12. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Törtvonalú rudak, Gerber tartó igénybevételi ábrái

SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM

ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK

12. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Törtvonalú rudak, Gerber tartó igénybevételi ábrái 12.1. Példa Adott: az ábrán látható törtvonalú tartó méretei és terhelése.

M 0  8 kNm,

F0  6 kN,

q0  3 kN/m  Fq  12 kN.

y 2a

2a

q0

FAx

A

M0

s

C

B

FAy

a

F0 D

a x E FEy

Feladat: a. Határozza meg a támasztóerőket! b. Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! Mennyi a maximális nyomaték?

12-Törtvonalú rúd. Gerber tartó igényb.ábrái

1/9

Megoldás: a. A támasztóerők meghatározása Fx  0  FAx  F0

FAx  6 kN   



M a  0  2  Fq  M 0  1  F0  4  FEy 

FEy 

2  Fq  M 0  1  F0

4 Fy  0  FAy  Fq  FEy

 2,5 kNm   

 FAy  9,5 kN   

b. Az igénybevételi ábrák a „kiterített” rúdon. Figyelem: a vizsgált keresztmetszet tengelyiránya – ezzel együtt az N valamint a Ty irányai is - a C töréspontban változik.

A

N 6

B

C

D

E

 kN  6 s

Ty 9,5

2,5

 kN  9,5 3,5

3,5

3,5

s 2,5

2,5

8 kNm

M Hz

2,5

6

 kNm

6 s

5

9,5

13


8,5

6

M Hz max  13 kNm

2/9

12.2. Példa Adott: az ábrán látható törtvonalú tartó méretei és terhelése. y

2 kN/m

FAx A

s

B

FAy

2m

FDx

C

D 3m

x 1 kN

Feladat: a. Határozza meg a támasztóerőket! b. Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! Mennyi a maximális nyomaték? Megoldás: a. A támasztóerők meghatározása. Fy  0  FAy  6  1  FAy  5 kN    M a  0  1,5  6  3 1  2  FDx

Fx  0  FAx  FDx



FDx  3 kNm   

 FAx  3 kN   

b. Az igénybevételi ábrákat úgy rajzoljuk meg, hogy a teljes hosszát az s menetirányban „kiterítjük. Figyelem: a vizsgált keresztmetszetek tengelyiránya – ezzel együtt az N valamint a Ty irányai is - a töréspontokban változnak. ( B és C pontok)


3/9

A

B

N 3  kN 

3

D

s

s

1

1 3

Ty

 kN 

C

5

3

s l

1 3

3

M hz

 kNm 

s

M max 7.5

6

A maximális hajlító nyomatékot az A ponttól l távolságra lévő keresztmetszetre ható baloldali erőrendszerből határozzuk meg: A nyíróerő ábrából:

l 3l   l  2,5 m , 5 1

majd a nyomatékot „balról” számolva: l 2,5 M H max  l  FAy   l  q  2,5  5   2,5  2  6, 25 kNm 2 2


4/9

12.3. Példa Adott: az ábrán látható Gerber tartó méretei és terhelése. a  1 m , F  6 kN , q0  6 kN/m , M  6 kNm

y

Fq

1

2F B

A

C

q0

D

F

2F

a

a

2

a

x FGx

M

FCy

FAy

G

E

FGy a

a

Feladat: a. Határozza meg a támasztóerőket! b. Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! Mennyi a maximális nyomaték? Megoldás: A fenti ábrán a keresett támasztó erők is láthatók, melyekből FGx erőt, az összetett test egészéből számoljuk ki (1.+2.):

F

x

 F  2 F  FGx  FGx  6 kN 

Gerber tartó esetén a támasztó erők meghatározását, mindig a „fityegő” résszel – jelen esetben a 2. testtel – kezdjük.

M d  0  a  Fq  2a  FGy  M

F

y

FGy 



M  a  Fq 2a



6  12  9 kN , 2

 F12 y  Fq  FGy ,

y

Fq

 F12 y  3 kN  , D

F

x

 F12 x  FGx ,

 F12 x  6 kN  .


q0

F12 x

F12 y

G

E

FGx

M

2

a

x

a

FGy

5/9

Következő lépésben az 1. test egyensúlyát vizsgáljuk úgy, hogy a C majd az A ponton átmenő tengelyekre írjunk föl nyomatéki egyenletet: y

1

F21y

2F B

A

C

x

F

2F

F21x

FCy

FAy a

a

a

FAy  F 

F12 y

M c  0  2a  FAy  a  2F  a  F12 y



M d  0  3a  FAy  2a  2 F  a  FCy



 4,5 kN  2 FCy  3FAy  4 F  10,5 kN 

F



F21x  6 kN 

x

 F  2 F  F21x

Az erők ismeretében most már az igénybevételi ábrákat megrajzoljuk: 12 kN

y

12 kN B

A 4,5 kN

6 kN

C

q0

D

6 kN

12 kN

10,5 kN

x

9 kN 6 kNm

N [kN]

6

6

6

x

6

Ty [kN]

4,5

4,5

3

3

6 kNm

x

3

7,5

7,5

9

3

M Hz [kNm]

x 1,5 4,5


M Hz max  6 kNm

6

4,5

6/9

12.4. Példa Adott: az ábrán látható Gerber tartó méretei és terhelése. a  0,9 m , b  0, 6 m , c  0, 7 m , k  0,3 m , F  7 kN , q0  8 kN/m

B y k q0=8 kN/m A

x

C

s a

D

F=7 kN c

b

Feladat: a. Határozza meg a támasztóerőket! c. Rajzolja meg a tartó igénybevételi ábráit! Mennyi a maximális nyomaték? Megoldás: A lenti ábrán a keresett támasztó erők láthatók a szerkezetre berajzolva. Fq0=10,4 kN

FBx

B

y k MA

q0

FAx A

FAy

s

x D

C

a

F=7 kN c

b

A fenti tartószerkezetet két részre bontjuk és a két részre külön-külön felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.

F12y

F21y MA

Fq0=10,4 kN

2

1

A FAy

k q0

F12x

FAx C a


F21x

FBx

B

D

C b

F=7 kN c

7/9

1-es rúdszerkezet: 1. Fx  0  FAx  F21x 2. Fy  0  FAy  F21 y 3. M c  0  M A  aFAy 2-es rúdszerkezet: 4. Fx  0  F12 x  FBx 5. Fy  0  F12 y  Fq 0  F bc 6. M c  0  bF    Fq 0  kFBx  2 

A fenti egyenletrendszer megoldása: bc 0, 6  0, 7 bF   10, 4  Fq 0 0, 6  7  2   2 6. FBx    8,53 kN    k 0,3

5. F12 y  Fq 0  F  10, 4  7  3, 4 kN    F21 y   F12 y  3, 4 kN   



4. F12 x   FBx  8,53 kN F21x   F12 x  8,53 kN



1. FAx   F21x  8,53 kN   

 

2. FAy   F21 y  3, 4 kN

3. M A  aFAy  0,9  3, 4  3, 06 kNm Fq0=10,4 kN

FBx=8,53 kN

B

y MA=3,06 kN

k q0

FAx=8,53 kN

FAy=3,4 kN

A

s a


x D

C

b

F=7 kN c

8/9

A tartó igénybevételi ábrái:

a

b

c

k s

A

D

C

B

N [kN] s

-8,53

-8,53 5,6

Ty [kN]

3,4 s

-1,4 3,06 kNm -8,53

-8,53

Mhz [kNm] 3,06

s -0,6

-1,02 -2,56

-2,56

Maximális nyíróerő értéke, helye: Ty max  8,53 kN , D-B rúdszakasz. Maximális hajlító nyomaték értéke és helye:

M hz max  3,06 kNm , A ponti keresztmetszet.


9/9

12. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Törtvonalú rudak, Gerber tartó igénybevételi ábrái

Recommend Documents