Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor.
TÉTEL: Ha 𝑖⃗ az (1; 0) és 𝑗⃗ a (0; 1) pont helyvektora, akkor a sík bármely 𝑎⃗ vektora egyértelműen előáll 𝑎⃗ = 𝑎1 ∙ 𝑖⃗ + 𝑎2 ∙ 𝑗⃗ alakban, vagyis az 𝑖⃗ és 𝑗⃗ lineáris kombinációjaként. Megjegyzés: Az 𝑖⃗ és 𝑗⃗ vektorok a koordináta – rendszer bázisvektorai. Az 𝑎1 és 𝑎2 valós számok az 𝑎⃗ vektor koordinátái. Jelöléssel: 𝑎⃗ (𝑎1 ; 𝑎2 ). Egy vektor koordinátái megegyeznek az origó kezdőpontú reprezentánsa végpontjának koordinátáival, vagyis egy pont és a pont helyvektorának koordinátái megegyeznek. A koordináta – rendszer 𝑥 tengelyét abszcisszatengelynek, az 𝑦 tengelyét ordináta tengelynek nevezzük. Egy pont első koordinátáját a pont abszcisszájának, a második koordinátáját a pont ordinátájának nevezzük. A koordináta – rendszer kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít a sík pontjai és a rendezett számpárok között.
TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ) és 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) pontok távolsága, vagyis az 𝐴𝐵 szakasz, illetve az 𝐴𝐵 vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2 . hossza: 𝑑𝐴𝐵 = |𝐴𝐵| = |𝐴𝐵
TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ) és 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) pontokkal megadott szakasz 𝐹 (𝑓1; 𝑓2 ) felezőpontjának 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 koordinátái egyenlők a megfelelő koordináták összegének felével: 𝑓1 = 1 2 2 és 𝑓2 = 2 2 2.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ) és 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) pontokkal megadott szakasz 𝐴 – hoz közelebbi 𝐻1 (𝑥1 ; 𝑦1 ) 2𝑎 + 𝑏 2𝑎 + 𝑏 harmadoló pontjának koordinátái: 𝑥1 = 13 1 és 𝑦1 = 23 2. Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ) és 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) pontokkal megadott szakasz 𝐵 – hez közelebbi 𝐻2 (𝑥2 ; 𝑦2 ) 𝑎 + 2𝑏 𝑎 + 2𝑏 harmadoló pontjának koordinátái: 𝑥2 = 1 3 1 és 𝑦2 = 2 3 2.
TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ) és 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) pontokkal megadott szakaszt 𝑚 ∶ 𝑛 arányban osztó 𝑃 (𝑝1 ; 𝑝2 ) pont 𝑛 ∙ 𝑎1 + 𝑚 ∙ 𝑏1 𝑛 ∙ 𝑎2 + 𝑚 ∙ 𝑏2 koordinátái: 𝑝1 = és 𝑝2 = . 𝑚+𝑛 𝑚+𝑛 Megjegyzés: Ha 𝑚 = 𝑛 = 1, akkor 𝑃 pont a szakasz felezőpontja. Ha 𝑚 = 1 és 𝑛 = 2, vagy 𝑚 = 2 és 𝑛 = 1, akkor 𝑃 pont a szakasz harmadoló pontja.
TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ), 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ) és 𝐶 (𝑐1 ; 𝑐2 ) csúcspontú háromszög 𝑆 (𝑠1 ; 𝑠2 ) súlypontjának 𝑎 +𝑏 +𝑐 𝑎 +𝑏 +𝑐 koordinátái: 𝑠1 = 1 31 1 és 𝑠2 = 2 32 2.
TÉTEL: Az 𝐴 (𝑎1 ; 𝑎2 ), 𝐵 (𝑏1 ; 𝑏2 ), 𝐶 (𝑐1 ; 𝑐2 ) és 𝐷 (𝑑1 ; 𝑑2 ) csúcspontú négyszög 𝑆 (𝑠1 ; 𝑠2) 𝑎 +𝑏 +𝑐 +𝑑 𝑎 +𝑏 +𝑐 +𝑑 súlypontjának koordinátái: 𝑠1 = 1 1 4 1 1 és 𝑠2 = 2 2 4 2 2 .
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: 𝑨 (−𝟏; 𝟑) és 𝑩 (𝟓; 𝟐)! Megoldás: A szakasz hossza a két pont távolsága, vagyis a megoldás a következő: 𝑑𝐴𝐵 = |𝐴𝐵| = √(5 − (−1))2 + (2 − 3)2 = √36 + 1 = √37 ≈ 6,08.
2. Egy háromszög csúcsai az 𝑨 (𝟑; −𝟏), 𝑩 (𝟐; 𝟒) és 𝑪 (−𝟏; 𝟓) koordinátájú pontok. Számítsd ki a háromszög szögeit és területét! Megoldás: Tekintsük a háromszög oldalait vektorként, így a háromszög szögeit kiszámíthatjuk a skaláris szorzat segítségével, a megfelelő vektorok hajlásszögeként. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ és a 𝑏 = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorok által bezárt 𝛼 szöget. Számítsuk ki először a 𝑐 = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (−1; 5)
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−1)2 + 52 = √26 |𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 (−4; 6)
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−4)2 + 62 = √52 |𝐴𝐶
Ezek alapján az 𝛼 szög nagysága: cos 𝛼 =
(−1) ∙ (−4) + 5 ∙ 6 √26 ∙ √52
→
𝛼 ≈ 22,38°.
Számítsuk ki most a 𝑐 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴 és az 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 vektorok által bezárt 𝛽 szöget. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴 (1; −5)
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √12 + (−5)2 = √26 |𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (−3; 1) 𝐵𝐶
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−3)2 + 12 = √10 |𝐵𝐶
Ezek alapján az 𝛽 szög nagysága: cos 𝛽 =
1 ∙ (−3) + (−5) ∙ 1 √26 ∙ √10
→
𝛽 ≈ 119,74°
Számítsuk ki végül a 𝑏 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴 és az 𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 vektorok által bezárt 𝛾 szöget. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (4; −6) 𝐶𝐴
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √42 + (−6)2 = √52 |𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (3; −1) 𝐶𝐵
→
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √32 + (−1)2 = √10 |𝐶𝐵
Ezek alapján az 𝛾 szög nagysága: cos 𝛾 =
A háromszög területe: 𝑇 =
4 ∙ 3 + (−6) ∙ (−1) √52 ∙ √10
26 ∙ sin 22,38° ∙ sin 119,74° 2 ∙ sin 37,88°
3
= 7.
→
𝛾 ≈ 37,88°
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Határozd meg az 𝑨 (−𝟑; −𝟑), 𝑩 (−𝟓; 𝟕) és 𝑪 (𝟑; 𝟒) csúcsokkal rendelkező háromszög kerületét és területét! Megoldás: A háromszög kerületéhez számoljuk ki az oldalak hosszát: 𝑎 = |𝐵𝐶 | = √(3 − (−5))2 + (4 − 7)2 = √64 + 9 = √73 𝑏 = |𝐴𝐶 | = √(3 − (−3))2 + (4 − (−3))2 = √36 + 49 = √85 𝑐 = |𝐴𝐵| = √(−5 − (−3))2 + (7 − (−3))2 = √4 + 100 = √104 A háromszög kerülete: 𝐾 = √73 + √85 + √104 ≈ 27,96. A háromszög területéhez először számítsuk ki az 𝐴 csúcsnál levő 𝛼 szöget. Tekintsük a háromszög oldalait vektorként: 𝑐 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (−2; 10) és 𝑏 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 (6; 7). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ és 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorok hajlásszögét: Határozzuk meg skaláris szorzat segítségével az 𝐴𝐵 cos 𝛼 =
−2 ∙ 6 + 10∙ 7 √104 ∙ √85
→
𝛼 ≈ 51,91°
Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 =
𝑏 ∙ 𝑐 ∙ sin 𝛼 2
=
√85 ∙ √104 ∙ sin 51,9 2
≈ 37.
4. Határozd meg az 𝒙 - tengelynek azt a 𝑷 pontját, amely az 𝑨 (𝟎; 𝟎) és a 𝑩 (𝟗; −𝟑) koordinátájú pontoktól egyenlő távolságra van! Megoldás: A 𝑃 pont illeszkedik az 𝑥 - tengelyre, így koordinátákkal felírva: 𝑃 (𝑥; 0). Mivel az |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| , így felírhatjuk a következő egyenletet: √(𝑥 − 0)2 + (0 − 0)2 = √(𝑥 − 9)2 + (0 − (−3))2 . Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy 𝑥 = 5. Ezek alapján a keresett 𝑃 pont koordinátái: 𝑃 (5; 0). 4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Határozd meg azt a 𝑷 pontot az abszcisszatengelyen, amelynek az 𝑨 (𝟏; 𝟑) ponttól való távolsága 𝟓 egység! Megoldás: A 𝑃 pont illeszkedik az 𝑥 - tengelyre, így koordinátákkal felírva: 𝑃 (𝑥; 0). Mivel az |𝐴𝑃| = 5, így felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = √(𝑥 − 1)2 + (0 − 3)2 . Négyzetre emelések és átrendezés után másodfokú egyenlethez jutunk: 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai 𝑥1 = 5 és 𝑥2 = −3. Ezek alapján két megoldás adódik: 𝑃1 (5; 0) és 𝑃2 (−3; 0).
6. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit, ha a kör áthalad a 𝑷 (−𝟒; 𝟐) ponton és az 𝒙 - tengelyt az 𝑬 (𝟐; 𝟎) pontban érinti! Megoldás: Mivel a sugár merőleges az érintőre (ebben az esetben az 𝑥 - tengelyre), így a középpont koordinátái: 𝐾 (2; 𝑟). A sugarak miatt |𝐾𝐸| = |𝐾𝑃|, így felírhatjuk a következő egyenletet: √(2 − 2)2 + (0 − 𝑟)2 = √(−4 − 2)2 + (2 − 𝑟)2 . Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy 𝑟 = 10. Ezek alapján a kör középpontja: 𝐾 (2; 10).
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Számítsd ki a háromszög köré írható kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha a csúcsainak koordinátái: 𝑨 (𝟎; 𝟐), 𝑩 (𝟏; 𝟏) és 𝑪 (𝟐; −𝟐)! Megoldás: Legyen a kör középpontja: 𝐾 (𝑢; 𝑣). A sugarak miatt |𝐾𝐴| = |𝐾𝐵| és |𝐾𝐴| = |𝐾𝐶 |, így felírhatjuk a következő egyenleteket: √(0 − 𝑢)2 + (2 − 𝑣)2 = √(1 − 𝑢)2 + (1 − 𝑣)2 √(0 − 𝑢)2 + (2 − 𝑣)2 = √(2 − 𝑢)2 + (−2 − 𝑣)2 Négyzetre emelések után a következő egyenletrendszert kapjuk: 𝑢2 + 𝑣 2 − 4𝑣 + 4 = 𝑢2 + 𝑣 2 − 2𝑢 − 2𝑣 + 2 } 2 2 2 2 𝑢 + 𝑣 − 4𝑣 + 4 = 𝑢 + 𝑣 − 4𝑢 + 4𝑣 + 8 Az első egyenletből kivonva a másodikat, azt kapjuk, hogy 0 = 2𝑢 − 6𝑣 − 6, amiből átrendezés után 𝑢 = 3𝑣 + 3 adódik. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy 𝑣 = −2. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑢 = 3 ∙ (−2) + 3 = −3. Ezek alapján a kör középpontja 𝐾 (−3; −2). A kör sugara: 𝑟 = 𝑑𝐾𝐴 = √(0 − (−3))2 + (2 − (−2))2 = √25 = 5.
8. Határozd meg a 𝑷𝑸 szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha a szakasz végpontjai: 𝑷 (−𝟓; 𝟕) és a 𝑸 (𝟏; −𝟏𝟑)! Megoldás: A szakasz felezőpontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝐹 (
−5 + 1 2
;
7 − (−13) 2
) →
𝐹 (−2; 10).
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. Az 𝑨𝑩𝑪𝑫 négyszög csúcsai 𝑨 (−𝟔; −𝟐), 𝑩 (𝟓; −𝟏), 𝑪 (𝟔; 𝟒) és 𝑫 (𝟑; 𝟔). Határozd meg a négyszög középvonalainak felezőpontjait! Megoldás: Mivel a négyszög középvonalai az oldalak felezőpontjait kötik össze, így először határozzuk meg az oldalfelező pontokat: 1
3
11 3
9
3
𝐹𝐴𝐵 (− 2 ; − 2) , 𝐹𝐵𝐶 ( 2 ; 2) , 𝐹𝐶𝐷 (2 ; 5) és 𝐹𝐴𝐷 (− 2 ; 2). 7
7
Ezek alapján a középvonalak felezőpontjai: 𝐹𝐴𝐵−𝐶𝐷 (2; 4) és 𝐹𝐵𝐶−𝐴𝐷 (2; 4). Ebből azt kaptuk, hogy a felezőpontok egybeesnek, vagyis a középvonalak felezik egymást.
10. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának csúcsai az 𝑨 (𝟐; 𝟏) és a 𝑩 (𝟔; 𝟓) koordinátájú pontok. A harmadik 𝑪 csúcsa az 𝒙 - tengelyen van. Mekkora a háromszög területe? Megoldás: Mivel a 𝐶 pont illeszkedik az 𝑥 - tengelyre, így koordinátákkal felírva: 𝐶 (𝑥; 0). A háromszög egyenlő szárú, vagyis |𝐴𝐶 | = |𝐵𝐶 |, így felírhatjuk a következő egyenletet: √(𝑥 − 2)2 + (0 − 1)2 = √(𝑥 − 6)2 + (0 − 5)2 . Négyzetre emelések és átrendezés után azt kapjuk, hogy 𝑥 = 7. Ebből adódik, hogy a 𝐶 csúcs koordinátái: 𝐶 (7; 0). A háromszög területéhez számítsuk ki az alap, illetve a magasság hosszát. Az 𝐴𝐵 oldal hossza: |𝐴𝐵| = √(6 − 2)2 + (5 − 1)2 = √32.
Az 𝐴𝐵 oldal felezőpontja: 𝐹 (
2+6 1+5 2
;
2
)
→
𝐹 (4; 3)
Az 𝑀𝐶 magasság hossza: |𝑀𝐶 | = √(7 − 4)2 + (0 − 3)2 = √18.
Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 =
√32 ∙ √18 2
7
= 12.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Egy téglalap két csúcsa 𝑨 (−𝟑; 𝟑) és 𝑩 (𝟐; 𝟑). Átlói metszéspontjának ordinátája 𝟎. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, és számítsd ki a téglalap területét! Megoldás: A téglalap 𝐴𝐵 oldala a koordináták alapján párhuzamos az 𝑥 tengellyel. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, így a két hiányzó pont első koordinátája megegyezik a megadott pontok első koordinátájával: 𝐶 (2; 𝑐2) és 𝐷 (−3; 𝑑2 ). A téglalap átlói felezik egymást, így felírhatjuk a következőket: 0=
3 + 𝑐2
→
2
𝑐2 = −3
0=
3 + 𝑑2 2
→
𝑑2 = −3
Ezek alapján a hiányzó csúcsok koordinátái: 𝐶 (2; −3) és 𝐷 (−3; −3). A téglalap oldalai 5 és 6 egység hosszúak, vagyis a téglalap területe: 𝑇 = 5 ∙ 6 = 30.
12. Adott egy paralelogramma 𝑨 (−𝟐; 𝟐), 𝑩 (𝟐; −𝟑) és 𝑪 (−𝟓; −𝟒) csúcsa. Határozd meg a negyedik csúcs koordinátáit! Mennyi megoldás van? Megoldás: A paralelogramma átlói felezik egymást, így először számítsuk ki az átlók felezőpontjának koordinátáit. Mivel az 𝐴𝐵𝐶 ∆ bármely oldala lehet a paralelogramma átlója, így három megoldás adódik: 1
7
3
7
𝐹𝐴𝐵 (0; − 2) , 𝐹𝐴𝐶 (− 2 ; −1) és 𝐹𝐵𝐶 (− 2 ; − 2). Ezt követően a felezőpontoknak megfelelően számítsuk ki a hiányzó csúcs koordinátáit: 5
𝐹𝐴𝐵 (0; − 2) a 𝐶𝐷 átló felezőpontja is
→
0=
−5 + 𝑑1
1
−2 = 7
𝐹𝐴𝐶 (− 2 ; −1) a 𝐵𝐷 átló felezőpontja is
→
8
7
2
−4 + 𝑑2 2
−2 =
2 + 𝑑1
−1 =
−3 + 𝑑2
2
2
→
𝑑1 = 5
→
𝑑2 = 3
→
𝑑1 = −9
→
𝑑2 = 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3
7
𝐹𝐵𝐶 (− 2 ; − 2) az 𝐴𝐷 átló felezőpontja is
→
3
−2 = 7
−2 =
−2 + 𝑑1 2
2 + 𝑑2 2
→
𝑑1 = −1
→
𝑑2 = −9
Ezek alapján a paralelogramma keresett csúcsa: 𝐷1 (5; 3) vagy 𝐷2 (−9; 1) vagy 𝐷3 (−1; −9).
13. Adott egy háromszög oldalfelező pontjai: 𝑭𝑨𝑩 (−𝟐; −𝟐), 𝑭𝑨𝑪 (𝟓; 𝟏) és 𝑭𝑩𝑪 (𝟑; 𝟒). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! Megoldás: Az oldal felezőpontok segítségével felírhatjuk a következő egyenleteket:
−2 =
−2 =
𝑎1 + 𝑏 1 2
𝑎2 + 𝑏2 2
5=
𝑎1 + 𝑐1
1=
𝑎2 + 𝑐2
3=
𝑏1 + 𝑐1
4=
𝑏2 + 𝑐2
2
2
2
2
→
−4 = 𝑎1 + 𝑏1
→
−4 = 𝑎2 + 𝑏2
→
10 = 𝑎1 + 𝑐1
→
2 = 𝑎2 + 𝑐2
→
6 = 𝑏1 + 𝑐1
→
8 = 𝑏2 + 𝑐2
Először számoljuk ki a csúcsok első koordinátáit. Az első egyenletből kapjuk, hogy 𝑎1 = −4 − 𝑏1 . Ezt helyettesítsük be a harmadik egyenletbe, így 𝑐1 = 14 + 𝑏1 adódik. Végül ezt behelyettesítve az ötödik egyenletbe, azt kapjuk, hogy 𝑏1 = −4. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: 𝑎1 = 0 és 𝑐1 = 10. 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Most a második koordinátákat számoljuk ki. A második egyenletből kapjuk, hogy 𝑎2 = −4 − 𝑏2 . Ezt helyettesítsük be a negyedik egyenletbe, így 𝑐2 = 6 + 𝑏2 adódik. Végül ezt behelyettesítve a hatodik egyenletbe, azt kapjuk, hogy 𝑏2 = 1. Ebből a visszahelyettesítések után a következők adódnak: 𝑎2 = −5 és 𝑐2 = 7. Ezek alapján a háromszög csúcsai: 𝐴 (0; −5), 𝐵 (−4; 1) és 𝐶 (10; 7).
14. Adott egy paralelogramma 𝑨 (𝟎; 𝟓) és 𝑩 (−𝟏; 𝟏) csúcsa, továbbá az átlók 𝑴 (𝟐; 𝟑) metszéspontja. Számítsd ki a paralelogramma hiányzó csúcsinak koordinátáit! Megoldás: A paralelogramma átlói felezik egymást, így az 𝑀 pont az 𝐴𝐶 és 𝐵𝐷 szakaszok felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket:
2=
0 + 𝑐1
2=
−1 + 𝑑1
2
2
→
𝑐1 = 4
3=
5 + 𝑐2
→
𝑑1 = 5
3=
1 + 𝑑2
2
2
→
𝑐2 = 1
→
𝑑2 = 5
Ebből adódik, hogy a hiányzó pontok koordinátái: 𝐶 (4; 1) és 𝐷 (5; 5).
15. Az 𝑨 (−𝟒; 𝟕) pontot tükrözzük a 𝑩 (𝟓; −𝟐) pontra. Számítsd ki az 𝑨′ koordinátáit! Megoldás: Mivel az 𝐴 pontot tükrözzük a 𝐵 pontra, így a 𝐵 pont éppen az 𝐴𝐴′ szakasz felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket: 5=
−4 + 𝑎1 2
→
𝑎1 = 14
−2 =
A képpont koordinátái: 𝐴′(14; −11). 10
7 + 𝑎2 2
→
𝑎2 = −11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Az 𝑨 (𝟎; 𝟎), 𝑩 (𝟑; 𝟔), 𝑪 (𝟖; −𝟐) csúcsokkal megadott háromszöget az 𝑨 pontból kétszeresére nagyítjuk. Számítsd ki a kapott 𝑨′𝑩′𝑪′ háromszög 𝑩′ és 𝑪′ csúcsainak koordinátáit! Megoldás: Mivel az 𝐴 csúcsból kétszeresére nagyítunk, így a 𝐵 csúcs éppen az 𝐴𝐵′ szakasz felezőpontja, a 𝐶 csúcs pedig az 𝐴𝐶′ szakasz felezőpontja. Ezek alapján felírhatjuk a következőket:
3=
0 + 𝑏1
8=
0 + 𝑐1
2
2
0 + 𝑏2
→
𝑏1 = 6
6=
→
𝑐1 = 16
−2 =
2
0 + 𝑐2 2
→
𝑏2 = 12
→
𝑐2 = −4
A képháromszög csúcsainak koordinátái: 𝐴′(0; 0), 𝐵′ (6; 12) és 𝐶 ′(16; −4).
17. Adott az 𝑨 (𝟑; 𝟒) és 𝑩 (𝟔; 𝟏) pontok által meghatározott szakasz. Számítsd ki az 𝑨 - hoz, illetve 𝑩 - hez közelebbi harmadoló pontok koordinátáit! Megoldás: Az 𝐴 - hoz közelebbi harmadoló pont koordinátái: 2∙3+1∙6
𝐻1 (
3
;
2 ∙ 4+1 ∙ 1 3
)
→
𝐻1 (4; 3)
A 𝐵 - hez közelebbi harmadoló pont koordinátái:
𝐻2 (
1∙3+2∙6 3
;
1∙4+2∙1 3
)
→
𝐻1 (5; 2)
18. Határozd meg az 𝑨 (−𝟔; 𝟑) és 𝑩 (𝟓; −𝟒) pontok által meghatározott szakasz azon 𝑷 pontjának koordinátáit, amelyre 𝑨𝑷 ∶ 𝑷𝑩 = 𝟓 ∶ 𝟐! Megoldás: A szakaszt adott arányban osztó 𝑃 pont koordinátái: 2 ∙ (−6) + 5 ∙ 5 2 ∙ 3 + 5 ∙ (−4)
𝑃 (
5+2
;
5+2
)
→
𝑃 (− 11
13 7
; −2)
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. Adott az 𝑨 (𝟑; 𝟓) és 𝑩 (𝟗; 𝟐) pont. Az 𝑨𝑩 szakaszt 𝟓 egyenlő részre osztjuk. Számítsd ki az osztópontok koordinátáit! Megoldás: Egy szakaszt öt egyenlő részre négy ponttal oszthatunk fel. Ezen pontok koordinátái az arányoknak megfelelően a következők lesznek: 4∙3+1∙9
1∶4
→
𝑃1 (
2∶3
→
𝑃2 (
3∶2
→
𝑃3 (
4∶1
→
𝑃4 (
5
3∙3+2∙9 5
2∙3+3∙9 5
1∙3+4∙9 5
;
4∙5+1∙2
;
3∙5+2∙2
;
2∙5+3∙2
;
1∙5+4∙2
5
)
𝑃1 ( 5 ;
)
→
𝑃2 ( 5 ;
)
→
𝑃3 ( 5 ;
)
→
𝑃4 ( 5 ;
5
5
5
21
→
27
33
39
22 5
19 5
)
16 5
13 5
)
)
)
20. Az 𝑨𝑩𝑪 háromszög csúcspontjainak koordinátái 𝑨 (𝟔; 𝟔), 𝑩 (𝟏; −𝟒) és 𝑪 (−𝟐; 𝟓). A háromszöget az 𝑶 (−𝟒; −𝟒) pontból nagyítjuk a háromszorosára. Határozd meg a képháromszög csúcspontjainak koordinátáit! Megoldás: Mivel a háromszöget a háromszorosára nagyítjuk, így az 𝐴 pont az 𝑂𝐴′ szakasz 𝑂 – hoz közelebbi harmadoló pontja, a 𝐵 pont az 𝑂𝐵′ szakasz 𝑂 – hoz közelebbi harmadoló pontja, a 𝐶 pont pedig az 𝑂𝐶′ szakasz 𝑂 – hoz közelebbi harmadoló pontja lesz. Ezek alapján felírhatjuk a következőket:
6=
2∙(−4)+1∙𝑎1
1=
2∙(−4)+1∙𝑏1
3
−2 =
3
2∙(−4)+1∙𝑐1 3
2∙(−4)+1∙𝑎2
→
𝑎1 = 26
6=
→
𝑏1 = 11
−4 =
→
𝑐1 = 2
5=
3
2∙(−4)+1∙𝑏2 3
2∙(−4)+1∙𝑐2 3
→
𝑎2 = 26
→
𝑏2 = −4
→
𝑐2 = 23
A képháromszög csúcsainak koordinátái: 𝐴′(26; 26), 𝐵′ (11; −4) és 𝐶 ′(2; 23). 12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 21. Milyen arányban osztja a 𝑷 (𝟑; 𝟏) pont az 𝑨𝑩 szakaszt, ha a szakasz végpontjai: 𝑨 (−𝟑; −𝟏) és 𝑩 (𝟏𝟐; 𝟒)? Megoldás: Az arány kiszámításához elegendő az osztópont első koordinátáját felhasználnunk: 3=
𝑛 ∙ (−3) + 𝑚 ∙ 12
→
𝑚+𝑛
3𝑚 + 3𝑛 = (−3)𝑛 + 12𝑚
→
𝑚 𝑛
2
=3
A második koordinátával ellenőrízhetjük a számításunkat. 1=
𝑛 ∙ (−1) + 𝑚 ∙ 4
→
𝑚+𝑛
𝑚 + 𝑛 = −𝑛 + 4𝑚
→
𝑚 𝑛
2
=3
Ezek alapján a 𝑃 pont 2 ∶ 3 arányban osztja az 𝐴𝐵 szakaszt.
22. Számítsd ki az 𝑨 (−𝟐; 𝟎), 𝑩 (𝟓; 𝟒) és 𝑪 (𝟏; −𝟏) pontok által meghatározott háromszög súlypontjának koordinátáit! Megoldás: Az 𝐴𝐵𝐶 ∆ súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a képlet segítségével: 𝑆 (
−2 + 5 + 1 3
;
0 + 4 + (−1) 3
)
→
4
𝑆 (3 ; 1)
23. Az 𝑨𝑩𝑪 háromszög 𝑪 csúcsa az ordinátatengelyre, az 𝑺 súlypontja az abszcisszatengelyre esik. Határozd meg a 𝑪 és 𝑺 pontok koordinátáit, ha a háromszög másik két csúcsa 𝑨 (𝟒; −𝟏) és 𝑩 (𝟓; 𝟑)! Megoldás: Mivel a 𝐶 pont illeszkedik az 𝑦 - tengelyre, így koordinátákkal felírva: 𝐶 (0; 𝑦). Mivel az 𝑆 pont illeszkedik az 𝑥 - tengelyre, így koordinátákkal felírva: 𝑆 (𝑥; 0). A hiányzó koordinátákat a súlypont segítségével számíthatjuk ki: 𝑥=
4+5+0
0=
−1 + 3 + 𝑦
3
3
=3
→
𝑦 = −2
Ezek alapján a keresett pontok koordinátái: 𝐶 (0; −2) és 𝑆 (3; 0). 13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 24. Adott egy háromszög 𝑨 (𝟓; −𝟐) és 𝑩 (−𝟑; 𝟑) csúcsa, továbbá az 𝑺 (𝟒; −𝟕) súlypontja. Számítsd ki a háromszög hiányzó csúcsának koordinátáit! Megoldás: A 𝐶 csúcs koordinátáit a súlypont koordinátáinak segítségével számíthatjuk ki:
4=
5 + (−3) + 𝑐1
→
3
𝑐1 = 10
−7 =
−2 + 3 + 𝑐2 3
→
𝑐2 = −22
Ezek alapján a háromszög harmadik csúcsának koordinátái: 𝐶 (10; −22).
25. Határozd meg az 𝑨𝑩𝑪 háromszög 𝑨𝑩 oldalának felezőpontját, ha adott a 𝑪 csúcsa és az 𝑺 súlypontja: 𝑪 (−𝟏; 𝟏) és 𝑺 (𝟏; 𝟐)! Megoldás: Mivel a súlypont a súlyvonalnak a háromszög csúcsától távolabbi harmadoló pontja, így felírhatjuk a következőket:
1=
1 ∙ (−1) + 2 ∙ 𝑓1
→
3
𝑓1 = 2
2=
1 ∙ 1 + 2 ∙ 𝑓2
→
3
5
𝑓2 = 2
5
Ezek alapján az 𝐴𝐵 oldal felezőpontjának koordinátái: 𝐹𝐴𝐵 (2; 2).
⃗⃗ (−𝟐; 𝟑), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 26. Az 𝑨𝑩𝑪 háromszög 𝑨 csúcsának helyvektora 𝒂 𝑨𝑩 = 𝟕𝒊⃗ − 𝟐𝒋⃗ és ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑪𝑩 = 𝟑𝒊⃗ − 𝟔𝒋⃗. Számítsd ki a háromszög csúcsainak és súlypontjának koordinátáit! Megoldás: Az 𝑎⃗ helyvektor alapján az 𝐴 csúcs koordinátái: 𝐴 (−2; 3). A bázisvektorokkal adott vektorok koordinátái: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (7; −2) és ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 (3; −6). Az ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 vektor alapján a 𝐵 csúcs koordinátái: 𝐵 (−2 + 7; 3 − 2)
→
𝐵 (5; 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektor alapján a 𝐶 csúcs koordinátái: 𝐶 (5 − 3; 1 + 6) A 𝐶𝐵
→
𝐶 (2; 7)
A háromszög súlypontjának koordinátáit megkaphatjuk a megfelelő képlet segítségével: 𝑆 (
−2 + 5 + 2 3 + 1 + 7 3
;
3
)
→
5 11
𝑆 (3 ;
3
).
14
