1. Kristályos anyagok Kristálytan fogalmai: Rácsvektor, transzlációs vektorok, pontrács, elemi cella, Wigner-Seitz-cella,. cella,. Szimmetriák: transzláció, forgatás, inverzió, inverziós tengely, csúszósík. Tércsoport, pontcsoport, reciprok rács és fogalmai
2. Fontosabb kristályszerkezetek Egyszerű köbös, lapcentrált köbös, tércentrált köbös szerkezetek. Gyémánt rács, NaCl szerkezet és hexagonális szoros rács. 1.
Rácsvektor (Rn): olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is) Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: Rn=n1a1+ n2a2+n3a3
2.
Egyszerű köbös (SC): Po A WS cellája is kocka. Lapcentrált köbös (FCC): Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt Ez a legsűrűbb rács a1=a/2(011) a2=a/2(101) a3=a/2(110) Vc= a1(a2×a3)=a3/4 Az elemi cella:
Az ilyen Rn vektorral való eltolását transzlációs műveletnek nevezzük. Az ilyen műveletek mű összessége a transzlációs csoportot alkot. Pontrács: pontok olyan háló szerű elrendeződése, elrendez amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.
3.
Kristályszerkezetet akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű összetétel irányítású atomcsoportot helyezünk el. Ideális kristály: olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen en úgy helyezkednek el, hogy létezik három (a1,a2,a3)vektor, hogy az atomi elrendeződéss minden pontból ugyanolyannak látszik.
Tércentrált köbös (BCC): Fe, W, Mo a1=a/2(-1 1 1) a2=a/2(1 -1 1) a3=a/2(1 1 -1) Vc= a1(a2×a3)=a3/2
Elemi cella: elemi rácsvektorok által kifeszített ített paralellepipedon. a1(a2×a3) Az elemi cella primitív, ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy ad adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. ásikhoz. (Ha a kristálynak vanvalamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!) L M L M LR M f f f f f f nf f f f f f f f f f f f f A határ egyenlete: rffRffff f f= nf 2 af B af f f f f f f f f 2f 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Reciprok rács: K(h1, h2, h3)=h1b1+h2b2+h3b3, ahol bff c … f f= 2π b 1f af B a a f f f f f f f f f f f f f f 1 2 3 af f f f f f fK nf f f fbf f f f f f f= 2π A n if jf hf f f f= 2πδ ij ; R
b
n2Z
3. 4. 5.
4.
Gyémánt rács: Cgy, Si, Ge FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom). (tetraéderes szerkezet)
5.
NaCl szerkezet: (két egymásba ymásba tolt FCC)
6.
Hexagonális (szoros illeszkedésű ű szerkezet) szerkezet): Zn, Nb 4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.
c
Szimmetriák: 1. Transzláció: létezik az Rn transzlációs vektor 2. Forgatás: (inverz forgatás is megengedett) Ha egy kiszemelt tengely körüli 2π/n szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt n-fogású forgástengelynek nevezik: m·a=a+2a·sin(φ-π/2) m=1-2cosφ cosφ=(1-m)/2 φ=arccos((1-m)/2) m φ n
FCC Bz = BCC WS BCC Bz = FCC WS
-1 0 1 2 3 0π, 2π π/3 π/2 2π/3 π 1 6 4 3 2 (kvázi kristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású) Inverzió: (tükrözés) r = -r Csúszósík: összetett szimmetria művelet tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak). Csavartengely: összetett szimmetria művelet forgatás, majd a tengely irányába való eltolás.
1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 11-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak. 230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 3D 10 pontcsoport 2D-ben 14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben 7 kristályszimmetria: triklin, monoklin, trigonális, ortorombos, hexagonális, köbös, tetragonális
Kiszámolható: w w w w w w w w w cf f f f s 8f f f f = = 1,62 a 3
3. Kristályhibák és nemkristályos szerkezetek Vakancia, intersticionális atom, szennyezők, k, diszlokációk, felületi és térfogati hibák, polikristály. Amorf anyagok és folyadékok szerkezete, kvázikristályok és folyadékkristályok
4. Szerkezetvizsgálat Röntgen, elektron és neutron. Források és detektorok. Szórás kinetikus elmélete, Ewald-gömb. gömb. Kristályos és amorf anyag szórása, Rácssíkok és Bragg Bragg-feltétel Röntgen: (a) Röntgencső karakterisztikus és fékezési sugárzás Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia. -c f f f f f f f eU = -ω = -ck = λ (b) Szinkrotronsugárzás: Az e--okat okat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk”, (csak fékezési sugárzás lesz) Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága. Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate 2 pf hf f f f f f f f f f f f f ; p= λ 2m Elektronmikroszkóp (szóródás helyett): Lencserendszer miatt numerikus apertúra: 10-4-10 10-5 →hátrány Ha k=fókusztáv→diffrakció 1f f f f 1f f 1f f f f Leképezés: + = k t f Röntgenhez képest hátrány: rány: bonyolult mintapreparáció; feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás), nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére. Előny: sokmindent látni vele, szűkíthető látótér, korlátozott területű diffrakció
Elektron: eU =
0 Dimenziós: Ponthibák (1 atom és annak környezete) - vakanciák: 1 atom hiányzik (egyensúlyi rácshiba) - interstriciális atom: 1 atom többlet - szennyezők: szubsztitúcionális vagy interstriciális (pl Me + H) (p-típusú: Al, Ga, In ; n-típusú: P,As, Sb) f
g
nE f f f f f f f f f f f f f f f f f X n N e @ kT
N
F V
f g nf df n = 0f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Vakancia várható értéke:
= fffff ln X N e nx = g nE = N f f f f f f f f f f f f f f f f f f dx n n X N e @ kT n n =0 F V
=
df f f f f f f `
dx
ln 1 + e x
aN
=N
df f f f f f f `
dx
a
ln 1 + e x = N
ef f f f f f f f f f f f f f f f f x
1 + ex
=N
Ef f f f f f f f f f f V
Neutron: reaktorból termikus neutron: E~kt ≈ 0.25 eV
F
kT ef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
@
1+e
@
F Ef f f f f f f f f f f V
=Ne
@
F Eff f f f f f f V
kT
kT
Ef F f f f f f f f f V és ez jóval kisebb, mint 1. (szobahőn kT = 25 meV < EV = 0,8-1 eV ) kT F Ez képlet olvadáspontig jó közelítés. ( E I = 2-4 eV) A vakanciák hozzák létre a fémeknél a diffúziót, és ellenállásként lehet mérni őket (ehhez be kell fagyasztani a vakanciákat…) 1 Dimenziós: Vonalhibák – Diszlokáció Burgers vektor: ami a kezdő és a végpontot összeköti (hibátlan rácsban ez nullvektor) b vektor minden pontban uaz. Burgers kör (ábra) F
x : =@
2 1f 1f f f f f f fp f f f f f f f f f f kT = 2 2 mN
Detektorok: fotolemez, (helyzetérzékeny) számlálócső, CCD, Imaging Plate (emlékező lemez) Szórás kinetikus elmélete: Fraunhofer interferenciakép (anyagszerkezet-meghatározás) röntgen→Thomson-szórás Rugalmas szórás: λ változatlan, Eki=Ebe Koherens Gyenge szórás: egyenes szórások…
Fraunhofer interferencia:
e || b – csavardiszlok. 6
3
A diszlok. nem egyensúlyi rácshiba, fémekben a koncentrávió pl: 10 m/m , ha hajtogatjuk, akkor 1015 m/m3-re is nőhet. (Pl: üst készítés: kalapálás+hőkezelés+... , ha a huzalt hajtogatjuk, az eltörik…) Diszlokáció összekötése a deformációval: (b áll.)
εxy = γ = X ∆γ =
X xi bf f f f f fxf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f if if =b Ly Lx Lx L y
X xi bf N NL f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f rf Orován =b <∆x ≥ b <∆x> = bρ <∆x> Orován-összefüggés Lx Ly Lx L y Lx Ly Lz
2 Dimenziós: Felületi hibák – Szemcsehatár (Durvaszemcsés anyagok, finom szemcsés anyagok, mikro/nano szemcsések) Megakasztják a diszlokációt, és é a szemcsehatárokon összegyűlhetnek a szennyeződések, így rideg lesz az anyag. 3 Dimenziós: Térfogati hibák – Kiválások (pl csapadék) – Üreg (Void, pórus) A fémek ellenállása a hőmérséklettel 0 (ez NEM a szupravezetés!!)
Amorf anyagok: (kistávú rend) r1-en belül levő atomok száma: r1
N r 1 = Z g r 4πr 2 dr (g(r): rediális eloszl. fv.) `
a
0
` a
hf f f f λ
Előnye: csak a magon szóródik (röntgen a felhőn, elektron az elektrosztatikus potenciálon), nciálon), gyengén szóródik, a kis rendszámú atomokat is látjuk (izotópokat másképp szórja), spinfüggő (látszik, hogy hogyan an állnak a mágneses momentumok az anyagban) Hátránya: vizsgálathoz sok anyag kell
(1) (2) (3) e ┴ b – éldiszlok.
p=
A bemenő-kimenő hullámszám = ρ(r): ha nagy, nagy a sz szóródás, ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél e--sűrűség, ee-mikroszkópnál e- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség: L M 2π f f f f f f f f L M f frf f=L kf f fMs1 = kf s ; ∆s = s1 @ s2 0 0 λ 1 L M ` a 2π 2π f f f f f f f f f f f f f f f f L M f frf f=L kf f f Ms2 = kf s ; ∆ϕ = s @ s2 λ 2 λ 1 b
c
b c
f f@ kf f f rf f f f t Z ρ rf fe ∆ϕ = kf Q A kf 0 ` a
b
c
i kff @ kff rff 3 0
d r
A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fouriertranszformáltja. b c L L
b cM M2
f f =L f fM Intenzitás: I kf LA kf M Integrál abszolút érték négyzete (komplex!!).
Autokorr. fv: * `
a+
, b
c
c-
b
* ` a
a+
f f f ρ rf f f f = ρ 0 ρ rf f f f ρ rff = ρ rff = k rff 1 ρ rf 2 1 + af 2 + af 2 @ rf 1 2 @ rf 1 a
`
, b cb c ` a i kff0 @ kff rff 3 f f = V Z k rf fe I kf d r
`
`
a
pl.: Üveg SiO2 + Na; Fémüveg Fe80B20 Kvázikristályok: nagy ellenállás + rossz hővezetés (vegyiparnak főzőedény) Al6Mn (lehet 5-ös szimmetriájuk) 2D: Penrose rács (nem ismétli önmagát) 3D: Romboéder
Ewald-gömb: gömb: reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az Ewald Ewald-gömb.
Folyadékkristályok:
Folyadék és amorf anyag esetén: i∆ kffrff @ i∆ kffrff 1 2 d r Z Z ρ rf f f 1 ρ rf 2 e 1 d r2
`
V V.
a
`
r1=r2+n d3r’=d3n
a
3
I = Z ρ n e @ i∆kn d n V
` a
3
3
5. Kondenzált anyagok kötése Kovalens, ionos és fémes kötés. átmeneti fémek kötése. Atomos és molekuláris kötések. Kohézió és adhézió. Atomok közti potenciál
Kristályos anyag esetén: Laue csinálta először. b c f f= Z A kf
b c f f= Z A kf
ρ ρ
b cb
` a i fe rf b
b
c
kff @ kff rff 3 0
d r ; ρ
` a f= rf
c i b kff@ kffcb rff. @Rfffc 3 n f rf . e 0 d r
Q A kfff 1 @ e
b
c
c
f f i kff @ kffRf 0 n
=e
i
b
ρ b
c f+ Rf f f f = rf n
Z ρ rf fe
c kff@ kffRfff 0
n
ρ
b
` a
c f rf .
b
c
Elsőrendű (kémiai) kötések: (legerősebbtől a leggyengébbig)
i kff @ kff rff 3 0
d r
1.
=0
Azt szeretnénk, ha A(k) nem (mivel azt keressük), a másik tag viszont nullával lenne egyenlő (megköveteljük az egyenlőséget). b
b
c
b
f f@ kf f fRf f f f= 2π A egész szám kf 0 n c
b
cb
Rf @ rácsvektor f f f f f nf
f f@ kf f f= K f f f f f reciprokrács vekt or kf 0 h b
c
f f f f ≠ 0 Q elhajlási irány A Kf h b
c
c
c
2.
f f f f = 0 Q kiolt ás A Kf h b
c
f f f f = 0 @ nak kell lennie A nem Kf h
3.
Laue: nem monokromatikus, hanem fékezési sugárzással mért, így több k, több gömb és a kristályirány is meghatározható. b
c
f f f f = A Kf h
Z
az egész anyagra
fe i Kffffh rffd r = ρ rf ` a
3
N
a cellák száma
Z
egy cellára
fe i Kffffh rffd r ρ rf ` a
3
f= X ρ a rf f f @ rf Q a = at om, pl: NaCl @ nél 2 Egy cellában: ρ rf a
A
b
c f f f f = Kf h
` a
`
a
a
i Kffff rff f f fe N A X Z ρ a rf @ rf a e h d r = N A X Z ρ a rf atom
b
`
a
c
3
b
atom
c
f f f f f f f = N AX e i Kffffh rffa f a Kf = N S Kff h h atom
b
c
` a
b c f rf f+ rf f i Kfff h
0
(Fémek kovalens kötésben pl: Fe2O3 – rozsda)
Másodrendű kötések: (molekulák ill. nemesgázok közt) 1.
3
d r=
f f f f -t struktúra faktornak nevezzük (egy cellán belül hol vannak Ahol a fenti S Kf h
az atomok). Ebből az fa(k):
2.
3.
b c ` a i kffrff 3 f f = Z ρ a rf fe f a kf d r
az alakfaktor (1 atom szórásának Fourier-transzformáltja). b c Pl ha egy atom kisebb (jobban lokalizált), akkor S Kfffff nagyobb. h
Rácssík: ha átmegy 3 rácsponton → átmegy ∞ sok rácsponton (mivel rácsvektorok lin. komb.ja is rácsvektor). h1, h2, h3 (nincs közös osztójuk) által megadott sík af f f f f f f af f f f f f f af f f f f f f átmegy 1 , 2 , 3 pontokon. Tételek: h1 h2 h3 f f f f f 1) h1,h2,h3 sík merőleges a K h ,h f
g
1
2 ,h 3
Kovalens-kötés: (ált. nem-fémek közt) A kötő-elektronpár a kötésben részt vevő atomok egy-egy elektronjából alakul ki (ritkábban mindkét kötőelektron egy atomtól származik, ilyenkor datív kötésről beszélünk. pl:CO). - A kötés lehet 1-szeres (σ), 2-szeres (σ,π) vagy 3-szoros (σ,π,π). - A részt vevő elemek homogenitásától és elektronnegativitásaitól függően beszélünk poláros és apoláros kötésről. - A kötő elektronok spinjei antiparalellek. - Zárt e--héj alakul ki Ionos kötés: (ált. normális fémek és nem-fémek közt.) - A kötés kialakulásához magas elektronnegativitás különbség kell. - Az ionokat elektrosztatikus vonzás és taszítás (Pauli elv) rendezi rácsba. - A Madelung állandó megadja, mennyire vonzzák egymást. - Zárt e--héj alakul ki Fémes kötés: A pozitív atomtörzseket az egész kristályra kiterjedő delokalizált (vegyérték) elektronokból kialakult felhő tartja össze. - Normális fémek: (alkáli-, nemes-, …) csak s e--ok kötnek - Átmeneti fémek: (Co,Fe,Mg,Mo,Eu…) d,f e--ok is kötnek kovalensen tudnak kötni (kemények)
H-híd: Egy elektronhiányos H atom és egy nemkötő-elektronpár között alakul ki. A víz mellett a szerves vegyületekben van fontos szerepe (pl DNS) - Csak N,O,F –nak elég nagy az elektronnegativitása ehhez a kötéshez. Dipól-dipól: A dipól momentummal rendelkező molekulák rendeződnek, és vonzzák egymást (pl. SO2) - A kötéshez poláros molekulára van szükség, amihez nem elég a kovalens kötés polárossága. Hiszen ha szimmetrikus a szerkezet, apoláros lesz a molekula (pl.: CO2). Van der Waals: Apoláros molekulák ill. nemesgázok között alakul ki. - Nincs állandó dipól momentumuk, de mozgásból adódó van. (2 fém között is lehet: Casimir-effektus)
Kohézió: azonos anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás. Adhézió: különböző anyagok között fellépő vonzó kölcsönhatás. pl.: forrasztás, ragasztás Potenciál 2 atom között:
f f+ h 2 bf f f+ h 3 bf f f reciprokrács vektorra. = h 1 bf 1 2 3
b c 2πh af f f f f f f af f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2πh f f f f f f f f f f f f f f 1f 2f f+ h 2 bf f f+ h 3 bf f f = @ =0 BIZ: B12 = 1 @ 2 h 1 bff 1 2 3 h1 h2 h1 h2 A többi kombinációra is be kell látni ugyanígy. 2π f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f M ahol d az origó és a sík távolsága. 2) h1,h2,h3 síkok távolsága: dh1 ,h2 ,h3 = L L M f f f f f LK M h ,h ,h
f f f f f K f f af 2πh 2π f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f hf 1f BIZ: d = f L M= L M =L M Lf Lf h1 L f f f f fM f f f fM f f f fM LK M L M L M K h K 1 h h h
1
2
3
Bragg-feltétel:
f f f f= K f f f f fQ az Ewald @ gömbböl t udjuk kf @ kf 0 h
f fés kf f fszöge = 2 A ϑ kf 0 L M L M ` a Lf M f f fM= 2 L f fM L Kf L kf Msin ϑ h 0
2π 2π f f f f f f f f f f f f f f f f sinϑ = n [ 2dh1 ,h2 ,h3 sinϑ = nλ λ d Erősítés csak a fenti esetben van (néha h,k,l-et is szoktak használni az indexelés helyett). 2
k = 2π/λ k
k'
λ θ
θ
k'-k
d
Pl.: Van der Waals kötés potenciálja, Lennard-Jones: ` a
h f g12 σf f f f
j V r = V0l
r
f
@2
g6
i
σf f f f m k r
6. Rácsrezgések Rácsrezgések kristályos és nemkristályos anyagokban. Lokalizált és delokalizált módus. Periodikus anyag rezgései. Egyatomos, kétatomos lineáris lánc. Módussűrűség. Fononok, mint kvázirészecskék. Rácsrezgések:
ω2 =
Egy atom kitérítésére az egész rács rezegni fog.
e e euf f f m i uA A i = @ X De j = 1, … ,3Na at omok száma j ij
f f f f iωt uff i t = ui e ` a
mi ω
2
`
l l l
ij
m2
m3
l j
i
*
m m m m m m k
;
2
@1
e e e De
f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f e= w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w Cee ij qm i m j
h w w w w w w w w w w w w w w pm 1 l w w w w w w w w w w w w w l pm 2 l l w w w w w w w w w w w w w w l e=l Se pm 3 l l j
i
eb
*
a
f f i kff Rf n
c f+ Kf f f f Rf f f kf h
e ikan
;
d
v n = Be
b
iωt
c e
e ikan
d
b
c
b
ci
e
mω 2 @ 2D D 1 + e @ ika mf g m A =0 b c k B D 1 + e ika Mω 2 @ 2D `
a
2
`
a
2
2
b
2
b
P
Q
n
f f= kf f f+ K f f f f f és kf h
`
ac
=0
ac
=0
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w bw a2 ` ac 2` 2 2D m + M F r4D m + M @ 8D mM 1 @ cos ka f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f `
a
2mM d e w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w a q `w a 2D 2 f f f f f f f f f f f f` 2 ω = m + M F m + M + 2mMcos ka mM
R
Nem mindig merőlegesen jön be, csak periodikus határfeltételnél. Optikai ág akkor is optikai ág, ha nincs gerjesztése (optikailag nem gerjeszthető). Mindkét ágat fononnak nev. s=1-nél nincs optikai ág, egyébként 3 akusztikus, 3(s-1) optikai ág. Ha m→M, visszakapjuk az egyatomos esetet.
S
b
f f f fRf f f f= 2π A egész szám = e i kffRfffn e i Kffffh Rfffn = e i kffRfffn , mivel Kf h n
k benne van a Brouillen-zónában!
`
2 + 2cos ka
2
Ahol n adja meg, hogy melyik cella, p pedig, hogy hanyadik atom a cellában. i
iωt
c
Mω 2 B = D 2B @ 1 + e ika A
ω2 =
f f f f f f f f f f f f f rf i = R n + r p , ahol n = n 1 ,n 2 ,n 3 , i = n ,p és p: 1,2, … ,S
e
c
mMω 4 @ 2D m + M ω 2 + 4D @ D
c
`
e ikan
ac
Nemtriviális megoldás akkor van, ha a mátrix determinánsa nulla.
euf f fQ ω 2 vf f f= Ce e evf f f Se
Kristályos anyagokban: N a = N c A s ahol Nc a cellák száma. Általában az elemi cellát adjuk meg:
b
`
mω A = D 2A @ 1 + e @ika B
l l j
Ahol S-1DS-1= C önadjungált mátrix. A fentiek általános esetben igazak.
Bloch-tétel:
b
2
h
m m m m m m m m w w w w w w w w w w w w w w w w wk pm Na
ij
f f= vf f fe vf
iωt
mMω @ 2D m + M ω + 2D 1 + cos ka
f f = Se e D e e e e e ω 2 Seeuf Se @1
b
un = Ae
@1
c d
c
b
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w wL f gM L M b L ` ac 4D 2D f f f f f f f f f f f f f f f f fM f f f f f f f f f Lsin ka M 1 @ cos ka = s L m L 2 M m M
4
) 2 e e uf f f= D e e e euf f f ASe ω 2 Se b
c
M vA A = @ D 2v n @ un + 1 @ u n
m Na
e e e e e See= M
b
b ` ac 2D f f f f f f f f f 1 @ cos ka m
AA
Az M mátrix szimmetrikus, diagonális elemei a tömegpontok. De az átrendezésnél D-t M-1-gyel beszorozva nem lenne szimm. a mátrix, ezért pozitív definit négyzetgyök:
e e e e e=l M l
e ikan = @ D 2 @ e ika @ e @ika Ae
b
m u = @ D 2 un @ v n @ v n @ 1
e e e e euf f f= D e e e euf f f ω M
m1
e ikan , ahol an az atom helyét adja meg
Kétatomos lineáris lánc:
Ahol D 3Nax3Na-s önadjungált, szimmetrikus erőállandó mátrix.
h
iωt
iωt
ω =s
aS
f f XD e e e e uf f f uf i = j j
2
@ mω 2 Ae
c
mω = D 2 @ e ika @ e @ika = 2D 1 @ cos ka
` a
j
` a
Un t = Ae
2
i-edik atom rezgése: rff t , egyensúlyi helyzet: rff i i0 ` a ` a f f elmozdulás vektor: ufff t = rf t @ rf i i i0 R
b
AA
m un = @ D 2Un @ Un + 1 @ Un @ 1
c
Nemkristályos anyagokban:
Módussűrűség(=fononspektruóm): D(ω) ω2
Z D ω dω = ω1 és ω2 közti módusok száma
ω1
` a
1atomos láncnál: A módusok független lineáris oszcillátorok: k vektor és λ=1,…,3s. Annyi lin. oszc. van a Bz-ban, ahány cella van a rácsban. w w w w w w w w w w w w w w w w 4D f f f f f f f f f
ω =s
lokalizált módus:
D ω dω = 2
Periodikus anyag rezgései: Born-Kármán (vagy periodikus) határfeltétel: Vagy ugyanaz az elmozdulás, vagy ciklikus határfeltételt veszünk. b
c
b
b
c
f f Rf f f f+ N1 af f f vf 1 n c
f i kff Rfff+ N af
1 1 n e i kffRfffn = e Q e i kffaff1 N 1 = 1 f f f f kf af N = 2πm 1 1 1 Reciprok rács f f f f kf af 2 N2 = 2πm 2 f f f f kf af N = 2πm 3 3 3 m m m f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f 2f 3f f f= f f+ f f+ f f bf bf kf bf 1 N1 N2 2 N3 3
A megoldást egy k vektorral tudjuk jellemezni. N kb. Na köbgyöke. Nc=N1N2N3→3 s db koordináta. A problémát redukáltuk. Kapunk egy ω2-et, ami ωλ2(k) fv-e (azaz egy λ: 3 s . 3 s-es mátrix sajátérték fv-ében melyik, λ=1,…,3s). Diszperziós reláció
Egyatomos lineáris lánc:
f
w w w w w w w w w w w w w w w w
g
f
g
ka 4D ka f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f af f f f ; dω = s cos dk 2 m 2 2
w w w w w w w w w w w w
aN aN 1f Nf mf 1f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f rf w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w dk = d e dω = 2 2π π afffffr 4D π D r mω ka f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f a @ cos
` a
delokalizált módus:
f f f f Rf f f f vf n = vf n
m
sin
f ` a
m 2 g
4D
2
c 1f f f fb ` a Eλ k = -ω λ k n λ k + n λ k adja meg a fononok számát a módusban 2 (pl. ha n=3, akkor ebben a módusban 3 fonon van) ` a f f Energiája: -ω λ k , impulzusa (kváziimpulzus): - kf ` a
` a
A fonon kvázirészecske. Normál folyamat: megmarad a kávziimpulzus, és az eredő k vektor benne van a f f= 0 . Bz-ban. X - kf i
Unklapp folyamat: Brillouin zónában nincs benne az eredő k vektor. Addig kell f f= - K f f f f f. hozzáadni, hogy benne legyen. X - kf i h Lineáris diszperzió esetén. (3D-ben D(ω))
V f f f f f f f f f f f f f f f f 3 a3 Z d k
` a
D ω dω = `
2π
felhasználtuk, hogy: ω: =
Teljes D(ω): ` a
`
D ω = V 2π
a2
f
V 2 f f f f f f f f f f f f f f f f a3 4πk dk
=`
2π
b c f f= c kf
f g2 V f f f f f f f f f f f f f f f fω f f f f f 1f f f dω a3
=`
2π
c
c
ck [ dω = c dk
g
1ffff V f f 1 f f f f f f 1 f f f f f f 2 f f f f f f f f f f f f f f f f3 f f f f f f + + ω = ` a2 3 ω 2 c13 c23 c33 2π c
Az anyag termikus tulajdonságainak nagy részét a fononok adják.
7. Rácsrezgések termikus hatásai Rácsrezgések energiája, Debye-fajhő. Kristályos és amorf anyag hőtágulása, Hővezetés, fonon-fonon kölcsönhatás, direkt és umklapp folyamatok. Diszperziós reláció kimérése, folyadékok dinamikája, Raman szórás Melegítésnél a rezgés veszi fel a hőt (+ hővezetés +….) f
Fononok (amik bozonok) Energiája: E = X -ωi n i + E = X -ω i
( )
X i
i
f (
)
ni +
g
i
f
g
g
1f f f f 2
;
(
)
ni =
1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f e β-ωi @ 1
β-ω i -ω 1f 1f +f ef @ 1f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f if = X -ω i β-ω + =X = β-ωi i 2 2 2 e e @1 i i
f
E =X
( )
i
( )
Alacsony T-re:
( )
b
0
` a
i
1
ωD
3 V V f f f f f f f f f f f3 f f f f f f f f f f f f f f f f fωf f f f f f f f D Z ω 2 dω = = 3Na - a módusokban a sebesség c 2π 2 c 3 2π 2 c 3
h
`
a4
0
` a4 4 kT V f f f f f f f f f f f3 f f f f f f-f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f fπf f f f f f f
`
@X i
b
c
f f f f, rf f v e rf + v eI Rf i i I ` a
` a -ffff ∂fff f f f f f f f f ff f f f f f f f f f 2 + ve ri + f f 2m ∂ r e i i b c b c b c f f, rf f f f f, rf f ψ Rff = φ Rffff ϕ Rf i i
b
2
c
2
I
I
b
i
2)
0
4
VI
b
I
I
iI ∂ϕ f f f f f f f f f f f f f kM φ 2 K+ f f f ∂ Rf
@X
-f ∂f ϕ f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f + 2 f 2m e ∂ rf i + ve ϕ
f f f, rf f f f fϕ v eI Rf ϕ = E Rf i I I
φf f f f f f f f f f f f f∂f f f f f f f f f f f f
c
2
2
b
c
b
c
2
2
d
b
b
ce
f f f+ E R f f f f φ = Eφ + VI Rf I I
f f f f I 2MI ∂ R I Ezt klasszikusan oldjuk meg (fononprobléma). 2
elektron-fonon kölcsönhatá h
i
∂φ ∂ϕ ϕ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f ∂f f f f f f f f f f f f f l m j2 + 2k f f f ∂ Rf f f f ∂ Rf 2MI ∂ Rf f f f I I 2
2
I
Ehelyett majd megoldjuk az elektronproblémát rácsra.
Bloch-tétel: (a) nem degenerált: Hϕ = Eϕ s H
1 elektronra
b
2 -f ∆ ` a ` a -f ∆ 1f ef s f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f if H f; f L M + V rf = @X + X V rf +X i 2m f f fM 2m e 4πε0 Lrf sok elektronra i @r j i i i<j 2
2
=@ c
f+ Rf f f f = H rf fQ invariáns a rácsperiódusú eltolásra, így: H rf n
H
b
` a
c b c f+ Rf f f f ϕ rf f+ Rf f f f = rf n
n
Megjegyzés:
b
c
b
c
b
T HT
`
kf f f f+ kf f f f= kf f f f+ G [ Unklapp folyamat atomos rácsokban 1f 2f 3f A hővezetés függ a nagyságtól és a fajhőtől.
a
Fémeknél: - szennyezőben a fonon vezek - tiszta fémekben az elektron
(Widemann Frane tv.: w =
βf 1f 2 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = w0 + w12 = αT + ) LG12 T T
(Hőtágulás → atomokat eltávolítani akaró anharmonikus tagok.)
b
@1
T ϕ = ET ϕ mivel T HT
c
b
H Tϕ = E Tϕ b
c
` a
c
b
c
@1
= H és HT = T H
f f f ϕ rf f= ϕ rf f+ Rf f f f = cn ϕ rf f T Rf n n ` a
Periodikus határfeltétel.
L b Y c L ` a^ Lϕ rf ^ f+ af f f f^ ^ L h b ^ 1 = c1 ϕ rf ^ ^ L ^ ^ L b c ] ϕ rf f+ ` a L l f f f f f f f L ϕ r + a 2 = c2 ϕ r j L ^ ^ ^ L b c ^ ` a^ L ^ ^ L ϕ rf f+ af f f f^ ^ [ 3 = c3 ϕ rf L
a fent iek alapján pedig: b
c
f+ Rf f f f = e i kffRfffn ϕ rf f ϕ rf n ` a
` a
c f f N1 af 1 =
c1N 1 = 1
L L L i Lc1 = ` a L fm L ϕ rf L k[Lc = L 2 L L L Lc3 =
e e e
i2π i2π i2π
A fenti egyenlet a Felix-Bloch tétel (1952-ben Nobel-díj). Reciprokrács:
c
f+ Rf f f f [ H rf fϕ rf f+ Rf f f f = Eϕ rf f+ Rf f f f Eϕ rf n n n
Hϕ = eϕ ; T Q lineáris elt olás
Hővezetés: (pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető) ∂T ∂T f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f , ahol u az átlagsebesség. Q=κ = c uΛ ∂x 3 v ∂x Ideális kristályban: κ → ∞ 1ffff f Anharmonikus rácskcsh.ok és fonon-fonon ütközések Λ~ T kf f f f+ kf f f f= kf f f f 1f 2f 3f
I
+ v e ϕ + v eI ϕ Kφ = Eφϕ
I
Ahogy jobban rezeg, eltolódik a középpont hőtágulás.
I
I
Hkölcsönhatási = @ X
Pl: Kvarc- erősen lin. anyag – kevésbé hőtágul
i H h 2 c ∂φ ∂ϕ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f m L j f f f φkϕ + J@ X Rf 2 + I f f f ∂ Rf f f f ∂ Rf I 2M I
rácsprobléma:
3)
Hőtágulási együttható: (csak a fononrezgéstől nem tágul) A hőtágulást a nem lineáris tagok hozzák létre (amiket kihagytunk a sorfejtésből).
c
f f f, rf f v eI Rf i I
elektronprobléma (tetszőleges RI elrendezésben):
@X
2 2 kT Vπ Vπ f f f f f f f f f f f1 f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f1 f f f f f fkf f f f f f f 3 = E0 + = E0 + [ cv = 4T 4 3 3 15 10 c 10 c3 - 3 2π 2 c 3 3 Fémeknél γT -höz jön egy +αT járulék
2
2m e
1)
β-ωD
a4
2
f @X + VI Rfff I
; Hψ = E ψ ;
2
0
ωD
2MI ∂ Rfff f I
φf f f f f f f f f f f f f∂f f f f f f f f f f f f l j@ X 2 + f f f f I 2M I ∂ R I H 2 -f f f f f f f f f f f f f J
3 kT -ω V V xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f3 f f f f f f 2 f f f f f f f f f f f3 f f f f f f-f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Z x E = E0 + Z β-ω ω dω = E0 + dx = 4 e @1 e @ 1 2π 2 c 3 2π 2 c 3 -
( )
c
ψ Rffff , rff i I
0
Z DD ω dω =
2
2
I
4 3 ` a Nf xf πf V f f f f f f f f f f f3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 3 af j Z x k DD ω = 2 3 ω 2 ; ω<ωD ; ωD = s6π 2 c ; l dx = m V e @1 15 2π c ωD
2
-f ∂f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f + f 2m e ∂ rf i 2
A fenti H egyenletet átrendezve:
Debye-fajhő: (alacsony hőn nem jó az Einstein modell) -ω -ω ( ) f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a E = E0 + X β-ω i = E0 + Z β-ω i D ω dω ; -ω D = kT D i@ 1 e i@ 1 i e h
i
∂fffff f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f
H = @X
(folyadékra nem igaz)
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w
H = @X
Az egészet egyesítve:
E = 0 - a szabadsági fokok befagynak.
` a
RI az összes ion helyzetétől függ. 2 2 b c ∂f ∂f -f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f Pf f f= f f f f Rf H = @X 2 + VI R I I I f f f i ∂ Rf 2M f f f f I ∂R I I
Ionok:
I
-ω f f f f f f f f f f2kT f f f f f f f f f f f f f if = X kT = 3Na kT Ekvipartíció tétel 2 -ω i i
∂f E f f f f f f f f f f f f f f cv = = 3Na k (vagy cp) ∂T
Adiabatikus szétcsatolás: Az elektronok úgy látják az atommagokat, mintha állnának, az atommagok meg úgy látják az elektronokat, hogy cikáznak körülöttük kb. felhőszerűen.
Elektronok: -f ∂f f f ff f f f f f f f f f f rf pf f f= 2 i i f i ∂ rf i
g -ω f f f f f f f f f f f f if
β-ω i β-ω i @ β-ω i -ω -ω -ω + 1f +f ef f f f f f f f f f fef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f fef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f if if if =X =X cth 2 e β-ωi @ 1 2 e β-ωi @ e @ β-ωi 2 2kT i i
Nagy T-re:
8. Elektronszerkezet Adiabatikus szétcsatolás, Bloch-tétel, Bloch- és Wannier-függvények
Y
pfff f f f f .f ^ ^ N1 ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
] pfff f f f f .f N2 ^ ^ ^
^ ^ pfff f f f f ^ .f ^ ^ N3 ^ [
(b)
Kéthullám-közelítés:
degenerált:
b c 1f f f f f f f f f f f w w w w w w w w a második t ag a normálás miat t ϕ 0 = e i kffrffA p V
A fenti eltolás nem igaz (gond van a skalárszorzással). ` a f= Hϕ 1 rf ` a f= Hϕ 2 rf
` a f Eϕ 1 rf
b
c f+ Rf f f f = λ11 ϕ 1 rf n b c f+ Rf f f f = λ21 ϕ 2 rf
;
` a f Eϕ 2 rf
;
n
Föt engelytranszformálva: b
c
b
` a f+ ϕ 1 rf
` a f λ12 ϕ 2 rf
` a f f f f f f f f f f f , ahol U a periodikus pot enciál ∆ + U rf 2m 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f w w w w w w w e i kffrff+ C1 w w w w w w w w e i kffrffe i K 1 r ϕ = C0 p pV V 2
f+ λ22 ϕ 2 rf f ϕ 1 rf ` a
c
` a
H=
f+ Rf f f f f ; ϕ b rf f+ Rf f f f f ϕ a rf = λa ϕ a rf = λb ϕ b rf n n
ϕ
b
` a
c ` a f+ Rf f f f = e i kffRfffn ϕ kff rf f@ rf n
b
` a
Bloch fv .
c
2 f b cg b c2 i b kff+Kffffc rff ` a ` a 2 frf f i Kffff+ kf f f f f f f f f f f 1 f f f f+ kf f f e fC0 e i kffrff+ U rf fC1 e 1 C0 k e i kffrff+ C1 Kf + U rf = 1 2m
d
f+ Rf f f f = e i kffRfffn ϕ kff rf f Bloch-fv: ϕ rf n ` a ` a 3 Z ϕ kCff rf fϕ kff rf fd r
=e
i
1
2
b
c kff@kff Rfff
b
2
1@e
` a
= E C0 e i kffrff+ C1 e
a különböző k-khoz tartozó Bloch-fv-ek merőlegesek:
1)
1
n
= Z ϕ kCff 1
b
c b c 3 f+ Rf f f f ϕ kff rf f+ Rf f f f d r rf n
N
2
b
1
c
c
i kff Rfff @kff 2 1 n
AZ ϕ
2
C ` kff 1
` a
=
2
=0
f= X X a K + kffe f rf f f f f f f hf ` a
uk
b
f f f Kf h
kff
i
c i kffb rff+ Rfffc n f+ Rf f f f e rf = n
e
f
2πp 2πp 2πp f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f 2f 3f b + b + b N1 1 N2 2 N3 3 g
fe i kffrff = X X a Kffff+ kffe i Kffffh rff e i kffrff= X uk rf
h
i kff Rfff n
kff
Kffff h
h
` a
kff
` a i kffrff fe u k rf
h
` a
U1
f
Rfff n
c
b
b
c
c
rff m
f f f f. e i kffRfffm. = e i kffRfffn ϕ rf f @ Rf = e i kffRfffn X w rf m
b
c
` a
b
c
. +Rfff i kff Rfff m n
b
c
f f2 R t teljes reciprokrács t ér , k 2 Bz és e i Kffffh rff= u k rf f e i kffT rff= e i kffrffe i Kffffh rffahol: kf T b c2 2 2 2 f f f f f+ kf f f -f K b c - kf f f hf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Tf f f= E kf =
2m
f f f -f kf f f f f f f f f f f f f f teljes energia: ET = 2 X 2m f f k 2
L M
` a
2
f f f kf V f f f f f f f f f f f f f f f f -f f f f f f f f f f f f f f3 2 ` a3 Z d k
ET =
2π
N = 2 X 1, kff
N=
2m
=
2π
Vc Nc
=
V
f f f kf V f f f f f f f f f f f -f f f f f f f f f f f f f f 2
2
V f f f f f f f f f f f
2
5 f f f f f f f f f f ff f f f f f ff f f f f f Ff 2
V f f f f f f fkf f f f f f Ff = 3 Z 4k πdk = 2 4π π 3 3
2
f f f f f f kf kf Ef 3f 3f f f f f f f f f f f f-f f f f f f f f f f f f f 3f f f f-f f f f f f f f f f f f f f f f Tf Ff Ff = = m = EF N 10 m 5 2 5 2
2
2
2
2
` a f f f f f f f f f f f Ha φ = Ea φ ∆ + Uatomi rf 2m 2
Hatomi = @
b
c
f= X cnffφ rf f f f f Q az origóban nézve úgy, hogy a többi hat rá ψ rf @ Rf nff ` a
nff
H
I e
b c b c b c ` a f f f f f f f f f f XJ@ f f f fff + V rf f@ Va rf f f f fff KCnffφ rf f f f f = ∆ + Va rf @ Rf @ Rf @ Rf n n n 2m nff d
2
b
c
f f f f = E X cn φ rf @ Rf f nf nff
b
c
D
cE b
b
c
X Ea cn φ rf f f f f + V rf f@ Va rf f f f f φ rf f f f f cn = @ Rf @ Rf @ Rf n nff nff nff
` a
c ( b
b
c
f f f f Zd r φ rf @ Rf mffff
f f f f E X cn φ rf @ Rf n
3
Nem elhanyagoljuk, hanem egy nagy számmal szorozzuk az integrált. b
E a cm + Z φ r @ R m
E a cm +
X
cd
b
` a
V r @ Va r @ R n
ce b
c
32
φ r @ R n d cn = Ecm
V cm + h = Ecm
h Q elsö szomszédok
2
A fentieket átrendezve kF-et megkaphatjuk: f g Nf f f f f f f= 3π 2 kf F V Valamint: <E> =
a
ez tartozik egy álapothoz
V - k = 3Z 4k πdk = 2m 4π 2π m 5
L M M f f< kf f f L kf M aholL F
V f f f f f f f f f f f f f f f f 3 2 ` a3 Z d k
`
` a3 ` a 3 2π 2π Vf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Bf
Nc
2m
` a f f f f f f f f f f f ∆ + U rf 2m
nff
M f f< kf f f Fermi hullámszám . L kf M A 2-es a szumma elé a spin miatt kell és L F
2
2
2
H =@
Az elektronok a fémben abszolút nulla fokon vannak.
2
2
Szorosan kötött elektron modell:
Kvázi szabad elektronok:
Bz-ban Nc (cella-)állapot:
g2
Messzebb ez a közelítés már nem jó, a többi rendet(?) is figyelembe kell venni.
=
9. Kristályos anyag elektronszerkezete Kvázi szabad elektronok, kéthullám-közelítés. Szorosan kötött elektron közelítés. Periódusos rendszer. Nemperiódikus szerkezet, lokalizált és delokalizált elektronok
2m
2
v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w u f 2 g2 f 2 g2 b 2 F b c2 G u c2 L M2 2 u f f f f f f f f f f f f 2 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f L M f f+ kf f f+ K f f f f f f f kf f f+ K f f f f f kf Ft @4 kf + 4LU1M 1 1 2m 2m 2m f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2m
f i kf Rfff f+ Rf f f f = X w rf f f f f+ R f f f f. e ϕ rf @ Rf @ Rf f f f f f f e m = X w rf nf n m m f f. Rf m
f
b c2 L M2 c2 G F 2 b f f f f f f f f f f 2 f f f f f f f f f f L M f f+ kf f f+ K f f f f f + f f kf f f+ K f f f f f @LU1M = 0 kf kf 1 1 2m 2m
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w v u H I2 b c2 u c2 2 uf 2 g2 2 b 2 kf u f f@ kf f f+ K f f f f f M L M2 f f+ kf f f+ K f f f f f L kf 1f 1f K L M f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f u f f f f f f f f f fJ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = Ft +LU1M
c
f Rff n
g
2
2
Ez a Wannier-előállítás. b
3
2m
gf
2
E=
b
` a
b c2 L M2 -f kf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f M f f+ K f f f f f LU1M = 0 @E A kf @ E @L 1 2m 2m 2
2
f= X w rf f f f f f e i kffRfffm ϕ rf n @R m ` a
Z U rf fe i Kffff1 rffd r = U1
i
2
E @E
Wannier-fv: ` a
VC
kf f f f f f f f f f f f f f l -f mh i h i l U1 m l 2m m C C0 l m 0 b c2 mj k= E j kQ a det legyen 0 l l m C1 f f f+ K f f f f f m C1 k l 1f C j k f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2
f előállíthatő Bloch-fv-ek lineárkombinációjaként.
f= u rf fe i kffrff ϕ rf
= U0 : = 0 ;
Vc
2
c f rf f Kffff+ kf
1f f f f f f f f
b c2 ` a i Kffff rff 3 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a 3 Z U rf Z U rf f f+ K f f f f f C1 + fe 1 d rC0 + fd rC1 = EC1 kf 1 2m Vc Vc
T
b
Vc
` a 3 Z U rf fd r
VC
f= X a kff e i kffT rff ; kf f f= K f f f f f+ kf f f f f= f rf 2 Bz ; kf T h T kff T
e
Vc
1f f f f f f f f
Az első tag 0, ha k2-k1=Kh, ami soha nem teljesül, tehát k1-nek és k2-nek ortogonálisnak kell lennie. Páros és páratlan fv-ek lineárkombinációjából minden „normális” fv. kikeverhető. (Az ∫-os tag = 0) ` a
c
2
3
a ` a 3 fϕ kff rf fd r rf
b
i Kffff + kff rff 1
` a 3 ` a i Kffff rff 3 1f 1f f f f f f f f f f f2 f f f f f f f f f f f f Z U rf Z U rf fd rC0 + fe 1 d rC1 = EC0 k C0 + Vc Vc 2m
Z ϕ kCff rf fϕ kff rf fd r ` a
1f f f f f f f f f f f f f f ff f w w w w w w w w e i kffrffe i K 1 r ϕ1 = p V
cm = e
i kff Rfff n
Ea e i kffRfffm + V X e b
b
i kff Rfff +h m
c
= Ee
f i kf Rfff m
h
c
E = E0 + V e i kffaff1 + e @ i kffaff1 + e i kffaff2 + e @ i kffaff2 + e i kffaff3 + e @ i kffaff3 d
b
c
b
c
b
ce
f f f f f f f f f f f f E = E0 + 2V cos kf af af af 1 + cos kf 2 + cos kf 3 `
a
E = E0 + 2Vcos ka Q 1D @ ben
Periódusos rendszer: Szigetelő: atomonként vagy primitív cellánként páros elektron. Legfelső elektronokkal telt sávot a többi felette lévő sávtól legalább kT energia választja el. Félvezető: olyan szigetelő, amit a félvezetőtechnológia használ. A fém azért szürke, mert fázishelyesen veri vissza a fényt. A fehér felület össze-vissza.
=
10. Fémek Állapotsűrűség, Fermi-nívó, Fermi-felületek. Csoportsebesség, elektronok mozgásegyenlete, Bethe-Sommerfeld-sorfejtés, elektronfajhő, Pauliszuszceptibilitás, Transzporttulajdonságok, vezetés, hővezetés, Seebeck és Peltiereffektus. Hall effektus, ciklotron-rezonancia 2 2 2 2 b c -f b c -f f f f f f K f f f kf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Ff f f= f f f f = E kf Q diszperziós reláció; E Kf = EF F 2m 2m
V f f f f f f f f f f f f f f f f 2 ` a3
` a
D E dE =
2π
Z
b
V 2 f f f f f f f f f f f f f f f f 2 ` a 3 4πk
3
1d k=
2π
c
f < dE E <E kf
h
V m f f f f f f f2mE f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w dE d k= 2 π -2 2 2mE f f f f f f f f f f f f f f f f f f - s 2 3
i
` a
D E =
2
2
2
b c f f f ∂E kf 1f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Csoportsebesség: vf csop = f f - ∂ kf 2` a f g ∂f Ef 1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
Effiktív tömegtenzor:
=
m*
V f f f f f f f f f f f f f f f f Z a3 2π
` a
E k
dS f f f f f f f f f f f f f L M= L ∂E M Lf f f f f f f f f f f f M =E L M L∂ kf M f f f
E k
V f f f f f f f f f f f f f f f f Z a3
2`
2π
` a
E k =E
b
c
b
` a
f
dS f f f f f f f f f f f f f f L M; M f f -Lvf
S parc . int
;
G
/
`
a
`
E =g E 1
a
I = G E f E |@ 1 @ Z G E f ` a ` a
` a
1
@1
/`
e
b
β E @EF
c
+1
1
dS f f f f f f f f f f f f f L M dE L ∂E M Lf M f f f f f f f f f f f =E L M L∂ kf M f f f g
∂E f f f f f f f f f f dk = dE f f ? ∂ kf
Fermi-Dirac eloszlás.
E dE = @ Z G E f a
= Z D ε dε + ` a
@1
` a
EF 0
= rendig
` a
EF T
` a
@1
b
D EF T
6
Z D ε dε +
elsö
` ac`
` acB
= N + D EF 0
Z
` a
D ε dε + D
` a
EF 0
/
` a
b
c
= D
` a
@1
/`
E
b ` ac` a2 πf f f f / D EF 0 kT 6
` aC
` a
a2
2 ` ac ` a2 πf f f f f f f ` a b ` a EF 0 + E F T @ EF 0 kT = 6
/
EF T @ EF 0 +
2 D Ef F ` πf f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f a2 b c kT EF T = EF 0 @ 6 D E
` a
kT
EF
F
` a
EF 0
@1
B
Z
` a
ε D ε dε +
` a
EF 0
` aC
` a
` a
EF T
` a ` a
b
c
` ag
f
2 D εf πf f f f f f f ∂ε f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 6 ∂ε
` ag
f
2 D εf πf f f f f f f ∂ε f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 6 ∂ε
`
kT
` a
`
` a
E F = EF 0
EF = EF 0
a2
kT
a2
=
=
2 b c` b c a2 πf f f f f f f D EF kT , ahol D EF az állapot @ ρ 6 2 b c 2 ∂Efff nergia f f f f f f f f f f f f πf f f f f f f Elektronfajhő: cv = ffff = D EF k T ∂T 3 Pauli-szuszceptibilitás: effff -ff f f f f ∆E = gµ B B; g = 2;µ B = ; B = µH 2m b c b c 1f f f f f M= gµ B N R @ N S V b c 1 1 ` a 1 /` a Df εf + gµ B Df εf D εf Bf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f` a f f f f f f f f f f f f f` a f f f f f f f f f f f f f f f f` a Z f ε dε = Z NR= f ε dε + Z f ε dε gµ B B 2 2 2
` a
1ffff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
c
I = Z g E A f E,T dE , ahol f E,T =
πf f f f f f f /b 2
= Energia 0 +
(az e- rsz.t ~50000K-re kellene melegíteni, hogy klasszikusan viselkedjen)
Bethe-Sommerfeld-sorfejtés:
@1
` a
- ∂kα ∂kβ
` ag
f
= Energia 0 + EF T @ EF 0 EF D EF +
E < E k <E + dE
` a
@1
` a
EF T
` a
b c F - kf G f f A f f f f f f f f f f f= e Ef f f+ e vf f f B Bfff@ Mozgásegyenlet: - kff , τ ahol az utolsó tag a fékezőerő. ` a V V V 3 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Z d k = 2 ` a 3 Z dk ? dS = 2 ` a 3 Z D E dE = 2 ` a3 2π 2π 2π ` a ` a
D E =2`
1
Energia T = Z ε D ε f ε dε +
2
α,β
EF
2 εf ` a ` a ` a ` a a2 πf f f f f f f ∂D f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` N T = Z D ε f ε dε = Z D ε dε + kT = 6 ∂ε
-
w w w w w w f w w w w w w w w f f f kf v -f kf m f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f p2 m pE j E = -f ; dE = dk ; dk = 2 dEk 3 2m m π2 - k ahol D(E) az állapot sűrűség. 3fff f f 2
Szigetelőre tesszük, és a kémiai potenciál hőmérséklet-függését nézzük:
M=
b
@1
V
b
@1
@1
c2
1 gff @ µf Bf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
Z D ε f ε dεB /` a ` a
0
c2
b
c2
1 gµ gµ b c Bf Bf M /` a ` a f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f χ= = µ 0 Z D ε f ε dε = µ 0 D EF H V V
a
E dE
@1
f’(E) EF helyen 0 (Dirac-δ miatt) → G(E)-t csak EF helyen kell nézni.
` a
D ε b
w w w w w = α pε ; c
D EF =
3N f f f f f f f f f f f f f 3-
EF
3 w w w w w 2f f f f 2fff E = Z α pε dε = α 3 @ e ok száma
α f f f f f f f f f f f f f f f w w w w w ; D ε = p 2 ε /` a
EF =
3N f f f f f f f f f ; 2εF
b
c
1/ 2
s N
f
0
b c2 Nfff 1f f f3f f f f f f f f f f gµ B µ 0 V 2ee Eee e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Fe
gE F
=
0
3 2f f f f /2 αEF 3
χ=
2εF 2 Transzporttulajdonságok: e--ok mozgása fázistérben → eloszl. fv.: f(k,r)
G(E) sorbafejtése EF körül: b
c
I = @ Z G EF f
/`
/
{ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~y I0
b
E dE @ Z G EF a
cb
c
E @ EF f
/`
E dE @
{ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~y
c2 / ` a 1f f f f // b cb @ 2 Z G EF E @ EF f E dE { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~y
I1
jf f
I0 = @ G E F
f
/
1
Z f
@1
/
E =b b
e
I1 = G E F
1f f f f f f f f f
kT
b
E @ EF
c
+1
F
c
b
1
EF
1f f f f f f f f f
kT
1
=@
` a
1f 1f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f b c b c kT be β E @ E F + 1cb e @ β E @ E F @ 1c
E @ E f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f F b c c b @ βb E @ E c c dE β E @E
Z b
@1
c
e
F
+1 e
F
@1
b c xf / f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f a` a dx = 0 = G EF kT Z ` x e + 1 e@x + 1 1
@1
1f f f f I2 = G 2
b //
EF
c
1f f f f f f f f f
kT
b
E@E
c2
b
=
Ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Z b b c b c cb c dE 1
@1
e
β E @ EF
+1
e
@β E @EF
@1
c
=
2 2 b c` b c` a2 a2 1f xf πf f f f // f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f1f f f f // a` a dx = G EF kT Z ` x G EF kT 2 6 2 e + 1 e@ x + 1 @1
1
EF
@1
@1
2 ` a ` a ` a a2 πfff f f f f / ` a` Tehát I = Z g E f E dE = Z g E dE + g E kT → ezt felhasználva: 6
EF
` a
g 2f D εf ` a ` a ` a ` a a2 πf f f f f f f ∂ε f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` Energia T = Z ε D ε f ε dε = Z ε D ε dε + kT 6 ∂ε 1
@1
@1
3
f f; σ = jf f= σ Ef
3
b
c
1f f f f Q vezetöképesség ρ
1f f f f f f f f f f f f f f f f a3 Z
f f, rf f d k ; jf kf f=2` 3
hö
2π
d b c e b c 3 f f@ EF vf f ff kf f f, rf fd k ε kf
Widemann-Franz – törvény 2 2 2 2 2 b c b c πf kf T κf kf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f πf f f f f f f f f f f f f f jf jf σ EF Lorentz-szám: L: = = f = @ κ gradT f= 0 ; κ = hö el 3e 2 T σ 3e 2 Kereszteffektusok: – Seebech-eff.: f g 2 2 b c πf kf T f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ∂lnσ f f f f f f f f f f f f f f f f= S gradT Ef jf S= f= 0 ; el 3e 2 ∂ε ε = EF
Termofesz: hőmérséklet gradiensnél lesz térerősség. – Peltier-eff.: jff = π jff ; T = áll el
Hall-effektus: RH → Hall-állandó. Rf Uf If f f f f f f f f f f f f f f f f f E = R H jB Q = R H B Q U = H IB l ld d b c f f f f = e Ef f f; vB = E ; j = env e vf B Bf
1f 1 f f f f f f f f f f f f f f jB [ R H = ; e - részecske töltése, n - töltés szám/m3, v - drift sebesség en ne Ciklotron rezonancia: (mágneses térben a fém hogyan rezonál – MRI,MSR…) b c dk f f f A E 1f |f |f f f f∂f f f f f f f f f f f f f f f f f f A f f= e vf f f f f ; vf f f= mozgásegyenlet: - kf B Bf ; T = E dt = E / ; - k | | = ev ? B f f - ∂ kf k| | E=
1
=
2π
hö
páratlan fv . int . ja
f f, rf fd k d r ; kf
1f f f f f f f f f f f f f f f f f ff a3 Z e vf
=2`
Hővezetés:
E dE = G EF = Z g E dE
` a
@ 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f fβ b c c2 e β E @E
` a /
c
2π
elektromos
I2
b
1f f f f f f f f f f f f f f f f a3 Z f
N=2`
a
EF
T =E -
dk dk -f 1f -f |f |f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Z Z f ?g = = dk = ev ? B eB v ? | | eB 1fffff f ∂E f f f f f f f f f f f f f g -f f f f f f f f ∂S f f f f f f f f
-f 1f f f f f f f ff f f f f f f f E k dk = = eB ∆E ? | | eB ∂E 2
2
f f f - ∂ kf
?
2π 1f f f f f f f f f 2πeB f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f d e ;ω= = 2 ∂S T f f f f f f f f f f f E = EF ∂E
E = EF
h
i h b b ∂f pf pf ` ai f f f f f f f∂f f f f f f f f l f m f f ∂A rf f f f f f f f f f f f f f f f f f f l ∂ p ∂ rf m fm e e@ e f f f l m l I l m m=l f f ∂ r e=l m Je l m j k l ∂f m b b rf rf f f f f f f f∂f f f f f f f f j f k e e 0 I f ∂ pf f f ∂ rf
11. Mágneses tulajdonságok Atomi paramágnesség, Curie-törvény. Atomi diamágnesség, Pauli szuszceptibilitás, Landau- diamágnesség, Atomi paramágnesség: L - pálya imp.mom.; L2 SÉei: ħ2l(l+1) Lz: -lħ…lħ S - spin imp.mom. ħ2s(s+1) Sz: -sħ…sħ ħ2j(j+1) Jz: -jħ…jħ J - össz mom. b c µf f f f f f f B f f f f f= f f+ 2 Sf f ; Ef f f= M f f f f fBf f f= @ gµ B m Bf f f M - mágneses mom. M Lf (ahol g a giromágneses faktor) -j < m < j (n=N/V – atom sűrűség) j
Mz = ngµ B
X me @ gµB mB
j
mf =f @ jf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f j
X e @ gµB mB
; S= j
m = @j
X me
mx f f f f f f f f f f f f f j
mf =f @ jf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f j
X e
mx f f f f f f f f f f f f f f j
=
df f f f f f f
dx
Kvantumosan:
` a
j
m = @j
mx f f f f f f f f j
m = @j
H f shJ x 1
gI 1f f f f f f f fK d e d e d e b c + 1f 1fff 1f f f f f f f f f f f f f f xf f f f f x 1+ x 1+ @x 1 + 2j + 1 2j j 2j 2j x j ` a ef @ 1f @ ef @ ef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ef f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f d e z x = ex = = = xf xf xf xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ x f f f f f f f f ej@1 ej@1 e 2j @ e 2j sh 2j f g H f gI d e d e 1 1 x x 1 + ffffffff chJ x 1 + ffffffff Ksh ffffffff ` a sh ffffffff 2j 2j 2j / xf 2j ` a zf df f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f d e I S= ln z x = ` a = H f @ g = 2 xf dx z x f f f f f f f 1f f f f f f f fK sh J sh x 1 + 2j 2j H f gI d e 1f x 1 f f f f f f f ch ffffffff shJ x 1 + ffffffff K f g f g f g 2j 2j 2j ` a 1f 1f 1f xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f d e = Bj x = 1 + cth x 1 + @ cth @ 2 xf 2j 2j 2j 2j f f f f f f f sh 2j
Ahol Bj(x) a Brillouin-fv. 2` a 2` a xf +f sh xf ch ` a 1f xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ch f f f f f f f f f f f 1) j = : B1fff x = 2ct h 2x @ ct h x = 2 @ = th x 2sh x ch x 2 sh x 2 b c ` a 1f f f f Langevin @ fv . 2) j Q 1 : B1 x = cth x @ x ` a 3) x Q 1 : xlim = Bj x = 1 Q1 4) x << 1 :
2 2 2 xf xf xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f +f 1f +f 2 g 2 g 1 + ch xf xf xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f ff f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2f 2f 3f 2 cth x = = 1+x @ = 1+ = 3 = 2 = x x sh x x x 6 x 3 x x + ffffffff 1 + fffffffff 6 6 h i f g2 f g2 1f 1 l f f f f 1 1 k 1 + j x 1 + ffffffff m 1 + fffff x ffffffff 3 2j f g 3 2j ` a 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1 f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Bj x = 1 + @ = f g 1f f f f f f f f 2j 2j 1f f f f f f f f x 1+ x 2j 2j
c
2
^ @ eBx ^ + p ^ b c p^fff +fff pf -k xf yf zf ` a ` a eB yf i k y+k z f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f H= ; ψ x,y,z = e y z ϕ x ; ω = ; x0 = m 2m eB h i b c2 2 2m l p2 -k y @ eBx ` a ` a kf j f k f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f -f f f f f f f f f f f f f zf xf + + =ϕ x =Eϕ x 2m 2m 2m ^
ln z x ; z x = X e ` a
b
2
e= 1 ; det Je
h l l j
i
2 2 2 pf ` a2 m ` a ` a -f kf f f f f f f f f 1f f f f xf f f f f f f f f f f f f zf m= ϕ x = E ϕ x + mω 2 x @ x0 + { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~y 2m k 2~ 2m lin oszc
Lin oszc. SÉ.:ħω(n+1/2) b
c
b
c
(absz. 0K-en számolunk) 2 2 g kf 1f f f f -f f f f f f f f f f f f f zf + 2 2m
f
E ky ,kz ,n = E kz ,n = -ω n + E=2 X
k y ,k z ,n
(
d
b
c
e
n
kz
1) 2) 3) 4)
Ferromágnes: Antiferoomágnes: Ferrimágnes: Spinüveg:
M = ngµ B j
=
b
b c2 j j + 1 1 jB jfff +f 1f f f f f f f f f f gµ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f = B = n gµ B B 3j kT 3 kT
b
=
3
c
c
b
Ferromágneses domainek: a két domain határán lesz egy olyan tartomány, ahol a spinek rosszul illeszkednek, és ez a fal energiaveszteséget okoz. Hiszterézis görbe: MS – telítettségi mágnesezettség MR – Remanens (maradék) mágnesezettség HC – Koercitív erő (azaz erő, ami 0 mágnesezettséget okoz) (Transzformátor: HC legyen kicsi) Weiss-elmélet (klasszikus): f g gµ jB ` a f f f f f f f f f f f f f f f f f f f B M = ngµ B jB j = f H + λM , ahol λM a belső mágneses tér kT Ha λ-t csökkentjök, csak egy metszéspont lesz. pl Winchester
`
F + eρ ωB = mρ ω + ∆ω eB f f f f f f f f f f 2m
mρ ω 2 + mρ ω2∆ω = F + eρ ωB ; ∆ω =
a2
∆ω ∆ω f f f f f f f f f f2 f f f f f f f f f f2 Mi = @ e ρ π =@eA ρ 2π i 2 i d * + * +e ( 2) ∆ω ∆ω ∆ω ∆ω f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2 f f f f f f f f f f( 2) f f f f f f f f f f X ρ i2 = @ ze Mz = @ e ρ = @ ze x + y 2 = @ ze r 2 i 2 2 3 2 2 ( 2) ( 2) ze ze f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f M =@n r B ; χ =@n r µ0 6m 6m Landau-diamágnesség:A pályamomentumból adódik – klasszikusan nem lehet kimutatni. (Szabad e- -ok mágneses térben körpályán mozognak és csökkentik a külsö mágneses teret.) f g µf µ ` a Nf 1f f f f f3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ef 0f χp = ; µ e = gµ B = µ B ; H p,r = 1fff f f V2 2 EF2
Állapotösszeg: z = Z e
@
b c H f f f f f f f f pf frf kT
b
` ac2 f f pf @ eA rf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2m
3 3 f d p d r ; pb = pf @ eA r ; br = rf f f
` a
mágnes
Bifurkáció:
c
b c2 j j + 1 dM 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f C f f f f f χ= = n gµ B µ0 = Curie-törvény (C - Curie együttható) dH 3 kT T (A spinek nem hatnak kölcsön!) Paramágnesen (adiabatikus) lemágnesezés: 0K körül 1K-es gadolinium sót raknak a 4,7K-es He-ba, bekapcsolják a mágneses teret, így forralni fogja a He-ot. Ezután elszívják a He-ot és kikapcsolják a teret, így 1mK-es lesz az anyag.
Atomi diamágnesség: mρ ω 2 = F (ahol ρ a sugár)
ky
x
3j
B =µ0 H
e
c
(Fe,Ni,Co) (Cr,Mn) (szilárd oldat – rendezettlen ötvözet)
f g2 f g2 f g 1f 1 1 1 1 f f f f 2 x 1 + ffffffff @ x @ fffffx 2 ffffffff x 1 + ffff 3f 2j 3f 2j jf +f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f jf f f f f f f f f f f f
x
b
12 Állandó mágneses momentummal rendelkező anyagok: Ferromágnesek, antiferromágnesek, ferrimágnesek, spinüveg. Ferromágneses domének, hiszterézis, Belső tér közelítés. Curie-Weiss-törvény. Spinhullámok. Antiferromágnesség, spinüvegek. Mágneses ellenállás
1+ =
d
E kz ,n @ EF = 2 X X E kz ,n @ EF X 1
` a 1f 1f f f f f f f x ; H ≠ 0[M = x@H λ λ Kis terek esetén sorbafejtés 0 körül: f g χ ` a C Cf pf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f M = χ param H + λM [ M = H= H felh: χ p = ; Cλ = T Curie 1 @ 2χ p T @ λC T
H=0[ M =
Innen: M =
C f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f H a Curie-Weiss törv. (C a Curie konst.) T @ T Curie
f f (J ij a kicsrélődési ∫) Hamilton-op: H = @ X J ij Sf Sf i j i,j
Magnon („Sipnhullám” - a spinváltozás továbbterjedése): (Alacsony T miatt lehet ∞-ig integrálni)
n =X
( )
kff
B
C p
V kf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f3 = ` a3 Z d k 2 2 β-αk β-αk 1 k
e
β=
@1
2π
1f f f f f f f f f f f f f ; kB T
2π
β -α
e
x: = β -αk
pfff +ffff 3fff f f 1 2
f g V 1f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f a3
=`
Bz
Z 0
pf + 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
@1
2
[
V f f f f f f f f f f f f f f f f a3 Z
1
p
=`
k=
2π
p +2
e
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w 1f f f f f f f f f f f f sf
β -α
0
kf 4π f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f3 β-αk
2
@1
d k=
x
pffff +ffff 3ffff p = 0 3fff 2 ( ) 2πx 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f f w w w w w w dx ∝ T 2 [ n ∝ T2 e x @ 1 2 px
b
A szupravezető szuszceptilibitása -1 → tökéletes diamágnes.
3f f f
A másodfajú szupravezetőknél a kritikus tér után a tér már belemegy a szupravezetőkbe (összesűrűsödik→örvényvonal→belül kiterjed→örvények (vortex))
3f f f
w 3 w2 Cmagnon ∝ T 2 ; C = A a{T }y+ β T + γT elektron
fonon
c
f f= µ H f f f f= µ 0 µ r H f f f f= µ 0 1 + χ H f f f f ha χ = @ 1 Q B = 0 Bf
3fff
Ez a Bloch-féle T 2 -es törvény. 2 5fff -αk f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f Emagnon = X ∝ T2 2 n e β-αk @ 1
magnon
Antiferromágnesség: (Curie-Weiss törvényhez hasonlóan lehet számolni)
H-T diagram normál fémre és szupravezetőre, meg elsőfajúra és másodfajúra. A kritikus pont alatt a mágneses tér kikerüli a szupravezetőt. Ha belemegy a mágneses tér a szupravezetőbe a kritikus pont fölött, akkor bennemarad a kritikus pont alatt is, ha 0 térnél hűtjük le, akkor nem lesz középen tér.
Paramágnes: χ p =
C f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
T @ TC
Antiferromágnes: χ a =
Fluxuskvantálás: Mekkora tér fagyhat bele a lyukba? Félklasszikus kvantálás:
;
C f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
T @ TN
(ahol TN a Neél-hőmérséklet)
Spinüveg: (pl: Cu – 1-2%Mn vagy Fe; Au – 1-2%Mn vagy Fe) Tg-ig paramágnes, ez alatt spinüveg. Frusztrációs modell: a bekarikázott részen nem „tudja”, merre álljon a spin:
E pf f= nh f fd rf
;
f f f= Hf
b
c2 f f f f 2 @ qf A pf f f f f f f vf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f m f f f f f f f f f f f f f
2m
=
f f= pf f f f [ pf f f+ q A f f f f m vf @ q Af f f f f= m vf
2
A fentiek alapján az első integrálba visszahelyettesítve: b
c
f f+ q A f f f f d rf f nh = E m vf
Mivel a szupravezetőknek csak a felületén folyik áram, ezért mv = 0, így: f f fd rf f= q E rot A f f f fd ff f f= q Z Bf f fd ff f f= qφ q E Af
nf f f f f f f f Q az anyag fluxusa kvant ált q ` a nf f f f f f f f Q Cooper @ párok 2 e @ φmért = 2q φ=
pár nm-es rétegek Az ellentétes irányún törik. (H ≠ 0 –nál 50%os az effektus)
Pinning → tűzdelve: csak a pinningelt szupravezetők tudnak lebegni (rajta kell maradni egy konstans körön). Magas hőmérsékleten a szupravezető mindig másodfajú.
Izotópeffektus: Ha nehezebb izotópot veszünk, TC eltolódik:
1f f f f f f f f f f f f f w w w w w w w w w w csak egyfajta anyagon belül igaz Tc ∝ p M
13. Szupravezetés A szupravezetés története. London-elmélet. Első és másodfajú szupravezetők. Fluxuskvantálás, izotópeffektus, magas hőmérsékletű szupravezetők
Mi köze az atomtömegnek a szupravezetéshez (hiszen az elektronok csinálják, nem?)? 1957. BCS-modell: Bardin-Cooper-Schieffer (1972-ben Nobel-díj) Másodkvantált formalizmus (nem perturbatív számolás).
A szupravezetés története: 1908. Heike Kamerlingh Onnes: He cseppfolyósítása, 4,22 K-en szuperfolyékony. 1986. kerámia, YBa2Cu3O3, Tc=90K 1987. 30K, Nobel-díj: Johannes Georg Bechart, Karl Axl Müller London-elmélet: ∂D ∂D f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f= jf rot Hf , de = 0, mert csak a stac áramot nézzük f+ ∂t ∂t És j = σE nem érvényes, mert gyorsulnak az elektronok. f f= q Ef f f jf f f m vAf f= qn vf Meister-effektus: w w w w w w w w w w w w w w w w w w w
` a
xf f f nµ df B xf ` a F f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1 f f f f f f f f f f f f f f f f f f fx = Bf f fe λ λ = q s 0 Q behatolási mélység = 2 Q Bf 2 0 dx m λ 2
Ha feltesszük, hogy: (A – vektorpotenciál)
1f f f f f f f f f f f f f f f f f f jf f= 2 A akkor egyszerűbben
f f rot µ 0 jf f= @ rot rot Bf
µ0 λ
jutunk a megoldáshoz.
1f 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2 rot A = @ 2 B λ λ Meister-effektus: a szupravezetőbe „nem megy bele” a tér (B belül 0).
@
Az abszolút értékük nulla lesz (szingulett állapot – lehetne triplett is, de nem az). Párok alakulnak ki (bozonok lesznek, sokkal nagyobb szabadság→az anyagban is mehetnek – az egész anyagon végighalad). Szupravezetést a fonon-fonon kölcsönhatás és a szabad elektronok hozzák létre→magas hőmérsékleten egyik sincs. Szupravezetők: kis mágneses tér mérésére, nagy mágneses tér előállítására→csak addig, amíg bírják a saját mágneses terüket, vagy az azt létrehozó áramot, különben felrobban.
Magas hőmérsékletű szupravezetők: ` a kerámiák La 2 @ x Sr x CuO4 ; LaSr Q La Valószínűleg:
Vezet O atom p elektronja (csak a 1) réz síkok vezetnek → irányban) 2) Cu2+ ionok között antiferromágneses csatolás
