1. Matematikai összefoglaló 1

1. Matematikai összefoglaló

1

Tartalomjegyzék 1.

2.

3.

4.

Matematikai összefoglaló ...........................................................................................................4 1.1.

Függvénykapcsolatok .................................................................................................................... 4

1.2.

Differenciálszámítás ...................................................................................................................... 9

1.3.

Integrálszámítás .......................................................................................................................... 12

1.4.

Differenciálegyenletek ................................................................................................................ 13

1.5.

A további megkövetelt matematikai ismeretek felsorolása ....................................................... 14

1.6.

Ellenőrző kérdések és feladatok ................................................................................................. 15

Mérés és mértékrendszer.......................................................................................................... 16 2.1.

Mérés, mérési hiba ..................................................................................................................... 16

2.2.

Mértékegységek, mértékegység-rendszerek .............................................................................. 17

2.3.

SI-alapegységek ........................................................................................................................... 18

2.4.

Kiegészítő SI-egységek ................................................................................................................ 19

2.5.

SI-prefixumok .............................................................................................................................. 20

2.6.


Mechanikai alapismeretek I. ..................................................................................................... 23 3.1.

Kinematikai alapfogalmak ........................................................................................................... 23

3.2.

Statikai és dinamikai alapfogalmak, Newton-törvények ............................................................ 26

3.3.

Gravitáció, súlyerő ...................................................................................................................... 28

3.4.

Energia, munka, teljesítmény, hatásfok...................................................................................... 29

3.5.

Körmozgás és forgó mozgás........................................................................................................ 31

3.6.


Mechanikai alapismeretek II. .................................................................................................... 36 4.1.

Harmonikus rezgőmozgás ........................................................................................................... 36

4.2.

Harmonikus rezgések összeadódása, rezonancia ....................................................................... 38

4.3.

Harmonikus hullámmozgás ......................................................................................................... 40

4.4.

Hullámterjedés során fellépő jelenségek.................................................................................... 42

4.5.

Hanghullámok, ultrahang............................................................................................................ 44

4.6.



5.

6.

7.

8.

9.

2

Mechanikai alapismeretek III. ................................................................................................... 48 5.1.

Nyomás, hidrosztatika, felhajtóerő............................................................................................. 48

5.2.

Deformálható testek mechanikája.............................................................................................. 49

5.3.

Súrlódás....................................................................................................................................... 51

5.4.


Elektromágneses hullámok ....................................................................................................... 53 6.1.

Az elektromágneses spektrum .................................................................................................... 53

6.2.

A fotonelmélet ............................................................................................................................ 57

6.3.

A hőmérsékleti sugárzás ............................................................................................................. 59

6.4.

A spektroszkópia alapjai.............................................................................................................. 60

6.5.


Optika ...................................................................................................................................... 65 7.1.

A geometriai optika alapjai ......................................................................................................... 65

7.2.

Az optikai lencsék képalkotása ................................................................................................... 67

7.3.

Az egyszerű nagyító képalkotása ................................................................................................ 71

7.4.

Lencsehibák................................................................................................................................. 72

7.5.

A sík- és gömbtükrök képalkotása .............................................................................................. 74

7.6.

Az emberi szem és a látás, látáskorrekció .................................................................................. 76

7.7.


Mikroszkópia ............................................................................................................................ 78 8.1.

Az egyszerű mikroszkóp képalkotása .......................................................................................... 78

8.2.

Mikroszkópos kontrasztnövelő eljárások.................................................................................... 83

8.3.

A mikroszkópok feloldóképessége .............................................................................................. 88

8.4.


Hőtan, kalorimetria................................................................................................................... 90 9.1.

Hőmérséklet, hőmérsékletmérés ............................................................................................... 90

9.2.

Hőtágulás .................................................................................................................................... 91

9.3.

Ideális és reális gázok állapotváltozásai ...................................................................................... 92

9.4.

Hő és hőcsere, kalorimetria ........................................................................................................ 94


3

9.5.

Halmazállapot-változások ......................................................................................................... 105

9.6.

A termodinamika főtételei ........................................................................................................ 107

10. Elektromosságtan és mágnességtan ........................................................................................ 108 11. Lézerek ................................................................................................................................... 116 12. Tárgymutató ........................................................................................................................... 126


4

1. Matematikai összefoglaló A következőkben az alapvető fizikai összefüggések és törvényszerűségek tárgyalásához többé-kevésbé elengedhetetlen matematikai eszközöket ismertetjük. Ugyan mindvégig törekszünk a precíz megfogalmazásmódra, a szemléletességet azonban sokkal inkább előtérbe fogjuk helyezni.

1.1.

Függvénykapcsolatok

Általánosságban elmondható, hogy a fizikai (és más természettudományos) összefüggések két vagy több mennyiség között teremtenek matematikai formában megfogalmazott kapcsolatot. Az ilyen összefüggések matematikai leírására általában függvényeket használunk. A továbbiakban az ún. egyváltozós függvényekkel foglalkozunk, a többváltozós függvényekre az alfejezet végén térünk ki. Az egyváltozós függvények két mennyiség közötti leképezések, melyek valamely értelmezési tartomány (a független változók halmaza, „x értékek”) minden eleméhez az értékkészlet (a függő változók halmaza, „y értékek”) pontosan egy elemét rendelik hozzá. Ennek megfelelően függvénynek tekintjük egy adott év napjaihoz az aznapi középhőmérsékletet hozzárendelő leképezést, hiszen minden naptári naphoz csak egyetlen hőmérsékletértéket rendelünk, azt pedig megengedi a definíciónk, hogy ugyanazon értéket több naphoz is hozzárendeljük. Ezzel szemben nem nevezhető függvénynek egy olyan leképezés, mely egy egyetemi évfolyam minden tanulójához hozzárendeli az adott évben őt tanító egyetemi oktatókat, ugyanis ilyenkor egy-egy tanulóhoz általában több oktatót kell hozzárendelnünk, tehát a leképezésünk nem egyértelmű.

A függvények matematikailag számos formában megadhatók, mi a továbbiakban az

y = f  x formát

fogjuk

használni.

A

következőkben

néhány

(1.1) példán

keresztül

áttekintjük

a

természettudományokban leggyakrabban előforduló függvénytípusokat. A lineáris (vagy elsőfokú) függvény két mennyiség közötti egyenes arányosságnak felel meg. Ebben az esetben a független változót kétszeresére, háromszorosára stb. növelve (illetve felére, harmadára stb. csökkentve) a függő változó ugyancsak kétszeresére, háromszorosára nő (illetve felére, harmadára stb. csökken). A lineáris függvény

y  a x b

(1.2)


5

alakban adható meg, ahol az a konstans a függvény meredeksége, a b konstans pedig a függvény tengelymetszete. A meredekség megmutatja, hogy a független változó 1 egységnyi növekedésekor mennyivel változik a hozzárendelt függvényérték. Ha a meredekség pozitív érték, akkor a függvény növekvő, ha pedig negatív érték, akkor csökkenő. Amennyiben egy lineáris függvény meredeksége zérus, akkor konstans függvényről beszélünk, azaz a függvényérték állandó, nem függ a független változótól (ennek a függvénynek a képe az x tengellyel párhuzamos egyenes). A tengelymetszet megadja, hogy milyen értéket vesz fel a függvény az x  0 helyen. Ha két mennyiség (zérus tengelymetszet mellett) egyenesen arányos egymással, akkor a hányadosuk állandó. Lineáris függvényre példa a legtöbb egyenáramú áramköri komponensre érvényes Ohm-törvény, mely egy fogyasztón átfolyó I áramerősség és a rajta eső U feszültség között teremt kapcsolatot. Az Ohm-törvény kimondja, hogy az (ohmikus) fogyasztón eső feszültség egyenesen arányos a fogyasztón átfolyó áramerősséggel, és a két mennyiség közötti arányossági tényezőt nevezzük a fogyasztó R ellenállásának: U  RI .

(1.3)

Látható, hogy ebben a függvénykapcsolatban a függvény meredeksége az elektromos ellenállás, mely (egy adott fogyasztóra nézve, állandó környezeti feltételek mellett) állandó érték, míg a függvény tengelymetszete zérus (azaz ha a fogyasztón nem folyik át áram, nem esik rajta feszültség sem).

Az elsőfokú függvény a hatványfüggvények (vagy polinomiális függvények) legegyszerűbb típusa. Hatványfüggvényeknek nevezzük az

y  a0  x0  a1  x1  a2  x 2  a3  x3  ...

(1.4)

általános alakú függvényeket, ahol az ai együtthatók pozitív, negatív, illetve zérus értékű állandók. A hatványfüggvény legmagasabb fokú tagjának megfelelően beszélhetünk nulladfokú (konstans), elsőfokú (lineáris), másodfokú (kvadratikus), harmadfokú (köbös) stb. függvényekről. Másodfokú függvény szerint függ a körmozgást végző test ω szögsebességétől a körmozgást fenntartó, kör középpontja felé mutató Fcp. centripetális erő nagysága: 2

2

Fcp .  mr  ~  ,

(1.5)

ahol m a test tömege és r a körpálya sugara (állandók). A fenti függvénykapcsolatban a ~ jel az arányosság jele, mellyel általában akkor élünk, ha az állandók konkrét értéke lényegtelen, csak a függvénykapcsolat jellegét szeretnénk szemléltetni. Ezzel a megfogalmazási móddal a fenti (1.3) Ohm-törvény U ~ I alakban is felírható. A (tisztán) magasabb fokú összefüggésekkel viszonylag ritkán találkozunk: köbös összefüggés szerint növekszik például egy kocka V térfogata az a élhossz növelésével (V ~ a3), továbbá a Stefan–Boltzmann-törvény értelmében negyedik hatvány szerint növekszik egy abszolút fekete test által kisugárzott ε energiasűrűség a test T abszolút hőmérsékletével (ε ~ T4). A magasabb fokú polinomfüggvények jelentősége abban rejlik, hogy bármilyen bonyolultabb függvénykapcsolat tetszőlegesen jól közelíthető kellően magas fokszámú hatványfüggvénnyel. Ezt gyakran ki is használják a tapasztalati (empirikus) függvénykapcsolatok (pl. anyagi állandók függvényeinek) leírásakor. Számos fizikai összefüggésre igaz, hogy a hétköznapi tartományokban lineárisnak tekinthetők,


6

azonban szélesebb tartományban nem hagyhatók figyelmen kívül a magasabb rendű tagok. Jó példa erre az ellenállások hőmérsékletfüggése, mely csak kicsiny, néhány 100 °C-os hőmérséklet-tartományban lineáris, ennél szélesebb tartományban első és másodfokú tagokat egyaránt tartalmazó függvénnyel szokás közelíteni. Ugyanakkor az is igaz, hogy a nemlineáris (egyenes helyett görbe vonalalakú függvénnyel reprezentálható) függvények kellően kicsiny tartományon belül lineáris függvénnyel közelíthetők (azaz a magasabb rendű tagjaik elhanyagolhatók).

A hatványfüggvények negatív kitevőjűek is lehetnek, a legegyszerűbb negatív kitevőjű hatványfüggvény a reciprokfüggvény. Az

y

a x

(1.6)

alakú reciprokfüggvény (a értéke állandó) két mennyiség közötti fordított arányosságnak felel meg. Ebben az esetben a független változót kétszeresére, háromszorosára stb. növelve (illetve felére, harmadára stb. csökkentve) a függő változó felére, harmadára stb. csökken (illetve kétszeresére, háromszorosára stb. nő). Ha két mennyiség fordítottan arányos egymással, akkor szorzatuk állandó. Az ideális gáztörvény értelmében egy adott n anyagmennyiségű ideális gáz V térfogata – állandó T hőmérsékleten – fordítottan arányos a gáz p nyomásával:

V 

nRT 1 ~ , p p

(1.7)

ahol R az univerzális gázállandó. Érdemes megfigyelni, hogy a fordított arányosság úgy is értelmezhető, mint egy egyenes arányosság az adott mennyiség reciprokával. A fizikai mennyiségek hányados formájában felírt definíciói időnként szemléletesebben értelmezhetők, ha úgy tekintünk rájuk, mint a számlálóban lévő mennyiségnek a nevezőben szereplő mennyiség(ek) szerint normált értékére. Példaként szerepeljen itt a lineáris hőtágulást leíró összefüggésnek az α hőtágulási együtthatóra átrendezett alakja:



 ,  o T

(1.8)

ahol Δℓ az eredetileg ℓo hosszúságú test hosszúságának megváltozása a ΔT hőmérséklet-változás hatására. Az (1.8) összefüggés szóban úgy is megfogalmazható, hogy a hőtágulási együttható megadja az egységnyi hosszúságú testnek (1 m) az egységnyi hőmérséklet-változás (1 °C vagy 1 K) hatására bekövetkező hosszúságváltozását.

Az exponenciális függvényekre jellemző, hogy növekedésük üteme a függvény minden pontjában arányos a függvény adott pontbeli értékével. Ilyen függvények írják le például az osztódó sejttenyészetek méretének időbeli növekedését. Az exponenciális függvények általános alakja (az esetleges konstans szorzótól eltekintve)

y  ax ,

(1.9)

ahol a egy pozitív állandó. Számos fizikai összefüggést (pl. a radioaktív bomlást) negatív kitevőjű exponenciális függvény (lásd (1.31)) ír le, melynek képe az előző függvényalak függőleges


7

koordinátatengelyre történő tükrözésével kapható. Matematikai megfontolásokból kitüntetett szerepet kap az az exponenciális függvény, amelynek alapja egy végtelen tizedes tört, az ún. EULER-féle szám, az e (e ≈ 2,718…). Ha külön nem nevezzük meg az exponenciális függvény alapját, akkor általában az y  e

x

függvényt értjük alatta. Az exponenciális függvények inverzei az

y  log a x

(1.10)

alakú logaritmusfüggvények. Az (a alapú) logaritmus szemléletesen azt mutatja meg, hogy hányszor kell az a alapot önmagával megszorozni ahhoz, hogy a logaritmált számot kapjuk. Az e alapú logaritmusfüggvényt természetes alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük, és a log e jelölés helyett az

ln jelölést használjuk. Negatív kitevőjű exponenciális függvény írja le többek között a radioaktív sugárzások, az elektromágneses sugárzások (fény, röntgensugárzás) és az ultrahang közegbeli gyengülését. Ha a közegbe belépő Io intenzitású sugárzás d hosszúságú utat tesz meg a közegben, a kilépő I intenzitás: I  I e

x

o

,

(1.11)

ahol µ egy (a sugárzás és a közeg tulajdonságaitól függő) elnyelési állandó. Logaritmikus összefüggésre az ún. NERNST-egyenletet hozhatjuk fel példaként. A sejtek külső és belső térrésze között mérhető feszültség egyik összetevője, az ún. E NERNST-potenciál, mely a ci intracelluláris és a ce extracelluláris koncentrációk hányadosának logaritmusfüggvénye szerint változik:

E 

RT c log i , zF ce

(1.12)

ahol R az univerzális gázállandó, T az abszolút hőmérséklet, z az ionok töltésszáma és F a Faraday-állandó.

Ugyancsak fontos szerepet töltenek be az elemi geometriából származtatott trigonometrikus függvények (szögfüggvények). Fontos jellemzőik, hogy mindegyikük periodikus, a szinusz-, tangens- és a kotangensfüggvény

páros,

a

koszinuszfüggvény

pedig

páratlan

függvény.

A

szinusz-

és

koszinuszfüggvényeket összefoglaló néven harmonikus függvényeknek is nevezzük. Szinuszfüggvény szerint változik például a t idő függvényében a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont egyensúlyi helyzettől mért y kitérése:

y  A sin(t   ) ,

(1.13)

valamint a gyorsulása: 2

a  A sin(t   ) ,

(1.14)

ahol ω a rezgőmozgás körfrekvenciája, valamint φ a rezgőmozgás kezdőfázisa. A tömegpont v sebességének időfüggését ugyanakkor koszinuszfüggvény írja le, mely π/2 fázissal el van tolódva a kitéréshez képest (hiszen a test sebessége az egyensúlyi helyzetben, az y = 0 kitérésnél maximális, és a maximális kitérésnél zérus):

1. Matematikai összefoglaló v  A cos(t   ) .

8 (1.15)

A harmonikus függvények jelentősége többek között abban rejlik, hogy a FOURIER-tétel értelmében minden periodikus függvény felírható megfelelően súlyozott, különböző frekvenciájú harmonikus komponensek összegeként. Az f(t) időbeli függvény ilyen felbontása 

f  t   A1 sin  t   A2 sin  2t   ...   An sin  n  t  ,

(1.16)

n 0

ahol Ai az egyes komponenseket súlyozó konstansok,   2 / T pedig a T periódusidejű jel alapkörfrekvenciája. Az ilyen komponensekre történő felbontás a FOURIER-transzformáció nevű matematikai művelettel történik. Az inverz FOURIER-transzformáció fordított irányú átalakítást végez: arra szolgál, hogy a különböző (kör)frekvenciájú komponenseket tartalmazó, ún. frekvenciaspektrumból megadja az időbeli jelet. A FOURIER-transzformáció igen fontos szerepet kap a jelfeldolgozás és a zajszűrés területén. Ennek megértéséhez képzeljünk el egy igen egyszerű problémát: a szív elektromos tevékenységét jellemző EKG-jeleket rögzítjük, melyekre zavaró hatásként rátevődnek a páciens akaratlan mozgását, illetve légzését kísérő izomtevékenységekből eredő jelek, megnehezítve az EKG-görbe kiértékelését. Az előbbiek gyors, szabálytalan elektromos impulzusok, az utóbbiak lassú, periodikus jelek. A szívtevékenység könnyen kinyerhető abból kiindulva, hogy az egészséges ember szíve percenként 60–100 szívverést produkál, azaz az EKG-görbe várható alapfrekvenciája 1–2 Hz. Ha tehát a rögzített jelet FOURIER-transzformáljuk, majd a kapott frekvenciaspektrumból kiszűrjük a kis frekvenciájú (pl. 0,7–0,8 Hz alatti), valamint a nagyfrekvenciájú (10–20 Hz feletti) komponenseket, majd az így módosított spektrumot alakítjuk vissza inverz FOURIER-transzformáció segítségével időbeli jellé, könnyedén kiszűrhetjük a zavaró hatásokat. Az (1.16) egyenletben több magyarázatot igénylő matematikai jelölés is látható. Mindenekelőtt meg kell említeni, hogy a  jelet itt és a továbbiakban a „definíció szerint egyenlő” reprezentálására használjuk, azaz ilyenkor a hármas egyenlőségjel két oldalán szereplő mennyiségek között pusztán konvención alapuló kapcsolat van (pl. elnevezés, tömörített jelölés). Másrészt fontos bemutatni az összegzéseket tömörítő „szumma” jelet (Σ), valamint a későbbiekben előforduló, szorzásokat tömörítő „produktum” jelet (Π). Mindkét szimbólum ugyanolyan logika szerint egyszerűsíti a matematikai lejegyzést: a szimbólum alatt látható betűt futó indexnek nevezzük, melynek kezdő értéke a szimbólum alatti egyenlőségjel jobb oldalán, végső értéke pedig a szimbólum fölött található. Végtelen sorok esetén a kezdő és végső értékek egyike vagy mindegyike  is lehet. Ha a szumma vagy a produktum jel segítségével tömörített kifejezést ki akarjuk bontani, a jel argumentumában szereplő kifejezést kell önmagával oly módon összeadni (a szumma esetén), illetve megszorozni (a produktum esetén), hogy az egyes tagokban, illetve tényezőkben a futó index egyesével növekedve felvegye a kezdő és végső értékek közötti értékek mindegyikét. Példaként nézzük meg az alábbi kifejezések kibontását: 3

 i 0

i  log x y

i



0  log x y

0



1  log x y

1



2  log x y

2



3  log x y

3



log x y



2  log x y

2



3  log x y

3

,

(1.17)

illetve

  3n2 x    3 12 x  302 x  31 2 x    –32 x   2 x  32 x  . 1

n  1

(1.18)


9

A természettudományokban igen ritka az az eset, hogy egy fizikai mennyiség pusztán egyetlen másik paramétertől függ. Ha visszatekintünk az előző példákra, látható, hogy a legtöbb egyenletben a kiemelt függő és független változókon kívül további paraméterek is szerepeltek, melyek értékét eddig hallgatólagosan állandónak vettük. Ha az efféle megszorításoktól eltekintünk, ún. többváltozós függvényekkel leírható összefüggéseket kapunk, melyek függvényértékét több paraméter együttesen határozza meg. Hasznos, ha a fizikai összefüggéseket leíró képletek alapján szavakban is meg tudjuk fogalmaznia az egyes változók egymástól való függését. Tekintsük erre példaként az (1.12) NERNST-egyenletet. Az összefüggés értelmében az E NERNST-potenciál egyenesen arányos a T abszolút hőmérséklettel, valamint a ci intracelluláris és a ce extracelluláris koncentrációk hányadosának logaritmusával, továbbá fordítottan arányos az ionok z töltésszámával. (Ökölszabályként megjegyezhető, hogy ha egy fizikai mennyiség egy tört alakjában felírható, egytagú kifejezéssel egyenlő, akkor egyenesen arányos a számlálóban lévő paraméterek mindegyikével, illetve egyenként fordítottan arányos a nevezőben lévő paraméterekkel.)

1.2.

Differenciálszámítás

Sok esetben előfordul, hogy egy fizikai folyamat lezajlása nem közvetlenül egy bizonyos paramétertől, hanem annak időbeli vagy térbeli változási sebességétől függ. Ilyen esetekben hasznos, ha az időbeli  változást leíró f(t), illetve a térbeli változását leíró f ( x, y,z )  f ( r ) függvényekből meg tudjuk határozni ezeknek a paramétereknek az idő- vagy térbeli változási sebességét. Többek között ezt teszi lehetővé az ún. differenciálszámítás. A továbbiakban a szemléletesség kedvéért csak az idő- és térváltozók szerinti differenciálást tárgyaljuk, a más paraméterek szerinti differenciálhányados fogalmát az 1.4 fejezetben említjük majd meg. Egy függvény differenciálhányadosa (vagy deriváltja) egy olyan függvény, mely minden pontjában megadja az eredeti függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét. (A függvény változási gyorsaságát ugyanis – geometriai értelemben – a függvény meredeksége reprezentálja.) Egy f(t) idő szerinti változást leíró függvény meredeksége (differenciálhányadosa) a t időpillanatban a

lim t 0

f ( t  t )  f  t  t

(1.19)

kifejezéssel adható meg, ahol a lim szimbólum a határérték jele (azaz jelen esetben a Δt időkülönbség értékét kell minden határon túl csökkenteni, azaz „zérushoz tartatni”). Az f(t) függvény idő szerinti differenciálhányadosának számos jelölése van, mi a továbbiakban a

1. Matematikai összefoglaló d df (t )  f (t )   dt dt

10

(1.20)

szimbólummal fogunk élni (melynek kiolvasása: „dé-ef-té per dé-té”). A differenciálhányados-függvényt tovább deriválva magasabb rendű differenciálhányadosok képezhetők. A fizikában a másodrendű differenciálhányadosnak (azaz egy függvény második deriváltjának) van még fontos szerepe, melynek jele:

d  df (t )  d 2 f (t ) ,   dt  dt  dt 2

(1.21)

(kiolvasva „dé-duo-ef-té per dé-té-négyzet”). Az időbeli differenciálhányados képzését legkönnyebben az átlag- és pillanatnyi sebesség, illetve gyorsulás példáján keresztül érthetjük meg. Ha egy adott időtartam alatt megtett utat elosztjuk az út megtételéhez szükséges idővel, akkor megkapjuk az adott időtartamra vonatkozó átlagsebességet. Ahogy csökkentjük ezt a választott időtartamot, egyre jobban közelítünk a test adott időpillanatra vonatkozó pillanatnyi sebességéhez (azaz ahhoz a sebességértékhez, amellyel a test tovább haladna, ha az adott pillanatban minden rá ható erő megszűnne). A pillanatnyi sebesség tehát matematikai értelemben a test pozíciójának időfüggését leíró függvény idő szerinti (első) differenciálhányadosa. Hasonlóképp a test pillanatnyi gyorsulása a test sebességének idő szerinti első, illetve a test pozíciójának idő szerinti második differenciálhányadosa. Mivel egyrészt a differenciálhányados a függő és a független változók megfelelő megváltozásainak hányadosából származtatható, másrészt a méréstechnikában a végtelenül kis mennyiségek nem értelmezhetők, általában nem követünk el túl nagy hibát azzal, ha a differenciálhányadosokat tartalmazó összefüggésekben az infinitezimális megváltozások d jeleinek helyére a Δ makroszkopikus (de kicsiny) megváltozások szimbólumát képzeljük. A differenciál- és integrálszámítás szabályait jegyzetünkben nem tárgyaljuk, hiszen ez túlmutat a kurzus keretein, és az érdeklődő olvasók bármelyik felsőbb matematikai tankönyvben megtalálhatják ezeket. Azonban ha abból indulunk ki, hogy a differenciálhányados a függvény adott pontbeli meredekségének (azaz az adott ponthoz húzott érintő és a vízszintest tengely által bezárt szög tangensének) felel meg, könnyen kikövetkeztethető, hogy a konstans függvények differenciálhányadosa minden pontban zérus, az elsőfokú (lineáris) függvények deriváltja pedig konstans függvény. Fizikai szempontból fontos, hogy a polinomfüggvények deriváltjai eggyel alacsonyabb fokú polinomfüggvények, az exponenciális függvényé pedig ugyancsak exponenciális függvény.

Az idő szerinti differenciáláshoz hasonló módon képezhetők a helyváltozók (x, y vagy z) szerinti differenciálhányadosok. Egy fizikai paraméter valamely koordináta szerinti első differenciálhányadosát a szóban forgó változó adott irány menti gradiensének is nevezzük. A valamely irány menti gradiens szemléletesen megadja, hogy (átlagosan) mennyit változik a szóban forgó mennyiség a tér adott iránya mentén elhelyezkedő két, egymástól egységnyi távolságban lévő pontja között. A többváltozós függvények bármely változójuk szerint deriválhatók – ilyenkor azokat a változókat, amelyek

szerint

nem

deriválunk,

konstansnak

tekintjük.

Az

így

előálló,

ún.

parciális

differenciálhányadosban a differenciálhányados d betűjelei helyére ∂ szimbólumokat írunk, ez azonban pusztán annyit jelöl, hogy a derivált függvény többváltozós. Egy fizikai mennyiség háromdimenziós


11

 térbeli változását leíró f ( r )  f ( x, y,z ) függvény x, y és z irányok menti térbeli változási sebességét, azaz gradiensét tehát a

   f  r  f  r  f  r  , , x y z

(1.22)

parciális differenciálhányadosok adják meg. A gradiensek azért fontosan a fizikában (és ezen belül az élettudományok fizikájában), mert ezek képezik számos transzportfolyamat hajtóerejét. FICK I. törvénye szerint például a diffundáló részecskék adott (pl. x) irány menti Jx transzportsűrűsége (azaz az áramlási keresztmetszet egységnyi felületén, időegység alatt átáramlott anyag mennyisége) az előjeltől eltekintve egyenesen arányos a részecskék adott irány menti koncentrációgradiensével:

J x  D

c x

,

(1.23)

ahol a D arányossági tényezőt diffúziós állandónak nevezzük. (A negatív előjel azt mutatja, hogy a diffúziós áram a koncentrációcsökkenés irányába mutat.)

A fizikában fontos szerepet tölt be három ún. differenciáloperátor, melyek skalár- és vektormezőkön (azaz a háromdimenziós tér pontjaihoz egy-egy skalárt, illetve vektort rendelő függvényeken) végrehajtandó differenciálási műveleteket tömörítenek. Ezek könnyen megérthetők már az eddigi ismeretek alapján is, azonban a speciális jelölések áttekintése érdekében most röviden sorra vesszük ezeket (DESCARTES-féle derékszögű koordináta-rendszerben tárgyalva). Az irány menti gradiensről már korábban szót ejtettünk, ennek általános esete a gradiensvektor, mely egy skalármező egyes

   pontjaiban a három irány ( e x , e y , e z ) menti gradiensből áll össze:

  f (r )     x       f (r )  f (r )  f (r )   f (r )  . grad f (r )  f (r )  ex  ey  ez   x y z y      f (r )     z 

(1.24)

Az (1.24) egyenletben szereplő  („nabla”) szimbólum a gradiens jele. A gradiens szemléletes értelmezése fentebb olvasható. A divergencia egy vektormező egyes pontjaihoz a három irány menti gradiens összegét, azaz egy skalárt rendel:

  v v y vz div v(r )  x   x y z

.

(1.25)

A divergencia a legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis térfogatból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha forráserősségnek is nevezik. A rotáció a következő vektort rendeli egy vektormező egyes pontjaihoz:


   vz (r ) v y (r )      y z          vx (r ) vz (r )  rot v(r )    v( r )    . x   z    v y (r ) vx (r )     y   x

12

(1.26)

A rotáció szemléletes értelmezéséhez tekintsünk egy olyan vektormezőt, mely egy folyadék- vagy gázáram minden egyes pontjában megadja a közeg sebességét. Képzeletben rögzítsünk egy kicsiny, érdes felületű golyót a közegben, melyet az áramló közeg megforgat. Ekkor a (jobbkézszabály szerinti irányítású) forgástengely a mező adott pontbeli rotációjának irányába mutat, a forgás szögsebessége pedig a pontbeli rotáció nagyságának fele.

1.3.

Integrálszámítás

Az integrálszámítás némiképp leegyszerűsítve a differenciálszámítás inverz műveletének tekinthető: egy függvény ún. határozatlan integrálja megadja azon függvényeket, amelyek deriváltja a kérdéses (ún. primitív) függvény. Míg a differenciálhányados két különbség hányadosának határértékeként fogható fel, addig az integrálszámítás a szorzásból és az összeadásból származtatható határértékképzéssel. Egy függvény ún. határozott integrálja a függvénygörbe alatti terület nagyságát adja meg az integrálás határaiként megjelölt két pont között. (Az x tengely feletti területek pozitív előjelűek, míg az az alatti területek negatív előjelűek.) Osszuk fel az x tengely a és b közé eső részét Δx hosszúságú, egyenlő szakaszokra, majd határozzuk meg az f(x) függvénynek az egyes szakaszok középpontján felvett függvényértékeit. Ezt követően minden egyes f(xi) függvényértéket szorozzunk meg a hozzá tartozó szakasz hosszával, így egyegy téglalap területét kapjuk meg. Ha ezeknek a téglalapoknak a területeit összeadjuk, a függvénygörbe alatti terület egy közelítését kapjuk meg, mely annál pontosabb lesz, minél több szakaszra bontjuk fel az x tengelyt. A felosztást végtelenül finomítva az f(x) függvény a és b határok közötti határozott integrálját kapjuk: b

b

i a

a

lim  f ( xi )  x   f ( x)dx .

x 0

(1.27)

Az (1.27) egyenlet jobb oldalán szereplő jelölés kiolvasása "integrál a-tól b-ig ef-iksz-dé-iksz" (ne feledkezzünk meg arról, hogy a dx jelölés az integráljelhez tartozik, azt mutatja, hogy melyik változó szerint végezzük az integrálást).


13

A fenti értelmezés rámutat arra, hogy az integrálszámítás hasznos eszköz a terület- és térfogatszámítások során, de fontossága abban is rejlik, hogy lehetővé teszi két egymástól függő mennyiség összeszorzását. Egy F erő által végzett W munka például egyenlő az erő nagyságának és a test erő irányába eső Δs elmozdulásának szorzatával. Ekkor azonban hallgatólagosan feltételezzük, hogy az erő nagysága a test mozgása során állandó. Ha az F(s) erő nagysága az s út mentén pontról pontra változik, az erő által végzett munka a következő integrállal adható meg:

W 

s2



F ( s ) ds ,

(1.28)

s1 ahol s1 és s2 a Δs szakasz végpontjai.

1.4.

Differenciálegyenletek

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja(i) között teremt kapcsolatot. A differenciálás jelentőségét ismerve könnyű belátni, hogy a problémák, összefüggések differenciálegyenletek segítségével történő megfogalmazása alapvető szerepet tölt be többek között a fizikában, a mérnöki tudományokban és a közgazdaságtanban. Az egyváltozós differenciálható függvényekre felírható differenciálegyenleteket közönséges differenciálegyenleteknek nevezzük, melyek rendjét az egyenletben előforduló

legmagasabb

rendű

derivált

adja

meg.

A

parciális

deriváltakat

tartalmazó

differenciálegyenleteket parciális differenciálegyenleteknek nevezzük. A

differenciálegyenletekben

sok

esetben

nemcsak

idő-

és

térváltozók

szerinti

differenciálhányadosok fordulnak elő. Ezek az idő- és térváltozók szerinti deriváltakhoz hasonlóan értelmezhetők: azt jellemzik, hogy a független változó kicsiny megváltoztatása a függő változó milyen mértékű megváltozását eredményezik. Minél nagyobb a derivált értéke, annál meredekebb a függvény menete, azokban a pontokban pedig, ahol a derivált értéke zérus, a függvénynek szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) van. A C hőkapacitás például megadja, hogy mennyi Q hőt kell közölni egy testtel ahhoz, hogy annak T hőmérséklete 1 K-nel emelkedjen. A precízebb megfogalmazás szerint azonban a hőkapacitás a testtel (állandó nyomáson vagy térfogaton) közölt hőnek a test hőmérséklete szerinti differenciálhányadosa, mely tágabb hőmérséklet-tartományt tekintve nem állandó érték:

C

Q . T

(1.29)

A differenciálegyenletek megoldását nem célunk megtanítani, viszont szeretnénk felhívni a figyelmet arra, hogy a függvényeket és a differenciálhányadosokat tárgyaló fejezetekben leírtak segítségével a


14

differenciálegyenleteken keresztül megfogalmazott törvényszerűségek is könnyedén szavakba foglalhatók. Példaként tekintsük a radioaktív részek bomlását, melyet a

dN   N dt

(1.30)

differenciálegyenlet ír le. Az egyenletben N a még elbomlatlan részecskék száma, t az idő és λ az ún. bomlási állandó. Ennek az egyenletnek a megoldása az

N  Noe

 t

(1.31)

függvény, ahol No az elbomlatlan részecskék száma a t = 0 időpillanatban. Az (1.30) egyenlet azt mondja ki, hogy az egységnyi idő alatt elbomló részecskék száma (az ún. aktivitás) arányos a még el nem bomlott részecskék számával (azaz az aktivitás időben egyre csökken). A negatív előjel azt mutatja, hogy az elbomlatlan részecskék száma időben csökken. Az (1.31) egyenlet meg is adja ezt a csökkenési ütemet: az elbomlatlan részecskék száma időben csökkenő exponenciális függvény szerint változik, melynek lefutási gyorsaságát a λ bomlási állandó határozza meg.

1.5.

A további megkövetelt matematikai ismeretek felsorolása

A továbbiakban feltételezzük a középiskolai alapvető matematikai ismeretek meglétét. Az esetleges hiányosságok pótlását kívánja segíteni az alábbi lista, mely gyors felelevenítésre használható hivatkozásokat is tartalmaz. 

elemi algebrai műveletek (http://hu.wikipedia.org/wiki/Elemi_algebra)



egyenletek megoldása (http://hu.wikipedia.org/wiki/Elemi_algebra)



műveletek törtekkel (http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=e7254f29-c2a9-40e8-9d8d-adb49b8a1f33&cid=9a37c1c1-452b-49e8-85e5-9bb2b8246ed5)



vektorműveletek (http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=e7254f29-c2a9-40e8-9d8d-adb49b8a1f33&cid=9a37c1c1-452b-49e8-85e5-9bb2b8246ed5)



számok normálalakja (http://hu.wikipedia.org/wiki/Norm%C3%A1lalak)



trigonometria (http://hu.wikipedia.org/wiki/Trigonometria)



százalékszámítás (http://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1zal%C3%A9k)


1.6.

15

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. 2.

Mit nevezünk függvénynek? Az y  f ( x ) függvénykapcsolatban melyik a függő és melyik a független változó?

3.

Ha derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolunk egy kétváltozós függvényt, melyik tengely reprezentálja a függő, és melyik a független változót? Mit nevezünk egyenes és fordított arányosságnak? Soroljon fel néhány példát egyenes és fordított arányosságokra! Írja fel az egyenes egyenletét! Mit nevezünk a lineáris függvény meredekségének és tengelymetszetének? Néhány példán keresztül jellemezze a hatványfüggvényeket! Néhány példán keresztül jellemezze az exponenciális és logaritmusfüggvényeket! Mit nevezünk EULER-féle számnak? Mit nevezünk természetes alapú logaritmusnak, hogyan jelöljük? Mit értünk egy függvény differenciálhányadosán? Mi a differenciálás geometriai jelentése? Mit értünk gradiensen? Soroljon fel példákat idő-, illetve térváltozó szerinti elsőrendű deriváltra, illetve időváltozó szerinti másodrendű deriváltra! Mi a (határozott) integrál geometriai jelentése?

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Felhasznált irodalom:

2. Mérés és mértékrendszer

16

2. Mérés és mértékrendszer 2.1.

Mérés, mérési hiba

A mérés tervszerűen végrehajtott gyakorlati tevékenységek összessége, amelyekkel valamely (fizikai, kémiai, csillagászati, statisztikai stb.) mennyiség nagysága, esetleg mennyiségek viszonya határozható meg. A mérés történhet mérőeszközzel vagy műszerrel. A mérőeszközzel történő mérésnél az objektum valamilyen tulajdonságát közvetlenül, összehasonlítással kapjuk meg. A műszerrel történő mérést ezzel szemben közvetett mérésnek nevezzük, ugyanis ilyenkor az objektum és a műszer valamilyen kölcsönhatásából, kalibrálással kapjuk meg a mérni kívánt mennyiség értékét. A mérés eredményeként a választott mértékegységben kifejezett számértéket, az ún. mérőszámot kapjuk. Közvetlen mérés például a hosszúság méterrúddal történő mérése. Ezzel szemben például az elektromos áram erősségét mérő DEPREZrendszerű mérőműszerben a vezetőként szolgáló tekercsdrótot átjáró elektromos áram, a vezető körüli mágneses tér és a mutatót rögzítő rugó kölcsönhatása eredményezi a mérőműszer mutatójának kitérését, de a műszer skálája már áramerősségre van kalibrálva.

A mérést megismételve általában nem kapunk azonos mérési eredményeket. Egyrészt, mert a mérendő mennyiség változhat az idővel, azonban ha a mérendő mennyiség időben állandó is, a mérési eredményre mindig kihatással van a műszer állapota és a megfigyelést végző személy. Ezeket a fluktuációkat jellemzi a mérési hiba. Jelöljük a mérni kívánt mennyiség valóságos értékét x -szel, a mérési eredményt xm -mel. A mérés x abszolút hibája a mért érték és a valóságos érték különbsége:

x  xm  x ,

(2.1)

míg a  x relatív hiba az abszolút hiba és a valóságos érték hányadosa (illetve ennek százalékban kifejezett értéke):

x

x 100%  . x

(2.2)

A mérési hibákat eredetük szerint két nagy csoportba osztjuk. A véletlen (statisztikus) hiba a mérési eredmények a valóságos értéktől mindkét irányban azonos valószínűséggel, véletlenszerűen térnek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletlen hiba tetszőlegesen csökkenthető. A szisztematikus


17

(rendszeres) hiba következtében a mérési eredmények a valóságos értéktől eltérő érték körül ingadoznak. A szisztematikus hiba oka a hibás vagy rosszul beállított műszer, de rendszeres hibát okoz az is, ha elhanyagolunk vagy rosszul veszünk figyelembe valamilyen, a mérést befolyásoló külső tényezőt (pl. hőmérsékletet vagy nyomást). A mérés megbízhatóságát elsősorban a mérőműszer határozza meg a következő jellemzőin keresztül. Az érzékenység megadja, hogy mekkora az a legkisebb változás, amely még kimutatható az adott mérőműszerrel. A pontosság arról tájékoztat, hogy maximálisan mennyire térhet el a mért érték a valódi értéktől. A reprodukálhatóság ugyanazon mennyiség többszöri mérésekor a kapott mérési eredmények maximális eltérését adja meg.

2.2.

Mértékegységek, mértékegység-rendszerek

A mértékegység valamely fizikai mennyiség jól meghatározott értéke, amelyet konvenció alapján és/vagy törvényi rendelkezéssel rögzítettek, és amely az a adott mennyiség mérésekor viszonyítási alapul szolgál. Néhány alapvetőnek tekinthető természeti állandó kivételével a mértékegységek önkényesek: egyéni megfontolások alapján határozták meg egy mennyiség viszonyítási alapját, majd megállapodtak az adott egység használatában. Idővel azonban először konvencionális okokból, majd a szükségszerűség diktálta kényszerből (pl. világkereskedelem) az egyes közösségek lépéseket tettek a felé, hogy közös standardokat alakítsanak ki. Mára a mértékegységeket nemzetközi szervek felügyeletével, jórészt természeti jelenségeken keresztül rögzítették. Mértékegységrendszernek nevezzük a mértékegységek azon halmazát, melyek segítségével bármely mérhető, tudományos szempontból jelentőséggel bíró mennyiség leírható. A modern mértékegységrendszerekben alapegységeket jelöltek ki, melyek segítségével az összes többi mértékegység (származtatott egységek) kifejezhető, míg a korábbi mértékegységrendszerekre effajta belső összefonódás és önkonzisztencia nem feltétlenül volt jellemző. A Mértékegységek Nemzetközi Rendszere (röviden SI-mértékegységrendszer, a francia ‘Système international d'unités’ kifejezésből) a metrikus rendszer modern formája, mely 7 alapegységen, valamint a 10-es számra vonatkozó konvenciókon alapul. A mindennapi életben és a tudományban egyaránt ez a legszélesebb körben használt mértékegységrendszer a világon. Az SI-mértékegységrendszert 1960-ban alkották meg a korábbi méter–kilogramm–szekundum rendszerből. Az SI-mértékegységrendszer


18

dinamikusan változik: a definíciókat a nemzetközi megállapodások időnként módosítják, ahogyan a méréstechnológia fejlődik, valamint a mérések pontossága javul.

2.3.

SI-alapegységek

SI-alapegység

1 méter

jel

m

mennyiség

hosszúság

definíció

régi definíció

1 méter az a távolság, amelyet a fény vákuumban a

A Föld kezdő (Párizson áthaladó)

másodperc 1/299 792 458-ad törtrésze alatt megtesz.

délkörén mért kerületének 1/40 000 000 (negyvenmiliomod) része.

1 kilogramm

kg

tömeg

1 kilogramm egy nemzetközi etalon, a sèvres-i Nemzetközi

1 köbdeciméter (dm³) 4°C-os víz

Súly- és Mértékügyi Hivatalban őrzött, platina-irídium

tömege.

ötvözetből készült, 39 mm magasságú és átmérőjű henger (a „Le Grande Kilo”) tömege.

1 másodperc

s

idő

1 másodperc az alapállapotú cézium-133 atom két

A

hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő

1⁄(24 × 60 × 60) része.

másodperc

a

nap

sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama. (A fenti definíció nyugalomban lévő céziumatomra vonatkozik, 0 K hőmérsékleten.)

1 amper

A

1 ampere az elektromos áramerőssége annak az állandó

Az

áramnak, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen

definíciója szerint 1 A erősségű az az

elektromos

hosszúságú, elhanyagolhatóan kicsiny kör keresztmetszetű

áram, amely az ezüst-nitrát vizes

áramerősség

és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban elhelyezkedő

oldatából másodpercenként 1,118

vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként

mg ezüstöt választ ki.

2·10‒7 1 termo1 kelvin

K

dinamikai hőmérséklet

ún.

„nemzetközi

amper”

newton erőt hoz létre.

kelvin

hőmérséklet-különbség

a

víz

hármasponti

hőmérsékletének 1/273,16-od törtrésze. (Ez a definíció a következő izotóp-összetételű vízre vonatkozik: 0,00015576 mol 2H minden mol 1H mellett, 0,0003799 mol mol

16O

mellett és 0,0020052 mol

18O

17O

minden

minden mol

16O

mellett.) 1 mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van 0,012 kg tömegű szén-12 izotópban. (Az előbbi definíció 1 mól

mol

anyag-

kötetlen, nyugalomban lévő, alapállapotú C-12 izotópokra

mennyiség

vonatkozik. A mol mértékegység használatakor mindig meg kell

jelölni, hogy milyen

elemi részekre (atomokre,

molekulákra, ionokra, elektronokra, más részecskékre, vagy ilyen részekből létrejövő csoportokra) vonatkozik. 1 kandela

annak

az

540×1012

Hz

(λ ≈ 555 nm) frekvenciájú monokromatikus sugárzást 1 kandela

cd

fényerősség

kibocsátó

fényforrásnak

adott

irányban

kibocsátott

fényerőssége, amelynek sugárerőssége ugyanebben az irányban 1/683 W/sr.

A standard gyertya által kibocsátott fényerősség.


2.4.

19

Kiegészítő SI-egységek

Az SI-mértékegységrendszer a fenti alapmértékegységek két dimenzió nélküli, valamint 20 egyéb kiegészítő egységet tartalmaz, melyek önálló névvel rendelkeznek.

név

jel

a mértékegység más

mennyiség

az SI alap-egységeivel

mértékegységekkel kifejezve

kifejezve

hertz

Hz

frekvencia

1/s

s-1

radián

rad

síkszög

m∙m-1

dimenzió nélküli

szteradián

sr

térszög

m2∙m-2

dimenzió nélküli

newton

N

erő, súly

kg∙m/s2

kg∙m∙s−2

nyomás, mechanikai feszültség

N/m2

m−1∙kg∙s−2

energia, munka, hő

N∙m = W∙s = C∙V

m2∙kg∙s−2

pascal

Pa

joule

J

watt

W

teljesítmény, sugárzási teljesítmény

J/s = V∙A

m2∙kg∙s−3

coulomb

C

elektromos töltés

s∙A

s∙A

volt

V

J/C= W/A

m2∙kg∙s−3∙A−1

farad

F

kapacitás

C/V

m−2∙kg−1∙s4∙A2

ohm

Ω

elektromos ellenállás, impedancia, reaktancia

V/A

m2∙kg∙s−3∙A−2

siemens

S

elektromos vezetőképesség

1/Ω

m−2∙kg−1∙s3∙A2

mágneses fluxus

J/A

m2∙kg∙s−2∙A−1

weber

Wb

feszültség,

elektromos

potenciálkülönbség,

elektromotoros erő

tesla

T

mágneses indukció

V∙s/m2 = Wb/m2 = N/(A∙m)

kg∙s−2∙A−1

henry

H

induktivitás

V∙s/A = Wb/A

m2∙kg∙s−2∙A−2

celsius-fok

°C

hőmérséklet

K − 273.15

K − 273.15 cd∙sr

lumen

lm

fényáram

lx∙m2

lux

lx

megvilágítás

lm/m2

m−2∙cd∙sr

becquerel

Bq

radioaktív sugárforrás aktivitása

1/s

s−1

gray

Gy

elnyelt sugárdózis

J/kg

m2∙s−2

sievert

Sv

dózisegyenérték

J/kg

m2∙s−2

katal

kat

katalitikus aktivitás

mol/s

s−1∙mol

Jelölések: mechanika, elektromágnességtan, termodinamika, világítástechnika, radioaktivitás, reakciókinetika

1 radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög (1 rad = 57° 17' 44,81”). 1 szteradián az a térszög, amely alatt az r sugarú gömb felületén elhelyezkedő r2 nagyságú terület a gömb középpontjából látszik.


2.5.

20

SI-prefixumok

Az SI-mértékegység többszöröseit és törtrészeit az egység neve elé illesztett, egy-egy szorzót jelentő, alább felsorolt előtétszavak (SI-prefixumok) segítségével lehet képezni. Az egyes prefixumok önálló betűjellel rendelkeznek. prefixum

Jel

10n

számérték

megnevezés

bevezetése

yotta

Y

1024

1000000000000000000000000

kvadrillió

1991

zetta

Z

1021

1000000000000000000000

trilliárd

1991

exa

E

1018

1000000000000000000

trillió

1975

peta

P

1015

1000000000000000

billiárd

1975

tera

T

1012

1000000000000

billió

1960

giga

G

109

1000000000

milliárd

1960

mega

M

106

1000000

millió

1960

kilo

k

103

1000

ezer

1795

hekto

h

102

100

száz

1795

deka

da

101

10

tíz

1795

100

1

egy

d

10−1

0,1

tized

1795

centi

c

10−2

0,01

század

1795

milli

m

10−3

0,001

ezred

1795

mikro

μ

10−6

0,000001

milliomod

1960

nano

n

10−9

0,000000001

milliárdod

1960

deci

2.6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

piko

p

10−12

0,000000000001

billiomod

1960

femto

f

10−15

0,000000000000001

billiárdod

1964

atto

a

10−18

0,000000000000000001

trilliomod

1964

zepto

z

10−21

0,000000000000000000001

trilliárdod

1991

yokto

y

10−24

0,000000000000000000000001

kvadrilliomod

1991

Ellenőrző kérdések és feladatok Mit nevezünk mérésnek? Példákon keresztül mutassa be, mi a különbség a közvetlen és a közvetett mérés között! Mit nevezünk mérőszámnak? Mit nevezünk mérési hibának? Mit nevezünk abszolút és relatív hibának? Mi a különbség a véletlen és a szisztematikus hiba között? Soroljon fel 3-3 alap, származtatott és kiegészítő egységet az SI-mértékrendszeren belül (mértékegység neve és jele)! Sorolja fel az SI-mértékrendszer 7 alapegységét (mértékegység neve és jele)! Definiálja a következő SI-alapegységeket (pontos számértékek nélkül): méter, kilogramm, másodperc, amper. Definiálja a következő SI-alapegységeket (pontos számértékek nélkül): kelvin, mól, kandela.


21

11. Adja meg a következő mennyiségek SI-mértékegységét (mértékegység neve és jele): frekvencia, síkszög, térszög, erő, nyomás, energia, teljesítmény! 12. Adja meg a következő mennyiségek SI-mértékegységét (mértékegység neve és jele): elektromos töltés, elektromos feszültség, kapacitás, elektromos ellenállás, elektromos vezetőképesség, mágneses indukció, mágneses fluxus! 13. Mit nevezünk 1 radiánnak? –3 –2 –1 1 2 3 14. Adja meg a következő számértékekhez tartozó SI-prefixumokat: 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 –12 –9 –6 6 9 12 15. Adja meg a következő számértékekhez tartozó SI-prefixumokat: 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 16. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó celláit! mértékegység neve

mértékegység jele

fizikai mennyiség

hertz N nyomás, mechanikai feszültség joule W elektromos töltés volt F elektromos ellenállás, impedancia, reaktancia siemens

méter kg idő amper kg anyagmennyiség kandela

17. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó celláit! prefixum neve

prefixum jele

prefixum számértéke

centih 10–6 teraG 106 decim 103 dekap 10–9

18. Végezze el az alábbi mértékegység-átváltásokat!

2. Mérés és mértékrendszer a)

318 cm  _____ km  _____ m  _____ mm

b)

126 g  _____ kg  _____ mg  _____ g

c)

12 s  _____ ms  _____ ns  _____ h

d)

27, 4 C  _____ K

e)

13580 kg / m  _____ g / cm

3

22

3

2

f)

356 kN / cm  _____ Pa

g)

213 1 / min  _____ Hz

h)

72 km / h  _____ m / s

Felhasznált irodalom: 1. 2.

3.

Farkas Zsuzsa―Hebling János: Fizikai laboratóriumi gyakorlatok (JATEPress 2001) BME TTK Kémiai Fizika Csoport, belső Metrológia jegyzet (www.phy.bme.hu/deps/chem_ph/oktatas/meresek/metrologia.doc)

SZTE TTIK Opt. és Kvantel. Tanszék, belső jegyzet a Fizika mérnököknek c. kurzus számolási gyakorlataihoz (Hilbert–Égerházi) (titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html)

3. Mechanikai alapismeretek I.

23


3.1.

Kinematikai alapfogalmak

A kinematika alapjainak tárgyalását a tömegpontok mozgásának leírásával kezdjük. A tömegpont a (szóban forgó probléma szemszögéből kellően kicsinynek tekinthető) testek idealizált fizikai modellje: egy olyan térbeli kiterjedéssel nem rendelkező pont, melybe a helyettesített test teljes tömegét koncentráljuk. Ha egy testet tömegponttal helyettesítünk, a tömegpont a helyettesített test tömegközéppontjába kerül. Egy pont helyzete megadható, ha egy választott vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszerben (pl. egy DESCARTES-féle derékszögű koordináta-rendszerben) megadjuk a pont x, y és z





helykoordinátáit, illetve a koordináta-rendszer O origójából a P  ( x, y,z ) pontba mutató OP  r

helyvektort. A fizikai alaptörvények szempontjából legfontosabb vonatkoztatási rendszerek az úgynevezett inerciarendszerek. Az inerciarendszerek olyan vonatkoztatási rendszerek, melyekben érvényes a NEWTON-féle I. törvény, azaz a tehetetlenség törvénye. NEWTON annak idején úgy vélte, hogy létezik egy kitüntetett, „abszolút” inerciarendszer. Ma úgy gondoljuk, hogy végtelen számú ilyen vonatkoztatási rendszer van, hiszen egy inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer ugyancsak inerciarendszer. Gyakorlati szempontból – ha elhanyagoljuk a Föld forgását – a földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszer kellően jó inerciarendszernek tekinthető. Ha az ellenkezőjére szeretnénk példát hozni, elég egy vasúti fülkéhez rögzített vonatkoztatási rendszerre gondolni, hiszen egy hirtelen fékezésnél a fülke belsejében a kofferek látszólag „maguktól” potyognak le az ülések feletti csomagtartó polcról, ami ellentmond a newtoni axiómáknak.

Ha egy tömegpont helyvektora időben változik, akkor a választott vonatkoztatási rendszerhez képest végzett mozgásról beszélünk, ellenkező esetben a tömegpont nyugalomban van. (Vegyük észre, hogy mindkét fogalom relatív, azaz előfordulhat, hogy egy tömegpont egyik vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban van, míg egy másikhoz képest mozog.) A tömegpont mozgásának pályája a tömegponthoz húzott helyvektor végpontja által az időben bejárt görbe, a tömegpont által megtett s    megtett út a mozgás pályájának hossza. A test r elmozdulása a test r végső és ro kezdeti helyzetének különbsége:


   r  r  ro .

24 (3.1)

(Az elmozdulás nagysága csak abban az esetben egyezik meg a megtett úttal, ha mindvégig egy irányba mozgunk.) A tömegpont mozgásának időbeli gyorsaságát a tömegpont mozgásának sebességével  jellemezzük. Ha a tömegpont r elmozdulását elosztjuk az ennek megtételéhez szükséges Δt



időtartammal, akkor megkapjuk a tömegpont adott intervallumra vonatkozó vátl . átlagsebességét:

 r  . vátl .  t

(3.2)

(Az átlagsebesség nagysága a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa.) Amennyiben a Δt időtartamot végtelenül kicsinyre választjuk, a tömegpont pillanatnyi sebességéhez jutunk, mely tulajdonképp a tömegponthoz húzott helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa:

  dr . v dt

(3.3)

A pillanatnyi sebesség azt a sebességet adja meg, amellyel a test tovább haladna, ha hirtelen megszűnnének a rá ható erőhatások. Mivel mind az átlag-, mind a pillanatnyi sebesség hosszúság/idő dimenziójú, SI-mértékegységük a m/s. A mozgások sebességének időbeli változása alapján megkülönböztetünk egyenletes (állandó sebességű), illetve egyenletesen változó vagy egyenetlen (változó sebességű) mozgásformákat. Ez utóbbiak jellemzésére szolgál a gyorsulás, melynek értéke egyenletesen változó mozgás esetén állandó,



egyenetlen mozgás esetén pedig időben változó. Az aátl . átlaggyorsulás a (pillanatnyi) sebesség



vektorának v megváltozásának és a megváltozáshoz szükséges Δt időtartamnak a hányadosa:

 v  . aátl .  t

(3.4)



Az a pillanatnyi gyorsulás a pillanatnyi sebesség idő szerinti első, illetve a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa:

   dv d 2 r a  . dt dt 2

(3.5)

Az átlaggyorsulás és a pillanatnyi gyorsulás egyaránt hosszúság/idő2 dimenziójú, így SI-mértékegységeik a m/s2. 



Az r ( t ) pillanatnyi helyvektor és a v( t ) pillanatnyi sebességvektor az alábbi integrál-összefüggések szerint is meghatározható, ha ismerjük a t



o



kezdő időpillanatban érvényes r hely- és v sebességvektorokat: o

o

3. Mechanikai alapismeretek I.   v( t )  v  o

t



   a( t )dt és r ( t )  r  o

to

t

 v( t )dt . 

25

(3.6)

to

A (3.6) egyenletek segítségével könnyedén meghatározhatók az egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen változó mozgásformákat leíró egyenletek: egyenes vonalú egyenletes mozgás

egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

pozíció

   r( t )  ro  v  t

    r( t )  ro  vo  t  1 2 at 2

megtett út

s  v t

s  vo  t  1 2 at 2

sebesség

 v = állandó

   v( t )  vo  a  t

gyorsulás

 a0

 a = állandó

 A fenti egyenletek mindegyike felírható az egyes irányokra vonatkozóan is, ha az r helyvektor helyére



az x, y vagy z helykoordinátákat; a v sebességvektor helyére a vx, vy vagy vz sebességkomponenseket,



illetve az a gyorsulásvektor helyére annak ax, ay vagy az komponenseit írjuk. A lendület (vagy impulzus, ritkán mozgásmennyiség) a test azon törekvésének mértéke, hogy megtartsa mozgásának sebességét, annak irányával együtt. A lendület vektomennyiség, egy tömegpont





vagy test I lendülete az m tömegének és a v sebességének szorzatával egyenlő:

  I  mv .

(3.7)

A lendület SI-mértékegysége a kg·m/s, vagy az ezzel ekvivalens N·s. A lendület megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes lendülete állandó. Ez a lendületmegmaradás (vagy impulzusmegmaradás) törvénye. A zárt rendszer a fizikában egy olyan feltételezett rendszer, amely el van szigetelve a környezetétől, ezért vizsgálatakor a külső tényezők elhanyagolhatóak. Területenként változó, hogy az elszigeteltség pontosan mit jelent: a termodinamikában például a zárt rendszer anyagot nem cserél a környezetével (szemben az izolált rendszerrel, amely hőt és munkát sem), a mechanikában anyag és energia, a rendszerelméletben információ cseréje nem történik zárt rendszer és környezete között.

A lendületmegmaradás törvénye szerint számíthatók az ütközési folyamatok. Ütközés során a testek ütközés előtti összlendülete megegyezik az ütközés utáni összlendülettel. Ez azt jelenti, hogy a testek ütközés előtti és utáni sebességei a testek tömege szerint súlyozódnak. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén (jól közelíti ezt a példát a biliárdgolyók ütközése) a mozgási energiák ütközés előtti és utáni összegei is megegyeznek, míg rugalmatlan ütközés során a mozgási energia egy része a test(ek) deformációjára fordítódik.


26

Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél a testek ütközés után összetapadnak, és együtt haladnak tovább (ilyen például a homokzsákba belefúródott puskagolyó esete).

3.2.

Statikai és dinamikai alapfogalmak, Newton-törvények

Az erő olyan hatás, amely egy tömeggel rendelkező testet gyorsulásra késztet. Az

 F erő

vektormennyiség, és az erő hatására bekövetkező impulzusváltozás gyorsaságával (idő szerinti első deriváltjával) definiálhatjuk:

  dI d  mv  F  , dt dt 

(3.8)



ahol I az m tömegű, v sebességű test lendülete. Az erő SI-mértékegysége a newton: 1 newton nagyságú az az erő, mely 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással gyorsít ( 1 N  1 kg  m / s ). 2

Egy erőt konzervatív erőnek nevezünk, ha kifejezhető egy potenciál gradienseként. Más megfogalmazás szerint a konzervatív erők zárt görbe mentén vett munkája zérus. Konzervatív erők például a gravitációs erő, az elektrosztatikus erő vagy a mechanikai rugóerő. Nemkonzervatív erők például a súrlódási és légellenállási erők. A nemkonzervatív erőket disszipatív erőknek is nevezik.

ISAAC NEWTON 17. század végén megalkotott törvényei. fizikai jelenségek széles skálájának kvantitatív leírását teszik lehetővé. A második és harmadik törvény következménye, a korábban említett lendületmegmaradási törvény volt az elsőként felfedezett megmaradási törvény. A négy törvényt több mint 200 éven keresztül megfigyelésekkel és kísérletekkel igazolták, egészen 1916-ig, amikor ALBERT EINSTEIN relativitáselmélete, a mindennapokban ritkán előforduló jelenségek pontosabb jellemzésével kiváltotta. A NEWTON-törvények a nem atomi méretű testek, nem extrém környezetben való mozgásának leírására azonban mind a mai napig kiválóan alkalmazhatók. NEWTON I. törvénye a tehetetlenség törvénye. Kimondja, hogy minden test nyugalomban marad vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, míg ezt az állapotot egy másik test vagy mező meg nem változtatja. Ez a törvény sok esetben hétköznapi szemléletünkkel ellentétes, ugyanis a testek „természetes állapotaként” az egyenes vonalú egyenletes mozgást jelöli meg, míg efféle természetes állapotnak szívesebben gondolnánk a nyugalmi állapotot. Ennek oka, hogy mindennapi életünkben mindenhol jelen van a súrlódás, mely felemészti a mozgó testek mozgási energiáját. NEWTON I. törvénye azonban azonnal nyilvánvalóvá válik ha elhanyagolható súrlódási együtthatójú felületekre gondolunk: ilyen például a jégfelszínen vagy a légpárnás asztalon sikló műanyag korong.


27



NEWTON II. törvénye a dinamika alapegyenlete. Egy pontszerű test I lendületének megváltozása



egyenlő a testre ható F erővel:

  dI F . dt

(3.9)

Ha a test tömege időben nem változik, akkor a dinamika alapegyenletének közismertebb alakjához



jutunk. Ezzel a megkötéssel a dinamika alapegyenlete szerint egy pontszerű test a gyorsulása egyenesen



arányos és azonos irányú a testre ható F erővel, és fordítottan arányos a test m tömegével:

  F a . m

(3.10)

A dinamika alapegyenlete definiálja a tömeg fogalmát, amely (a klasszikus fizika szerint) a testek állandó jellemzője, az erő és a gyorsulás arányának meghatározója. NEWTON III. törvénye a hatás–ellenhatás törvénye. A hatás–ellenhatás törvénye kimondja, hogy két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, egymással ellentétes irányú erő hat. Sokszor NEWTON IV. törvényeként hivatkoznak a szuperpozíció elvére. A szuperpozíció elve szerint ha egy testre több erő hat, a test úgy viselkedik, mintha kizárólag a rá ható erők vektoriális összegeként számítható eredő erő hatna rá.

Ha egy erő egy rögzített ponttal vagy tengellyel rendelkező merev testre hat, akkor forgató hatást fejt ki az adott testre. Ennek a forgató hatásnak a mértéke a forgatónyomaték. Az (O pontra vonatkoztatott)    M forgatónyomaték-vektor az F erő és az O ponttól az erő támadáspontjába mutató r vektor, az ún. erőkar vektoriális szorzata:

   M  r F .

(3.11)

Ha a merev test rögzített tengellyel rendelkezik, a forgatónyomaték M nagysága az erő F nagyságának, valamint a forgástengely és az erő támadáspontja közötti d távolságnak mint erőkarnak a szorzata:

M  F d . Több

forgatónyomaték

együttes

forgatóhatásának

(3.12) egyszerű

kiszámítása

érdekében

a

forgatónyomatékokat a forgatóhatásuk irányítása szerint pozitív vagy negatív előjellel szokás ellátni. Egy merev test egyensúlyban van, ha a rá ható erők és forgatónyomatékok eredője külön-külön zérus.


3.3.

28

Gravitáció, súlyerő

Bármely két tömeggel rendelkező test között fellép az ún. gravitációs kölcsönhatás, mely a fizika négy alapvető kölcsönhatásának egyike, és mindig vonzásban nyilvánul meg. Az Fgr. gravitációs erő nagysága egyenesen arányos a két tömegpont vagy kiterjedt test m1 és m2 tömegével, valamint fordítottan arányos a köztük lévő r távolság négyzetével:

Fgr .   ahol   6 , 67  10

11

Nm2 kg 2

m1m2 , r2

(3.13)

az ún. gravitációs állandó.

Hétköznapi körülmények között (ellentétben például az elektromos erővel vagy a mágneses erővel) a testek között fellépő gravitációs erő nem figyelhető meg, azonban jelentős a (jelentékeny tömegű) Földünk és a földi tárgyak között fellépő, hozzávetőlegesen a Föld középpontja felé mutató gravitációs vonzás. Meg kell jegyezni, hogy NEWTON III. törvénye értelmében tárgyaink természetesen ugyanekkora erővel vonzzák a Földet, csakhogy a Föld nagy tömege miatt kellően nagy tehetetlenséggel rendelkezik ahhoz, hogy ezek a hatások elhanyagolhatók legyenek. Ugyanakkor a Föld mélyén lévő kiterjedt érc- és kőolajmezők képesek mérhető módon eltorzítani a Föld gravitációs terét, ami segíti ezeknek az ásványkincseknek a megtalálását.

A földi gravitációra vonatkozó számítások során gyakran nem a (3.13) egyenletből származó gravitációs erővel dolgozunk, hanem az m1 tömeg helyére behelyettesítjük a Föld M tömegét, az r távolság helyére a Föld R sugarát, az m2 tömeget pedig a továbbiakban m-mel jelöljük. Ezekkel a helyettesítésekkel



megkapjuk az m tömegű testre ható Fs. súlyerőt, más néven a test G súlyát, melynek nagysága:

 M G    2   m  mg ,  R 

(3.14)

ahol g  9,81 m/s 2 a gravitációs gyorsulás, melynek iránya a Föld tömegközéppontja felé mutat. Egy kiterjedt test vagy pontrendszer tömegközéppontja az a pont, mely a kölcsönhatások szempontból úgy viselkedik, mintha a test vagy rendszer tömege ebbe a pontba lenne koncentrálva.


3.4.

29

Energia, munka, teljesítmény, hatásfok

A (mechanikai) munka az az energiamennyiség, amelyet egy erő közvetít, miközben egy tömegpontot





vagy merev testet az erő irányába elmozdít. Ha az F erő hatására egy test s elmozdulást végez, akkor az erő W munkája:

    W  F  s  F  s  cos ,

(3.15)

ahol α az erő és az elmozdulásvektor által bezárt szög. A munka skaláris mennyiség, SI-mértékegysége a joule (J). 1 joule munkát végez az 1 N nagyságú erő, ha az erő irányában 1 m elmozdulást okoz. Fizikai értelemben tehát csak akkor történik munkavégzés, ha a test elmozdulásának van az erő irányával párhuzamos komponense. Amennyiben az elmozdulás ellentétes irányú, mint az erő, negatív előjellel láthatjuk el a munkavégzést. Ennek a mechanikai energia megmaradási tétele szempontjából van jelentősége. A nem mechanika természetű (elektromos, rugalmas stb.) munka a (3.15) egyenlethez hasonló módon definiálható, csak az összefüggésbe a megfelelő erőtípus alakját kell behelyettesíteni.

Az energia a fizikában a testek pillanatnyi állapotát leíró mennyiség, állapotjelző. Egy fizikai rendszer energiája azzal a munkamennyiséggel adható meg, amellyel valamilyen kezdeti állapotból a rendszer az adott állapotba hozható. Az energiát sokszor a test vagy rendszer munkavégző képességével is definiálják. A kezdeti, referenciaszintnek nevezett állapot sok esetben nincs meghatározva, hanem önkényesen kijelölhető. Az energia SI-mértékegysége ugyancsak a joule (J). A mechanika tárgykörében az energia két fő típusát különböztetjük meg: a mozgási (kinetikus) energiát és a helyzeti (potenciális) energiát. A kinetikus (mozgási) energia a test haladó (és forgó mozgásából) származó energia: az az energiamennyiség, melyet ahhoz kell közölni a nyugalomban lévő testtel, hogy súrlódásmentes körülmények között az adott (lineáris és szög-) sebességre szert tegyen. Ha egy m tömegű, v sebességgel mozgó test csak haladó mozgást végez, akkor az Ekin. kinetikus energiája:

Ekin.  1 2 mv 2 .

(3.16)

Ha a θ tehetetlenségi nyomatékú test ω szögsebességű forgó mozgást is végez, akkor az ebből származó Eforg. forgási energia:

E

forg .

2  1 2  ,

(3.17)

mely hozzáadódik a (3.16) energiataghoz.

A kinetikus energia és a munka között teremt kapcsolatot a munkatétel, melynek értelmében egy test kinetikus energiájának adott idő alatt bekövetkező Ekin. megváltozása egyenlő a testre vagy rendszerre ható erők ez idő alatt végzett munkáinak W összegével, illetve az eredő erő W munkájával:


Ekin.  W  W .

30 (3.18)

A potenciális (helyzeti) energia az az energiafajta, mely a testnek konzervatív erőtérben (pl. elektrosztatikus térben, gravitációs mezőben, rugalmas közegben) elfoglalt helyzetéből származik. A mechanika tárgykörében a potenciális energia két fő típusát különböztetjük meg: a gravitációs potenciális energiát és a rugalmas potenciális energiát. A gravitációs potenciális energia a tömegpontnak vagy merev testnek más tömeggel rendelkező objektum(ok) gravitációs terében elfoglalt helyzetéből származik. A Föld felszínéhez közel egy m tömegű test Ugr. gravitációs potenciális energiája:

U gr .  mgh ,

(3.19)

ahol h a tömegpont (illetve kiterjedt test esetén a test tömegközéppontjának) valamely referenciaszinttől mért magassága. Ez a referenciaszint általában a földfelszín, de egyes számolásokhoz időnként célszerűbb más referenciaszintet választani. A rugalmas potenciális energia az az energiamennyiség, mely egy összenyomott vagy megfeszített rugalmas testben tárolódik. Ha egy test (pl. megfeszített fémdrót vagy összenyomott spirálrugó) rugalmassági állandója D, a lineáris alakváltozás pedig Δx, akkor az Urug. rugalmas potenciális energia: 2 U rug .  1 D  x  . 2

(3.20)

Az energia megmaradó mennyiség: az energiamegmaradás tétele kimondja, hogy zárt rendszer teljes energiája (azaz a különböző energiaformák összege) időben állandó.

Az energiamegmaradás tétele nem korlátozza az energia egyik formából másikba történő átalakulását, mely legtöbbször valamilyen munkavégzésen keresztül történik. A vízerőmű például a folyó gravitációs energiáját alakítja át turbinák mozgási energiájává, ami generátorokban elektromos energiává alakul. Az elektromos energiával hajtott szivattyúk a vizet víztornyokba pumpálva gravitációs energia formájában tárolják a víznek a közműhálózatban való szétosztásához szükséges energiát. A modern fizika a tömeget is az energia egyik megnyilvánulásának tekinti.

Az energiamegmaradás tételének leszűkített megfogalmazása a mechanikai energia megmaradásának tétele. Mechanikai energiának a kinetikus és a potenciális energiák összegét nevezzük. A mechanikai energia megmaradásának tétele értelmében zárt rendszerben a mechanikai energiák összege időben állandó. A test egységnyi idő alatt végzett munkáját teljesítménynek nevezzük. A P teljesítmény kiszámítható, ha a W munkavégzést elosztjuk a munkavégzéshez szükséges t időtartammal:

P

W . t

(3.21)


31

A teljesítmény SI-mértékegysége a watt (W): 1 W teljesítmény érhető el, ha 1 J munkát 1 s alatt végzünk el. A gyakorlatban nemcsak a teljesítmény fontos értékmérő, hanem az is, hogy az elvégzett munka mekkora hányada fordítódik hasznos munkavégzésre, és mekkora hányada veszteség. Az η hatásfok a Whaszn. hasznos munka és a W teljes munka hányadosa:



Whaszn. Whaszn. 100%   100%  . W Whaszn.  Wveszt .

(3.22)

A W teljes munka a Whaszn. hasznos munka és a Wveszt. veszteség összege. A hatásfok 0 és 1 közötti értékű, a gyakorlatban soha nem érheti el az 1 értéket. A hatásfokot sok esetben százalékban fejezik ki.

3.5.

Körmozgás és forgó mozgás

Körmozgásról beszélünk, ha egy tömegpont vagy egy kiterjedt test valamely pontja körpálya mentén mozog. Egyenletes körmozgás esetén a tömegpont egyenlő idők alatt egyenlő utakat (azaz egyenlő köríveket) tesz meg a mozgás irányában. Az egyenletes körmozgást kinematikai szempontból számos mennyiséggel jellemezhetjük. A mozgás T periódusideje az egy körülfordulás megtételéhez szükséges idő (SI-mértékegysége a s), az n fordulatszám az adott időtartam alatt megtett körülfordulások száma (SI-mértékegysége a s–1, de a gyakorlatban sokszor használják a min–1 mértékegységet is). Időnként a körmozgás jellemzésére is használják a frekvenciát, mely a periódusidő reciproka (SI-mértékegysége a Hz = 1/s). A körmozgás leírásához gyakran használjuk a körpálya középpontjából a tömegpont kezdőpontjához húzott kezdeti helyvektor és pillanatnyi helyvektor által bezárt φ szöget, az úgynevezett szögelfordulást. A lineáris mozgás során definiált sebesség és gyorsulás mennyiségekhez hasonlóan a szögelfordulás idő szerinti első differenciálhányadosa az ω szögsebesség:



d , dt

(3.23)

a szögelfordulás idő szerinti második differenciálhányadosa a β szöggyorsulás:



d 2 d  . dt 2 dt

(3.24)

A szögsebesség SI-mértékegysége a s–1, illetve a rad/s, a szöggyorsulás SI-mértékegysége a s–2, illetve a rad/s2.


32

A szögsebesség a kerületi sebességhez hasonló módon vektormennyiség. A szögsebességvektor mindig merőleges a körmozgás síkjára, irányát pedig az szabja meg, hogy a körmozgás óramutató járásirányával megegyező vagy azzal ellentétes irányítású. A szögsebességvektor iránya a jobbkézszabály szerint határozható meg: ha jobb kezünk mutató-, középső, gyűrűs- és kisujját begörbítjük (mintha egy függőleges rudat fognánk körül tenyerünkkel), ha az előbbi ujjak a körmozgást végző tömegpont mozgásának irányába mutatnak, akkor a hüvelykujjunk jelöli ki a körmozgás szögsebességvektorának irányát.

A körmozgást végző test körpályával érintőleges irányú vker. kerületi sebessége a körmozgás ω szögsebességével és a mozgás pályájának r sugarával arányos:

vker.  r .

(3.25)

NEWTON I. törvénye értelmében a körmozgás fenntartásához erőre lenne szükség, ennek hiányában a tömegpont egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. A körmozgást fenntartó Fcp. . erőt centripetális erőnek nevezzük. A centripetális erő a körpálya középpontja felé mutat, nagysága: 2 mvker. Fcp.  mr  , r 2

(3.26)

ahol m a tömegpont tömege. NEWTON II. törvénye értelmében az acp . centripetális gyorsulás nagysága:

acp. 

Fcp. m

 r 2 

2 vker. . r

(3.27)

A centripetális erőt sok esetben helytelenül összemossák a centrifugális erővel, illetve egymás erő–ellenerő párjaiként tüntetik fel azokat. A centrifugális erő azonban ún. tehetetlenségi erő, mely forgó vonatkoztatási rendszerben (azaz

nem inercia- vagy tehetetlenségi

rendszerben) lép fel. Az ilyen gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben nem érvényesek a NEWTON-törvények, mert a testek a vonatkoztatási rendszerhez rögzített megfigyelő szemszögéből erőhatás nélkül is gyorsulni látszanak. Helyre lehet azonban állítani formálisan az ilyen rendszerekben is a mechanikai alaptörvényeket az ún. tehetetlenségi erők vagy inerciaerők bevezetésével.

A rögzített tengellyel rendelkező, forgó mozgást végző merev test minden egyes pontja körmozgást végez. A forgó mozgást a következőkben nem tárgyaljuk teljes részletességgel, inkább a haladó mozgás és a forgó mozgás közötti analógiákra alapozunk.A szögsebesség, a szöggyorsulás és a forgatónyomaték fogalmát a korábbiakban már tárgyaltuk. A tehetetlenségi nyomaték a merev test (valamely tengely körüli) forgással szembeni tehetetlenségét jellemzi, a tömeggel azonos fizikai mennyiség. Ez z tengely körül forgó tömegpont θz (ún. skaláris) tehetetlenségi nyomatéka a tömegpont m tömegének, valamint a forgástengelytől mért rz távolsága négyzetének a szorzataként számítható ki:

 z  mrz2 .

(3.28)


33

A tehetetlenségi nyomaték additív mennyiség, így N darab mi tömegű, a forgástengelytől egyenként ri távolságra elhelyezkedő tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével: N

   mi ri 2 .

(3.29)

i 1

jellemző mozgást jellemző változó a változó idő szerinti első deriváltja a változó idő szerinti második deriváltja a tehetetlenség mértéke a (szög)gyorsulás oka a (szög)sebesség megtartására irányuló törekvés mértéke

fizikai mennyiség kiszámítása

1 dimenziós haladó mozgás fizikai mennyiség mértékegység m pozíció (x) m/s sebesség (v) m/s2 gyorsulás (a) kg tömeg (m) N erő (F) kgm lendület (I)

forgó mozgás fizikai mennyiség mértékegység szögelfordulás (φ) rad (vagy °) rad/s szögsebesség (ω) rad/s2 szöggyorsulás (a) kgm2 tehetetlenségi nyomaték (θ) Nm forgatónyomaték (M) kgm2/s perdület (L)

1 dimenziós haladó mozgás

forgó mozgás

dx v dt

sebesség/szögsebesség

gyorsulás/szöggyorsulás

a 

d2 x

 

dt 2

lendület/perdület

E

kin .



1 2

mv

W  Fx P  Fv

munka teljesítmény

d dt d 2 dt 2

M  

F  ma I  mv

erő/forgatónyomaték

mozgási energia

 

L   2

E

kin .



2 1  2

W  M

P  M

A szögsebesség, a szöggyorsulás és a forgatónyomaték fogalmát a korábbiakban már tárgyaltuk. A tehetetlenségi nyomaték a merev test (valamely tengely körüli) forgással szembeni tehetetlenségét jellemzi, a tömeggel azonos fizikai mennyiség. Ez z tengely körül forgó tömegpont θz (ún. skaláris) tehetetlenségi nyomatéka a tömegpont m tömegének, valamint a forgástengelytől mért rz távolsága négyzetének a szorzataként számítható ki:

 z  mrz2

(3.30)

A tehetetlenségi nyomaték additív mennyiség, így N darab mi tömegű, a forgástengelytől egyenként ri távolságra elhelyezkedő tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével: N

   mi ri 2 . i 1

(3.31)


34

A perdület (más néven impulzusmomentum vagy forgásmennyiség) egy test azon törekvésének mértéke, hogy megtartsa forgómozgásának szögsebességét. A perdület vektormennyiség, egy tömegpont perdületvektorát a következő vektoriális szorzat definiálja:

   (3.32) L  r I ,   ahol r a tömegponthoz húzott helyvektor, I pedig a tömegpont lendülete. Kiterjedt merev test valamely z tengelyre vonatkoztatott perdülete a test adott tengelyre vonatkozó θz tehetetlenségi nyomatékának és ωz szögsebességének szorzataként számítható:

  Lz   zz

(3.33)

A perdület SI-mértékegysége a kg·m2/s vagy az ezzel ekvivalens N·m·s. A perdület megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes perdülete állandó. A lendületmegmaradás törvényének analógiájaként ez a perdületmegmaradás törvénye.


3.6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

Ellenőrző kérdések és feladatok Definiálja a következő fogalmakat: vonatkoztatási rendszer, helyvektor, inerciarendszer. Mit nevezünk egy mozgás pályájának? Mi a különbség az elmozdulás és a megtett út között? Definiálja a pillanatnyi sebességet és az átlagsebességet, adja meg SI-mértékegységeiket! Definiálja a pillanatnyi gyorsulást és az átlaggyorsulást, adja meg SI-mértékegységeiket! Egyenes vonalú egyenletes mozgásnál hogyan függ a tömegpont sebessége, gyorsulása és a megtett út az időtől? Egyenes vonalú egyenletes változó hogyan függ a tömegpont sebessége, gyorsulása és a megtett út az időtől? Definiálja a lendületet, adja meg az SI-mértékegységét! Mondja ki a lendületmegmaradás törvényét! Említsen egy példát a törvény alkalmazására! Definiálja az erőt, adja meg az SI-mértékegységét! Mondja ki Newton I. törvényét! Mondja ki Newton II. törvényét! Mondja ki Newton III. törvényét! Mondja ki a szuperpozíció elvét! Definiálja a forgatónyomatékot, adja meg az SI-mértékegységét! Mi a merev test egyensúlyának feltétele? Hogyan számítható ki a testek között fellépő gravitációs erő nagysága? Hogyan számítható ki a súlyerő? Mekkora a gravitációs gyorsulás értéke a Földön? Definiálja a munkát és az energiát, adja meg az SI-mértékegységüket! Hogyan számítható ki egy tömegpont mozgási energiája? Hogyan számítható ki a gravitációs és a rugalmas potenciális energia? Mondja ki a munkatételt! Mondja ki az energiamegmaradás tételét! Mondja ki a mechanikai energia megmaradásának tételét! Definiálja a teljesítményt és a hatásfokot, adja meg az SI-mértékegységeiket! Definiálja a körmozgás következő jellemzőit, adja meg SI-mértékegységeiket: periódusidő, fordulatszám, szögsebesség, szöggyorsulás. Mit nevezünk centripetális erőnek, hogyan számítható ki? Mi az összefüggés a kerületi sebesség és a szögsebesség között?

Felhasznált irodalom:

35

4. Mechanikai alapismeretek II.

36


4.1.

Harmonikus rezgőmozgás

Ha egy rugóra akasztott testet nyugalmi helyzetéből függőleges irányban, kis mértékben kitérítünk, majd magára hagyjuk, a test a két szélső kitérési pont között periodikusan ismétlődő mozgást végez. Az ilyen mozgásformát rezgőmozgásnak nevezzük. Általánosságban harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük azokat a periodikus, egydimenziós mozgástípusokat, amelyeknél a kitérés az idő harmonikus (szinuszvagy koszinusz-) függvénye szerint változik. További megkülönböztető jellemzője a harmonikus rezgéseknek, hogy az egyensúlyi helyzetbe visszatérítő, ún. harmonikus erő nagysága arányos az egyensúlyi helyzettől mért kitéréssel, és mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul.

A harmonikus rezgőmozgást számos fizikai mennyiség jellemzi. A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges időtartam. A rezgésszám valamely t időtartam (általában 1 perc) alatt megtett rezgések száma. A frekvencia az időegység alatt megtett rezgések száma. A körfrekvencia szemléletes magyarázatát a későbbiekben ismertetjük. A kezdőfázis a rezgőmozgás fázisát adja meg a t = 0 időpontban.


mennyiség

jele

SI-mértékegysége

amplitúdó

A

m (méter)

periódusidő

T

s (másodperc)

rezgésszám

n

1/s (vagy 1/min)

frekvencia

f vagy ν

1/s = Hz (hertz)

körfrekvencia

ω

1/s

kezdőfázis

φo

radián (vagy °)

37

kiszámítása

f 



1 n  T t

2  2 f T

Először a harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírásával foglalkozunk, azaz nem térünk ki a rezgőmozgást létrehozó erőkre. A fenti jelölésekkel a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont y függőleges kitérésének t időtől való függését a következő egyenlet írja le: y  t   A sin t  o  .

(4.1)

v  t   A cos t  o  ,

(4.2)

a  t    A 2 sin t  o    2 y

(4.3)

A tömegpont v sebességének időfüggése:

a gyorsulás időfüggését pedig az

összefüggés írja le. Látható, hogy a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont sebessége és gyorsulása a kitéréshez hasonlóan periodikus (harmonikus) függvényei az időnek. A gyorsulás emellett egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség maximális értéke a vmax. sebességamplitúdó ( vmax.  A ), a gyorsulás maximuma az amax. gyorsulásamplitúdó ( amax.   A 2 ).


38

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás között kapcsolatot lehet teremteni a következő gondolatkísérlettel. Tekintsünk két tömegpontot, melyek egyike egyenletes körmozgást, a második pedig harmonikus rezgőmozgást végez, a körmozgás sugara egyezzen meg a rezgés amplitúdójával, a két mozgás periódusideje legyen azonos. Ha a körmozgás síkjából egymás mellé vetítjük a két tömegpont mozgását, azonos kezdőfázis esetén a két mozogás azonosnak látszik, a körmozgást végző test látszólag a harmonikus rezgőmozgást végzővel megegyező módon mozog. A rezgőmozgás  körfrekvenciája szemléletes módon tehát az adott rezgőmozgásnak megfeleltethető körmozgás szögsebességeként értelmezhető. A harmonikus rezgőmozgás dinamikai leírása során azt kell figyelembe venni, hogy a mozgást a tömegpont egyensúlyi helyzetétől mért y kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú Fharm. erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre:

Fharm.   Dy ,

(4.4)

ahol D a rugóállandó vagy direkciós állandó. A dinamika alapegyenlete szerint ilyenkor az m tömegű tömegpont mozgására felírható az  d2 y m 2  dt

   ma   Dy 

(4.5)

(differenciál-)egyenlet, melynek megoldása szinuszvagy koszinuszfüggvény (a kettő között csak a φo kezdőfázis értékében van különbség): y  t   A sin t  o  ,

(4.6)

ahol a rezgőmozgás  körfrekvenciája és T periódusideje: 

4.2.

D D és T  2 . m m

(4.7)

Harmonikus rezgések összeadódása, rezonancia

Számos esetben előfordul, hogy a rezgéseknek több forrásból származnak, és az eredő rezgés ezek egymásra rakódásából áll elő. Elsőként azt a legegyszerűbb esetet tárgyaljuk, amikor azonos rezgési irányú és (kör)frekvenciájú, de különböző amplitúdójú és kezdőfázisú rezgések szuperponálódnak. Tekintsük az y1  t   A1 sin t  1  és az y2  t   A2 sin t  2  harmonikus rezgéseket. Az ezek összeadódásából eredő mozgás egy y  t   A sin t   

(4.8)


39

alakú, ugyancsak harmonikus rezgés lesz, melynek amplitúdója és fázisa

A  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  2  ,

(4.9)

eredő fázisa pedig

  arctan

A1 sin 1  A2 sin 2 . A1 cos 1  A2 cos 2

(4.10)

Ebben az esetben tehát az eredő mozgás ugyancsak harmonikus rezgés lesz. A (4.9) egyenletekből látható, hogy maximális erősítés akkor jelentkezik, ha az egyes rezgések fázisa azonos, ilyenkor az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege. Maximális gyengítés akkor lép fel, ha a rezgések ellentétes fázisúak, ekkor az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, a két rezgés kioltja egymást. Az y1  t   A sin 1t    és y2  t   A sin 2t    különböző (kör)frekvenciájú, azonban az egyszerűség kedvéért azonos amplitúdójú és a kezdőfázisú rezgések eredője az

    1   1  2     2  y  t   2 A cos  2 t  sin  t   A* sin  1 t  2   2   2  

(4.11)

harmonikus rezgés.

Egyirányú, azonban különböző frekvenciájú rezgések összeadódásakor az eredő rezgés tehát egy olyan harmonikus rezgés, melynek amplitúdója az időben periodikusan változik. Közeli frekvenciájú rezgések összegződésekor az amplitúdó időben lassan változik a zérus nagyságú és a két amplitúdó összegének megfelelő amplitúdók között. Ezt a jelenséget lebegésnek nevezzük. A lebegés frekvenciája az összeadódó rezgések frekvenciáinak különbsége. Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összeadódásakor az eredő mozgás elliptikus pálya mentén történik (illetve speciális esetekben körmozgás vagy egyenes vonal menti periodikus mozgás lesz). Az ellipszis tengelyeinek iránya és a mozgásirány a két összetevő rezgés közötti fáziskülönbségtől függ. Két egymásra merőleges, különböző frekvenciájú harmonikus rezgés összeadódásakor bonyolult, hurokszerű, ún. LISSAJOUS-görbék keletkeznek. Ha a két rezgés frekvenciájának viszonya racionális szám, akkor záródó LISSAJOUS-görbék jönnek létre, ellenkező esetben a görbe nem záródik, a pont szigorú értelemben sohasem tér vissza eredeti helyzetébe. (A kör és az ellipszis speciális LISSAJOUS-görbéknek tekinthetők.)

Szabad rezgés alakul ki, ha egy mechanikai rendszert kitérítünk az egyensúlyi helyzetéből, és hagyjuk, hogy az a (többek között geometriai kialakítása, rugalmassági tulajdonságai által meghatározott) sajátfrekvenciáján, szabadon rezegjen. Ennek példája a megütött hangvilla. Kényszerrezgés során a mechanikai rendszerre periodikus gerjesztőerő hat, mely folyamatos energia-utánpótlást biztosít. Példa erre a hintázó gyermek, akit a szülője ütemesen lökdös.


40

A rezonancia gerjesztett rezgéseknél léphet fel olyankor, ha a gerjesztés frekvenciája és a rendszer sajátrezgésének frekvenciája (helyesebben a sajátfrekvenciák valamelyike) közel esnek egymáshoz. Ilyen esetben a gerjesztés által a rendszerbe egy-egy kitérés alatt bevitt kis energiaadagok fokozatosan összegeződnek és nagy rezgésamplitudót okoznak. Csillapítás nélküli (idealizált) rendszerek esetén a rezgésamplitudó a rezonancia során végtelen nagy értéket is elérhet.

4.3.

Harmonikus hullámmozgás

A hullám egy rendszer olyan állapotváltozása, amely időbeli és térbeli periodicitást mutat. Más megfogalmazásban a hullám valamely térben tovaterjedő (periodikus) zavar. A hullámterjedéshez valamilyen közeg szükséges, kivéve az elektromágneses hullámokat, melyek vákuumban is képesek terjedni. A hullámok energiát szállítanak, azonban a hullámterjedés közben makroszkopikus anyagtranszport nem történik. A hullámokat több szempont szerint osztályozhatjuk. Ha a közegben mechanikai állapotváltozások terjednek, akkor mechanikai hullámról, ha pedig elektromágneses természetű zavar terjed, akkor elektromágneses hullámról beszélünk. Aszerint, hogy hány dimenziós a közeg, amelyben a hullám terjed, megkülönböztethetünk egydimenziós hullámokat (pl. rezgő gumikötél), kétdimenziós hullámokat (pl. a vízfelszínen terjedő vízhullámok) és háromdimenziós hullámokat (pl. a levegőben terjedő hullámok). A rezgések terjedési iránya szerint megkülönböztetünk transzverzális és longitudinális hullámokat. A transzverzális hullámok terjedési iránya a rezgési irányra merőleges (ilyenek például a húron terjedő hullámok vagy a szabad elektromágneses hullámok). A longitudinális hullámok terjedési iránya párhuzamosan a rezgési iránnyal (ilyen például a legtöbb hanghullám). Bizonyos transzverzális hullámok a terjedés irányára merőlegesen egyetlen kiválasztott irányban rezegnek, az ilyen hullámokat polarizált hullámoknak nevezzük. A harmonikus hullámok terjedéséül szolgáló közeg egyes pontjaiban a részecskék – mechanikai hullám esetén – harmonikus rezgőmozgást végeznek; nem mechanikai természetű hullámok esetén a zavart jellemző paraméter (nyomás, elektromos vagy mágneses térerősség stb.) az egyes pontokban az időben harmonikus függvény szerint változik. Mivel a harmonikus rezgések és hullámok között az előbbiekben bemutatott szoros kapcsolat van, a harmonikus hullámok jellemzéséhez ugyancsak a harmonikus rezgések ismertetésénél bemutatott paramétereket (amplitúdó, periódusidő, rezgésszám,


41

frekvencia, körfrekvencia, kezdőfázis), az ott leírt definíciók szerint használjuk. Ezt egészíti ki egy további, a térbeli periodicitást jellemző mennyiség, a hullámhossz. A hullámhossz a hullám két szomszédos azonos fázisú pontja (például maximuma vagy minimuma) közötti távolság valamely rögzített időpillanatban. A hullámhossz jele: a λ, SI-mértékegysége a m (méter). Különösen a spektroszkópia területén gyakran alkalmazzák a k hullámszámot, mely a hullámhossz reciprokának 2π-szerese:

k

2 . 

(4.12)

(A hullámszám más definíció szerint közvetlenül a hullámhossz reciproka, és megkülönböztetésképp az előző mennyiséget körhullámszámnak nevezik.) A hullámszám 1/hosszúság dimenziójú, SImértékegysége az 1/méter. A mechanikai hullámok terjedési sebességét a közeg mechanikai tulajdonságai (sűrűség, rugalmassági jellemzők), az elektromágneses hullámok terjedési sebességét pedig a közeg törésmutatója határozza meg. A hullám adott közegbeli c terjedési sebessége, λ hullámhossza, k hullámszáma, f frekvenciája, T periódusideje és ω körfrekvenciája között a következő összefüggések vannak érvényben:

c   f 

     . T 2 k

(4.13)

A (vonal mentén terjedő) harmonikus hullám egyenletének felírásához tekintsük egy olyan zavart, mely az x  0 helyen, a zavar forrásánál a

 ( 0 ,t )  A  sin (t  o )  f ( t )

(4.14)

egyenlettel írható le, ahol A a zavar amplitúdója, ω a körfrekvenciája és φo a kezdőfázisa. A zavar terjedjen adott c sebességgel az x tengely mentén, pozitív és negatív irányokba. Ekkor az origóból kiinduló, csillapítást nem szenvedő zavar egy pozitív x, illetve egy negatív –x helyre

t   x / c , illetve t –   x / c

(4.15)

késéssel érkezik meg. Így a ±x helyen a zavar időbeli változását a

 ( x,t )  f ( t  x / c )

(4.16)

egyenlet jellemzi.

A fenti gondolatmenet alapján a közegben c sebességgel terjedő, A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú és φo kezdőfázisú harmonikus rezgés hatására kialakuló (egydimenziós) harmonikus hullám rezgésállapotát („kitérését”) a

   

x







  x,t   Asin   t    o  c hullámegyenlet írja le.

(4.17)


42

A hullám intenzitását a hullámban egységnyi idő alatt, egységnyi felületen keresztül szállított energiával definiáljuk:

I

E P  , A t A

(4.18)

ahol E a hullámnyaláb energiája, mely A felületen halad át t idő alatt, és P  E / t a teljesítmény. Az intenzitás teljesítmény/felület dimenziójú, SI-mértékegysége a W/m2. A hullámnyaláb intenzitása egyenesen arányos a hullám amplitúdójának és frekvenciájának négyzetével, és amint arra a (4.18) egyenlet rámutat, a hullámnyaláb átlagos intenzitása a nyaláb teljes teljesítményének és keresztmetszetének hányadosaként számolható ki. Figyeljük meg, hogy a (4.18) egyenlet szerint az átlagos intenzitás nemcsak a nyaláb energiájának növelésével, hanem a nyalábkeresztmetszet csökkentésével, azaz fókuszálással is növelhető. Ennek például komoly jelentősége van akkor, ha az ultrahangot nem diagnosztikai, hanem terápiás célokra (kőzúzás, daganatos szövet roncsolása) kívánjuk használni. Ilyenkor a roncsoláshoz szükséges intenzitást nem az ultrahang energiájának növelésével, hanem a szorosabb lefókuszálással érjük el. Ennek köszönhetően a környező szövetek nem (vagy csak kevésbé) sérülnek, és az intenzitás csak egy szűk régióban éri el a roncsoláshoz szükséges értéket, ezáltal célzottabb terápia valósítható meg.

4.4.

Hullámterjedés során fellépő jelenségek.

Ha egy hullám terjedés közben olyan közegek határfelületéhez érkezik, melyekben a hullámterjedési sebesség különböző, a közeghatárról a hullám egy része visszaverődik, a visszamaradó rész pedig megtörve folytatja útját a második közegben (a szóródástól itt és a továbbiakban eltekintünk). Visszaverődés során a közeghatárt elérő hullám nem hatol be a közeghatár túloldalán lévő közegbe, hanem a következő törvényszerűségek szerint megváltoztatja a terjedési irányát: 

a visszaverődő hullám a beeső hullám és a beesési merőleges (a határfelületre a hullám beérkezési pontjában állított merőleges) síkjában halad;



a γ visszaverődési szög egyenlő az α beesési szöggel:

.

(4.19)

Beesési szögnek a beeső hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szöget, visszaverődési szögnek pedig a visszaverődött hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szöget nevezzük. Törés esetén a hullám belép a közeghatár túloldalán lévő közegbe, miközben a terjedési iránya az alábbiak szerint változik meg:


43



a megtört hullám a beeső hullám és a beesési merőleges síkjában halad tovább;



az α beesési szög szinuszának és a β törési szög szinuszának hányadosa a két közegre jellemző állandó, az ún. n2,1 (relatív) törésmutató:

sin   n2 ,1  c1 / c2 . sin 

(4.20)

A (4.20) egyenletet SNELLIUS–DESCARTES-törvénynek nevezik. A törési szög a megtört hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szög, a törésmutató pedig az adott hullám első és második közegben mérhető c1 és c2 terjedési sebességeinek hányadosa. A törésmutató különösen az optikában bír nagy jelentőséggel, ezért a 7.1 fejezetben részletesebben is tárgyaljuk. A visszaverődést és a törést általában elkülönítve szokás tárgyalni, de fontos megjegyeznünk, hogy a két jelenség legtöbbször együtt játszódik le: a határfelületen a hullám egy része visszaverődik az első közegbe, a másik része megtörve belép a túloldali közegbe. Mechanikai hullámok (különösen hanghullámok) esetén visszaverődött hullám és a beeső hullám intenzitásainak arányát az alábbi visszaverődési tényező adja meg:

I visszavert  Ibeeső



Z 2  Z1 Z 2  Z1



2

,

(4.21)

ahol a Z akusztikus ellenállás a közeg ρ sűrűségének és a hullám közegbeli c terjedési sebességének a szorzata:

Z   c .

(4.22)

A hanghullámoknak a különböző akusztikai ellenállású közeget elválasztó határfelületekről történő visszaverődése elsősorban az ultrahangos diagnosztika szempontjából lényeges.

Hullámok találkozáskor az amplitúdók és fázisok a hullámtér minden pontjában (előjelesen) összeadódnak, így a hullámok erősíthetik, illetve gyengíthetik (sőt, akár ki is olthatják) egymást. Ezt a jelenséget interferenciának nevezzük. Két azonos polarizációjú és frekvenciájú hullám interferenciája matematikailag egyirányú rezgések pontonkénti összetevésével írható le. Két egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője az eredeti rezgésekkel megegyező frekvenciájú rezgés, melynek eredő amplitúdóját és eredő fázisát a (4.9) és (4.10) egyenletek írják le. A (4.10) egyenletben a négyzetgyökjel alatti három tag közül az utolsót interferenciatagnak is szokás nevezni. Interferencia során az interferáló hullámok eredő amplitúdóját vagy intenzitását észleljük: amennyiben az interferenciatag pozitív, akkor erősítésről, ellenkező esetben gyengítésről beszélünk. Az interferenciára képes forrásokat koherens forrásoknak nevezzük. Az interferencia szép példája a vízfelszínen találkozó hullámok által kialakított mintázatok. Diffrakcióról (elhajlásról) akkor beszélünk, amikor (a hullámhosszal összemérhető nagyságú) akadályba ütköző hullámok – az interferencia törvényszerűségeit követve – eredeti terjedési irányuktól


44

eltérve haladnak tovább, „elhajlanak”. A diffrakció a HUYGENS–FRESNEL-elv alapján tárgyalható, melynek tézisei a következőképp fogalmazhatók meg:

4.5.

1.

A hullámfelület minden pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja.

2.

Egy adott pontban tapasztalható hatást az elemi hullámok interferenciája alakítja ki.

Hanghullámok, ultrahang

A hang mechanikai hullám: egy közegben lezajló, térben és időben periodikus nyomásingadozás, mely a közeg részecskéit rezgésre készteti. Az emberi fül a 20 Hz és 20 kHz frekvenciatartományba eső hanghullámokat képes észlelni, a 20 Hz-nél kisebb frekvenciájú hangokat infrahangoknak, a 20 kHz-nél nagyobb frekvenciájú hangokat ultrahangoknak nevezzük. A hangok érzeteink alapján hangosság, hangmagasság és hangszínezet tekintetében különböznek. Ezeknek a tulajdonságoknak fizikai jellemzők is megfeleltethetők. A hangmagasság a rezgés frekvenciájától függ: minél nagyobb a hanghullám frekvenciája, annál magasabbnak érezzük a hangot. A hangosság (azaz a szubjektív érzet) függ a hangerősségtől (egy objektív ingertől), de befolyásolja a hang frekvenciája is. A (fizikai) hangerősségen, vagy hangintenzitáson a hanghullám intenzitását értjük, mely a rezgések amplitudójától függ. Az emberi fül nagyon széles, 10-12 W/m2 és 100 W/m2 közötti intenzitástartományban érzékel, ezért a hangerősséget egy logaritmikus, ún. decibelskálán mérjük. A viszonyítási alap az 1000 Hz-es hangnak megfelelő hallásküszöb, mely az Io = 10-12 W/m2 értéknek felel meg. A hang intenzitását decibelben az

n  10  log

I

(4.23)

Io összefüggés adja meg. Ezen a skálán a hallásküszöbnek 0 dB, a fájdalomküszöbnek nagyjából 120 dB felel meg. A hangszínezetet az alaphanghoz csatlakozó felhangok frekvenciája és relatív erőssége, vagyis a hang frekvenciaspektruma határozza meg.

Az ultrahang emberek számára nem hallható, azonban sok állat érzékeli, közismert, hogy a kutyák reagálnak rá (ultrahangos síp). A denevérek és a delfinek maguk is állítanak elő ultrahangot a tájékozódásuk során.

Az ultrahangok nagy frekvenciájuk miatt nagy energiát szállítanak, mely az ultrahang terjedése során a közegben részben elnyelődik és hővé alakul át, ami jelentős hőhatással jár. A közeg részecskéinek rezgését kísérő erők olyan nagyok lehetnek, hogy képesek a közeg molekulái közötti kohéziós erőket felbontani, és ezáltal apró folytonossági hiányokat kelteni a szilárd vagy folyékony anyagokban. Ezt a jelenséget kavitációnak nevezzük. Az ultrahang kémiai hatása jórészt ugyancsak a kavitáción alapul: gyökök keltésével jelentősen befolyásolja a reakciókészséget, valamint diszperziót (az oldhatatlan részek másik fázisban történő szétoszlását) vagy koagulációt (a szilárd fázis kolloid oldatból történő kiválását) okozhatnak.


45

Az ultrahang gyakorlati alkalmazásai közé tartozik az ultrahangos tisztítás, mely során a beszennyeződött ékszereket, orvosi eszközöket, fémtárgyakat folyadékba (általában vízbe) merítik, és a folyadékot ultrahanggal rezgetik. A vízmolekulák a rezgetés hatására folyamatosan ütköznek a fémdarabbal, és eltávolítják az ütközések hatására fellazult szennyeződéseket. Az ultrahangos ködszirénát repülőtereken használják arra, hogy eloszlassák a ködöt a kifutópályák felett. A levegőben ködöt alkotó kicsiny, finoman eloszló vízcseppek ugyanis az ultrahanghullámok hatására ütköznek és egymáshoz tapadnak, majd esőként lehullnak. A kavitáció, valamint az ultrahang hő- és kémiai hatásai a mechanikai hatásokkal együtt képesek befolyásolni a permeabilitást és a diffúziót, így az ultrahang igen összetett biológiai hatást eredményezhet.

A klinikai diagnosztikai gyakorlatban az ultrahangot elsősorban amiatt alkalmazzák, hogy valós idejű képet hoz létre, az ultrahangos vizsgálat során nem teszik ki az emberi szervezetet ionizáló sugárzásnak, valamint az ultrahang segítségével kvantitatív módon meghatározható és leképezhető a véráramlás (lásd a DOPPLER-ultrahangot). Az ultrahang jellemzően keresztmetszeti képet ad a vizsgált szövettérfogatról, de megfelelő szoftveres módszerekkel háromdimenziós képalkotás is lehetséges. Ugyanakkor a jelenlegi ultrahangos képalkotási módszerek nem teszik lehetővé a csontok, valamint a gázzal töltött szervek (pl. a tüdő és a belek) mögött lévő térrészek leképezését. Az ultrahangos képalkotáshoz használt fej egy vagy több ultrahangkibocsátó és detektáló elemet, ún. transzducert tartalmaz, mely ultrahangimpulzusokat bocsát az emberi testbe. Amennyiben a hanghullámok különböző akusztikai ellenállású közegek határára érnek, a (4.21) egyenlet szerint a hanghullám egy része visszaverődik, melyet a transzducer visszhangként érzékel. Minél nagyobb az akusztikai ellenállásbeli különbség a két közeg között, annál nagyobb a visszhang intenzitása. (A levegő és a bőr akusztikai ellenállása között olyan nagy a különbség, hogy ha nem használnánk kontaktgélt, mely csatolóközegként szolgál, a transzducert elhagyó ultrahangnyaláb intenzitásának több mint 99%-a visszaverődne!) Az ultrahangimpulzus és a visszhang beérkezése közötti időkülönbségből meghatározható a transzducer és a visszhang keletkezési helye közötti szövetvastagság.


46

A nyugvó mintából származó ultrahangos visszhang egydimenziós jelet eredményez, melyben a csúcsok az akusztikus ellenállás mintán belüli nagyobb változásainak felelnek meg (A-scan, amplitude mode). Kétdimenziós képalkotáshoz az ultrahangfejet mozgatni kell. Ez történhet mechanikusan, illetve elektronikus úton, fázisukban hangolt transzducersort alkalmazva. A kapott adatokat számítógép dolgozza fel, és a visszhangamplitúdó változásának megfelelő szürkeskálaképet alakít ki (B-scan, brightness mode).

Az ultrahangos képalkotás speciális válfaja a DOPPLER-ultrahang. DOPPLER-effektuson azt a jelenséget értjük, amikor egymáshoz képest mozgó hullámforrás és észlelő esetén az észlelő által tapasztalt frekvencia különbözik a forrásból kibocsátott eredeti frekvenciától. Ha a hullámforrás és az észlelő közelednek egymáshoz, az észlelt frekvencia a kibocsátottnál nagyobb lesz, a megfelelő hullámhossz pedig kisebb — a hang magasabbnak tűnik, a fény pedig a spektrum a kék tartományának irányába tolódik el. Egymástól távolodó hullámforrás és észlelő esetén az észlelt hang alacsonyabbnak, a fény pedig vörösebbnek tűnik. A DOPPLER-ultrahang segítségével meghatározható a vér áramlási iránya, az áramlás sebessége, és felderíthetők az esetleges turbulenciák.

4.6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Ellenőrző kérdések és feladatok Mit nevezünk rezgőmozgásnak? Melyek a harmonikus rezgőmozgás jellemzői (időfüggés, visszatérítő erő)? Definiálja a harmonikus rezgőmozgás következő jellemző mennyiségeit, adja meg SI-mértékegységeiket: amplitúdó, periódusidő, rezgésszám, frekvencia, kezdőfázis. Írja fel a harmonikus rezgőmozgás frekvenciája (f) és periódusideje (T) közötti összefüggést! Írja fel a harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciája (ω) és periódusideje (T) közötti összefüggést! Írja fel a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont kitérésének időfüggését (y(t))! Írja fel a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont sebességének időfüggését (v(t)! Írja fel a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont gyorsulásának időfüggését (a(t))! Harmonikus rezgések összeadódása során mikor jön létre maximális erősítés, maximális gyengítés, illetve kioltás? Mit nevezünk lebegésnek, mekkora a lebegési frekvencia? Mit nevezünk szabad rezgésnek, kényszerrezgésnek és rezonanciának? Definiálja a hullám fogalmát, és csoportosítsa a hullámokat! Mi a különbség a longitudinális és a transzverzális hullámok között? Definiálja a hullámhosszat, adja meg SI-mértékegységét! Írja fel a hullámok terjedési sebessége (c), hullámhossza (λ) és fewkvenciája (f) közötti összefüggést! Írja fel a harmonikus hullámokat leíró egyenletet! Hogyan számítható ki a hullám intenzitása? Adja meg az intenzitás SI-mértékegységét! Melyek a hullám-visszaverődés törvényszerűségei? Melyek a hullámtörés törvényszerűségei? Definiálja egy közeg akusztikus ellenállását! Mit nevezünk interferenciának és diffrakciónak? Mit mond ki a Huygens–Fresnel-elv? Mit nevezünk hangnak, ultrahangnak és infrahangnak? Milyen frekvenciatartományba esik a hallható hang? Elsősorban milyen fizikai mennyiségektől függ a hangerősség, a hangmagasság és a hangszínezet? Mire szolgál a decibelskála? Hogyan fejezhető ki decibelben a hangerősség?

4. Mechanikai alapismeretek II. 26. Milyen hatásai vannak az ultrahangnak? 27. Mit nevezünk Doppler-effektusnak?

Felhasznált irodalom: 1.

SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Int., A hang mint mechanikai hullám (belső laboratóriumi jegyzet) (www3.szote.u-szeged.hu/dmi/)

47

5. Mechanikai alapismeretek III.

48


5.1.

Nyomás, hidrosztatika, felhajtóerő

Nyomásnak nevezzük azt a hatást, mely akkor jelentkezik, ha egy erő valamely felületre hat. A p nyomás az erő F nagyságának és az A felületnek a hányadosa:

p

F . A

(5.1)

A nyomás a fizikai-kémiai rendszerek egyik állapothatározója, SI-mértékegysége a pascal (Pa). 1 Pa nyomást fejt ki 1 N nagyságú erő, ha 1 m2 nagyságú felületre hat.

Az (5.1) egyenletből látszik, hogy a nyomás egyenesen arányos az erő nagyságával, és fordítottan arányos a felülettel. Ezt használjuk ki abban az esetben, ha ugyanakkora erőkifejtés mellett a nagyobb nyomás érdekében csökkentjük a felületet (pl. éles kést, szikét, hegyes tűt használunk), vagy a nyomás csökkentését a felület növelésével érjük el (pl. vízágyra fektetjük a beteget, hogy a testsúlyt nagyobb felületen eloszlatva megakadályozzuk a kelések kialakulását, illetve létrát fektetünk a vékony jégfelszínre, és azon keresztül közelítjük meg azt a személyt, aki alatt beszakadt a jég). A nyomás skaláris mennyiség, így nincs iránya, mégis a köznapi szóhasználatban sok esetben (helytelenül!) irányt kapcsolunk hozzá. Ennek oka, hogy a p nyomás által valamely dA felületelemre kifejtett erő:

  dF  p  dA  n ,

(5.2)

 ahol n a felületre merőleges egységvektor, az ún. normálvektor. Ha tehát a felületelem irányítását megváltoztatjuk, megváltozik a nyomás által kifejtett erő iránya, de vegyük észre, hogy maga a nyomás változatlan marad.

A folyadékok súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. Gondolatban jelöljünk ki egy folyadékot tartalmazó edény fenekén egy A felületet, mely fölött h magasságú vízoszlop helyezkedjen el. A felületelem feletti vízoszlop térfogata V  A  h , tömege

m    V    A  h , ahol ρ a folyadék sűrűsége. Ha ezt az (5.1) egyenletbe

helyettesítjük, a folyadékoszlop G súlyából (mint erőből) származó nyomás:

p

G mg   Ahg ,   A A A

(5.3)

ahol g a gravitációs gyorsulás. Egy (homogén) anyag ρ sűrűségének az anyag egységnyi térfogatának tömegét, azaz szilárd testek esetén a test m tömegének és V térfogatának hányadosát nevezzük:



m . V

(5.4)


49

A sűrűség SI-mértékegysége a kg/m3, de a gyakorlatban sokszor használjuk a g/cm3 mértékegységet is (1 g/cm3 = 1000 kg/m3). Az (5.4) egyenlet inhomogén testek esetén a test átlagsűrűségét adja. Időnként használják a v fajlagos (vagy faj-) térfogatot, mely a sűrűség reciproka. A sűrűséget és a fajtérfogatot egyaránt gyakran nevezik (helytelenül!) fajsúlynak, mely utóbbi a test súlyának és térfogatának hányadosa.

Az (5.3) egyenletből a megfelelő egyszerűsítések elvégzésével következik, hogy a phidr. hidrosztatikai nyomás egyenesen arányos a folyadék ρ sűrűségével és a folyadékoszlop h magasságával:

phidr .   gh ,

(5.5)

ahol g a gravitációs gyorsulás. Az (5.5) egyenletből látható, hogy a hidrosztatikai nyomás nem függ a tárolóedény bármely geometriai paraméterétől. Ezt a megállapítást hidrosztatikai paradoxonnak nevezzük (az elnevezés onnan ered, hogy különböző kialakítású – ezáltal eltérő térfogatú –, azonban azonos magasságú edények alján ugyanakkora hidrosztatikai nyomás mérhető, ha azonos folyadékokkal töltjük meg az edényeket). A hidrosztatika másik, gyakorlati szempontból is fontos jelenségére a PASCAL-törvény mutat rá, mely szerint az összenyomhatatlan folyadékok a rájuk ható nyomást egyenlő mértékben továbbítják a tér minden irányába. Ezen az elven működik a hidraulikus sajtó, azonban ennek az elvnek a következménye az is, hogy a szemfelszínt érő nyomás (például erős levegőáram) a retina sérüléseihez vezethet, valamint a terhes nőknek emiatt kell óvniuk hasukat az ütődésektől, mert a magzatvíz az így keletkező túlnyomást a magzathoz vezetheti.

Hétköznapi tapasztalat, hogy a folyadékba (vagy gázba) merített testek könnyebbnek tűnnek. Ennek oka, hogy a folyékony vagy légnemű közegben lévő testekre egy, a gravitációs erővel ellentétes irányú Ffelh. felhajtóerő hat, melynek nagysága egyenlő a kiszorított folyadék súlyával:

Ffelh.  mkisz. g   foly.Vtest g .

(5.6)

Ez ARCHIMÉDESZ törvénye. Az (5.6) egyenletben g a gravitációs gyorsulás, mkisz. a kiszorított folyadék tömege, ρfoly. a kiszorított folyadék sűrűsége és Vtest a test folyadékba merülő részének(!) térfogata.

5.2.

Deformálható testek mechanikája

Eddigiekben a kiterjedt testek említésekor hallgatólagosan merev testeket értettünk, melyek alakja külső erők hatására nem változik meg, azaz a test pontjai a kölcsönhatások során állandó távolságban maradnak egymástól. A kiterjedt testek másik csoportjának erő hatására megváltozik az alakja, ezeket a testeket deformálható testeknek nevezzük. Az anyagok erőhatások hatására bekövetkező alakváltozását a reológia vizsgálja. Az erőhatások és a rugalmas test adott felületi normálisa(i)nak relatív helyzete szerint különböző típusú erőhatásokat különböztetünk meg. A húzó- és nyomóerők párhuzamosak a felület normálisával, a nyíróerők


50

merőlegesek a felületi normálisra, a hidrosztatikai (jellegű) erők pedig minden irányból egyformán hatnak a testre.

húzó-/nyomóerő

nyíróerő

hidrosztatikai erő

A deformálható testek leírásához használt fontos idealizált modell a rugalmas (HOOKE-féle) alakváltozás. Az ideális rugalmas alakváltozást leíró HOOKE-törvény az alakváltozás okaként a testet érő mechanikai feszültséget jelöli meg, és feltételezi, hogy a test nem szenved maradó alakváltozást, azaz a mechanikai feszültség (illetve az erőhatás) megszűntével visszanyeri eredeti alakját. A test relatív alakváltozásán az erőhatás irányába eső hosszirányú méret Δℓ megváltozásának, valamint az ugyanezen irányú, kiindulási ℓo méretnek a Δℓ/ℓo hányadosát értjük; a mechanikai feszültség pedig az erő F nagyságának és a test erőre merőleges A keresztmetszetének F/A hányadosa. Ezekkel a jelölésekkel a HOOKE-törvény:

 1 F    E A

(5.7)

azaz a test relatív alakváltozása egyenesen arányos a testre ható mechanikai feszültséggel. Az arányossági tényező reciprokát az adott anyagra jellemző E rugalmassági modulusnak (vagy YOUNGmodulusnak) nevezzük. A relatív alakváltozásnak nincs mértékegysége, a mechanikai feszültség SImértékegysége a N/m2 = Pa. Az anyagok többségének a rugalmassági modulusa a GPa-os tartományba esik. 

Vegyük észre, hogy a spirálrugók Frugó rugóerejének leírására használatos

 Frugó  D  x

(5.8)

összefüggés (ahol D a rugó direkciós állandója vagy rugóállandója és Δx a rugó hosszváltozása) tulajdonképpen ekvivalens az (5.7) egyenlettel, ha a rugó geometriai és anyagi paramétereit a D  EA /  állandóba foglaljuk. A relatív alakváltozásra gyakran alkalmazzák az ε jelölést, míg a mechanikai feszültséget sokszor jelölik a σ betűvel. Ezzel a jelölésrendszerrel a HOOKE-törvény rövidített írásmódú, ám talán még szemléletesebb alakja:

  E Hasonló összefüggések fogalmazhatók meg a (rugalmas) nyírásra és a kompresszióra is.

(5.9)


51

A nyírás során a deformáció oka a   F / A nyírófeszültség, a deformáció pedig a   x / l  tan szögelfordulással jellemezhető. Ezekkel a jelölésekkel az (5.9) HOOKE-törvény nyírásra vonatkozó alakja:

  G ,

(5.10)

ahol G a test nyírási modulusa. Kompresszió esetén a deformációt a testet körülvevő közeg p  F / A nyomása idézi elő, a deformációt pedig a   V / V relatív térfogatváltozás jellemzi. Az (5.9) egyenlet kompresszió esetén a következő alakot ölti:

p  –K   ,

(5.11)

ahol K a test kompressziómodulusa (a negatív előjel a nyomás hatására bekövetkező térfogatcsökkenést tükrözi).

5.3.

Súrlódás

A súrlódás két érintkező felület között fellépő erő, illetve az az erő, mellyel egy közeg fékezi a benne mozgó tárgyat. A súrlódás oka a felületek részecskéi között fellépő vonzóerő. Kétféle súrlódási erőt különböztetünk meg: a tapadási és a csúszási súrlódási erőt. A tapadási súrlódási erő az az erő, mely a nyugalomban lévő felületek között ébred, miközben azokat el akarjuk mozdítani egymáson. A tapadási súrlódási erő nagysága (a felületek elmozdulásáig) mindig egyenlő azzal az erővel, amellyel el akarjuk mozdítani a felületeket egymáson. Ha ez utóbbi erőt fokozatosan növeljük, a felületek elmozdulásának pillanatában a súrlódási erő visszaesik egy, a tapadási súrlódási erő maximális értékénél kisebb értékre. Ez az egymáson elmozduló felületek között ébredő súrlódási erő a csúszási súrlódási erő, melynek Fsúrl. nagysága arányos a felületeket egymáshoz nyomó erő Fnyomó nagyságával:

Fsúrl .   Fnyomó , ahol a μ arányossági tényezőt (csúszási) súrlódási együtthatónak nevezzük.

(5.12)


5.4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Ellenőrző kérdések és feladatok Mit nevezünk nyomásnak, adja meg a nyomás SI-mértékegységét! Mit nevezünk hidrosztatikai nyomásnak? Hogyan számítható ki a hidrosztatikai nyomás? Definiálja a sűrűség fogalmát, és adja meg SI-mértékegységét! Mit mond ki PASCAL törvénye? Mit nevezünk felhajtóerőnek? Mit mond ki ARCHIMÉDESZ törvénye? Definiálja a merev és a deformálható test fogalmát! Mit nevezünk relatív hosszváltozásnak? Mit nevezünk mechanikai feszültségnek? Mit mond ki HOOKE törvénye? Mit nevezünk YOUNG-modulusnak, mi az SI-mértékegysége? Mit nevezünk nyírásnak és kompressziónak? Írja fel a nyírás és a kompresszió során bekövetkező deformációkat leíró egyenleteket! Mit nevezünk súrlódásnak? Milyen típusai vannak a súrlódásnak? Hogyan számítható ki a súrlódási erő?

52

6. Elektromágneses hullámok

53

6. Elektromágneses hullámok 6.1.

Az elektromágneses spektrum

Az elektromágneses sugárzás egymásra merőlegesen haladó, oszcilláló elektromos és mágneses tér, mely a térben hullám formájában terjed, miközben energiát és impulzust szállít. Az elektromágneses hullámok c terjedési sebessége légüres térben a vákuumbeli fénysebességgel egyenlő (300 000 km/s), vákuumtól különböző közegben ettől kisebb érték (lásd a törésmutatónál):

c

1



,

(6.1)

ahol ε a közeg elektromos permittivitása és µ a közeg mágneses permeábilitása. (A vákuumbeli fénysebesség előbb említett értéke a (6.1) egyenletből megkapható, ha a permittivitás és a permeábilitás vákuumbeli εo és µo értékeit helyettesítjük a formulába.) Az elektromágneses hullámok keletkezését nem tárgyaljuk részletesen, mert az meghaladja a jegyzetünk kereteit. Rádióhullámok elektromos rezgőkörökkel és antennákkal állíthatók elő, a mikrohullámok keltésére az ún. megnetron szolgál. Az infravörös sugárzás előállítására termikus sugárzókat és lézereket (CO2-, Nd:YAG-) használnak. Látható fényt bocsátanak ki az izzólámpák (amelyek ugyancsak termikus források), bizonyos gázkisülési csövek, egyes diódalézerek és festéklézerek. Ultraibolya fény állítható elő az ún. EXCIMER-lézerek (KrF, ArF stb.) segítségével és bizonyos kisülési csövekkel (pl. a higanygőzlámpával). A röntgensugárzás és a gammasugárzás keletkezéséről később szólunk. A töltéssel rendelkező részecskék gyorsuló mozgását is elektromágneses hullám keletkezése kíséri, ezen az elven működnek a magnetronok is.

Egy fizikai mennyiség energia szerinti eloszlását spektrumnak nevezzük. Az elektromágneses sugárzás fajtáit hullámhosszuk (illetve a hullámhossznak megfelelő frekvenciájuk vagy energiájuk) szerint különböztetjük meg, és az egyes hullámhossztartományokat az elektromágneses spektrum szemlélteti.

hullámhossz <10 pm 10 pm–1 nm 1 nm–380 nm 380 nm–780 nm 780 nm–1 mm 1 mm–100 000 km

frekvencia >30 EHz 300 PHz–30 EHz 789 THz–300 PHz 384 THz–789 THz 789 THz–300 GHz 3 Hz–300 GHz

sugárzásfajta gamma-sugárzás röntgensugárzás ultraibolya (UV-) sugárzás látható fény infravörös (IR-) sugárzás rádióhullámok

300 µm–30 cm

1 THz–1 GHz

mikrohullámú sugárzás


54

Az elektromágneses sugárzáson belül a következő főbb hullámhossztartományokat szokás megkülönböztetni:

rádióhullámok,

mikrohullámú

sugárzás

(bár

ezt

sokszor

összevonják

a

rádióhullámokkal), infravörös (vagy hő-) sugárzás, látható fény, ultraibolya sugárzás, röntgensugarak és gamma-sugarak. Az elektromágneses sugárzásra ugyancsak érvényes a (4.13) összefüggés, így egy adott közegben a kisebb hullámhosszú elektromágneses sugárzáshoz nagyobb frekvencia társítható. Emellett fontos megjegyezni, hogy minél nagyobb az elektromágneses sugárzás frekvenciája, annál nagyobb energiával rendelkezik a sugárzás (részletesen lásd a fotonenergiánál). A látható fény olyan elektromágneses sugárzás, amely 380 nm és 780 nm közötti hullámhosszával az infravörös és az ultraibolya sugárzások tartományai közé esik. A fényt – mint bármely elektromágneses hullámot – három alapvető jellemzője határozza meg. A fény intenzitása az elektromos és mágneses térerősség-komponensek amplitúdójával van összefüggésben, és az emberi szem fényerőként, fényességként érzékeli. A fény frekvenciája vagy hullámhossza határozza meg a fény színét. A fény a polarizációján a rezgés irányát értjük, amelyet az emberi szem normál körülmények között nem érzékel.

szín IBOLYA KÉK ZÖLD SÁRGA NARANCS VÖRÖS

hullámhossztartomány 380 – 420 nm 420 – 490 nm 490 – 575 nm 575 – 585 nm 585 – 650 nm 650 – 750 nm

A fényérzékelést az emberi szem retináján lévő fényérzékeny ún. csapok és pálcikák teszik lehetővé. A csapok három különböző, keskeny hullámhossztartományban (kék, zöldessárga és narancsvörös) elnyelő pigmentmolekulát tartalmaznak, melyek együttműködése hozza létre a színérzetet (akárcsak a három különböző színösszetevővel operáló, RGB-rendszerű képmegjelenítő eszközök). A pálcikákban lévő, szélesebb elnyelési tartományú rodopszinmolekulák a fényerősség ingerének kiváltásáért felelősek. Valószínűleg a légkör szelektív sugárzáselnyelő képessége nagy szerepet játszik abban, hogy miért épp a fenti, igen szűk hullámhossztartomány vált az evolúció során fontossá. A Föld légköre a Napból érkező elektromágneses sugárzás legnagyobb részét elnyeli, szinte kizárólag a rádióhullámokat és a látható fénynek megfelelő tartományt engedi át. Optikai szempontból a rádióhullámokra a földfelszínen lévő kisebb tárgyak, illetve a víz igen csekély hatással van, leginkább magas fémtartalmú anyagokról verődnek vissza. A látható fénynek megfelelő sugárzás azonban igen kis tárgyak felületéről is egyszerű szabályokat követve verődnek vissza, és az anyagtól függően általában igen jellegzetes visszaverődési színképet produkálnak, így az ezt érzékelni képes élőlények jól hasznosítható képet kapnak a környezetükről.


55

Az infravörös sugárzás hullámhossza nagyobb, mint a látható fényé. Ugyan szemünk nem képes az érzékelésére, hőhatása révén bőrünk érzékeli. A termográfia módszere megfelelő detektorok segítségével a tárgyak, élőlények infravörös tartományba eső kisugárzását jeleníti meg. Ezt a gyógyászatban helyi gyulladások, daganatok korai felismerésére, illetve az építőiparban a lakóházak hőszigetelésének vizsgálatára használják. Egyes ragadozók észlelik a zsákmányállat által kibocsátott infravörös sugarakat, és az éjjellátó készülékek is ebben a hullámhossztartományban működnek. A műholdak ugyancsak infravörös tartományban végzik a földfelszín megfigyelését, mert ezt a felhőzet nem zavarja, továbbá infravörös sugarakat bocsát ki a háztartási készülékek távirányítója, illetve a fényképezőgépek távolságmérői. Az ultraibolya sugarak hullámhossza kisebb, mint a látható fényé, így az emberi szem nem érzékeli, azonban számos rovar, például a háziméh látja az ultraibolya fényt, és ez teszi számára lehetővé egyes virágok felismerését. Az UV-sugárzásnak jelentős élettani hatásai van: közreműködik a D-vitamin


56

keletkezésében, fokozza a pigmentképződést a bőrben. Az intenzív UV-sugárzás roncsolja a sejteket ezért használható sterilizálásra, de bőrgyulladást és bőrrákot is okozhat. Az erős napfény vagy a hegesztés ívfénye kötőhártya gyulladást okozhat. Az ultraibolya fény egyes anyagokban lumineszcenciát képes kiváltani, amelyet gyakran hasznosítanak sejtalkotók megfestéséhez (fluoreszcencia-mikroszkópia) vagy okmányok hamisíthatóságának megakadályozására. A hagyományos üveg elnyeli az UV-sugárzást, ezért az UV-sugarakkal dolgozó optikai alkalmazásokhoz kvarcüvegből készült optikai elemeket alkalmaznak (ezért szükséges az UV-spektroszkópiai vizsgálatok során kvarcküvettát használni). A szoláriumokban is használt kvarclámpákban higanygőzzel töltött kisülési cső van, és a cső burája kvarcüveg. A röntgensugárzás hullámhossza 10 nanométer és 100 pikométer közé esik. A nagyjából 0,1 nmnél

hosszabb

hullámhosszú

röntgensugárzást

lágy

röntgensugárzásnak, az

ennél

rövidebb

hullámhosszúakat pedig kemény röntgensugárzásnak nevezzük. A kemény röntgensugárzás és a gammasugárzás részben átfedik egymást, valójában az elnevezésben a sugárzás forrása számít, nem a hullámhossza: a röntgensugárzást nagyenergiájú elektronfolyamatok hozzák létre, míg a gammasugárzás atommag-átalakulások során jön létre. A röntgensugárzás legalapvetőbb előállítási módja, hogy elektront gyorsítanak, majd azt nagy rendszámú fémből (gyakran volfrámból, rézből) készült céltárggyal ütköztetik. Ütközéskor a nagysebességű elektronok kölcsönhatásba lépnek az anyag atomjaival: nagyobb részük lefékeződik az atommagokat körülvevő pozitív elektromos erőtérben, kisebb részük pedig kötött elektronokat lök ki az atom mélyebb héjaiból (K, L, M, N stb.). Az első esetben az ún. fékezési sugárzás, az utóbbinál az elektront lefékező anyagra jellemző ún. karakterisztikus sugárzás keletkezik. A fékezési röntgensugárzás keletkezésekor közömbös az elektronok származása, annál fontosabb sebességük, ugyanis ettől függ a létrejövő sugárzás energiáját. Abban a legkedvezőbb esetben, amikor az elektron teljes mozgási energiáját már az első ütközés alkalmával elveszíti és az egészében sugárzássá alakul át, (adott előfeszítés mellett) a lehető legnagyobb energiájú (azaz legrövidebb hullámhosszúságú) sugárzás keletkezik. Ezt a hullámhosszat határhullámhossznak nevezzük. Az anyagba ütköző nagy sebességű elektronok túlnyomó többsége azonban nem az első ütközés alkalmával adja át teljes mozgási energiáját, hanem csak több ütközés után fokozatosan fékeződik le. Ennek következtében az egyes ütközésekből csak kisebb energiaátalakulások lehetségesek, azaz a keletkező fotonok többségének hullámhossza már csak hosszabb lehet a határhullámhossznál. Végeredményben a fékezési sugárzás – a határhullámhossztól a növekvő hullámhosszak felé – számtalan sokféle hullámhosszúságú fotonból tevődik össze, és ezért a spektrumát folytonosnak mondjuk. Karakterisztikus röntgensugárzás keletkezik, amikor a nagy sebességű elektron az atommag körül valamelyik energianívón lévő kötött elektront löki ki. Az így ionizált atomok elektronpályái közötti rendeződés közben felszabaduló energiakülönbség az ütköző anyag atomjaira jellemző energiájú röntgensugárzás formájában távozik, melyek éles csúcsokkal rendelkező karakterisztikus sugárzást eredményez. (Természetesen a gyakorlatban a két eltérő eredetű spektrumot nem lehet különválasztani, hanem azokat egymásra rakódva detektálhatjuk.)

A röntgensugárzás (mint bármelyik más elektromágneses sugárzás) elektromos vagy mágneses térrel nem téríthető el. Energiája azonban olyan nagy, hogy ionizáló hatású, ezáltal képes károsítani az


57

élő szervezeteket. Ez a terápia szolgálatába is állítható: a röntgensugárzás alkalmas lehet daganatos sejtek elpusztítására. Kontrollált dózisban diagnosztikai célokra is használják: a lágy szövetek és a csontok igen eltérő röntgenabszorpcióval rendelkeznek, így a röntgenfelvételeken (melyek egyfajta árnyékképként foghatók fel) jól elkülöníthetők. A röntgensugárzás nyomot hagy a fotópapíron, és bizonyos anyagokat lumineszcenciára készteti. A gamma-sugárzás tulajdonságaiban a kemény röntgensugárzáshoz hasonlít, azonban radioaktív bomlás eredménye. : az atommagok mesterséges és természetes átalakulásait kísérő gerjesztett állapotok megszűnése során keletkezik. Anyagvizsgálatra, daganatterápiás célokra, az élelmiszeriparban konzerválásra használják. A rádióhullámokat frekvenciájuk szerint csoportosítjuk: megkülönböztetünk hosszúhullámokat (650 m–10 km), középhullámokat (180 m–650 m), rövidhullámokat (10 m–180 m), ultrarövid hullámokat (10 cm–10 m), deciméteres, centiméteres és milliméteres hullámokat, valamint mikrohullámokat (300 µm–30cm). A hosszú-, rövid- és középhullámokat a rádiótechnikában használják, az ultrarövid hullámokat egyaránt alkalmazza a rádiós és a televíziós kommunikáció, valamint a radartechnika (a mikrohullámok mellett). A mágnesesrezonancia-tomográfiában (NMR) ultrarövid és deciméteres hullámokat használnak, a mobiltávközlés ugyancsak deciméteres hullámhossztartományban történik. Mikrohullámokat alkalmaznak gyógyászati célokra is, ugyanis a szövetek belső melegítése, a vérellátás fokozása jótékony hatású bizonyos mozgásszervi megbetegedéseknél. A mikrohullámú sütőben a mikrohullám rezgésbe hozza az élelmiszerekben lévő vízmolekulákat, és a rezgések keltette súrlódás hatására az étel felmelegszik. A mikrohullámú sütőben kialakuló állóhullámok csomópontjaiban nincs rezgés, ezért forgótányér nélkül kb. 3 cm-enként változnának a hideg és meleg pontok az ételben.

6.2.

A fotonelmélet

Még azelőtt, hogy az elektromágneses sugárzás pontos természetét ismerték volna, a fényinterferencia és -diffrakció megfigyelése azt sugallta, hogy a fényt hullámként kell kezelni. Ugyanakkor a hullámelmélet nem adott magyarázatot többek között a fény energiájának frekvenciafüggésére. Ráadásul annak felismeréséhez is hosszabb idő kellett, hogy a nem látható tartományba eső sugárzástípusokat az elektromágneses spektrum részeként kell kezelni. Az elektromágneses sugárzás alternatív modelljének, az ún. fotonelméletnek a megalkotását a fotoelektromos hatás tanulmányozása előzte meg.


58

A fotoelektromos hatás során valamely küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például kis hullámhosszú látható fény vagy ultraibolya sugárzás) egyes fémeket elektronkibocsátásra kényszerít. Nincs elektronkibocsátás, ha a sugárzás frekvenciája nem éri el a küszöbfrekvenciát, még abban az esetben sem, ha növeljük a megvilágító fény intenzitását. A kibocsátott elektronok sebességét a megvilágító sugárzás frekvenciája, az elektronok számát pedig a megvilágítás intenzitása szabja meg. Mai ismereteinkkel tudjuk, hogy a jelenség magyarázata a következő: a fénysugár fotonjai a fény hullámhosszától (azaz frekvenciájától) függő nagyságú energiával rendelkeznek. A fotonkibocsátás folyamatában ha egy elektron elnyeli egy foton energiáját és nagyobb energiára tesz szert, mint az anyagbeli „kötési energiájával” egyenértékű kilépési munka, akkor kilökődik az anyagból. A foton energiájának egy része kiszabadítja azt az atomból, és a maradék energia lesz az immár szabad elektron mozgási energiája. Ha a foton energiája túl alacsony, az elektron nem képes kilépni az anyag felületéről. Ha növeljük a fénysugárzás intenzitását, az nem változtatja meg a fénysugarat alkotó fotonok energiáját, csak azok számát és így a kibocsátott elektronok energiája végeredményben nem függhet a beérkező sugár intenzitásától.

A fotoelektromos hatás mibenlétét (PLANCK fénykvantumra vonatkozó elmélete alapján) EINSTEIN tisztázta. A fotonelmélet szerint az elektromágneses sugárzás (így a látható fény is) tömeg nélküli részecskékből, ún. fotonokból áll, melyek az elektromágneses jelenségek lezajlásáért felelősek. A fotonok a vákuumban fénysebességgel terjednek, nem rendelkeznek elektromos töltéssel, azonban energiát és impulzust szállítanak. A fotonok E energiája arányos az elektromágneses sugárzás f frekvenciájával:

E  h f , ahol h  6,63 10

34

(6.2)

Js a PLANCK-állandó.

A (6.2) egyenlet alapján könnyen megjegyezhető ökölszabály adódik: minél nagyobb az elektromágneses sugárzás frekvenciája, azaz minél kisebb a hullámhossza, annál nagyobb energiát hordoz magában (az egységnyi intenzitású) sugárzás, ennek megfelelően az egyes fotonok annál nagyobb energiát tudnak az anyagnak átadni. Ha például az élő anyag és a sugárzások kölcsönhatását tekintjük, a rádióhullámok jellemzően nem okoznak elváltozásokat, az infravörös sugárzásnak csak hőhatása van, a látható fény már fényinger kiváltásához elegendő gerjesztésre képes, az ultraibolya sugárzásnál nagyobb frekvenciájú sugárzások (pl. röntgensugárzás, gamma-sugárzás) pedig roncsolja a sejteket és komoly genetikai elváltozásokat idézhet elő.

A fotonelmélet az abszorpciós (elnyelési) és emissziós (fénykibocsátási) spektrumok, más szóval színképek keletkezésére is magyarázatot ad. Ha egy atom elnyel egy fotont, az atomon belül egy elektron magasabb energiaállapotba kerül. (Kellően nagy energiájú foton elnyelésekor az elektron el is hagyhatja az atom elektromos terét, ezt a jelenséget fotoionizációnak nevezik). Az előző folyamat inverzeként ha egy elektron egy magasabb energiaszintről alacsonyabb energiaállapotre tér vissza, a két energianívó közötti energiakülönbség a (6.2) egyenletnek megfelelő frekvenciájú foton kibocsátásával jár. Mivel az atomon belül az energiaszintek diszkrétek (az elektron energiája csak jól meghatározott értékeket vehet fel), a különböző kémiai elemek atomjai jellegzetes energiaértékeken (illetve az azoknak megfelelő frekvenciákon vagy hullámhosszakon) abszorbeálnak, illetve emittálnak.


6.3.

59

A hőmérsékleti sugárzás

A testek hőmérsékletüknél fogva elektromágneses sugárzást bocsátanak ki, ezt nevezzük hőmérsékleti sugárzásnak. A hétköznapi életben bennünket körülvevő testek azonban olyan hőmérsékletűek, hogy az (amúgy is kis intenzitású) hőmérsékleti sugárzást jórészt a számunkra láthatatlan, infravörös hullámhossztartományban bocsátják ki (az infrakamerák pont a hőmérsékleti sugárzás alapján teszik láthatóvá a sötétben az élőlényeket). Könnyen megfigyelhető azonban ez a hőmérsékleti sugárzás a kovácsolás során vörösen izzó vasdarabnál vagy a felforrósodott vaskályha, tűzhely lapján, illetve a Nap esetén, mely utóbbi sugárzásának maximuma a ~6000 K felszíni hőmérsékletnek megfelelően jórészt a látható tartományba esik.

A testek hőmérsékleti sugárzásának leírásához használt modell az ún. abszolút fekete test hőmérsékleti sugárzása. Az abszolút fekete test egy idealizált test, mely tetszőleges hullámhosszú elektromágneses sugárzást képes elnyelni vagy kibocsátani, és értelemszerűen a rá eső sugarakat nem veri vissza. Az abszolút fekete test által kibocsátott hőmérsékleti sugárzás (a feketetest-sugárzás) spektrális eloszlása csak a test abszolút hőmérsékletétől függ. Az abszolút fekete test által kibocsátott teljes E energiafluxus (azaz az abszolút fekete test egységnyi felületeleme által, időegység alatt, a teljes spektrális


60

tartományban kisugárzott energia) a STEFAN–BOLTZMANN-törvény értelmében arányos a test T abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával:

E  T 4 , ahol

(6.3)

  5,67 108 Wm–2K –4 a STEFAN–BOLTZMANN-állandó. A kisugárzott energia igen erős

hőmérsékletfüggése jól megfigyelhető a ### ábrán is, hiszen az egyes hőmérsékletértékekhez tartozó spektrumvonalak alatti területek közel sem lineárisan növekednek a hőmérséklettel. A feketetest-sugárzás maximumához tartozó λmax. hullámhossz T abszolút hőmérséklettől való függését a WIEN-féle eltolódási törvény írja le:

max. 

b , T

(6.4)

ahol b  2896  m  K egy állandó. Ennek megfelelően a ###. ábrán bejelölt sugárzási maximumok egy hiperbolán helyezkednek el.

6.4.

A spektroszkópia alapjai

Az elektromágneses hullámok és az anyag kölcsönhatását a sugárzás fotonenergiája szabja meg. Ezáltal ha az anyagi rendszer által elnyelt vagy kibocsátott sugárzást vizsgáljuk, információkat nyerhetünk magáról az anyagi rendszerről. Ezzel a tudományterülettel a spektroszkópia foglalkozik. Ez az eszköz különösen hasznos az atomi és molekuláris rendszerek (akár távoli csillagászati objektumok) tanulmányozásánál. A továbbiakban az látható és ultraibolya tartományokat vizsgáló UV/VIS-spektroszkópiáról beszélünk részletesen (a VIS a visible (látható) hullámhossztartomány rövidítése), de a vizsgálati módszerek elvei értelemszerűen az elektromágneses sugárzás más tartományaira is érvényesek. (A továbbiakban az egyszerűség kedvéért az elektromágneses sugárzás helyett minden esetben a „fény” szót használjuk.) Az ultraibolya és látható fény tartományaiban az elektronátmenetek, az infravörös tartományban a molekulák rezgési átmenetei tanulmányozhatók. A molekulák forgási átmeneteinek megfelelő energiák a mikrohullámú sugárzás tartományába esnek, míg az elektronspin- és atommagspin-átmenetek a 10–105 cm hullámhossztartományba eső rádióhullámokkal gerjeszthetők (ez utóbbi módszereket ESR- és NMR-spektroszkópiának nevezik). A röntgentartományban végzett spektroszkópiával az atomok belső elektronhéjai közötti átmenetek során keletkező röntgensugárzás vizsgálható, míg a gamma-spektroszkópia a magátmeneteket kísérő gamma-sugárzás vizsgálatára alkalmas.


61

Ha egy anyagi rendszert különböző hullámhosszúságú fénnyel világítunk meg, és megvizsgáljuk, hogy ezekben az igen keskeny hullámhossztartományokban a megvilágító fény mekkora hányadát nyeli el a minta, megkapjuk a vizsgált anyag abszorpciós színképét. A keskeny sávszélességű megvilágító fény ún. monokromátorral állítható elő. Az abszorpciós színkép felvétele úgy is történhet, hogy széles hullámhossztartományba eső, összetett („fehér”) fénnyel világítjuk meg a mintát, és a mintán átjutott fény spektrumát elemezzük megfelelő spektrális bontóelem segítségével. Ha ez utóbbi módon egy fényt kibocsátó (pl. izzásban lévő vagy lumineszkáló) objektum által kibocsátott sugárzást tanulmányozzuk, az ún. emissziós színképhez jutunk. A fenti vizsgálatok elvégzésére alkalmas eszközök a spektrográfok vagy spektrofotométerek. A spektrofotométerekben a monokromatikus fénynyaláb intenzitásának gyengülését mérjük, amelyet a minta fényelnyelése okoz. A spektrofotométerek fő alkotórészei a fényforrás, a monokromátor, a mintatartó és a fényérzékelő. Fényforrásként a látható színképtartományban folytonos színképű wolfrámszálas izzót, az ultraibolya tartományban hidrogén- vagy deutériumlámpát használnak. A monokromátor feladata, hogy az előbb említett, széles hullámhossztartományban sugárzó fényforrásokból egy-egy keskeny sávszélességű, monokromatikus (helyesebben kvázi-monokromatikus) tartományt kiválasszon. A monokromátorokban az összetett fény felbontását egy spektrális bontóelem (prizma vagy optikai rács) végzi. Az így felbontott nyalábból a kívánt színű komponens rés segítségével választható ki. Az egyszerű prizmák levegőnél nagyobb törésmutatójú anyagból (többnyire üvegből) készült háromélű hasábok. Az összetett („fehér”) fény különböző színű (hullámhosszú) komponensekből áll. Az eltérő hullámhosszúságú komponensek a prizma anyagának diszperziója miatt a levegő és a prizma oldallapjai által alkotott közeghatárokon kissé eltérő szögekben törnek meg, így a prizmán áthaladva az egyes komponensek legyezőszerű fénypászmaként, különböző irányokban haladnak tovább. A fénysugarak megfordíthatóságának elve miatt a prizma a fénysugár újraegyesítésére is alkalmas. Az optikai rács egyenlő szélességű és azonos szerkezetű párhuzamos rések rendszere. A legismertebb az olyan rács, amelynek egy periódusa egy átlátszó és egy átlátszatlan vonalból áll. Ezt amplitúdórácsnak nevezzük, mert a rajta átmenő fényhullám amplitúdója változik meg aszerint, hogy az átlátszó vagy az átlátszatlan vonalat éri. Másfajta optikai rács esetén a rácsok egy-egy periódusa egy vastagabb és egy vékonyabb réteget hordozó vonalból áll, de a rács anyaga mindenütt egyformán átlátszó. Ezt fázisrácsnak nevezzük, mivel a vastagabb vonalakon áthaladó fényhullám fázisa elmarad a vékonyabbon átmenőhöz képest. A spektroszkópiában gyakran használnak úgynevezett reflexiós rácsokat, melyek nem átengedik a fényhullámokat, hanem nevükből adódóan visszaverik azokat. (A CD-lemez is mutat ilyen tulajdonságokat: ha ferdén nézzük, akkor reflexiós rácsként viselkedik a vékony barázdák miatt.) Ha párhuzamos, monokromatikus fénynyalábot bocsátunk egy optikai rácsra, világos és sötét sávokból álló elhajlási képet kapunk. Nem monokromatikus fény esetén a különböző hullámhosszakra nézve más-más szögeknél várható a maximális erősítési irány, vagyis az egyes spektrális komponensek különbözőképp térítődnek el. A maximumok helyei a következőképp írhatók fel:

sin   k

k , d

(6.5)


62

ahol k = 0, 1, 2… az elhajlás rendje, λ a megvilágító fény hullámhossza és d a rács periódusa. A fenti, ún. rácsegyenletből következik, hogy kis szögeknél az eltérítés arányos a hullámhosszal (ami a prizmás spektroszkóp esetében közel sincs így), valamint látható, hogy a spektroszkóp felbontását (mely fordítottan arányos az egységnyi eltérítési szögre eső hullámhossz-tartománnyal), a rács periódusa határozza meg (minél kisebb a rács periódusa, annál nagyobb a felbontás).

Oldatok spektrofotométeres vizsgálatához jól meghatározott rétegvastagságú üveg- vagy műanyag mintatartó edényeket, ún. küvettákat használnak. Az oldószer, a reagensek, a küvettafal nemkívánatos fényelnyelését, valamint a reflexióból és fényszórásból eredő zavaró hatásokat referenciaoldat (összehasonlító vagy vakoldat) használatával küszöböljük ki. A referenciaoldat az oldott anyagon kívül a mérendő oldat minden egyéb komponensét ugyanolyan arányban tartalmazza, és a két oldatot azonos küvettákba helyezzük. Az egysugaras spektrofotométerekben a megvilágító fénysugár útjába először a referencia-, majd a mérendő oldatot helyezzük. A kétsugaras spektrofotométerek a mérőnyalábot kétfelé bontják: az egyik nyaláb a referencia-, a másik a mérendő oldaton halad át, végül a két nyaláb intenzitását különbségképző erősítő áramkörrel hasonlítjuk össze. A mintán áthaladó fény intenzitásának mérésére fotocellákat vagy ún. fotoelektron-sokszorozót használnak. Ha Io kezdeti intenzitású (monokromatikus) fénynyaláb halad keresztül oldatokon vagy átlátszó szilárd testeken, az intenzitása az anyagban megtett x út exponenciális függvénye szerint gyengül:

T

I  e  x 100%  . Io

(6.6)

A fenti egyenletben I a mintán áthaladt fényintenzitás, T a minta (gyakran százalékban kifejezett) transzmissziója, μ pedig az adott anyag (hullámhossztól függő) abszorpciós (elnyelési) állandója. A (6.6) egyenletet BEER-törvénynek nevezzük. Híg oldatok esetén a fenti egyenletet gyakran

T  10 cx 100%

(6.7)

alakba írják át, ahol c az oldat koncentrációja, ε egy, az oldatra jellemző állandó (moláris dekadikus extinkciós koefficiens) és x jelen esetben a küvettahossz (helyesebben a küvetta szélessége). A (6.7) egyenletet szokás BEER–LAMBERT-törvényként emlegetni. A minta fényelnyelő képességére jellemző másik mennyiség az

E  log extinkció, melyet optikai denzitásnak is neveznek.

Io   cx I

(6.8)


6.5. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

63

Ellenőrző kérdések és feladatok Mit nevezünk elektromágneses sugárzásnak? Mekkora az elektromágneses sugárzás (fény) terjedési sebessége vákuumban? Mit nevezünk spektrumnak? Sorolja fel sorrendben az elektromágneses spektrum tartományait! Mi alapján különítjük el az egyes tartományokat? Milyen hullámhossztartományba esik a látható fény? Mi határozza meg a látható fény intenzitását és színét? Transzverzális vagy longitudinális hullám a fény? Mit értünk a fény polarizációján? Mit nevezünk termográfiának? Hogyan viszonyul egymáshoz az infravörös és ultraibolya sugárzás, valamint a látható fény hullámhossz,illetve frekvenciája? Soroljon fel példákat az infravörös sugárzás alkalmazásaira/előfordulására! Soroljon fel példákat az ultraibolya sugárzás alkalmazásaira/előfordulására! Mi a különbség a fékezési és a karakterisztikus röntgensugárzás keletkezése között? Mit nevezünk fotoelektromos hatásnak? Mit nevezünk fotonnak? Hogyan határozható meg a foton energiája (PLANCK-törvény)? Mit nevezünk hőmérsékleti sugárzásnak? Mit nevezünk abszolút fekete testnek? Mit mond ki a STEFAN–BOLTZMANN-törvény? Mit mond ki a WIEN-féle eltolódási törvény? Mit nevezünk abszorpciós és emissziós színképnek? Milyen spektrális bontóelemeket ismer? Ismertesse röviden a spektrofotométer működését! Mit mond ki a BEER–LAMBERT-törvény? Definiálja a következő fogalmakat: transzmisszió, extinkció, optikai denzitás.


Felhasznált irodalom: 1. 2. 3.

http://ds9.ssl.berkeley.edu/LWS_GEMS/ http://fizika2010.uw.hu/elektmagn_hull.pdf Maróti P.–Ringler A. (szerk.): Fizika gyakorlatok orvostanhallgatók részére (Szeged 1992)

64

7.Optika

65

7. Optika 7.1.

A geometriai optika alapjai

A korábbiakban rámutattunk, hogy a fény egyaránt képes elektromágneses hullámként és részecskeként viselkedni. Felmerül a kérdés, hogy az optikai leképezés szempontjából melyik megközelítést célszerű alkalmazni.

A 18. század első felében heves vita bontakozott ki a kor természettudósai között a fény természetét illetően. Egy részük Huygens kísérletei alapján a fény hullámtermészetét támogatták, mások a fény korpuszkulatermészete mellett álltak ki, arra hivatkozva, hogy NEWTON prizmakísérleteiben a fény egyenes vonalban, rendezett részecskeáramként terjedt, mindaddig, amíg a prizma el nem térítette útjából. Mindkét elméletnek voltak erős és gyenge pontjai. HUYGENS követői egyszerűen tudták magyarázni a fénytörést azzal, hogy különböző terjedési sebességet feltételeztek az egyes közegekben. A részecskeelméleten keresztül a fénytörés csak nehézkesen értelmezhető: a ritkább közegtől a sűrűbb közeg felé mutató, a közeghatárra merőleges vonzóerőket kell feltételezni, melyek eltérítik a részecskéket az eredeti mozgási irányuktól. Ezzel szemben a síktükörről történő fényvisszaverődés törvényszerűségei egyszerűen magyarázhatók, ha elképzeljük, hogy a részecskék kicsiny gumilabdaként verődnek vissza a tükröző felületről. NEWTON tekintélye ellenére számos kutató nem értett egyet a fény korpuszkulaelméletével, melyet többek között azzal magyaráztak, hogy az egymást keresztező fénysugarak nem befolyásolják egymást, holott a részecskéknek „ütközniük” kellene. YOUNG a 19. század elején végzett fényinterferencia-kísérletei során tett megfigyeléseit csak a fény hullámtermészetével tudta magyarázni, hasonlóképp a polarizációra is a hullámelmélet ad szemléletes értelmezést. Ugyanakkor a 19. század végén felfedezték a fotoelektromos jelenséget, melynek lényege, hogy a fény megfelelő körülmények között elektronokat képes „kiütni” bizonyos fématomok elektronhéjáról, amire ismét a részecskeelmélet szolgáltatott volna kézenfekvő magyarázatot. Ugyan – amint azt korábban említettük – DE BROGLIE, PLANCK és EINSTEIN munkásságának köszönhetően fény derült arra, hogy mai tudásunk szerint a részecske- és a hullámtermészet hipotéziseinek szintézise együtt képes csak leírni a fényhez kapcsolódó jelenségeket, a „magyarázatkeresés évszázadaiban” megszületett a geometriai optika modellrendszere, mely egyszerűsége ellenére képes magyarázatot adni az alapvető optikai jelenségekre.

A geometriai optika olyan modell, mely a fény hullámelméletének és részecskeelméletének elemeiből merítve a következő alaptételekből indul ki:

7.Optika 

66

A „fény” vagy fénysugár végtelen kicsiny keresztmetszetű fénynyaláb, mely egyenes vonal mentén terjed.



Különböző közegek határán a fény részben a visszaverődik, részben megtörve folytatja útját.



A fénysugarak függetlenségének elve kimondja, hogy a tér egy pontján keresztül akárhány fénysugár áthaladhat egymás zavarása nélkül.



A fénysugár megfordíthatóságának elve szerint ha a fénysugár a tér egyik pontjából egy bizonyos útvonalon halad a tér másik pontjába, akkor az onnan visszafelé indított fénysugár ugyanazon az úton fog haladni.

A

fényre

ugyancsak

teljesülnek

a

hullámok

visszaverődésére,

illetve

törésére

érvényes

szabályszerűségek. Fényvisszaverődés során: 

a visszaverődő fénysugár a beeső fénysugár és a beesési merőleges síkjában halad;



a γ visszaverődési szög egyenlő az α beesési szöggel:

.

(7.1)

Fénytörés esetén: 

a megtört fénysugár a beeső fénysugár és a beesési merőleges síkjában halad tovább;



az α beesési szög szinuszának és a β törési szög szinuszának hányadosa a két közegre jellemző állandó, az ún. n2,1 relatív törésmutató:

sin   n2 ,1  c1 / c2 sin 

(7.2)

Egy anyag vákuumra vonatkoztatott törésmutatóját az adott anyag n abszolút törésmutatójának nevezzük:

n  c / c0 ,

(7.3)

ahol c a fény adott közegbeli, co pedig a vákuumbeli terjedési sebessége. Két közeg n1 és n2 abszolút törésmutatója, valamint a közegek egymásra vonatkoztatott n2,1 relatív törésmutatója között a következő összefüggés van érvényben:

n2 ,1  n2 / n1 .

(7.4)

A fényvisszaverődés speciális esete a teljes visszaverődés (totálreflexió). Ha a fény egy optikailag sűrűbb (nagyobb törésmutatójú) közegből egy optikailag ritkább (kisebb törésmutatójú) közeg határához érkezik, kellően nagy beesési szög esetén a teljes fénymennyiség visszaverődik a határfelületről. A teljes

7.Optika

67

visszaverődés határszöge a 90°-os törési szögnek megfelelő beesési szög, így erre az  h szögre teljesül a következő egyenlet:

sin h  n21 ,

(7.5)

ahol n2,1 a második (optikailag ritkább) közeg első közegre vonatkoztatott törésmutatója. A teljes visszaverődésen alapul a kommunikációban, valamint az orvosi gyakorlatban széleskörűen alkalmazott optikai szálak működése. Az optikai szál egy igen tiszta, néhány tíz mikrométer átmérőjű üvegszálból és az ezt körülvevő, kisebb optikai törésmutatójú héjból álló vezeték. A fénykábel egyik végén belépő fényimpulzus a vezeték teljes hosszán teljes visszaverődést szenved, így a vezeték hajlítása esetén is – minimális energiaveszteséggel – a szál másik végén fog kilépni. Az endoszkóp olyan orvosi eszköz, mellyel az üreges szervek közvetlenül vizsgálhatók. Léteznek merev és hajlékony eszközök, melyek a diagnosztikus alkalmazás mellett gyakran egyidejűleg terápiás beavatkozást is lehetővé tesznek. Az endoszkóp belsejében nagyszámú optikai szál található, melyek egy része a vizsgálandó területhez vezeti a fényt egy külső fényforrásból, más részük a látott képet szállítja a vizsgálóhoz, aki az endoszkóp végébe tekintve látja a vizsgált terület képét, vagy az endoszkóp végére helyezett videokamera segítségével egy monitorra vetíti ki azt. Az endoszkópok belsejében gyakran van egy úgynevezett munkacsatorna is, amelyen keresztül többek között szívás, öblítés, szövetminta vétele lehetséges.

7.2.

Az optikai lencsék képalkotása

1. ábra Az optikai lencsék fő típusai. Balról jobbra: bikonvex, plánkonvex, pozitív meniszkuszlencse, negatív meniszkuszlencse, plánkonkáv és bikonkáv lencse.

Az optikai lencsék transzmissziós optikai elemek, melyeket két felszínük görbülete alapján csoportosíthatunk. A mindkét oldalán domború lencséket bikonvex, a mindkét oldalán homorú lencséket bikonkáv lencséknek nevezzük. Ha a lencse egyik optikai felülete sík, plánkonvex, illetve plánkonkáv lencsékről beszélünk. Az egyik oldalán homorú, a másik oldalán domború optikai lencséket – attól függően, hogy gyűjtő- vagy szórólencsék – pozitív, illetve negatív meniszkuszlencséknek nevezzük. A bikonvex, plánkonvex és a pozitív meniszkuszlencsék (a lencse törésmutatójánál kisebb törésmutatójú környezetben) gyűjtőlencseként funkcionálnak, azaz a rájuk bocsátott párhuzamos

7.Optika

68

fénysugarakat az ún. fókuszpontba gyűjtik. A fókuszpont és a lencse fősíkjának távolságát fókusztávolságnak nevezzük. A bikonkáv, a plánkonkáv és a negatív meniszkuszlencsék (ugyancsak a lencse anyagánál kisebb törésmutatójú környezetben) szórólencseként viselkednek, és a párhuzamos fénysugárból olyan széttartó nyalábot hoznak létre, melynek sugarai látszólag a lencse mögötti fókuszpontból indulnak ki. Amennyiben a lencséket az anyaguknál nagyobb törésmutatójú közegbe helyezzük (pl. levegőlencse vízben), a fenti gyűjtő, illetve szóró jelleg felcserélődik. A lencse szimmetriatengelyét optikai tengelynek, az optikai tengely és a lencse metszéspontját optikai középpontnak nevezzük. A továbbiakban az ún. vékonylencsékkel foglalkozunk, melyeknél a két lencsefelület között mérhető távolság elhanyagolható a lencse fókusztávolságához képest. A lencsék fókusztávolsága a lencse anyagának törésmutatója, valamint a lencse felszíneinek görbületi sugarai ismeretében a lencsekészítők egyenlete segítségével számolható. Vékony, n törésmutatójú, lencsék esetén az f fókusztávolság egy no törésmutatójú közegben: 1 1 1   n  no     , f  R1 R2 

(7.6)

ahol R1 és R2 a lencse két felszínének görbületi sugara. Paraxiális közelítés esetén, vagyis amikor a fénysugarak csak kis szöget zárnak be az optikai tengellyel, a vékony lencsék képalkotására a következő leképezési egyenlet teljesül: 1 1 1   , f t k

(7.7)

ahol t a tárgytávolság, k a képtávolság és f a fókusztávolság. A (7.7) egyenlet csak akkor teljesül, ha a következő előjelezési szabályokat követjük: 

A fénysugár a leképezés során balról jobbra halad.



Az optikai tengelyen mért mennyiségek balról jobbra irányítva pozitív előjelűek.



Az optikai tengelyre merőleges irányban mért mennyiségek alulról felfelé irányítva pozitív előjelűek.



A görbületi sugarat a középponttól a csúcspont felé mérjük.



A tárgy- és képtávolságot a tárgytól, ill. a képtől a csúcspont felé mérjük.

A lencsék által alkotott kép geometriai úton is megszerkeszthető az ún. nevezetes sugármenetek alkalmazásával. Ezek gyűjtő-, illetve szórólencséknél a következők: 

A gyűjtőlencse az optikai tengelyével párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyűjti össze, a szórólencse az optikai tengelyével párhozamos fénysugarakat a töréssel úgy teszi széttartóvá, mintha azok a fény beérkezésének oldaláról egy pontból indultak volna ki.



A gyűjtőlencse a fókuszpontból kiinduló, széttartó fénysugarakat, a szórólencse pedig a látszólagos fókuszpontba összetartó fénysugarakat törés után az optikai tengellyel párhuzamossá teszi.



Ha a lencse elég vékony, akkor az optikai középpontján bármilyen irányból áthaladó fénysugarakat gyakorlatilag nem töri meg.

7.Optika

69

2. ábra A gyűjtőlencsék képalkotása.

3. ábra A szórólencsék képalkotása.

Az oldalnagyítás a következőképpen számítható ki: N 

k K  , t T

(7.8)

ahol k a képtávolság, t a tárgytávolság, K a kép nagysága és T a tárgy nagysága. A tárgy és a kép mérete szerint megkülönböztetünk nagyított és kicsinyített képet, a kép állása lehet egyenes vagy fordított. Attól függően, hogy a kép egy ernyőn felfogható vagy sem, valódi vagy virtuális képről beszélhetünk.

7.Optika

70

A gyűjtő- és a szórólencse által létrehozott kép tulajdonságait az alábbi táblázat foglalja össze. GYŰJTŐLENCSE tárgy

SZÓRÓLENCSE tárgy

kép

helye

helye

helye

típusa

állása

mérete

2f < t < ∞

f < k < 2f

valódi

fordított

kicsinyített

t = 2f

k = 2f

valódi

fordított

azonos

f < t < 2f

2f < k < ∞

valódi

fordított

nagyított

bárhol

t=f

±∞

—

—

—

t
|k| > t

látszólagos

egyenes

nagyított

kép helye |k| < |f|, t>k

típusa

állása

mérete

látszólagos

egyenes

kicsinyített

1. táblázat A gyűjtő- és szórólencsék által létrehozott kép tulajdonságai.

4. ábra A gyűjtő- és szórólencsék által létrehozott kép tulajdonságai.

A lencsék jellemző paramétere a D törőerő, mely az f fókusztávolság reciproka:

D

1 . f

(7.9)

7.Optika

71

A törőerő SI-mértékegysége az 1/m (vagy m–1), melyet dioptriának is neveznek. Az egyes optikai lencsék kombinálásával lencserendszerek hozhatók létre. Vékonylencsékből álló lencserendszer esetén a lencserendszer eredő D törőereje az egyes tagok Di törőerejének összege:

D  D1  D2  ... .

(7.10)

A (7.9) egyenlet értelmében a fókusztávolságok reciprokosan adódnak össze.

7.3.

Az egyszerű nagyító képalkotása

Az egyszerű nagyító (lupe) kis fókusztávolságú gyűjtőlencse, esetleg korrigált lencserendszer, mely a szembe érkező fénysugarak látószögét növeli meg, azaz szögnagyítást eredményez. A vizsgálni kívánt tárgyat általában úgy helyezzük el a lencse fókusztávolságán belül, hogy a kép a tisztalátás távolságában keletkezzen (lásd a gyűjtőlencsék képalkotásának utolsó esetét), vagy pedig a tárgyat a fókuszsíkba helyezzük, és a végtelenben megjelenő képet a normális szem akkomodáció nélkül szemlélheti. A felső ábra az előbbi, az alsó vázlatok pedig az utóbbi esetet szemlélteti.

5. ábra A lupe képalkotása (a tisztánlátás távolságában).

7.Optika

T

T

 s

72

 f

6. ábra A lupe képalkotása (végtelenre akkomodált szemmel) és a lupe szögnagyítása.

A lupe maximális nagyításának meghatározásához használjuk a fenti ábrákat, ahol T a tárgy nagysága, s a tisztalátás távolsága, f a lupe fókusztávolsága, valamint α és β a kép látószöge lupe használata nélkül, illetve lupe használatával. Geometriai megfontolások alapján tg 

T T és tg   , f s

(7.11)

amelyekből az egyszerű nagyító szögnagyítása kis szögek esetén N

7.4.

 tg  s   .  tg f

(7.12)

Lencsehibák

Az eddigiekben torzításmentes, ideális leképezést feltételeztünk, azonban még a legkifinomultabb optikai rendszerekben sem lehet tökéletesen kiküszöbölni a lencsehibákat. Ez alatt nem a gyártás során fellépő pontatlanságokat és megmunkálási hibákat értjük, hanem a valós lencsék természetszerű képalkotási hibáit. A lencsehibák következtében a tárgypontról kiinduló fénysugarak nem az elméletileg meghatározott pontokban egyesülnek, hanem a hibák fajtájától és erősségétől függően az elméleti egyesülési pontok környezetében, tehát egy pont képe nem pontként, hanem szóródási körként jelenik meg a felfogósíkban. Az összetett lencserendszereket úgy tervezik és építik, hogy a lencsehibák minél kevésbé érvényesüljenek, ill. a lencsetagok egymás hibáit kiegyenlítsék, a korrigálás azonban csak bizonyos határok közt lehetséges. A törésmutató hullámhosszfüggését diszperziónak nevezzük. A látható hullámhossztartományban a legtöbb anyag esetén a diszperzió ún. normális természetű, azaz a törésmutató a hullámhossz növekedésével csökken, így legjobban az ibolyaszínű sugarak törnek meg, legkevésbé pedig a vörös színű sugarak. A diszperzió következtében a lencse a rá érkező fehér fényt az optikai tengelyen az elméleti fókuszpont helyett egy szakasz mentén egyesíti. Ezt a leképezési hibát kromatikus aberrációnak (színi hibának) nevezzük. A színi hiba különböző anyagú szóró- és gyűjtőlencsék kombinálásával csökkenthető, mivel ilyenkor a két lencse egymás hibáit – bizonyos határok közt – ellensúlyozza. A szférikus aberráció (gömbi hiba, nyíláshiba) oka, hogy a lencse optikai tengelyében és a lencse szélső részein nem azonos a lencse gyújtótávolsága. Domború lencséknél az optikai tengelytől távolodva egyre csökken a gyújtótávolság, így az egy pontból kiinduló, a lencse közepén és szélein is áthaladó fénysugarak nem egy pontban egyesülnek, hanem ún. szóródási kört rajzolnak az elméleti fókuszpont körül. Homorú lencséknél ez a hiba ellentétes irányban lép fel, így két megfelelő üveganyagból készült (domború és homorú) lencse összeillesztésével a hiba minimálisra csökkenthető. A szférikus aberráció kiküszöbölése manapság már lehetséges nem gömbfelületekkel határolt, ún. aszférikus lencsetagokkal is, az előre megtervezett, speciális módon változó görbületű lencséknél minimálisra csökkenthető ugyanis a sugárirányú gyújtótávolság-változás. A szférikus aberráció a rekesznyílás szűkítésével is csökkenthető, így a lencse szélső részein áthaladó fénysugarak kirekesztésével csökken a szóródási körök átmérője.

7.Optika

7. ábra Optikai üvegek diszperziója.

73

8. ábra Kromatikus aberrációja és korrekciója akromáttal.

A kóma (üstököshiba) a lencse optikai tengelyével viszonylag nagy szöget bezáró beeső fénysugarak szférikus aberrációjából adódik. Nagy beesési szög esetén a lencse külső részei által rajzolt szóródási körök középpontjai nem esnek egybe a lencse beljebb lévő részei által rajzolt szóródási körök középpontjaival, így végeredményként nem szabályos szóródási kört, hanem az elméleti fókuszpontból kiinduló üstökösszerű csóvát kapunk. A kóma leginkább a képmező széle felé mutatkozik, és elsősorban a nagyfényerejű, nagylátószögű objektíveknél figyelhető meg. A kóma mértéke rekeszeléssel csökkenthető.

9. ábra A szférikus aberráció kialakulásának oka.

10. ábra A kóma kialakulása.

Az asztigmatizmus oka, hogy az optikai tengelytől viszonylag távol eső tárgypontból kiinduló fénysugarak közül a lencsén való áthaladást követően a vízszintes síkban haladó sugarak nem ugyanabban a pontban egyesülnek, mint a függőleges síkban haladók. A nem egy pontban egyesülő vízszintes, illetve függőleges sugarak az elméleti fókuszpont környezetében, a fénynyaláb tengelye mentén eltolva pont helyett függőleges ill. vízszintes vonalat rajzolnak. A függőleges és vízszintes sugarak egyesülési pontjai között a tárgypont képe két kereszteződő ellipszis formájában jelenik meg. Az asztigmatizmus kiküszöbölése szintén két különféle üveganyagból készült lencse egymáshoz illesztésével, valamint a rekeszszerkezet helyzetének helyes megválasztásával lehetséges. A képmező-elhajlás oka, hogy a nagy kiterjedésű tárgysík pontjairól a lencse által alkotott kép nem síkban, hanem a lencse görbületéhez hasonló gömbfelületen keletkezik, így a képet felfogó síkban nem keletkezhet a tárgysík minden pontjáról éles kép. A képmező-elhajlás mértéke rekeszeléssel kissé csökkenthető, de kiküszöbölése csak összetett lencsetagokkal lehetséges.

7.Optika

74

12. ábra A képmező-elhajlás.

11. ábra Az asztigmatizmus és típusai.

A torzítás (disztorzió) a tárgysíkban lévő egyenes vonalaknak a képsíkban görbe vonalakként történő leképzésében jelentkezik. Ez akkor jön létre, ha az optikai tengelytől távolodva változik a lencse nagyítása. Ha a lencse külső zónáiban kisebb a nagyítás, akkor hordószerű torzítás, ha nagyobb a nagyítás, akkor párnaszerű torzítás tapasztalható. A lencsék szimmetrikus elhelyezésével a torzítás minimálisra csökkenthető, a mai objektívek – a nagylátószögű objektívektől eltekintve – torzításmentesnek tekinthetők.

tárgy

hordó alakú torzítás

párna alakú torzítás

13. ábra A torzítás típusai.

Bár nem szigorú értelemben vett lencsehiba, szót kell ejteni a tükröződésről, melynek következtében a sima lencsefelületekre érkező fénysugarak egy része a lencsefelületekről visszaverődik, a lencsén irányt változtat, és nem a meghatározott pontban éri el az elméleti egyesülési síkot. Minél több szabad lencsefelület van egy lencserendszerben, annál többször következik be tükröződés, így a soktagú lencserendszerekben már jelentős fényveszteség is fellép. A tükröződés csökkentésére a szabad lencsefelületeket egy- vagy többrétegű tükröződésmentesítő bevonattal látják el. A modern objektívek a legtöbb hibára korrigált összetett lencserendszerek.

7.5.

A sík- és gömbtükrök képalkotása

A legismertebb tükrök a síktükrök, velük lehet a legtöbbször találkozni a mindennapi életben. A síktükör nagyítás nélküli, egyenes állású, virtuális képet hoz létre. Az optikai síktükrök a sugármenetek más irányba fordítására szolgálnak. A gömbtükör egy olyan gömbhéjszelet, amelynek külső vagy belső felülete tükröz. A gömbhéjszelet szimmetriatengelyét optikai tengelynek nevezzük. Az optikai tengely és a gömbszelet közös pontja az optikai középpont. A kiegészítő gömb középpontját geometriai középpontnak nevezzük, a gömb sugara a görbületi sugár. Ha a gömbtükör nyílásszöge, azaz a tükör peremének szemközti

7.Optika

75

pontjai által bezárt szög kisebb, mint 5°, akkor kis nyílásszögű gömbtükörről beszélünk – a továbbiakban csak ezek leképezését vizsgáljuk. A gömbtükröknek két típusa ismert: a homorú (konkáv) gömbtükör és a domború (konvex) gömbtükör. A képalkotás szempontjából a homorú gömbtükör a gyűjtőlencsének, a domború gömbtükör pedig a szórólencsének feleltethetők meg: az optikai tengellyel párhuzamos fénynyalábot a homorú gömbtükör az optikai tengely egy pontjába, a fókuszpontba gyűjti, míg a domború gömbtükör úgy szórja szét a nyalábot, mintha az egy, a gömbtükör mögötti pontból, a virtuális fókuszpontból indult volna ki. Az optikai középpont és a fókuszpont távolságát fókusztávolságnak nevezzük. A gömbtükrök képalkotására – a lencsékre érvényes előjelezési szabályokhoz hasonló konvenciók mellett – ugyancsak érvényes az 1 1 1   f t k

(7.13)

leképezési egyenlet, ahol t a tárgytávolság, k a képtávolság és f a fókusztávolság.. A gömbtükrök f fókusztávolsága és r görbületi sugara között a következő összefüggés van érvényben:

f 

r . 2

(7.14)

Domború gömbtükröt használnak például visszapillantó tükörként, áruházakban, nehezen belátható kereszteződéseknél a látószög növelése érdekében. Homorú gömbtükröt használnak kozmetikai és borotválkozótükörként, mert közelről beletekintve nagyított (virtuális) képet szolgáltat. Ugyancsak homorú gömbtükrök állít elő erőteljes párhuzamos fénynyalábot a fényszórókban, reflektorokban (a modern világítástechnikai eszközökben sokszor elliptikus vagy parabolikus profilú homorú tükrök találhatók, melyeknek jobbak a leképezési tulajdonságai). A homorú és domború gömbtükrök nevezetes sugármenetei a következők: 

A homorú gömbtükör az optikai tengelyével párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyűjti össze, a domború gömbtükör az optikai tengelyével párhozamos fénysugarakat a töréssel úgy teszi széttartóvá, mintha azok a fény beérkezésének oldaláról egy pontból indultak volna ki.



A homorú gömbtükör a fókuszpontból kiinduló, széttartó fénysugarakat, a domború gömbtükör pedig a látszólagos fókuszpontba összetartó fénysugarakat visszaverődés után párhuzamossá teszi az optikai tengellyel.



A gömbi középponton átmenő fénysugár önmagában verődik vissza.



Az optikai középponton átmenő fénysugár az optikai tengelyre szimmetrikusan verődik vissza.

7.Optika

7.6.

76

Az emberi szem és a látás, látáskorrekció

14. ábra Az emberi szem felépítése.

15. ábra A látási ingerület pályája.

A szemtípusok besorolása szerint az emberi szem lencserendszerrel rendelkező hólyag- vagy sötétkamra-szem. A közelítőleg gömb alakú, átlagosan 25 mm átmérőjű szemgolyó fénytörő részei a szaruhártya, az elülső csarnokot kitöltő csarnokvíz, a kétszer domború, hagymaszerűen rétegzett szerkezetű, kb. 10 mm átmérőjű és 4 mm vastag szemlencse, továbbá a hátsó csarnokot kitöltő, kocsonyás anyagú üvegtest. A szemgolyó falát alkotó három réteg közül a kemény külső réteget ínhártyának nevezzük – ennek elöl kidomborodó és átlátszó része a szaruhártya. A középső réteg hátsó kétharmada a szemet tápláló erekben és sötét színű festékanyagokban bővelkedő érhártya, elülső harmadának vastagabb részében van a szemlencse görbületét szabályozó sugárizom, az ismét elvékonyodó elülső része pedig a szem színét adó szivárványhártya. Ez utóbbi közepén lévő kerek nyílás a pupilla, melynek átmérője önműködően alkalmazkodik a mindenkori megvilágításhoz. Ezt nevezzük adaptációnak. A szemgolyó falának legbelső, üvegtesttel érintkező vékony rétege a bonyolult felépítésű ideghártya (retina), amelyben a látóideg végződései és az ezekkel összeköttetésben álló fényérzékeny elemek, a csapok és pálcikák helyezkednek el. A retinának a fényre legérzékenyebb része a pupillával szemközti sárgafolt, melynek közepén található a csapokkal legsűrűbben borított látógödör. A látóideg kilépési helyén sem csapok, sem pálcikák nem találhatók, ez a hely a fényre érzéketlen vakfolt. A szem optikai szempontból olyan centrált rendszernek tekinthető, amelyben a fény lényegében négy gömbi határfelületen törik meg: a szaruhártya és a szemlencse két-két határfelületén, melyek törőerőssége rendre 48, –5, 7 és 12 dioptria. A szemlencse fókusztávolsága a sugárizmok segítségével változtatható, ezáltal azonos képtávolság mellett lehetővé válik a különböző tárgytávolságokhoz történő alkalmazkodás, az ún. akkomodáció. Egy tárgy két pontját csak akkor látjuk különállónak, ha a két pontból kiinduló és a szem ún. csomópontján áthaladó sugarak alkotta látószög nagyobb egy minimális látószögértéknél. Ez utóbbi szög a látásélesség határszöge, mely a tapasztalat szerint kb. 1 ívperc. Ennek megfelelően pl. 1 m távolságból a két pontnak legalább 0,3 mm-re kell lennie egymástól ahhoz, hogy a szem el tudja különíteni azokat. Az 1’ határszög mellett a két pont képe a retinán mintegy 5 μm távolságban van, és mivel nagyjából ugyanekkora egy csap átmérője is, feltételezhető, hogy két tárgypontot csak akkor lehet megkülönböztetni, ha képpontjaik két különböző csapra esnek. Érthető tehát, hogy a felbontóképesség a látógödörben keletkező kép esetén a legnagyobb, ahol maximális a csapok sűrűsége. Ezért ha egy tárgyat élesen kívánunk látni, szemünket a szemgolyó elfordításával öntudatlanul úgy állítjuk be, hogy a tárgy képe a látógödörben jöjjön létre. A szemlencse ugyan képes kompenzálni a különböző tárgytávolságokat, ez az akkomodáció is limitált. Távolpontnak nevezzük azt a legnagyobb tárgytávolságot, amely mellett az egészséges szemű ember még élesen lát, míg a közelpont az a legkisebb távolság, ameddig a tárgyat az éles képalkotás megőrzése mellett a szemhez közelíthetjük. A tisztalátás távolsága, azaz a tárgynak a szemtől mért azon

7.Optika

77

távolsága, amelynél a sugárizmok minimális terhelése mellett a szem hosszabb ideig tud alkalmazkodni, egészséges szemnél 25 és 30 cm közötti. Az előzőek értelmében az éles látáshoz a tárgytávolságnak egy adott minimális értéknél nagyobbnak kell lennie, ezért nem növelhető a látószög tetszőleges mértékben. Ennek az a következménye, hogy bizonyos határon túl a tárgy nagyításához (illetve az apró részletek felbontásához) optikai segédeszközt, például lupét, mikroszkópot kell igénybe venni. Normális látás esetén a szem akkomodációja révén a kb. 25 cm-es közelpont és a végtelen között lehetséges az éleslátás. Ehhez képest két alapvető leképezési hibát különböztetünk meg. A rövidlátásban szenvedő személynél a szemgolyó szemtengelye túl hosszú, így a végtelen távoli pontból érkező párhuzamos sugarak a retina előtt fókuszálódnak, a retinán pedig éles pont helyett egy életlen folt keletkezik. A páciens közelre lát jól, azaz távolpontja kisebb, mint végtelen. Ez a látási hiba (negatív dioptriájú) szórólencsével korrigálható. Távollátás esetén a szemtengely rövidebb a normálisnál, ezért a közelről beeső sugarak a retina mögött fókuszálódnak, a retinán pedig homályos folt keletkezik. A távollátás (pozitív dioptriájú) gyűjtőlencsével korrigálható.

7.7.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Sorolja fel a geometriai optika négy alapfeltevését! Melyek a fényvisszaverődés törvényszerűségei? Melyek a fénytörés törvényszerűségei? Mit nevezünk relatív és abszolút törésmutatónak? Mi az összefüggés közöttük? Mikor lép fel teljes visszaverődés? Sorolja fel a teljes visszaverődés néhány gyakorlati alkalmazását! Mit reprezentál a teljes visszaverődés határszöge, hogyan határozható meg? Milyen lencséket különböztetünk meg geometriai kialakításuk és fénytörési viselkedésük alapján? Definiálja a következő fogalmakat: optikai tengely, optikai középpont, fókuszpont, fókusztávolság, görbületi sugár! Írja fel a lencsekészítők egyenletét, mi az egyenlet jelentősége! Írja fel a lencsék leképezési egyenletét! Hogyan határozható meg az optikai leképező rendszerek oldalnagyítása? Mi a különbség a valódi és a virtuális kép között? Röviden ismertesse a gyűjtőlencsék és a szórólencsék leképezési tulajdonságait! (fókusztávolsághoz viszonyított tárgyés képtávolság, kép állása, nagyítás) Mit nevezünk törőerőnek, mi az SI-mértékegysége? Hogyan határozható meg a vékonylencsékből álló lencserendszer eredő fókusztávolsága, illetve törőereje? Röviden írja le (vagy vázolja fel) az egyszerű nagyító (lupe) képalkotását! Röviden jellemezzen két tetszőlegesen választott lencsehibát, és ismertesse a korrigálásukat! Mit nevezünk rövidlátásnak, távollátásnak és asztigmatizmusnak? Milyen lencsékkel korrigálhatók? Vonjon párhuzamot a lencsék és a gömbtükrök képalkotására! Egy-egy példán keresztül ismertesse a gömbtükrök gyakorlati alkalmazását! Mit nevezünk akkomodációnak és adaptációnak?


SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Int., Optika (belső laboratóriumi jegyzet)

2.

Az Olympus weboldala

3.

(www3.szote.u-szeged.hu/dmi/) (www.olympusmicro.com)

Pelyhe János: Világítástechnikai Jegyzet 2006 / Színház és Filmművészeti Egyetem (www.pelyhe.hu)

8. Mikroszkópia

78

8. Mikroszkópia

8.1.

Az egyszerű mikroszkóp képalkotása

Klasszikus értelemben a mikroszkópos képalkotás látható fény segítségével történik. A kép a valós világ egy részének, a tárgynak valamilyen egzakt (matematikai) vagy nem egzakt transzformáció segítségével történő leképezése. A leképezés mindig valamilyen kölcsönhatáson keresztül valósul meg: az optikai mikroszkópia esetén ez a (látható) fény és az anyag közötti kölcsönhatás. A kölcsönhatás lehet lokális, ezt képalkotó eszközök esetén pásztázó üzemmódnak nevezzük, illetve nem lokális, ilyenkor nyalábkölcsönhatásról beszélünk. A fény–anyag kölcsönhatás során az információ a fény irányában, amplitúdójában, fázisában, frekvenciájában és polarizációs állapotában van kódolva, ennek megfelelően a mikroszkópoknál megkülönböztetünk reflexiós, transzmissziós, fáziskontraszt-, fluoreszcens és polarizációs üzemmódokat. Általános értelemben a mikroszkópia körébe tartoznak azok a szabad szemes megfigyelésnél nagyobb felbontást lehetővé tevő leképező eljárások is, amelyeknél az anyag nem fényre, hanem valamilyen más behatásra ad válaszjelet. Az egyszerű mikroszkóp leképező rendszere két korrigált gyűjtőlencse-rendszerből, az objektívből (tárgylencse) és az okulárból (szemlencse) áll. A kis tárgy erős megvilágítását a gyűjtőlencsékből összeállított kondenzorlencse biztosítja. Az objektív a gyújtópontján valamivel kívül eső tárgyról valódi, nagyított és fordított állású képet ad, amelyet az okulár mint lupe szintén megnagyít, így végeredményben a tárgyról erősen nagyított, virtuális és fordított állású kép keletkezik. Mivel az okulárt és az objektívet úgy helyezik el, hogy az objektív által létrehozott kép az okulár fókuszsíkjában keletkezzen, a végső kép végtelenre akkomodált szemmel nézhető.

8. Mikroszkópia

79

16. ábra Az egyszerű mikroszkóp képalkotása.



fob

fok

T



K

objektív okulár 17. ábra Az egyszerű mikroszkóp nagyítása.

A mikroszkóp nagyításának meghatározásához tekintsük a fenti vázlatos elrendezést, ahol T és K a tárgynagyság és az objektív által létrehozott kép nagysága, fob és fok az objektív, illetve az okulár fókusztávolsága, valamint Δ az ún. optikai tubushossz, az objektív és az okulár fókuszpontjainak távolsága. Induljunk ki a piros színnel kiemelt két hasonló derékszögű háromszögből. Geometriai megfontolások alapján az objektív és az okulár oldalnagyítása:

N ob 

K   T f ob

és

N ok 

s . f ob

(7.15)

A mikroszkóp névleges nagyítása a (7.15) egyenlet jelöléseivel az objektív és az okulár oldalnagyításának szorzata: N névl .  N ob N ok 

 s . f ob f ok

(7.16)

8. Mikroszkópia

80

A transzmissziós mikroszkópok alsó megvilágítással dolgoznak, így segítségükkel a tárgyak áteső fényben vizsgálhatók. Konstrukciójukból következik, hogy ezzel az eljárással csak olyan objektumokról alkotható kép, amelyek a beeső fénynek valamekkora hányadát átengedik (áttetsző minták, metszetek stb.).

18. ábra A transzmissziós mikroszkóp felépítése.

A mintát a vízszintesen két, egymásra merőleges irányba mozgatható tárgyasztalra helyezik, melyet alulról megvilágítanak. A megvilágításnak az alábbi három feltételt kell kielégítenie: 1) a megvilágító sugárkúpok apertúrája egyezzen meg az objektív apertúrájával; 2) a megvilágító sugárkúpok fősugarai a tárgyra merőlegesen vagy legalább közel merőlegesen essenek be; 3) a tárgy kivilágítása egyenletes, homogén legyen. E feltételeknek eleget tevő megvilágítási elvet és rendszert KÖHLER dolgozta ki 1893-ban. A KÖHLER-féle megvilágításnál a fényforrást a kollektorlencse a kondenzorlencse első fókuszsíkjában fekvő változtatható nyílású apertúrarekeszre képezi le úgy, hogy a fényforrás képe a teljesen nyitott rekesz nyílását kitöltse. A kollektor teljes nyílását, illetve a közvetlenül előtte lévő mezőrekeszt a kondenzor a tárgysíkba vetíti. A mezőrekesz zárásával és nyitásával a tárgysíkban kivilágított látómező mérete, az apertúrarekesz zárásával és nyitásával a megvilágító sugarak apertúrája csökken, ill. növekszik.

8. Mikroszkópia

81

19. ábra A világos látóterű felső megvilágítás szigorú KÖHLER-elve.

A mikroszkóp nagyítása elsősorban az objektívfej elforgatásával változtatható. Az objektívfej általában revolverrendszerű, és elforgatásakor más-más nagyítású objektív helyezhető a fényútba. A fókuszálás az éles leképezést biztosító tárgy–objektív távolság beállítását jelenti, mely általában a tárgyasztal vertikális irányba történő mozgatásával történik, durva- és finomállító csavarok segítségével. A végső képet a mikroszkópban az okulár hozza létre. Sztereomikroszkópok esetén az okulárrendszerek egyikének eredő törőerőssége kismértékben változtatható, így kiegyenlíthetők a két szem közötti éleslátásbeli különbségek. A mikroszkópos vizsgálat céljától függően az okulárban szálkereszt és mikrométerskála is elhelyezhető. A fenti modern mikroszkóp metszeti rajzán is megfigyelhető, hogy a két fő lencserendszeren, az objektíven és az okuláron kívül számos lencsetag (pl. a tubuslencse), valamint reflexiós elemek is részt vesznek a képalkotásban.

20. ábra Egy többféle megvilágítást lehetővé tevő mikroszkóp felépítése.

A reflexiós mikroszkópok a tárgyról visszaverődő fénysugarakat képezik le, így átlátszatlan tárgyak vizsgálatára alkalmasak. Ennek megfelelően a reflexiós mikroszkópiában az alsó megvilágítás nem alkalmazható, hanem felső megvilágításra van szükség. A reflexiós mikroszkópok gyakran alsó megvilágítási lehetőséggel is rendelkeznek, így transzmissziós mikroszkópként is használhatók. A felső megvilágítás esetén a fényforrást oldalt helyezkedik el, és sugarait féligáteresztő síklappal vagy prizmával vetítik a tárgyra. A síklemezes megoldásnál az objektív teljes apertúrája dolgozik a

8. Mikroszkópia

82

megvilágításnál és a képalkotásnál egyaránt, de a nyalábosztás miatt a fényveszteség elég nagy (50%-os áteresztést feltételezve a végső képet a megvilágító sugaraknak csak a 25%-a hozza létre). A prizmás nyalábeltérítésnél a fénykihasználás jobb, hátránya azonban, hogy az objektív fél nyílását kitakarja, így csökkenti a feloldóképességet. Egyes reflexiós mikroszkópos vizsgálatoknál (pl. felületek simaságának ellenőrzése) előnyös lehet a ferde beesésű vagy a sötét látóterű felső megvilágítás. Ferde beesésű megvilágításnál a megvilágító nyaláb az árnyékhatásnak köszönhetően háromdimenziós jellegű képet eredményez. Sötét látóterű felső megvilágítás esetén a megvilágító sugarak nem jutnak át az objektíven, így közvetlenül nem világítják meg a tárgyat. A sugarakat egy gyűrűs rekeszen haladnak át, melynek belső köre megfelel az objektív nyílásának, majd egy átfúrt gyűrűs tükörre esnek, onnan visszaverődve, az objektívet hengeresen körülölelve a tárgy irányába haladnak, végül egy alkalmasan megválasztott görbületű kondenzor nagy apertúrával vetíti a sugarakat a tárgyra. Ebben az esetben a mikroszkópos képen csak a tárgy felszíni kiemelkedései vagy bemélyedései jelennek meg fényesen, az objektív tengelyére merőleges sík felület pedig sötét marad, hiszen a szabályosan visszaverődő fénysugarak ismét kikerülik az objektívet, és nem vesznek részt a képalkotásban.

21. ábra Sötét látóterű felső megvilágítás.

8. Mikroszkópia

83

22. ábra Sötét látóterű mikroszkóp segítségével készített kép karcolásokkal borított felületről.

8.2.

Mikroszkópos kontrasztnövelő eljárások

Sok esetben szükség lehet arra, hogy olyan, ún. kontrasztnövelő mikroszkópos eljárásokat alkalmazzunk, amelyek a tárgy struktúráját jobban felismerhetővé teszik, mint a hagyományos, reflexión vagy abszorpción alapuló optikai mikroszkópos módszerek. Ezek a technikák különösen biológiai mintáknál lehetnek előnyösek, ahol a tárgy jórészt vízből áll, és komponensei (pl. a nagyobb sejtalkotók) egyöntetűen kis fényelnyelésűek, kontrasztos határoló vonal nélkül. Míg az amplitúdótárgyak a rajtuk áthaladó fény amplitúdóját (intenzitásának) modulálják, és hagyományos optikai mikroszkópiai képük jól strukturált, a fázistárgyak jellemzően a rajtuk áthaladó fény fázisát változtatják meg, és csak speciális, kontrasztnövelő eljárásokkal lehet róluk részletgazdag képet alkotni. Fázistárgy lehet például egy olyan minta, amelynek a törésmutatója állandó, azonban vastagsága helyről helyre változik, illetve amelynek állandó vastagság mellett a törésmutatója változik. A valós tárgyak nem tisztán amplitúdó- vagy fázistárgyak, hanem azok keverékei.

8. Mikroszkópia

23. ábra

24. ábra

Az amplitúdótárgyak és a fázistárgyak tulajdonságai.

A fáziskontraszt-mikroszkóp fényútja.

84

A fáziskontraszt-mikroszkóp kifejlesztéséért FRITZ ZERNIKE 1953-ban Nobel-díjat kapott. A fáziskontraszt-mikroszkóp leegyszerűsítve a tárgy egyes részeinek optikaiúthossz-különbségét alakítja át intenzitáskülönbséggé. A fényforrásból érkező fény apertúrákon, majd a kondenzorlencse elülső fókuszsíkjába helyezett kondenzorgyűrűn halad át, melynek segítségével gyűrű alakú intenzitásprofil fókuszálódik a mintára. A minta belsejében a különböző törésmutatójú részeket elválasztó felületeken a fénysugár egy része sorozatos reflexiót és törést szenved, illetve diffraktálódik. A diffrakciót nem szenvedett, akadálytalanul továbbhaladó fénysugarak a fázislemez vastag szürke gyűrűjén haladnak keresztül, mely csökkenti a fény intenzitását, fázisát pedig adott fázisszöggel eltolja. A mintán történő áthaladás során diffrakciót szenvedett vagy megtört fénysugarak a fázislemez vékony, átlátszó részén jutnak át. A kapott kép nem más, mint a különböző fázisú fénysugarak egyesítésével létrejövő interferenciamintázat.

25. ábra Áteső fényben és fáziskontraszt-mikroszkóppal készült kép biológiai mintáról.

Azt a fénysugárzást, amely nem hőmérsékleti sugárzásból származik, lumineszcenciának nevezzük. Lumineszcenciasugárzás keletkezésekor egy molekularendszer gerjesztett állapotba kerül,

8. Mikroszkópia

85

általában igen rövid idő alatt visszatér egy alacsonyabb gerjesztett állapotba, végül ez utóbbi gerjesztett állapotból relaxálódik, miközben az átmenetnek megfelelő energiakülönbséget az annak megfelelő hullámhosszú foton formájában sugározza ki. A gerjesztés módjának, illetve a lumineszkáló közegnek megfelelően megkülönböztetünk fotolumineszcenciát, elektrolumineszcenciát, kemilumineszcenciát, biolumineszcenciát stb. A lumineszcencia felhasználása a mikroszkópos vizsgálatokban azon alapszik, hogy a legtöbb szerves vegyület – így számos sejtkomponens – (általában ultraibolya fénnyel) megvilágítva kémiai szerkezetükre jellemző hullámhosszú látható fénnyel lumineszkál. A különböző vegyületek rendszerint más és más színű lumineszcenciafényt bocsátanak ki, s így kémiai összetételükben különböző sejtek vagy alkotórészek a metszetben színük alapján jól megkülönböztethetők. A sajátlumineszcencián kívül felhasználják azt a jelenséget is, hogy a sejtek és szövetek lumineszkáló vegyületek – úgynevezett fluorokróm – igen híg (1:1000–1:5000000) vizes oldatából adszorbeálják a fluorokrómot, és az adszorbeált festék lumineszcenciája segítségével a sejtalkotók megfesthetők, miközben a híg oldat az életműködésüket nem befolyásolja.

26. ábra

27. ábra

A fluoreszcencia elve.

Fluoreszcens festékek.

Mind a saját, mind az kromofóros lumineszcenciamódszernek az az előnye a klasszikus mikrotechnikai festési eljárásokkal szemben, hogy megkíméli a vizsgálandó szövetet a fixálás és a festés durva kémiai hatásaitól. Az úgynevezett lumineszcencia- vagy fluoreszcenciamikroszkópok csak abban különböznek a közönséges mikroszkópoktól, hogy a kondenzort és a tárgylemezt ultraibolya sugarakat átbocsátó üvegből (kvarcüvegből) készítik. Ezenkívül a mikroszkópban – rendszerint az objektívlencse-

8. Mikroszkópia

86

rendszer frontlencséjénél – olyan, ún. dikroikus szűrőt alkalmaznak, amely a tárgyon keresztüljutott fényből a megvilágító (általában ultraibolya) sugarakat teljesen elnyeli, illetve visszaveri, azonban a fluoreszcenciafényt átengedi. Megvilágításra rendszerint higanygőzlámpát vagy fémelektródokkal működő ívlámpát használnak, amelyek fényéből a látható fényt teljesen kiszűrik, hogy az a lumineszcenciafényt ne zavarja.

28. ábra

29. ábra

A fluoreszcencia-mikroszkópok felépítése.

A többfotonos fluoreszcencia elve.

A két- vagy többfotonos gerjesztésű fluoreszcenciamikroszkópia a mikroszkópia egyik legújabb ága, melyet a konfokális mikroszkópiával ötvözve egyedülállóan tiszta, háromdimenziós képek készíthetők érzékeny, főleg vizes közegben lévő biológiai mintákról. Jobb feloldást biztosít, ugyanis gerjesztés csak a fókuszpontban következik be, ennek megfelelően tűlyukra sincs szükség (lásd a konfokális mikroszkópnál). A két- vagy többfotonos gerjesztésű fluoreszcencia olyan folyamat, mely során olyan, az egyfotonos fluoreszcenciánál alkalmazott fotonok energiájánál kisebb energiájú fotonokkal gerjesztik a mintát, melyek energiáinak összege megegyezik az elsődleges fluoreszcencia keltéséhez szükséges energiával. Mivel a módszer a gerjesztéshez kisenergiájú (nagy hullámhosszú) fotonokat alkalmaz, A lézeres konfokális pásztázó mikroszkóp (confocal laser scanning microscope, CLSM) nem a tárgy felszínét, hanem a tárgy (például egy sejt) belsejében kiválasztott síkot képezi le. A konfokális mikroszkópoknál a tárgyat megvilágító fény – általában lézerfény – egy lyukdiafragmán át lép be a mikroszkópba, és az objektíven keresztül (tehát fókuszálva) érkezik a kiválasztott sík egy pontjára. A tárgy

e

pontjáról

visszaszóródott

fényt

–

vagy

a

megvilágított

tárgypontban

keletkező

lumineszcenciafényt – az objektív részben áteresztő tükör közvetítésével egy másik lyukdiafragmára gyűjti, azaz leképezi rá a tárgypontot. A két diafragma optikailag azonos távolságra van az objektívtől (konfokális diafragmák). Ez az elrendezés biztosítja egyrészt azt, hogy a leképezendő tárgypont fókuszált megvilágítást kap, másrészt pedig azt, hogy csak a tárgypont képe éles a második diafragmán, tehát

8. Mikroszkópia

87

főleg a tárgypontból jövő fény jut át a diafragmán át a detektorra, amely még akkor is megfelelő jelet szolgáltat a számítógép számára, ha a tárgypont és az objektív között a tárgynak további fényt szóró és fényt elnyelő részletei vannak. A kiválasztott tárgysíknak (valójában a tárgy egy vékony szeletének) a képe pásztázás közben pontról pontra alakul ki. Mind a pásztázás vezérlését, mind a leképezett pontok koordinátáinak és fényességadatainak rendezett gyűjtését és tárolását számítógép végzi. A pásztázás többnyire a mikroszkóp tengelyére merőleges síkban (X–Y sík) történik, és esetleg több száz egymással párhuzamos rétegre is kiterjedhet (optikai szeletelés). A tárolt adatokból nemcsak X–Y helyzetű rétegek képe, hanem az optikai tengellyel párhuzamos, X–Z rétegképek is előhívhatók. Ilyen módon háromdimenziós betekintést nyerhetünk mérsékelten átlátszó mikroszkópos tárgyak belsejébe is. Az eljárás különösen komoly perspektívát jelent az orvosi és biológiai kutatások számára, hiszen például fluorokrómokkal történő vitális festést alkalmazó esetben egy konfokális leképezés az élő sejtben végbemenő folyamatok dinamikájának a megfigyelését is lehetővé teszi. A CLSM feloldóképessége meghaladhatja a hagyományos optikai mikroszkópét.

30. ábra

31. ábra

Az optikai szeletelés elve.

A konfokális módszer elve reflexiós üzemmódban.

8. Mikroszkópia

88

32. ábra A konfokális módszer elve transzmissziós üzemmódban.

8.3.

A mikroszkópok feloldóképessége

A valódi leképezések során a tárgy egy pontjának képe soha nem pontszerű, hanem koncentrikus gyűrűkből álló elhajlási kép. Amikor két pont leképezésekor a megfelelő elhajlási gyűrűk egymásra rakódnak, a két pont képének elkülőnítése annál könnyebb, minél távolabb vannak egymástól az elhajlási képek főmaximumai (azaz középpontjai). Az elkülöníthetőséghez szükséges minimális távolságot adja meg a RAYLEIGH-féle feloldási kritérium: a két képpont akkor különböztethető meg egymástól, ha a két intenzitásmaximum távolsága legalább annyi, hogy az egyik elhajlási kép maximuma a másiknak az első minimumával esik egybe. Ennek matematikai megfogalmazásaként a leképező elem R feloldóképessége (azaz az egymástól még éppen elválasztható képpontok távolsága) a következőképpen adható meg:

R( Rayleigh )  0, 61

 , NA

(7.17)

ahol λ a megvilágító fény hullámhossza és NA a leképező elem numerikus apertúrája. A numerikus apertúra a leképező elembe bejutó fénysugár u félnyalábszöge szinuszának és a közeg n törésmutatójának szorzata:

NA  n sin u .

(7.18)

Az a tény, hogy a feloldóképesség – amellett, hogy fordítottan arányos az objektív numerikus apertúrájával – egyenesen arányos a megvilágító fény hullámhosszával, jól szemléltethető az alábbi felvételpáron. Egy algáról vörös és kék fénnyel megvilágítva készítettek mikroszkópos képet. A nagyobb hullámhosszú vörös fénnyel készült felvételen nem vehető ki az alga finomszerkezete, míg a kisebb hullámhosszú kék fénnyel készült felvételen már ez is látszik. Ez megfelel a fenti képletnek, hiszen a

8. Mikroszkópia

89

kisebb hullámhosszhoz nagyobb feloldóképesség tartozik, azaz két egymáshoz közelebb lévő pontot tudnak még különválasztani.

33. ábra Egy alga mikroszkóppal készített képe 1000×-es nagyításban, vörös (λ = 680 nm, balra) és kék (λ = 458 nm, balra) fénnyel megvilágítva.

Meg kell azonban jegyezni, hogy a mélységélesség (depth of field, DOF) – vagyis az az intervallum a fókuszpont környezetében, amelyen belül még elfogadhatóan éles marad a kép – a hullámhosszal egyenesen arányban, az objektív numerikus apertúrájával pedig inverz négyzetes (!) arányban csökken:

DOF ~

 NA2

.

(7.19).

Emellett azt is figyelembe kell venni, hogy a hullámhossz csökkentésével a mintára eső fotonok energiája egyre nagyobb, így egyre intenzívebben roncsolják a mintát, ráadásul az igen rövid hullámhosszak (pl. röntgentartomány) esetén nem áll rendelkezésünkre megfelelő optika a leképezéshez. A numerikus apertúra növelése emellett egyre nagyobb mértékű lencsehibákhoz vezet.

8.4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Ellenőrző kérdések és feladatok Röviden írja le (vagy vázolja fel) az egyszerű mikroszkóp képalkotását! Hogyan számítható ki a mikroszkóp névleges nagyítása? Mi a különbség a transzmissziós és a reflexiós fénymikroszkópok között? Mire használják a sztereomikroszkópokat? Mi a ferde beesésű megvilágítás és a sötét látóterű képalkotás előnye? Mi a különbség az amplitúdó- és a fázistárgyak között? Mikor hasznos a fáziskontraszt-mikroszkóp? Mit nevezünk lumineszcenciának? Mi a fluoreszcencia-mikroszkóp képalkotásának elve? Mi a konfokális mikroszkópos képalkotás elve? Definiálja a következő fogalmakat: feloldóképesség, mélységélesség, numerikus apertúra! A RAYLEIGH-kritérium értelmében mekkora a mikroszkóp feloldóképessége? Hogyan javítható a mikroszkópok feloldása?

9. Hőtan, kalorimetria

90

9. Hőtan, kalorimetria 9.1.

Hőmérséklet, hőmérsékletmérés

A hőmérséklet fogalma – hétköznapi szemszögből – az emberi test hőérzetén alapul: a magasabb hőmérsékletű testeket rendszerint melegebbnek, az alacsonyabb hőmérsékletű testeket hidegebbnek érezzük. Ehhez a hőérzethez rendelhető hozzá a hőmérséklet mint fizikai mennyiség, általában valamilyen másik, hőmérséklettől közvetlenül függő fizikai mennyiség mérésén keresztül. A hőmérséklet az anyagi rendszerek egyik állapotjelzője, intenzív fizikai mennyiség. Ez utóbbi azt jelenti, hogy az extenzív fizikai mennyiségekkel szemben a rendszerek összeadódásakor nem adódik össze, hanem hőcsere útján a kiegyenlítődésre törekszik. A különböző hőmérsékletű testek hőmérsékletének kiegyenlítődésekor a végső, egyensúlyi hőmérséklet a két kezdeti hőmérséklet által közrefogott tartományba esik. A hőmérséklet-kiegyenlítődés időben exponenciális folyamat, azaz az egyes testek hőmérséklete időben egyre lassulva éri el az egyensúlyi értéket. A hőmérséklet mérésének lehetősége a termodinamika 0. főtételén alapul, mely szerint az egymással termikus egyensúlyban lévő testek hőmérséklete megegyezik. Termikus egyensúlynak nevezzük azt az állapotot, amikor a rendszerek közötti nettó hőcsere zérus. Egy test hőmérséklete úgy határozható meg, ha termikus egyensúlyba hozunk vele egy másik, hőmérőként funkcionáló testet, amelynek a hőmérséklete valamilyen hőmérsékletfüggő fizikai jellemzőjén keresztül (kalibrálást követően) mérhető. A hőmérőknél használt, hőmérsékletfüggő fizikai mennyiség lehet a térfogat (a higanyos, alkoholos vagy más, folyadékszálas hőmérők esetén), az elektromos ellenállás vagy vezetőképesség (az ellenállás-hőmérők esetén), a folyadékok sűrűsége (az ún. GALILEI-hőmérőknél) vagy a kibocsátott infravörös sugárzás spektruma (az infrakameráknál). A hőmérséklet történeti mértékegységei két vagy több jól definiálható hőmérsékletérték közötti tartomány(oka)t osztják fel adott számú egységre. A CELSIUS-skála alappontjai az olvadó jég hőmérséklete (0 °C) és a forrásban lévő víz hőmérséklete (100 °C), melyek közötti tartományt CELSIUS 100 egységre osztott fel. A FAHRENHEIT-skála alappontjai egy kedvező tulajdonságú sóoldat fagyáspontja (0 °F) és az emberi test hőmérséklete (96 °F), a RÉAUMUR-skála alappontjai pedig a víz fagyáspontja (0 °Ré) és


91

forráspontja (80 °Ré). Az abszolút hőmérsékleti skálát a Error! Reference source not found. fejezetben árgyaljuk. Statisztikai fizikai megközelítésben a hőmérséklet a rendszert alkotó részecskék hőmozgásból származó átlagos sebességgel van összefüggésben. A hőmozgás az anyag atomjainak, molekuláinak hőmérséklettől függő mozgása. Minél nagyobb sebességgel végzik a molekulák mozgásukat, annál melegebb a test. Míg a légnemű testek molekulái teljesen szabálytalanul mozognak, a szilárd testek atomjainak hőmozgása az egyensúlyi helyzeteik körül végzett rezgőmozgás. A folyadékmolekulák nem mozognak egymástól függetlenül, de hőmozgásuk nem is olyan kötött, mint a szilárd testeké. Nagyszámú részecskéből álló ideális gáz részecskéinek T (abszolút) hőmérséklete a következő összefüggés szerint áll kapcsolatban a gázrészecskék v 2 ún. négyzetes középsebességével:

T

M  v2 , 3R

(9.1)

ahol M a gázrészecskék molekulatömege és R az univerzális gázállandó.

9.2.

Hőtágulás

Hőtágulásnak

nevezzük

hőmérsékletének

azt

változásával

a

fizikai

jelenséget,

megváltoztatja

a

amikor

méretét.

valamely

Melegítéskor

anyag az

a

anyagok

általában tágulnak, a tágulás relatív mértékét a hőtágulási együttható fejezi ki. A hőtágulás általában közelítőleg lineárisan függ a hőmérséklettől, ez alól kivétel, ha halmazállapot-változás történik, illetve néhány speciális anyag zsugorodik (negatív hőtágulás). Léteznek kerámiák és fémötvözetek, amelyek gyakorlatilag nem változtatják a méretüket. Lineáris(vonalas) hőtágulás [szerkesztés] Ha egy α lineáris hőtágulási tényezővel rendelkező l0 hosszúságú test hőmérséklete T0, akkor ΔT = Tk − T0 hőmérséklet-változás hatására a hossza:

lesz.

Lineáris hőtágulási tényező:

, mértékegysége:


92

Felületi hőtágulás Ha egy α lineáris hőtágulási tényezővel rendelkező A0 felületű test hőmérséklete T0, akkor ΔT = Tk − T0 hőmérséklet-változás hatására a felülete:

. Térfogati hőtágulás Ha

egy

α

lineáris

hőtágulási

tényezővel

rendelkező

anyagú

V0

térfogatú

test

hőmérséklete T0, akkor ΔT = Tk − T0 hőmérséklet-változás hatására a térfogata:

.

9.3.

Ideális és reális gázok állapotváltozásai

Ideális gázoknak nevezzük azokat a gáz halmazállapotú anyagi rendszereket, melyeknél a részecskék elhanyagolható méretű, de tömeggel rendelkező golyókként foghatók fel, és köztük a rugalmas ütközésen kívül más kölcsönhatás nem lép fel. Az ideális gázok modellje kielégítő módon írja le a néhány atomos, inert gázok (különösen a nemesgázok) viselkedését. Az ideális gázok állapotváltozásai során kitüntetett szerepet töltenek be azok, melyek során a gáz valamely állapotjelzője állandó értéken marad. A gázok állapotjelzői közé soroljuk a gáz nyomását, térfogatát és hőmérsékletét. Az állandó nyomáson, térfogaton vagy hőmérsékleten lejátszódó állapotváltozásokat rendre izobár, izoterm, illetve izochor állapotváltozásoknak nevezzük. A tankönyvek általában tárgyalják a fenti állapotváltozásokat külön-külön leíró BOYLE–MARIOTTE- és GAY–LUSSAC-törvényeket. Mi a továbbiakban csak az ideális gázok állapotegyenletét tárgyaljuk, mert abból (akárcsak az egyesített gáztörvényből) az előbbi összefüggések levezethetők, ha az állandó értéken tartott paraméterekkel egyszerűsítünk.

Az ideális gázok állapotegyenlete összefüggést teremt az ideális gáz p nyomása, V térfogata, n anyagmennyisége (illetve N részecskeszáma), valamint a gáz T abszolút hőmérséklete között:

pV  nRT  NkT ,

(9.2)

ahol R = 8,314 J/(mol∙K) az univerzális gázállandó és k = 1,38×10-23 J/K a BOLTZMANN-állandó. A Error! Reference source not found. egyenlet az állapotváltozások minden egyes infinitezimális


93

lépésében, így az azok kezdetén és végén is teljesül az ideális gázokra, ha az egyenletbe a gázra az adott pillanatban érvényes állapotjelzők értékeit helyettesítjük be. A reális gázok tulajdonságai többé-kevésbé eltérnek az ideális gázok tulajdonságaitól. Az eltérés oka abból adódik egyrészt, hogy a gázatomok, -molekulák kölcsönösen vonzzák egymást – ún. van der Waals-erők működnek közöttük –, másrészt nem pontszerűek, van kiterjedésük, azaz saját térfogattal rendelkeznek. Nem ismerünk olyan általános állapotegyenletet, amellyel kiszámítva egy állapotjelző értékét minden gázra megfelelő pontossággal megegyezne a kísérleti adattal. Johannes Diderik van der Waals 1873-ban elsőként vette figyelembe, hogy a reális gáz részecskéi vonzásából

eredően

a

nyomás

a/V2-tel

nagyobb,

mint

ha

a

gáz

tökéletes

volna.

Ugyanakkor a gázrészecskék mozgására rendelkezésre álló térfogat kisebb a részecskék b saját térfogatával. n anyagmennyiség esetén a nyomáskorrekció:

ill. a térfogatkorrekció:

amely összefüggésben:

   

p T V n

– – – –

a reális gáz nyomása Pa hőmérséklet, K a reális gáz térfogata, m3 anyagmennyiség, mol

van der Waals-állandók:

 

a – a kohéziós erőkből eredő nyomáskorrekció mértéke, (Pa·dm6)/mol2] b – a gázrészecskék saját térfogata, m3/mol .

Az a és a b anyagi minőségtől függő állandót van der Waals-állandóknak nevezik.


94

A CO2 p – V diagramja a van der Waals-egyenlet alapján különböző hőmérsékleten Ha a fenti összefüggéséket behelyettesítjük a tökéletes gázokra érvényes általános gáztörvénybe, akkor n anyagmennyiség esetén pedig a:

kifejezést kapjuk, amely a reális gázokra vonatkozó van der Waals-egyenlet.

9.4.

Hő és hőcsere, kalorimetria

A modern megmaradási elv fejlődésében kulcslépés volt a hő mechanikai egyenértékének demonstrálása. A kalorikus elmélet úgy tartotta, hogy hőt nem lehet sem kelteni, sem eltüntetni, az energiamegmaradás az ellenkező elvet rója ki, a mechanikai munka és a hő egymásba alakítható.


Joule

készüléke,

amivel

a

hő

mechanikai

egyenértéke

mérhető.

Egy

95

huzal

végére

erősített süllyedő súly forgásba hoz egy vízbe merülő lapátot. A mechanikai egyenérték elvét modern formájában először a német sebész, Julius Robert von

Mayer

jelentette

ki.

Mayer

erre

a

következtetésre

a

Holland

Kelet-Indiákra

utaztában jutott, ahol úgy találta, hogy pácienseinek vére mélyvörösebb volt, mivel kevesebb oxigént és ezért kevesebb energiát használtak ahhoz, hogy testhőmérsékletüket fenntartsák a melegebb éghajlaton. Felfedezte, hogy a hő és a mechanikai munka is az energia egy formája, és később, fizikai tudását bővítve, kvantitatív összefüggést állított fel a kettő között. Közben 1843-ban James Prescott Joule Mayertől függetlenül felfedezte a mechanikai egyenértéket

egy

kísérletsorozattal.

A

leghíresebben,

amit

ma

"Joule-készüléknek"

hívunk, egy huzalra erősített süllyedő súly forgásba hozott egy vízbe merülő lapátot. Megmutatta, hogy a gravitációs helyzeti energia, amit a súly elveszített a süllyedés közben, egyenlő a hőenergiával, amire a víz a lapáttal súrlódva tesz szert. Joule munkájára alapozva Sadi Carnot és Émile Clapeyron valamint Hermann von Helmholtz posztulálták a kapcsolatot a mechanika, hő, fény, elektromosság és mágnesség között egyetlen

erő

(modern

kifejezéssel

energia)

megnyilvánulásaként

kezelve

őket.

A

hőközlés kétféle módon történhet: vagy állandó térfogaton (izochor folyamatban), vagy állandó

nyomáson

hőkapacitása

(izobár

mindig

folyamatban).

nagyobb,

mint

az

Az

állandó

állandó

nyomáson

térfogatú

tartott

rendszeré.

Az

rendszer eltérés

gyakorlati szempontból csak légnemű anyagot tartalmazó rendszer esetében jelentős. Kondenzált

rendszerek

esetén

elhanyagolhatóan

kicsi.

Az

állandó

térfogaton

mért

hőkapacitást a belső energia (U) hőmérséklet szerinti differenciálhányadosaként, az állandó

nyomáson

mért

hőkapacitást

az

entalpia

(H)

hőmérséklet

szerinti

differenciálhányadosaként értelmezzük. A fajlagos hőkapacitás (régi nevén fajhő), megadja, hogy mennyi hőt kell közölni egységnyi tömegű anyaggal ahhoz, hogy a hőmérséklete egy fokkal megemelkedjék. Jele: c, mértékegysége: J/(kg•K). Matematikailag megfogalmazva:


96

, ahol m a rendszer tömege. A

moláris

egységnyi

hőkapacitás

(régi

anyagmennyiségű

nevén

mólhő),

anyaggal

megadja,

ahhoz,

hogy

hogy a

mennyi

hőt

kell

közölni

hőmérséklete

egy

fokkal

megemelkedjék. Jele: Cm, mértékegysége: J/(mol•K). Matematikailag megfogalmazva:

, ahol n a rendszer anyagmennyisége. Egy (általában inhomogén) rendszer hőkapacitása megadja, hogy mennyi hőt (Q) kell közölni

a

rendszerrel,

hogy

hőmérséklete

(T)

egy

kelvinnel

emelkedjék.

Jele:

C,

mértékegysége: J/K. Matematikailag megfogalmazva: a hőmennyiség hőmérséklet szerinti differenciálhányadosa:

.


97


98


99


100


101


102


103


104


9.5. A

105

Halmazállapot-változások

legtöbb

kémiai

halmazállapotban

anyag lehet

–

a

hőmérséklettől

stabilis

és

állapotú:

a

nyomástól

szilárd,

függően

folyékony,

–

négy

légnemű

és

plazmaállapot. Elméletileg minden anyag mind a négy halmazállapotban előfordulhat, a gyakorlatban viszont sok szilárd anyag elbomlik, vagy átalakul az olvadáspontjánál kisebb hőmérsékleten, azaz inkongruens olvadáspontja van. Ugyanilyen okok miatt sok anyagnak

nem

létezik

légnemű

halmazállapota,

vagyis

már

a

forráspontjánál

kisebb

hőmérsékleten termikusan elbomlik. A légnemű halmazállapotban ugyanazon anyag lehet vagy

gáz

vagy

kritikus

gőz.

Egyszerűen

hőmérséklete

alatt

kifejezve:

van

akkor

ha

azt

a

légnemű

gőznek

anyag

nevezzük,

hőmérséklete

ha

a

annak

hőmérséklete

a

kritikus felett van, akkor azt gáznak hívjuk, a folyékony halmazállapotú anyag neve pedig

folyadék.

A

folyadék

és

a

szilárd

halmazállapotot

gyűjtőnéven

kondenzált

halmazállapotnak nevezzük, a légnemű és folyékony halmazállapotú anyagok gyűjtőneve pedig cseppfolyós közeg vagy egyszerűen közeg. A különbség a légnemű és a folyékony halmazállapot

között

az,

hogy

a

légnemű

halmazállapotú

anyagokkal

ellentétben

a

folyadékok szabad felszínnel rendelkezhetnek. Ha egy gőzt összenyomunk (komprimáljuk) akkor

az

folyadékká

válik

(cseppfolyósodik),

de

egy

gázt

nem

lehet

nyomással

cseppfolyósítani, csak ha előbb azt az annak egyéni kritikus hőmérséklete alá hűtjük, hogy gőzzé alakuljon. Azt a minimális nyomást, ami a gőz cseppfolyósítására szükséges, kritikus nyomása

nyomásnak alatt

állapotban van.

nevezzük,

kritikus

az

anyag

térfogatnak.

térfogatát

Ilyen

kritikus

körülmények

hőmérsékletén

között

az

kritikus

anyag

kritikus

A különböző halmazállapotok dinamikus folyamatokban átalakulhatnak

egymássá. A szilárd anyag átalakulása hőközlés hatására folyadékká az olvadáspontján történik. A fordított irányú folyamat pedig (fagyás, dermedés vagy kristályosodás) – amely

mindig

hőfelszabadulással

kristályosodási

ponton

alakulnak,

a

ez

következik

jelenség

a

jár

–

be.

A

a

fagyásponton,

szilárd

szublimáció.

A

anyagok

dermedésponton is

folyadékok

párolognak,

átalakulását

vagy gőzzé

légnemű

halmazállapotú anyaggá – gőzzé – párolgásnak nevezzük. Ha ez a folyamat a folyadék forráspontján történik, a jelenséget forrásnak nevezzük. A fordított irányú folyamat – amikor a gőz cseppfolyós állapotba kerül – a kondenzáció, vagy kicsapódás. Ugyanígy nevezzük a gőznek közvetlenül szilárd halmazállapotba jutását is. A szilárd halmazállapotnak két formája ismeretes: kristályos és alaktalan, vagy amorf. Ebben az állapotban a molekulák ill. az atomok energiaszintje olyan alacsony, hogy adott

helyzetükből

kristályrács

által

nem

tudnak

meghatározott

kiszabadulni. egyensúlyi

Kristályos

helyzetben

anyag

vannak

esetén

rögzítve,

azok és

a

ekörül

végeznek rezgőmozgást. Szilárd anyagoknak (vagy testeknek) meghatározott alakjuk és térfogatuk van, de a térfogat általában a hőmérséklet emelésével kiterjed. A folyékony anyagok, vagyis folyadékok térfogata állandó, ám alakja változó. A nehézségi erő hatására képesek felvenni a tároló edény alakját. Erőtérmentes környezetben viszont gömb alakúak a felületi feszültség következtében. A folyadékokban a molekulák közötti


106

összetartó erő lényegesen kisebb, mint a szilárd anyagoknál, és noha az anyaghalmazt összetartja, de lehetővé teszi a molekulák egymáshoz képest történő makroszkopikus, szabad mozgását. Ennek következtében a viszkozitásuk a szilárd testek viszkozitásához képest

kicsi,

kicsi.

A

de

légnemű

az

összenyomhatóságuk

anyagoknak

nincs

(kompresszibilitásuk)

sem

meghatározott

azokhoz

alakjuk,

sem

közel

állóan

meghatározott

térfogatuk, a rendelkezésre álló térfogat egyenletes kitöltésére törekszenek. Az elemi állapotú anyagok nagy többsége légnemű állapotban – tehát gőz és gáz állapotban – színtelenek,

aminek

az

az

oka,

hogy

a

látható

színképtartományban

nincs

fényabszorpció. Ez alól kivételt a kén és a halogén elemek gőzei képeznek. Plazma a gáz-halmazállapotból keletkezik az atomok ill. molekulák ionizációja révén. Nagyon nagy hőmérsékleten, sugárzás vagy elektromos kisülés hatására az atomokból elektronok szakadnak le. A plazma állapotban szabadon mozgó pozitív ionok és negatív elektronok vannak olyan arányban, hogy az egész rendszer elektromosan semleges. A szabadon mozgó részecskék miatt a plazma jól vezeti az elektromos áramot. Az anyagok hőmérsékletének valamint nyomásának bizonyos fokú változása halmazállapotváltozást idéz elő. Ez a változás mindig visszafordítható (reverzibilis) folyamat, ha közben termikus bomlási folyamat nem megy végbe. A

halmazállapot-változást

melegítés

során

például

akkor

következik

be,

ha

a

hőmérsékletnövelés olyan mértékű rezgőmozgásra készteti az atomokat, melyet a kohéziós erők nem tudnak kompenzálni, így az atomok az előző állapotához képest szabadabbá válnak.

Első

lépésben

a

rácsponti

kötőerők

szűnnek

meg,

(szilárd-folyadék

fázisátalakulás), majd azok a kohéziós erők, amelyek a folyadék részecskéi között működnek (folyadék-gőz fázisátmenet), végül pedig az atomokon belüli elektrosztatikus vonzóerők

ellenére

az

elektronok

egy

része

vagy

teljes

mennyisége

leszakad

az

atommagról (gáz-plazma fázisátmenet). Összefoglalva a hőmérséklet és a nyomás szerepét: hőmérséklet növelés vagy nyomás csökkenés hatására a lejátszódó folyamatok: szilárd → olvadás → folyadék → párolgás → gőz; szilárd → szublimáció → gőz. Hőmérséklet-csökkenés, vagy nyomás növekedés hatására lejátszódó folyamatok: gőz → kicsapódás vagy kondenzáció → folyadék → fagyás vagy dermedés → szilárd; gőz → kicsapódás vagy kondenzáció → szilárd.


107

A halmazállapot-változás (fázisátmenet) grafikus összefoglalója

9.6.

A termodinamika főtételei

1. főtétel A termodinamikai rendszer belső energiájának változása egyenlő a rendszerrel közölt hő és a rendszeren végzett munka összegével.

2. főtétel A hőmennyiség alacsonyabb hőmérsékletű helyről magasabb hőmérsékletű helyre magától nem megy át. Ez csak külső munka árán, tehát egy, a környezetben létrejövő más változás árán hozható létre. (Clausius) Nem lehet olyan periodikusan működő készüléket szerkeszteni, melynek működése kizárólag abból állna, hogy a hőtartály hőtartalmát teljes egészében mechanikai munkává alakítja át. (Planck)

3. főtétel Az abszolút nulla hőmérséklet (0 K) elvileg tetszőleges pontossággal megközelíthető, de nem érhető el.

Felhasznált irodalom: 1. 2. 3.

Wikipedia Budó: Kísérleti fizika I. Maróti–Laczkó: Bevezetés a biofizikába

10. Elektromosságtan és mágnességtan


108


109


110


Soros kapcsolás esetén az eredő ellenállás az egyes ellenállások összege.

Párhuzamos kapcsolás esetén a az eredő vezetőképesség az egyes ellenállások vezetőképességeinek összege. Mivel a vezetőképesség az ellenállás reciproka (G = 1/R), ezért ellenállások párhuzamos kapcsolása esetén az eredő ellenállás reciproka az egyes eredő ellenállások reciprokainak összege.

Kirchhoff II. törvénye, a huroktörvény:

111


112


113


114



Gulyás–Rácz–Tomcsányi–Varga: Ennyit kell(ene) tudnod – Fizika

115

11. Lézerek

11. Lézerek

116

11. Lézerek

117

11. Lézerek

118

11. Lézerek

119

11. Lézerek

120

11. Lézerek

121

11. Lézerek

122

11. Lézerek

123

11. Lézerek

124

11. Lézerek


Maróti–Laczkó: Bevezetés a biofizikába

125

12. Tárgymutató

126

12. Tárgymutató abszolút fekete test.......................................... 58 abszorpciós állandó.......................................... 61 abszorpciós színkép.......................................... 60 akusztikus ellenállás ......................................... 42 állapotváltozás izobár ........................................................... 91 izochor.......................................................... 91 izoterm ......................................................... 91 állapotváltozások ............................................. 91 amplitúdó ......................................................... 35 gyorsulás- ..................................................... 36 sebesség-...................................................... 36 ARCHIMÉDÉSZ törvénye ...................................... 48 BEER–LAMBERT-törvény...................................... 61 BEER-törvény..................................................... 61 beesési merőleges ........................................... 41 beesési szög ..................................................... 41 BOLTZMANN-állandó........................................... 91 CELSIUS-skála ..................................................... 89 centrifugális erő ............................................... 31 centripetális erő ............................................... 31 centripetális gyorsulás ..................................... 31 decibelskála...................................................... 43 deformálható testek ........................................ 48 derivált ............................................................... 8 differenciálegyenlet ......................................... 12 differenciálhányados.......................................... 8 másodrendű ................................................... 9 parciális .......................................................... 9 differenciálszámítás ........................................... 8 diffrakció .......................................................... 42 dikroikus szűrő ................................................. 85 dinamika alapegyenlete ................................... 26 dioptria ............................................................. 70 direkciós állandó .............................................. 49 diszperzió (kolloidika) ...................................... 43 diszperzió (optika) ............................................ 71 divergencia ....................................................... 10 DOPPLER-effektus .............................................. 45 egyenes arányosság ........................................... 3 egyensúly ......................................................... 26 egyszerű mikroszkóp ........................................ 77 működése..................................................... 77

nagyítása ...................................................... 78 optikai tubushossz ....................................... 78 egyszerű nagyító szögnagyítása ............................................... 71 elektromágneses hullámok.............................. 52 terjedési sebessége ..................................... 52 elektromágneses spektrum ............................. 52 elhajlás rácson .......................................................... 60 emissziós színkép ............................................. 60 energia ............................................................. 28 forgási .......................................................... 28 kinetikus....................................................... 28 potenciális.................................................... 29 energiamegmaradás tétele.............................. 29 erő.................................................................... 25 eredő............................................................ 26 felhajtó- ....................................................... 48 gravitációs .................................................... 27 hidrosztatikai ............................................... 49 húzó- ............................................................ 48 konzervatív .................................................. 25 nyíró-............................................................ 48 nyomó-......................................................... 48 rugó- ............................................................ 49 erőkar............................................................... 26 erőtér ............................................................. 107 érzékenység ..................................................... 16 EULER-féle szám .................................................. 6 extenzív fizikai mennyiség ............................... 89 extinkció........................................................... 61 fajlagos térfogatot ........................................... 48 fajsúly ............................................................... 48 fáziskontraszt-mikroszkóp ............................... 83 felhajtóerő ....................................................... 48 feloldóképesség ............................................... 87 fény intenzitás ..................................................... 53 fénysugár megfordíthatóságának elve ............ 65 fénysugarak függetlenségének elve ................ 65 fénytörés.......................................................... 65 fény-visszaverődés........................................... 65 fluoreszcenciamikroszkóp ............................... 84

12. Tárgymutató fluorokróm ....................................................... 84 fókuszálás ......................................................... 41 fókuszpont ................................................. 67, 74 fókusztávolság ............................................ 67, 74 fordított arányosság........................................... 5 fordulatszám .................................................... 30 forgatónyomaték ............................................. 26 forgó mozgás.................................................... 31 fotoelektromos hatás....................................... 57 foton................................................................. 57 fotonelmélet .................................................... 56 FOURIER-tétel....................................................... 7 FOURIER-transzformáció ...................................... 7 frekvencia......................................................... 35 függvény ............................................................. 3 exponenciális ................................................. 5 harmonikus .................................................... 6 hatvány- ......................................................... 4 lineáris ............................................................ 3 logaritmus- ..................................................... 6 nemlineáris .................................................... 5 reciprok- ......................................................... 5 többváltozós................................................... 8 trigonometrikus ............................................. 6 gamma-sugárzás .............................................. 56 gázok állapotjelzői .................................................. 91 ideális ........................................................... 91 geometriai optika ............................................. 64 gömbtükrök...................................................... 73 domború (konvex)........................................ 74 fókuszpontja................................................. 74 fókusztávolsága ............................................ 74 geometriai középpontja ............................... 73 görbületi sugara ........................................... 73 homorú (konkáv).......................................... 74 képalkotása .................................................. 74 nyílásszöge ................................................... 73 optikai középpontja ..................................... 73 optikai tengelye ........................................... 73 gradiens........................................................ 9, 10 gravitáció.......................................................... 27 gravitációs állandó ........................................... 27 gravitációs gyorsulás ........................................ 27 gyorsulás .......................................................... 23 átlag- ............................................................ 23 pillanatnyi- ................................................... 23 hangerősség ..................................................... 43

127

hanghullámok .................................................. 43 hangmagasság ................................................. 43 hangszínezet .................................................... 43 harmonikus erő................................................ 37 harmonikus rezgőmozgás ................................ 35 erősítés ........................................................ 38 kioltás........................................................... 38 lebegés ......................................................... 38 LISSAJOUS-görbék .......................................... 38 határérték .......................................................... 8 hatás–ellenhatás törvénye .............................. 26 hatásfok ........................................................... 30 helyvektor ........................................................ 22 helyzeti energia ............ Lásd potenciális energia hiba .................................................................. 15 abszolút........................................................ 15 relatív ........................................................... 15 szisztematikus .............................................. 16 véletlen ........................................................ 15 hidrosztatikai nyomás ...................................... 47 hőmérők .......................................................... 89 hőmérséklet ............................................... 89, 90 mérése ......................................................... 89 hőmérsékleti sugárzás ..................................... 58 hőmozgás ......................................................... 90 HOOKE-törvény ................................................. 49 hullám .............................................................. 39 elektromágneses ................................... 39, 52 harmonikus .................................................. 39 intenzitása.................................................... 41 longitudinális ............................................... 39 mechanikai................................................... 39 polarizált ...................................................... 39 transzverzális ............................................... 39 hullámegyenlet ................................................ 40 hullámhossz ..................................................... 40 hullámszám ...................................................... 40 HUYGENS−FRESNEL-elv ........................................ 43 ideális gázok állapotegyenlete......................... 91 impulzus ......................................... Lásd lendület inerciarendszer ................................................ 22 infrahang .......................................................... 43 infravörös sugárzás .......................................... 54 integrál határozatlan................................................. 11 határozott .................................................... 11 integrálszámítás ............................................... 11 intenzitás ......................................................... 41

12. Tárgymutató intenzív fizikai mennyiség ................................ 89 interferencia..................................................... 42 erősítés......................................................... 42 gyengítés ...................................................... 42 jobbkézszabály ................................................. 31 kavitáció ........................................................... 43 kényszerrezgés ................................................. 38 kép.................................................................... 77 valódi ............................................................ 68 virtuális......................................................... 68 kerületi sebesség.............................................. 31 kezdőfázis ......................................................... 35 kinetikus energia .............................................. 28 koaguláció ........................................................ 43 koherencia ....................................................... 42 kompressziómodulus ....................................... 50 kondenzorlencse .............................................. 77 kontrasztnövelő eljárások ................................ 82 körfrekvencia ................................................... 35 körmozgás ........................................................ 30 egyenletes .................................................... 30 küvetta ............................................................. 61 látható fény ...................................................... 53 lebegés ............................................................. 38 leképezési egyenlet .................................... 67, 74 lencse .................................. Lásd optikai lencsék lencsekészítők egyenlete ................................. 67 lendület ............................................................ 24 lendületmegmaradás törvénye........................ 24 lézeres konfokális mikroszkóp ......................... 85 LISSAJOUS-görbék ............................................... 38 lumineszcencia ........................................... 55, 83 lumineszcenciamikroszkóp .............................. 84 lupe .................................. Lásd egyszerű nagyító mechanikai energia .......................................... 29 mechanikai energia megmaradásának tétele .. 29 mechanikai feszültség ...................................... 49 megtett út ........................................................ 22 mélységélesség ................................................ 88 meredekség........................................................ 4 mérés ............................................................... 15 közvetett ...................................................... 15 közvetlen ...................................................... 15 merev test ........................................................ 48 mérőszám......................................................... 15 mértékegység................................................... 16 mértékegységrendszer..................................... 16 mikroszkóp

128

amplitúdótárgy ............................................ 82 fáziskontraszt-.............................................. 83 fázistárgy...................................................... 82 fluoreszcencia- ............................................. 84 fókuszálás .................................................... 80 konfokális ..................................................... 85 lézeres konfokális ........................................ 85 lumineszcencia- ........................................... 84 objektív .................................................. 77, 80 okulár ..................................................... 77, 80 optikai szeletelés ......................................... 86 reflexiós ....................................................... 80 sztereo- ........................................................ 80 tárgyasztal.................................................... 79 transzmissziós .............................................. 79 tubuslencse .................................................. 80 mikroszkóp-megvilágítás alsó............................................................... 79 felső ............................................................. 80 ferde beesésű .............................................. 81 KÖHLER-féle ................................................... 79 sötét látóterű felső ...................................... 81 moláris dekadikus extinkciós koefficiens ....... 61 monokromatikus.............................................. 60 monokromátor ................................................ 60 mozgás ............................................................. 22 egyenetlen ................................................... 23 egyenletes.................................................... 23 egyenletesen változó ................................... 23 mozgási energia ............... Lásd kinetikus energia munka .............................................................. 28 munkatétel ...................................................... 28 NEWTON-törvények ........................................... 25 I. törvény ...................................................... 25 II. törvény ..................................................... 26 III. törvény .................................................... 26 IV. törvény ................................................... 26 nívófelület ...................................................... 107 normálás ............................................................ 5 normálvektor ................................................... 47 numerikus apertúra ......................................... 87 nyírás ............................................................... 50 nyírási modulus................................................ 50 nyírófeszültség ................................................. 50 nyomás ............................................................ 47 hidrosztatikai ............................................... 47 nyugalom ......................................................... 22 oldalnagyítás .................................................... 68

12. Tárgymutató optikai denzitás ................................................ 61 optikai lencsék ................................................. 66 dioptria ......................................................... 70 fókuszpontja................................................. 67 fókusztávolsága ............................................ 67 gyűjtőlencse ................................................. 66 képalkotása .................................................. 67 lencsehibák .................................................. 71 lencserendszer ............................................. 70 optikai középpontja ..................................... 67 optikai tengelye ........................................... 67 szórólencse .................................................. 67 vékonylencse................................................ 67 optikai rács ....................................................... 60 összetett fény................................................... 60 pálya ................................................................. 22 PASCAL-törvény ................................................. 48 perdület............................................................ 33 perdületmegmaradás törvénye ....................... 33 periódusidő ................................................ 30, 35 permeábilitás ................................................... 52 permittivitás ..................................................... 52 pontosság ......................................................... 16 potenciális energia ........................................... 29 gravitációs .................................................... 29 rugalmas....................................................... 29 prefixumok ....................................................... 19 prizma .............................................................. 60 produktum ......................................................... 7 rácsegyenlet ..................................................... 61 rádióhullámok .................................................. 56 RAYLEIGH-féle feloldási kritérium ...................... 87 referenciaoldat................................................. 61 relatív alakváltozás........................................... 49 reprodukálhatóság ........................................... 16 rezgésszám ....................................................... 35 rezonancia ........................................................ 39 röntgensugárzás ............................................... 55 fékezési ........................................................ 55 karakterisztikus ............................................ 55 rotáció .............................................................. 10 rugalmas alakváltozás ...................................... 49 rugalmassági modulus ..................................... 49 rugóállandó ...................................................... 49 sebesség ........................................................... 23 átlag- ............................................................ 23 pillanatnyi- ................................................... 23 síktükör ............................................................ 73

129

SI-mértékegységrendszer ................................ 16 alapegységek ............................................... 16 kiegészítő egységek ..................................... 18 prefixumok................................................... 19 származtatott egységek ............................... 16 SNELLIUS–DESCARTES-törvény ............................. 42 spektrális bontóelem ....................................... 60 spektrofotométer ............................................ 60 egysugaras ................................................... 61 kétsugaras .................................................... 61 spektrográf ...................................................... 60 spektroszkópia ................................................. 59 spektrum .......................................................... 52 elektromágneses ......................................... 52 STEFAN–BOLTZMANN-törvény ............................. 59 súly ................................................................... 27 súlyerő ............................................................. 27 súrlódás............................................................ 50 súrlódási együttható ........................................ 50 súrlódási erő csúszási ........................................................ 50 tapadási ....................................................... 50 sűrűség............................................................. 47 szabad rezgés ................................................... 38 szem ................................................................. 75 akkomodáció................................................ 75 felbontóképessége ...................................... 75 felépítése ..................................................... 75 rövidlátás ..................................................... 76 távollátás ..................................................... 76 szöggyorsulás ................................................... 30 szögsebesség ................................................... 30 szögsebességvektor ......................................... 31 sztereomikroszkóp........................................... 80 szumma.............................................................. 7 szuperpozíció elve ........................................... 26 tehetetlenség törvénye ................................... 25 tehetetlenségi erő ........................................... 31 tehetetlenségi nyomaték........................... 31, 32 teljes visszaverődés ......................................... 65 határszöge ................................................... 66 teljesítmény ..................................................... 29 tengelymetszet .................................................. 4 termikus egyensúly .......................................... 89 termodinamika 0. főtétele............................... 89 termográfia ...................................................... 54 többfotonos fluoreszcencia ............................. 85 tömeg............................................................... 26

12. Tárgymutató tömegközéppont .............................................. 27 tömegpont ....................................................... 22 törés ................................................................. 41 törési szög ........................................................ 42 törésmutató ..................................................... 42 abszolút ........................................................ 65 relatív ........................................................... 65 törőerő ............................................................. 69 transzducer ...................................................... 44 transzmisszió .................................................... 61

130

ultrahang.......................................................... 43 ultraibolya sugárzás ......................................... 54 univerzális gázállandó ...................................... 91 ütközés............................................................. 24 visszaverődés ................................................... 41 visszaverődési szög .......................................... 41 vonatkoztatási rendszer .................................. 22 WIEN-féle eltolódási törvény............................ 59 Young-modulus ................................................ 49 zárt rendszer .................................................... 24

1. Matematikai összefoglaló 1

Recommend Documents