Fa rudak forgatása – II. Dolgozatunk I. részében egy speciális esetre oldottuk meg a kitűzött feladatokat. Most egy általánosabb elrendezés vizsgálatát végezzük el. A számítás a korábbi úton halad, ügyelve a változtatásokra. Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Az 1. ábra a forgatást lehetővé tevő csappal összekötött fa rudak oldalnézeti képe. Az egyszerűség kedvéért a rudak legyenek téglalap keresztmetszetűek. Az 1. ábrán azt szemlélhetjük, hogy hogyan néz ki az általánosabb eset. Kikötés:
0 < ( α , β ) < 90 .
(1)
Az 1. ábráról az is leolvasható, hogy
r cos α r b= cos β a=
, .
(2)
A továbbiakban nem rajzoljuk meg a rudak testét, hanem csak tengelyvonalaikkal és az azokhoz kötött adatokkal dolgozunk. A felső ( lila ) rudat az érintkezési síkidomra merőleges, annak O középpontján átmenő z tengely körül tetszőleges φ szöggel elfor gathatónak, míg az alsó ( kék ) rudat nyugvónak képzeljük. A feladat most is a rúd tengelyek által közbezárt ψ szög, valamint a tengelyvégek t = AB távolságának meg határozása, a φ elforgatási szög függvényében. A számítást a 2. ábra alapján végezzük.
2
2. ábra A skalárszorzat értelmezése szerint:
cos ψ = e1 ⋅ e2 .
(3)
Az egységvektorok kifejezései – a korábbiakhoz hasonlóan – :
e2 = cos β ⋅ i − sin β⋅ k ; e1 = cos α ⋅ e1,vet + sin α ⋅ k ; e1,vet = cos ϕ ⋅ i + sin ϕ ⋅ j .
(4) (5) (6)
Majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
e1 = cos α ⋅ ( cos ϕ⋅ i + sin ϕ⋅ j) + sin α ⋅ k = = cos α ⋅ cos ϕ ⋅ i + cos α ⋅ sin ϕ⋅ j + sin α ⋅ k .
(7)
Most ( 3 ), ( 4 ) és ( 7 ) - tel:
cos ψ = ( cos α ⋅ cos ϕ ⋅ i + cos α ⋅ sin ϕ⋅ j + sin α ⋅ k ) ⋅ ( cos β ⋅ i − sin β ⋅ k ) = = cos α ⋅ cos ϕ ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ,
tehát:
cos ψ = cos α ⋅ cos β ⋅ cos ϕ − sin α ⋅ sin β ;
(8)
3
innen:
ψ ( ϕ ) = arccos ( cos α ⋅ cos β ⋅ cos ϕ − sin α ⋅ sin β ) .
(9)
Ez az első keresett függvénykapcsolat. A másodikhoz a 2. ábra szerint koszinusz - tétellel:
t 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ψ ;
( 10 )
majd ( 8 ) és ( 10 ) - zel:
t 2 = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ ( sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β ⋅ cos ϕ ) .
( 11 )
Ezután ( 2 ) és ( 11 ) - gyel: r2 r2 r r 2 t = + + 2 ⋅ ⋅ ⋅ ( sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β ⋅ cos ϕ ) = cos 2 α cos 2 β cos α cos β
sin α sin β r2 r2 = + + 2 ⋅ r2 ⋅ ⋅ − cos ϕ = 2 2 cos α cos β cos α cos β 1 1 = r2 ⋅ 2 + + 2 ⋅ tg α ⋅ tg β − cos ϕ ( ) = 2 cos α cos β
(
) (
)
= r 2 ⋅ 1 + tg 2 α + 1 + tg 2β + 2 ⋅ ( tgα ⋅ tgβ − cos ϕ ) =
(
)
= r 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ cos ϕ + tg 2 α + 2 ⋅ tgα ⋅ tgβ + tg 2β = 2 1 − cos ϕ tg α + tg β = r ⋅ 2 ⋅ (1 − cos ϕ ) + ( tgα + tgβ ) = r ⋅ 4 ⋅ + 4⋅ = 2 2 2
2
2
2 ϕ tgα + tgβ 2 = 4 ⋅ r ⋅ sin + , 2 2 innen: 2
ϕ tgα + tgβ t ( ϕ) = 2 ⋅ r ⋅ + sin . 2 2 2
Ez a másik keresett függvénykapcsolat. Most jöjjön néhány specializáció.
2
( 12 )
4
S1. A rúdtengelyek merőlegesek egymásra Képlettel:
α + β = 90 .
( 13 )
Ekkor ( 13 ) miatt fennáll, hogy
( (
) )
cos β = cos 90 − α = sinα , sin β = sin 90 − α = cos α .
( 14 )
Most ( 8 ) és ( 14 ) - gyel:
cos ψ∗ = cos α ⋅ sinα ⋅ cos ϕ − sin α ⋅ cos α = − sin α ⋅ cos α ⋅ (1 − cos ϕ ) = = − sin 2α ⋅
ϕ 1 − cos ϕ = − sin 2α ⋅ sin 2 , 2 2
tehát:
cos ψ∗ = − sin 2α ⋅ sin 2
ϕ , 2
( 15 )
amiből:
ϕ ψ ∗ ( ϕ ) = arccos − sin 2α ⋅ sin 2 . 2
( 16 )
Innen további specializációval: α = 45° esetére kapjuk ( 16 ) - ból, hogy
ϕ ψ ∗∗ ( ϕ ) = arccos − sin 2 . 2
( 17 )
Ez megegyezik az I. rész ( 7 ) képletével. ☺ Most a ( 12 ) és a ( 13 ) képletek szerint:
(
)
tgα + tgβ tgα + tg 90 − α tgα + ctgα = = = 2 2 2
tgα + 2
1 tgα
tg 2 α + 1 = = 2 ⋅ tgα
1 1 + tg 2 α 1 + tg 2 α 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = , 2 tgα 1 2 sin α cos α sin 2α tehát ekkor:
5
tgα + tgβ 1 = ; 2 sin 2α
( 18 )
most ( 12 ) és ( 18 ) - cal:
ϕ 1 t ∗ ( ϕ) = 2 ⋅ r ⋅ + sin . 2 sin 2α
( 19 )
Innen további specializációval: α = 45° esetére kapjuk ( 19 ) - ből, az r =
l 2
2
2
képlettel is, hogy
l ϕ ϕ t ∗∗ ( ϕ ) = 2 ⋅ ⋅ 1 + sin = l ⋅ 2 ⋅ 1 + sin 2 , 2 2 2 2
tehát:
ϕ t ∗∗ ( ϕ ) = l ⋅ 2 ⋅ 1 + sin 2 , 2
( 20 )
egyezésben az I. rész ( 9 ) képletével. ☺
S2. A rúdtengelyek az összeillesztés síkjával egyenlő szöget zárnak be Képlettel:
α =β .
( 21 )
Most ( 8 ) és ( 21 ) - gyel:
cos ψ ∗∗∗ = cos α ⋅ cos β ⋅ cos ϕ − sin α ⋅ sin β = cos 2 α ⋅ cos ϕ − sin 2 α =
(
)
= cos 2 α ⋅ cos ϕ − 1 − cos 2 α = cos 2 α ⋅ cos ϕ + cos 2 α − 1 = cos 2 α ⋅ (1 + cos ϕ ) − 1 = = 2 ⋅ cos 2 α ⋅
1 + cos ϕ ϕ ϕ − 1 = 2 ⋅ cos 2 α ⋅ cos 2 − 1 = − 1 − 2 ⋅ cos 2 α ⋅ cos 2 , 2 2 2
tehát:
ϕ cos ψ ∗∗∗ = − 1 − 2 ⋅ cos 2 α ⋅ cos 2 , 2
( 22 )
6
innen:
ϕ ψ ∗∗∗ ( ϕ ) = arccos − 1 − 2 ⋅ cos 2 α ⋅ cos 2 . 2
( 23 )
Innen további specializációval: α = 45° esetére kapjuk ( 23 ) - ból, hogy
1 ϕ ϕ ψ ∗∗∗∗ ( ϕ ) = arccos − 1 − 2 ⋅ ⋅ cos 2 = arccos − sin 2 , 2 2 2 amiből ( 17 ) - tel is:
ϕ ψ ∗∗∗∗ ( ϕ ) = ψ ∗∗ ( ϕ ) = arccos − sin 2 . 2
( 24 )
Ezután ( 12 ) és ( 21 ) szerint:
ϕ 2 ⋅ tgα t ∗∗∗ ( ϕ ) = 2 ⋅ r ⋅ + sin = 2 ⋅ r ⋅ 2 2 2
2
ϕ ( tgα ) + sin , 2 2
2
tehát:
ϕ t ∗∗∗ ( ϕ ) = 2 ⋅ r ⋅ ( tgα ) + sin . 2 2
2
(25 )
Innen további specializációval: α = 45° esetére kapjuk ( 25 ) - ből, ( 20 ) - szal és az
r=
l képlettel is, hogy 2
l ϕ ϕ ϕ t ∗∗∗∗ ( ϕ ) = 2 ⋅ ⋅ 1 + sin = l ⋅ 2 ⋅ 1 + sin 2 = l ⋅ 2 ⋅ 1 + sin 2 = t ∗∗ ( ϕ ) , 2 2 2 2 2
tehát:
ϕ t ∗∗∗∗ ( ϕ ) = t ∗∗ ( ϕ ) = l ⋅ 2 ⋅ 1 + sin 2 , 2
( 26 )
egyezésben a korábbiakkal. ☺ Most egy további, gyakorlatilag is fontos összefüggésre hívjuk fel a figyelmet.
7
Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Ez alapján írhatjuk, hogy
h1 → h1 = k ⋅ sin α , h1 sin α k = . → h2 h sin β 2 sin β = → h2 = k ⋅ sin β , k sin α =
( 27 )
Eszerint h1 = h2 , ha α = β . Most alkalmazzuk képleteinket az elfordítási szög néhány esetére! Adatok: r = 10 cm , α = 60 , β = 30 . Ekkor ( 13 ) érvényes, így a ( 16 ) a ( 19 ) képletekkel dolgozunk. 1. ϕ = 0 : 4. ábra. Ekkor a mondott képletekkel és adatokkal: 0 ψ ∗ ( 0 ) = arccos − sin 2 ⋅ 60 ⋅ sin 2 = arccos 0 = 90 , 2
2 2 1 0 1 3 t ∗ 0 = 2⋅r ⋅ = 40 ⋅ ( cm ) = 23, 09 ( cm ) . + sin = 20 ( cm ) ⋅ 2 sin 2 ⋅ 60 3 sin 2 ⋅ 60
( )
(a)
8
4. ábra
5. ábra 2. ϕ = 90 : 5. ábra.
2 2 1 90 66 t ∗ 90 = 2 ⋅10 ( cm ) ⋅ + sin = 10 ⋅ cm = 27, 08 cm . ( ) 2 3 sin 2 ⋅ 60 (b) 90 ψ ∗ 90 = arccos − sin 2 ⋅ 60 ⋅ sin 2 = 115, 66 . 2
( )
( )
9
6. ábra 3. ϕ = 180 : 6. ábra.
2 2 1 180 21 t ∗ 180 = 2 ⋅10 ( cm ) ⋅ + sin = 20 ⋅ cm = 30,55 cm . ( ) ( ) 2 3 sin 2 ⋅ 60 180 ψ ∗ 180 = arccos − sin 2 ⋅ 60 ⋅ sin 2 = 150 , 2
(
(
)
)
(c) Megjegyezzük, hogy a fa maketten végzett szögmérések eredményei jól egyeztek a számítottakkal. A távolságmérések pontos kivitelezése már sokkal „macerásabb”. A ψ*(φ) függvényt a fenti adatokkal mutatja be a 7. ábra. Ez már nem csúcsos. A t(φ) / r függvény alakulását a 8. ábra mutatja. A számítások során alkalmazott, nem részletezett összefüggések, azonosságok meg találhatók [ 1 ] - ben. A fa makettek elkészítéséért Miklovicz Lászlónak és tanulóinak mondok köszönetet.
Irodalom: [ 1 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban
10 pszi ( fok )
f(x)=acos(-((sin(x/2))^2)*sin(120))
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
fi ( fok ) -20
-10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
-10 -20
7. ábra t/r
f(x)=2*sqrt(4/3+((sin(x/2))^2))
4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
fi ( fok ) -10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
-0.2
8. ábra Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. március 9.
370
380
