Fejezet tartalma
Vissza
186
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
VIII. A
TRIGONOMETRIA ELEMEI
VIII.1. Szögek mérése Az eddigi tanulmányaitok során a szögek mérésére a fokot és annak törtrészeit használtátok. Így a teljes szög mértéke 360o . Ez azt jelenti, hogy az O középpontú kört 360 részre osztjuk és egy résznek megfelelő szög mértékét választjuk egységnek (ez az 1o -os szög). Az 1o -os szög hatvanad részét nevezzük percnek (jelölése 1′ ) és az 1′ hatvanad részét nevezzük másodpercnek (jelölése 1′′ ). Így érvényesek az alábbi átalakítási szabályok: 1o = 60′ ; 1′ = 60′′ . A technikában és a katonai méréseknél használnak más mértékegységeket is. A matematikában leggyakrabban a radián használatos, amelyet a következőképpen értelmezünk: 1.1. Értelmezés. Annak a középponti szögnek a mértéke 1 radián (1 rad), amelynek a szárai közé eső körív hossza egyenlő a kör sugarával. 1.2. Megjegyzés. Egységnyi sugarú körön az egységnyi hosszúságú ívnek megfelelő középponti szög 1 rad. Mivel a kör kerülete 2πR , ezért a 360o -os szögnek 2π rad felel meg. Így az 1o -os szög ugyanaz, mint a
π 180
rad szög. Ez megadja a két mértékegység közti átszámolást. A továbbiakban a BAC
(
)
fokban vagy radiánban mért mértékét m BAC -vel jelöljük. Ha fokokban adjuk meg egy szög mértékét mindig kitesszük a „°” jelet, míg ennek hiánya azt jelenti, hogy a szög mértéke radiánban
(
)
van kifejezve. Így a m BAC =
π
3
(
)
és m BAC = 60o ugyanazt jelentik.
VIII.1.1. Gyakorlatok 1. Hány fokosak az alábbi szögek? 2π 5π 4π π π π π 3π π π a) π ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; 3 6 3 6 3 90 15 2 4 2 2. Fejezd ki radiánban az alábbi szögek mértékét: a) 30o ; b) 15o ; c) 22o30′ ; d) 11o15′ ; e) 75o ;
f) 18o ;
g) 72o ;
l)
2π . 9
h) 126o ; i) 529o .
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
187
VIII.2. Hegyesszögek szinusza, koszinusza, tangense és kotangense A hasonlóság tanulmányozásánál láttátok, hogy ha az OAB és OA1 B1 derékszögű háromszögek AB OB OA ( m( A ) = m( A1 ) = 90o ) hasonlók, akkor . Így = = VIII. 1. ábra A1 B1 OB1 OA1 B1 AB A1 B1 = , tehát egy derékszögű háromszögben egy hegyesszöggel B OB OB 1
szemben fekvő befogó és az átfogó aránya csak a szög mértékétől függ (és O
A
nem az oldalak hosszától). Ezt az arányt az AOB szinuszának* nevezzük és
A1
(
)
sin AOB -vel jelöljük. Tehát, ha α egy derékszögű háromszög egy
hegyesszöge, akkor
sin α =
szöggel szemben fekvő befogó . átfogó
Hasonlóan értelmezzük az α szög koszinuszát (jelölés cosα ), tangensét ( tg α ) és kotangensét ( ctg α ): cos α =
szög mellett fekvő befogó ; átfogó
tg α =
szöggel szemben fekvő befogó ; mellette fekvő befogó
szög mellett fekvő befogó . szemben fekvő befogó Az előbbi mennyiségek csak az α szög mértékétől függnek, ezért szögfüggvényekként emlegetjük. ctg α =
2.1. Feladat. Fejezzük ki a tg α -t és ctg α -t a sin α és cosα segítségével. VIII. 2. ábra
B
Megoldás. Az ábra jelölései alapján sin α =
AB OA és cosα = , tehát OB OB
AB = OB ⋅ sin α és OA = OB ⋅ cos α . AB OB ⋅ sin α sin α Így tg α = = = és OA OB ⋅ cos α cos α α OA OB ⋅ cos α cos α O = = . ctg α = A AB OB ⋅ sin α sin α Érvényesek tehát a következő összefüggések: sin α π 1 cosα π tg α = , ∀α ∈ 0, ctg α = = , ∀α ∈ 0, és . cosα 2 tg α sin α 2 2.2. Feladat. A derékszögű háromszög oldalaira érvényes Pitagorász tétele. Vizsgáljuk meg, hogy a Pitagorász tétel hogyan fogalmazható meg a szögfüggvények segítségével. *
A szögek szinuszát először Al-Battani (879 – 918) arab matematikus használta, a jelölés T. Fink angol matematikustól származik 1583-ból.
Fejezet tartalma
188
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei 2
2
OA AB Megoldás. A VIII.2. ábra jelölései alapján OA2 + AB 2 = OB 2 (*), tehát = 1 . Az + OB OB
eddigi értelmezések alapján sin 2 α + cos 2 α = 1 . A (*) összefüggést eloszthattuk volna OA2 -tel vagy AB 2 -tel is, így más összefüggésekhez is juthatunk: 2
2
2
2
1 1 OB OB AB OA 2 2 1+ és . , tehát 1 + tg α = , tehát 1 + ctg α = = +1 = 2 cos α sin 2 α OA AB OA AB
π Az előbbi feladat alapján bármely α ∈ 0, esetén érvényes az alábbi három összefüggés: 2 1 + tg 2 α =
sin 2 α + cos 2 α = 1
1 cos 2 α
1 + ctg 2 α =
1 sin 2 α
VIII.2.1. Gyakorlatok 1. Számítsd ki a következő szögek szögfüggvényeit: a) 30o ; b) 60o ; c) 45o . 2. Bizonyítsd be, hogy: a) sin α = cos 90o − α , ∀α ∈ 0, 90o ; b) cosα = sin 90o − α , ∀α ∈ 0, 90o ;
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
∀α ∈ 0, 90o ; d) ctg α = tg 90o − α , ∀α ∈ 0, 90o . c) tg α = ctg 90o − α , 3. Írd át szögfüggvényekre a befogó tételt és a magasság tételt. 4 4. Az A -ban derékszögű ABC háromszögben sin C = és az AB befogó hossza l . Számítsd ki 5 a többi oldal hosszát és a C szög szögfüggvényeit. AB arány? 5. Az ABC derékszögű háromszögben az egyik szög a másik kétszerese. Mennyi lehet az BC
VIII.2.2. Feladatok 1. Bizonyítsd be, hogy ha AA′ ( A′ ∈ ( BC ) ) az ABC háromszög A szögének belső szögfelezője, BA′ AB akkor = . A′C AC 2. Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög A szögének AA1 szögfelezőjére igaz az A 2bc cos összefüggés, ahol b =| AC | és c =| AB | . b+c 2 3. Bizonyítsd be, hogy az ABC hegyesszögű háromszögben a = b cos C + c cos B .
| AA1 |=
4. Bizonyítsd be, hogy a) sin x < x < tg x ,
x π π ∀x ∈ 0, ; b) sin x ≥ , ∀x ∈ 0, . 2 2 2 1+ x
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei 5. Bizonyítsd be, hogy ha a, b ∈
189 π és létezik x ∈ 0, úgy, hogy a sin x + b cos x > 2 , akkor 2
a 2 + b2 > 4 .
VIII.3. Összeg és különbség trigonometrikus függvényei 3.1. Feladat. Fejezd ki a sin (x + y ) -t és cos(x + y ) -t az x és y szögfüggvényei segítségével, π π x, y ∈ 0, és x + y ∈ 0, . 2 2
(
)
Megoldás. Szerkesszük meg az ABC derékszögű háromszöget, amelyben m ACB = 90o és
(
VIII. 3. ábra D
F
A
y x
)
m BAC = x . Az AB átfogóra szerkesszük meg az ABD derékszögű B
(
(
)
ED AE és arányokat kellene AD AD kiszámítanunk, ahol E a D pont AC -re eső vetülete. Ha | AC |= r , akkor az
ábrát). Így a DAC mértéke x + y , tehát E
C
ABC∆ -ben AD =
)
háromszöget, amelyben m ABD = 90o és m BAD = y (lásd a mellékelt
BC = r tg x
és
AB =
r , cos x
tehát
az
ABD∆ -ben
r AB r = és BD = AB tg y = tg y . cos x cos y cos x cos y
De AE = AC − EC és
(
)
r sin x sin y π EC = FB = BD cos FBD = BD cos − x = BD sin x = . tg y sin x = r 2 cos x cos x cos y
Így
sin x sin y r 1 − cos x cos y AE cos(x + y ) = = cos x cos y − sin x sin y és = r AD cos x cos y DE BC + BF r tg x + BD cos x tg x + tg y sin (x + y ) = = = = = 1 AD AD AD cos x cos y
sin x sin y cos x cos y = sin x cos y + cos x sin y . = + cos x cos y DE tg x + tg y Az előbbi ábra jelölései alapján tg (x + y ) = és = AE 1 − tg x tg y
Fejezet tartalma
190
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
1 1 ⋅ AE 1 − tg x tg y ctg x ctg y ctg x ctg y − 1 = = . ctg(x + y ) = = 1 1 DE tg x + tg y ctg x + ctg y + ctg x ctg y Az előbbiek alapján kijelenthetjük a következő tételt: 1−
π 3.2. Tétel. Bármely x, y, x + y ∈ 0, esetén 2 cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y tg (x + y ) =
sin (x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
tg x + tg y 1 − tg x tg y
ctg(x + y ) =
3.3. Feladat. Számítsuk ki sin (x − y ) -t és cos(x − y ) -t az x és y
ctg x ctg y − 1 ctg x + ctg y
E
π szögfüggvényei segítségével, ha x, y, x − y ∈ 0, . 2
(
)
Megoldás. Az ABC háromszögben | AB |= r , m ABC = 90o és
( ) m ( DAB ) = y
A
m BAC = x . Felvesszük a D ∈ (BC ) és E ∈ ( AC ) pontokat úgy, hogy
(
)
(
)
és m DEA = 90o . Így m DAC = x − y és sin (x − y ) =
C D
x-y y
B
VIII. 4. ábra
ED r . De AD = , cos y AD
(
)
r . Az ECD derékszögű háromszögben m ECD = x , cos x tehát ED = DC cos x = (BC − BD )cos x = r (tg x − tg y )cos x . Ebből következik, hogy BD = r tg y , BC = r tg x és AC =
sin (x − y ) =
sin x sin y r cos x(tg x − tg y ) = sin x cos y − cos x sin y . = cos x cos y − r cos x cos y cos y
Hasonlóan r − CD sin x cos y AE AC − ED cos x − cos y sin x(tg x − tg y ) = cos(x − y ) = = = = r cos x AD AD cos y
=
sin x sin y cos y cos y sin 2 x = − cos y sin x − cos y + sin x sin y = − cos x cos x cos x cos x cos y
=
cos y 1 − cos 2 x − cos y + sin x sin y = cos x cos y + sin x sin y . cos x cos x
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
191
sin x sin y cos x cos y − cos x cos y sin (x − y ) sin x cos y − cos x sin y tg x − tg y tg (x − y ) = = = = . cos(x − y ) cos x cos y + sin x sin y 1 + tg x tg y sin x sin y cos x cos y 1 + ⋅ cos x cos y 1 1 ⋅ 1+ 1 1 + tg x tg y ctg x ctg y ctg x ctg y + 1 = = = ctg(x − y ) = . 1 1 tg(x − y ) tg x − tg y ctg y − ctg x − ctg x ctg y Érvényes tehát a következő tétel: π 3.4. Tétel. Ha x, y ∈ 0, és x > y , akkor 2 sin (x − y ) = sin x cos y − cos x sin y cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y tg x − tg y ctg(x − y ) = 1 + tg x tg y 3.5. Feladat. Az előbbi összefüggések segítségével vezessünk kifejezésekre (feltételezzük, hogy minden egyes összefüggésben x amelyben a kifejezések értelmezettek) tg (x − y ) =
ctg x ctg y + 1 ctg y − ctg x le képletet a következő olyan tartományban van
x x ; i) cos . 2 2 Megoldás. A 3.2. tétel összefüggéseibe y = x -et helyettesítve az a), b), c) és d) pontoknál kapjuk: a) sin 2 x = sin (x + x ) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x .
a) sin 2 x ; b) cos 2 x ;c) tg 2 x ; d) ctg 2 x ;e) sin 3x ; f) cos 3x ; g) tg 3x ; h) sin
b) cos 2 x = cos(x + x ) = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 .
(A második két eredményt a sin 2 x + cos 2 x = 1 összefüggés felhasználásával kaptuk.) ctg 2 x − 1 2 tg x . d) ctg 2 x = ctg(x + x ) = . c) tg 2 x = tg (x + x ) = 2 1 − tg x 2 ctg x e) sin 3 x = sin (2 x + x ) = sin 2 x cos x + cos 2 x sin x =
(
)
((
)
(2 sin x cos x )cos x +
(
sin x 1 − 2 sin 2 x
)
2
2
2
f) cos 3 x = cos(2 x + x ) = cos 2 x cos x − sin 2 x sin x =
(
(
))
(
)
=
) ( ) (2 cos x − 1)cos x − (2 sin x cos x )sin x =
= sin x 2 cos x + 1 − 2 sin x = sin x 2 1 − sin x + 1 − 2 sin x = sin x 3 − 4 sin x = 3 sin x − 4 sin x . 2
2
3
2
= cos x 2 cos 2 x − 1 − 2 1 − cos 2 x = cos x 4 cos 2 x − 3 = 4 cos3 x − 3 cos x . 2 tg x + tg x tg 2 x + tg x 3 tg x − tg 3 x 1 − tg 2 x = = . g) tg 3x = tg(2 x + x ) = 2 tg x 1 − tg 2 x tg x 1 − 3 tg 2 x 1− ⋅ tg x 1 − tg 2 x h) A b) pontban levezetett egyenlőségek alapján x x x 1 + cos x x 1 − cos x x cos x = cos 2 ⋅ = 2 cos 2 − 1 = 1 − 2 sin 2 . Innen cos = és sin = . 2 2 2 2 2 2 2
Fejezet tartalma
192
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
Az előbbiek alapján érvényes a következő tétel: π 3.6. Tétel. Tetszőleges x ∈ 0, esetén 2 π ha 2 x ∈ 0, ; 2 π cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 , ha 2 x ∈ 0, ; 2 2 tg x π tg 2 x = , ha 2 x ∈ 0, ; 2 1 − tg x 2 2 ctg x − 1 π ctg 2 x = , ha 2 x ∈ 0, ; 2 ctg x 2 π sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x , ha 3x ∈ 0, ; 2
sin 2 x = 2 sin x cos x ,
π ha 3x ∈ 0, ; 2
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x , tg 3x =
3 tg x − tg 3 x
π ha 3x ∈ 0, ; 2
1 − 3 tg x 2
x x 1 + cos x 1 − cos x = sin = . 2 2 2 2 3.7. Alkalmazások 1. Számítsuk ki a 15o -os szög és a 22o30′ mértékű szög szögfüggvényeit.
cos
Megoldás.
30o 1 − cos 30o sin 15o = sin = = 2 2 30o 1 + cos 30o cos15 = cos = = 2 2 o
tg 15o =
sin 15o = cos15o
1− 2 1+
2
2− 3 = 2
3 2 =
6− 2 ; 4
2+ 3 = 2
2− 3 = 2− 3 ; 2+ 3
45o 1 − cos 45o sin 22o30′ = sin = = 2 2 45o 1 + cos 45o cos 22 30′ = cos = = 2 2 o
3 2 =
1− 2
2 2 =
1+ 2
2 2 =
2− 2 ; 2 2+ 2 ; 2
6+ 2 ; 4
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei tg 22o30′ =
sin 22o30′ = cos 22o30′
193 2− 2 2− 2 = = 2 −1 . 2+ 2 2
2. Számítsuk ki a 75o -os szög szögfüggvényeit. 2 3 1 6+ 2 + = ; 2 2 2 4 2 3 1 6− 2 − ; = cos 75o = cos 45o + 30o = cos 45o cos 30o − sin 45o sin 30o = 2 2 2 4 sin 75o 6+ 2 C D tg 75o = = = 2+ 3. o cos 75 6− 2 M N P Megjegyzés. Látható, hogy sin 75ο = cos15o és cos 75ο = sin 15o . 3. Az ABCD négyzet belsejében vegyük fel az M pontot úgy, hogy A B
(
)
(
)
Megoldás sin 75o = sin 45o + 30o = sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o =
(
) (
)
m MBC = m MCB = 15o legyen. Bizonyítsuk be, hogy az MAD∆ egyenlő oldalú.
VIII. 5. ábra
Bizonyítás. A feltételek alapján az MBC∆ egyenlő szárú, tehát az MAD∆ is az. Ha N és P az M pont BC illetve AD szakaszokra eső vetülete és l a négyzet oldalának hossza, akkor MN l l 3 l 3 = tg 15o = 2 − 3 , tehát MN = 2 − 3 és így MP = l − l + = . Tehát 2 2 NC 2 MP l 3 l = = 3 , innen m MDA = 60o . Eszerint az MAD∆ egyenlő oldalú. tg MDP = 2 2 PD 4. Az ABC derékszögű háromszög AB és AC befogóján vegyük fel az M és N pontokat. Bizonyítsuk be, hogy AB ⋅ AM + AC ⋅ AN ≤ BC ⋅ MN . (*)
(
(
)
(
)
)
Bizonyítás. A bizonyítandó egyenlőtlenséget elosztjuk BC ⋅ MN -nel és jelöljük az NMA és CBA szögek mértékét α -val és β -val. C N
Így
VIII. 6. ábra
(*)
⇔
cos β cos α + sin β sin α ≤ 1 α A
π
β B
M
cos x ∈ (0, 1) ∀x ∈ 0, 2 egyenlőtlenséget igazoltuk.
AB AM AC AN ⋅ + ⋅ ≤1 BC MN BC MN ⇔ cos(| α − β |) ≤ 1 .
esetén,
következik,
5. Határozzuk meg a
1 − x 2 = 4 x 3 − 3x irracionális egyenlet egy pozitív megoldását.
Megoldás.
x = cosα
Az
jelöléssel
a
⇔ Mivel
hogy
1 − cos 2 α = 4 cos3 α − 3 cosα
az
⇔
π π sin α = cos 3α = sin − 3α egyenlethez jutunk. Ennek egy megoldása a α = − 3α egyenlet 2 2 π π π megoldása, amelyre α , 3α , − 3α ∈ 0, . α= 8 2 2
Fejezet tartalma
194
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei π
2+ 2 = cos 22o30′ = . 8 2 6. Számítsuk ki a 18o -os, 72o -os és 54o -os szögek szögfüggvényeit. Megoldás. Tekintsük azt az ABC háromszöget, amelyben VIII. 7. ábra A o m ABC = m ACB = 72 . (VIII.7. ábra) Így m BAC = 36o és a C
Tehát az eredeti egyenlet egy megoldása az x = cos
(
36
) (
)
(
)
CD ( D ∈ ( AB)) szögfelezője két egyenlő szárú háromszögre bontja az
(
) (
)
(
) (
)
ABC∆ -et. ( m DCA = m DAC = 36o és m BDC = m DBC = 72o ).
D
BD BC = . BC AC 6 3 BD AB − AD AB − AD 1 1− x AD 72 = = = −1 = Tehát ha x = , akkor , B C BC BC AD x x AB BD BC AD = = = x (felhasználtuk, hogy AD = BC és AC = AB ). ugyanakkor BC AC AB
Az ABC∆ és CDB∆ hasonlósága alapján
36
72
A fentiek alapján
1− x −1+ 5 = x ⇔ x 2 + x − 1 = 0 , tehát x = . x 2 x 5 −1 BC AB = = 2 2 4
De cos 72o = sin18o =
2
5 −1 = 10 + 2 5 *. és így sin 72 = cos18 = 1 − 4 4 o
o
Hasonlóan α
O2 r A
sin 54o = cos36o =
O
5 +1 AC AD = 2 4
és
10 − 2 5 . 4 C 7. Számítsuk ki az r és R sugarú külső érintő körök R VIII. 8. ábra közös érintői által bezárt szög szinuszát az r és R B függvényében. Megoldás. A VIII.8. ábra jelöléseit használjuk. Ekkor | O1O2 |= R + r és | O1C |= R − r , tehát O1
| AB |=| O2C |= cos
*
α 2
=
cos 54o = sin 36o =
(R + r )2 − (R − r )2
= 2 Rr . Így sin
α 2
=
O1C R−r = és O1O2 R + r
α α 4(R − r ) Rr O2C 2 Rr , tehát sin α = 2 sin cos = . = 2 2 O1O2 R+r (R + r )2
Eukleidész Elemek című művének IV. könyvében a 10. tulajdonság.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
195
VIII.4. Összegnek szorzattá és szorzatnak összeggé való alakítása* A 3.2. és 3.4. tételek alapján ha a sin (x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x − y ) = sin x cos y − cos x sin y ,
és
egyenlőségek megfelelő oldalait összeadjuk illetve kivonjuk egymásból, akkor a következő azonosságokhoz jutunk: sin (x + y ) + sin (x − y ) = 2 sin x cos y
Az x + y = a és x − y = b jelöléssel x = sin a + sin b = 2 sin
sin (x + y ) − sin (x − y ) = 2 cos x sin y .(*)
és
a+b a−b és y = , tehát 2 2
a+b a −b cos 2 2
sin a − sin b = 2 cos
és
a+b a −b sin 2 2
Hasonló összefüggéseket igazolhatunk a koszinuszokra is. Ha a cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
és
egyenlőségek megfelelő oldalait összeadjuk, illetve kivonjuk egymásból, akkor a következő azonosságokhoz jutunk: cos(x + y ) + cos(x − y ) = 2 cos x cos y
cos(x + y ) − cos(x − y ) = −2 sin x sin y
és
Az x + y = a és x − y = b jelölés segítségével a+b a −b cos és 2 2 a+b a−b ⇔ cos b − cos a = 2 sin sin (**) alakba írhatjuk. 2 2
cos a + cos b = 2 cos cos a − cos b = −2 sin
a+b a −b sin 2 2
A (*) egyenlőségek a szorzat összeggé alakítását, míg a (**) egyenlőségek az összeg szorzattá alakítását mutatják.
VIII.4.1. Megoldott feladatok 1. Alakítsuk szorzattá a következő összeget: sin x + sin y + sin z − sin (x + y + z ) . x+ y x− y Megoldás sin x + sin y = 2 sin cos és 2 2 x+ y+z+z x+ y+z−z x+ y x+ y . sin z − sin (x + y + z ) = −2 cos sin = −2 cos z + sin 2 2 2 2
*
Mindvégig feltételezzük, hogy a megjelenő szögek a 0,
π
intervallumban vannak. 2
Fejezet tartalma
196
A trigonometria elemei sin x + sin y + sin z − sin (x + y + z )
Tehát
Tartalomjegyzék
=
2 sin
x+ y x− y x + y cos − cos z + 2 2 2
x+ y z+ y z+x x+ y y+z z+x ⋅ 2 sin sin = 4 sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 2. Számítsuk ki az S1 = cos a + cos(a + r ) + cos(a + 2r ) + ... + cos(a + nr ) és
s = 2 sin
S 2 = sin a + sin (a + r ) + sin (a + 2r ) + ... + sin (a + nr )
összegeket. Megoldás. A
2 cos(a + kr )sin
(2k + 1)r − sin a + (2k − 1)r egyenlőség alapján r = sin a + 2 2 2
r r r 3r r 2 sin S1 = sin a + − sin a − + sin a + − sin a + + 2 2 2 2 2 5r 3r + sin a + − sin a + + … + 2 2
(2n + 1)r − sin a + (2n − 1)r = sin a + 2 2
(2n + 1)r − sin a − r = 2 sin (n + 1)r cos a + nr . = sin a + 2 2 2 2
A
2 sin (a + kr )sin
r (2k − 1)r − cos a + (2k + 1)r egyenlőség alapján = cos a + 2 2 2
r 3r r r r 2 sin S 2 = cos a − − cos a + + cos a + − cos a + + 2 2 2 2 2 3r 5r + cos a + − cos a + + … + 2 2
(2n − 1)r − cos a + (2n + 1)r = cos a + 2 2
(2n + 1)r = 2 sin (n + 1)r sin a + nr . r = cos a − − cos a + 2 2 2 2 (n + 1)r cos a + nr (n + 1)r sin a + nr sin sin 2 2 2 2 és S = Tehát S1 = . 2 r r sin sin 2 2
=
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
197
VIII.5. Trigonometrikus függvények Látható, hogy az eddigi összefüggések mindegyikénél külön figyelmet igényelt, hogy a szögek a π 0, intervallumban legyenek. Ahhoz, hogy a sin x , cos x , tg x és ctg x kifejezéseket 2 π értelmezzük a 0, intervallumon kívüli értékekre is, jó volna, ha az eddigi összefüggések 2 érvényben maradnának*. Éppen ezért vizsgáljuk meg, hogy mi történne, ha az eddigi összefüggésekbe tetszőleges x és y értékeket helyettesítenénk. Világos, hogy ha a sin (x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y , cos(x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y és sin 2 x + cos 2 x = 1 egyenlőségek érvényesek tetszőleges x és y értékek esetén, akkor ebből következik, hogy a többi összefüggés is igaz (persze, ha a törtek nevezője nem nulla). Így a sin (x − x ) = sin x cos x − cos x sin x = 0 , cos(x − x ) = cos 2 x + sin 2 x = 1 , 2
2
2
2
π π π π 2 2 π π + sin + = sin cos + cos sin = =1, 4 4 4 4 2 2 4 4 π π π π 2 2 π π − cos + = cos cos − sin sin = =0 4 4 4 4 2 2 4 4 egyenlőségek alapján sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , sin kellene. Ugyanakkor
π 2
= 1 és cos
π 2
= 0 egyenlőségeknek teljesülniük
π π π sin + x = sin cos x + cos sin x = cos x és 2 2 2 π π π cos + x = cos cos x − sin sin x = − sin x 2 2 2
π is kellene teljesüljön. Ez csak akkor lehetséges, ha bármely x ∈ , π esetén 2 π π π π π sin x = sin + x − = cos x − = sin − x − = sin (π − x ) , 2 2 2 2 2 π π π π π cos x = cos + x − = − sin x − = − cos − x − = − cos(π − x ) . 2 2 2 2 2 Hasonló módon az előbbi egyenlőségek alapján 3π x ∈ π , esetén: sin x = − sin (x − π ) és cos x = − cos(x − π ) ; 2 *
Ez az elgondolás a „permanencia elv”-ként ismeretes.
Fejezet tartalma
198
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
3π x ∈ , 2π esetén: sin x = − sin (2π − x ) és cos x = cos(2π − x ) . 2 Belátható, hogy így sin 2π = 0 és cos 2π = 1 is szükséges és továbbá sin (x + 2π ) = sin x valamint
cos(x + 2π ) = cos x is kellene teljesüljön. Tehát lépésenként (a matematikai indukció módszerével)
értelmeznénk a sin x és cos x kifejezéseket tetszőleges x ∈ esetén illetve a tg x és ctg x kifejezést minden lehetséges x értékre. Így megkapnánk a valós számok halmazán értelmezett szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényt. Erre a kiterjesztésre szükségünk van, hisz nagyon egyszerű gyakorlati problémák vezetnek bonyolult függvénytani kérdésekhez a trigonometrikus függvényekkel kapcsolatban. Az előbb vázolt értelmezés eléggé nehézkes, ezért bemutatunk egy egyszerűbb módot, amely teljesíti az összes eddig felsorolt igényt. Ehhez szükségünk lesz a trigonometrikus körre. VIII.5.1. A trigonometrikus kör A síkban felvesszük az xOy koordinátarendszert. 5.1.1. Értelmezés. Azt az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen értelmezünk egy pozitív VIII. 9. ábra irányt (az óramutatók járásával ellentétes), trigonometrikus körnek nevezzük. y Minden valós számnak megfeleltethetünk egy pontot a trigonometrikus körön a következőképpen: I. ha α ∈ [0, 2π ) , akkor az α számnak az a B pont felel meg a körön, A x amelyre az AB körív mértéke α (pozitív körüljárási irányban). O II. ha α ∉ [0, 2π ) , akkor létezik és egyértelműen meghatározott a q ∈ és az r ∈ [0, 2π ) valós szám, amelyre α = 2π ⋅ q + r . Ebben az esetben az α -nak azt a B pontot feleltetjük meg, amelyre az AB körív mértéke (pozitív irányban) r. 5.1.2. Megjegyzés. Ez a megfeleltetés nem kölcsönösen egyértelmű. Bármely α valós számnak pontosan egy pont felel meg a körön, de a kör minden pontja végtelen sok valós számhoz tartozik. Például azt a B pontot, amelyre az AB körív pozitív irányban mért mértéke α , az összes α + 2kπ alakú valós számhoz rendeljük hozzá. Ha a számegyenest felcsavarnánk a kör kerületére úgy, hogy az origó az A pontba kerüljön, akkor éppen ezt a megfeleltetést kapnánk. 5.1.3. Gyakorlat. Ábrázold a trigonometrikus körön a következő valós számok képét: 3π 5π 7π 113π π π π π π π π 3π 5π 5π 7π , , , , , , , , , , − , , , , − , 0, π , 2π , 3π , 4π , 2 4 8 3 6 12 2 6 2 6 6 2 2 4 2 7π 5π 13π 233π 3π − , − , − , , − . 3 6 6 4 4 5.1.4. Értelmezés. Tekintsük az α valós számnak megfelelő M pontot a trigonometrikus körön. Az α valós szám szinuszán az M pont ordinátáját és a koszinuszán az M pont abszcisszáját értjük.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
199
5.1.5. Megjegyzések 1. Az értelmezés és a trigonometrikus kör illetve a valós számegyenes közti megfeleltetés alapján ha α tetszőleges valós szám, akkor sin α = sin (α − 2kπ ) és cosα = cos(α − 2kπ ) 2. Ha M (x, y ) az első negyedben van, akkor
M
cosα
sinα α
A
O
MM 1 OM 1 = OM 1 = x és sin α = = MM 1 = y , OM OM VIII. 10. ábra tehát az eddig használt értelmezéshez jutunk. π 3. Ha α ∈ , π , akkor az M (x, y ) pont Oy szerinti N szimmetrikusának koordinátái 2 N (− x, y ) és m( AON∠) = π − α , tehát cos α = − cos(π − α ) és sin α = sin (π − α ) .
cos α =
M(x, y)
M2
M1
O
α
π−α
α
VIII.11. ábra
N(-x, y)
sinα
M(x, y)
cosα
O
VIII.12. ábra
A π−α cos(π−α)
3π 4. Ha α ∈ π , , akkor az M (x, y ) pontnak az O szerinti szimmetrikusa N (− x, − y ) és 2 m( AON∠) = α − π . Így cosα = − cos(α − π ) és sin α = − sin (α − π ) . 3π 5. Végül ha α ∈ , 2π , akkor az M (x, y ) pont Ox szerinti szimmetrikusa N (x, − y ) és 2 m( AON∠) = 2π − α . Így cosα = cos(2π − α ) és sin α = − sin (2π − α ) .
VIII.13. ábra
cosα
α
α−π
O M(x, y)
sinα
A
cos(α−π)
sin(2π−α)
N(x,- y) A
α
N(-x,- y)
sin(α−π)
O sinα
2π−αcos( 2π−α)
VIII.14. ábra
cosα
M(x, y)
Az előbbi összefüggések alapján tetszőleges α ∈ [0, 2π ] valós szám szinusza és koszinusza π visszavezethető valamilyen ( α -tól függő) 0, -beli szög szinuszára vagy koszinuszára. 2 Ezeket az összefüggéseket nevezzük az első negyedre való visszavezetés képleteinek.
Fejezet tartalma
200
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
VIII.5.1.1. Megoldott gyakorlatok 1. Számítsuk ki a következő számok vagy szögek szinuszát és koszinuszát: 5π 4π a) 120o ; b) ; c) 210 o ; d) ; e) 300o ; 6 3 Megoldás
sin 120 o = sin 60 o N
M
a) 120o = 90o + 30o ,
)
sin 120o = sin 90o − 30o = sin 60o =
(
)
3 , 2
cos120o = − cos 90o − 30o = − cos 60o = −
30
cos120
1 . 2
o
5π π π = + , tehát 6 2 3 5π π 1 π π π π = sin + = sin − = sin = és sin 6 6 2 2 3 2 3
sin150o = sin30o
60 30
cos 150 o
1 és 2
3 . 2 4π 4π 3 π π = − sin = − d) = π + , tehát sin és 3 3 3 3 2 π 4π 1 cos = − cos = − . 3 3 2
30
cos 210 o
O
cos 30 o
sin 210o
M
VIII. 17. ábra
π 5π 3π 5π 23π 11π f) =π + =π + + = + ( 270o + 75o ), 12 12 2 12 2 12 π π 23π 2− 6 23π 2+ 6 tehát sin és cos . = − sin = = cos = 12 12 4 12 12 4 2. Számítsuk ki a következő számok szinuszát és koszinuszát: 10π 10π 23π a) ; b) ; c) − ; d) − 570o . 3 3 4
N
sin 60 o
cos300=cos60
3 és 2
60
1 . 2
N
sin 30 o 30
cos 300o = cos 60o =
cos 30 o
O
VIII. 16. ábra
cos 210o = − cos 30o = −
e) 300o = 270o + 30o , tehát sin 300o = − sin 60o = −
N
M
5π 6
5π 3 5π π .( ugyanaz, mint a 150o -os szög.) = − cos = − 6 6 2 6
c) 210o = 180o + 30o , tehát sin 210o = − sin 30o = −
o O cos 60
VIII. 15. ábra
b)
cos
60
(
23π . 12
f)
O 30
sin 300o
VIII. 18. ábra
M
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
201 VIII. 19. ábra
Megoldás
10π − 3
60
45
60
60 60
45
10π 3
a)
10π 1 π π π 10π 10π 3 π = 3π + = 2π + π + , tehát sin = − cos = − . = − sin = − és cos 3 3 2 3 3 2 3 3 3
b)
23π 2 2 π π 23π 3π 23π 3π π = 5π + = 4π + + , tehát sin = cos = = − sin = − és cos . 4 4 4 4 2 4 4 4 2 2
10π 2π π = −3π − = −4π + 3 3 3 2π 1 π = cos = − cos = − . 3 3 2
c) −
2π 3 π 10π tehát sin − = sin = = sin 3 3 2 3
(
)
d) − 570o = −2 ⋅ 360o + 150o , tehát sin − 570o = sin 150o =
(
10π és cos − = 3
)
1 3 és cos − 570o = cos150o = − . 2 2
VIII.5.2. Gyakorlatok és feladatok 1. Számítsd ki az alábbi értékeket: 10π π π 3π π + ; d) cos ; a) sin π + ; b) sin 2π − ;c) sin 3 6 3 2 12 g) sin
2001π 2002π ; h) cos ; i) sin kπ , k ∈ 3 3
; j) cos ( 2k + 1) π , k ∈
2. Számítsd ki cos t -t, ha 3 3π a) sin t = − és t ∈ , 2π ; 5 2 b) sin t =
e) cos
10 − 2 5 21π és t ∈ , 11π ; 4 2
54π ; 6
; k) sin
f) cos
57π ; 6
( 2k + 1)π , k ∈ 2
.
3. Számítsd ki sin t -t, ha 5 7π a) cos t = és t ∈ , 4π ; 13 2 b) cos t = −
2 9π és t ∈ , 5π ; 5 2
2 19π 47π − 6+ 2 c) cos t = − és t ∈ 9π , . és t ∈ 23π , . 7 2 4 2 4. A trigonometrikus kör segítségével határozd meg azokat az x ∈ valós számokat, amelyekre: 1 a) sin x = 0 ; b) sin x = 1 ; c) cos x = 0 ; d) cos x = −1 ; e) sin x = ; 2
c) sin t =
Fejezet tartalma
202 f) cos x = − 5.
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei 3 ; 2
g) sin x = cos x ;
2π 3π 4π 5π + sin + sin + sin =0. 3 3 3 3 * számokat, amelyekre 2π 3π 4π π kπ sin + sin + sin + sin + ... + sin = 0. 3 3 3 3 3
a) Bizonyítsd be, hogy sin
π
h) sin x + cos x = 1 ; i) sin x = − cos x .
3 b)Határozd meg azokat a k ∈
+ sin
6. Bizonyítsd be, hogy − 2 ≤ sin x + cos x ≤ 2 ,
∀x ∈
.
π 7. Hasonlítsd össze a sin x és sin y kifejezéseket, ha x, y ∈ 0, és x < y . Általánosítás. 2 π 8. Hasonlítsd össze a cos x és cos y kifejezéseket, ha x, y ∈ 0, és x < y . Általánosítás. 2 1 9. Bizonyítsd be, hogy sin 8 x + sin 8 y ≥ , ∀x ∈ . 8 10. Bizonyítsd be, hogy ha sin x + cos x ∈ , akkor sin n x + cos n x ∈ , ∀n ∈ * .
11. Bizonyítsd be, hogy | sin nx |< n sin x , ∀n ∈
*
π és x ∈ 0, esetén. 2
4 x2 + 8x + 8 egyenletet a valós számok halmazában. x +1 13. Az E ( x) = sin 2 x + cos 3x kifejezés esetén keresd meg azt a legkisebb, nullától különböző
12. Oldd meg az 5 − 3 sin x =
pozitív T számot, amelyre E ( x + T ) = E ( x)
∀x ∈
.
a − b sin x π 14. Bizonyítsd be, hogy ha a, b > 0 és x ∈ 0, , akkor ≥ a 2 − b2 . cos x 2
VIII.5.3. Trigonometrikus szögek tangense és kotangense 5.3.1. Értelmezés. Tetszőleges α ∈
esetén értelmezzük a sin α , ha cosα ≠ 0 és a tg α = cosα cosα , ha sin α ≠ 0 ctg α = sin α
kifejezéseket. π 5.3.2. Feladat. Szerkeszd meg α ∈ 0, esetén a tg α és ctg α értékeket a trigonometrikus 2 kör segítségével.
Fejezet tartalma
A trigonometria elemei
Tartalomjegyzék 203
Megoldás. A C(0,1) körön ( ) felvesszük az M x, y pontot úgy, y ctgα P ( ) = α legyen, ahol hogy m AOM ∠ B y M M A(0, 1) . A szinusz és a koszinusz tgα értelmezésében fontos volt, hogy a kör α MM 1 α O x sugara 1. A tg α = egyenlőség O M1 A x OM 1 alapján nem látható a tg α , de ha VIII. 20. ábra olyan törttel fejeznénk ki, amelynek a nevezője 1, akkor meglenne a kért ábrázolás. Emiatt például jobb lenne, ha az OA = 1 szakasz kerülne a nevezőbe. Ezt úgy érhetjük el, ha egy olyan derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek az egyik hegyesszöge ugyanaz az α , a mellette fekvő befogó pedig OA . Ehhez az A -ban érintőt húzunk a körhöz és OM -et AN = AN . meghosszabbítjuk amíg metszi ezt az érintőt az N pontban. Ekkor tg α = OA Hasonló módon a B(0, 1) pontban húzott érintő és az OM egyenes P metszéspontjára igaz a ctg α = BP egyenlőség. N
ctgα P
y
y B
α
α
M
O
x
O
VIII. 21. ábra
x M
tgα N
értelmezhető. Hasonlóan α ∈ {kπ
k∈
}
π Belátható, hogy α ∉ 0, esetén is az N és 2 P pontnak az AM és BP tengelyeken számolt sin α cosα koordinátája éppen a illetve a cosα sin α érték (ha létezik). π k ∈ , akkor cosα = 0 Ha α ∈ 2kπ ± 2 és OM párhuzamos az A -ban húzott érintővel, ezért ezekre az értékekre a tg α nem
esetén sin α = 0 és OM párhuzamos a B -ben
húzott érintővel, tehát a ctg α nem értelmezhető ezekre az α értékekre. Az eddigiek alapján az OM -nek az A illetve B pontban húzott érintőkkel való metszéspontjainak ordinátája valamint abszcisszája éppen tg α illetve ctg α . VIII.5.4. A trigonometrikus függvények tulajdonságai Az értelmezés alapján
sin ( x + 2π ) = sin x,
∀x ∈
,
cos ( x + 2π ) = cos x,
∀x ∈
.
Ezek az összefüggések a szinusz és koszinusz függvények periodikusságát fejezik ki. 2π mindkét függvény periódusa.
Fejezet tartalma
204
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
Az előbbiek alapján ha az M pont koordinátái (x, y ) , akkor az Ox szerinti N szimmetrikusának koordinátái (x, − y ) , tehát a szinusz és koszinusz értelmezése alapján cos(− α ) = cosα és sin (− α ) = − sin α ∀α ∈ . →
függvény páros és a sin :
függvény
VIII. 22. ábra sin α
cosα=cos(-α)
→
Így a cos : páratlan.
y M(x, y)
α
A O
x
−α
sin(− α ) = − sin α N(x, -y) A fentiek alapján elégséges a szinusz és a koszinusz függvények grafikus képét a [0, π ] intervallumon megszerkeszteni, mert a [−π , 0] intervallumhoz tartozó rész a szinusz esetén ennek O szerinti szimmetrikusa, míg a koszinusz esetén Oy szerinti szimmetrikusa. A következő táblázat alapján a
VIII.23. ábrán a sin : [ 0, π ] → hogy a sin : [ −π ,π ] →
Ezek alapján tg (x + 2π ) =
grafikus képe látható. Mivel a szinuszfüggvény páratlan azonnali,
grafikus képe a VII.24 ábrán látható.
x
0
π /6 π /4
sin x
0
1/ 2
π /3
2 /2
sin (x + 2π ) sin x = = tg x , ∀x ∈ cos(x + 2π ) cos x ctg(x + 2π ) =
3/2
π /2 1
π \ ( 2k + 1) 2
2π / 3
3π / 4
3/2
2 /2
5π / 6
π
1/ 2
0
k ∈ és
cos(x + 2π ) cos x = = ctg x , ∀x ∈ sin (x + 2π ) sin x
\ {kπ
k∈
},
π \ ( 2k + 1) k ∈ → R és ctg : \ {kπ k ∈ } → függvények is 2 periodikusak és 2π egy periódusuk. A trigonometrikus körről leolvasható, hogy a tg és ctg függvényeknek már π is periódusa, azaz
tehát
a
tg :
tg (x + π ) = tg x , ∀x ∈
π \ ( 2k + 1) 2
ctg(x + π ) = ctg x , ∀x ∈
\ {kπ
k ∈ és k∈
}.
Sőt belátható az is, hogy a sin és cos függvények legkisebb pozitív periódusa a 2π és a tg illetve ctg függvények legkisebb pozitív periódusa a π . Ezeket a periódusokat nevezzük főperiódusoknak. A periodicitást is felhasználva a sin : ábrán készítettük el.
→
függvény grafikus képét a VIII.25.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei y
205
VIII. 23. ábra 3 2 1 2
VIII. 24. ábra
1
1 y
2 2
π 2 π π π 6 4 3
π 2
2π 3π 5π 3 4 6
π 2
x -1
x
1 −5π
−4π
−3π
2π
−2π
3π
5π
4π
-1 VIII. 25. ábra
π A cos x = sin + x egyenlőség alapján a koszinusz függvény grafikus képe megkapható a 2
szinusz függvény grafikus képéből, ha ezt balra toljuk el az Ox -szel párhuzamos vektor mentén. (VIII.26. ábra)
π 2
hosszúságú
y 1
−3π
5π − 2
−2π −
3π 2
π − 2
π 2
-1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
VIII. 26. ábra
A grafikus kép alapján látható (és bizonyítható a trigonometrikus kör segítségével), hogy a sin : → [−1, 1] és cos : → [−1, 1] függvények nem injektívek, nem monotonok és szürjektívek. Mindkét függvény értelmezési tartománya leszűkíthető úgy, hogy bijektív π π függvényekhez jussunk. Így például a sin : − , → [−1, 1] és a cos : [0, π ] → [−1, 1] 2 2 leszűkítések bijektívek. A szinusz és koszinusz függvények tulajdonságai alapján érvényesek a tangens és kotangens függvények következő tulajdonságai is: A tangens függvény
Fejezet tartalma
206
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
a) páratlan: tg ( − x ) = − tg x,
∀x ∈
π \ ( 2k + 1) 2
k∈ ;
π π b) a − , intervallumon növekvő; 2 2 c) periodikus és főperiódusa π . A övetkező táblázatba foglalt értékeket ábrázoltuk, majd összekötöttük egy görbe vonallal. Így a π π VIII. 27. ábra tg : − , függvény grafikus képéhez jutottunk. y → 2 2 (VIII.27. ábra) −
x
π
−
3
tg x − 3
π 4
−1
−
π
−
6 3 3
−
π
0
8
1− 2
π
π
π
π
8
6
4
3
3 3
1
0
2 −1
π \ ( 2k + 1) 2 függvény grafikus képe a VIII.28. ábrán látható. Hasonló meggondolások alapján a ctg : \ {kπ
A periodicitás alapján a
tg :
3 π 3
π π π 4 6 8 ππ π π 86 4 3
π 2
π 2
x
k∈ → k∈
}→
függvény grafikus képe VIII.29. ábrán látható. y
−
5π 2
−2π − 3π 2
π 2
π 2
3π 2
2π
5π 2
VIII. 28. ábra
x
−2π
−
3π 2
π 2
VIII. 29. ábra
VIII.5.5. Gyakorlatok 1. Ábrázoljuk grafikusan a következő függvényeket: b) f : → a) f : → , f ( x) = 2 + sin x ; c) f : → , f ( x) = sin 2 x ; d) f : →
, f ( x) = 3 − cos x ; , f ( x) = 2 cos x ;
π 2
3π 2
2π
x
y
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei e) f :
→
, f ( x) =| sin x | ;
207 f) f :
π \ ( 2k + 1) 2
k∈ →
, f ( x) =| tg x | ;
π , f ( x) = cos x + ; h) f : → , f ( x) = sin (x − π ) . 2 2. A grafikus képek segítségével oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket: b) cos x > tg x . a) sin x > cos x ; g) f :
→
VIII.5.6. A trigonometrikus összefüggések kiterjesztése tetszőleges szögekre A szögfüggvények eddigi tulajdonságai alapján vizsgáljuk meg, hogy a sin (x − y ) = sin x cos y − cos x sin y összefüggés igaz-e tetszőleges x, y ∈ esetén. A periodicitás alapján feltételezhetjük, hogy x, y ∈ [0, 2π ] . A szinusz függvény páratlansága miatt x> y. (Ellenkező feltételezhetjük, hogy = −(sin y cos x − cos y sin x ) = sin x cos y − cos x sin y összefüggéshez.)
esetben a sin (x − y ) = − sin ( y − x ) = egyenlőségek alapján jutnánk a helyes
A következő esetek vizsgálata szükséges: π π 1. x ∈ , π és y ∈ 0, ; 2 2
3π π 2. x ∈ π , és y ∈ 0, ; 2 2
3π π 3. x ∈ , 2π és y ∈ 0, ; 2 2
π π 4. x ∈ , π és y ∈ , π ; 2 2
3π π 5. x ∈ π , és y ∈ , π ; 2 2
3π π 6. x ∈ , 2π és y ∈ , π ; 2 2
3π 3π 7. x ∈ π , és y ∈ π , ; 2 2
3π 3π 8. x ∈ , 2π és y ∈ π , ; 2 2
3π 3π 9. x ∈ , 2π és y ∈ , 2π . 2 2 π π 1. Mivel x ∈ , π , következik, hogy π − x ∈ 0, és tudjuk, hogy sin x = sin (π − x ) 2 2 valamint cos x = − cos(π − x ) , tehát sin x cos y − cos x sin y = sin (π − x )cos y + cos(π − x )sin y = = sin (π − x + y ) = sin (π − (x − y )) = sin (x − y ) . π (A π − x, y ∈ 0, értékekre alkalmaztuk az összeg szinuszára vonatkozó képletet) 2
Fejezet tartalma
208
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
3π π 2. Mivel x ∈ π , , következik, hogy x − π ∈ 0, 2 és tudjuk, hogy sin x = − sin (x − π ) , 2 cos x = − cos(x − π ) , tehát sin x cos y − cos x sin y = − sin (x − π )cos y + cos(x − π )sin y = sin y cos(x − π ) − cos y sin (x − π ) = sin ( y − x + π ) = sin (π − (x − y )) = sin (x − y ) . Hasonlóan igazolható a többi esetben is a kívánt egyenlőség. A y P tárgyalandó esetek nagy száma miatt egy rövidebb utat is vázolunk.
(
β−
β
Legyen 0 < α < β < 2π és M (cosα , sin α ) illetve N (cos β , sin β ) két pont a trigonometrikus körön (tulajdonképpen az α és β valós
N
)
számoknak megfelelő pontok). Mérjük fel az m AOP = β − α szöget pozitív trigonometrikus irányban, ekkor belátható, hogy a P
α
α
O
A x
M
pont koordinátái (cos(β − α ), sin (β − α )) . Az MON és AOP VIII. 30. ábra szögek kongruenciája alapján (mindkettő mértéke β − α ) [ AP] ≡ [MN ] , mint kongruens körívekhez tartozó húrok. De az analitikus geometriából tudjuk, hogy
(cosα − cos β )2 + (sin α − sin β )2 = cos 2 α − 2 cosα cos β + cos 2 β + sin 2 α − 2 sin α sin β + sin 2 β = 2 − 2(cosα cos β + sin α sin β ) 2 és AP = (cos(β − α ) − 1) + sin 2 (β − α ) = cos 2 (β − α ) − 2 cos(β − α ) + 1 + sin 2 (β − α ) = = 2 − 2 cos(β − α ) . MN =
=
( xM
− xN ) + ( yM − y N ) = 2
2
Tehát, mivel a fenti két mennyiség egyenlő, azonnal következik, hogy cos(β − α ) = cosα cos β + sin α sin β . (1) A cos függvény párossága alapján β ≤ α esetén is igaz egyenlőséghez jutunk és a periodicitás alapján következik, hogy (1) igaz, ∀x, y ∈ esetén.
α helyett −α -t helyettesítve, kapjuk: cos(β + α ) = cos β cos(− α ) − sin (− α )sin β = cosα cos β + sin α sin β
Ez utóbbi egyenlőségbe β helyett
π 2
− β -t helyettesítve a
π π π cos − β + α = cos − β cosα − sin − β sin α = sin β cosα − cos β sin α 2 2 2 π π egyenlőséghez jutunk, de cos − β + α = cos − (β − α ) = sin (β − α ) , tehát 2 2
sin (β − α ) = sin β cosα − cos β sin α .
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
209
Ha ebben az egyenlőségben α helyett −α -t helyettesítünk, akkor a sin (β + α ) = sin β cosα + cos β sin α egyenlőséghez jutunk. Így az eddig bevezetett trigonometrikus összefüggések igazak tetszőleges valós számokra is, amennyiben a bennük szereplő kifejezések értelmezettek. x 5.6.1. Feladat. Fejezzük ki a sin x , cos x és tg x kifejezéseket a tg segítségével 2 (természetesen, ahol létezik). x Megoldás. A feladat megoldása során használni fogjuk a t = tg jelölést. 2 x 2 tg 2 tg x 2 = 2t . A sin 2 x = 2 sin x cos x A tg 2 x = egyenlőség alapján tg x = 2 x 1− t2 1 − tg x 1 − tg 2 2 egyenlőség alapján x sin 2 x 2 2 cos ⋅ x x x 2 cos x 2 sin cos 2 tg x x 2t 2 2 2 2 sin x = 2 sin cos = = = . = 2 2 x 2 2 sin 2 x + cos 2 x t + 1 2 x 1 + tg sin 2 2 2 2 x 2 cos + 1 x 2 cos 2 2t sin x 1 + t 2 1 − t 2 sin x = A tg x = = egyenlőségből következik, hogy cos x = . 2t tg x cos x 1+ t2 1− t2 (Ez utóbbi levezetés csak akkor érvényes, ha tg x ≠ 0 , de könnyen ellenőrizhető, hogy az egyenlőség igaz bármilyen x esetén, ha a tg
x értelmezett) 2
Érvényesek tehát az alábbi egyenlőségek: sin x =
ahol t = tg
x x és cos ≠ 0 . 2 2
2t 1+ t2
cos x =
1− t2 1+ t2
tg x =
2t , 1− t2
Fejezet tartalma
210
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
VIII.5.6.1. Megoldott gyakorlatok x , sin x és cos x értékét, ha 4 cos x + 3 sin x − 5 = 0 . 2 x Megoldás. Az előbbi összefüggések alapján a tg = t jelöléssel a feladatbeli egyenlőség 2 1− t2 2t egyenértékű a 4 ⋅ + 3⋅ − 5 = 0 egyenlőséggel, amely a 4 1 − t 2 + 6t − 5 1 + t 2 = 0 ⇔ 1+ t2 1+ t2 1 x 1 9t 2 − 6t + 1 = 0 egyenlethez vezet, ennek pedig az egyetlen megoldása a t = , tehát tg = , 3 2 3 3 4 sin x = és cos x = . 5 5 x y 2. Számítsuk ki a sin (x + y ) értékét, ha tg = 4 és tg = −3 . 2 2 8 15 3 , cos x = − , sin y = − és Megoldás. Az előbbi egyenlőségek alapján sin x = 17 17 5 4 8 4 15 3 13 cos y = − , tehát sin (x + y ) = sin x cos y + cos x sin y = . ⋅− + − ⋅− = 5 17 5 17 5 85
1. Számítsuk ki tg
(
)
(
)
VIII.5.6.2. Gyakorlatok 1. Számítsd ki: a) sin 14o cos16o + cos14o sin 16o ; tg 23o + tg 22o c) ; 1 − tg 22o tg 23o
b) cos 51o cos 9 o − sin 51o sin 9 o ; d)
3 sin 19o − cos19o .
2. Bizonyítsd be, hogy a cos ϕ + b sin ϕ = a 2 + b 2 ⋅ sin (ϕ + ϕ 0 ) , ahol tg ϕ 0 = 3.Számítsd ki a cos(a − b ) értékét, ha sin a + sin b = 2 és cos a + cos b = 1 .
b a
4. Számítsd ki a sin (a ± b ) , cos(a ± b ) , tg (a ± b ) kifejezések értékét, ha a) sin a =
1 1 1 2 π 3π , sin b = és a, b ∈ 0, ; b) sin a = − , cos b = és a, b ∈ , 2π ; 5 3 3 3 2 2
1 3 2 4 3π π c) cos a = − , cos b = − és a, b ∈ π , ; d) cos a = − , sin b = , a, b ∈ , π . 7 7 5 5 2 2 5. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: sin (x + y ) + sin (x − y ) cos(x + y ) + sin x sin y a) ; b) ; sin (x + y ) − sin (x − y ) cos(x − y ) − sin x sin y
c) 2 ⋅
tg 2a + tg 2b − (ctg 2a + ctg 2b ) . tg a + tg b − (ctg a + ctg b )
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei 6. Számítsd ki az E = sin 2 x − 3 cos 2 x + 2 sin
211 3 x x + 4 cos kifejezés értékét, ha sin x = és 5 2 2
π x∈ ,π . 2 7. Fejezd ki cos x + cos y = a és sin x + sin y = b függvényében a következő kifejezéseket:
b) cos(x − y ) ; c) sin (x + y ) ; d) sin (x − y ) . a) cos(x + y ) ; ( ) 8. Bizonyítsd be, hogy ha sin x + sin y = 2 sin x + y és x + y ≠ kπ egyetlen k ∈ esetén sem, x y 1 − tg = . 2 2 3 9. Számítsd ki az E = a cos 2 x + 2b sin x cos x + c sin 2 x kifejezés helyettesítési értékét, ha 2b tg x = és a ≠ c . a−c 10. Bizonyítsd be a következő egyenlőségeket: cos 5o + sin 25o sin 78o + 3 cos 78o a) = 3 ; = 2; b) cos 25o − sin 5o cos 3o − sin 3o 3 1 d) sin 20 o sin 40 o ⋅ sin 60 o sin 80 o = ; c) sin 10o cos 20o cos 40o = ; 10 8 o o o o o o o o sin 20 cos 25 + cos 20 sin 25 cos 56 sin 146 + sin 236 sin 304 e) = 1 ; f) =2 cos 35o cos10o − sin 35o sin 10o cos 32o cos 28o − cos 302o sin 152o 11. Számítsd ki a következő kifejezések értékét: b) sin 6o sin 12o sin 18o cos 24o ; a) cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o ; c) tg 20o tg 40o tg 60o tg 80o ; d) tg 1o tg 2o tg 3o... tg 89o ;
akkor tg
3π 5π 7π 3π 5π 7π π + sin + sin ; f) sin 2 + sin 2 + sin 2 + sin 2 . 8 8 8 8 8 8 8 sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a + sin 9a kifejezést. 12. Írd egyszerűbb alakba az E = cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a + cos 9a 13. Bizonyítsd be a következő azonosságokat: a) sin α sin ( β − γ ) + sin β sin (γ − α ) + sin γ sin (α − β ) = 0, ∀α , β , γ ∈ ;
e) sin
π
8
+ sin
b) sin (α + β ) sin ( β + γ ) = sin α sin γ + sin β sin (α + β + γ )
∀α , β , γ ∈
;
c) sin (α + β + γ ) = sin α cos β cos γ + cosα sin β cos γ + cosα cos β sin γ − sin α sin β sin γ , ∀α , β , γ ∈ .
14. Vezess le egy képletet cos(α + β + γ ) -ra.
15. Bizonyítsd be, hogy ha x + y + z = π , akkor:
x y z x y z a) sin x + sin y + sin z = 4 cos cos cos ; b) cos x + cos y + cos z = 1 + 4 sin sin sin ; 2 2 2 2 2 2
Fejezet tartalma
212
Tartalomjegyzék
A trigonometria elemei
c) sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z = 4 sin x sin y sin z ; d) cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = −1 − 4 cos x cos y cos z ; π e) tg x + tg y + tg z = tg x tg y tg z , ha x, y, z ∉ ( 2k + 1) k∈ ; 2 x y z x y z f) ctg + ctg + ctg = ctg ctg ctg , ha x, y, z ∉ {2kπ k∈ }; 2 2 2 2 2 2 x y y z z x g) tg tg + tg tg + tg tg = 1 , ha x, y, z ∉ ( 2k + 1) π k∈ ; 2 2 2 2 2 2 h) ctg x ctg y + ctg y ctg z + ctg z ctg x = 1 , ha x, y, z ∉ {kπ k∈ }.
{
}
sin x + sin y x+ y ≤ sin . 2 2 esetén
16. Bizonyítsd be, hogy ha x, y ∈ [0,π ] , akkor 17. Bizonyítsd be, hogy bármely x, y ∈
a) cos 2 (x − y ) − cos 2 (x + y ) = sin 2 x sin 2 y ; b) cos 2 (x − y ) + cos 2 (x + y ) =
1 [1 + cos 2 x cos 2 y ] ; 2
π π c) sin (x + y ) + cos(x − y ) = (sin x + cos x )(sin y + cos y ) = 2 sin x + sin y + ; 4 4 π k d) sin x + (2k + 1) = (− 1) cos x ; 2
π k +1 e) cos x + (2k + 1) = (− 1) sin x . 2 3 18. Bizonyítsd be, hogy ∀x, y, z ∈ esetén sin x cos y + sin y cos z + sin z cos x ≤ . 2 19. Bizonyítsd be, hogy tetszőleges ABC háromszögben érvényesek az alábbi egyenlőtlenségek ( A , B és C a háromszög szögeinek mértéket jelöli.): A B C 1 3 b) sin sin sin ≤ ; a) 1 ≤ cos A + cos B + cos C ≤ ; 2 2 2 8 2 c) cos A cos B cos C ≤
1 ; 8
3 3 ; 2
A B C 1 ; tg tg ≤ 2 2 2 3 3 A B C g) tg + tg + tg ≥ 3 . 2 2 2 3π 5π 1 π sin = . 20. Bizonyítsd be, hogy sin sin 14 14 14 8
e) cos
A B C 1 ; cos cos ≤ 2 2 2 3 3
d) sin/ A + sin B + sin C ≤
21. Bizonyítsd be, hogy bármely x, y ∈
f) tg
esetén cos x + cos y + 2 cos(x + y ) ≥ −
9 . 4
Fejezet tartalma
A trigonometria elemei
Tartalomjegyzék 213
1 − sin x 1 − cos x π + , x ≠ kπ + kifejezés értéke nem függ x -től. 1 − tg x 1 − ctg x 4 23. Számítsd ki a következő összegeket: x x x x a) tg x + 2 tg 2 x + 22 tg(22 x) + ... + 2n tg(2n x) ; b) sin 3 + 3 sin 3 3 + 32 sin 3 3 + ... + 3n −1 sin 3 n ; 3 3 3 3 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 + + ... + + + ... + c) ; d) ; sin 2a sin 4a sin 2n a cos 0 cos1 cos1cos 2 cos(n − 1)cos n 1 1 1 + + ... + e) . cos x + cos 3x cos x + cos 5 x cos x + cos(2n + 1)x 24. Bizonyítsd be, hogy 3π 5π 7π 9π 1 π + cos + cos + cos = ; a) cos + cos 11 11 11 11 11 2 2π 4π 6π 8π 10π 1 + cos + cos + cos =− . cos b) cos 11 11 11 11 11 2 2π 4π 6π 2nπ + cos + cos + ... + cos összeget. 25. Számítsd ki a cos 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 26. Számítsd ki a következő szorzatokat: a) cos x cos 2 x cos 4 x... cos 2n x ; 1 1 1 1 b) 1 + ; ...1 + 1 + 1 + n −1 cos x cos 2 x cos 4 x cos 2 x
22. Bizonyítsd be, hogy az E =
c) cos
π 2n + 1
cos
2π 3π nπ cos ... cos . 2n + 1 2n + 1 2n + 1
Tovább
