenesre val´o projekt´ıv lek´epez´ese az ´ertelemez´es szerint v´eges sok perspekt´ıv lek´epez´es, vagyis vet´ıt´es ´es metsz´es osszet´etel´eb˝ ¨ ol sz´armazik. Ha adott egy egyenes h´arom k¨ ul¨onb¨oz˝o A, B, C pontja ´es egy m´asik egyenes 0 0 0 szint´en k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A , B , C pontja, akkor ezeket a k¨ovetkez˝o ´abr´an l´athat´o m´odon k´et perspektivit´as seg´ıts´eg´evel kapcsolhatjuk ¨ossze.

11. ´abra

Projekt´ıv geometria

13

Az ´ıgy el˝o´ all´ o projektivit´as tengelye a B0 = eAB 0 · eBA0 ,

C0 = eAC 0 · eCA0

pontokat ¨osszek¨ ot˝ o egyenes, u ´gy hogy A0

ABC

= ∧

A0 B0 C0

A

= ∧

A0 B 0 C 0 .

Az eAB egyenes tetsz˝oleges X pontj´anak az eA0 B 0 egyenesen megfelel˝o X 0 pontot u ´gy kapjuk meg, hogy az A pontot ¨osszek¨otj¨ uk az X0 = eA0 X ·eB0 C0 ponttal, ´es ily m´odon ABCX

= ∧

A0 B0 C0 X0

= A0 B 0 C 0 X 0 . ∧

Egy egyenes k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o - A, B, C ´es A0 , B 0 , C 0 - ponth´armasa k¨oz¨otti kapcsolat l´etes´ıt´es´ehez el˝osz¨ or egy tetsz˝oleges ABC=A1 B1 C1 perspektivit´ast l´ets´ıt¨ unk, ∧ 0 0 0 majd az ´ıgy kapott egyeneseken lev˝o A1 , B1 , C1 ´es A , B , C ponth´armas k¨oz¨ott l´etes´ıt¨ unk kapcsolatot az el˝oz˝ oekben le´ırt m´odon. Ennek alapj´an kimondhatjuk, hogy 5.1 T´ etel. Tetsz˝ oleges h´ arom kolline´ aris pont ´es tetsz˝ oleges m´ asik h´ arom kolline´ aris pont k¨ ot¨ ott legfeljebb h´ arom perspektivit´ asb´ ol ´ all´ o szorzattal mindig projekt´ıv kapcsolat l´etes´ıthet˝ o. Egy kolline´ aris A, B, C ponth´armas ´es egy m´asik kolline´aris A0 , B 0 , C 0 ponth´ armas k¨oz¨ ott a 4.4 t´etel szerint l´enyeg´eben egyetlen ABC−A0 B 0 C 0 projektivit´as ∧ l´etezik. Ezzel bebizony´ıtottuk a projekt´ıv geometria alapt´ etel´ et: 5.2 T´ etel. Egy pontsor h´ arom pontj´ anak ´es egy m´ asik pontsor h´ arom megfelel˝ o pontj´ ank megad´ asa a projektivit´ ast egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza. Ha k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenesen l´ev˝o pontsor k¨oz¨otti projektivit´asnak van egy A 0 fixpontja ( A = A ), akkor ez a pont a k´et egyenes k¨oz¨os pontja, hiszen mind a k´et pontsorhoz hozz´atartozik. Legyen B ´es C az egyik egyenes tetsz˝oleges k´et m´asik pontja, B 0 ´es C 0 a m´asik pontsor ezeknek megfelel˝o pontja.

Projekt´ıv geometria

14 12. ´abra

Az alapt´etel szerint az ABC

O

= AB 0 C 0 ∧

perspektivit´as, ahol O = eBB 0 · eCC 0 , ugyanaz mint az adott ABC−AB 0 C 0 projek∧ tivit´ as. Igy 5.3 T´ etel. K´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenes k¨ oz¨ otti projektivit´ as akkor ´es csak akkor perspektivit´ as, ha k´et egyenes metsz´espontja fixpont. Legyen az a ´es az a0 egyenes perspekt´ıv vonatkoz´asban az O tart´opontra vonatkoz´ oan, jel¨olj¨ uk N -el az a ´es a0 metsz´espontj´at. Az a egyenesnek egy N t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o A pontj´ ab´ ol vet´ıts¨ uk az a0 pontsort, s a0 -nek megfelel˝o A0 pontj´ab´ol az a pontsort. Az A ´es A0 tart´ opont´ u sug´arsorok k¨oz¨ott a ´es a0 megadott perspekt´ıv vonatkoz´ asa alapj´an ´ertelmez¨ unk egy projekt´ıv vonatkoz´ast az´altal, hogy 0 az a b´armely P pontj´ at A -vel ¨osszek¨ot˝o egyenest, s a P k´eppontj´at, P 0 -t A-val osszek¨ ¨ ot˝ o egyenest egym´asnak feleltetj¨ uk meg. Az el˝oz˝o t´etel du´alis ´all´ıt´asa szerint a k´et sug´arsor vonatkoz´ asa perspekt´ıv, mivel az eAA0 = eA0 A egyenes ¨onmag´anak felel meg. A perspektivit´as tengelye, u ´atmegy az N ponton, mivel eAN = a ´es eA0 N = a0 a k´et sug´arsor egym´asnak megfelel˝o egyenesei.

13. ´abra Az u egyenes f¨ uggetlen az A pont v´alaszt´as´at´ol, ugyanis u mint az N pontot az eAP 0 ´es eA0 P egyenesek metsz´espontj´aval ¨osszek¨ot˝o egyenes egy´ertelm˝ uen meg van hat´arozva. Ebben a meghat´aroz´asban A ´es P szerepe szimmetrikus, vagyis A helyettes´ıthet˝ o a tetsz˝oleges, N -t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o P pontj´aval. 0 Legyen az a ´es az a egyenes projekt´ıv, de nem perspekt´ıv vonatkoz´asban. Jel¨ olj¨ uk M -el az a ´es a0 metsz´espontj´at. Az a egyenesnek egy M -t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o A 0 0 0 pontj´ ab´ ol vet´ıts¨ uk az a pontsort, s a -nek megfelel˝o A pontj´ab´ol az a pontsort. Az A ´es A0 tart´opont´ u sug´arsorok k¨oz¨ ott a ´es a0 megadott projekt´ıv vonatkoz´asa alapj´an ´ertelmez¨ unk egy projekt´ıv vonatkoz´ast az´altal, hogy az a b´armely P pontj´at A0 -

Projekt´ıv geometria

15

vel ¨osszek¨ot˝ o egyenest, s a P k´eppontj´at, P 0 -t A-val ¨osszek¨ot˝o egyenest egym´asnak feleltetj¨ uk meg. Az el˝oz˝ o t´etel du´alis ´all´ıt´asa szerint a k´et sug´arsor vonatkoz´asa 0 perspekt´ıv, mivel az eAA = eA0 A egyenes ¨onmag´anak felel meg. A perspektivit´as tengely´et jel¨olj¨ uk u-val.

14. ´abra Az u egyenes f¨ uggetlen az A pont v´alaszt´as´at´ol, vagyis az u egyenest az a ´es a0 k¨ ozti projekt´ıv vonatkoz´ as egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Ugyanis az a ´es a0 k¨oz¨ott megadott projekt´ıv vonatkoz´ ast el˝o´all´ıthatjuk az a ´es u k¨oz¨ott az A0 tart´opontra, s az u ´es a0 k¨oz¨ ott az A tart´ opontra vonatkoz´o perspekt´ıv vonatkoz´asok ¨osszet´etel´eb˝ol. Az els˝o perspekt´ıv vonatkoz´ asn´ al az a ´es u metsz´espontja: N , az m´asodikn´al az u ´es a0 metsz´espontja: M 0 ¨ onmag´ anak felel meg. A k´et perspekt´ıv vonatkoz´asnak ebben a sorrendben val´ o szorzat´an´ al az N pontnak az a ´es a0 egyenesek N 0 metsz´espontja 0 felelmeg, s a N = M pontnak, mint az a pontsor elem´enek, az M 0 pont felel meg. E szerint u azaz egyenes, mely az a pontsor a0 -vel k¨oz¨os M pontj´anak M 0 k´ep´et, s az a0 pontsor a-val k¨oz¨ os N 0 pontj´anak N k´ep´et ¨osszek¨oti.Az u egyenest a megadott projekt´ıv vonatkoz´ as kolline´ aci´ os tengely´enek nevezz¨ uk. Ezzel bebizony´ıtottuk a 5.4 T´ etel. Ha k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenes k¨ oz¨ ott adva van egy projekt´ıv vonatkoz´ as, akkor 0 0 az a egyenes k´et tetsz˝ oleges A ´es B pontja, s az a egyenes megfelel˝ o A ´es B 0 pontja ´ altal meghat´ arozott eAB 0 ´es eA0 B egyenesek metsz´espontja egy, az A, B pontok v´ alaszt´ as´ at´ ol f¨ uggetlen u egyenesen fekszik. Ebb˝ ol a t´etelb˝ ol ad´odik a PAPPOS-f´ ele t´ etel: 5.5 T´ etel. Ha A, B, C az a egyenesnek, A0 , B 0 , C 0 az a0 egyenesnek h´ arom-h´ arom tetsz˝ oleges pontja, akkor az eAB 0 ´es eA0 B , az eAC 0 ´es eA0 C , s a eBC 0 ´es eB 0 C egyenesp´ arok metsz´espontjai egy egyenesen fek¨ usznek.

Projekt´ıv geometria

16

15. ´abra

6. Harmonikus pontn´ egyes Egy k¨oz¨ ons´eges projekt´ıv egyenest b´armely k´et A, B pontja k´et szakaszra osztja fel. Az egyenes A, B ´es C, D pontp´arjai elv´ alasztj´ ak egym´ ast, ha a C ´es a D pontok a projekt´ıv egyenesnek az A, B pontok ´altal meghat´arozott k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o szakasz´ahoz tartoznak. Egy k¨oz¨ ons´eges O tart´opont´ u sug´arsor a, b ´es c, d egyenesp´arja a s´ıkban elv´ alasztj´ ak egym´ ast, ha az a, b egyenesek ´altal meghat´arozott egyik cs´ ucssz¨ogh¨oz tartozik a c, a m´asikhoz a d egyenes. Legyen O egy k¨oz¨ons´eges pont, a v´egtelen t´ avoli egyenes tetsz˝oleges A, B ´es C, D pontp´arjai elv´ alasztj´ ak egym´ ast, ha az OA, OB ´es OC, OD egyenesp´ arok elv´alasztj´ak egym´ast. Ezen ´etrelmez´esek alapj´an ad´odik a k¨ ovetkez˝ o: 6.1 T´ etel. Ha k´et egyenesnek egy hozz´ ajuk nem tartoz´ o pontb´ ol egym´ asra val´ o 0 0 0 0 vet´ıt´esn´el az egyik egyenes A, B, C, D pontj´ anak m´ asik egyenes A , B , C , D pontja felel meg, akkor az A, B ´es C, D pontp´ arok akkor ´es csak akkor v´ alasztj´ ak el egym´ ast, ha az A0 , B 0 ´es C 0 , D0 pont´ arok elv´ alasztj´ ak egym´ ast. Ha egy k¨oz¨ ons´eges egyenes n´egy k¨oz¨ons´eges pontja A, B, C, D, az (ABC) ´es (ABD) oszt´oviszonyok megegyez˝ o vagy ellenkez˝o el˝ojel˝ uek, a szerint, hogy a C ´es a D pontok a projekt´ıv egyenesnek az A, B pontok ´altal meghat´arozott k´et szakasz k¨ oz¨ ul ugyanahhoz, vagy k´et k¨ ul¨ onb¨oz˝o szakaszhoz tartozik. M´assz´oval az (ABCD) kett˝ osviszony akkor ´es csak akkor negat´ıv, ha az A, B ´es C, D pontp´arok elv´alasztj´ak egym´ ast a projekt´ıv egyenesen. Mivel egy perspekt´ıv lek´epez´es az egyenes pontjainak ciklikus elrendez´es´et is, a kett˝ osviszonyt is v´altozatlanul hagyja, b´armely egyenes n´egy tetsz˝oleges pontj´ ara is ´erv´enyes a meg´allap´ıt´asunk, vagyis 6.2 T´ etel. Egy egyenes n´egy A, B, C, D pontj´ anak (ABCD) kett˝ osviszonya, akkor ´es csak akkor negat´ıv, ha az A, B ´es C, D pontp´ arok elv´ alasztj´ ak egym´ ast az egyenesen. Egy egyenes n´egy A, B, C, D pontj´at harmonikus pontn´egyesnek nevezz¨ uk, ha

Projekt´ıv geometria

17

(A, B, C, D) = −1. Ekkor az A, B pontok ´es C, D pontok elv´alasztj´ak egym´ast, hiszen a kett˝ osviszony negat´ıv, ez´ert ebben az esetben azt is mondjuk, hogy az A, B ´es C, D pontp´ arok harmonikusan v´ alasztj´ ak el egym´ ast.

16. ´abra

A 4.3 t´etel szerint k´et egyenes k¨oz¨otti projektivit´as megtartja a kett˝osviszonyt, teh´ at 6.3 T´ etel. K´et egyenes k¨ oz¨ otti projektivit´ as az egyik egyenes A, B, C, D harmonikus 0 0 0 pontn´egyes´enek a m´ asik egyenes A , B , C , D0 harmonikus pontn´egyes´et felelteti meg. A ford´ıtott ´all´ıt´ as is igaz, melynek bizony´ıt´as´at´ol most eltekint¨ unk: 6.4 T´ etel. STAUDT-DARBOUX t´etel Egy egyenesnek minden ¨ onmag´ ara val´ o, a harmonikus elv ´ alaszt´ asokat megtart´ o egy´ertelm˝ u lek´epez´ese, melyn´el h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o fixpont van, az azonoss´ ag.

6.5 T´ etel. Egy egyenesnek minden ¨ onmag´ ara, vagy egy m´ asik egyenesre val´ o, a harmonikus elv´ alaszt´ asokat megtart´ o egy´ertelm˝ u lek´epez´ese, projekt´ıv lek´epez´es. Bizony´ıt´ as.Legyen T : a 7→ a0 , mely megtartja a harmonikus elv´alaszt´asokat. A tetsz˝ oleges A, B, C ∈ a ponth´ armas k´epe legyen az A0 , B 0 , C 0 ∈ a0 ponth´armas. 0 Ekkor l´etezik T projektivit´as az a0 ´es a egyenesek k¨oz¨ott, mely az A0 , B 0 , C 0 pontokat rendre az A, B, C pontokba viszi. A T 0 T lek´epez´es a-nak olyan ¨onmag´ara val´o lek´epez´ese, mely megtartja a harmonikus elv ´alaszt´asokat ´es az A, B, C ponth´armast fixen hagyja. A STAUDT-DARBOUX t´etel szerint T 0 T = Ida , azaz T = T 0−1 , teh´at projekt´ıv lek´epez´es. ¥ Ha a P, Q, R, S n´egy olyan pont, amelyek k¨ozz¨ ul b´armely h´arom nem tartozik egy egyeneshez, akkor ezek a pontok ´es az ˝oket p´aronk´ent ¨osszek¨ot˝o hat egyenes: eP Q , eRS , eP R , eQs , eP S , eQR teljes n´egysz¨ oget alkot. A n´egy pontot a n´egysz¨og cs´ ucsainak, a hat egyenest a n´egysz¨og oldalainak nevezz¨ uk. K´et olyan oldalt, melyek k¨ oz¨ os pontja k¨ ul¨ onb¨ ozik a n´egysz¨ og cs´ ucsait´ol, ´ atellenes oldalaknak nevezz¨ uk. K´et atelelenes oldal metsz´espontj´ ´ at a teljes n´egysz¨og ´ atl´ ospontj´ anak, k´et ´atl´ospontot osszek¨ ¨ ot˝ o egyenest a n´egysz¨ og ´ atl´ oj´ anak nevez¨ unk. Teljes n´egysz¨ og harmonikus tulajdons´ag´at mondja ki a 6.6 T´ etel. A teljes n´egysz¨ og A, B ´ atl´ ospontjait ¨ osszek¨ ot˝ o egyenesnek a teljes n´egysz¨ og m´ asik k´et oldal´ aval val´ o metsz´espontja legyen C ´es D. Az A, B, C, D pontok harmonikusan v´ alasztj´ ak el egym´ ast, azaz (ABCD) = −1.

Projekt´ıv geometria

18

Bizony´ıt´ as.Tegy¨ uk fel, hogy a P QRS teljes n´egysz¨og A, B ´atl´ospontjai, s a m´ asik k´et oldal´anak az eAB egyenessel k¨oz¨os C, D pontjai v´egesben fek¨ usznek.

17. ´abra

Vet´ıts¨ uk az A, B, C, D pontokat a P pontb´ol a eQS , majd a vet¨ ulet¨ uket az R pontb´ ol az eAB egyenesre. A P pontb´ol val´o vet´ıt´esn´el az A, B, C, D pontoknak rendre a Q, S, H, D pontok felelnek meg, ahol H-val jel¨olj¨ uk a teljes n´egysz¨og harmadik atl´ ´ ospontj´ at. Az R-b˝ ol val´ o vet´ıt´esn´el ennek a pontoknak rendre a B, A, C, D pontok felelnek meg. Mivel vet´ıt´esn´el a kett˝osviszony v´altozatlan marad, teh´at (ABCD) = (BACD). A kett˝ osviszony ´ertelmez´es´eb˝ ol k¨ovetkezik, hogy (BACD) = e szerint (ABCD) =

1 (ABCD)

1 , (ABCD) vagyis (ABCD)2 = 1.

N´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont kett˝ osviszonya nem lehet 1, s ez´ert a vizsg´alt kett˝oviszony ´ert´eke csak −1 lehet. ¥

7. Perspekt´ıv s´ıkidomok A vizsg´alt Σ s´ıkunkban vegy¨ unk fel egy x, y der´eksz¨og˝ u koordin´ata-rendszert. Ezt k¨ovet˝ oen olyan t´erbeli der´eksz¨og˝ u x1 , x2 , x3 koordin´ata-rendszert v´alasztunk, amelynek x1 , x2 tengelyei az x, y tengelyekkel p´arhuzamosak, x3 tengely´enek x3 = 1 pontja pedig az x, y koordin´ata-rendszer kezd˝opontja. Tekints¨ uk a Σ∗ s´ık egy tetsz˝oleges ( k¨oz¨ons´eges vagy ide´alis) P pontj´at. A t´erbeli koordin´ata-rendszer O kezd˝opontja ´es a P pont egy eOP egyenest hat´aroz meg, ´es minden az O ponton ´athalad´o egyenes egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a Σ∗ s´ık egy P pontj´ at. Az eOP egyenest viszont egy´ertelm˝ uen meghat´arozhatjuk az´ altal, hogy egy O-t´ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o k¨oz¨ons´eges pontj´at adjuk meg. A P pontot ´ıgy meghat´aroz´ o Q(x1 , x2 , x3 ) pont koordin´at´ait a P pont homog´en koordin´ at´ ainak

Projekt´ıv geometria

19

−−→ mondjuk. Sz´olhatunk a P ponto meghat´aroz´o OQ = x(x1 , x2 , x3 ) vektorr´ol is. F´elre´ert´esek elker¨ ul´ese v´egett a homog´en koordin´at´akat ´es a pontot meghat´aroz´o vektort sz¨ogletes z´ar´ ojelbe helyezz¨ uk, az im´ent eml´ıtett pontot teh´at P [x1 , x2 , x3 ] ´es P [x], vagy [x1 , x2 , x3 ] ´es [x] is jel¨oli. A Σ∗ s´ık egy tetsz˝oleges ( k¨oz¨ ons´eges vagy ide´alis) l egyenes´et jellemezhetj¨ uk az l egyenes ´es a t´erbeli koordin´ata-rendszer O kezd˝opontj´an ´at fektetett s´ık megad´as´aval, ezt a s´ıkot pedig azzal, hogy egy r´a mer˝oleges u 6= 0 vektort adunk meg. Az u vektor koordin´ at´ ait, az u1 , u2 , u3 ´ert´ekeket az l egyenes vonalkoordin´ at´ ainak nevezz¨ uk. A k¨ovetkez˝ o ´all´ıt´ asok egyszer˝ uen k¨ovetkeznek a pontot ´es egyenes meghat´aroz´o vektorok ´ertelemez´es´eb˝ ol, ezek bizony´ıt´as´at a hallgat´okra hagyjuk. 7.1 T´ etel. Az x vektor ´ altal meghat´ arozott pont ´es az u vektor ´ altal meghat´ arozott egyenes akkor ´es csak akkor illeszkedik egym´ asra, ha ux = 0.

7.2 T´ etel. (a) Az x, y vektorok ´ altal meghat´ arozott pontok ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes´et az x × y vektor hat´ arozza meg. (b) Az u, v vektorok ´ altal meghat´ arozott egyenesek metsz´espontj´ at az u × v vektor hat´ arozza meg. 7.3 T´ etel. (a) Az [x], [y] pontok ´ altal meghat´ arozott egyenes´et az [λx + µy] pontok alkotj´ ak. (b) Az [u], [v] egyenesek ´ altal meghat´ arozott sug´ arsort a [λu + µv] egyenesek alkotj´ ak. K´et s´ıkidom pontjai k¨oz¨ ott megadott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u vonatkoz´ast az O k¨ oz´eppontra vonatkoz´ oan perspekt´ıvnek nevezz¨ uk, ha a megfelel˝o pontokat ¨osszek¨ot˝o egyenesek az O ponton mennek ´at. A vonatkoz´as az l tengelyre bvonatkoz´ oan perspekt´ıvnek nevezz¨ uk, ha az egyik idom k´et tetsz˝oleges pontj´at ¨osszek¨ot˝o egyenes, a a m´ asik idom k´et megfelel˝o pontj´ at ¨osszek¨ot˝o egyenes az l egyenesen metszi egym´ast.

7.4 T´ etel.DESARGUES t´etele Ha k´et h´ aromsz¨ og pontra n´ezve perspekt´ıv, akkor egyenesre n´ezve is. Bizony´ıt´ as.Legyen O[o] a perspektivit´as centruma, ´es A[a], B[b], C[c] az egyik h´ aromsz¨ og cs´ ucsai. Az o + αa vektorok az eOA egyenes O-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontjait hat´arozz´ ak meg, ´es α ´ert´ek´et v´altoztatva minden O-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontot megkapunk. Minthogy pedig a m´asodik h´artomsz¨og cs´ ucsai nem azonosak az els˝o h´ aromsz¨ og megfelel˝o cs´ ucsaival, a m´asodik h´aromsz¨og A0 [a0 ], B 0 [b0 ], C 0 [c0 ] cs´ ucsainak meghat´ aroz´ o vektorai a0 = o + αa, alakban ´ırhat´ ok.

b0 = o + βb,

c0 = o + γc

Projekt´ıv geometria

20

18. ´abra Az a0 − b0 vektor az eAB ´es eA0 B 0 oldalegyenesek metsz´es pontj´at hat´arozza meg. Ugyanis ez a pont rajta van az eA0 B 0 egyenesen a 7.3 t´etel szerint, valamint rajta van az eAB egyenesen is hasonl´oan a 7.3 t´etel szerint, mivel a0 − b0 = αa − βb. Hasonl´ o indokl´assal a b0 − c0 ´es c0 − a0 a t´etelben szerepl˝o m´asik k´et pontot hat´arozza meg. Minthogy az a0 − b0 , b0 − c0 ´es c0 − a0 vektorok ¨osszege 0, e vektorok egys´ık´ uak, ´es az ´altaluk meghat´arozott pontok egy egyenesen vannak. ¥ A t´etel du´alisa is igaz, mely bizony´ıt´asa ezen bizony´ıt´as du´alisa.

7.5 T´ etel. Legyen P QRS ´es P 0 Q0 R0 S 0 k´et teljes n´egysz¨ og, ´es g egy olyan egyenes, amely nem megy ´ at ezeknek a n´egysz¨ ogeknek egyetlen cs´ ucs´ an sem. Ha a k´et n´egysz¨ og megfelel˝ o 0 0 P S ´es P S stb. oldalainak metsz´espontjai k¨ ozz¨ ul ¨ ot a g egyeneshez tartozik, akkor a hatodik is. Bizony´ıt´ as.Messe a P QRS ´es a P 0 Q0 R0 S 0 teljes n´egysz¨og egyetlen cs´ ucs´ara sem illeszked˝ o g egyenes a P QRS n´egysz¨og P S, QS, RS, QR, RP, P Q oldalait az A, B, C, D, E, F pontokban, amelyek k¨oz¨ott bizonyos p´arok egybe is eshetnek. Valamint tegy¨ uk fel, hogy eP S · eP 0 S 0 = A,

eQS · eQ0 S 0 = B,

eRS · eR0 S 0 = C,

Projekt´ıv geometria

21 eQR · eQ0 R0 = D,

eRP · eR0 P 0 = E.

Azt kell megmutatni, hogy eP Q · eP 0 Q0 = F . Mivel a P RS ´es P 0 R0 S 0 h´aromsz¨ogek a g egyenesre n´ezve perspekt´ıvek, ez´ert a DESARGUES t´etel du´alisa szerint pontra n´ezve is perspekt´ıvek, emiatt eP P 0 ´ atmegy az O = eRR0 · eSS 0 ponton. Hasonl´oan a QRS 0 0 0 ´es Q R S perspekt´ıv h´aromsz¨ ogek azt mutatj´ak, hogy eQQ0 is ´atmegy ugyanezen az O ponton. A eP P 0 , eQQ0 , eRR0 , eSS 0 egyenesek mindegyike ´atmegy az O ponton, u ´gyhogy P QRS ´es P 0 Q0 R0 S 0 perspekt´ıv n´egysz¨ogek. A DESARGUES t´etel szerint az O pontra n´ezve perspekt´ıv P QR ´es P 0 Q0 R0 h´aromsz¨ogek a eDE egyenesre n´ezve, vagyis a g egyenesre n´ezve is perspekt´ıvek. Ez azt jelenti, hogy P Q ´es P 0 Q0 oldalak a g egyenest ugyanabban az F pontban metszik. ¥ N´egysz¨ ogpontoknak nevezz¨ uk azoknak a metsz´espontoknak a halmaz´at, amelyeket akkor kapunk, ha egy teljes n´egysz¨og hat oldal´at olyan egyenessel metssz¨ uk el, amely egyetlen cs´ ucsra sem illeszkedik. Az el¨oz˝o t´etel azt mondja ki, hogy a n´egysz¨ ogpontok mindegyik´et a t¨obbi pont egy´ertelm˝ uen meghat´arozza.

Projekt´ıv geometria

III. A

22

´ SIK PROJEKTIV GEOMETRIAJA

1. A projekt´ıv t´ er Annak a mint´ aj´ ara, ahogyan a s´ıkon az ide´alis pontokat ´es az ide´alis egyenest vezet¨ uk be, most a t´erbeli pontok, egyenesek ´es s´ıkok k¨or´enek a b˝ov´ıt´es´evel foglalkozunk. Az ide´alis pontok bevezet´es´er˝ ol m´ar nem sz´olunk. El´eg azt hangs´ ulyoznunk, hogy akkor ´es csak akkor csatoljuk ugyanazt az ide´alis pontot k´et egyeneshez a t´erben is, ha a k´et egyenes p´arhuzamos. Az ide´alis pontokra vonatkoz´ o meg´allapod´asb´ol k¨ovetkezik, hogy k´et s´ık ide´alis egyenese akkor ´es csak akkor azonos, ha k´et s´ık p´arhuzamos. Ez abb´ol k¨ovetkezik, hogy csak p´arhuzamos s´ıkok eset´en tal´alhat´o az egyik s´ık b´armely k¨oz¨ons´eges egyenes´ehez a m´asik s´ıkban vele p´arhuzamos egyenes. Egy ide´alis egyenest u ´gy adhatunk meg, hogy megadunk egy olyan s´ıkot amely azt tartalmazza. Az u ´j t´erelemek bevezet´es´et a t´er valamennyi ide´alis pontja ´altal alkotott ide´ alis s´ık ( v´egtelen t´avoli s´ık) bevezet´es´evel z´arjuk le. A nem ide´alis s´ıkokat megk¨ ul¨ onb¨ oztet´es¨ ul k¨ oz¨ ons´eges s´ıkoknak mondjuk. Az ide´alis s´ık is tartalmaz minden olyan egyenest, amelynek k´et pontja hozz´a tartozik, hiszen k´et ide´alis pontot csak ide´ alis egyenes tartalmazhat, ´es ide´alis egyenesnek csak ide´alis pontja van. Az euklideszi t´erb˝ ol v´egtelen t´avoli elemek hozz´af˝ uz´es´evel sz´armaz´o alakzatot projekt´ıv t´ernek nevezz¨ uk. 2. A s´ık projekt´ıv lek´ epez´ esei A projekt´ıv t´erben is az alapvet˝o m˝ uvelet a vet´ıt´es ´es a metsz´es. Az O pontb´ ol val´ o vet´ıt´es az a lek´epez´es, mely a t´er minden, O-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o A pontj´anak az eOA egyenest felelteti meg, s minden, O-n ´at nem halad´o l egyenesnek az O pont ´es at l egyenes ´altal meghat´arozott ΣOl s´ıkot felelteti meg. A Σ s´ıkkal val´ o metsz´es minden, Σ-t´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o Π s´ıknak a Σ ´es Π metsz´esvonal´at: az Σ · Π egyenest felelteti meg. Minden Σ-hoz nem tartoz´ o l egyenesnek a Σ ´es l k¨oz¨os Σ · l pontj´at felelteti meg. K´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o Σ ´es Σ0 k¨ ozti perspekt´ıv vonatkoz´ ason egy olyan megfeleltet´est ´ert¨ unk a k´et s´ık pontjai k¨oz¨ ott, amelyet egy rajtuk k´ıv¨ ul fekv˝o pont l´etes´ıt. K´et s´ık k¨ ozti projekt´ıv vonatkoz´ ason a k´et s´ık pontjainak olyan megfeleltet´ese, mely v´eges sok perspekt´ıv vonatkoz´ as ¨osszet´etel´eb˝ol sz´armazik.

2.1 T´ etel. Ha a Σ s´ıkban fekv˝ o A, B, C, D, s A0 , B 0 , C 0 , D0 pontn´egyesek ´ altal´ anos helyzet˝ uek,

Projekt´ıv geometria

23

akkor t´erbeli vet´ıt´esek szorzat´ aval az A, B, C, D pontok ´ atvihet˝ ok az A0 , B 0 , C 0 , D0 -be. Ha az ABC h´ aromsz¨ og s´ıkj´ aban fekv˝o P pont nem tartozik az ABC h´aromsz¨og egyik oldal´ahoz sem, jel¨olj¨ uk A0 , B 0 , C 0 -vel a P pontnak az A, B, C pontokb´ol az atellenes oldalakra val´ ´ o vet¨ ulet´et. Az eAB ´es eA0 B 0 , az eBC ´es eB 0 C 0 , s az eAC ´es 0 0 eA0 C 0 egyenesp´ arok A1 , B1 , C10 metsz´espontjai egy p egyenesen fek¨ usznek, melyet a P pontnak az ABC h´ aromsz¨ ogre vonatkoz´ o pol´ aris´ anak nevez¨ unk. Az ABC ´es A0 B 0 C 0 h´ aromsz¨ ogek ugyanis perspekt´ıvek a P pontra, s ez´ert a DESARGUES t´etel szerint egy p tengelyre n´ezve is perspekt´ıvek. ´ ıt´ 2.2 All´ as. Ha a projekt´ıv s´ık ¨ onmag´ ara val´ o projekt´ıv lek´epez´es´en´el az ABC h´ aromsz¨ og az A0 B 0 C h´ aromsz¨ ogbe megy ´ at, s ha P egy tetsz˝ oleges pont, mely nem tartozik az ABC h´ aromsz¨ og egyik oldal´ ahoz sem, s P -nek az ABC h´ aromsz¨ ogre vonatkoz´ o pol´ arisa p, 0 0 0 0 0 akkor a p egyenes p k´epe a P pont P k´ep´enek az A B C h´ aromsz¨ ogre vonatkoz´ o pol´ arisa. Bizony´ıt´ as.Jel¨olj¨ uk A1 , B1 , C1 -el a P pont vet¨ ulet´et az A, B, C cs´ ucsokb´ol az atellenes oldalakra, ´es A2 , B2 , C2 -vel a p egyenesnek az eBC , eCA , eAB oldalakkal val´o ´ metsz´espontj´ at. Az A2 , A1 , B, C pontn´egyes harmonikus (tekints¨ uk az AP B1 C teljes n´egysz¨oget), ugyan´ıgy harmonikus pontn´egyesek a B1 , B2 , C, A ´es a C1 , C2 , A, B. Jel¨olj¨ uk 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ucsokb´ol az A B C h´aromsz¨og ´atellenes A1 , B1 , C1 -vel a P pontnak az A , B , C cs´ oldal´ ara val´ o vet¨ ulete, s A02 , B20 , C20 -vel a p0 egyenesnek az eB 0 C 0 , eC 0 A0 , eA0 B 0 oldalakkal val´ o metsz´espontj´ at. A s´ık megadott lek´epez´es´en´el az A1 pont k´epe A01 , teh´ at A1 -nek a B, C pontokra vonatkoz´o A2 harmonikus konjug´altja az A01 -nek a B 0 , C 0 pontokra vonatkoz´ o A02 harmonikus konjug´altj´ab megy ´at, hasonl´oan B2 ´es 0 0 at a p egyenes k´epe p0 a P 0 pontnak az A0 B 0 C 0 h´aromsz¨ogre C2 k´epe B2 ´es C2 . Teh´ vonatkoz´ o pol´arisa. ¥ 3. A projekt´ıv kolline´ aci´ ok A projekt´ıv s´ık illeszked´estart´o projekt´ıv transzform´aci´oit kolline´ aci´ oknak nevezz¨ uk (kollin´e´ aris pontok k´epe kolline´aris pontok). A projekt´ıv kolline´ aci´ o olyan kolline´ aci´ o, mely minden egy dimenzi´os alakzatot projekt´ıv m´odon transzform´al. ´ ıt´ 3.1 All´ as. A projekt´ıv s´ık egy kolline´ aci´ oj´ an´ al minden a egyenesnek megfelel egy ´es csak egy a0 egyenes u ´gy, hogy az a egyenes pontjainak, s csakis ezeknek a k´epe az a0 egyeneshez tartoznak. Bizony´ıt´ as.Legyen A, B, C olyan ponth´armas a s´ıkon, hogy A, B ∈ a, C ∈ / a, ´es a C pont k´epe C 0 ∈ / a. Legyen P egy tov´abbi pont, mely nem eleme a-nak, ekkor legyen Q = eAC · eBP . Az A, C, Q pontok kolline´ arisak, ez´ert a k´epeik A0 , C 0 , Q0 is kolline´arisak. Valamint Q 6= A, ´ıgy Q0 6= A0 , teh´at Q0 ∈ / a0 . Mivel P 0 ∈ eQ0 B 0 ´es P 6= B ⇒

Projekt´ıv geometria P 0 6= B 0 , ´ıgy P 0 ∈ / a0

24 ¥

´ ıt´ 3.2 All´ as. A projekt´ıv s´ık egy kolline´ aci´ oj´ an´ al az a egyenes minden harmonikus pontn´egyes´enek az a0 egyenes harmonikus pontn´egyese felel meg. Bizony´ıt´ as.Legyen (KLM N ) = −1, ekkor l´etezik P QRS teljes n´egysz¨og. A P, Q, K kolline´ aris pontok, ´ıgy a k´epeik P 0 , Q0 , K 0 is kolline´arisak. Hasonl´oan a t¨ obbi kolline´ aris ponth´ armas k´epe is kolline´aris, ´ıgy a K 0 L0 M 0 N 0 teljesn´egysz¨og eK 0 L0 atl´ ´ oja az M 0 , N 0 pontokban metszi a m´asik k´et oldalt. Teh´at (K 0 L0 M 0 N 0 ) = −1. ¥ ´ ıt´ 3.3 All´ as. A projekt´ıv s´ık minden kolline´ aci´ oja projekt´ıv. Bizony´ıt´ as.Egy kolline´ aci´ o a s´ık minden egyenes´en megtartja a harmonikus elv´ alaszt´ ast, ´ıgy az m´asodik fejezet 6.5-¨os t´etele szerint projekt´ıv. ¥ ´ ıt´ 3.4 All´ as. Ha a projekt´ıv s´ık egy projekt´ıv lek´epez´es´en´el egy ´ altal´ anos helyzet˝ u pontn´egyes mindegyik pontja fixpont, akkor a lek´epez´es az azzonoss´ ag. Bizony´ıt´ as.Legyen P, Q, R, S ´altal´ anos helyzet˝ u pontn´egyes, mely fixpontja az adott projekt´ıv lek´epez´esnek. Ekkor ¥ ´ ıt´ 3.5 All´ as. A projekt´ıv s´ık b´ armely k´et ´ altal´ anos helyzet˝ u pontn´egyese eset´en pontosan egy projekt´ıv lek´epez´es van, mely az egyik pontn´egyes P, Q, R, S pontjainak rendre a m´ asik pontn´egyes P 0 , Q0 , R0 , S 0 pontjait felelteti meg. 4. A projekt´ıv s´ık affin lek´ epez´ esei A projekt´ıv s´ık valamely u egyenes´et v´egtelen t´avoli egyenesnek vessz¨ uk fel. A s´ık minden olyan ¨onmag´ ara val´ o projekt´ıv lek´epez´es´et, melyn´el az U egyenes ¨onmag´aba megy ´at, affin lek´epez´esnek, vagy affinit´ asnak nevezz¨ uk. Az ´ertelnez´esb˝ol k¨ovetkezik, hogy a s´ık ¨onmag´ ara val´ o affin lek´epez´esei csoportot alkotnak, ezt a s´ık affin csoportj´anak nevezz¨ uk. K´et egyenest p´arhuzamosnak nevez¨ unk, ha metsz´espontjuk az u v´egtelen t´avoli egyeneshez tartozik. Az ´ertelmez´es folyt´an a s´ık affin lek´epez´es´en´el p´ arhuzamos egyenesek p´arhuzamos egyenesekbe mennek ´at. Az affin s´ık pontjainak a v´egesben fekv˝o pontokat ´ertj¨ uk. Az eAB egyenes AB szakasz´an a v´egesben fekv˝o szakaszt ´ertj¨ uk, vagyis azt, mely nem tartalmazza az egyenes v´egtelen t´avoli pontj´at. Az AB szakasz k¨oz´eppontja az eAB egyenes ´es u metsz´espontj´anak az A, B pontokra vonatkoz´ o harmonikus konjug´ altja. Mivel a s´ık projekt´ıv lek´epez´ese a harmonikus elv´ alaszt´ ast megtartja, s egy affin lek´epez´esn´el u invari´ans, ´ıgy b´armely AB sza-

Projekt´ıv geometria

25

kasz C k¨oz´eppontj´ anak egy tetsz˝oleges affin lek´epez´esn´el a megfelel˝o A0 B 0 szakasz C 0 k¨ oz´eppontja felel meg. Legyen ABC egy tetsz˝oleges h´aromsz¨og az affin s´ıkban, jel¨olj¨ uk C1 , A1 , B1 -gyel az AB, BC, CA szakaszok k¨oz´eppontj´at. Az eAA1 , eBB1 , eCC1 egyenesek eyg D ponton mennek ´at, melyet a h´aromsz¨ og s´ ulypontj´ank nevez¨ unk. A s´ ulypont az u v´egtelen t´ avoli egyenesnek az ABC h´ aromsz¨ogre vonatkoz´o p´olusa. Ha a s´ık valamely affin lek´epez´es´en´el a h´aromsz¨ og A, B, C cs´ ucsai az A0 , B 0 , C 0 pontokba mennek ´at, akkor az u egyenesnek az ABC h´ aromsz¨ogre vonatkoz´o p´olusa, vagyis a h´aromsz¨og 0 0 0 D s´ ulypontja az A B C h´ aromsz¨og D0 s´ ulypontj´aba megy ´at. Mivel A, B, C, D 0 0 0 0 ´es A , B , C , D ´altal´ anos helyzet˝ u pontn´egyesek, ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy A, B, C ´es A0 , B 0 , C 0 pontok a s´ık affin lek´epez´es´et egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. ´ ıt´ 4.1 All´ as. Ha A, B, C ´es A0 , B 0 , C 0 az affin s´ık tetsz˝ oleges olyan pontjai, melyek k¨ oz¨ ul sem A, B, C, sem A0 , B 0 , C 0 nem tartozik egy egyeneshez, akkor van a s´ıknak ¨ onmag´ ara 0 0 egy ´es csak egy olyan affin lek´epez´ese, melyn´el az A, B, C pontok rendre az A , B , C 0 pontokba mennek ´ at. 5. A projekt´ıv s´ık korrelat´ıv lek´ epez´ esei A korrel´ aci´ o olyan pontot egyenesbe, egyenest pontba ´atviv˝o transzform´aci´o, amely az illeszked´esi kapcsolatokat dualiz´alja: az A pontot az a0 egyenesbe, a b egyenest a B 0 pontba u ´gy transzform´alja, hogy a0 akkor ´es csak akkor megy ´at a B 0 ponton, ha A rajta van a b egyenesen. Teh´at a korrel´aci´o kolline´aris pontokat egy ponton ´atmen˝ o egyenesekbe (´es ford´ıtva), pontsorokat sug´arsorokba transzform´al. A projekt´ıv korrel´ aci´ o olyan korrel´ aci´ o, amely minden egydimenzi´os alakzatot projekt´ıv m´ odon transzform´al. ´ ıt´ 5.1 All´ as. Ha A, B, C, D a projekt´ıv s´ık ´ altal´ anos helyzet˝ u pontn´egyese, ´es a0 , b0 , c0 , d0 n´egy ´ altal´ anos helyzet˝ u egyenes, akkor van pontosan egy a s´ıknak ¨ onmag´ ara val´ o korrelat´ıv 0 0 0 0 lek´epez´ese, mely az A, B, C, D pontoknak rendre az a , b , c , d egyeneseket felelteti meg. ´ ıt´ 5.2 All´ as. A projekt´ıv s´ık minden korrel´ aci´ oja projekt´ıv. 6. A projekt´ıv s´ık pol´ aris lek´ epez´ esei A projekt´ıv s´ık ¨onmag´ ara val´o korrelat´ıv lek´epez´es´enek a n´egyzete az s´ık onmag´ ¨ ara val´ o kolline´ aci´ oja. A korrelat´ıv lek´epez´est pol´ aris lek´epez´esnek, vagy polarit´ asnak nevezz¨ uk, ha n´egyzete a s´ık ¨onmag´ara val´o azonos lek´epez´ese. A s´ık Φ

Projekt´ıv geometria

26

pol´aris lek´epez´es´en´el egym´asnak megfelel˝o pontok ´es egyenesek k´etszeresen felelnek meg egym´asnak: teh´at ha a P pontnak a p egyenes, akkor a p egyenesnek a P pont felel meg. A P pontot a p egyenes p´olus´anak, a p egyenest a P pont pol´aris´anak nevezz¨ uk a s´ık megadott Φ polarit´as szerint. A s´ık Φ polarit´asa szerint konjug´ altnak nevezz¨ uk a s´ık k´et tetsz˝oleges k´et olyan P ´es Q pontj´ at, melyek k¨ozz¨ ul az egyik pol´arisa ´atmegy a m´asik ponton. Ha a P pont p pol´arisa ´atmegy a Q ponton, akkor a Q pont q pol´arisa is ´atmegy a P ponton, mivel egyes´ıtett helyzet˝ u p ´es Q elemeknek Φ-n´el egyes´ıtett helyzet˝ u P ´es q elemek felelnek meg. K´et egyenest konjug´ altnak nevez¨ unk, ha az egyik p´olusa a m´asik egyenesen fekszik. ´ ıt´ 6.1 All´ as. Ha az a egyenes ¨ onmag´ ara val´ o Φ projekt´ıv lek´epez´ese k´et P ´es P 0 pontot felcser´el egym´ assal, akkor Φ invol´ uci´ o (Φ2 = Ida ). Bizony´ıt´ as.Legyen Q az egyenes tetsz˝oleges P -t˝ol ´es P 0 -t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontja, ´es 0 0 Q = Φ(Q) a Q pont k´epe. Azt ´all´ıtjuk, hogy Φ(Q ) = Q. Nyilv´anval´oan igaz az all´ıt´ ´ as, ha Q = Q0 . Tegy¨ uk fel, hogy Q 6= Q0 . Ekkor vegy¨ unk egy O pontot az a egye0 0 nesen k´ıv¨ ul ´es k¨oss¨ uk ¨ossze a P, P , Q, Q pontokkal. Legyen az eOP 0 egyenesen P10 egy O-t´ol ´es P1 -t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pont. Az eP10 Q0 egyenes eOP ´es eOQ egyenesekkel k¨oz¨os pontja legyen P1 ´es Q1 , az eP P10 -nek az eOQ -val k¨oz¨os pontja pedig P2 . Vet´ıts¨ uk az a egyenest O-b´ol az eQ0 P1 egyenesre, azt a P pontb´ol az eOQ egyenesre, s az ut´obbit ´gymint Φ a P, P 0 , Q pontokat a P 0 , P, Q0 P10 -b˝ol az a egyenesre. Ezen lek´epez´es u pontokba viszi, a II. fejezet 4.4-es t´etele szerint a k´et lek´epez´es ugyan az. Teh´at a Φ lek´epez´esn´el is a Q0 a Q pontba megy ´at, s ´ıgy Φ involut´orius. ¥

6.2 T´ etel. Ha a s´ık ¨ onmag´ ara val´ o korrelat´ıv lek´epez´es´en´el egy h´ aromsz¨ og mindegyik oldala az ´ atellenes cs´ ucsnak felel meg, akkor a lek´epez´es polarit´ as. Bizony´ıt´ as.Legyen ABC egy olyan h´aromsz¨og, melynek A, B, C cs´ ucsai a megadott Φ korrelat´ıv lek´epez´esn´el rendre az a = eBC , b = eAC ´es c = eAB oldalakba mennek at. Mivel Φ illeszked´es tart´o, ´ıgy az a egyenesnek Φ-n´el a B ´es C pontok k´ep´enek, ´ vagyis b ´es c egyenesek k¨oz¨ os pontja: A felel meg. Az a egyenes tetsz˝oleges P pontj´ anak egy az A ponton ´atmen˝o p egyenes a k´epe. Ennek a-val k¨oz¨os pontj´at jel¨ olj¨ uk P 0 -vel. Mivel az a tart´ oegyenes˝ u pontsoranj az A k¨oz´eppont´ u sug´arsorra a Φ ´altal l´etes´ıtett lek´epez´ese projekt´ıv, s az ut´obbi sug´arsor a-val val´o metszete is projekt´ıv vonatkoz´ as. Teh´ at az a egyenes ¨onmag´ara val´o projekt´ıv lek´epez´es´et kepjuk, ha minden P pontj´ anak azt a P 0 pontj´at feleltetj¨ uk meg, melyben a P -nek Φn´el megfelel˝o p egyenes metszi az a-t. Enn´el a lek´epez´esn´el a B ´es C pont egym´asnak felel meg, s ez´ert az a egyenes ¨onmag´ara val´o lek´epez´ese involut´orius. E szerint a Φ2 lek´epez´esek az a egyenes minden pontja fixpont, hasonl´oan megmutathat´o hogy a b egyenes minden pontja fixpont. A harmadik fejezet 3.4-dik t´etel´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy Φ2 azonass´ag az eg´esz s´ıkon. ¥

Projekt´ıv geometria

27

Ha a s´ık Φ pol´aris´ an´ al a P pont a pol´aris´ahoz a p egyeneshez tartozik, akkor a P pontot, s a p egyenest ¨ onmag´ ahoz konjug´ altnak nevezz¨ uk.

6.3 T´ etel. Ha a s´ık Φ polarit´ as´ an´ al a P pont ¨ onmag´ ahoz konjug´ alt, akkor pol´ aris´ an, a p egyenesen nincs P -n k´ıv˝ ul m´ as, ¨ onmag´ ahoz konjug´ alt pont, s a P ponton ´ at nem halad ´ at m´ as, ¨ onmag´ ahoz konjug´ alt egyenes, mint p. Bizony´ıt´ as.A p egyenes b´armely P -t¨ol k¨ ul¨onb¨oz˝o Q pontja konjug´alt P -hez, s ez´ert a Q pont q pol´arisa a P ponton megy ´at. Mivel P ´es Q k¨ ul¨onb¨oz˝ok, a p ´es q egyenesek is k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok, s ez´ert a q egyenes nem megy ´at a Q ponton, m´as sz´oval a Q pont nem ¨onmag´ ahoz konjug´ alt. Hasonl´oan ad´odik a t´etelben foglalt m´asodik all´ıt´ ´ as. ¥

6.4 T´ etel. Ha a s´ık egy polarit´ as´ anal a p egyenes nem ¨ onmag´ ahoz konjug´ alt, akkor a p egyenesen vagy k´et ¨ onmag´ ahoz konjug´ alt pont van, vagy egy sincs. A s´ık Φ polarit´ as´ ahoz tartoz´ o pol´ aris h´ aromsz¨ og¨ on egy olyan ABC h´ aromsz¨ oget ´ert¨ unk, mely A, B, C cs´ ucsainak pol´ arisa rendre az eBC , eCA , eAB oldalak. 6.5 T´ etel. A s´ık minden polarit´ as´ ahoz tartozik legal´ abb egy pol´ aris h´ aromsz¨ og. Bizony´ıt´ as.Legyen A egy olyan pont, melynek pol´arisa a nem megy ´at az A ponton, ilyen pont l´etezik. Az a egyenesen legfeljebb k´et ¨onmag´ahoz konjug´alt pont van. Legyen B az a egyenes olyan pontja, mely nem konjug´alt ¨onmag´ahoz, s b egyenes a B pont pol´arisa. Az a ´es b egyenesek C metsz´espontj´anak pol´arisa ´at megy az A ´es B pontokon. E szerint az ABC pol´aris h´aromsz¨og. ¥ A s´ık polarit´as´ at hiperbolikusnak vagy elliptikusnak nevezz¨ uk a szerint, hogy van, vagy nincs ¨onmag´ ahoz konjug´ alt eleme. 7. A k¨ or projekt´ıv tulajdons´ agai Legyen K egy k¨or az euklideszi s´ıkban, k¨oz´eppontja O, sugara r. Valamely O-t´ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o P pontnak a K k¨ orre vonatkoz´ o t¨ uk¨ ork¨ep´en ´ertj¨ uk az fOP elegyenesnek ~ f´ 0 azt a P pontj´ at, melyre |OP | · |OP 0 | = r2 . Ha a P pont a k¨or¨ on k´ıv¨ ul fekszik, akkor a K 0 k¨or melynek k¨oz´eppontja az OP szakasz Q felez˝ opontja, ´es sugara |QO| = |QP |, a K k¨ort k´et L ´es L0 pontban metszi. Az eLL0 egyenesnek az fOP elegyenessel van egy k¨oz¨os P 0 pontja, s erre fenn´all ~ f´ 0 2 az |OP |·|OP | = r egyenl˝ os´eg. Ha a P pont a K k¨or belsej´eben fekszik, a P pontban az eOP -re emelt mer˝olegesnek van a K k¨orrel k´et k¨oz¨os L ´es L0 pontja, az L ´es L0

Projekt´ıv geometria

28

pontban a K k¨ orh¨ oz h´ uzott ´erint˝ ok metszik egym´ast az fOP elegyenesen egy P 0 ~ f´ pontban, melyre |OP | · |OP 0 | = r2 egyenl˝os´eg fenn ´all. V´eg¨ ul ha P ∈ K, akkor P 0 legyen a P pont. Az O-t´ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o P pontok K k¨ orre vonatkoz´ o pol´ aris´ an ´ertj¨ uk azt a p egyen0 est, mely a P pont P t¨ uk¨ ork´ep´en megy ´at, s mer˝oleges az eOP egyenesre. Valamely az O ponton ´at nem men˝o p egyenesnek a K k¨ orre vonatkoz´ o p´ olus´ an ´ertj´ uk az a P 0 pontot, mely az O-b´ol p-re bocs´atott mer˝oleges P talppontj´anak a t¨ uk¨ork´epe. A P p´ olus ´es p pol´aris k¨olcs¨ on¨ osen egym´asnak fele meg. Ha A0 a p egyenes tetsz˝oleges pontja, A0 pol´arisa ´at megy a p p´olus´an, a P ponton. Bocs´assunk mer˝olegest az eOA0 egyenesre a P -b˝ol, ennek talppontj´at jel¨olj¨ uk A-val. Ekkor OP A∆ ∼ OA0 P 0 ∆, ´ıgy

teh´ at

|OP | |OA0 | = , |OA| |OP 0 | |OA| · |OA0 | = |OP | · |OP 0 | = r2 ,

azaz az eP A egyenes az A0 pont pol´arisa. Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy minden, a P ponton ´atmen˝ o, az eOP -t˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o egyenes p´olusa a p egyenesen, a P pol´aris´an fekszik. A K k¨ or O k¨oz´eppontj´ anak a s´ık v´egtelen t´avoli egyenes´et, s minden a egyenes v´egtelen t´avoli pontj´ anak az a-ra mer˝oleges, az O ponton ´at men˝o egyenest feleltetj¨ uk meg. A s´ık pontjai ´es egyenesei k¨oz¨ott ily m´odon l´etes´ıtett vonatkoz´as a s´ık polari´asa, ez a polarit´as hiperbolikus, mivel a K k¨or minden pontja ¨onmagukhoz konjug´altak. Azaz a K k¨or ´ertelmezhet˝ o a s´ık egy hiperbolikus polari´as´an´al ¨onmagukhoz kojug´alt pontok ¨osszes´egek´ent. Ezt az ´ertelmez´est vessz¨ uk t´argyal´asunk alapj´aul. 8. A m´ asodrend˝ u g¨ orb´ ek Legyen Φ a s´ıknak egy hiperbolikus polarit´as. A Φ polarit´ ashoz tartoz´ o C m´ asodrend˝ u g¨ orb´en ´ertj¨ uk azoknak a pontoknak az ¨osszes´eg´et, melyek a Φ-n´el onmagukhoz konjug´ ¨ altak. Ezeket a pontokat a m´asodrend˝ u g¨orbe pontjainak, s pol´arisaikat a m´asodrend˝ u g¨orbe ´erint˝ oinek nevezz¨ uk.

8.1 T´ etel. Ha P a Φ polarit´ ashoz tartoz´ o C m´ asodrend˝ u g¨ orbe tetsz˝ oleges pontja, s p a P ponthoz tartoz´ o ´erint˝ o (azaz P pol´ arisa), akkor a p egyenesen nincs a C g´ orb´enek P -n k´ıv¨ ul m´ as pontja, s a P ponton nem megy ´ at C-nek m´ as ´etint˝ oje, mint p.

8.2 T´ etel. Ha a p egyenes nem ´erint¨ oje a C g¨ orb´enek, akkor p-n vagy k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontja van C-nek, vagy egy sem.

Projekt´ıv geometria

29

A 8.1-es ´es 8.2-es t´etelekb˝ ol k¨ovetkezik, hogy ha a p egyenesen a C g¨orb´enk egy ´es csak egy pontja van, akkor a p ´erint˝oje a C-nek, s az ´erint´esi pont P a p egyenes p´ olusa.

8.3 T´ etel. Ha a P pont nem tartozik a C g¨ orb´ehez, akkor a P ponton a C g¨ orb´enek vagy k´et ´erint˝ oje megy ´ at, vagy egy sem.

8.4 T´ etel. A C m´ asodrend˝ u g¨ orbe egy´ertelm˝ uen meghat´ arozza a Φ polarit´ ast, azaz C nem tartozik k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o polarit´ ashoz. Bizony´ıt´ as.Legyen A ∈ C tetsz˝oleges pont, ´es a az ´erint˝o egyenese a C-nek az A pontban. Legyen a, p, q, r az A ponton ´atmen˝o n´egy k¨ ul¨onb¨oz˝o egyenes. A p, q, r egyenesek nem ´erint˝ oi C m´ asodrend˝ u g¨orb´enek, s a g¨orbe A pontja rajta van az egyeneseken, ez´ert m´eg egy-egy P, Q, R pontjai a g¨orb´enk a p, q, r egyeneseken van. Az A, P, Q, R ´altal´ anos helyzet¨ u pontn´egyes. Az A, P, Q, R pontok ´es a, p, q, r pol´ariasik k¨ ozz¨ ul b´armely h´aromnak nincs k¨oz¨ os pontja, azaz a, p, q, r ´altal´anos helyzet˝ u egyenes n´egyes. L´etezik pontosan egy korrel´aci´o mely az A, P, Q, R pontokat rendre az a, p, q, r egyenesekbe viszi. ¥ A fenti t´etelben egy´ertelm˝ uen meghat´arozott polarit´ast a C g¨ orb´ere vonatkoz´ o polarit´ asnak nevezz¨ uk. 9. A m´ asodrend˝ u g¨ orb´ ek projekt´ıv tulajdons´ agai

9.1 T´ etel. Minden a C m´ asodrend˝ u g¨ orb´et metsz˝ o a egyenes k´et tetsz˝ oleges, egym´ ashoz konjug´ alt pont harmonikusan v´ alasztja el az a egyenesnek a g¨ orb´evel val´ o metsz´espontjait.

9.2 Seg´ edt´ etel. Ha az ABC a C m´ asodrend˝ u g¨ orbe h´ urh´ aromsz¨ oge, s ha a p egyenes az eAB ´es eAC oldalt k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o, egym´ ashoz konjug´ alt pontban metszi, akkor p ´ atmegy az eBC oldal p´ olus´ an. Megford´ıtva, minden olyan p egyenes, mely az eBC oldal p´ olus´ an megy ´ at, az eAB ´es eBC oldalakat k´et egym´ ashoz konjug´ alt pontban metszi. 9.3 T´ etel.STEINER-f´ele t´etel A C m´ asodrend˝ u g¨ orbe pontjait k´et tetsz˝ oleges pontj´ ab´ ol vet´ıt˝ o sug´ arsorok vonatkoz´ asa projekt´ıv, ha a k´et sug´ arsornak azok az egyenesei felelnek meg egym´ asnak, melyek a C g¨ orbe ugyanazt a pontj´ at vet´ıtik. Bizony´ıt´ as.Legyen P, Q ∈ C k´et tetsz˝oleges r¨ogz´ıtett potja a g¨orb´enek, A ∈ C pedig mozg´ o pont g¨orb´en. Legyen O az eP Q egyenes p´olusa, s l egy tetsz˝oleges egyenes

Projekt´ıv geometria

30

az O ponton ´at, mely nem megy ´at sem a P -n, sem a Q-n. Az l · eP A ´es l · eQA konjug´ alt pontok, b´armely pontja is A a C g¨orb´enek. Ha a P k¨oz´eppont´ u sug´arsort az l egyenessel metsz¨ uk, majd az l egyenest ¨onmag´ara k´epezz¨ uk le u ´gy, hogy minden pontja a C-re vonatkoz´ o konjug´altj´aba megy ´at, v´eg¨ ul l pontjait a Q pontb´ol vet´ıtj¨ uk, ennek a h´arom projekt´ıv lek´epez´esnek az ¨osszet´etele megegyezik a P ´es Q k¨ oz´eppont´ u sug´arsorok k¨oz¨ ott C ´altal sz´armaztatott lek´epez´essel, teh´at ez is projekt´ıv. A vonatkoz´ as nem perspekt´ıv, mivel az eP Q egyenes nem ¨onmag´anak felel meg. ¥

9.4 T´ etel. K´et projekt´ıv, nem perspekt´ıv sug´ arsor megfelel˝ o egyeneseinek metsz´espontjai m´ asodrend˝ u g¨ orb´et alkotnak. K´et projekt´ıv, nem perspekt´ıv pontsor megfelel˝ o pontjait ¨ osszek¨ ot˝ o egyenesek egy m´ asodrend˝ u g¨ orbe ´erint˝ oi.

9.5 T´ etel. A s´ık tetsz˝ oleges ¨ ot A1 , A2 , A3 , A4 , A5 pontja eset´en, mely k¨ oz¨ ul semmelyik h´ arom nem fekszik egy egyenesen, l´etezik egy ´es csak egy m´ asodrend˝ u g¨ orbe, melynek pontja az A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . Bizony´ıt´ as.Tekints¨ uk az A1 ´es A2 k¨oz´eppont´ u sug´arsorok azon projekt´ıv vonatkoz´ as´ at, melyet egy´ertelm˝ uen meghat´aroznak az eA1 A3 −eA2 A3 , eA1 A4 −eA2 A4 , eA1 A5 −eA2 A5 ∧

∧

∧

megfeleltet´esek. Ezen vonatkz´ as nem lesz perspekt´ıv, hiszen az A3 , A4 , A5 pontok nem illeszkednek egy egyenesre. Az el˝oz˝o t´etel szerint l´etzik C m´asodrend˝ u g¨orbe, mely ´at megy az A1 , A2 , A3 , A4 , A5 pontokon. Tegy¨ uk fel, hogy C ´es C0 is olyan m´asodrend˝ u g¨orbe, mely ´at megy az A1 , A2 , A3 , A4 , A5 pontokon. Ekkor az A1 ´es A2 k¨oz´eppont´ u sug´arsorok azon pro0 jekt´ıv vonatkz´ asai, melyet a C ´es C g¨orb´evel val´o metsz´es sz´armaztat, megegyezik az A3 , A4 , A5 pontokon ´atmen˝ o h´arom-h´arom egyenesere n´ezve, teh´at a k´et vonatkoz´as azonos egym´assal, s ´ıgy a k´et g¨ orbe is. ¥

9.6 T´ etel. Ha s´ık tetsz˝ oleges A1 , A2 , A3 , A4 pontja k¨ oz¨ ul semmelyik h´ arom nem fekszik egy egyenesen, s ha a1 az A1 ponton ´ atmen˝ o egyenes, mely nem megy ´ at az A2 , A3 , A4 pontok k¨ oz¨ ul egyiken sem, akkor van egy ´es csak egy olyan m´ asodrend˝ u g¨ orbe, melynek pontjai az A1 , A2 , A3 , A4 pontok, s ´erint˝ oje az a1 egyenes. 9.7 T´ etel. Ha az A1 , A2 , A3 pontok nem fek¨ usznek egy egyenesen, s ha a1 ´es a2 az A1 illetve A2 pontokon ´ atmen˝ o, s az A1 A2 A3 h´ aromsz¨ og oldalegyenesit˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o egyenesek,

Projekt´ıv geometria

31

akkor van egy ´es csak egy olyan m´ asodrend˝ u g¨ orbe, melynek pontjai az A1 , A2 , A3 pontok, s melynek ´erint˝ oje az a1 ´es a2 . 10. PASCAL- ´ es BRIANCHON-f´ ele t´ etel

10.1 T´ etel. (PASCAL-f´ ele t´ etel) Ha A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 a C m´ asodrend˝ u g¨ orbe hat tetsz˝ oleges pontja, akkor az eA1 A2 ´es eA4 A5 , az eA2 A3 ´es eA5 A6 , s az eA3 A4 ´es eA6 A1 egyenesek P2 , P3 , P1 metsz´espontjai egy egyeneshez tartozik. Bizony´ıt´ as.A k¨ovetkez˝ o lek´epez´est ´ertelmezz¨ uk az eA4 A5 ´es eA5 A6 egyenesek k¨oz¨ott: P ∈ eA4 A5 pont eset´en legyen P 0 az eA1 P egyenes ´es a C m´asodrend˝ u g¨orbe k¨ oz¨ ospontja, valamint Q az eA3 P 0 ´es eA5 A6 egyenesek metsz´espontja. Mivel az A1 ´es A3 k¨ oz´eppont´ u sug´arsorok k¨oz¨ ott a C m´asodrend˝ u g¨orbe ´altal sz´armaztattot lek´epez´es projekt´ıv, ez´ert az eA4 A5 ´es eA5 A6 egyenesek k¨oz¨otti fenti lek´epez´es projekt´ıv. Az A5 pont fixpont ezen lek´epez´esn´el, teh´at perspekt´ıv. Legyen B = eA4 A5 · eA1 A6 ,

C = eA5 A6 · eA3 A4 .

A P2 , A4 , B pontok k´epe a fenti perspektivit´as mellett P3 , C, A6 pontok. Az egym´ asnak megfelel˝o pontokat ¨osszek¨ot˝o egyenesek a perspektivit´as k¨oz´eppontj´an mennek ´at, azaz az eP2 P3 , eA4 C ´es eBA6 egyenesek egy pontban metszik egym´ast. eA4 C · eBA6 = eA3 A4 · eA6 A1 = P1 . Teh´ at P1 ∈ eP2 P3 .

¥

10.2 T´ etel. (BRIANCHON-f´ ele t´ etel) Ha az A1 A2 A3 A4 A5 A6 hatsz¨ og oldalai a C m´ asodrend˝ u g¨ orbe ´erint˝ oi, akkor az ´ atellenes cs´ ucsokat ¨ osszek¨ ot˝ o eA1 A4 , eA2 A5 , s eA3 A6 egyenesek egy ponton mennek ´ at.