Trigonometria I A hegyes szögű definíciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Koszinus nak nevezzük a szög melletti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). A szög tangensének nevezzük a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát (arányát). Kotangens nak nevezzük a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó hányadosát (arányát). A nevezetes szögek szögfüggvényei: 30o
45o
60o
sin
1 2
2 2
cos
3 2
2 2
3 2 1 2
tg
3 3
1
3
ctg
3
1
3 3
A derékszögű háromszögek segítségével megoldható feladatok: 1. Milyen magas az a lejtő, amely 10°-os hajlásszögű és 2 km hosszú? Milyen hosszú a lejtő alapja? 2. Egy 100 m magas lejtő hajlásszöge 8o. Milyen hosszú a lejtő? Mekkora az alapja? 3. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 8 cm. Mekkorák a szögei? 4. Egy egyenlő oldalú háromszög magassága 6 cm. Mekkora az oldala? Mekkora a kerülete és a területe? 5. Egy háromszög oldalai 8 cm hosszúak. Mekkora a területe? 6. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 8 cm, és az alapon fekvő szögei 50 fokosak. Mekkorák a szárai? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkora a szárszöge? 7. Egy téglalap oldalai 15 és 20 cm hosszúak. Mekkora szöget zár be az átló a hosszabbik oldallal?
8. Egy téglalap oldalai 15 és 20 cm hosszúak. Mekkora az átlók hajlásszöge? 9. Egy 5 cm-es oldalú rombusz egyik szöge 70o. Mekkorák az átlói? Mekkora a területe? Mekkora a másik szöge? 10. Egy szimmetrikus trapéz alapon fekvő szögei 70 fokosak. A hosszabbik alapja 20 a rövidebbik alapja 12 cm hosszú. Mekkorák a szárai? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkorák a szögei? 11. Milyen messze van tőlünk az a 15 m magas épület, amely 5°40' emelkedési szögben látszik? A teodolit állványának a magassága 1,5 m. 12. 35 m távolságból egy épület egyik ablakának felső párkánya 40 o 2’, az alsó párkánya 38o22’ emelkedési szögben látszik. Milyen magas az ablak? 13. Egy hegy csúcsát a vízszintes terep egy pontjából , majd d m-t távolodva emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegy? Mekkora e magasság, ha d = 200m, = 42°, = 33°? 14. Milyen magas az a hegy, amelyen álló h méter magas torony talppontját a vízszintes terepről , tetőpontját szögben látjuk? Határozza meg a hegy magasságát, ha h = 23m, = 13,2°, =13,6°! 15. Milyen hosszú az a híd, amelynek két végpontja a híd irányában lévő 53 m magasságú helyről 6,3 °-os, illetve 8,9°-os depressziós szögben látszik? (A depresszió szöge a vízszintestől mért lehajlás szöge.) 16. Egy derékszögű háromszög átfogója 15 cm, beírt körének sugara 3 cm. Mekkorák a befogói és hegyesszögei? 17. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2 cm, körülírt körének sugara 5 cm. Mekkorák a háromszög oldalai és hegyesszögei? 18. Két kör sugara 4,2 cm, illetve 2,6 cm. A közös külső érintők hajlásszöge 33°. Mekkora a közös külső érintőnek az érintési pontok közé eső szakasza? Mi állapítható meg a két kör kölcsönös helyzetéről? 19. Mekkorák annak a szimmetrikus trapéznak a szögei és oldalai, amelybe 6 cm átmérőjű kör írható, és a hosszabbik alapja 10 cm? 20. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 2,5 dm, a beírt kör sugara 0,9 dm. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei? Kiterjesztés a teljes szögtartományra Def.: Egy tetszőleges szög szinuszán az egységkör forgásszögű pontjának a második koordinátáját értjük. Def.: Egy tetszőleges szög koszinuszán az egységkör forgásszögű pontjának az első koordinátáját értjük.
A tangens és a kotangens függvényeket a már ismert összefüggés alapján definiáljuk: tg :
sin cos
ctg :
cos sin
A szögfüggvényekre vonatkozó Pitagorasz-tétel: Tétel: Ha bármely szög szinuszát és koszinuszát négyzetre emeljük, és a négyzeteket összeadjuk, akkor egyet kapunk. R sin2 cos2 1 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2
Kikeresés: sin 120o = sin (180o 120o ) = sin 60o =
3 2
cos 225o = cos (225o 180o ) = cos 45o =
2 2
tg 120 tg 60 3 ctg 225o = ctg (225o 180o ) = ctg 45o = 1
Feladatok: sin 120o = sin 210o = sin 315o = cos 150o = cos 225o = cos 300o =
tg 135o =
c tg 225o = tg 315o =
ctg 120o =
A szögfüggvények ábrázolása és elemzése: A szinusz függvény
Df R
R f 1;1 ZH : 0 n 180 k;n Z P 360o 2 rad Sz.é. : min 270 k 360; 1 max 90 k 360; 1 SZMN : 90 k 360; 90 k 360 SZMCS : 90 k 360; 270 k 360 páratlan fv.
/ sin x sin x /
A koszinusz függvény
Df R
R f 1;1 ZH : 90 n 180 k;n Z P 360o 2 rad Sz.é. : min 180 k 360; 1 max 0 k 360; 1 SZMN : 180 k 360; 360 k 360 SZMCS : 0 k 360; 180 k 360 páros fv.
A tangens függvény
/ cos x cos x /
ÉT : x 90 k 180
kZ
ÉK : R ZH : x 0 k 180 Sz.é. : P : 180 SZMN : 90 k 180 x 90 k 180 páratlan
A kotangens függvény
ÉT : x 0 k 180
kZ
ÉK : R ZH : x 90 k 180 Sz.é. : P : 180 SZMCS : 0 k 180 x 180 k 180 páratlan
Függvény transzformációk Alapfüggvény: f(x) 1. f(x)+c
2. – f(x) 3. c· f(x)
4. f(x+c)
cR+ Minden helyen c-vel növekedik a függvény értéke, ezért az f(x) függvény grafikonját c-vel feltoljuk az y tengely mentén. Minden helyen ellentettjére változik a függvény értéke, ezért az f(x) függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre. Minden helyen c- szeresére nő a függvény értéke, ezért az f(x) függvény grafikonját c- szeresére nyújtjuk az y tengely mentén. Ez a függvény c-vel kisebb helyen veszi fel ugyanazt az értéket, mint amit az f(x) függvény az x helyen felvesz. Ezért az f(x) grafikonját el kell tolni c-vel balra az x tengely mentén.
Ez a függvény ellentett helyen veszi fel ugyanazt az értéket, mint amit az f(x) függvény az x helyen felvesz. Ezért az f(x) grafikonját tükrözzük az tengelyre. Ez a függvény c-szer kisebb helyen veszi fel ugyanazt az értéket, mint amit az f(x) függvény az x helyen felvesz. Ezért az f(x) grafikonját 1/cszeresére nyújtjuk az x tengely mentén.
5. f(–x)
6. f(c·x)
7. f(c·x+a)
A x grafikonját 2-vel balra toljuk, és az x =–2 egyeneshez a felére zsugorítjuk az x tengely mentén.
f(x) 2x 4 2 x 2
Visszakeresés: 1 2 x1 30 k 360 sin x
x 2 150 l 360
cos
l,k Z
1 2
0 60 1 180 60 k 360 120 k 360 2 60 180 l 360 240 l 360 k; l Z Ell. : cos 120 cos 60 0, 5
Trigonometrikus egyenletek 1. Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! sin x(cos x + 1) =0 2
3sin x – 2 sin x – 1 = 0
cos 2x
1 2
2
cos x – 2cos x – 1 = 0
2
sin2 x
x 1 2 2
sin2 x cos2 x
cos x – cos x = 0 cos x – 2 sin x + 1 = 0
ctg
2
1 4
2
2sin x – 3cos x – 2 = 0
cos2 x
3 4
sin x = tg x
Trigonometrikus egyenlőtlenségek 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! cos x
1 2
1 2 60 l 360 x 300 l 360 l Z cos x
2. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! sin x > 0 tg x < 0
sin x 0
cos x 0
cos x < 0
tg x 0
ctg x > 0
ctg x 0
tg x = ctg x
cos x
1 2
cos x
sin x
2 2
cos x
3 2
sin x
2 2
tg x 1
1 2
sin x
3 2
ctg x 1
