1. Matematikai összefoglaló 1

1. Matematikai összefoglaló

1

Tartalomjegyzék 1.

2.

3.

4.

5.

Matematikai összefoglaló ............................................................................................................... 4 1.1.

Függvénykapcsolatok ............................................................................................................... 4

1.2.

Differenciálszámítás ................................................................................................................. 9

1.3.

Integrálszámítás ..................................................................................................................... 12

1.4.

Differenciálegyenletek ........................................................................................................... 13

1.5.

A további megkövetelt matematikai ismeretek felsorolása ..................................................... 14

Mérés és mértékrendszer .............................................................................................................. 15 2.1.

Mérés, mérési hiba ................................................................................................................ 15

2.2.

Mértékegységek, mértékegység-rendszerek........................................................................... 16

2.3.

SI-alapegységek...................................................................................................................... 18

2.4.

Kiegészítő SI-egységek............................................................................................................ 19

2.5.

SI-prefixumok......................................................................................................................... 20

Mechanikai alapismeretek I. ......................................................................................................... 22 3.1.

Kinematikai alapfogalmak ...................................................................................................... 22

3.2.

Statikai és dinamikai alapfogalmak, Newton-törvények .......................................................... 25

3.3.

Gravitáció, súlyerő ................................................................................................................. 28

3.4.

Energia, munka, teljesítmény, hatásfok .................................................................................. 30

3.5.

Körmozgás és forgómozgás .................................................................................................... 32

Mechanikai alapismeretek II. ........................................................................................................ 36 4.1.

Harmonikus rezgőmozgás ...................................................................................................... 36

4.2.

Harmonikus rezgések összeadódása, rezonancia .................................................................... 39

4.3.

Harmonikus hullámmozgás .................................................................................................... 41

4.4.

Hullámterjedés során fellépő jelenségek ................................................................................ 43

4.5.

Hanghullámok, ultrahang ....................................................................................................... 45

Mechanikai alapismeretek III. ....................................................................................................... 48 5.1.

Nyomás, hidrosztatika, felhajtóerő ......................................................................................... 48

5.2.

Deformálható testek mechanikája .......................................................................................... 50

5.3.

Súrlódás, közegellenállás ........................................................................................................ 52

1. Matematikai összefoglaló 6.

7.

8.

9.

2

Elektromágneses hullámok ........................................................................................................... 53 6.1.

Az elektromágneses spektrum................................................................................................ 53

6.2.

A fotonelmélet ....................................................................................................................... 58

6.3.

A hőmérsékleti sugárzás ......................................................................................................... 59

6.4.

A spektroszkópia alapjai ......................................................................................................... 61

6.5.

Ellenőrző kérdések és feladatok ............................................................................................. 64

Optika............................................................................................................................................ 65 7.1.

A geometriai optika alapjai ..................................................................................................... 65

7.2.

Az optikai lencsék képalkotása ............................................................................................... 67

7.3.

Az egyszerű nagyító képalkotása ............................................................................................ 71

7.4.

Lencsehibák ........................................................................................................................... 72

7.5.

A sík- és gömbtükrök képalkotása .......................................................................................... 74

7.6.

Az emberi szem és a látás, látáskorrekció ............................................................................... 76

7.7.

Ellenőrző kérdések és feladatok ............................................... Hiba! A könyvjelző nem létezik.

Mikroszkópia ................................................................................................................................. 78 8.1.

Az egyszerű mikroszkóp képalkotása ...................................................................................... 78

8.2.

Mikroszkópos kontrasztnövelő eljárások ................................................................................ 83

8.3.

A mikroszkópok feloldóképessége .......................................................................................... 88

8.4.

Ellenőrző kérdések és feladatok ............................................... Hiba! A könyvjelző nem létezik.

Hőtan, kalorimetria ....................................................................................................................... 90 9.1.

Hőmérséklet, hőmérsékletmérés ........................................................................................... 90

9.2.

Hőtágulás ............................................................................................................................... 92

9.3.

Hő és hőcsere, kalorimetria .................................................................................................... 93

9.4.

Ideális és reális gázok állapotváltozásai .................................................................................. 96

9.5.

Halmazállapot-változások....................................................................................................... 97

9.6.

A termodinamika főtételei ..................................................................................................... 99

10. Elektromosságtan és mágnességtan ............................................................................................ 102 10.1.

Az elektromos töltés......................................................................................................... 102

10.2.

Az elektromos tér ............................................................................................................. 103

10.3.

Az elektromos áram, áramkörök és áramköri elemek ....................................................... 105


3

11. Lézerek ........................................................................................................................................ 112 11.1.

A lézerműködés alapjai..................................................................................................... 112

11.2.

A lézerek típusai ............................................................................................................... 113


4

1. Matematikai összefoglaló Equation Chapter 1 Section 1

1.1.

Függvénykapcsolatok

Általánosságban elmondható, hogy a fizikai (és más természettudományos) összefüggések két vagy több mennyiség között teremtenek matematikai formában megfogalmazott kapcsolatot. Az ilyen összefüggések leírására általában függvényeket használunk. A továbbiakban az ún. egyváltozós függvényekkel foglalkozunk, a többváltozós függvényekre az alfejezet végén térünk ki. Az egyváltozós függvények két mennyiség közötti leképezések, amelyek valamely értelmezési tartomány (a független változók halmaza, „x értékek”) minden eleméhez az értékkészlet (a függő változók halmaza, „y értékek”) pontosan egy elemét rendelik hozzá. Ennek megfelelően függvénynek tekintjük egy adott év napjaihoz az aznapi középhőmérsékletet hozzárendelő leképezést, hiszen minden naptári naphoz csak egyetlen hőmérsékletértéket rendelünk, azt pedig megengedi a definíciónk, hogy ugyanazon értéket több naphoz is hozzárendeljük. Ezzel szemben nem nevezhető függvénynek egy olyan leképezés, amely egy egyetemi évfolyam minden tanulójához hozzárendeli egy, az adott évben őt tanító egyetemi oktatót, ugyanis ilyenkor egy-egy tanulóhoz több oktató is hozzárendelhető, tehát a leképezésünk nem egyértelmű.

A függvények matematikailag számos formában megadhatók, mi a továbbiakban az

y = f  x formát

fogjuk

használni.

A

következőkben

néhány

(1.1) példán

keresztül

áttekintjük

a

természettudományokban leggyakrabban előforduló függvénytípusokat. A lineáris (vagy elsőfokú) függvény két mennyiség közötti egyenes arányosságnak felel meg. Ebben az esetben a független változót kétszeresére, háromszorosára stb. növelve (illetve felére, harmadára stb. csökkentve) a függő változó ugyancsak kétszeresére, háromszorosára nő (illetve felére, harmadára stb. csökken). A lineáris függvény

y  a x b

(1.2)

általános alakban adható meg, ahol az a konstans a függvény meredeksége, a b konstans pedig a függvény tengelymetszete. A meredekség megmutatja, hogy a független változó 1 egységnyi növekedésekor mennyivel változik a hozzárendelt függvényérték. Ha a meredekség pozitív érték, akkor a függvény növekvő, ha pedig negatív érték, akkor csökkenő. Amennyiben egy lineáris függvény


5

meredeksége zérus, akkor konstans függvényről beszélünk, azaz a függvényérték állandó, nem függ a független változótól (ennek a függvénynek a képe az x tengellyel párhuzamos egyenes). A tengelymetszet megadja, hogy milyen értéket vesz fel a függvény az x  0 helyen. Ha két mennyiség (zérus tengelymetszet mellett) egyenesen arányos egymással, akkor a hányadosuk állandó. Lineáris függvényre példa a legtöbb egyenáramú áramköri komponensre érvényes Ohm-törvény, amely egy fogyasztón átfolyó I áramerősség és a rajta eső U feszültség között teremt kapcsolatot. Az Ohm-törvény kimondja, hogy az (ohmikus) fogyasztón eső feszültség egyenesen arányos a fogyasztón átfolyó áramerősséggel, és a két mennyiség közötti arányossági tényezőt nevezzük a fogyasztó R ellenállásának: U  RI .

(1.3)

Látható, hogy ebben a függvénykapcsolatban a függvény meredeksége az elektromos ellenállás, amely (egy adott fogyasztóra nézve, állandó környezeti feltételek mellett)állandó érték, míg a függvény tengelymetszete zérus (azaz ha a fogyasztón nem folyik át áram, nem esik rajta feszültség sem). Vegyük észre, hogy az egyenes arányosság nem feltétlenül jelenti azt, hogy a független változó növelésekor a függő változónak is növekednie kell, hiszen ha a meredekség negatív, a két mennyiség változása ellenkező értelmű.

Az elsőfokú függvények képezik a hatványfüggvények (vagy polinomiális függvények) legegyszerűbb típusát. Hatványfüggvényeknek nevezzük az

y  a0  x0  a1  x1  a2  x 2  a3  x3  ...

(1.4)

általános alakú függvényeket, ahol az ai együtthatók pozitív, negatív, illetve zérus értékű állandók. A hatványfüggvény legmagasabb fokú tagjának megfelelően beszélhetünk nulladfokú (konstans), elsőfokú (lineáris), másodfokú (kvadratikus), harmadfokú (köbös) stb. függvényekről. Másodfokú függvény szerint függ például a körmozgást fenntartó, kör középpontja felé mutató Fcp. centripetális erő nagysága a körmozgást végző test ω szögsebességétől: 2

2

Fcp .  mr  ~  ,

(1.5)

ahol m a test tömege és r a körpálya sugara (állandók). A fenti függvénykapcsolatban a ~ jel az arányosság jele, amellyel általában akkor élünk, ha az állandó(k) konkrét értéke lényegtelen, csak a függvénykapcsolat jellegét szeretnénk szemléltetni. Ezzel a megfogalmazási móddal a fenti (1.3)Ohm-törvény U ~ I alakban is felírható. Magasabb fokú összefüggésekkel viszonylag ritkán találkozunk: köbös összefüggés szerint növekszik például egy kocka V térfogata az a élhossz növelésével (V ~ a3), továbbá a STEFAN–BOLTZMANN-törvény értelmében negyedik hatvány szerint növekszik egy abszolút fekete test által kisugárzott ε energiasűrűség a test T abszolút hőmérsékletével (ε ~ T4). A magasabb fokú polinomfüggvények jelentősége abban rejlik, hogy bármilyen bonyolultabb függvénykapcsolat tetszőlegesen jól közelíthető kellően magas fokszámú hatványfüggvénnyel. Ezt gyakran ki is használják a tapasztalati (empirikus) függvénykapcsolatok (pl. anyagi állandók függvényeinek) leírásakor. Számos fizikai összefüggésre igaz, hogy a hétköznapi tartományokban lineárisnak tekinthetők, azonban szélesebb tartományban nem hagyhatók figyelmen kívül a magasabb rendű tagok. Jó példa erre az elektromos ellenállás hőmérsékletfüggése, amely csak kicsiny, néhány 100 °C-os hőmérséklet-tartományban lineáris, ennél szélesebb tartományban első- és másodfokú tagokat egyaránt tartalmazó függvénnyel szokás közelíteni. Ugyanakkor az is igaz, hogy a nemlineáris (egyenes helyett görbe


6

vonalalakú függvénnyel reprezentálható) függvények kellően kicsiny tartományokon belül lineáris függvénnyel közelíthetők (azaz a magasabb rendű tagjaik elhanyagolhatók).

A hatványfüggvények negatív kitevőjűek is lehetnek, a legegyszerűbb negatív kitevőjű hatványfüggvény a reciprokfüggvény. Az

y

a x

(1.6)

alakú reciprokfüggvény (a értéke állandó) a két mennyiség közötti fordított arányosságnak felel meg. Ebben az esetben a független változót kétszeresére, háromszorosára stb. növelve (illetve felére, harmadára stb. csökkentve) a függő változó felére, harmadára stb. csökken (illetve kétszeresére, háromszorosára stb. nő). Ha két mennyiség fordítottan arányos egymással, akkor szorzatuk állandó. Az ideális gáztörvény értelmében például egy adott n anyagmennyiségű ideális gáz V térfogata – állandó T hőmérsékleten –fordítottan arányos a gáz p nyomásával:

V 

nRT 1 ~ , p p

(1.7)

ahol R az univerzális gázállandó. Érdemes megfigyelni, hogy a fordított arányosság úgy is értelmezhető, mint egy egyenes arányosság az adott mennyiség reciprokával. A fizikai mennyiségek hányados formájában felírt definíciói időnként szemléletesebben értelmezhetők, ha úgy tekintünk rájuk, mint a számlálóban lévő mennyiség nevezőben szereplő mennyiség(ek) szerinti normált értékére. Példaként tekintsük a lineáris hőtágulást leíró összefüggésnek az α hőtágulási együtthatóra átrendezett alakja:



 o T

,

(1.8)

ahol Δℓ az eredetileg ℓo hosszúságú test hosszúságának megváltozása a ΔT hőmérséklet-változás hatására. Az (1.8) összefüggés szóban úgy is megfogalmazható, hogy a hőtágulási együttható megadja az egységnyi hosszúságú testnek (ℓo = 1 m) az egységnyi hőmérséklet-változás (ΔT = 1 °C vagy 1 K) hatására bekövetkező hosszúságváltozását.

Az exponenciális függvényekre jellemző, hogy növekedésük üteme a függvény minden pontjában arányos a függvény adott pontban felvett értékével. Az exponenciális függvények általános alakja (az esetleges konstans szorzótól eltekintve)

y  ax ,

(1.9)

ahol a egy pozitív állandó. Számos fizikai folyamatot negatív kitevőjű exponenciális függvény ír le (lásd például az (1.31) összefüggést), amelynek képe az előző függvényalak függőleges koordinátatengelyre történő tükrözésével kapható. Matematikai megfontolásokból kitüntetett szerepet kap az az exponenciális függvény, amelynek alapja egy végtelen tizedes tört, az ún. EULER-féle szám, az e (e ≈ 2,718…). Ha külön nem nevezzük meg az exponenciális függvény alapját, akkor általában az y  e függvényt értjük alatta.

x


7

Az exponenciális függvények inverzei az

y  log a x

(1.10)

alakú logaritmusfüggvények. Az (a alapú) logaritmus szemléletesen azt mutatja meg, hogy hányszor kell az a alapot önmagával megszorozni ahhoz, hogy a logaritmált számot kapjuk. Az e alapú logaritmusfüggvényt természetes alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük, és a log e jelölés helyett az

ln jelölést használjuk. Pozitív exponenciális függvény írja le például az osztódó sejttenyészetek méretének időbeli növekedését. Negatív kitevőjű exponenciális függvényekkel jellemezhető többek között a radioaktív sugárzások, az elektromágneses sugárzások (fény, röntgensugárzás) és az ultrahang közegbeli gyengülése. Ha a közegbe belépő Io intenzitású sugárzás d hosszúságú utat tesz meg a közegben, a kilépő I intenzitás:

I I e

x

o

,

(1.11)

aholµ egy (a sugárzás és a közeg tulajdonságaitól függő) elnyelési állandó. Logaritmikus összefüggésre az ún. NERNST-egyenletet hozhatjuk fel példaként. A sejtek külső és belső térrésze között mérhető potenciálkülönbség, azaz feszültség egyik összetevője az ún. NERNST-potenciál (E), amely a ci intracelluláris és a ce extracelluláris ionkoncentrációk hányadosának logaritmusfüggvénye szerint változik:

E 

RT c log i , zF ce

(1.12)

ahol R az univerzális gázállandó, T az abszolút hőmérséklet, z az ion töltésszáma és F a Faraday-állandó.

Ugyancsak fontos szerepet töltenek be az elemi geometriából származtatott trigonometrikus függvények (szögfüggvények). Fontos jellemzőik, hogy mindegyikük periodikus, a szinusz-, tangens- és a kotangensfüggvény

páros,

a

koszinuszfüggvény

pedig

páratlan

függvény.

A

szinusz-

és

koszinuszfüggvényeket összefoglaló néven harmonikus függvényeknek is nevezzük. Szinuszfüggvény szerint változik például a t idő függvényében a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont egyensúlyi helyzettől mért y kitérése:

y  A sin ( t   ) ,

(1.13)

valamint a gyorsulása:, 2

a  A sin ( t   ) ,

(1.14)

ahol ω a rezgőmozgás körfrekvenciája, valamint φ a rezgőmozgás kezdőfázisa. A tömegpont v sebességének időfüggését ugyanakkor koszinuszfüggvény írja le, amely π/2 fázissal el van tolódva a kitéréshez képest (hiszen a test sebessége az egyensúlyi helyzetben, az y = 0 kitérésnél maximális, és a maximális kitérésnél zérus):

v  A cos ( t   ) .

(1.15)


8

A harmonikus függvények jelentősége többek között abban rejlik, hogy a FOURIER-tétel értelmében minden periodikus függvény felírható megfelelően súlyozott, különböző frekvenciájú harmonikus komponensek összegeként. Az f(t) időbeli függvény ilyen felbontása 

f  t   A1 sin  t   A2 sin  2t   ...   An sin  n  t 

(1.16)

n 0

alakú, ahol Ai az egyes komponenseket súlyozó konstansok,   2 / T pedig a T periódusidejű jel alapkörfrekvenciája. Az ilyen komponensekre történő felbontás a FOURIER-transzformáció nevű matematikai művelettel történik. Az inverz FOURIER-transzformáció fordított irányú átalakítást végez: arra szolgál, hogy a különböző frekvenciájú komponenseket tartalmazó, ún. frekvenciaspektrumból megadja az időbeli jelet. A FOURIER-transzformáció igen fontos szerepet kap a jelfeldolgozás és a zajszűrés területén. Ennek megértéséhez képzeljünk el egy igen egyszerű problémát: a szív elektromos tevékenységét jellemző EKG-jelet rögzítünk, amelyre zavaró hatásként rátevődnek a páciens akaratlan mozgását, illetve légzését kísérő izomtevékenységekből eredő jelek, megnehezítve az EKG-görbe kiértékelését. Az előbbiek gyors, szabálytalan elektromos impulzusok, az utóbbiak lassú, periodikus jelek. A szívtevékenység könnyen kinyerhető abból kiindulva, hogy az egészséges ember szíve percenként 60–100 szívverést produkál, azaz az EKG-görbe várható alapfrekvenciája 1–2 Hz. Ha tehát a rögzített jelet FOURIER-transzformáljuk, majd a kapott frekvenciaspektrumból kiszűrjük a kis frekvenciájú (pl. 0,7–0,8 Hz alatti), valamint a nagyfrekvenciájú (10–20 Hz feletti) komponenseket, majd az így módosított spektrumot alakítjuk vissza inverz FOURIER-transzformáció segítségével időbeli jellé, könnyedén kiszűrhetjük a zavaró hatásokat. Az (1.16)egyenletben több magyarázatot igénylő matematikai jelölés is látható. Mindenekelőtt meg kell említeni, hogy a  jelet itt és a továbbiakban a „definíció szerint egyenlő”reprezentálására használjuk, azaz ilyenkor a hármas egyenlőségjel két oldalán szereplő mennyiségek között pusztán konvención alapuló kapcsolat van (pl. elnevezés, tömörített jelölés). Másrészt fontos bemutatni az összegzéseket tömörítő „szumma” jelet (Σ), valamint a későbbiekben előforduló, szorzásokat tömörítő „produktum„jelet (Π). Mindkét szimbólum ugyanolyan logika szerint egyszerűsíti a matematikai lejegyzést: a szimbólum alatt látható betűt futó indexnek nevezzük, amelynek kezdő értéke a szimbólum alatti egyenlőségjel jobb oldalán, végső értéke pedig a szimbólum fölött található. Végtelen sorok esetén a kezdő és végső értékek egyike vagy mindegyike  is lehet. Ha a szumma vagy a produktum jel segítségével tömörített kifejezést ki akarjuk bontani, a jel argumentumában szereplő kifejezést kell önmagával oly módon összeadni (a szumma esetén), illetve megszorozni (a produktum esetén), hogy az egyes tagokban, illetve tényezőkben a futó index egyesével növekedve felvegye a kezdő és végső értékek közötti értékek mindegyikét. Példaként nézzük meg az alábbi kifejezések kibontását: 3

 i 0

i  log x y

i



0  log x y

0



1  log x y

1



2  log x y

2



3  log x y

3



log x y



2  log x y

2



3  log x y

3

,

(1.17)

illetve

  3n2 x   3 12 x  30 2 x  31  2 x    –3 2 x   2 x  32 x  . 1

(1.18)

n  1

A természettudományokban igen ritka az az eset, hogy egy fizikai mennyiség pusztán egyetlen másik paramétertől függ. Ha visszatekintünk az előző példákra, látható, hogy sok egyenletben a kiemelt függő és független változókon kívül további paraméterek is szerepeltek, amelyek értékét eddig hallgatólagosan


9

állandónak vettük. Ha az efféle megszorításoktól eltekintünk, ún. többváltozós függvényekkel leírható összefüggéseket kapunk, amelyek függvényértékét több paraméter együttesen határozza meg. Hasznos, ha a fizikai összefüggéseket leíró képletek alapján szavakban is meg tudjuk fogalmazni az egyes változók egymástól való függését. Tekintsük erre példaként az (1.12) NERNST-egyenletet. Az összefüggés értelmében az E NERNST-potenciál egyenesen arányos a T abszolút hőmérséklettel, valamint a ci intracelluláris és a ce extracelluláris koncentrációk hányadosának logaritmusával, továbbá fordítottan arányos az ionok z töltésszámával. (Ökölszabályként megjegyezhető, hogy ha egy fizikai mennyiség egy tört alakjában felírható, egytagú kifejezéssel egyenlő, akkor egyenként egyenesen arányos a számlálóban lévő paraméterekkel, illetve egyenként fordítottan arányos a nevezőben lévő paraméterekkel. )

1.2.

Differenciálszámítás

Sok esetben előfordul, hogy egy fizikai folyamat lezajlása nem közvetlenül egy fizikai változótól, hanem annak időbeli vagy térbeli változási sebességétől függ. Ilyen esetekben hasznos, ha az időbeli változást leíró f(t), illetve a térbeli változását leíró f ( x, y,z )  f ( r ) függvényekből meg tudjuk határozni ezeknek a paramétereknek az időbeli vagy térbeli változási sebességét. Többek között ezt teszi lehetővé az ún. differenciálszámítás. A továbbiakban a szemléletesség kedvéért csak az idő- és térváltozók szerinti differenciálást tárgyaljuk, a más paraméterek szerinti differenciálhányados fogalmát az 1.4 fejezetben említjük majd meg. Egy függvény differenciálhányadosa (vagy deriváltja) egy olyan függvény, amely minden pontjában megadja az eredeti függvényhez az adott pontban húzható érintő meredekségét. (A függvény változási gyorsaságát ugyanis – geometriai értelemben – a függvény meredeksége reprezentálja. ) Egy f(t) idő szerinti változást leíró függvény meredeksége (differenciálhányadosa) a t időpillanatban a

lim t 0

f ( t  t )  f  t  t

(1.19)

kifejezéssel adható meg, ahol a lim szimbólum a határérték jele (azaz jelen esetben a Δt időkülönbség értékét kell minden határon túl csökkenteni, azaz „zérushoz tartatni”). Az f(t) függvény idő szerinti differenciálhányadosának számos jelölése van, mi a továbbiakban a

d df (t )  f (t )   dt dt

(1.20)

szimbólummal fogunk élni (melynek kiolvasása: „dé-ef-té per dé-té”). A differenciálhányados-függvényt tovább deriválva képezhetők az ún. magasabb rendű differenciálhányadosok. A fizikában a másodrendű


10

differenciálhányadosnak (azaz egy függvény második deriváltjának) van még fontos szerepe, amelynek jele:

d  df (t )  d 2 f (t ) ,   dt  dt  dt 2

(1.21)

(kiolvasva „dé-duo-ef-té per dé-té-négyzet”). Az időbeli differenciálhányados képzését legkönnyebben az átlag- és pillanatnyi sebesség, illetve gyorsulás példáján keresztül érthetjük meg. Ha egy adott időtartam alatt megtett utat elosztjuk az út megtételéhez szükséges idővel, akkor megkapjuk az adott időtartamra vonatkozó átlagsebességet. Ahogy csökkentjük ezt a választott időtartamot, egyre jobban közelítünk a test adott időpillanatra vonatkozó pillanatnyi sebességéhez (azaz ahhoz a sebességértékhez, amellyel a test tovább haladna, ha az adott pillanatban minden rá ható erő megszűnne, ez praktikusan megegyezik azzal a sebességértékkel, amelyet a „kilométeróra mutat”). A pillanatnyi sebesség tehát matematikai értelemben a test pozíciójának időfüggését leíró függvény idő szerinti (első) differenciálhányadosa. Hasonlóképp a test pillanatnyi gyorsulása a test sebességének idő szerinti első, illetve a test pozíciójának idő szerinti második differenciálhá nyadosa. Mivel egyrészt a differenciálhányados a függő és a független változók megfelelő megváltozásainak hányadosából származtatható, másrészt a méréstechnikában a végtelenül kis mennyiségek nem értelmezhetők, általában nem követünk el túl nagy hibát azzal , ha a differenciálhányadosokat tartalmazó összefüggésekben az infinitezimális megváltozások d jeleinek helyére a Δ makroszkopikus (de kicsiny) megváltozások szimbólumát képzeljük. A differenciál- és integrálszámítás szabályait jegyzetünkben nem tárgyaljuk, hiszen ez túlmutat a kurzus keretein, és az érdeklődő olvasók bármelyik felsőbb matematikai tankönyvben megtalálhatják ezeket. Azonban ha abból indulunk ki, hogy a differenciálhányados a függvény adott pontbeli meredekségének (azaz az adott ponthoz húzott érintő és a vízszintest tengely által bezárt szög tangensének) felel meg, könnyen kikövetkeztethető, hogy a konstans függvények differenciálhányadosa minden pontban zérus, az elsőfokú (lineáris) függvények deriváltja pedig konstans függvény. Fizikai szempontból fontos, hogy a polinomfüggvények deriváltjai eggyel alacsonyabb fokú polinomfüggvények, az exponenciális függvényé pedig ugyancsak exponenciális függvény.

Az idő szerinti differenciáláshoz hasonló módon képezhetők a helyváltozók (x, y vagy z) szerinti differenciálhányadosok.

Egy

fizikai

paraméter

valamely

helykoordináta

szerinti

első

differenciálhányadosát a szóban forgó változó adott irány menti gradiensének is nevezzük. A valamely irány menti gradiens szemléletesen megadja, hogy a tér kiválasztott iránya mentén, az adott pont körül elhelyezkedő két, egymástól egységnyi távolságban lévő pontja között átlagosan mennyit változik a szóban forgó mennyiség. (Természetesen itt is figyelembe kell venni, hogy a számlálóban és nevezőben szereplő megváltozások infinitezimálisak, azaz szigorú értelemben a gradiens egy pontra és nem szakaszra vonatkozik). A többváltozós függvények bármely változójuk szerint deriválhatók – ilyenkor azokat a változókat, amelyek

szerint

nem

deriválunk,

konstansnak

tekintjük.

Az

így

előálló,

ún.

parciális

differenciálhányadosban a differenciálhányados d betűjelei helyére ∂ szimbólumokat írunk, ez azonban pusztán annyit jelöl, hogy a derivált függvény többváltozós. Egy fizikai mennyiség háromdimenziós


11

térbeli változását leíró f ( r )  f ( x, y,z ) függvény x, y és z irányok menti térbeli változási sebességét, azaz gradiensét tehát a

f  r  f  r  f  r  , , x y z

(1.22)

parciális differenciálhányadosok adják meg. A gradiensek azért fontosak a fizikában (és ezen belül az élettudományok fizikájában), mert ezek képezik számos transz portfolyamat hajtóerejét. FICK I. törvénye szerint például a diffundáló részecskék adott (pl. x) irány menti Jx transzportsűrűsége (azaz az áramlási keresztmetszet egységnyi felületén, időegység alatt átáramlott anyag mennyisége) az előjeltől eltekintve egyenesen arányos a részecskék adott irány menti koncentrációgradiensével:

J x  D

c x

,

(1.23)

ahol a D arányossági tényezőt diffúziós állandónak nevezzük. (A negatív előjel azt mutatja, hogy a diffúziós áram mindig a koncentrációcsökkenés irányába mutat. )

A fizikában fontos szerepet tölt be három ún. differenciáloperátor, amelyek skalár- és vektormezőkön (azaz a háromdimenziós tér pontjaihoz egy-egy skalárt, illetve vektort rendelő függvényeken) végrehajtandó differenciálási műveleteket tömörítenek. Ezek könnyen megérthetők már az eddigi ismeretek alapján is, azonban a speciális jelöléseik áttekintése érdekében most röviden sorra vesszük ezeket (DESCARTES-féle derékszögű koordináta-rendszerben tárgyalva). Az irány menti gradiensről már korábban szót ejtettünk, ennek általános esete a gradiensvektor, amely egy skalármező egyes pontjaiban a három irány ( e x , e y , e z ) menti gradiensből áll össze:

 f (r )     x  f (r ) f (r ) f (r )  f (r )  . grad f (r )  f (r )  ex  ey  ez   x y z y     f (r )     z 

(1.24)

Az (1.24) egyenletben szereplő  („nabla”) szimbólum a gradiens jele. A gradiens szemléletes értelmezése fentebb olvasható. A divergencia egy vektormező egyes pontjaihoz a három irány menti gradiens összegét, azaz egy skalárt rendel:

div v(r ) 

vx v y vz   x y z

.

(1.25)

A divergencia a legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis térfogatból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha forráserősségnek is nevezik.


12

A rotáció a következő vektort rendeli egy vektormező egyes pontjaihoz:

 vz (r ) v y (r )     z   y  v (r ) vz (r )  rot v(r )    v(r )   x  .  z  x    v y (r ) vx (r )     y   x

(1.26)

A rotáció szemléletes értelmezéséhez tekintsünk egy olyan vektormezőt, amely egy folyadék- vagy gázáram minden egyes pontjában megadja a közeg sebességét. Képzeletben rögzítsünk egy kicsiny, érdes felületű golyót a közegben, amelyet az áramló közeg megforgat. Ekkor a (jobbkézszabály szerinti irányítású) forgástengely a mező adott pontbeli rotációjának irányába mutat, a forgás szögsebessége pedig a pontbeli rotáció nagyságának fele.

1.3.

Integrálszámítás

Az integrálszámítás — némiképp leegyszerűsítve — a differenciálszámítás inverz műveletének tekinthető: egy függvény ún. határozatlan integrálja megadja azon függvényeket, amelyek deriváltja a kérdéses (ún. primitív) függvény. Míg a differenciálhányados két különbség hányadosának határértékeként fogható fel, addig az integrálszámítás a szorzásból és az összeadásból származtatható határértékképzéssel. Egy függvény ún. határozott integrálja a függvénygörbe alatti terület nagyságát adja meg az integrálás határaiként megjelölt két pont között. (Az x tengely feletti területek pozitív előjelűek, míg a tengelyalatti területek negatív előjelűek. ) Osszuk fel az x tengely a és b közé eső részét Δx hosszúságú, egyenlő szakaszokra, majd határozzuk meg az f(x) függvénynek az egyes szakaszok középpontján felvett függvényértékeit. Ezt követően minden egyes f(xi)függvényértéket szorozzunk meg a hozzá tartozó szakasz hosszával, így egyegy téglalap területét kapjuk meg. Ha ezeknek a téglalapoknak a területeit összeadjuk, a függvénygörbe alatti terület egy közelítését kapjuk meg, amely annál pontosabb lesz, minél több szakaszra bontjuk fel az x tengelyt. A felosztást végtelenül finomítva az f(x) függvény a és b határok közötti határozott integrálját kapjuk: b

b

i a

a

lim  f ( xi )  x   f ( x)dx .

x 0

(1.27)

Az (1.27) egyenlet jobb oldalán szereplő jelölés kiolvasása „integrál a-tól b-ig ef-iksz-dé-iksz” (ne feledkezzünk meg arról, hogy a dx jelölés az „integráljelhez tartozik”, azt mutatja, hogy melyik változó szerint végezzük az integrálást).


13

A fenti értelmezés rámutat arra, hogy az integrálszámítás hasznos eszköz a terület- és térfogatszámítások során, de fontossága abban is rejlik, hogy lehetővé teszi két egymástól függő mennyiség összeszorzását. Egy Ferő által végzett W munka például egyenlő az erő nagyságának és a test erő irányába eső Δs elmozdulásának szorzatával. Ekkor azonban hallgatólagosan feltételezzük, hogy az erő nagysága a test mozgása során állandó. Ha az F(s) erő nagysága az s út mentén pontról pontra változik, az erő által végzett munka a következő integrállal adható meg:

W 

s2



F ( s ) ds ,

(1.28)

s1 ahols1 és s2 a Δs szakasz végpontjai.

1.4.

Differenciálegyenletek

A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény, valamint ennek deriváltja(i) között teremt kapcsolatot. A differenciálás

jelentőségét

ismerve

könnyű

belátni,

hogy

a

problémák,

összefüggések

differenciálegyenletek segítségével történő megfogalmazása alapvető szerepet tölt be többek között a fizikában, a mérnöki tudományokban és a közgazdaságtanban. Az egyváltozós differenciálható függvényekre felírható differenciálegyenleteket közönséges differenciálegyenleteknek nevezzük, amelyek rendjét az egyenletben előforduló legmagasabb rendű derivált adja meg. A parciális deriváltakat tartalmazó differenciálegyenleteket parciális differenciálegyenleteknek nevezzük. A

differenciálegyenletekben

sok

esetben

nemcsak

idő-

és

térváltozók

szerinti

differenciálhányadosok fordulnak elő. Ezek az idő- és térváltozók szerinti deriváltakhoz hasonlóan értelmezhetők: azt jellemzik, hogy a független változó kicsiny megváltoztatása a függő változó milyen mértékű megváltozását eredményezik. Minél nagyobb a derivált értéke, annál meredekebb a függvény menete, azokban a pontokban pedig, ahol a derivált értéke zérus, a függvénynek szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) van. A C hőkapacitás például megadja, hogy mennyi Q hőt kell közölni egy testtel ahhoz, hogy annak T hőmérséklete 1 K-nel emelkedjen. A precízebb megfogalmazás szerint azonban a hőkapacitás a testtel (állandó nyomáson vagy térfogaton) közölt hőnek a test hőmérséklete szerinti differenciálhányadosa, amely tágabb hőmérséklet-tartományt tekintve nem állandó érték:

C

Q . T

(1.29)

A differenciálegyenletek megoldását nem célunk megtanítani, viszont szeretnénk felhívni a figyelmet arra, hogy a függvényeket és a differenciálhányadosokat tárgyaló fejezetekben leírtak segítségével a


14

differenciálegyenleteken keresztül megfogalmazott törvényszerűségek is könnyedén szavakba foglalhatók. Példaként tekintsük a radioaktív atomok bomlását, amelyet a

dN   N dt

(1.30)

differenciálegyenlet ír le. Az egyenletben N a még elbomlatlan részecskék száma, t az idő és λ az ún. bomlási állandó. Ennek az egyenletnek a megoldása az

N  Noe

 t

(1.31)

függvény, ahol No az elbomlatlan részecskék száma a t = 0 időpillanatban. Az (1.30) egyenlet azt mondja ki, hogy az egységnyi idő alatt elbomló részecskék száma (az ún. aktivitás) arányos a még el nem bomlott részecskék számával (azaz az aktivitás időben egyre csökken). A negatív előjel azt mutatja, hogy az elbomlatlan részecskék száma időben csökken. Az (1.31)egyenlet meg is adja ezt a csökkenési ütemet: az elbomlatlan részecskék száma időben csökkenő exponenciális függvény szerint változik, amelynek lefutási gyorsaságát a λ bomlási állandó határozza meg.

1.5.

A további megkövetelt matematikai ismeretek felsorolása

A továbbiakban feltételezzük a középiskolai alapvető matematikai ismeretek meglétét. Az esetleges hiányosságok pótlását kívánja segíteni az alábbi lista, amely gyors felelevenítésre használható hivatkozásokat is tartalmaz. 

elemi algebrai műveletek

(Wikipédia: elemi algebra)



egyenletek megoldása

(Wikipédia: elemi algebra)



műveletek törtekkel

(Sulinet: műveletek törtekkel)



vektorműveletek

(Mozaik Kiadó: vektorműveletek)



számok normálalakja

(Wikipéldia: normálalak)



trigonometria

(Wikipédia: trigonometria)



százalékszámítás

(Wikipédia: százalékszámítás)


2. Mérés és mértékrendszer 2.1.

15

Equation Section 2

Mérés, mérési hiba

A mérés azoknak a tervszerűen végrehajtott gyakorlati tevékenységeknek az összessége, amelyekkel egy mennyiség nagysága, esetleg mennyiségek viszonya határozható meg. A mérés történhet közvetlenül vagy közvetett módon. A közvetlen mérésnél az objektum valamilyen tulajdonságát összehasonlítással kapjuk meg. A közvetett mérés során ugyanakkor az objektum és a műszer valamilyen kölcsönhatásából, gyakran kalibrálással kapjuk meg a mérni kívánt mennyiség értékét. A mérés eredményeként a választott mértékegységben kifejezett számértéket, az ún. mérőszámot kapjuk. Közvetlen mérés például a hosszúság méterrúddal történő mérése, ilyenkor a mérendő hosszúságot a méterrúd (illetve annak beosztásai között lévő szakaszok) hosszával hasonlítjuk össze. Ezzel szemben például az elektromos áram erősségét mérő DEPREZ-rendszerű mérőműszerben a tekercsdrótot átjáró elektromos áram mágneses teret kelt a tekercs körül,amely a műszerbe épített állandó mágnessel és a mutatót rögzítő rugóval kölcsönhatva kitéríti a mérőműszer mutatóját. A műszer áramerősségre kalibrált skálája tulajdonképpen a mutató kitérését jeleníti meg, amely a rugóra ható erővel arányos, ez azonban a vezető körül kialakult mágneses tér erősségével, ezen keresztül pedig az áram erősségével korrelál.

A méréseket megismételve általában nem kapunk azonos mérési eredményeket, ugyanis a mérési eredményre kihatással van a mérés folyamata és körülményei, amelyek sohasem reprodukálhatók tökéletesen, ráadásul a mérendő érték is változhat. Ezeket a fluktuációkat jellemzi a mérési hiba. Jelölje a mérni kívánt mennyiség valóságos (általában számunkra ismeretlen) értékét x , a mérési eredményt pedig xm . A mérés x abszolút hibája a mért érték és a valóságos érték különbsége:

x  xm  x ,

(2.1)

míg a  x relatív hiba az abszolút hiba és a valóságos érték hányadosa (illetve ennek százalékban kifejezett értéke):

x

x 100%  . x

(2.2)

A gyakorlatban ez utóbbi mennyiség általában hitelesebb módon jellemzi a mérés pontosságát, hiszen a mérési bizonytalanságot összeveti a mérendő mennyiség nagyságrendjével. A mérési hibákat eredetük szerint két nagy csoportba osztjuk. A véletlen (statisztikus) hiba következtében a mérési eredmények a valóságos (átlagos) értéktől mindkét irányban azonos


16

valószínűséggel, véletlenszerűen térnek el (általában Gauss-eloszlást, ún. haranggörbét követve). Nagyszámú mérés átlagát véve a véletlen hiba tetszőlegesen kicsinyre csökkenthető. A szisztematikus (rendszeres) hiba következtében a mérési eredmények a valóságos értéktől eltérő érték körül ingadoznak. A szisztematikus hiba oka általában a hibás vagy rosszul beállított műszer (pl. az ún. nullhiba, amikor zérus érték helyett nem zérus értéket mutat a műszer, és ez az eltolódás az összes mérést terheli), de efféle hibát okoz a mérést befolyásoló külső tényezők figyelmen kívül hagyása vagy nem megfelelő figyelembe vétele. Véletlen hibának tekinthető például az egymást követő méréseknél tapasztalható bizonytalanság, a különböző irányokból történő leolvasás, a mutató remegéséből adódó leolvasási bizonytalanság, a mérendő mennyiségek természetes (pl. élettani) variabilitása. Ezeknél a hiba mértéke és előjele nem jósolható meg, összességében azonban statisztikai eszközökkel kezelhető. Szisztematikus hibát eredményezhet a mérés előtti „nullázás” elmulasztása (például tömegmérésnél), a megnyúlt mérőszalagok használata, a nem megfelelő skálázású e szközök alkalmazása (például több mértékegységet használó skálák esetén a nem megfelelő osztás használata). A szisztematikus hibák sok esetben ugyanakkora mértékben tolják el a mérési eredményeket a valós értéktől, így a hiba meghatározását követően akár utólag is kön nyedén kompenzálhatók.

A mérés megbízhatóságát elsősorban a mérőműszer határozza meg a következő jellemzőin keresztül. Az érzékenység megadja, hogy mekkora az a legkisebb változás, amely még kimutatható az adott mérőműszerrel. A pontosság arról tájékoztat bennünket, hogy maximálisan mennyire térhet el a mért érték a valódi értéktől. A reprodukálhatóság ugyanazon mennyiség többszöri mérésekor a kapott mérési eredmények maximális eltérését adja meg, ezáltal a precizitást számszerűsíti.

2.2.

Mértékegységek, mértékegység-rendszerek

A mértékegység valamely fizikai mennyiség jól meghatározott értéke, amelyet konvenció alapján és/vagy törvényi rendelkezéssel rögzítettek, és amely az adott mennyiség mérésekor viszonyítási alapul szolgál. Néhány alapvetőnek tekinthető természeti állandó kivételével a mértékegységek önkényesek: egyéni megfontolásokból kiindulva határozták meg egy mennyiség viszonyítási alapját, majd megállapodtak az adott egység használatában. Idővel azonban a közösségek lépéseket tettek a felé, hogy közös standardokat alakítsanak ki. Mára a mértékegységeket nemzetközi szervek felügyeletével, jórészt természeti jelenségeken keresztül rögzítették. Mértékegységrendszernek nevezzük a mértékegységek azon halmazát, amelyek segítségével bármely mérhető, tudományos szempontból jelentőséggel bíró mennyiség leírható. A modern mértékegységrendszerekben alapegységeket jelöltek ki, amelyek segítségével az összes többi


17

mértékegység (származtatott egységek) kifejezhető, míg a korábbi mértékegységrendszerekre az effajta belső összefonódás és önkonzisztencia nem feltétlenül volt jellemző. A Mértékegységek Nemzetközi Rendszere (röviden SI-mértékegységrendszer, a francia „Système international d'unités” kifejezésből) a metrikus rendszer modern formája, amely 7 alapegységen, valamint a 10-es számra vonatkozó konvenciókon alapul. A mindennapi életben és a tudományban egyaránt ez a legszélesebb körben használt mértékegységrendszer. Az SI-mértékegységrendszert 1960ban alkották meg a korábbi méter–kilogramm–szekundum rendszerből. Az SI-mértékegységrendszer dinamikusan változik: ahogyan a méréstechnológia fejlődik, valamint a mérések pontossága javul, a definíciókat a nemzetközi megállapodások időnként módosítják. Az SI-rendszerre jellemző, korábban említett belső konzisztencia alkalmas arra, hogy lecsökkentse a bevezetendő alapmennyiségek szá mát, hiszen alkalmas módon megválasztott alapegységekből számos további mennyiség levezethető. Például a hosszúság egységének rögzítése definiálja a felület és a térfogat egységeit is. A további megfeleltetésekhez a fizikai összefüggések is segítséget nyújtanak. Például Newton II. törvénye szerint egy testre ható F erő nagysága egyenesen arányos a testnél tapasztalható a gyorsulással, a két mennyiség közötti arányossági tényező pedig a test m tömege. Az összefüggést leíró F  m ·a

(2.3)

képlet a fenti mennyiségek mértékegységei között is érvényes (egy fizikai mennyiség mértékegységét szögletes zárójellel jelöljük). Így az erő mértékegysége a tömeg és a gyorsulás mértékegységének szorzataként kapható:

 F   m · a  kg ·

m s2

 N ( newton) .

(2.4)

Az erőmérés egysége tehát egy olyan erő, amely egy 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással gyorsít. Természetesen a komplexebb mennyiségek efféle mértékegységei sok esetben túl bonyolultak a hétköznapi használathoz, ezt a problémát a később ismertetendő kiegészítő (gyakorlatilag önálló nevű) egységek bevezetésével hidalták át.

Az SI-mértékegységrendszerben szereplő mennyiségek között találunk olyan mennyiségeket, amelyeket egyetlen számérték jellemez, és nem társítható hozzájuk irány, ezeket skaláris mennyiségeknek, röviden skalároknak nevezünk. Az SI-mértékegységrendszer összes alapmennyisége skaláris, de ide sorolható például a munka, az energia, a nyomás és a teljesítmény is. A vektoriális mennyiségeknek a nagyságuk mellett irányuk is van. Az SI-mértékegységrendszer alap- és származtatott mennyiségei közül egyedül az erő vektoriális, a mechanikában azonban számos vektoriális mennyiséget találunk (pl. elmozdulás, gyorsulás, forgatónyomaték).


2.3.

18

SI-alapegységek

SI-alapegység

jel

mennyiség

1 méter

m

hosszúság

érvényben lévő definíció

régi definíció

1 méter az a távolság, amelyet a fény vákuumban a

A Föld kezdő (Párizson áthaladó)

másodperc 1/299 792 458-ad törtrésze alatt megtesz.

délkörén

mért

kerületének

negyvenmilliomod része.

1 kilogramm

kg

tömeg

1 kilogramm egy nemzetközi etalon, a sèvres-i Nemzetközi

1 köbdeciméter (dm³) 4°C-os víz

Súly- és Mértékügyi Hivatalban őrzött, platina-irídium

tömege.

ötvözetből készült, 39 mm magasságú és átmérőjű henger (a „Le Grande Kilo”) tömege.

1 másodperc

s

idő

1 másodperc az alapállapotú cézium-133 atom két

A

hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő

1⁄(24 × 60 × 60) része.

másodperc

a

nap

sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama. (A fenti definíció nyugalomban lévő céziumatomra vonatkozik, 0 K hőmérsékleten.)

1 amper

A

1 ampere az elektromos áramerőssége annak az állandó

Az

áramnak, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen

amper”definíciója

elektromos

hosszúságú, elhanyagolhatóan kicsiny kör keresztmetszetű

erősségű az az áram, amely az ezüst-

áramerősség

és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban elhelyezkedő

nitrát

vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként

másodpercenként 1,118 mg ezüstöt

2·10‒7 newton erőt hoz létre.

választ ki.

1 termo1 kelvin

K

dinamikai hőmérséklet

kelvin

hőmérséklet-különbség

a

víz

ún.

vizes

„nemzetközi szerint

1A

oldatából

hármasponti

hőmérsékletének 1/273,16-od törtrésze. (Ez a definíció a következő izotóp-összetételű vízre vonatkozik: 0,00015576 mol 2H minden mol 1H mellett, 0,0003799 mol mol

16O

mellett és 0,0020052 mol

18O

17O

minden

minden mol

16O

mellett. ) 1 mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van 0,012 kg tömegűszén-12 izotópban. (Az előbbi definíció 1 mól

mol

anyag-

kötetlen, nyugalomban lévő, alapállapotú C-12 izotópokra

mennyiség

vonatkozik. A mol mértékegység használatakor mindig meg kell

jelölni, hogy

milyen elemi részekre (atomokra,

molekulákra, ionokra, elektronokra, más részecskékre, vagy ilyen részekből létrejövő csoportokra) vonatkozik. 1 kandela

annak

az

540×1012

Hz

(λ ≈ 555 nm) frekvenciájú monokromatikus sugárzást 1 kandela

cd

fényerősség

kibocsátó

fényforrásnak

adott

irányban

A standard gyertya által kibocsátott fényerősség.

kibocsátott

fényerőssége, amelynek sugárerőssége ugyanebben az irányban 1/683 W/sr.

1. táblázat Az SI-alapegységek definíciói.

Az SI-mértékegységrendszer hét alapegységet tartalmaz, amelyek segítségével más fizikai mennyiségek mértékegységei kifejezhetők. Látható, hogy mára a legtöbb alapegységet fizikai állandókhoz próbálták kötni, de például a tömeg esetén még mindig etalont alkalmaznak.


2.4.

19

Kiegészítő SI-egységek

Az alapegységeken kívül az SI-mértékegységrendszer két dimenzió nélküli fizikai mennyiséget (síkszög és térszög), valamint 20 önálló névvel rendelkező kiegészítő egységet tartalmaz.

név

jel

a mértékegység más

mennyiség

az SI alap-egységeivel

mértékegységekkel kifejezve

kifejezve

hertz

Hz

frekvencia

1/s

s-1

radián

rad

síkszög

m∙m-1

dimenzió nélküli

sr

térszög

m2∙m-2

dimenzió nélküli

newton

N

erő, súly

kg∙m/s2

kg∙m∙s−2

pascal

Pa

nyomás, mechanikai feszültség

N/m2

m−1∙kg∙s−2

szteradián

joule

J

energia, munka, hő

N∙m = W∙s = C∙V

m2∙kg∙s−2

watt

W

teljesítmény, sugárzási teljesítmény

J/s = V∙A

m2∙kg∙s−3

coulomb

C

elektromos töltés

s∙A

s∙A

J/C= W/A

m2∙kg∙s−3∙A−1

feszültség,

elektromos

potenciálkülönbség,

volt

V

farad

F

kapacitás

C/V

m−2∙kg−1∙s4∙A2

ohm

Ω

elektromos ellenállás, impedancia, reaktancia

V/A

m2∙kg∙s−3∙A−2

Siemens

S

elektromos vezetőképesség

1/Ω

m−2∙kg−1∙s3∙A2

mágneses fluxus

J/A

weber

elektromotoros erő

Wb

m2∙kg∙s−2∙A−1

tesla

T

mágneses indukció

V∙s/m2

=

Wb/m2

= N/(A∙m)

kg∙s−2∙A−1

henry

H

induktivitás

V∙s/A = Wb/A

m2∙kg∙s−2∙A−2

celsius-fok

°C

hőmérséklet

K − 273. 15

K − 273. 15

lumen

lm

fényáram

lx∙m2

cd∙sr m−2∙cd∙sr

lux

lx

megvilágítás

lm/m2

becquerel

Bq

radioaktív sugárforrás aktivitása

1/s

s−1

gray

Gy

elnyelt sugárdózis

J/kg

m2∙s−2

sievert

Sv

dózisegyenérték

J/kg

m2∙s−2

katal

kat

katalitikus aktivitás

mol/s

s−1∙mol

2. táblázat A kiegészítő SI-egységek. A táblázat színjelölései az egyes egységek fő alkalmazási területeit mutatják: mechanika, elektromágnességtan, termodinamika, világítástechnika, radioaktivitás, reakciókinetika.


20

1 radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög (1 rad = 57° 17' 44,81”). 1 szteradián az a térszög, amely alatt az r 2

sugarú gömb felületén elhelyezkedő r nagyságú terület a gömb középpontjából látszik.

1. ábra A radián és a szteradián szemléltetése.

2.5.

SI-prefixumok

Az SI-mértékegység többszöröseit és törtrészeit az egység neve elé illesztett, egy-egy szorzót jelentő előtétszavak (SI-prefixumok) segítségével lehet képezni. Az egyes prefixumok önálló betűjellel rendelkeznek.

prefixum

jel

10n

számérték

megnevezés

bevezetése

yotta

Y

1024

1000000000000000000000000

kvadrillió

1991

zetta

Z

1021

1000000000000000000000

trilliárd

1991

exa

E

1018

1000000000000000000

trillió

1975

peta

P

1015

1000000000000000

billiárd

1975

tera

T

1012

1000000000000

billió

1960

giga

G

109

1000000000

milliárd

1960

mega

M

106

1000000

millió

1960

kilo

k

103

1000

ezer

1795

hekto

h

102

100

száz

1795

da

101

10

tíz

1795

100

1

egy

deka

deci

d

10−1

0,1

tized

1795

centi

c

10−2

0,01

század

1795

milli

m

10−3

0,001

ezred

1795

mikro

μ

10−6

0,000001

milliomod

1960

nano

n

10−9

0,000000001

milliárdod

1960

piko

p

10−12

0,000000000001

billiomod

1960

femto

f

10−15

0,000000000000001

billiárdod

1964

atto

a

10−18

0,000000000000000001

trilliomod

1964

zepto

z

10−21

0,000000000000000000001

trilliárdod

1991

yokto

y

10−24

0,000000000000000000000001

kvadrilliomod

1991

3. táblázat SI-előtétszavak.


Felhasznált irodalom: 1. 2.

Farkas Zsuzsa―Hebling János: Fizikai laboratóriumi gyakorlatok (JATEPress 2001) BME TTK Kémiai Fizika Csoport, belső Metrológia jegyzet

21

3. Mechanikai alapismeretek I.

22

3. Mechanikai alapismeretek I. Equation Section (Next)

3.1.

Kinematikai alapfogalmak

A tömegpont a (szóban forgó probléma szemszögéből kellően kicsinynek tekinthető) testek idealizált fizikai modellje: egy olyan térbeli kiterjedéssel nem rendelkező pont, amely viselkedésével helyettesíteni képes a kiterjedt testet. Ha egy kiterjedt testet tömegponttal helyettesítünk, a tömegpont a helyettesített test tömegközéppontjába kerül. Egy kiterjedt test vagy pontrendszer tömegközéppontja az a pont, amely a kölcsönhatások szempontból úgy viselkedik, mintha a test vagy rendszer tömege ebbe a pontba lenne koncentrálva.

A kiterjedt testek mozgásának leírásához nemcsak a test tömegét kell a tömegközéppontba összpontosítani, hanem annak teljes lendületét (impulzusát) is. A kiterjedt test ebben az esetben lesz helyettesíthető az őt reprezentáló tömegponttal. A tömegközéppont egyébként nem feltétlenül a test(ek)en belül elhelyezkedő fizikai pont, hiszen elég egy karikagyűrűre gondolni, amelynek a tömegközéppontja a gyűrű középtengelyének egy pontja.

Egy pont helyzete megadható, ha egy választott vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszerben (pl. egy DESCARTES-féle derékszögű koordináta-rendszerben) megadjuk a pont x, y és z helykoordinátáit, illetve a koordináta-rendszer O origójából a P  ( x, y,z ) pontba mutató OP  r helyvektort. A fizikai alaptörvényei szempontjából legfontosabb vonatkoztatási rendszerek az úgynevezett inerciarendszerek. Az inerciarendszerek olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyekben érvényes a NEWTON-féle I. törvény, azaz a tehetetlenség törvénye. NEWTON annak idején úgy vélte, hogy létezik egy kitüntetett, „abszolút” inerciarendszer. Ma már úgy tekintjük, hogy végtelen számú ilyen vonatkoztatási rendszer van, hiszen egy inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző másik vonatkoztatási rendszer ugyancsak inerciarendszer. Gyakorlati szempontból – ha elhanyagoljuk a Föld forgását – a földfelszínhez rögzített vonatkoztatási rendszer kellően jó inerciarendszernek tekinthető. Amennyiben az ellenkezőjére szeretnénk példát hozni, egy vasúti fülkéhez rögzített vonatkoztatási rendszer nem inerciarendszer, hiszen egy hirtelen fékezésnél a fülke belsejében a kofferek látszólag „maguktól” potyognak le az ülések feletti csomagtartó polcról, ami ellentmond a newtoni axiómáknak. Általánosságban elmondható, hogy a gyorsuló és forgómozgást végző vonatkoztatási rendszerek nem inerciarendszerek.

Ha egy tömegpont helyvektora időben változik, akkor a választott vonatkoztatási rendszerhez képest mozgásról beszélünk, ellenkező esetben a tömegpont nyugalomban van. Vegyük észre, hogy mindkét


23

fogalom relatív, azaz előfordulhat, hogy egy tömegpont egy vonatkoztatási rendszerhez képest nyugalomban van, míg egy másikhoz képest mozog. A tömegpont mozgásának pályája a tömegponthoz húzott helyvektor végpontja által az időben bejárt görbe, a tömegpont által megtett út (s) pedig a mozgás pályájának hossza. A test r elmozdulása a test r végső és ro kezdeti helyzetének különbsége:

r  r  ro .

(3.1)

(Az elmozdulás nagysága csak abban az esetben egyezik meg a megtett úttal, ha a test egyenes vonal mentén, mindvégig azonos irányba mozog. ) A tömegpont mozgásának időbeli gyorsaságát a tömegpont mozgásának sebességével jellemezzük. Ha a tömegpont r elmozdulását elosztjuk az ennek megtételéhez szükséges Δt időtartammal, akkor megkapjuk a tömegpont adott időintervallumra vonatkozó vátl . átlagsebességét:

vátl . 

r . t

(3.2)

Az átlagsebesség nagysága tehát a megtett út és a megtételéhez szükséges idő hányadosa. Amennyiben a Δt időtartamot végtelenül kicsinyre választjuk, a tömegpont pillanatnyi sebességéhez jutunk, amely tulajdonképp a tömegponthoz húzott helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa:

v

dr . dt

(3.3)

A pillanatnyi sebesség azt a sebességet adja meg, amellyel a test továbbhaladna, ha hirtelen megszűnnének a rá ható erők. Mivel mind az átlag-, mind a pillanatnyi sebesség hosszúság/idő dimenziójú, SI-mértékegységük a m/s. A mozgások sebességének időbeli változása alapján megkülönböztetünk egyenletes (állandó sebességű), illetve egyenletesen változó vagy egyenetlen (változó sebességű) mozgásformákat. Ez utóbbiak jellemzésére szolgál a gyorsulás, amelynek értéke egyenletesen változó mozgás esetén állandó, egyenetlen mozgás esetén pedig időben változó. Az aátl . átlaggyorsulás a (pillanatnyi) sebességvektorának v megváltozásának és a megváltozáshoz szükséges Δt időtartamnak a hányadosa:

aátl . 

v . t

(3.4)

Az a pillanatnyi gyorsulás a pillanatnyi sebesség idő szerinti első, illetve a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa:


a

dv d 2 r  . dt dt 2

24

(3.5)

Az átlaggyorsulás és a pillanatnyi gyorsulás egyaránt hosszúság/idő2 dimenziójú, így SI-mértékegységeik a m/s2. Korábban szó volt arról, hogy az integrálás a differenciálszámítás inverz műveleteként fogható fel. Ennek értelmében mivel differenciálással megkapható a gyorsulás a sebességből, illetve a sebesség a megtett útból, idő szerinti integrálással kiszámíthatjuk a pillanatnyi sebességet a gyorsulásból, és hasonlóképp a pozíciót a sebességből. Az r ( t ) pillanatnyi helyvektor és a v( t ) pillanatnyi sebességvektor az alábbi integrális összefüggések szerint határozható meg, ha ismerjük a t kezdő időpillanatban érvényes r hely- és v sebességvektorokat: o

o

t

v( t )  v  o



o

t



a( t )dt és r( t )  r  v( t ) dt . o

to

(3.6)

to

A (3.6) egyenletek segítségével könnyedén meghatározhatók az egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen változó mozgásformákat leíró egyenletek: egyenes vonalú egyenletes mozgás

egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

pozíció

r( t )  ro  v  t

r( t )  ro  vo  t  1 2 at 2

megtett út (egyirányú mozgást feltételezve)

s  v t

s  vo  t  1 2 at 2

sebesség

v = állandó

v( t )  vo  a  t

gyorsulás

a 0

a = állandó

4. táblázat Az egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen változó mozgások jellemzői.

Út–idő grafikonon ábrázolva az egyenes vonalú egyenletes mozgás képe egyenes, míg az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgásé másodfokú függvény, azaz parabola. Térbeli mozgásnál a fenti egyenletek mindegyike külön-külön felírható a tér egyes irányaira vonatkozóan, azaz az r helyvektor helyére az x, y vagy z helykoordinátákat, a v sebességvektor helyére a vx, vy vagy vz sebességkomponenseket, az a gyorsulásvektor helyére pedig annak ax, ay vagy az komponenseit írjuk. Az így kapott komponensekből a vektoriális összegzés szabályai szerint (láncszabály vagy paralelogrammaszabály) megkaphatók az egyes időpillanatokra vonatkozó hely-, sebesség- és gyorsulásvektorok.


25

A lendület (vagy impulzus, ritkán mozgásmennyiség) a test azon törekvésének mértéke, hogy megtartsa mozgásának sebességét, annak irányával együtt. A lendület vektormennyiség, egy tömegpont vagy test I lendülete a test m tömegének és v sebességének szorzatával egyenlő:

I  mv .

(3.7)

Ennek megfelelően a lendület iránya mindig megegyezik a pillanatnyi sebesség irányával. A lendület SImértékegysége a kg·m/s, vagy az ezzel ekvivalens N·s. A lendület megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes lendülete állandó. Ez a lendületmegmaradás (vagy impulzusmegmaradás) törvénye. A zárt rendszer a fizikában egy olyan hipotetikus rendszer, amely el van szigetelve a környezetétől, ezért vizsgálatakor a külső tényezők elhanyagolhatóak. Tudományterületenként változó, hogy az elszigeteltség pontosan mit jelent: a termodinamikában például a zárt rendszer nem cserél anyagot a környezetével (szemben az izolált rendszerrel, amely hőt és munkát sem!), a mechanikában anyag és energia, a rendszerelméletben információ cseréje nem történik zárt rendszer és környezete között.

A lendületmegmaradás törvénye jól alkalmazható az ütközési folyamatok leírására. Ütközés során a testek ütközés előtti összlendülete megegyezik az ütközés utáni összlendülettel. Tökéletesen rugalmas ütközés esetén (jól közelíti ezt a példát a biliárdgolyók ütközése) nemcsak a rendszer elemeinek összlendülete marad változatlan, hanem a mozgási energiák ütközés előtti és utáni összegei is megegyeznek, míg rugalmatlan ütközés során a mozgási energia egy része a test(ek) deformációjára fordítódik. Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél a testek ütközés után összetapadnak, és együtt haladnak tovább (ilyen például a homokzsákba belefúródott puskagolyó esete). A deformációra, hanghatásra stb. fordítódó energia nehezen határozható meg, így az energiamegmaradás törvénye (bár nem sérül!) a gyakorlatban nem használható, az impulzusmegmaradás törvénye azonban továbbra is rendelkezésre áll.

3.2.

Statikai és dinamikai alapfogalmak, Newton-törvények

Az erő olyan hatás, amely egy tömeggel rendelkező testet gyorsulásra késztet. Az erő vektoriális mennyiség, azaz a nagysága mellett iránya is van. Az F erőt a hatására bekövetkező impulzusváltozás gyorsaságával (idő szerinti első differenciálhányadosával) definiálhatjuk:

F

dI d  mv   , dt dt

(3.8)


26

ahol I az m tömegű, v sebességű test lendülete. Az erő SI-mértékegysége a newton: 1 newton nagyságú az az erő, amely1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással gyorsít (1 N = 1 kg·m/s2). Egy erőt konzervatív erőnek nevezünk, ha kifejezhető egy mező által definiált ún. potenciál (pl. gravitációs potenciális energia, elektromos potenciál) gradienseként. Más megfogalmazás szerint a konzervatív erők zárt görbe mentén végzett munkája zérus, azaz mire visszatérünk a kiindulási pontba, a befektetett munkát visszanyerjük. Konzervatív erő például a gravitációs erő: egy test felemeléséhez munkát kell végeznünk, de visszaejtve a testet ez a munka – a nem konzervatív erők miatti veszteségektől eltekintve) maradék nélkül hasznosítható. Hasonlóan konzervatív erő az elektrosztatikus erő vagy a mechanikai rugóerő. Ezzel szemben nem konzervatív erők például a súrlódási és légellenállási erők, ezeket disszipatív erőknek is nevezik. Ha ugyanis például egy testet elmozdítunk egy érdes felületen, munkát kell végeznünk a súrlódási erő ellenében, ám a testet visszahúzva ez a befektetett energia nem nyerhető vissza, hanem ismét munkát kell végeznünk. ISAAC NEWTON 17. század végén megalkotott törvényei a fizikai jelenségek széles körének kvantitatív leírását teszik lehetővé. Newton második és harmadik törvényének következménye, a korábban említett lendületmegmaradási törvény volt az elsőként felfedezett megmaradási törvény. A newtoni mechanikát több mint 200 éven keresztül maradéktalanul alátámasztották a megfigyelések és a kísérletek, egészen a 19–20. századig. 1916-ban ALBERT EINSTEIN relativitáselmélete kiterjesztette és pontosította a newtoni mechanikát (például a fénysebességhez közeli sebességtartományra), fontos azonban megjegyezni, hogy a Newton-törvények ezzel nem váltak „érvénytelenné”, hiszen a mindennapi jelenségeket továbbra is kellő pontossággal leírják. NEWTON I. törvénye a tehetetlenség törvénye. Kimondja, hogy (inerciarendszerben) minden test nyugalomban marad vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, amíg ezt az állapotot egy másik test vagy mező meg nem változtatja. NEWTON I. törvénye értelmében tehát ha egy testre nem hat erő (vagy azok eredője zérus), akkor a test sebessége (és ezzel együtt impulzusa) időben állandó. Ez a törvény sok esetben hétköznapi szemléletünkkel ellentétes, ugyanis a testek „természetes állapotaként” az egyenes vonalú egyenletes mozgást jelöli meg, míg efféle természetes állapotnak szívesebben gondolnánk a nyugalmi állapotot. Ennek oka, hogy mindennapi életünkben mindenhol jelen van a súrlódás, amely felemészti a mozgó testek mozgási energiáját. NEWTON I. törvénye azonban azonnal nyilvánvalóvá válik, ha elhanyagolható súrlódási együtthatójú felületekre gondolunk: ilyen például a jégfelszínen vagy a légpárnás asztalon sikló műanyag korong.


27

NEWTON II. törvénye a dinamika alapegyenlete. Ennek értelmében egy pontszerű test I lendületének megváltozása egyenlő a testre ható F erővel:

F

dI . dt

(3.9)

Ha a test tömege időben nem változik, akkor a dinamika alapegyenletének közismertebb alakjához jutunk. Ezzel a megkötéssel a dinamika alapegyenlete szerint egy pontszerű test a gyorsulása egyenesen arányos és azonos irányú a testre ható F erővel, valamint fordítottan arányos a test m tömegével:

a

F . m

(3.10)

A fenti összefüggés alapján egy test gyorsulásának iránya mindig megegyezik a testre ható eredő erő irányával. A dinamika alapegyenlete definiálja a tömeg fogalmát, amely (a klasszikus fizika szerint) a testek megmaradó jellemzője, a tehetetlenség (az ún. inercia) mérőszáma. A tömeg SI-mértékegysége a kilogramm (kg). NEWTON III. törvénye a hatás–ellenhatás törvénye. A hatás–ellenhatás törvénye kimondja, hogy két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, egymással ellentétes irányú erő hat. Fontos megjegyezni, hogy ebben az esetben az erő és az ellenerő (bár azonos nagyságúak és ellentétes irányúak) nem egyenlítheti ki egymást, ugyanis különböző testekre hatnak. Sokszor NEWTON IV. törvényeként hivatkoznak a szuperpozíció elvére. A szuperpozíció elve szerint ha egy testre több erő hat, a test úgy viselkedik, mintha kizárólag a rá ható erők vektoriális összegeként számítható eredő erő hatna rá. Ha az erő nem pontszerű testre, hanem a probléma szempontjából immár nem elhanyagolható méretű, ún. kiterjedt testre hat, sok esetben az erő forgatóhatásával is számolni kell. A továbbiakban – az 5.2 fejezet kivételével – a kiterjedt testek említésekor általában hallgatólagosan merev testeket értünk, amelyek alakja külső erők hatására nem változik meg, azaz a test pontjai a kölcsönhatások során állandó távolságban maradnak egymástól. Egy erő akkor fejt ki forgató hatást egy merev testre, ha a test rendelkezik rögzített ponttal vagy tengellyel. Ennek a forgató hatásnak a mértéke a forgatónyomaték. Az (O pontra vonatkoztatott) M forgatónyomaték-vektor az F erő és az O ponttól az erő támadáspontjába mutató r vektor, az ún. erőkar vektoriális szorzata:

M  r F .

(3.11)


28

A forgatónyomaték SI-mértékegysége a N·m. Ha a merev test rögzített tengellyel rendelkezik, a forgatónyomaték M nagysága az erő F nagyságának, valamint a forgástengely és az erő támadáspontja közötti d távolságnak mint erőkarnak a szorzata:

M  F d .

(3.12)

Azonos tengelyre ható több forgatónyomaték együttes forgatóhatásának egyszerű kiszámítása érdekében a forgatónyomatékokat a forgatóhatásuk irányítása szerint pozitív vagy negatív előjellel szokás ellátni. Egy merev test egyensúlyban van, ha a rá ható erők eredője zérus, valamint az összes tengelyre nézve a testre ható forgatónyomatékok eredője zérus.

3.3.

Gravitáció, súlyerő

Bármely két tömeggel rendelkező test között fellép az ún. gravitációs kölcsönhatás, amely a fizika négy alapvető kölcsönhatásának egyike, és mindig vonzásban nyilvánul meg. Az Fgr. gravitációs erő nagysága egyenesen arányos a két tömegpont vagy kiterjedt test m1 és m2 tömegével, valamint fordítottan arányos a köztük lévő r távolság négyzetével:

Fgr .  G ahol G  6 , 67  10

11

Nm2 kg2

m1m2 , r2

(3.13)

az ún. gravitációs állandó. A gravitációs állandó egy univerzális állandó. A fenti

képlet értelmében ha két test között gravitációs erő lép fel, mindkét test ugyanakkora nagyságú (azonban ellentétes irányú) erővel vonzza a másikat. A kis tömegű testek közötti gravitációs erő elhanyagolható mértékű, a (jelentős tömegű) Földünk és a földi tárgyak között fellépő, hozzávetőlegesen a Föld középpontja felé mutató gravitációs vonzás azonban már jól észlelhető. A földi gravitációra vonatkozó számítások során gyakran nem a (3.13) egyenletet használjuk, hanem az m1 tömeg helyére behelyettesítjük a Föld M tömegét, az r távolság helyére a Föld R sugarát, a kölcsönhatásban részt vevő test m2 tömegét pedig a továbbiakban m-mel jelöljük. Ezekkel a helyettesítésekkel megkapjuk az m tömegű testre ható Fs. súlyerőt, más néven a test G súlyát, amelynek nagysága:

 M G    2   m  mg ,  R 

(3.14)


29

2

ahol g  9, 81 m / s a fenti γ, M és R állandókból származó gravitációs gyorsulás, amelynek iránya a Föld tömegközéppontja felé mutat. A fenti összefüggés egyben arra is rámutat, hogy a „súly” erő, így newton egységekben mérjük és függ a gravitációs gyorsulás értékétől. Ez az oka annak, hogy egy test súlya eltérő a Földön és a Holdon (hiszen a két égitesten különböző a gravitációs gyorsulás), ugyanakkor a test tömege mindkét helyen azonos. A mező egy olyan matematikai–fizikai modell, amely leegyszerűsítve a tér minden pontjához egy skaláris mennyiséget (pl. az adott pontban uralkodó légnyomást, hőmérsékletet vagy sűrűséget) vagy egy vektormennyiséget (pl. az adott pontban ható erőt) rendel. A mező nem mutat anyagi jellegzetességeket, azonban fontos szerepet tölt be az anyagi természetű testek közötti kölcsönhatások értelmezésekor. A tömeggel rendelkező testeket az ún. gravitációs mező veszi körül, amelyben a gravitációs erő mértékét szemléltető gravitációs térerősség (azaz a térbe helyezett egységnyi tömegre ható gravitációs erő) a (3.13) egyenletnek megfelelően a forrástól távolodva négyzetesen csökken.


3.4.

30

Energia, munka, teljesítmény, hatásfok

A munka az az energiamennyiség, amelyet egy erő közvetít, miközben egy testet az erő irányába elmozdít. Ha az F erő hatására egy test s elmozdulást végez, akkor az erő W munkája:

W  F  s  F  s  cos ,

(3.15)

ahol α az erő és az elmozdulásvektor által bezárt szög. A munka skaláris mennyiség, azaz csak nagysága van, iránya nincs. A munka SI-mértékegysége a joule (J), 1 joule munkát végez az 1 N nagyságú erő, ha az erő irányában 1 m elmozdulást okoz. Fizikai értelemben tehát csak akkor történik munkavégzés, ha a test elmozdulásának van az erő irányával megegyező komponense. Amennyiben az elmozdulás az erővel ellentétes irányú (azaz amikor egy erő ellenében végzünk munkát), negatív előjellel láthatjuk el a munkavégzést, ennek a megmaradási tételek szempontjából van jelentősége.

Az energia a testek pillanatnyi állapotát leíró mennyiség, állapotjelző. Egy fizikai rendszer energiája azzal a munkamennyiséggel adható meg, amellyel valamilyen kezdeti állapotból a rendszer az adott állapotba hozható. Az energiát sokszor a test vagy rendszer munkavégző képességével is definiálják. Ilyenkor a kezdeti, referenciaszintnek tekintett állapot sok esetben nincs meghatározva, hanem önkényesen kijelölhető. Az energia SI-mértékegysége ugyancsak a joule (J). A mechanika tárgykörében az energia két fő típusát különböztetjük meg: a mozgási (kinetikus) energiát és a helyzeti (potenciális) energiát. A kinetikus (mozgási) energia a test haladó (és forgó) mozgásából származó energia: az az energiamennyiség, amelyet ahhoz kell közölni a nyugalomban lévő testtel, hogy súrlódásmentes körülmények között az adott (lineáris és szög-) sebességre szert tegyen. Ha egy m tömegű, v sebességgel mozgó test csak haladó mozgást végez, akkor az Ekin. kinetikus energiája:

Ekin.  1 2 mv 2 .

(3.16)

Ha a θ tehetetlenségi nyomatékú test ω szögsebességű forgómozgást is végez, akkor az ebből származó Eforg. forgási energia:

E

forg .

2  1 2  ,

(3.17)

amely hozzáadódik a (3.16) energiataghoz.

A kinetikus energia és a munka között teremt kapcsolatot a munkatétel, amelynek értelmében egy test kinetikus energiájának adott idő alatt bekövetkező Ekin. megváltozása egyenlő a testre vagy rendszerre ható erők ez idő alatt végzett munkáinak W összegével, illetve az eredő erő W munkájával:


Ekin.  W  W .

31 (3.18)

A potenciális (helyzeti) energia az az energiafajta, amely a testnek konzervatív erőtérben (pl. elektrosztatikus térben, gravitációs mezőben, tökéletesen rugalmas közegben) elfoglalt helyzetéből származik. A mechanika tárgykörében a potenciális energia két fő típusát különböztetjük meg: a gravitációs potenciális energiát és a rugalmas potenciális energiát. A gravitációs potenciális energia egy test más, tömeggel rendelkező objektum(ok) gravitációs terében elfoglalt helyzetéből származik. A Föld felszínéhez közel egy m tömegű test Ugr. gravitációs potenciális energiája

U gr .  mgh ,

(3.19)

ahol h a tömegpont (illetve kiterjedt test esetén a test tömegközéppontjának) valamely referenciaszinttől mért magassága. Ez a referenciaszint a hétköznapokban általában a földfelszín, de egyes számolásokhoz időnként célszerűbb más referenciaszintet választani. A rugalmas potenciális energia az az energiamennyiség, amely egy összenyomott vagy megfeszített rugalmas testben tárolódik. Ha egy test (pl. megfeszített fémdrót vagy összenyomott spirálrugó) rugalmassági állandója (azaz az egységnyi hosszváltozáshoz szükséges erő) D, a lineáris alakváltozás pedig Δx, akkor az Urug. rugalmas potenciális energia a következőképp számolható: 2 U rug .  1 D  x  . 2

(3.20)

Az energia megmaradó mennyiség: az energiamegmaradás tétele kimondja, hogy zárt rendszer teljes energiája (azaz a különböző energiaformák összege) időben állandó.

Az energiamegmaradás tétele nem korlátozza az energia egyik formából másikba történő átalakulását . A vízerőmű például a folyó gravitációs energiáját alakítja át a turbinák mozgási energiájává, amely a generátorokban elektromos energiává alakul. Az elektromos energiával hajtott szivattyúk a vizet víztornyokba pumpálva gravitációs potenciális energia formájában tárolják a víz közműhálózatban történő szétosztásához szükséges energiát. A modern fizika az E = mc2 egyenlet értelmében (ahol c a fénysebesség) a tömeget is az energia egyik megnyilvánulásának tekinti.

Az energiamegmaradás tételének leszűkített megfogalmazása a mechanikai energia megmaradásának tétele. Mechanikai energiának a kinetikus és a potenciális energiák összegét nevezzük. A mechanikai energia megmaradásának tétele értelmében zárt rendszerben a mechanikai energiák összege időben állandó.


32

A test egységnyi idő alatt végzett munkáját teljesítménynek nevezzük. A P (átlag)teljesítmény kiszámítható, ha a W munkavégzést elosztjuk a munkavégzéshez szükséges t időtartammal:

P

W . t

(3.21)

A teljesítmény skaláris mennyiség, SI-mértékegysége a watt (W): 1 W teljesítmény érhető el, ha 1 J munkát 1 s alatt végzünk el. A gyakorlatban nemcsak a teljesítmény fontos értékmérő, hanem az is, hogy az elvégzett munka mekkora hányada fordítódik hasznos munkavégzésre, és mekkora hányada veszteség. Az η hatásfok a Whaszn. hasznos munka és a W teljes munka hányadosa:



Whaszn. Whaszn. 100%   100%  . W Whaszn.  Wveszt .

(3.22)

A W teljes munka a Whaszn. hasznos munka és a Wveszt. veszteség összege. A hatásfok 0 és 1 közötti értékű, a gyakorlatban soha nem érheti el az 1 értéket. A hatásfokot sok esetben százalékban fejezik ki.

3.5.

Körmozgás és forgómozgás

Körmozgásról beszélünk, ha egy tömegpont vagy egy kiterjedt test valamely pontja körpálya mentén mozog. Egyenletes körmozgás esetén a tömegpont egyenlő idők alatt egyenlő utakat (azaz egyenlő köríveket) tesz meg a mozgás irányában. Az egyenletes körmozgást kinematikai szempontból számos mennyiséggel jellemezhetjük. A mozgás T periódusideje az egy körülfordulás megtételéhez szükséges időtartam (SI-mértékegysége a másodperc), az n fordulatszám az időegység alatt megtett körülfordulások száma (SI-mértékegysége a s–1, de a gyakorlatban sokszor használják a min–1 mértékegységet is). A másodpercre vonatkoztatott fordulatszám, a frekvencia kiegészítő SI-mennyiség, ezt is használják a körmozgás jellemzésére. A frekvencia a periódusidő reciproka (SI-mértékegysége a Hz = s–1). A körmozgás leírásához a megtett út helyett célszerű a körpálya középpontjából a mozgás kezdőpontjához húzott kezdeti helyvektor és a pillanatnyi helyvektor által bezárt φ szöget, az úgynevezett szögelfordulást használni. A lineáris mozgás során definiált sebességhez és gyorsuláshoz hasonlóan az időegység alatt bekövetkező szögelfordulás (pontosabban a szögelfordulás idő szerinti első differenciálhányadosa) az ω szögsebesség:



d , dt

(3.23)


33

a szögsebesség időegység alatt bekövetkező megváltozása (azaz a szögelfordulás idő szerinti második differenciálhányadosa) pedig a β szöggyorsulás:



d 2 d  . dt 2 dt

(3.24)

A szögsebesség SI-mértékegysége a s–1, illetve a rad/s, a szöggyorsulás SI-mértékegysége a s–2, illetve a rad/s2. A szögsebesség a kerületi sebességhez hasonló módon vektormennyiség. A szögsebességvektor mindig merőleges a körmozgás síkjára, irányát pedig az szabja meg, hogy a körmozgás az óramutató járásirányával megegyező vagy azzal ellentétes irányítású. A szögsebességvektor iránya a jobbkézszabály szerint határozható meg: ha jobb kezünk mutató-, középső, gyűrűs- és kisujját úgy görbítjük be (mintha egy függőleges rudat fognánk körül a tenyerünkkel), hogy az előbbi ujjak a körmozgást végző tömegpont mozgásának irányába mutassanak, akkor a hüvelykujjunk jelöli ki a körmozgás szögsebességvektorának irányát.

A körmozgást végző test körpályával érintőleges irányú vker. kerületi sebessége a körmozgás ω szögsebességével és a mozgás pályájának r sugarával arányos:

vker.  r .

(3.25)

NEWTON I. törvénye értelmében a körmozgás fenntartásához erőre van szükség, ennek hiányában a tömegpont egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. A körmozgást fenntartó Fcp. erőt centripetális erőnek nevezzük. A centripetális erő a körpálya középpontja felé mutat, nagysága:

Fcp.  mr 2 

2 mvker. , r

(3.26)

ahol m a körmozgást végző tömegpont tömege. NEWTON II. törvénye értelmében az acp. centripetális gyorsulás nagysága a centripetális erő és a körmozgást végző test tömegének hányadosa:

acp. 

Fcp. m

 r 2 

2 vker. . r

(3.27)

A centripetális erő hatására az egyenletes körmozgást végző test kerületisebesség-vektorának iránya megváltozik, ezért bár a sebesség nagysága időben állandó, maga a sebesség(vektor) az irány folyamatos elfordulása miatt időben nem állandó. A centripetális erőt sok esetben helytelenül összemossák a centrifugális erővel, illetve egymás erő–ellenerő párjaiként tüntetik fel azokat. A centrifugális erő azonban ún. tehetetlenségi erő, amely forgó vonatkoztatási rendszerben (azaz nem inercia- vagy tehetetlenségi rendszerben) lép fel. Az ilyen gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben nem érvényesek a NEWTON-törvények, hiszen az ilyen rendszerben lévő megfigyelő szemszögéből a testek erőhatás nélkül is gyorsulni látszanak. Formálisan azonban ezekben a rendszerekben is helyre lehet állítani is a mechanikai alaptörvényeket az ún. tehetetlenségi erők vagy inerciaerők (mint amilyen a centrifugális erő) bevezetésével.


34

A rögzített tengellyel rendelkező, forgómozgást végző merev test minden egyes pontja körmozgást végez. A forgómozgást a következőkben nem tárgyaljuk teljes részletességgel, inkább a haladó mozgás és a forgómozgás közötti analógiára alapozunk. A szögsebesség, a szöggyorsulás és a forgatónyomaték fogalmát a korábbiakban már tárgyaltuk. A tehetetlenségi nyomaték a merev test (valamely tengely körüli) forgással szembeni tehetetlenségét jellemzi, funkciója megegyezik a tömeg haladó mozgás során betöltött szerepével. Egy z tengely körül forgó tömegpont θz (ún. skaláris) tehetetlenségi nyomatéka a tömegpont m tömegének, valamint a tömegpont forgástengelytől mért rz távolsága négyzetének a szorzataként számítható ki:

 z  mrz2 .

(3.28)

A tehetetlenségi nyomaték additív mennyiség, így N darab mi tömegű, a forgástengelytől egyenként ri távolságra elhelyezkedő tömegpontból álló merev test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegpontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével: N

   mi ri 2 .

(3.29)

i 1

jellemző mozgást jellemző változó a változó idő szerinti első deriváltja a változó idő szerinti második deriváltja a tehetetlenség mértéke a (szög)gyorsulás oka a (szög)sebesség megtartására irányuló törekvés mértéke

fizikai mennyiség kiszámítása

1 dimenziós haladó mozgás fizikai mennyiség mértékegység pozíció (x) m sebesség (v) m/s gyorsulás (a) m/s2 tömeg (m) kg erő (F) N lendület (I) kgm/s

forgómozgás fizikai mennyiség mértékegység szögelfordulás (φ) rad (vagy °) szögsebesség (ω) rad/s szöggyorsulás (a) rad/s2 tehetetlenségi nyomaték (θ) kgm2 forgatónyomaték (M) Nm perdület (L) kgm2/s

1 dimenziós haladó mozgás

forgómozgás

dx v dt

sebesség/szögsebesség

gyorsulás/szöggyorsulás

a 

lendület/perdület

munka teljesítmény

d2 x

 

dt 2

E

kin .



1 2

mv

d dt d 2

dt 2 M  

F  ma I  mv

erő/forgatónyomaték

mozgási energia

 

L   2

W  Fx P  Fv

5. táblázat A haladó és a forgómozgás közötti analógia.

E

kin .



2 1  2

W  M

P  M


35

A perdület (más néven impulzusmomentum vagy forgásmennyiség) egy test azon törekvésének mértéke, hogy megtartsa forgómozgásának irányát és szögsebességét. A perdület vektormennyiség, egy tömegpont perdületvektorát a következő vektoriális szorzat definiálja:

L  r I ,

(3.30)

ahol r a tömegponthoz húzott helyvektor, I pedig a tömegpont lendülete. Kiterjedt merev test valamely z tengelyre vonatkoztatott perdülete a test adott tengelyre vonatkozó θz tehetetlenségi nyomatékának és ωz szögsebességének szorzataként számítható:

Lz   zz

(3.31)

A perdület SI-mértékegysége a kg·m2/s vagy az ezzel ekvivalens N·m·s. A perdület megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összperdülete állandó. A lendületmegmaradás törvényének analógiájaként ez a perdületmegmaradás törvénye.

4. Mechanikai alapismeretek II.

36

4. Mechanikai alapismeretek II. Equation Chapter (Next) Section 4

4.1.

Harmonikus rezgőmozgás

Ha egy rugóra akasztott testet nyugalmi helyzetéből függőleges irányban, kis mértékben kitérítünk, majd a rendszert magára hagyjuk, a test a két szélső kitérési pont között periodikusan ismétlődő mozgást végez. Az ilyen két végpont közötti, periodikus mozgásformát rezgőmozgásnak nevezzük. Harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük azokat a periodikus, egydimenziós mozgástípusokat, amelyeknél a kitérés az idő harmonikus (szinusz- vagy koszinusz-) függvénye szerint változik. További megkülönböztető jellemzője a harmonikus rezgéseknek, hogy az egyensúlyi helyzetbe visszatérítő, ún. harmonikus erő nagysága arányos az egyensúlyi helyzettől mért kitéréssel, és mindig az egyensúlyi helyzet felé irányul.

2. ábra A harmonikus rezgőmozgás leírására használt mennyiségek szemléltetése.

A harmonikus rezgőmozgást számos fizikai mennyiség jellemzi. A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges időtartam. A frekvencia az időegység alatt, azaz másodpercenként megtett rezgések száma. A műszaki gyakorlatban sok esetben nem a másodpercenkénti, hanem a percenkénti rezgések számát adják meg, ebben az esetben megkülönböztetésképp célszerűbb a rezgésszám megnevezést használjuk. A körfrekvencia

és a fázis

szemléletes magyarázatát a későbbiekben

ismertetjük. A kezdőfázis a rezgőmozgás fázisát adja meg a t = 0 időpontban.


mennyiség

jele

SI-mértékegysége

amplitúdó

A

m (méter)

periódusidő

T

s (másodperc)

rezgésszám

n

1/s vagy 1/min

frekvencia

f vagy ν

1/s = Hz (hertz)

körfrekvencia

ω

1/s

kezdőfázis

φo

radián (vagy °)

37

kiszámítása

f 



1 n  T t

2  2 f T

6. táblázat A harmonikus rezgőmozgás jellemzői.

Először a harmonikus rezgőmozgás kinematikai leírásával foglalkozunk, azaz nem vesszük figyelembe a rezgőmozgást létrehozó erőket. A fenti jelölésekkel a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont y kitérésének a t időtől való függését a következő egyenlet írja le: y  t   A sin  t  o  .

(4.1)

v  t   A cos  t  o  ,

(4.2)

a  t    A 2 sin  t  o    2 y

(4.3)

A tömegpont v sebességének időfüggése:

a gyorsulás időfüggését pedig az

összefüggés írja le. Látható, hogy a harmonikus rezgőmozgást végző tömegpont sebessége és gyorsulása a kitéréshez hasonlóan periodikus (harmonikus) függvényei az időnek. A gyorsulás emellett egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. Érdemes azonban megfigyelni, hogy a harmonikus rezgőmozgást végző test sebessége akkor maximális, amikor a kitérés minimális (azaz a test egyensúlyi helyzetében), ugyanakkor ebben a pozícióban a test gyorsulása zérus. Maximális kitérés esetén a gyorsulás is maximális, azonban a sebesség zérus. A sebesség maximális értéke a vmax. sebességamplitúdó ( vmax.  A ), a gyorsulás maximuma az amax. gyorsulásamplitúdó ( amax.   A 2 ).


38

3. ábra A harmonikus rezgőmozgás paramétereinek fázisfüggése.

270°

0°

90° 4. ábra A harmonikus rezgőmozgás fázisának szemléltetése.

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás között kapcsolatot lehet teremteni a következő gondolatkísérlettel. Tekintsünk két tömegpontot, amelyek egyike egyenletes körmozgást, a második pedig harmonikus rezgőmozgást végez. A körmozgás sugara egyezzen meg a rezgés amplitúdójával, a körpálya középpontja legyen egy magasságban a rezgőmozgás egyensúlyi pontjával, valamint a két mozgás periódusideje is legyen azonos. Ha egy képzeletbeli, a körmozgás síkjára merőlegesen elhelyezett oldalsó ernyőre vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt halad, azaz a körmozgást végző test vetülete harmonikus rezgőmozgást végez. A rezgőmozgás fázisa ebben a reprezentációban egyértelműen megadható a körmozgást végző test 360°-os teljes körön


39

belüli pillanatnyi szögelfordulásával. A rezgőmozgás  körfrekvenciája szemléletes módon tehát az adott rezgőmozgásnak megfeleltethető körmozgás szögsebességeként értelmezhető. A harmonikus rezgőmozgás dinamikai leírása során azt kell figyelembe venni, hogy a mozgást a tömegpontnak az egyensúlyi helyzetétől mért y kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú Fharm. erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre:

Fharm.   Dy ,

(4.4)

ahol D a rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete szerint ilyenkor az m tömegű tömegpont mozgására felírható az  d2 y m 2  dt

   ma   Dy 

(4.5)

(differenciál-)egyenlet, amelynek megoldása szinusz- vagy koszinuszfüggvény (a kettő között csak a φo kezdőfázis értékében van különbség, általában a szinuszos alakot szoktuk használni): y  t   A sin  t  o  ,

(4.6)

ahol a rezgőmozgás  körfrekvenciája és T periódusideje: 

4.2.

D és T  2 m

m . D

(4.7)

Harmonikus rezgések összeadódása, rezonancia

Számos esetben előfordul, hogy a rezgések több forrásból származnak, és az eredő rezgés ezek összegződéseként áll elő. Elsőként azt a legegyszerűbb esetet tárgyaljuk, amikor azonos rezgési irányú és (kör)frekvenciájú, de különböző amplitúdójú és kezdőfázisú rezgések szuperponálódnak. Tekintsük az y1  t   A1 sin t  1  és az y2  t   A2 sin t  2  harmonikus rezgéseket. Az ezek összeadódásából eredő mozgás egy

y  t   A sin t   

(4.8)

alakú, ugyancsak harmonikus rezgés lesz, amelynek amplitúdója

A  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  2  ,

(4.9)

fázisa pedig

  arctan

A1 sin 1  A2 sin 2 . A1 cos 1  A2 cos 2

(4.10)


40

Ebben az esetben az eredő mozgás ugyancsak harmonikus rezgés lesz. A (4.9) egyenletből látható, hogy maximális erősítés akkor jelentkezik, ha az egyes rezgések fázisa azonos, ilyenkor az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdóinak összege. Maximális gyengítés akkor lép fel, ha a rezgések ellentétes fázisúak, ekkor az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha maximális gyengítésnél az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, a két rezgés kioltja egymást. Ha a fázisok nem azonosak, de nem is ellentétesek, a fáziskülönbségtől függően erősítés és gyengítés egyaránt kialakulhat, azonban ezek mértéke soha nem éri el a maximális erősítésnél, illetve gyengítésnél tapasztalt mértéket. Az y1  t   A sin 1t    és y2  t   A sin 2t    különböző (kör)frekvenciájú, azonban az egyszerűség kedvéért azonos amplitúdójú és a kezdőfázisú rezgések eredője az     1    1  2 y  t    2 A cos  2 t   sin   2   2 

    2 t   A* sin  1   2

 t 

(4.11)

harmonikus rezgés.

Egyirányú, azonban különböző frekvenciájú rezgések összeadódásakor az eredő rezgés egy olyan harmonikus rezgés, amelynek A* amplitúdója az időben periodikusan változik. Közeli frekvenciájú rezgések összegződésekor az amplitúdó időben lassan változik a zérus nagyságú és a két amplitúdó összegének megfelelő amplitúdók között, ezt a jelenséget lebegésnek nevezzük. A lebegés frekvenciája az összeadódó rezgések frekvenciáinak különbsége. Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összeadódásakor az eredő mozgás elliptikus pálya mentén történik (illetve speciális esetekben körmozgás vagy egyenes vonal menti periodikus mozgás tapasztalható). Az ellipszis tengelyeinek iránya és a mozgásirány a két összetevő rezgés közötti fáziskülönbségtől függ. Két egymásra merőleges, azonban különböző frekvenciájú harmonikus rezgés összeadódásakor bonyolult, hurokszerű, ún. LISSAJOUS-görbék keletkeznek. Ha a két rezgés frekvenciájának viszonya racionális szám, akkor záródó LISSAJOUSgörbék jönnek létre, ellenkező esetben a görbe nem záródik. (A kör és az ellipszis speciális LISSAJOUS-görbéknek tekinthetők. )

Szabad rezgés alakul ki, ha egy mechanikai rendszert kitérítünk az egyensúlyi helyzetéből, és hagyjuk, hogy az a rendszer sajátfrekvenciáján, szabadon rezegjen. Ezt a sajátfrekvenciát többek között a rendszer geometriai kialakítása és rugalmassági tulajdonságai határozzák meg. Ennek példája a megütött hangvilla vagy a kilendített és magára hagyott inga. Kényszerrezgés során a mechanikai rendszerre periodikus gerjesztőerő hat, amely folyamatos energia-utánpótlást biztosít. Példa erre a hintázó gyermek, akit a szülője ütemesen lökdös. A rezonancia gerjesztett rezgéseknél léphet fel, ha a gerjesztés frekvenciája és a rendszer sajátrezgésének frekvenciája (helyesebben a számtalan sajátfrekvencia valamelyike) közel esnek


41

egymáshoz. Ilyen esetben a gerjesztés nagy hatásfokkal tudja pótolni az elveszített energiát, aminek eredményeként fokozatosan növekvő, nagy rezgési amplitúdók alakulhatnak ki. Csillapítás nélküli (idealizált) rendszerek esetén a rezgésamplitúdó a rezonancia során végtelen nagy értéket is elérhet.

4.3.

Harmonikus hullámmozgás

A hullám egy rendszer olyan állapotváltozása, amely időbeli és térbeli periodicitást mutat, más megfogalmazásban a hullám valamely térben tovaterjedő periodikus zavar. A hullámterjedéshez közegre van szükség, ez alól az elektromágneses hullámok képeznek kivételt, amelyek vákuumban is képesek terjedni. A hullámok energiát szállítanak, azonban a hullámterjedés közben makroszkopikus anyagtranszport nem történik. A hullámokat több szempont szerint osztályozhatjuk. Ha a közegben mechanikai állapotváltozások terjednek, akkor mechanikai hullámról, ha pedig elektromágneses természetű zavar terjed, akkor elektromágneses hullámról beszélünk. Aszerint, hogy hány dimenziós a közeg, amelyben a hullám terjed, megkülönböztethetünk egydimenziós hullámokat (pl. rezgő gumikötél), kétdimenziós hullámokat (pl. a vízfelszínen terjedő vízhullámok) és háromdimenziós hullámokat (pl. a levegőben terjedő hullámok). A rezgések terjedési iránya szerint különbséget teszünk a transzverzális és longitudinális hullámok között. A transzverzális hullámok terjedési iránya a rezgési irányra merőleges (ilyenek például a húron terjedő hullámok vagy az elektromágneses hullámok). A longitudinális hullámok terjedési iránya ezzel szemben párhuzamos a rezgési iránnyal (ilyen például a legtöbb hanghullám). Bizonyos transzverzális hullámok a terjedés irányára merőlegesen egyetlen kiválasztott irányban rezegnek, az ilyen hullámokat polarizált hullámoknak nevezzük. A harmonikus hullámok terjedéséül szolgáló közeg egyes pontjaiban a részecskék – mechanikai hullám esetén – harmonikus rezgőmozgást végeznek. Nem mechanikai természetű hullámok esetén a periodikus váltakozást jellemző paraméter (nyomás, elektromos vagy mágneses térerősség stb. ) változik az egyes pontokban időben harmonikus függvény szerint. Mivel a harmonikus rezgések és hullámok között az előbbiekben bemutatott szoros kapcsolat van, a harmonikus hullámok jellemzéséhez a harmonikus rezgések ismertetésénél bemutatott paramétereket (amplitúdó, periódusidő, rezgésszám, frekvencia, körfrekvencia, kezdőfázis) használjuk, az ott leírt definíciók szerint. Ezt egészíti ki egy további, a térbeli periodicitást jellemző mennyiség, a hullámhossz. A hullámhossz a hullám két azonos fázisú szomszédos pontja (például két szomszédos maximuma vagy minimuma) közötti távolság valamely


42

rögzített időpillanatban. A hullámhossz jele a λ, SI-mértékegysége a m (méter). Különösen a spektroszkópia területén gyakran alkalmazzák a k hullámszámot, amely a hullámhossz reciprokának 2πszerese:

k

2 . 

(4.12)

(A hullámszám más definíció szerint közvetlenül a hullámhossz reciproka, és megkülönböztetésképp az előző mennyiséget körhullámszámnak nevezik.) A hullámszám 1/hosszúság dimenziójú, SImértékegysége az 1/méter. A mechanikai hullámok terjedési sebességét a közeg mechanikai tulajdonságai (sűrűség, rugalmassági jellemzők), az elektromágneses hullámok terjedési sebességét pedig a közeg törésmutatója határozza meg. A hullám adott közegbeli c terjedési sebessége, λ hullámhossza, k hullámszáma, f frekvenciája, T periódusideje és ω körfrekvenciája között a következő összefüggések vannak érvényben:

c   f 

     . T 2 k

(4.13)

Az (egyenes mentén terjedő) harmonikus hullám egyenletének felírásához tekintsük egy olyan zavart, amely az x  0 helyen, azaz a hullám forrásánál a

 ( 0 ,t )  A  sin (t  o )  f ( t )

(4.14)

egyenlettel írható le, ahol A a hullám amplitúdója, ω a körfrekvenciája és φo a kezdőfázisa. A hullám terjedjen adott c sebességgel az x tengely mentén, pozitív és negatív irányokba. Ekkor az origóból kiinduló, csillapítást nem szenvedő hullám valamely pozitív x, illetve negatív

–x koordinátájú helyre t   x / c , illetve t –   x / c

(4.15)

késéssel érkezik meg. Így a ±x helyen a zavar időbeli változását a

 ( x, t )  f ( t

(4.16)

x / c)

egyenlet jellemzi.

A fenti gondolatmenet alapján a közegben c sebességgel terjedő, A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú és φo kezdőfázisú harmonikus rezgés hatására kialakuló (egydimenziós) harmonikus hullám rezgésállapotát („kitérését”) a

   

x







  x,t   Asin   t    o  c hullámegyenlet írja le.

(4.17)


43

A hullám intenzitását a hullámban egységnyi idő alatt, egységnyi felületen keresztül szállított energiával definiáljuk:

I

E P  , A t A

(4.18)

ahol E a hullámnyaláb energiája, amely az A felületen halad át t idő alatt, és P  E / t a teljesítmény. Az intenzitás teljesítmény/felület dimenziójú, SI-mértékegysége a W/m2. A hullámnyaláb intenzitása egyenesen arányos a hullám amplitúdójának és frekvenciájának négyzetével, és amint arra a (4.18) egyenlet rámutat, a hullámnyaláb átlagos intenzitása a nyaláb teljes teljesítményének és keresztmetszetének hányadosaként számolható ki. Figyeljük meg, hogy a (4.18) egyenlet szerint az átlagos intenzitás nemcsak a nyaláb energiájának növelésével, hanem a nyalábkeresztmetszet csökkentésével, azaz fókuszálással is növelhető. Ennek például komoly jelentősége van akkor, amikor például az ultrahangot nem diagnosztikai, hanem terápiás célokra (kőzúzás, daganatos szövet roncsolása) kívánjuk használni. Ilyenkor a roncsoláshoz szükséges intenzitás nemcsak az ultrahang energiájának növelésével, hanem fókuszálással is elérhető. Ennek köszönhetően a környező szövetek kevésbé sérülnek, hiszen az intenzitás csak egy szűk régióban éri el a roncsoláshoz szükséges értéket, ezáltal célzottabb terápia valósítható meg.

4.4.

Hullámterjedés során fellépő jelenségek

Ha egy hullám terjedés közben olyan közegek határfelületéhez érkezik, amelyekben a hullámterjedési sebesség különböző, a közeghatárról a hullám egy része visszaverődik, a visszamaradó rész pedig megtörve folytatja útját a második közegben (a szóródástól itt és a továbbiakban eltekintünk). Visszaverődés során a közeghatárt elérő hullám nem hatol be a közeghatár túloldalán lévő közegbe, hanem a következő törvényszerűségek szerint változtatja meg a terjedési irányát: 

a visszaverődő hullám a beeső hullám és a beesési merőleges (a határfelületre a hullám beérkezési pontjában állított merőleges) síkjában halad tovább;



a γ visszaverődési szög egyenlő az α beesési szöggel:

.

(4.19)

Beesési szögnek a beeső hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szöget, visszaverődési szögnek pedig a visszaverődött hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szöget nevezzük. Törés esetén a hullám belép a közeghatár túloldalán lévő közegbe, miközben a terjedési iránya az alábbiak szerint változik meg:


44



a megtört hullám a beeső hullám és a beesési merőleges síkjában halad tovább;



az α beesési szög szinuszának és a β törési szög szinuszának hányadosa a két közegre jellemző állandó, az ún. n2,1 (relatív) törésmutató:

sin   n2 ,1  c1 / c2 . sin 

(4.20)

A(4.20) egyenletet SNELLIUS–DESCARTES-törvénynek nevezik. A törési szög a megtört hullám terjedési iránya és a beesési merőleges által bezárt szög, a törésmutató pedig az adott hullám első és második közegben mérhető c1 és c2 terjedési sebességeinek hányadosa. A törésmutató különösen az optikában bír nagy jelentőséggel, ezért a 7.1 fejezetben részletesebben is tárgyaljuk. A visszaverődést és a törést általában elkülönítve szokás tárgyalni, de fontos megjegyeznünk, hogy a két jelenség legtöbbször együtt játszódik le: a határfelületen a hullám egy része visszaverődik az első közegbe, a másik része megtörve belép a túloldali közegbe. Mechanikai hullámok (pl. hanghullámok) merőleges beesése esetén a visszaverődött hullám és a beeső hullám intenzitásainak arányát az alábbi visszaverődési tényező adja meg:

I visszavert  I beeső



Z 2  Z1 Z 2  Z1



2

,

(4.21)

ahol a Z akusztikus ellenállás a közeg ρ sűrűségének és a hullám közegbeli c terjedési sebességének a szorzata:

Z   c .

(4.22)

A hanghullámoknak a különböző akusztikai ellenállású közeget elválasztó határfelületekről történő visszaverődése elsősorban a z ultrahangos diagnosztika szempontjából lényeges.

Hullámok találkozásakor az amplitúdók a hullámtér minden pontjában előjelesen összeadódnak, így a hullámok erősíthetik, illetve gyengíthetik (sőt, akár ki is olthatják) egymást. Ezt a jelenséget interferenciának nevezzük. Két azonos polarizációjú és frekvenciájú hullám interferenciája matematikailag a találkozó hullámok által keltett rezgések pontonkénti összetevésével írható le. Két egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője az eredeti rezgésekkel megegyező frekvenciájú rezgés, amelynek eredő amplitúdóját és eredő fázisát a (4.9) és (4.10) egyenletek írják le. A (4.10) egyenletben a négyzetgyökjel alatti három tag közül az utolsót interferenciatagnak is szokás nevezni. Interferencia során az interferáló hullámok eredő amplitúdóját vagy intenzitását észleljük. Amennyiben az interferenciatag pozitív, akkor erősítésről, ellenkező esetben gyengítésről beszélünk. Az interferenciára képes forrásokat koherens forrásoknak nevezzük. Az interferencia szép példája a vízfelszínen találkozó hullámok által kialakított mintázat. Diffrakcióról (elhajlásról) akkor beszélünk, amikor (a hullámhosszal összemérhető nagyságú) akadályba ütköző hullámok – az interferencia törvényszerűségeit követve – eredeti terjedési irányuktól


45

eltérve haladnak tovább, „elhajlanak”. A diffrakció a HUYGENS–FRESNEL-elv alapján tárgyalható, amelynek tézisei a következőképp fogalmazhatók meg:

4.5.

1.

A hullámfelület minden pontja elemi gömbhullámok kiindulópontja.

2.

Egy adott pontban tapasztalható hatást az elemi hullámok interferenciája alakítja ki.

Hanghullámok, ultrahang

A hang mechanikai hullám: egy közegben lezajló, térben és időben periodikus nyomásingadozás, amely a közeg részecskéit rezgésre készteti. Az emberi fül a 20 Hz és 20 kHz frekvenciatartományba eső hanghullámokat képes észlelni, a 20 Hz-nél kisebb frekvenciájú hangokat infrahangoknak, a 20 kHz-nél nagyobb frekvenciájú hangokat ultrahangoknak nevezzük. A hangok érzeteink alapján hangosság, hangmagasság és hangszínezet tekintetében különböznek, ezeknek a tulajdonságoknak fizikai jellemzők is megfeleltethetők. A hangmagasság a rezgés frekvenciájától függ: minél nagyobb a hanghullám frekvenciája, annál magasabbnak érezzük a hangot. A hangosság (azaz a szubjektív érzet) függ a hangerősségtől (egy objektív ingertől), de befolyásolja a hang frekvenciája is. A (fizikai)hangerősségen vagy hangintenzitáson a hanghullám intenzitását értjük, amely a rezgések amplitúdójától függ. Az emberi fül nagyon széles, 10-12 W/m2 és 100 W/m2 közötti intenzitástartományban érzékel, ezért a hangerősséget egy logaritmikus skálán, ún. decibelskálán szemléltetjük. A viszonyítási alap az 1000 Hz-es hanghoz tartozó hallásküszöb, amely az Io = 10-12 W/m2 értéknek felel meg. A hang decibelben kifejezett hangosságát az

n  10 · log

I Io

(4.23)

összefüggés adja meg. Ezen a skálán a hallásküszöbnek 0 dB, a fájdalomküszöbnek nagyjából 120 dB felel meg. A hangszínezetet az alaphanghoz csatlakozó felhangok frekvenciája és relatív erőssége, vagyis a hang frekvenciaspektruma határozza meg. Az ultrahang emberek számára nem hallható, azonban sok állat érzékeli, közismert, hogy a kutyák reagálnak rá (ultrahangos síp). A denevérek és a delfinek maguk is állítanak elő ultrahangot a tájékozódásuk során.


46

Az ultrahangok nagy frekvenciájuk miatt nagy energiát szállítanak, amely az ultrahang terjedése során a közegben részben elnyelődik és hővé alakul át, ami jelentős hőhatással jár. A közeg részecskéinek rezgését kísérő erők olyan nagyok lehetnek, hogy képesek a közeg molekulái közötti kohéziós erőket felbontani, ezáltal apró folytonossági hiányokat kelteni a szilárd vagy folyékony anyagokba n. Ezt a jelenséget kavitációnak nevezzük. Az ultrahang kémiai hatása jórészt ugyancsak a kavitáción alapul: gyökök keltésével jelentősen befolyásolja a reakciókészséget, valamint diszperziót (az oldhatatlan részek másik fázisban történő szétoszlását) vagy koagulációt (a szilárd fázis kolloid oldatból történő kiválását) okozhatnak. Az ultrahang gyakorlati alkalmazásai közé tartozik az ultrahangos tisztítás, amely során a beszennyeződött ékszereket, orvosi eszközöket, fémtárgyakat folyadékba (általában vízbe) merítik, és a folyadékot ultrahanggal rezgetik. A vízmolekulák a rezgetés hatására folyamatosan ütköznek a fémdarabbal, és eltávolítják az ütközések hatására fellazult szennyeződéseket . Az ultrahangos ködszirénát repülőtereken használják arra, hogy eloszlassák a ködöt a kifutópályák felett. A levegőben ködöt alkotó kicsiny, finoman eloszló vízcseppek ugyanis az ultrahanghullámok hatására ütköznek és egymáshoz tapadnak, majd esőként lehullnak . A kavitáció, valamint az ultrahang hő- és kémiai hatásai a mechanikai hatásokkal együtt képesek befolyásolni a permeabilitást és a diffúziót, így az ultrahang igen összetett biológiai hatást eredményezhet.

A klinikai diagnosztikai gyakorlatban az ultrahangot elsősorban amiatt alkalmazzák, hogy valós idejű képet hoz létre,az ultrahangos vizsgálat során nem teszik ki az emberi szervezetet ionizáló sugárzásnak, valamint az ultrahang segítségével kvantitatív módon meghatározható és leképezhető a véráramlás (lásd a DOPPLER-ultrahangot). Az ultrahang jellemzően kétdimenziós képet ad a vizsgált szövettérfogatról, de megfelelő szoftveres módszerekkel háromdimenziós képalkotás is lehetséges. Ugyanakkor a jelenlegi ultrahangos képalkotási módszerek nem teszik lehetővé a csontok, valamint a gázzal töltött szervek (pl. a tüdő és a belek) mögötti térrészek kielégítő leképezését. Az ultrahangos képalkotáshoz használt fej egy vagy több ultrahangkeltő és -detektáló elemet, ún. transzducert tartalmaz, amely ultrahangimpulzusokat bocsát az emberi testbe. Amennyiben a hanghullámok különböző akusztikai ellenállású közegek határára érnek, a (4.21) egyenlet szerint a hanghullám egy része visszaverődik, amelyet a transzducer visszhangként érzékel. Minél nagyobb az akusztikai ellenállásbeli különbség a két közeg között, annál nagyobb a visszhang intenzitása. (A levegő és a bőr akusztikai ellenállása között olyan nagy a különbség, hogy ha nem használnánk kontaktgélt, amely csatolóközegként szolgál, a transzducert elhagyó ultrahangnyaláb intenzitásának több mint 99%-a visszaverődne!) Az ultrahangimpulzus és a visszhang beérkezése közötti időkülönbségből meghatározható a transzducer és a visszhang keletkezési helye közötti szövetvastagság.


47

5. ábra Az ultrahangos képalkotás elve.

A nyugvó mintából származó ultrahangos visszhang egydimenziós jelet eredményez, amelyben a csúcsok az akusztikus ellenállás mintán belüli nagyobb változásainak felelnek meg (A-scan, amplitude mode). Kétdimenziós képalkotáshoz az ultrahangfejet mozgatni kell. Ez történhet mechanikusan, illetve elektronikus úton, fázisukban hangolt transzducersort alkalmazva. A kapott adatokat számítógép dolgozza fel, és a visszhang-amplitúdó változásának megfelelő szürkeskálaképet alakít ki (B-scan, brightness mode).

Az ultrahangos képalkotás speciális válfaja a DOPPLER-ultrahang. DOPPLER-effektuson azt a jelenséget értjük, amikor egymáshoz képest mozgó hullámforrás és észlelő esetén az észlelő által tapasztalt frekvencia különbözik a forrásból kibocsátott eredeti frekvenciától. Ha a hullámforrás és az észlelő közelednek egymáshoz, az észlelt frekvencia a kibocsátottnál nagyobb lesz, a megfelelő hullámhossz pedig kisebb — a hang magasabbnak tűnik, a fény pedig a spektrum kék tartományának irányába tolódik el. Egymástól távolodó hullámforrás és észlelő esetén az észlelt hang alacsonyabbnak, a fény pedig vörösebbnek tűnik. A DOPPLER-ultrahang segítségével meghatározható a vér áramlási iránya, az áramlás sebessége, és felderíthetők az esetleges turbulenciák.

Felhasznált irodalom: 1.

SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Int., A hang mint mechanikai hullám (belső laboratóriumi jegyzet)

5. Mechanikai alapismeretek III.

48

5. Mechanikai alapismeretek III. Equation Chapter (Next) Section 5

5.1.

Nyomás, hidrosztatika, felhajtóerő

Nyomásnak nevezzük azt a hatást, amely akkor jelentkezik, ha egy erő valamely felületre hat. A p nyomás az erő F nagyságának és az A felületnek a hányadosa:

p

F . A

(5.1)

A nyomás a fizikai-kémiai rendszerek egyik állapothatározója, SI-mértékegysége a pascal (Pa). 1 Pa nyomást fejt ki 1 N nagyságú erő, ha 1 m2 nagyságú felületre hat.

Az (5.1) egyenletből látszik, hogy a nyomás egyenesen arányos az erő nagyságával, és fordítottan arányos a felülettel. Ezt használjuk ki abban az esetben, ha ugyanakkora erőkifejtés mellett a nagyobb nyomás érdekében csökkentjük a felületet (pl. éles kést, szikét, hegyes tűt használunk), vagy a nyomás csökkentését a felület növelésével érjük el (pl. vízágyra fektetjük a beteget, hogy a testsúlyt nagyobb felületen eloszlatva megakadályozzuk a kelések kialakulását, illetve létrát fektetünk a vékony jégfelszínre, és azon keresztül közelítjük meg azt a személyt, aki alatt beszakadt a jég). A nyomás skaláris mennyiség, így nincs iránya, mégis a köznapi szóhasználatban sok esetben (helytelenül!) irányt kapcsolunk hozzá . Ennek oka, hogy a p nyomás által valamely dA felületelemre kifejtett erő:

dF  p  dA  n ,

(5.2)

ahol n a felületre merőleges egységvektor, az ún. normálvektor. Ha tehát a felületelem irányítását megváltoztatjuk, megváltozik a nyomás következtében kifejtett erő iránya, de vegyük észre, hogy maga a nyomás változatlan marad.

A folyadékok súlyából származó nyomást hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. Gondolatban jelöljünk ki egy folyadékot tartalmazó edény fenekén egy A felületet, amely fölött h magasságú vízoszlop helyezkedjen el. A felületelem feletti vízoszlop térfogata V  A  h , tömege m    V    A  h , ahol ρ a folyadék sűrűsége. Ha ezt az (5.1) egyenletbe helyettesítjük, a folyadékoszlop G súlyából (mint erőből) származó nyomás:

p ahol g a gravitációs gyorsulás.

G mg   Ahg ,   A A A

(5.3)


49

Egy (homogén) anyag ρ sűrűségének az anyag egységnyi térfogatának tömegét, azaz szilárd testek esetén a test m tömegének és V térfogatának hányadosát nevezzük:



m . V

(5.4)

A sűrűség SI-mértékegysége a kg/m3, de a gyakorlatban sokszor használjuk a g/cm3 mértékegységet is (1 g/cm3 = 1000 kg/m3). Az Hiba! A hivatkozási forrás nem található. egyenlet inhomogén testek esetén a test átlagsűrűségét adja. Időnként használják a fajlagos (vagy faj-) térfogatot, amely a sűrűség reciproka. (A sűrűséget és a fajtérfogatot egyaránt gyakran nevezik (helytelenül!) fajsúlynak, amely utóbbi a test súlyának és térfogatának hányadosa.) Az (5.3) egyenletből a megfelelő egyszerűsítések elvégzésével következik, hogy a phidr. hidrosztatikai nyomás egyenesen arányos a folyadék ρ sűrűségével és a folyadékoszlop h magasságával:

phidr .   gh ,

(5.5)

ahol g a gravitációs gyorsulás. Az (5.5) egyenletből látható, hogy a hidrosztatikai nyomás nem függ a tárolóedény bármely geometriai paraméterétől. Ezt a megállapítást hidrosztatikai paradoxonnak nevezzük (az elnevezés abból a látszólagos ellentmondásból ered, hogy különböző kialakítású – ezáltal eltérő térfogatú –, azonban azonos szintig feltöltött edények alján ugyanakkora hidrosztatikai nyomás mérhető, ha ugyanazzal a folyadékokkal töltjük meg az edényeket). A hidrosztatika másik, gyakorlati szempontból is fontos jelenségére a PASCAL-törvény mutat rá, amely szerint az összenyomhatatlan folyadékok a rájuk ható nyomást egyenlő mértékben továbbítják a tér minden irányába. Ezen az elven működik a hidraulikus sajtó (prés) és az autóemelő, amelyeknél két összekapcsolt, azonban eltérő keresztmetszetű hengerben tud elmozdulni az összenyomhatatlannak tekinthető folyadékmennyiség. Mivel a PASCAL-törvény és az (5.6) egyenlet értelmében az erő és a keresztmetszet hányadosának állandónak kell lennie, a kisebb keresztmetszetű dugattyúra kifejtett erőt a keresztmetszetek arányával megsokszorozódva képes a nagyobb keresztmetszetű dugattyú kifejteni. (Vegyük észre, hogy az energiamegmaradás tétele ilyenkor sem sérül, ugyanis a nagyobb erőhöz kisebb elmozdulás társul, azaz a két dugattyúnál – a veszteségektől eltekintve – azonos a munkavégzés.)

A PASCAL-törvény következménye az is, hogy a szemfelszínt érő nyomás (például erős levegőáram) a retina sérüléseihez vezethet, hiszen a csarnokvíz az így keletkező túlnyomást gyakorlatilag gyengítetlenül a retinához vezeti.


50

Hétköznapi tapasztalat, hogy a folyadékba (vagy gázba) merített testek könnyebbnek tűnnek. Ennek oka, hogy a folyékony vagy légnemű közegben lévő testekre egy, a gravitációs erővel ellentétes irányú Ffelh. felhajtóerő hat, amelynek nagysága egyenlő a kiszorított folyadék súlyával:

Ffelh.  mkisz. g   foly.Vtest g .

(5.7)

Ez ARCHIMÉDESZ törvénye. Az (5.7) egyenletben g a gravitációs gyorsulás, mkisz. a kiszorított folyadék tömege, ρfoly. a kiszorított folyadék sűrűsége és Vtest a test folyadékba merülő részének (!) térfogata.

5.2.

Deformálható testek mechanikája

Eddigi a kiterjedt testek említésekor hallgatólagosan merev testeket értettünk, amelyek alakja külső erők hatására nem változik meg, azaz a test pontjai a kölcsönhatások során állandó távolságban maradnak egymástól. A kiterjedt testek másik csoportjának erő hatására megváltozik az alakja, ezeket a testeket deformálható testeknek nevezzük. Az erőhatások és a rugalmas test adott felületi normálisa(i)nak relatív helyzete szerint különböző típusú erőhatásokat különböztetünk meg. A húzó- és nyomóerők párhuzamosak a felület normálisával, a nyíróerők merőlegesek a felületi normálisra, a hidrosztatikai (jellegű) erők pedig minden irányból egyformán hatnak a testre.

húzó-/nyomóerő

nyíróerő

hidrosztatikai erő

6. ábra Erőtípusok.

A deformálható testek leírásához használt fontos idealizált modell a rugalmas (HOOKE-féle) alakváltozás. Az ideális rugalmas alakváltozást leíró HOOKE-törvény az alakváltozás okaként a testet érő mechanikai feszültséget jelöli meg, és feltételezi, hogy a test nem szenved maradó alakváltozást, azaz a mechanikai feszültség (illetve az erőhatás) megszűntével visszanyeri eredeti alakját. A test relatív alakváltozásán az erőhatás irányába eső hosszirányú méret Δℓ megváltozásának, valamint az ugyanezen irányú, kiindulási


51

ℓo méretnek a Δℓ/ℓo hányadosát értjük; a mechanikai feszültség pedig az erő F nagyságának és a test erőre merőleges A keresztmetszetének F/A hányadosa. Ezekkel a jelölésekkel a HOOKE-törvény:





1 F  E A

(5.8)

azaz a test relatív alakváltozása egyenesen arányos a testre ható mechanikai feszültséggel. Az arányossági tényező reciprokát az adott anyagra jellemző E rugalmassági modulusnak (vagy YOUNGmodulusnak) nevezzük. A relatív alakváltozásnak nincs mértékegysége, a mechanikai feszültség SImértékegysége a N/m2 = Pa. Az anyagok többségének a rugalmassági modulusa a GPa-os tartományba esik.

Vegyük észre, hogy a spirálrugók Frugó rugóerejének leírására használatos

Frugó  D  x

(5.9)

összefüggés (ahol D a rugó direkciós állandója vagy rugóállandója és Δx a rugó hosszváltozása) tulajdonképpen ekvivalens az (5.8) egyenlettel, ha a rugó geometriai és anyagi paramétereit a D  EA /

állandóba foglaljuk.

A relatív alakváltozásra gyakran alkalmazzák az ε jelölést, míg a mechanikai feszültséget sokszor jelölik a σ betűvel. Ezzel a jelölésrendszerrel a HOOKE-törvény rövidített írásmódú, ám talán még szemléletesebb alakja:

  E

(5.10)

Hasonló összefüggések fogalmazhatók meg a (rugalmas) nyírásra és a kompresszióra is.

7. ábra Nyírás és kompresszió. A nyírás során a deformáció oka a   F / A nyírófeszültség, a deformáció pedig a   x / l  tan szögelfordulással jellemezhető. Ezekkel a jelölésekkel az (5.10) HOOKE-törvény nyírásra vonatkozó alakja:

  G,

(5.11)

ahol G a test nyírási modulusa. Kompresszió esetén a deformációt a testet körülvevő közeg p  F / A nyomása idézi elő, a deformációt pedig a   V / V relatív térfogatváltozás jellemzi. Az (5.10) egyenlet kompresszió esetén a következő alakot ölti:

p  –K   , ahol K a test kompressziómodulusa (a negatív előjel a nyomás hatására bekövetkező térfogatcsökkenést tükrözi).

(5.12)


5.3.

52

Súrlódás, közegellenállás

A súrlódás két egymáshoz képest mozgásban lévő, érintkező felület között fellépő erő, amely (elsősorban a hőfejlődésen és a felület deformációján keresztül) a mozgást lassítani igyekszik, azaz a súrlódási erő iránya mindig ellentétes a mozgás irányával. A súrlódás oka a felületek részecskéi között fellépő vonzóerő. Kétféle súrlódási erőt különböztetünk meg: a tapadási és a csúszási súrlódási erőt. A tapadási súrlódási erő az az erő, amely a nyugalomban lévő felületek között ébred, miközben azokat el akarjuk mozdítani egymáson. A tapadási súrlódási erő nagysága (a felületek elmozdulásáig) mindig egyenlő azzal az erővel, amellyel el akarjuk mozdítani a felületeket egymáson. Ha ez utóbbi erőt fokozatosan növeljük, a felületek elmozdulásának pillanatában a súrlódási erő visszaesik egy, a tapadási súrlódási erő maximális értékénél kisebb értékre. Ez az egymáson elmozduló felületek között ébredő súrlódási erő a csúszási súrlódási erő, amelynek Fsúrl. nagysága arányos a felületeket egymáshoz nyomó erő Fnyomó nagyságával:

Fsúrl .   Fnyomó ,

(5.13)

ahol a μ arányossági tényezőt (csúszási) súrlódási együtthatónak nevezzük. A súrlódási együttható mértékegység nélküli szám, amely a súrlódó testek anyagától, felületi minőségétől függ, ugyanakkor nem befolyásolja az értékét a felületek mérete. A súrlódási erő nem konzervatív erő, azaz a testet a mozgás pályáján visszahúzva nem nyerhetjük vissza a súrlódási erő miatt „elveszített” (helyesebben főleg hőenergiává alakult) energiát. Közegellenállásnak nevezzük azt az erőt, amellyel egy folyékony vagy légnemű közeg lassítja a benne mozgó testet. Kis sebességeknél a közegellenállás arányos a test sebességével, nagyobb sebességeknél annak négyzetével válik arányossá. Minden esetben függ azonban a test alakjától, valamint a közeg viszkozitásától, illetve sűrűségétől. A közegellenállás tehető felelőssé azért, hogy a szabadesés törvényszerűségei ellenére levegőben a különböző alakú testek más-más gyorsulással esnek.

6. Elektromágneses hullámok

53

6. Elektromágneses hullámok 6.1.

Equation Chapter (Next) Section 6Az elektromágneses spektrum

Az elektromágneses sugárzás egymásra merőleges, periodikusan változó elektromos és mágneses tér, amely transzverzális hullám formájában terjed, miközben energiát és impulzust szállít. Az elektromágneses hullámok c terjedési sebessége légüres térben a vákuumbeli fénysebességgel egyenlő (300 000 km/s), vákuumtól különböző közegben ettől kisebb érték (lásd a törésmutatónál):

c

1 , 

(6.1)

ahol ε a közeg elektromos permittivitása és µ a közeg mágneses permeábilitása. (A vákuumbeli fénysebesség előbb említett értéke a (6.1) egyenletből megkapható, ha a permittivitás és a permeábilitás vákuumbeli εo és µo értékeit helyettesítjük a formulába. Vákuumban tehát a különböző típusú, azaz hullámhosszú elektromágneses hullámok azonos sebességgel terjednek.) Elektromágneses sugárzás gyorsuló vagy lassuló elektromos töltések (a legtöbbször elektronok) körül keletkezik, azonban kvantumfolyamatok is felelősek lehetnek az elektromágneses sugárzás kialakulásáért (például a nukleáris folyamatok során keletkező gamma-sugárzás esetén). Általános értelemben valamely fizikai mennyiség energia szerinti eloszlását spektrumnak nevezzük. Ennek megfelelően az elektromágneses spektrum is felosztható különböző tartományokra a sugárzás (foton)energiája szerint, azonban a gyakorlatban inkább az energiának megfeleltethető hullámhossz vagy frekvencia szerinti kategorizálással élünk. hullámhossz

frekvencia

sugárzásfajta

<10 pm 10 pm–1 nm 1 nm–380 nm 380 nm–780 nm 780 nm–1 mm 1 mm–100 000 km 300 µm–30 cm

>30 EHz 300 PHz–30 EHz 789 THz–300 PHz 384 THz–789 THz 789 THz–300 GHz 3 Hz–300 GHz 1 THz–1 GHz

gamma-sugárzás röntgensugárzás ultraibolya (UV-) sugárzás látható fény infravörös (IR-) sugárzás rádióhullámok mikrohullámú sugárzás

7. táblázat Az elektromágneses spektrum tartományai.

6. Elektromágneses hullámok Az elektromágneses sugárzáson belül a következő főbb

54

hullámhossztartományokat szokás

megkülönböztetni: rádióhullámok, mikrohullámú sugárzás (bár ezt időnként összevonják a rádióhullámokkal), infravörös (vagy hő-) sugárzás, látható fény, ultraibolya sugárzás, röntgensugarak és gamma-sugarak. Az elektromágneses sugárzásra ugyancsak érvényes a (4.13) összefüggés, így egy adott közegben a kisebb hullámhosszú elektromágneses sugárzáshoz nagyobb frekvencia társítható. Emellett fontos megjegyezni, hogy minél nagyobb az elektromágneses sugárzás frekvenciája, annál nagyobb energiával rendelkezik a sugárzás (részletesen lásd a fotonenergiánál). A látható fény olyan elektromágneses sugárzás, amely 380 nm és 780 nm közötti hullámhosszával az infravörös és az ultraibolya sugárzások tartományai közé esik. A fényt – mint bármely elektromágneses hullámot – három alapvető jellemzője határozza meg. A fényintenzitás az elektromos és mágneses térerősség-komponensek amplitúdójával van összefüggésben, és az emberi szem fényerőként, fényességként érzékeli. A fény frekvenciája vagy hullámhossza határozza meg a fény színét. A fény polarizációján a rezgés irányát értjük, amelyet az emberi szem normál körülmények között nem érzékel. A fény polarizálhatósága arra bizonyíték, hogy az elektromágneses sugárzás transzverzális hullám. szín IBOLYA KÉK ZÖLD SÁRGA NARANCS VÖRÖS

hullámhossztartomány 380 – 420 nm 420 – 490 nm 490 – 575 nm 575 – 585 nm 585 – 650 nm 650 – 750 nm 8. táblázat A látható tartomány részei.

A fényérzékelést az emberi szem retináján lévő fényérzékeny receptorsejtek, az ún. csapok és pálcikák teszik lehetővé. A csapok három különböző, keskeny hullámhossztartományban (kék, zöldessárga és narancsvörös) elnyelő pigmentmolekulát tartalmaznak, amelyek együttműködése hozza létre a színérzetet (akárcsak a három különböző színösszetevővel működő, RGB-rendszerű képmegjelenítő eszközöknél). A pálcikákban lévő, szélesebb elnyelési tartományú rodopszinmolekulák a fényerősség ingerének kiváltásáért felelősek. Valószínűleg a légkör szelektív sugárzáselnyelő képessége nagy szerepet játszott abban, hogy épp a fenti, igen szűk hullámhossztartomány vált az evolúció során fontossá. A Föld légköre a Napból érkező elektromágneses sugárzás legnagyobb részét elnyeli, szinte kizárólag a


55

rádióhullámokat és a látható fénynek megfelelő tartományt engedi át. Optikai szempontból a rádióhullámokra a földfelszínen lévő kisebb tárgyak, illetve a víz igen csekély hatással van, leginkább magas fémtartalmú anyagokról verődnek vissza. A látható fény azonban igen kis tárgyak felületéről is egyszerű szabályokat követve verődik vissza, és az anyagtól függően általában igen jellegzetes visszaverődési színképet produkál, így az ezt érzékelni képes élőlények jól hasznosítható képet kapnak a környezetükről.

8. ábra Az elektromágneses spektrum.

Az infravörös sugárzás hullámhossza nagyobb, mint a látható fényé. Ugyan szemünkben nem vált ki ingerületet, hőhatása révén bőrünk érzékeli. A termográfia módszere megfelelő detektorok segítségével a tárgyak, élőlények infravörös tartományba eső kisugárzását jeleníti meg. Ezt a gyógyászatban helyi gyulladások, daganatok korai felismerésére, illetve az építőipar és az energetika területén a lakóházak hőszigetelésének vizsgálatára használják. Egyes ragadozók észlelik a zsákmányállat által kibocsátott infravörös sugarakat, és az éjjellátó készülékek is ebben a hullámhossztartományban működnek. A


56

műholdak ugyancsak infravörös tartományban végzik a földfelszín megfigyelését, mert ezt a felhőzet nem zavarja, továbbá infravörös sugarakat bocsát ki a háztartási készülékek távirányítója, illetve a fényképezőgépek távolságmérője is. Az infravörös tartományban végzett spektroszkópiai mérések a minta molekuláris tulajdonságairól szolgáltatnak információt. Az ultraibolya sugarak hullámhossza kisebb, mint a látható fényé, így az emberi szem nem érzékeli, azonban számos rovar, például a háziméh látja az ultraibolya fényt, és ez teszi számára lehetővé egyes virágok felismerését. Az UV-sugárzás jelentős élettani hatásokkal bír: közreműködik a D-vitamin keletkezésében, fokozza a barnulásért felelős pigmentképződést a bőrben. Az intenzív UV-sugárzás roncsolja a sejteket ezért használható sterilizálásra, de bőrgyulladást és bőrrákot is okozhat. Az erős napfény vagy a hegesztés ívfénye kötőhártya-gyulladást okozhat. Az ultraibolya fény egyes anyagokban lumineszcenciát

képes

kiváltani,

amelyet

gyakran

hasznosítanak

sejtalkotók

megfestéséhez

(fluoreszcencia-mikroszkópia) vagy okmányok hamisíthatóságának megakadályozására. A hagyományos üveg elnyeli az UV-sugárzást, így az UV-sugarakkal dolgozó optikai alkalmazásokhoz kvarcüvegből készült optikai elemeket alkalmaznak (ezért szükséges például az UV-spektroszkópiai vizsgálatok során kvarcküvettát használni). A szoláriumokban használt kvarclámpákban higanygőzzel töltött kisülési cső van, és a cső burája ugyancsak kvarcüveg. A röntgensugárzás hullámhossza 10 nanométer és 100 pikométer közé esik. A nagyjából 0,1 nmnél

hosszabb hullámhosszú röntgensugárzást lágy

röntgensugárzásnak, az ennél

rövidebb

hullámhosszúakat (azaz nagyobb energiájúakat) pedig kemény röntgensugárzásnak nevezzük. A kemény röntgensugárzás és a gamma-sugárzás részben átfedik egymást, valójában az elnevezést a sugárzás keletkezési módja határozza meg: a röntgensugárzást nagyenergiájú elektronfolyamatok hozzák létre, míg a gammasugárzás atommag-átalakulások során jön létre. A röntgensugárzás legalapvetőbb előállítási módja, hogy elektront gyorsítanak, majd azt valamilyen nagy rendszámú fémből (gyakran volfrámból, rézből) készült céltárgyba ütköztetik. Ütközéskor a nagysebességű elektronok kölcsönhatásba lépnek az anyag atomjaival: nagyobb részük lefékeződik az atommagokat körülvevő pozitív elektromos erőtérben, kisebb részük pedig kötött elektronokat lök ki az atom mélyebb (K, L, M, N stb. ) héjaiból. Az első esetben az ún. fékezési sugárzás, az utóbbi módon pedig az elektront lefékező anyagra jellemző ún. karakterisztikus sugárzás keletkezik. A fékezési röntgensugárzás keletkezésekor fontos az elektronok sebessége, ugyanis ettől függ a létrejövő sugárzás energiája. Abban a legkedvezőbb esetben, amikor az elektron a mozgási energiáját már az első ütközés alkalmával elveszíti és az teljes egészében sugárzássá alakul át, az adott körülmények között a lehető legnagyobb energiájú (azaz legrövidebb hullámhosszúságú) sugárzás


57

keletkezik. Ennek hullámhosszát a fékezési röntgensugárzás határhullámhosszának nevezzük. A határhullámhosszat röntgencsövek esetén alapvetően a csőre kapcsolt gyorsítófeszültség határozza meg. Az anyagba ütköző nagy sebességű elektronok túlnyomó többsége azonban nem az első ütközés alkalmával adja át teljes mozgási energiáját, hanem csak több ütközés után, fokozatosan fékeződik le. Ennek következtében az egyes ütközésekből kisebb energiájú átalakulások lehetségesek, azaz a keletkező fotonok többségének hullámhossza hosszabb a határhullámhossznál. Végeredményben a fékezési sugárzás – a határhullámhossztól a növekvő hullámhosszak felé – számtalan sokféle hullámhosszúságú fotonból tevődik össze, ezért a spektrumát folytonosnak mondjuk. Karakterisztikus röntgensugárzás akkor keletkezik, amikor a nagy sebességű elektron kilöki a céltárgy egyik belső energianívóján lévő, kötött elektront. Az így ionizált atom relaxációja során egy magasabb energiájú nívóról származó elektronnak ugrik a betöltetlen nívóra. Az eközben felszabaduló energiakülönbség az ütköző anyag atomjaira jellemző energiájú röntgensugárzás formájában távozik, ami éles csúcsokkal rendelkező, karakterisztikus sugárzást eredményez. Ennek megfelelően a karakterisztikus röntgensugárzás spektruma vonalakból álló, ún. diszkrét spektrum. Természetesen a gyakorlatban a két eltérő eredetű spektrumot nem lehet különválasztani, hanem azokat egymásra rakódva detektálhatjuk. A röntgensugárzás (mint bármelyik más elektromágneses sugárzás) elektromos vagy mágneses térrel nem téríthető el. Energiája azonban olyan nagy, hogy ionizáló hatású, ezáltal képes károsítani az élő szervezeteket. Ez a terápia szolgálatába is állítható: a röntgensugárzás alkalmas lehet daganatos sejtek elpusztítására. Kontrollált dózisban diagnosztikai célokra is használják, ugyanis a lágy szövetek és a csontok igen eltérő röntgenabszorpcióval rendelkeznek, így a röntgenfelvételeken (amelyek egyfajta árnyékképként foghatók fel) jól elkülöníthetők. A röntgensugárzás nyomot hagy a fotópapíron, és bizonyos anyagokat lumineszcenciára készteti. A gamma-sugárzás tulajdonságaiban a kemény röntgensugárzáshoz hasonlít, azonban radioaktív bomlás eredménye, az atommagok mesterséges és természetes átalakulásait kísérő gerjesztett állapotok megszűnése során keletkezik. Anyagvizsgálatra, daganatterápiás célokra, az élelmiszeriparban konzerválásra használják. A rádióhullámokat hullámhosszuk szerint csoportosítjuk: megkülönböztetünk hosszúhullámokat (650 m–10 km),

középhullámokat

(180 m–650 m),

rövidhullámokat

(10 m–180 m),

ultrarövidhullámokat (10 cm–10 m), deciméteres, centiméteres és milliméteres hullámokat, valamint mikrohullámokat (300 µm–30cm). A hosszú-, rövid- és középhullámokat a rádiótechnikában használják, az ultrarövidhullámokat egyaránt alkalmazza a rádiós és a televíziós kommunikáció, valamint a


58

radartechnika (a mikrohullámok mellett). A mágnesesrezonancia-tomográfiában (NMR) ultrarövid és deciméteres

hullámokat

használnak,

a

mobiltávközlés

ugyancsak

deciméteres

hullámhossztartományban történik. Mikrohullámokat alkalmaznak gyógyászati célokra is, ugyanis a szövetek belső melegítése, a vérellátás fokozása jótékony hatású bizonyos mozgásszervi megbetegedéseknél. A mikrohullámú sütőben a mikrohullám rezgésbe hozza az élelmiszerekben lévő molekulákat, és a rezgések keltette súrlódás hatására az étel felmelegszik. A mikrohullámú sütőben kialakuló

állóhullámok

csomópontjaiban

nincs

rezgés,

ezért

forgótányér

nélkül

néhány

centiméterenként változnának a hideg és meleg pontok az ételben.

6.2.

A fotonelmélet

Még azelőtt, hogy az elektromágneses sugárzás pontos természetét ismerték volna, a fényinterferencia és -diffrakció megfigyelése azt sugallta, hogy a fényt hullámként kell kezelni. Ugyanakkor a hullámelmélet nem adott magyarázatot többek között a fény energiájának frekvenciafüggésére. Ráadásul annak felismeréséhez is hosszabb idő kellett, hogy a nem látható tartományba eső sugárzástípusokat is az elektromágneses spektrum részeként kell kezelni. Az elektromágneses sugárzás alternatív modelljének, az ún. fotonelméletnek a megalkotását a fotoelektromos hatás tanulmányozása előzte meg. A fotoelektromos hatás során valamely küszöbszintnél nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzás (például kis hullámhosszú látható fény vagy ultraibolya sugárzás) egyes fémeket elektronkibocsátásra kényszerít. Nincs elektronkibocsátás, ha a sugárzás frekvenciája nem éri el a küszöbfrekvenciát, még abban az esetben sem, ha növeljük a megvilágító fény intenzitását. A kibocsátott elektronok sebességét a megvilágító sugárzás frekvenciája, az elektronok számát pedig a megvilágítás intenzitása szabja meg. Mai ismereteinkkel tudjuk, hogy a jelenség magyarázata a következő: a fénysugár fotonjai a fény hullámhosszától (azaz frekvenciájától) függő nagyságú energiával rendelkeznek. A fotonkibocsátás folyamatában ha egy elektron elnyeli egy foton energiáját és nagyobb energiára tesz szert, mint az anyagbeli „kötési energiájával”egyenértékű kilépési munka, akkor kilökődik az anyagból. A foton energiájának egy része kiszabadítja azt az atomból, és a maradék energia lesz az immár szabad elektron mozgási energiája. Ha a foton energiája túl alacsony, az elektron nem képes kilépni az anyag felületéről. Ha növeljük a fénysugárzás intenzitását, az nem változtatja meg a fénysugarat alkotó fotonok energiáját, csak azok számát és így a kibocsátott elektronok energiája végeredményben nem függhet a beérkező sugár intenzitásától.

A fotoelektromos hatás mibenlétét (PLANCK fénykvantumra vonatkozó elmélete alapján) EINSTEIN tisztázta. A fotonelmélet szerint az elektromágneses sugárzás (így a látható fény is) tömeg nélküli részecskékből, ún. fotonokból áll, amelyek az elektromágneses jelenségek lezajlásáért felelősek. A fotonok a vákuumban fénysebességgel terjednek, nem rendelkeznek elektromos töltéssel, azonban


59

energiát és impulzust szállítanak. A PLANCK-féle összefüggés értelmében fotonok E energiája arányos az elektromágneses sugárzás f frekvenciájával:

E  h f ,

(6.2)

aholh = 6,63×10–34 Jsa PLANCK-állandó. A (6.2) egyenlet alapján könnyen megjegyezhető ökölszabály adódik: minél nagyobb az elektromágneses sugárzás frekvenciája, azaz minél kisebb a hullámhossza, annál nagyobb energiát hordoznak magukban a fotonjai, ennek megfelelően annál nagyobb energiát tudnak az anyagnak átadni. Ha például az élő anyag és a sugárzások kölcsönhatását tekintjük, a rádióhullámok jellemzően nem okoznak elváltozásokat, az infravörös sugárzásnak csak hőhatása van, a látható fény már fényinger kiváltásához elegendő gerjesztésre képes, az ultraibolya sugárzásnál nagyobb frekvenciájú sugárzások (pl. röntgensugárzás, gamma-sugárzás) pedig roncsolják a sejteket és komoly genetikai elváltozásokat idézhet elő.

A fotonelmélet az abszorpciós (elnyelési) és emissziós (fénykibocsátási) spektrumok, más szóval színképek keletkezésére is magyarázatot ad. Ha egy atom elnyel egy fotont, az atomon belül egy elektron magasabb energiaállapotba kerül. (Kellően nagy energiájú foton elnyelésekor az elektron el is hagyhatja az atom elektromos terét, ezt a jelenséget fotoionizációnak nevezik). Az előző folyamat inverzeként, ha egy elektron egy magasabb energiaszintről alacsonyabb energiaállapotra tér vissza, a két energianívó közötti energiakülönbség a (6.2) egyenletnek megfelelő frekvenciájú foton kibocsátásával jár. Mivel az atomon belül az energiaszintek diszkrétek (az elektron energiája csak jól meghatározott értékeket vehet fel), a különböző kémiai elemek atomjai jellegzetes energiaértékeken (illetve az azoknak megfelelő frekvenciákon vagy hullámhosszakon) abszorbeálnak, illetve emittálnak.

6.3.

A hőmérsékleti sugárzás

A testek hőmérsékletüknél fogva elektromágneses sugárzást bocsátanak ki, ezt nevezzük hőmérsékleti sugárzásnak. A hétköznapi életben bennünket körülvevő testek azonban olyan hőmérsékletűek, hogy az (amúgy is kis intenzitású) hőmérsékleti sugárzást jórészt a számunkra láthatatlan, infravörös hullámhossztartományban bocsátják ki (az infrakamerák pont a hőmérsékleti sugárzás alapján teszik láthatóvá a sötétben az élőlényeket). Könnyen megfigyelhető azonban ez a hőmérsékleti sugárzás a kovácsolás során vörösen izzó vasdarabnál vagy a felforrósodott vaskályha, tűzhely lapján, illetve a Nap esetén, amely utóbbi sugárzásának maximuma a kb. 6000 K felszíni hőmérsékletnek megfelelően jórészt a látható tartományba esik.


60

9. ábra A feketetest-sugárzás spektruma.

A testek hőmérsékleti sugárzásának leírásához használt modell az ún. abszolút fekete test hőmérsékleti sugárzása. Az abszolút fekete test egy idealizált test, amely tetszőleges hullámhosszú elektromágneses sugárzást képes elnyelni vagy kibocsátani, és értelemszerűen a rá eső sugarakat nem veri vissza. Az abszolút fekete test által kibocsátott hőmérsékleti sugárzás (a feketetest-sugárzás) spektrális eloszlása csak a test abszolút hőmérsékletétől függ. Az abszolút fekete test által kibocsátott teljes E energiafluxus (azaz az abszolút fekete test egységnyi felületeleme által, időegység alatt, a teljes spektrális tartományban kisugárzott energia) a STEFAN–BOLTZMANN-törvény értelmében arányos a test T abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával:

E  T 4 , ahol

σ = 5,67×10–8 Wm–2K–4a

STEFAN–BOLTZMANN-állandó.

(6.3) A

kisugárzott

energia

igen

erős

hőmérsékletfüggését jól mutatja a 9. ábra is, hiszen az egyes hőmérsékletértékekhez tartozó spektrumvonalak alatti területek közel sem lineárisan növekednek a hőmérséklettel. A feketetest-sugárzás maximumához tartozó λmax. hullámhossz T abszolút hőmérséklettől való függését a WIEN-féle eltolódási törvény írja le:

max. 

b , T

(6.4)

ahol b = 2896 μm·K egy állandó. Ennek megfelelően a 9. ábra bejelölt sugárzási maximumai egy hiperbolán helyezkednek el.


6.4.

61

A spektroszkópia alapjai

Az elektromágneses hullámok és az anyag kölcsönhatását a sugárzás fotonenergiája szabja meg. Ezáltal az anyagi rendszer által elnyelt vagy kibocsátott sugárzás elemzésével információkat nyerhetünk magáról az anyagi rendszerről. Ezzel a tudományterülettel a spektroszkópia foglalkozik, amely különösen hasznos az atomi és molekuláris rendszerek (akár távoli csillagászati objektumok) tanulmányozásánál. A továbbiakban a látható és ultraibolya tartományokat vizsgáló UV/VIS-spektroszkópiáról beszélünk részletesen (a VIS a visible (látható) hullámhossztartomány rövidítése), de a vizsgálati módszerek elvei értelemszerűen az elektromágneses sugárzás más tartományaira is érvényesek. (A későbbiekben az egyszerűség kedvéért az elektromágneses sugárzás helyett minden esetben a „fény”szót használjuk. ) Az ultraibolya és látható fény tartományaiban az elektronátmenetek, az infravörös tartományban a molekulák rezgési átmenetei tanulmányozhatók. A molekulák forgási átmeneteinek megfelelő energiák a mikrohullámú sugárzás tartományába esnek, míg az 5

elektronspin- és atommagspin-átmenetek a 10–10 cm hullámhossztartományba eső rádióhullámokkal gerjeszthetők (ez utóbbi módszereket ESR- és NMR-spektroszkópiának nevezik). A röntgentartományban végzett spektroszkópiával az atomok belső elektronhéjai közötti átmenetek során keletkező röntgensugárzás vizsgálható, míg a gamma-spektroszkópia a magátmeneteket kísérő gamma-sugárzás vizsgálatára alkalmas.

Ha egy anyagi rendszert különböző hullámhosszúságú fénnyel világítunk meg, és megvizsgáljuk, hogy ezekben az igen keskeny hullámhossztartományokban a megvilágító fény mekkora hányadát nyeli el a minta, megkapjuk a vizsgált anyag abszorpciós színképét. A keskeny sávszélességű megvilágító fény ún. monokromátorral állítható elő. Az abszorpciós színkép felvétele úgy is történhet, hogy széles hullámhossztartományba eső, összetett („fehér”) fénnyel világítjuk meg a mintát, és a mintán átjutott fény spektrumát elemezzük megfelelő spektrális bontóelem segítségével. Ha ez utóbbi módon egy fényt kibocsátó (pl. izzásban lévő vagy lumineszkáló) objektum által kibocsátott sugárzást tanulmányozzuk, az ún. emissziós színképhez jutunk. A fenti vizsgálatok elvégzésére alkalmas eszközök a spektrográfok vagy spektrofotométerek. A spektrofotométerekben a monokromatikus fénynyaláb intenzitásának gyengülését mérjük, amelyet a minta fényelnyelése okoz. A spektrofotométerek fő alkotórészei a fényforrás, a monokromátor, a mintatartó és a fényérzékelő. Fényforrásként a látható színképtartományban folytonos színképű volfrámszálas izzót, az ultraibolya tartományban hidrogén- vagy deutériumlámpát használnak. A monokromátor feladata, hogy az előbb említett, széles hullámhossztartományban sugárzó


62

fényforrásokból egy-egy keskeny sávszélességű, monokromatikus (helyesebben kvázi-monokromatikus, azaz nagyon keskeny sávszélességű) tartományt kiválasszon. A monokromátorokban az összetett fény felbontását egy spektrális bontóelem (prizma vagy optikai rács) végzi. Az így felbontott nyalábból a kívánt színű komponens rés segítségével választható ki. Az egyszerű prizmák a levegőnél nagyobb törésmutatójú anyagból (többnyire üvegből) készült háromélű hasábok. Az összetett („fehér”) fény különböző színű (hullámhosszú) komponensekből áll. Az eltérő hullámhosszúságú komponensek a prizma anyagának diszperziója miatt a levegő és a prizma oldallapjai által alkotott közeghatárokon kissé eltérő szögekben törnek meg, így a prizmán áthaladva az egyes komponensek legyezőszerű fénypászmaként, különböző irányokban haladnak tovább. A fénysugarak megfordíthatóságának elve miatt a prizma a fénysugár újraegyesítésére is alkalmas. Az optikai rács egyenlő szélességű és azonos szerkezetű párhuzamos rések rendszere. A legismertebb az olyan rács, amelynek egy periódusa egy átlátszó és egy átlátszatlan vonalból áll. Ezt amplitúdórácsnak nevezzük, mert a rajta átmenő fényhullám amplitúdója változik meg aszerint, hogy az átlátszó vagy az átlátszatlan vonalat éri. Másfajta optikai rács esetén a rácsok egy-egy periódusa egy vastagabb és egy vékonyabb réteget hordozó vonalból áll, de a rács anyaga mindenütt egyformán átlátszó. Ezt fázisrácsnak nevezzük, mivel a vastagabb vonalakon áthaladó fényhullám fázisa elmarad a vékonyabbon átmenőhöz képest. A spektroszkópiában gyakran használnak úgynevezett reflexiós rácsokat, amelyek nem átengedik a fényhullámokat, hanem nevükből adódóan visszaverik azokat. (A CDlemez is mutat ilyen tulajdonságokat, emiatt ha ferdén tekintünk rá, szivárványszínű sávokat látunk a vékony barázdák miatt. ) Ha párhuzamos, monokromatikus fénynyalábot bocsátunk egy optikai rácsra, világos és sötét sávokból álló elhajlási képet kapunk . Nem monokromatikus fény esetén a különböző hullámhosszakra nézve más-más szögeknél várható a maximális erősítési irány, vagyis az egyes spektrális komponensek különbözőképp térítődnek el. A maximumok helyei a következőképp írhatók fel:

sin   k

k , d

(6.5)

aholk = 0, 1, 2… az elhajlás rendje, λ a megvilágító fény hullámhossza és d a rács periódusa. A fenti, ún. rácsegyenletből következik, hogy kis szögeknél az eltérítés arányos a hullámhosszal (ami a prizmás spektroszkóp esetében közel sincs így), valamint látható, hogy a spektroszkóp felbontását (amely fordítottan arányos az egységnyi eltérítési szögre eső hullámhossz-tartománnyal), a rács periódusa határozza meg (minél kisebb a rács periódusa, annál nagyobb a felbontás).

Oldatok spektrofotométeres vizsgálatához jól meghatározott vastagságú, üvegből vagy műanyagból készült mintatartó edényeket, ún. küvettákat használnak. Az oldószer, a reagensek, a küvettafal nemkívánatos fényelnyelését referenciaoldat (összehasonlító vagy vakoldat) használatával küszöböljük


63

ki. A referenciaoldat az oldott anyagon kívül a mérendő oldat minden egyéb komponensét ugyanolyan arányban

tartalmazza,

és

a

két

oldatot

azonos

küvettákba

helyezzük.

Az

egysugaras

spektrofotométerekben a megvilágító fénysugár útjába először a referencia-, majd a mérendő oldatot helyezzük. A kétsugaras spektrofotométerek a mérőnyalábot kétfelé bontják: az egyik nyaláb a referencia-, a másik a mérendő oldaton halad át, végül a két nyaláb intenzitását különbségképző erősítő áramkörrel hasonlítjuk össze. A mintán áthaladó fény intenzitásának mérésére fotocellákat vagy ún. fotoelektron-sokszorozót használnak. Ha az Io kezdeti intenzitású (monokromatikus) fénynyaláb halad keresztül oldatokon vagy átlátszó szilárd testeken, az intenzitása az anyagban megtett x út exponenciális függvénye szerint gyengül:

T

I  e   x 100%  . Io

(6.6)

A fenti egyenletben I a mintán áthaladt fényintenzitás, T a minta (gyakran százalékban kifejezett) transzmittanciájaj, μ pedig az adott anyag (hullámhossztól függő) abszorpciós (elnyelési) állandója. A (6.6) egyenletet BEER-törvénynek nevezzük. Híg oldatok esetén a fenti egyenletet gyakran

T  10 cx 100%

(6.7)

alakba írják át, ahol c az oldat koncentrációja, ε egy, az oldatra jellemző állandó (moláris dekadikus extinkciós koefficiens) és x jelen esetben a küvettahossz (helyesebben a küvetta szélessége). A (6.7) egyenletet szokás BEER–LAMBERT-törvényként emlegetni. A minta fényelnyelő képességére jellemző másik mennyiség az

E  log

Io   cx I

(6.8)

extinkció vagy abszorbancia, amelyet optikai denzitásnak is neveznek. Minél nagyobb egy minta elnyelése (ez például a koncentráció vagy az optikai úthossz, azaz a vastagság növelésével érhető el), annál nagyobb lesz egy adott hullámhosszon az abszorbanciája, és ezzel egyidejűleg annál kisebb lesz a transzmittanciája.


6.5.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

Mit nevezünk elektromágneses sugárzásnak? Mekkora az elektromágneses sugárzás (fény) terjedési sebessége vákuumban? Mit nevezünk spektrumnak? Sorolja fel sorrendben az elektromágneses spektrum tartományait! Mi alapján különítjük el az egyes tartományokat? Milyen hullámhossztartományba esik a látható fény? Mi határozza meg a látható fény intenzitását és színét? Transzverzális vagy longitudinális hullám a fény? Mit értünk a fény polarizációján? Mit nevezünk termográfiának? Hogyan viszonyul egymáshoz az infravörös és ultraibolya sugárzás, valamint a látható fény hullámhossza,illetve frekvenciája? Soroljon fel példákat az infravörös sugárzás alkalmazásaira/előfordulására! Soroljon fel példákat az ultraibolya sugárzás alkalmazásaira/előfordulására! Mi a különbség a fékezési és a karakterisztikus röntgensugárzás keletkezése között? Mit nevezünk fotoelektromos hatásnak? Mit nevezünk fotonnak? Hogyan határozható meg a foton energiája (PLANCK-törvény)? Mit nevezünk hőmérsékleti sugárzásnak? Mit nevezünk abszolút fekete testnek? Mit mond ki a STEFAN–BOLTZMANN-törvény? Mit mond ki a WIEN-féle eltolódási törvény? Mit nevezünk abszorpciós és emissziós színképnek? Milyen spektrális bontóelemeket ismer? Ismertesse röviden a spektrofotométer működését! Mit mond ki a BEER–LAMBERT-törvény? Definiálja a következő fogalmakat: transzmisszió, extinkció, optikai denzitás.

Felhasznált irodalom: 1. 2. 3.

64

http://ds9. ssl. berkeley. edu/LWS_GEMS/ http://fizika2010. uw. hu/elektmagn_hull. pdf Maróti P. –Ringler A. (szerk. ): Fizika gyakorlatok orvostanhallgatók részére (Szeged 1992)

7.Optika

65

7. Optika 7.1.

Equation Chapter 7 Section 7A geometriai optika alapjai

A korábbiakban rámutattunk, hogy a fény egyaránt képes elektromágneses hullámként és részecskeként (fotonként) viselkedni. Felmerül a kérdés, hogy az optikai leképezés szempontjából melyik megközelítést célszerű alkalmazni.

10. ábra A törés és a visszaverődés magyarázata a fény részecske- és hullámtermészete alapján.

A 18. század első felében heves vita bontakozott ki a kor természettudósai között a fény természetét illetően. Egy részük H UYGENS kísérletei alapján a fény hullámtermészetét támogatták, mások a fény korpuszkulatermészete mellett álltak ki, arra hivatkozva, hogy NEWTON prizmakísérleteiben a fény egyenes vonalban, rendezett részecskeáramként terjedt, mindaddig, amíg a prizma el nem térítette útjából. Mindkét elméletnek voltak erős és gyenge pontjai. HUYGENS követői egyszerűen tudták magyarázni a fénytörést azzal, hogy különböző terjedési sebességet feltételeztek az egyes közegekben. A részecskeelméleten keresztül a fénytörés csak nehézkesen értelmezhető: a ritkább közegtől a sűrűbb közeg felé mutató, a közeghatárra merőleges vonzóerőket kell feltételezni, amelyek eltérítik a részecskéket az eredeti mozgási irányuktól. Ezzel szemben a síktükörről történő fényvisszaverődés törvényszerűségei egyszerűen magyarázhatók, ha elképzeljük, hogy a részecskék kicsiny gumilabdaként verődnek vissza a tükröző felületről. NEWTON tekintélye ellenére számos kutató nem értett egyet a fény korpuszkulaelméletével, ezt többek között azzal magyaráztak, hogy az egymást keresztező fénysugarak nem befolyásolják egymást, holott a részecskéknek „ütközniük”kellene. YOUNG a 19. század elején végzett fényinterferencia-kísérletei során tett megfigyeléseit csak a fény hullámtermészetével tudta magyarázni, hasonlóképp a polarizációra is a hullámelmélet ad szemléletes értelmezést. Ugyanakkor a 19. század végén felfedezték a fotoelektromos jelenséget, amelynek lényege, hogy a fény megfelelő körülmények között elektronokat képes „kiütni”bizonyos fématomok elektronhéjáról, amire ismét a részecskeelmélet szolgáltatott volna kézenfekvő magyarázatot. Ugyan – amint azt korábban említettük – DE BROGLIE, PLANCK és EINSTEIN munkásságának köszönhetően fény derült arra, hogy mai tudásunk szerint a részecske- és a hullámtermészet hipotéziseinek szintézise együtt képes csak leírni a fényhez kapcsolódó jelenségeket, a „magyarázatkeresés évszázadaiban”megszületett a geometriai optika modellrendszere, amely egyszerűsége ellenére képes magyarázatot adni az alapvető optikai jelenségekre.

7.Optika

66

A geometriai optika olyan modell, amely a fény hullámelméletének és részecskeelméletének elemeiből merítve a következő alaptételekből indul ki: 

A „fény” vagy fénysugár végtelen kicsiny keresztmetszetű fénynyaláb, amely egyenes vonal mentén terjed.



Különböző közegek határán a fény részben visszaverődik, részben megtörve folytatja útját.



A fénysugarak függetlenségének elve kimondja, hogy a tér egy pontján keresztül akárhány fénysugár áthaladhat egymás zavarása nélkül.



A fénysugár megfordíthatóságának elve szerint ha a fénysugár a tér egyik pontjából egy bizonyos útvonalon halad a tér másik pontjába, akkor az onnan visszafelé indított fénysugár ugyanazon az úton fog haladni.

A

fényre

ugyancsak

teljesülnek

a

hullámok

visszaverődésére,

illetve

törésére

érvényes

szabályszerűségek. Fényvisszaverődés során: 

a visszaverődő fénysugár a beeső fénysugár és a beesési merőleges síkjában halad tovább;



a γ visszaverődési szög egyenlő az α beesési szöggel:

.

(7.1)

Fénytörés esetén: 

a megtört fénysugár a beeső fénysugár és a beesési merőleges síkjában halad tovább;



az α beesési szög szinuszának és a β törési szög szinuszának hányadosa a két közegre jellemző állandó, az ún. n2,1 relatív törésmutató:

sin   n2 ,1  c1 / c2 sin 

(7.2)

Egy anyag vákuumra vonatkoztatott törésmutatóját az adott anyag n abszolút törésmutatójának nevezzük:

n  c / c0 ,

(7.3)

ahol c a fény adott közegbeli, co pedig a vákuumbeli terjedési sebessége. Két közeg n1 és n2 abszolút törésmutatója, valamint a közegek egymásra vonatkoztatott n2,1 relatív törésmutatója között a következő összefüggés van érvényben:

n2 ,1  n2 / n1 .

(7.4)

7.Optika

67

A fényvisszaverődés speciális esete a teljes visszaverődés (totálreflexió). Ha a fény egy optikailag sűrűbb (nagyobb törésmutatójú) közegből egy optikailag ritkább (kisebb törésmutatójú) közeg határához érkezik, kellően nagy beesési szög esetén a teljes fénymennyiség visszaverődik a határfelületről. A teljes visszaverődés határszöge a 90°-os törési szögnek megfelelő beesési szög, így erre az  h szögre teljesül a következő egyenlet:

sin h  n21 ,

(7.5)

ahol n2,1 a második (optikailag ritkább) közeg első közegre vonatkoztatott törésmutatója. A teljes visszaverődésen alapul a kommunikációban, valamint az orvosi gyakorlatban széleskörűen alkalmazott optikai szálak működése. Az optikai szál egy igen tiszta, néhány tíz mikrométer átmérőjű üvegszálból és az ezt körülvevő, kisebb optikai törésmutatójú héjból álló vezeték. A fénykábel egyik végén belépő fényimpulzus a vezeték teljes hosszán teljes visszaverődést szenved, így a vezeték hajlítása esetén is – minimális energiaveszteséggel – a szál másik végén fog kilépni. Az endoszkóp olyan orvosi eszköz, mellyel az üreges szervek közvetlenül vizsgálhatók. Léteznek merev és hajlékony eszközök, amelyek a diagnosztikus alkalmazás mellett gyakran egyidejűleg terápiás beavatkozást is lehetővé tesznek. Az endoszkóp belsejében nagyszámú optikai szál található, amelyek egy része a vizsgálandó területhez vezeti a fényt egy külső fényforrásból, más részük a látott képet szállítja a vizsgálóhoz, aki az endoszkóp végébe tekintve látja a vizsgált terület képét, vagy az endoszkóp végére helyezett videokamera segítségével egy monitorra vetíti ki azt. Az endoszkópok belsejében gyakran van egy úgynevezett munkacsatorna is, amelyen keresztül többek között szívás, öblítés, szövetminta vétele lehetséges.

7.2.

Az optikai lencsék képalkotása

11. ábra Az optikai lencsék fő típusai. Balról jobbra: bikonvex, plánkonvex, pozitív meniszkuszlencse, negatív meniszkuszlencse, plánkonkáv és bikonkáv lencse.

Az optikai lencsék transzmissziós optikai elemek, amelyeket két felszínük görbülete alapján csoportosíthatunk. A mindkét oldalán domború lencséket bikonvex, a mindkét oldalán homorú lencséket bikonkáv lencséknek nevezzük. Ha a lencse egyik optikai felülete sík, plánkonvex, illetve plánkonkáv

7.Optika

68

lencsékről beszélünk. Az egyik oldalán homorú, a másik oldalán domború optikai lencséket – attól függően, hogy gyűjtő- vagy szórólencsék – pozitív, illetve negatív meniszkuszlencséknek nevezzük. A bikonvex, plánkonvex és a pozitív meniszkuszlencsék (a lencse törésmutatójánál kisebb törésmutatójú környezetben) gyűjtőlencseként funkcionálnak, azaz a rájuk bocsátott párhuzamos fénysugarakat az ún. fókuszpontba gyűjtik. A fókuszpont és a lencse fősíkjának távolságát fókusztávolságnak nevezzük. A bikonkáv, a plánkonkáv és a negatív meniszkuszlencsék (ugyancsak a lencse anyagánál kisebb törésmutatójú környezetben) szórólencseként viselkednek, és a párhuzamos fénysugárból olyan széttartó nyalábot hoznak létre, amelynek sugarai látszólag a lencse mögötti fókuszpontból indulnak ki. Amennyiben a lencséket az anyaguknál nagyobb törésmutatójú közegbe helyezzük (pl. levegőlencse vízben), a fenti gyűjtő, illetve szóró jelleg felcserélődik. A lencse szimmetriatengelyét optikai tengelynek, az optikai tengely és a lencse metszéspontját optikai középpontnak nevezzük. A továbbiakban az ún. vékonylencsékkel foglalkozunk, amelyeknél a két lencsefelület között mérhető távolság elhanyagolható a lencse fókusztávolságához képest. A lencsék fókusztávolsága a lencse anyagának törésmutatója, valamint a lencse felszíneinek görbületi sugarai ismeretében a lencsekészítők egyenlete segítségével számolható. Vékony, n törésmutatójú lencsék esetén az f fókusztávolság egy no törésmutatójú közegben: 1 1 1   n  no     , f  R1 R2 

(7.6)

aholR1 és R2 a lencse két felszínének görbületi sugara. Paraxiális közelítés esetén, vagyis amikor a fénysugarak csak kis szöget zárnak be az optikai tengellyel, a vékony lencsék képalkotására a következő leképezési egyenlet teljesül: 1 1 1   , f t k

ahol t a tárgytávolság, k a képtávolság és f a fókusztávolság. A (7.7) egyenlet csak akkor teljesül, ha a következő előjelezési szabályokat követjük: 

A fénysugár a leképezés során balról jobbra halad.



Az optikai tengelyen mért mennyiségek balról jobbra irányítva pozitív előjelűek.



Az optikai tengelyre merőleges irányban mért mennyiségek alulról felfelé irányítva pozitív előjelűek.



A görbületi sugarat a középponttól a csúcspont felé mérjük.



A tárgy- és képtávolságot a tárgytól, ill. a képtől a csúcspont felé mérjük.

(7.7)

7.Optika

69

A lencsék által alkotott kép geometriai úton is megszerkeszthető az ún. nevezetes sugármenetek alkalmazásával. Ezek gyűjtő-, illetve szórólencséknél a következők: 

A gyűjtőlencse az optikai tengelyével párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyűjti össze, a szórólencse az optikai tengelyével párhozamos fénysugarakat a töréssel úgy teszi széttartóvá, mintha azok a fény beérkezésének oldaláról egy pontból indultak volna ki.



A gyűjtőlencse a fókuszpontból kiinduló, széttartó fénysugarakat, a szórólencse pedig a látszólagos fókuszpontba összetartó fénysugarakat törés után az optikai tengellyel párhuzamossá teszi.



Ha a lencse elég vékony, akkor az optikai középpontján bármilyen irányból áthaladó fénysugarakat gyakorlatilag nem töri meg.

12. ábra A gyűjtőlencsék képalkotása.

13. ábra A szórólencsék képalkotása.

7.Optika

70

Az oldalnagyítás a következőképpen számítható ki: N 

k K  , t T

(7.8)

ahol k a képtávolság, t a tárgytávolság, K a kép nagysága és T a tárgy nagysága. A tárgy és a kép mérete szerint megkülönböztetünk nagyított és kicsinyített képet, a kép állása lehet egyenes vagy fordított. Attól függően, hogy a kép egy ernyőn felfogható vagy sem, valódi vagy virtuális képről beszélhetünk. A gyűjtő- és a szórólencse által létrehozott kép tulajdonságait az alábbi táblázat foglalja össze. GYŰJTŐLENCSE tárgy

SZÓRÓLENCSE

kép

tárgy

helye

helye

típusa

állása

mérete

2f < t < ∞

f < k < 2f

valódi

fordított

kicsinyített

t = 2f

k = 2f

valódi

fordított

azonos

f < t < 2f

2f < k < ∞

valódi

fordított

nagyított

t=f

±∞

—

—

—

t
|k| > t

látszólagos

egyenes

nagyított

helye

bárhol

kép helye |k| < |f|, t>k

típusa

állása

mérete

látszólagos

egyenes

kicsinyített

9. táblázat A gyűjtő- és szórólencsék által létrehozott kép tulajdonságai.

14. ábra A gyűjtő- és szórólencsék által létrehozott kép tulajdonságai.

7.Optika

71

A lencsék jellemző paramétere a D törőerő, amely az f fókusztávolság reciproka:

D

1 . f

(7.9)

A törőerő SI-mértékegysége az 1/m (vagy m–1), amelyet dioptriának is neveznek. Az egyes optikai lencsék kombinálásával lencserendszerek hozhatók létre. Vékonylencsékből állólencserendszer esetén a lencserendszer eredő D törőereje az egyes tagok Di törőerejének összege:

D  D1  D2  ... .

(7.10)

A (7.9) egyenlet értelmében a fókusztávolságok reciprokosan adódnak össze.

7.3.

Az egyszerű nagyító képalkotása

Az egyszerű nagyító (lupe) kis fókusztávolságú gyűjtőlencse, esetleg korrigált lencserendszer, amely a szembe érkező fénysugarak látószögét növeli meg, azaz szögnagyítást eredményez. A vizsgálni kívánt tárgyat általában úgy helyezzük el a lencse fókusztávolságán belül, hogy a kép a tisztalátás távolságában keletkezzen (lásd a gyűjtőlencsék képalkotásának utolsó esetét), vagy pedig a tárgyat a fókuszsíkba helyezzük, és a végtelenben megjelenő képet a normális szem akkomodáció nélkül szemlélheti. A felső ábra az előbbi, az alsó vázlatok pedig az utóbbi esetet szemlélteti.

15. ábra A lupe képalkotása (a tisztánlátás távolságában).

7.Optika

T

T

 s

72

 f

16. ábra A lupe képalkotása (végtelenre akkomodált szemmel) és a lupe szögnagyítása.

A lupe maximális nagyításának meghatározásához használjuk a fenti ábrákat, ahol T a tárgy nagysága, s a tisztalátás távolsága, f a lupe fókusztávolsága, valamint α és β a kép látószöge lupe használata nélkül, illetve lupe használatával. Geometriai megfontolások alapján tg 

T T és tg   , f s

(7.11)

amelyekből az egyszerű nagyító szögnagyítása kis szögek esetén N

7.4.

 tg  s   .  tg f

(7.12)

Lencsehibák

Az eddigiekben torzításmentes, ideális leképezést feltételeztünk, azonban még a legkifinomultabb optikai rendszerekben sem lehet tökéletesen kiküszöbölni a lencsehibákat. Ez alatt nem a gyártás során fellépő pontatlanságokat és megmunkálási hibákat értjük, hanem a valós lencsék természetszerű képalkotási hibáit. A lencsehibák következtében a tárgypontról kiinduló fénysugarak nem az elméletileg meghatározott pontokban egyesülnek, hanem a hibák fajtájától és erősségétől függően az elméleti egyesülési pontok környezetében, tehát egy pont képe nem pontként, hanem szóródási körként jelenik meg a felfogósíkban. Az összetett lencserendszereket úgy tervezik és építik, hogy a lencsehibák minél kevésbé érvényesüljenek, ill. a lencsetagok egymás hibáit kiegyenlítsék,a korrigálás azonban csak bizonyos határok közt lehetséges. A törésmutató hullámhosszfüggését diszperziónak nevezzük. A látható hullámhossztartományban a legtöbb anyag esetén a diszperzió ún. normális természetű, azaz a törésmutató a hullámhossz növekedésével csökken, így legjobban az ibolyaszínű sugarak törnek meg, legkevésbé pedig a vörös színű sugarak. A diszperzió következtében a lencse a rá érkező fehér fényt az optikai tengelyen az elméleti fókuszpont helyett egy szakasz mentén egyesíti. Ezt a leképezési hibát kromatikus aberrációnak (színi hibának)nevezzük. A színi hiba különböző anyagú szóró- és gyűjtőlencsék kombinálásával csökkenthető, mivel ilyenkor a két lencse egymás hibáit – bizonyos határok közt – ellensúlyozza. A szférikus aberráció (gömbi hiba, nyíláshiba) oka, hogy a lencse optikai tengelyében és a lencse szélső részein nem azonos a lencse gyújtótávolsága. Domború lencséknél az optikai tengelytől távolodva egyre csökken a gyújtótávolság, így az egy pontból kiinduló, a lencse közepén és szélein is áthaladó fénysugarak nem egy pontban egyesülnek, hanem ún. szóródási kört rajzolnak az elméleti fókuszpont körül. Homorú lencséknél ez a hiba ellentétes irányban lép fel, így két megfelelő üveganyagból készült (domború és homorú) lencse összeillesztésével a hiba minimálisra csökkenthető. A szférikus aberráció kiküszöbölése manapság már lehetséges nem gömbfelületekkel határolt, ún. aszférikus lencsetagokkal is, az előre megtervezett, speciális módon változó görbületű lencséknél minimálisra csökkenthető

7.Optika

73

ugyanis a sugárirányú gyújtótávolság-változás. A szférikus aberráció a rekesznyílás szűkítésével is csökkenthető, így a lencse szélső részein áthaladó fénysugarak kirekesztésével csökken a szóródási körök átmérője.

17. ábra

18. ábra

Optikai üvegek diszperziója.

Kromatikus aberrációja és korrekciója akromáttal.

A kóma (üstököshiba) a lencse optikai tengelyével viszonylag nagy szöget bezáró beeső fénysugarak szférikus aberrációjából adódik. Nagy beesési szög esetén a lencse külső részei által rajzolt szóródási körök középpontjai nem esnek egybe a lencse beljebb lévő részei által rajzolt szóródási körök középpontjaival, így végeredményként nem szabályos szóródási kört, hanem az elméleti fókuszpontból kiinduló üstökösszerű csóvát kapunk. A kóma leginkább a képmező széle felé mutatkozik, és elsősorban a nagyfényerejű, nagy látószögű objektíveknél figyelhető meg. A kóma mértéke rekeszeléssel csökkenthető.

19. ábra

20. ábra

A szférikus aberráció kialakulásának oka.

A kóma kialakulása.

Az asztigmatizmus oka, hogy az optikai tengelytől viszonylag távol eső tárgypontból kiinduló fénysugarak közül a lencsén való áthaladást követően a vízszintes síkban haladó sugarak nem ugyanabban a pontban egyesülnek, mint a függőleges síkban haladók. A nem egy pontban egyesülő vízszintes, illetve függőleges sugarak az elméleti fókuszpont környezetében, a fénynyaláb tengelye mentén eltolva pont helyett függőleges ill. vízszintes vonalat rajzolnak. A függőleges és vízszintes sugarak egyesülési pontjai között a tárgypont képe két kereszteződő ellipszis formájában jelenik meg. Az asztigmatizmus kiküszöbölése szintén két különféle üveganyagból készült lencse egymáshoz illesztésével, valamint a rekeszszerkezet helyzetének helyes megválasztásával lehetséges. A képmező-elhajlásoka, hogy a nagy kiterjedésű tárgysík pontjairól a lencse által alkotott kép nem síkban, hanem a lencse görbületéhez hasonló gömbfelületen keletkezik, így a képet felfogó síkban nem keletkezhet a tárgysík minden pontjáról éles kép. A képmező-elhajlás mértéke rekeszeléssel kissé csökkenthető, de kiküszöbölése csak összetett lencsetagokkal lehetséges.

7.Optika

74

22. ábra

21. ábra

A képmező-elhajlás.

Az asztigmatizmus és típusai.

A torzítás (disztorzió) a tárgysíkban lévő egyenes vonalaknak a képsíkban görbe vonalakként történő leképzésében jelentkezik. Ez akkor jön létre, ha az optikai tengelytől távolodva változik a lencse nagyítása. Ha a lencse külső zónáiban kisebb a nagyítás, akkor hordószerű torzítás, ha nagyobb a nagyítás, akkor párnaszerű torzítás tapasztalható. A lencsék szimmetrikus elhelyezésével a torzítás minimálisra csökkenthető, a mai objektívek – a nagy látószögű objektívektől eltekintve – torzításmentesnek tekinthetők.

tárgy

hordó alakú torzítás

párna alakú torzítás

23. ábra A torzítás típusai.

Bár nem szigorú értelemben vett lencsehiba, szót kell ejteni a tükröződésről, amelynek következtében a sima lencsefelületekre érkező fénysugarak egy része a lencsefelületekről visszaverődik, a lencsén irányt változtat, és nem a meghatározott pontban éri el az elméleti egyesülési síkot. Minél több szabad lencsefelület van egy lencserendszerben, annál többször következik be tükröződés, így a soktagú lencserendszerekben már jelentős fényveszteség is fellép. A tükröződés csökkentésére a szabad lencsefelületeket egy- vagy többrétegű tükröződésmentesítő bevonattal látják el. A modern objektívek a legtöbb hibára korrigált összetett lencserendszerek.

7.5.

A sík- és gömbtükrök képalkotása

A legismertebb tükrök a síktükrök, velük lehet a legtöbbször találkozni a mindennapi életben. A síktükör nagyítás nélküli, egyenes állású, virtuális képet hoz létre. Az optikai síktükrök a sugármenetek más irányba fordítására szolgálnak. A gömbtükör egy olyan gömbhéjszelet, amelynek külső vagy belső felülete tükröz. A gömbhéjszelet szimmetriatengelyét optikai tengelynek nevezzük. Az optikai tengely és a gömbszelet közös pontja az optikai középpont. A kiegészítő gömb középpontját geometriai középpontnak nevezzük,

7.Optika

75

a gömb sugara a görbületi sugár. Ha a gömbtükör nyílásszöge, azaz a tükör peremének szemközti pontjai által bezárt szög kisebb, mint 5°, akkor kis nyílásszögű gömbtükörről beszélünk – a továbbiakban csak ezek leképezését vizsgáljuk. A gömbtükröknek két típusa ismert: a homorú (konkáv) gömbtükör és a domború (konvex) gömbtükör. A képalkotás szempontjából a homorú gömbtükör a gyűjtőlencsének, a domború gömbtükör pedig a szórólencsének feleltethetők meg: az optikai tengellyel párhuzamos fénynyalábot a homorú gömbtükör az optikai tengely egy pontjába, a fókuszpontba gyűjti, míg a domború gömbtükör úgy szórja szét a nyalábot, mintha az egy, a gömbtükör mögötti pontból, a virtuális fókuszpontból indult volna ki. Az optikai középpont és a fókuszpont távolságát fókusztávolságnak nevezzük. A gömbtükrök képalkotására – a lencsékre érvényes előjelezési szabályokhoz hasonló konvenciók mellett – ugyancsak érvényes az 1 1 1   f t k

(7.13)

leképezési egyenlet, ahol t a tárgytávolság, k a képtávolság és f a fókusztávolság. . A gömbtükrök f fókusztávolsága és r görbületi sugara között a következő összefüggés van érvényben:

f 

r . 2

(7.14)

Domború gömbtükröt használnak például visszapillantó tükörként, áruházakban, nehezen belátható kereszteződéseknél a látószög növelése érdekében. Homorú gömbtükröt használnak kozmetikai és borotválkozótükörként, mert közelről beletekintve nagyított (virtuális) képet szolgáltat. Ugyancsak homorú gömbtükrök állítanak elő erőteljes párhuzamos fénynyalábot a fényszórókban, reflektorokban (a modern világítástechnikai eszközökben sokszor elliptikus vagy parabolikus profilú homorú tükrök találhatók, amelyeknek jobbak a leképezési tulajdonságai). A homorú és domború gömbtükrök nevezetes sugármenetei a következők: 

A homorú gömbtükör az optikai tengelyével párhuzamos fénysugarakat egy pontba gyűjti össze, a domború gömbtükör az optikai tengelyével párhozamos fénysugarakat a töréssel úgy teszi széttartóvá, mintha azok a fény beérkezésének oldaláról egy pontból indultak volna ki.



A homorú gömbtükör a fókuszpontból kiinduló, széttartó fénysugarakat, a domború gömbtükör pedig a látszólagos fókuszpontba összetartó fénysugarakat visszaverődés után párhuzamossá teszi az optikai tengellyel.



A gömbi középponton átmenő fénysugár önmagában verődik vissza.



Az optikai középponton átmenő fénysugár az optikai tengelyre szimmetrikusan verődik vissza.

7.Optika

7.6.

76

Az emberi szem és a látás, látáskorrekció

24. ábra

25. ábra

Az emberi szem felépítése.

A látási ingerület pályája.

A szemtípusok besorolása szerint az emberi szem lencserendszerrel rendelkező hólyag- vagy sötétkamra-szem. A közelítőleg gömb alakú, átlagosan 25 mm átmérőjű szemgolyó fénytörő részei a szaruhártya, az elülső csarnokot kitöltő csarnokvíz, a kétszer domború, hagymaszerűen rétegzett szerkezetű, kb. 10 mm átmérőjű és 4 mm vastag szemlencse, továbbá a hátsó csarnokot kitöltő, kocsonyás anyagú üvegtest. A szemgolyó falát alkotó három réteg közül a kemény külső réteget ínhártyának nevezzük – ennek elöl kidomborodó és átlátszó része a szaruhártya. A középső réteg hátsó kétharmada a szemet tápláló erekben és sötét színű festékanyagokban bővelkedő érhártya, elülső harmadának vastagabb részében van a szemlencse görbületét szabályozó sugárizom, az ismét elvékonyodó elülső része pedig a szem színét adó szivárványhártya. Ez utóbbi közepén lévő kerek nyílás a pupilla, amelynek átmérője önműködően alkalmazkodik a mindenkori megvilágításhoz. Ezt nevezzük adaptációnak. A szemgolyó falának legbelső, üvegtesttel érintkező vékony rétege a bonyolult felépítésű ideghártya (retina), amelyben a látóideg végződései és az ezekkel összeköttetésben álló fényérzékeny elemek, a csapok és pálcikák helyezkednek el. A retinának a fényre legérzékenyebb része a pupillával szemközti sárgafolt, amelynek közepén található a csapokkal legsűrűbben borított látógödör. A látóideg kilépési helyén sem csapok, sem pálcikák nem találhatók, ez a hely a fényre érzéketlen vakfolt. A szem optikai szempontból olyan centrált rendszernek tekinthető, amelyben a fény lényegében négy gömbi határfelületen törik meg: a szaruhártya és a szemlencse két-két határfelületén, amelyek törőerőssége rendre 48, –5, 7 és 12 dioptria. A szemlencse fókusztávolsága a sugárizmok segítségével változtatható, ezáltal azonos képtávolság mellett lehetővé válik a különböző tárgytávolságokhoz törté nő alkalmazkodás, az ún. akkomodáció. Egy tárgy két pontját csak akkor látjuk különállónak, ha a két pontból kiinduló és a szem ún. csomópontján áthaladó sugarak alkotta látószög nagyobb egy minimális látószögértéknél. Ez utóbbi szög a látásélesség határszöge, amely a tapasztalat szerint kb. 1 ívperc. Ennek megfelelően pl. 1 m távolságból a két pontnak legalább 0,3 mm-re kell lennie egymástól ahhoz, hogy a szem el tudja különíteni azokat. Az 1’ határszög mellett a két pont képe a retinán mintegy 5 μm távolságban van, és mivel nagyjából ugyanekkora egy csap átmérője is, feltételezhető, hogy két tárgypontot csak akkor lehet megkülönböztetni, ha képpontjaik két különböző csapra esnek. Érthető tehát, hogy a felbontóképesség a látógödörben keletkező kép esetén a legnagyobb, ahol maximális a csapok sűrűsége. Ezért ha egy tárgyat élesen kívánunk látni, szemünket a szemgolyó elfordításával öntudatlanul úgy állítjuk be, hogy a tárgy képe a látógödörben jöjjön létre. A szemlencse ugyan képes kompenzálni a különböző tárgytávolságokat, ez az akkomodáció is limitált. Távolpontnak nevezzük azt a legnagyobb tárgytávolságot, amely mellett az egészséges szemű ember még élesen lát, míg a közelpont az a legkisebb távolság, ameddig a tárgyat az éles képalkotás megőrzése mellett a szemhez közelíthetjük. A tisztalátás távolsága, azaz a tárgynak a szemtől mért azon

7.Optika

77

távolsága, amelynél a sugárizmok minimális terhelése mellett a szem hosszabb ideig tud alkalmazkodni, egészséges szemnél 25 és 30 cm közötti. Az előzőek értelmében az éles látáshoz a tárgytávolságnak egy adott minimális értéknél nagyobbnak kell lennie, ezért nem növelhető a látószög tetszőleges mértékben. Ennek az a következménye, hogy bizonyos határon túl a tárgy nagyításához (illetve az apró részletek felbontásához) optikai segédeszközt, például lupét, mikroszkópot kell igénybe venni. Normális látás esetén a szem akkomodációja révén a kb. 25 cm-es közelpont és a végtelen között lehetséges az éleslátás. Ehhez képest két alapvető leképezési hibát különböztetünk meg. A rövidlátásban szenvedő személynél a szemgolyó szemtengelye túl hosszú, így a végtelen távoli pontból érkező párhuzamos sugarak a retina előtt fókuszálódnak, a retinán pedig éles pont helyett egy életlen folt keletkezik. A páciens közelre lát jól, azaz távolpontja kisebb, mint végtelen. Ez a látási hiba(negatív dioptriájú) szórólencsével korrigálható. Távollátásesetén a szemtengely rövidebb a normálisnál, ezért a közelről beeső sugarak a retina mögött fókuszálódnak, a retinán pedig homályos folt keletkezik. A távollátás (pozitív dioptriájú) gyűjtőlencsével korrigálható.

Felhasznált irodalom: 1. 2. 3.

SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Int. , Optika (belső laboratóriumi jegyzet) Az Olympus weboldala Pelyhe János: Világítástechnikai Jegyzet 2006 / Színház és Filmművészeti Egyetem

8. Mikroszkópia

78

8. Mikroszkópia

8.1.

Az egyszerű mikroszkóp képalkotása

Klasszikus értelemben a mikroszkópos képalkotás látható fény segítségével történik. A kép a valós világ egy részének, a tárgynak valamilyen egzakt (matematikai) vagy nem egzakt transzformáció segítségével történő leképezése. A leképezés mindig valamilyen kölcsönhatáson keresztül valósul meg: az optikai mikroszkópia esetén ez a (látható) fény és az anyag közötti kölcsönhatás. A kölcsönhatás lehet lokális, ezt képalkotó eszközök esetén pásztázó üzemmódnak nevezzük, illetve nem lokális, ilyenkor nyalábkölcsönhatásról beszélünk. A fény–anyag kölcsönhatás során az információ a fény irányában, amplitúdójában, fázisában, frekvenciájában és polarizációs állapotában van kódolva, ennek megfelelően a mikroszkópoknál megkülönböztetünk reflexiós, transzmissziós, fáziskontraszt-, fluoreszcens és polarizációs üzemmódokat. Általános értelemben a mikroszkópia körébe tartoznak azok a szabad szemes megfigyelésnél nagyobb felbontást lehetővé tevő leképező eljárások is, amelyeknél az anyag nem fényre, hanem valamilyen más behatásra ad válaszjelet. Az egyszerű mikroszkóp leképező rendszere két korrigált gyűjtőlencse-rendszerből, az objektívből (tárgylencse) és az okulárból (szemlencse) áll. A kis tárgy erős megvilágítását a gyűjtőlencsékből összeállított kondenzorlencse biztosítja. Az objektív a gyújtópontján valamivel kívül eső tárgyról valódi, nagyított és fordított állású képet ad, amelyet az okulár mint lupe szintén megnagyít, így végeredményben a tárgyról erősen nagyított, virtuális és fordított állású kép keletkezik. Mivel az okulárt és az objektívet úgy helyezik el, hogy az objektív által létrehozott kép az okulár fókuszsíkjában keletkezzen, a végső kép végtelenre akkomodált szemmel nézhető.

8. Mikroszkópia

79

26. ábra Az egyszerű mikroszkóp képalkotása.



fob

fok

T K



objektív okulár 27. ábra Az egyszerű mikroszkóp nagyítása.

A mikroszkóp nagyításának meghatározásához tekintsük a fenti vázlatos elrendezést, ahol T és K a tárgynagyság és az objektív által létrehozott kép nagysága, fob és fok az objektív, illetve az okulár fókusztávolsága, valamint Δ az ún. optikai tubushossz, az objektív és az okulár fókuszpontjainak távolsága. Induljunk ki a piros színnel kiemelt két hasonló derékszögű háromszögből. Geometriai megfontolások alapján az objektív és az okulár oldalnagyítása:

N ob 

K   T f ob

és

N ok 

s . f ob

(7.15)

A mikroszkóp névleges nagyítása a (7.16) egyenlet jelöléseivel az objektív és az okulár oldalnagyításának szorzata: N névl .  N ob N ok 

 s . f ob f ok

(7.17)

8. Mikroszkópia

80

A transzmissziós mikroszkópok alsó megvilágítással dolgoznak, így segítségükkel a tárgyak áteső fényben vizsgálhatók. Konstrukciójukból következik, hogy ezzel az eljárással csak olyan objektumokról alkotható kép, amelyek a beeső fénynek valamekkora hányadát átengedik (áttetsző minták, metszetek stb. ).

28. ábra A transzmissziós mikroszkóp felépítése.

A mintát a vízszintesen két, egymásra merőleges irányba mozgatható tárgyasztalra helyezik, amelyet alulról megvilágítanak. A megvilágításnak az alábbi három feltételt kell kielégítenie: 1) a megvilágító sugárkúpok apertúrája egyezzen meg az objektív apertúrájával; 2) a megvilágító sugárkúpok fősugarai a tárgyra merőlegesen vagy legalább közel merőlegesen essenek be; 3) a tárgy kivilágítása egyenletes, homogén legyen. Ezeknek a feltételeknek eleget tevő megvilágítási elvet és rendszert KÖHLER dolgozta ki 1893-ban. A KÖHLER-féle megvilágításnál a fényforrást a kollektorlencse a kondenzorlencse első fókuszsíkjában fekvő változtatható nyílású apertúrarekeszre képezi le úgy, hogy a fényforrás képe a teljesen nyitott rekesz nyílását kitöltse. A kollektor teljes nyílását, illetve a közvetlenül előtte lévő mezőrekeszt a kondenzor a tárgysíkba vetíti. A mezőrekesz zárásával és nyitásával a tárgysíkban kivilágított látómező mérete, az apertúrarekesz zárásával és nyitásával a megvilágító sugarak apertúrája csökken, ill. növekszik.

8. Mikroszkópia

81

29. ábra A világos látóterű felső megvilágítás szigorú KÖHLER-elve.

A mikroszkóp nagyítása elsősorban az objektívfej elforgatásával változtatható. Az objektívfej általában revolverrendszerű, és elforgatásakor más-más nagyítású objektív helyezhető a fényútba. A fókuszálás az éles leképezést biztosító tárgy–objektív távolság beállítását jelenti, amely általában a tárgyasztal vertikális irányba történő mozgatásával történik, durva- és finomállító csavarok segítségével. A végső képet a mikroszkópban az okulár hozza létre. Sztereomikroszkópok esetén az okulárrendszerek egyikének eredő törőerőssége kismértékben változtatható, így kiegyenlíthetők a két szem közötti éleslátásbeli különbségek. A mikroszkópos vizsgálat céljától függően az okulárban szálkereszt és mikrométerskála is elhelyezhető. A fenti modern mikroszkóp metszeti rajzán is megfigyelhető, hogy a két fő lencserendszeren, az objektíven és az okuláron kívül számos lencsetag (pl. a tubuslencse), valamint reflexiós elemek is részt vesznek a képalkotásban.

30. ábra Egy többféle megvilágítást lehetővé tevő mikroszkóp felépítése.

A reflexiós mikroszkópok a tárgyról visszaverődő fénysugarakat képezik le, így átlátszatlan tárgyak vizsgálatára alkalmasak. Ennek megfelelően a reflexiós mikroszkópiában az alsó megvilágítás nem

8. Mikroszkópia

82

alkalmazható, hanem felső megvilágításra van szükség. A reflexiós mikroszkópok gyakran alsó megvilágítási lehetőséggel is rendelkeznek, így transzmissziós mikroszkópként is használhatók. A felső megvilágítás esetén a fényforrást oldalt helyezkedik el, és sugarait féligáteresztő síklappal vagy prizmával vetítik a tárgyra. A síklemezes megoldásnál az objektív teljes apertúrája dolgozik a megvilágításnál és a képalkotásnál egyaránt, de a nyalábosztás miatt a fényveszteség elég nagy (50%-os áteresztést feltételezve a végső képet a megvilágító sugaraknak csak a 25%-a hozza létre). A prizmás nyalábeltérítésnél a fénykihasználás jobb, hátránya azonban, hogy az objektív fél nyílását kitakarja, így csökkenti a feloldóképességet. Egyes reflexiós mikroszkópos vizsgálatoknál (pl. felületek simaságának ellenőrzése) előnyös lehet a ferde beesésű vagy a sötét látóterű felső megvilágítás. Ferde beesésű megvilágításnál a megvilágító nyaláb az árnyékhatásnak köszönhetően háromdimenziós jellegű képet eredményez. Sötét látóterű felső megvilágítás esetén a megvilágító sugarak nem jutnak át az objektíven, így közvetlenül nem világítják meg a tárgyat. A sugarak egy gyűrűs rekeszen haladnak át, amelynek belső köre megfelel az objektív nyílásának, majd egy átfúrt gyűrűs tükörre esnek, onnan visszaverődve, az objektívet hengeresen körülölelve a tárgy irányába haladnak, végül egy alkalmasan megválasztott görbületű kondenzor nagy apertúrával vetíti a sugarakat a tárgyra. Ebben az esetben a mikroszkópos képen csak a tárgy felszíni kiemelkedései vagy bemélyedései jelennek meg fényesen, az objektív tengelyére merőleges sík felület pedig sötét marad, hiszen a szabályosan visszaverődő fénysugarak ismét kikerülik az objektívet, és nem vesznek részt a képalkotásban.

31. ábra Sötét látóterű felső megvilágítás.

8. Mikroszkópia

83

32. ábra Sötét látóterű mikroszkóp segítségével készített kép karcolásokkal borított felületről.

8.2.

Mikroszkópos kontrasztnövelő eljárások

Sok esetben szükség lehet arra, hogy olyan, ún. kontrasztnövelő mikroszkópos eljárásokat alkalmazzunk, amelyek a tárgy struktúráját jobban felismerhetővé teszik, mint a hagyományos, reflexión vagy abszorpción alapuló optikai mikroszkópos módszerek. Ezek a technikák különösen biológiai mintáknál lehetnek előnyösek, ahol a tárgy jórészt vízből áll, és komponensei (pl. a nagyobb sejtalkotók) egyöntetűen kis fényelnyelésűek, kontrasztos határoló vonal nélkül. Míg az amplitúdótárgyak a rajtuk áthaladó fény amplitúdóját (intenzitását) modulálják, és hagyományos optikai mikroszkópiai képük jól strukturált, a fázistárgyak jellemzően a rajtuk áthaladó fény fázisát változtatják meg, és csak speciális, kontrasztnövelő eljárásokkal lehet róluk részletgazdag képet alkotni. Fázistárgy lehet például egy olyan minta, amelynek a törésmutatója állandó, azonban vastagsága helyről helyre változik, illetve amelynek állandó vastagság mellett a törésmutatója változik. A valós tárgyak nem tisztán amplitúdó- vagy fázistárgyak, hanem azok keverékei.

8. Mikroszkópia

33. ábra

34. ábra

Az amplitúdótárgyak és a fázistárgyak tulajdonságai.

A fáziskontraszt-mikroszkóp fényútja.

84

A fáziskontraszt-mikroszkóp kifejlesztéséért FRITZ ZERNIKE 1953-ban Nobel-díjat kapott. A fáziskontraszt-mikroszkóp leegyszerűsítve a tárgy egyes részeinek optikaiúthossz-különbségét alakítja át intenzitáskülönbséggé. A fényforrásból érkező fény apertúrákon, majd a kondenzorlencse elülső fókuszsíkjába helyezett kondenzorgyűrűn halad át, amelynek segítségével gyűrű alakú intenzitásprofil fókuszálódik a mintára. A minta belsejében a különböző törésmutatójú részeket elválasztó felületeken a fénysugár egy része sorozatos reflexiót és törést szenved, illetve diffraktálódik. A diffrakciót nem szenvedett, akadálytalanul továbbhaladó fénysugarak a fázislemez vastag szürke gyűrűjén haladnak keresztül, amely csökkenti a fény intenzitását, fázisát pedig adott fázisszöggel eltolja. A mintán történő áthaladás során diffrakciót szenvedett vagy megtört fénysugarak a fázislemez vékony, átlátszó részén jutnak át. A kapott kép nem más, mint a különböző fázisú fénysugarak egyesítésével létrejövő interferenciamintázat.

35. ábra Áteső fényben és fáziskontraszt-mikroszkóppal készült kép biológiai mintáról.

Azt a fénysugárzást, amely nem hőmérsékleti sugárzásból származik, lumineszcenciának nevezzük. Lumineszcenciasugárzás keletkezésekor egy molekularendszer gerjesztett állapotba kerül,

8. Mikroszkópia

85

általában igen rövid idő alatt visszatér egy alacsonyabb gerjesztett állapotba, végül ez utóbbi gerjesztett állapotból relaxálódik, miközben az átmenetnek megfelelő energiakülönbséget az annak megfelelő hullámhosszú foton formájában sugározza ki. A gerjesztés módjának, illetve a lumineszkáló közegnek megfelelően megkülönböztetünk fotolumineszcenciát, elektrolumineszcenciát, kemilumineszcenciát, biolumineszcenciát stb. A lumineszcencia felhasználása a mikroszkópos vizsgálatokban azon alapszik, hogy a legtöbb szerves vegyület – így számos sejtkomponens – (általában ultraibolya fénnyel) megvilágítva kémiai szerkezetükre jellemző hullámhosszú látható fénnyel lumineszkál. A különböző vegyületek rendszerint más és más színű lumineszcenciafényt bocsátanak ki, s így kémiai összetételükben különböző sejtek vagy alkotórészek a metszetben színük alapján jól megkülönböztethetők. A sajátlumineszcencián kívül felhasználják azt a jelenséget is, hogy a sejtek és szövetek lumineszkáló vegyületek – úgynevezett fluorokróm – igen híg (1:1000–1:5000000) vizes oldatából adszorbeálják a fluorokrómot, és az adszorbeált festék lumineszcenciája segítségével a sejtalkotók megfesthetők, miközben a híg oldat az életműködésüket nem befolyásolja.

36. ábra

10. táblázat

A fluoreszcencia elve.

Fluoreszcens festékek.

Mind a saját, mind az kromofóros lumineszcenciamódszernek az az előnye a klasszikus mikrotechnikai festési eljárásokkal szemben, hogy megkíméli a vizsgálandó szövetet a fixálás és a festés durva kémiai hatásaitól. Az úgynevezett lumineszcencia- vagy fluoreszcenciamikroszkópokcsak abban különböznek a közönséges mikroszkópoktól, hogy a kondenzort és a tárgylemezt ultraibolya sugarakat átbocsátó üvegből (kvarcüvegből) készítik. Ezenkívül a mikroszkópban – rendszerint az objektívlencse-

8. Mikroszkópia

86

rendszer frontlencséjénél – olyan, ún. dikroikus tükröt alkalmaznak, amely a tárgyon keresztüljutott fényből a megvilágító (általában ultraibolya) sugarakat teljesen visszaveri, azonban a fluoreszcenciafényt átengedi. Megvilágításra rendszerint higanygőzlámpát vagy fémelektródokkal működő ívlámpát használnak, amelyek fényéből a látható fényt teljesen kiszűrik, hogy az a lumineszcenciafényt ne zavarja.

37. ábra

38. ábra

A fluoreszcencia-mikroszkópok felépítése.

A többfotonos fluoreszcencia elve.

A két- vagy többfotonos gerjesztésű fluoreszcenciamikroszkópia a mikroszkópia egyik legújabb ága, amelyet a konfokális mikroszkópiával ötvözve egyedülállóan tiszta, háromdimenziós képek készíthetők érzékeny, főleg vizes közegben lévő biológiai mintákról. Jobb feloldást biztosít, ugyanis gerjesztés csak a fókuszpontban következik be, ennek megfelelően tűlyukra sincs szükség (lásd a konfokális mikroszkópnál). A két- vagy többfotonos gerjesztésű fluoreszcencia olyan folyamat, amely során olyan, az egyfotonos fluoreszcenciánál alkalmazott fotonok energiájánál kisebb energiájú fotonokkal gerjesztik a mintát, amelyek energiáinak összege megegyezik az elsődleges fluoreszcencia keltéséhez szükséges energiával. Mivel a módszer a gerjesztéshez kisenergiájú (nagy hullámhosszú) fotonokat alkalmaz, kevésbé roncsolja a mintát. A lézeres konfokális pásztázó mikroszkóp (confocal laser scanning microscope, CLSM) nem a tárgy felszínét, hanem a tárgy (például egy sejt) belsejében kiválasztott síkot képezi le. A konfokális mikroszkópoknál a tárgyat megvilágító fény – általában lézerfény – egy lyukdiafragmán át lép be a mikroszkópba, és az objektíven keresztül (tehát fókuszálva) érkezik a kiválasztott sík egy pontjára. A tárgy

e

pontjáról

visszaszóródott

fényt

–

vagy

a

megvilágított

tárgypontban

keletkező

lumineszcenciafényt – az objektív részben áteresztő tükör közvetítésével egy másik lyukdiafragmára gyűjti, azaz leképezi rá a tárgypontot. A két diafragma optikailag azonos távolságra van az objektívtől (konfokális diafragmák). Ez az elrendezés biztosítja egyrészt azt, hogy a leképezendő tárgypont fókuszált megvilágítást kap, másrészt pedig azt, hogy csak a tárgypont képe éles a második diafragmán, tehát

8. Mikroszkópia

87

főleg a tárgypontból jövő fény jut át a diafragmán át a detektorra, amely még akkor is megfelelő jelet szolgáltat a számítógép számára, ha a tárgypont és az objektív között a tárgynak további fényt szóró és fényt elnyelő részletei vannak. A kiválasztott tárgysíknak (valójában a tárgy egy vékony szeletének) a képe pásztázás közben pontról pontra alakul ki. Mind a pásztázás vezérlését, mind a leképezett pontok koordinátáinak és fényességadatainak rendezett gyűjtését és tárolását számítógép végzi. A pásztázás többnyire a mikroszkóp tengelyére merőleges síkban (X–Y sík) történik, és esetleg több száz egymással párhuzamos rétegre is kiterjedhet (optikai szeletelés). A tárolt adatokból nemcsak X–Y helyzetű rétegek képe, hanem az optikai tengellyel párhuzamos, X–Z rétegképek is előhívhatók. Ilyen módon háromdimenziós betekintést nyerhetünk mérsékelten átlátszó mikroszkópos tárgyak belsejébe is. Az eljárás különösen komoly perspektívát jelent az orvosi és biológiai kutatások számára, hiszen például fluorokrómokkal történő vitális festést alkalmazó esetben egy konfokális leképezés az élő sejtben végbemenő folyamatok dinamikájának a megfigyelését is lehetővé teszi. A CLSM feloldóképessége meghaladhatja a hagyományos optikai mikroszkópét.

39. ábra

40. ábra

Az optikai szeletelés elve.

A konfokális módszer elve reflexiós üzemmódban.

8. Mikroszkópia

88

41. ábra A konfokális módszer elve transzmissziós üzemmódban.

8.3.

A mikroszkópok feloldóképessége

A valódi leképezések során a tárgy egy pontjának képe soha nem pontszerű, hanem koncentrikus gyűrűkből álló elhajlási kép. Amikor két pont leképezésekor a megfelelő elhajlási gyűrűk egymásra rakódnak, a két pont képének elkülönítése annál könnyebb, minél távolabb vannak egymástól az elhajlási képek főmaximumai (azaz középpontjai). Az elkülöníthetőséghez szükséges minimális távolságot adja meg a RAYLEIGH-féle feloldási kritérium: a két képpont akkor különböztethető meg egymástól, ha a két intenzitásmaximum távolsága legalább annyi, hogy az egyik elhajlási kép maximuma a másiknak az első minimumával esik egybe. Ennek matematikai megfogalmazásaként a leképező elem R feloldóképessége(azaz

az

egymástól

még

éppen

elválasztható

képpontok

távolsága)

a

következőképpen adható meg:

R( Rayleigh )  0, 61

 , NA

(7.18)

ahol λ a megvilágító fény hullámhossza és NA a leképező elem numerikus apertúrája. A numerikus apertúra a leképező elembe bejutó fénysugár u félnyalábszöge szinuszának és a közeg n törésmutatójának szorzata:

NA  n sin u .

(7.19)

Az a tény, hogy a feloldóképesség – amellett, hogy fordítottan arányos az objektív numerikus apertúrájával – egyenesen arányos a megvilágító fény hullámhosszával, jól szemléltethető az alábbi felvételpáron. Egy algáról vörös és kék fénnyel megvilágítva készítettek mikroszkópos képet. A nagyobb hullámhosszú vörös fénnyel készült felvételen nem vehető ki az alga finomszerkezete, míg a kisebb hullámhosszú kék fénnyel készült felvételen már ez is látszik. Ez megfelel a fenti képletnek, hiszen a

8. Mikroszkópia

89

kisebb hullámhosszhoz nagyobb feloldóképesség tartozik, azaz két egymáshoz közelebb lévő pontot tudnak még különválasztani.

42. ábra Egy alga mikroszkóppal készített képe 1000×-es nagyításban, vörös (λ = 680 nm, balra) és kék (λ = 458 nm, jobbra) fénnyel megvilágítva.

Meg kell azonban jegyezni, hogy a mélységélesség (depth of field, DOF) – vagyis az az intervallum a fókuszpont környezetében, amelyen belül még elfogadhatóan éles marad a kép – a hullámhosszal egyenesen arányban, az objektív numerikus apertúrájával pedig inverz négyzetes (!) arányban csökken:

DOF ~

 NA2

.

(7.20).

Emellett azt is figyelembe kell venni, hogy a hullámhossz csökkentésével a mintára eső fotonok energiája egyre nagyobb, így egyre intenzívebben roncsolják a mintát, ráadásul az igen rövid hullámhosszak (pl. röntgentartomány) esetén nem áll rendelkezésünkre megfelelő optika a leképezéshez. A numerikus apertúra növelése emellett egyre nagyobb mértékű lencsehibákhoz vezet.

9. Hőtan, kalorimetria

90

9. Hőtan, kalorimetria Equation Section 9

9.1.

Hőmérséklet, hőmérsékletmérés

A hőmérséklet fogalma – hétköznapi szemszögből – az emberi test hőérzetén alapul: a magasabb hőmérsékletű testeket rendszerint melegebbnek, az alacsonyabb hőmérsékletű testeket pedig hidegebbnek érezzük. Ehhez a hőérzethez hozzárendelhető fizikai mennyiség a hőmérséklet, amely általában valamilyen másik, hőmérséklettől függő fizikai mennyiség mérésén keresztül határozható meg. A hőmérséklet az anyagi rendszerek egyik állapotjelzője, intenzív fizikai mennyiség. Ez utóbbi azt jelenti, hogy – az extenzív fizikai mennyiségekkel szemben – a rendszerek összeadódásakor nem adódik össze, hanem hőcsere útján a kiegyenlítődésre törekszik. A különböző hőmérsékletű testek hőmérsékletének kiegyenlítődésekor a végső, egyensúlyi hőmérséklet a két kezdeti hőmérséklet által közrefogott tartományba esik. A hőmérséklet mérésének lehetősége a termodinamika 0. főtételén alapul, amely szerint az egymással termikus egyensúlyban lévő testek hőmérséklete megegyezik. Termikus egyensúlynak nevezzük azt az állapotot, amikor a rendszerek közötti nettó hőcsere zérus. Egy test hőmérséklete úgy határozható meg, ha termikus egyensúlyba hozunk vele egy másik, hőmérőként funkcionáló testet, amelynek hőmérséklete valamilyen hőmérsékletfüggő fizikai jellemzőjén keresztül (kalibrálást követően) mérhető. A hőmérőknél használt, hőmérsékletfüggő fizikai mennyiség lehet például a térfogat (a higanyos, alkoholos vagy más, folyadékszálas hőmérők esetén), az elektromos ellenállás vagy a vezetőképesség (az ellenállás-hőmérők esetén), a folyadékok sűrűsége (az ún. GALILEI-hőmérőnél) vagy a kibocsátott infravörös sugárzás spektruma (az infrakameráknál, pirométereknél). A hőmérséklet történeti skálái két vagy több jól definiálható hőmérsékletérték közötti tartomány(oka)t osztják fel adott számú egységre. A CELSIUS-skála alappontjai az olvadó jég hőmérséklete (0 °C) és a forrásban lévő víz hőmérséklete (100 °C), amelyek közötti tartományt CELSIUS 100 egységre osztotta fel. A FAHRENHEIT-skála alappontjai a negatív értékek elkerülése érdekében Gdańsk 1708-as, legkeményebb telének leghidegebb hőmérsékleti értéke (0 °F) – amelyet FAHRENHEIT egy kedvező tulajdonságú sóoldat fagyáspontjaként reprodukált – és az emberi test hőmérséklete (96 °F). A RÉAUMUR-skála két alappontja ugyancsak a víz fagyáspontja (0 °Ré) és forráspontja (80 °Ré), azonban a


91

köztük lévő tartományban 80 egység található. Érdekes megfigyelést tett JACQUES CHARLES, amikor közös grafikonon ábrázolta különböző anyagú gázok térfogatának hőmérséklet-függését: látható, hogy az egyes gázokra jellemző illesztett egyenesek meredeksége különböző, azonban a koordináta-rendszer bal oldala felé meghosszabbítva a –273 °C-nak megfelelő közös pontban metszik egymást, így a korábban tárgyalt empirikus hőmérsékleti skálák helyett kialakítható egy olyan hőmérsékleti skála, amely nem megállapodáson, hanem fizikai alapokon nyugszik, csak egy alappontot igényel és nem vehet fel negatív értékeket. Ezt a skálát nevezzük ma abszolút hőmérsékleti skálának vagy KELVIN-skálának.

43. ábra Különböző anyagú gázok térfogatának hőmérséklet-függése.

A CELSIUS-skála és a KELVIN-skála egységei azonos hőmérséklet-különbségeknek felelnek meg, a két skála mindössze el van csúsztatva egymáshoz képest. A kelvinben kifejezett T abszolút hőmérséklet és a CELSIUS-skálán mért t hőmérséklet között a

T K   t °C  273,16

(9.1)

összefüggés teremt kapcsolatot. A (9.1) egyenlet használatakor vegyük figyelembe, hogy az átszámítást csak az egyes hőmérsékleti értékek átváltásakor kell alkalmazni, a hőmérséklet-különbségek számértéke a két skálán azonos (azaz például 15 °C hőmérséklet-különbség a KELVIN-skálán is 15 K). A statisztikai fizikai értelmezése szerint a hőmérséklet a rendszert alkotó részecskék hőmozgásból származó átlagos sebességgel van összefüggésben, a hőmozgás az anyag atomjainak, molekuláinak hőmérséklettől függő rendezetlen mozgása. Minél nagyobb sebességgel végzik a molekulák mozgásukat, annál melegebb a test. Míg a légnemű anyagok részecskéi teljesen szabadon mozognak, a szilárd testek részecskéinek hőmozgása helyhez kötött, az egyensúlyi helyzetük körül végeznek rezgőmozgást. A folyadékmolekulák nem mozognak egymástól függetlenül, de hőmozgásuk nem is olyan kötött, mint a


92

szilárd testek részecskéié, egyfajta egymáson elgördülő mozgást végeznek. Nagyszámú részecskéből álló ideális gáz részecskéinek T (abszolút) hőmérséklete a következő összefüggés szerint áll kapcsolatban a gázrészecskék v 2 ún. négyzetes középsebességével:

M  v2 T , 3R

(9.2)

ahol M a gázrészecskék molekulatömege és R az univerzális gázállandó.

9.2.

Hőtágulás

Hőtágulásnak nevezzük azt a fizikai jelenséget, amikor egy anyag hőmérséklet-változás hatására megváltoztatja fizikai méreteit (hosszúságát, felületét, térfogatát). Az anyagok többsége melegítéskor tágul, lehűléskor pedig összehúzódik. Ennek oka az anyagot alkotó részecskék intenzívebb hőmozgásában keresendő, amelynek hatására a folyadékok és gázok részecskéi (ugyanakkora nyomás mellett) nagyobb térfogatot töltenek ki, míg szilárd testek esetén a részecskék nagyobb amplitúdóval végzik folytonos rezgőmozgásukat az egyensúlyi helyzetük körül, így ez okozza a térfogatnövekedést.

A fentiek ellenére találhatók olyan anyagok, amelyek melegítés hatására összehúzódnak. Ezt a jelenséget a hőmérséklet-változást kísérő különleges folyamatok (például különleges kristályszerkezet, fázisváltozások, speciális rezgési módusok) okozzák. Negatív hőmérsékleti együtthatóval rendelkeznek bizonyos kerámiák (pl. a köbös ZrW2O8), adott hőmérséklet-tartományokban a kvarc és számos zeolit, valamint 0 °C és 4 °C között a közönséges víz is. Melegítés hatására ugyancsak összehúzódik a gumiszál, ami az gumi óriásmolekulájú szerkezetének köszönhető. Számos speciális műszaki kerámiát és fémötvözetet pedig úgy alakítottak ki, hogy alig változtassák méreteiket, azaz hőtágulási együtthatójuk közel zérus legyen.

Hőtágulás során – feltéve, hogy nem következik be halmazállapot-változás – a ΔV térfogatváltozás mértéke (az ún. térfogati hőtágulás) egyenesen arányos a test Vo eredeti térfogatával és a ΔT hőmérséklet-változással:

V   Vo T ,

(9.3)

ahol a γ arányossági tényezőt az adott test anyagi minőségtől függő térfogati (vagy köbös) hőtágulási együtthatójának nevezzük. A hőtágulási együttható 1/hőmérséklet dimenziójú, így mértékegysége – az alkalmazott hőmérsékletegységtől függően – 1/°C vagy 1/K. Mivel a hőtágulás függ a kiindulási méretektől, azoknál a testeknél, amelyek kiterjedése a tér valamelyik irányában vagy irányaiban elhanyagolható (például lapos vagy rúd alakú testek, hosszú kapillárisba töltött folyadék stb. ), az adott


93

irányú hőtágulás is elenyésző mértékű lesz. Az ilyen geometriájú testeknél érdemes a lineáris (vagy vonalas) hőtágulással, illetve a felületi hőtágulással számolni. A lineáris és a felületi hőtágulás esetén is teljesül, hogy a tapasztalható Δl hosszúság-, illetve ΔA felületváltozás egyenesen arányos az l eredeti hosszúsággal, illetve az A eredeti felülettel, valamint ugyancsak arányos a ΔT hőmérséklet-változással:

l   lo T

(9.4)

A   Ao T .

(9.5)

és

A (9.4) és (9.5) egyenletekben szereplő α és β tényezők a test lineáris, illetve felületi hőtágulási együtthatói.

A térfogati és a felületi hőtágulás matematikailag felírható a tér két vagy három egymásra merőleges irányában bekövetkező li neáris hőtágulás eredményeként, ebből kiderül, hogy egy anyag lineáris, felületi és térfogati hőtágulási tényezői nem függetlenek egymástól. Jó közelítéssel igaz, hogy a három hőtágulási együttható között a következő összefüggés érvényes:

  2   3 .

(9.6)

Érdemes emellett megjegyezni, hogy a (9.3)–(9.5) lineáris egyenletek csak bizonyos (legfeljebb néhány száz °C-os) hőmérséklettartományban írják le megfelelően a hőtágulási folyamatokat, nagyobb hőmérséklet-változások esetén a magasabb rendű (azaz a hőmérséklet második, harmadik stb. hatványától függő) tagok már nem hanyagolhatók el. Másik fontos kiegészítés, hogy a hőtágulási együtthatók nemcsak az anyagi minőségtől, hanem a hőmérséklettől is függnek, bár hétköznapi körülmények között ez sem számott evő.

Ugyan a gázok részecskéi minden esetben kitöltik a rendelkezésükre álló teret, esetükben is értelmezhető a hőtágulás, ha a gázok térfogatváltozásának hőmérsékletfüggését állandó nyomáson, azaz izobár körülmények között vizsgáljuk. Ebben az esetben kiderül, hogy a gázok térfogati hőtágulási együtthatójára ugyancsak teljesül a (9.3) egyenlet.

9.3.

Hő és hőcsere, kalorimetria

A termodinamika korábban említett 0. főtétele értelmében a hőmérséklet-különbségek a kiegyenlítődésre törekednek, ennek érdekében a magasabb hőmérsékletű helyek felől energia áramlik az alacsonyabb hőmérsékletű helyek felé. A hőcsere folyamatainak leírását alapozta meg JOULE (valamint tőle függetlenül ROBERT VON MAYER), amikor kísérleti úton bizonyította, hogy a mechanikai energia, a munka és a hőenergia egymásba átalakíthatók, így ugyanannak a fizikai fogalomnak, az energiának a különböző

megnyilvánulásai,

következésképp

a

hőenergiát

is

figyelembe

kell

venni

az

energiamegmaradás tételének alkalmazásakor. A hő magában foglal minden olyan energiaváltozást,


94

amely termodinamikai rendszerek kölcsönhatásakor nem fordítódik munkára. A hő SI-mértékegysége a joule (J), akárcsak a mechanikai energiáé és a munkáé, ez is mutatja egyenértékűségüket. Hőcserén a hőmérséklet-különbség keltette energiaáramlást értjük, amelynek következtében – külső munkavégzés hiányában – a magasabb hőmérsékletű rendszer belső energiája csökken, míg az alacsonyabb hőmérsékletű rendszeré nő. A hőcsere fő formái a hővezetés, a hőáramlás és a hősugárzás. A hővezetés (konduktív hőátadás) során a helyhez kötött részecskék hőmozgásból adódó intenzívebb rezgése adódik át részecskéről részecskére szilárd testekben, illetve áramlásmentes folyadékokban vagy gázokban. A hővezetés jellegzetessége, hogy hatására energiaáramlás alakul ki a közegben, azonban ezt nem kíséri anyagáramlás. A hővezetés során a két pont közötti hőáram jQ sűrűsége – azaz az egységnyi keresztmetszeten (A) egységnyi idő (t) alatt áthaladó Q hő – egyenesen arányos a két pont közötti ΔT hőmérséklet-különbséggel és fordítottan arányos a két pont Δx távolságával:

jQ 

Q T  –k· , At x

(9.7)

ahol k az anyagi minőségre jellemző hővezetési tényező. Az egyenlet jobb oldalán lévő negatív előjel azt szemlélteti, hogy a hő mindig a magasabb hőmérsékletű pont felől az alacsonyabb hőmérsékletű pont felé terjed, és látható, hogy a hővezetés okozta hőáram-sűrűség egyenesen arányos a ΔT/Δx (helyesebben dT/dx) hőmérséklet-gradienssel, amely a közeg hőmérsékletének térbeli változási sebességét számszerűsíti. A hőmérsékleti-gradiens geometriailag az x tengely menti hőmérsékleteloszlást szemléltető T(x) görbe mindenkori érintője. A (9.7) összefüggést FOURIER-törvénynek nevezzük. A hőáramlás (konvekció) során a folyadékok vagy gázok helyváltoztatásra képes részecskéi szabad hőáramlás esetén elsősorban a felhajtóerő, kényszerített hőáramlás esetén pedig valamilyen külső hatás (például keverés) hatására mozdulnak el, és hőállapotuk így terjed egyik helyről a másikra. A hőáramlást tehát az különbözteti meg a hővezetéstől, hogy az energiaáramlást itt makroszkopikus anyagtranszport is kíséri. Kis hőmérséklet-különbségek esetén a hőáramlásra is teljesül, hogy az energiatranszport sűrűsége egyenesen arányos a hőmérséklet-különbséggel. A hősugárzás az egyetlen olyan hőterjedési forma, amely nem igényel közvetítő közeget, ugyanis a hőmérséklet infravörös sugárzás útján adódik át egyik testről a másikra. A STEFAN–BOLTZMANN-törvény értelmében a hőmérsékleti sugárzás során kisugárzott energiasűrűség egyenesen arányos a test abszolút hőmérsékletének negyedik hatványával. A hőcsere következtében megváltozik az anyagok belső energiája, ami a test hőmérsékletének megváltozásában nyilvánul meg. Adott hőmennyiség leadása vagy felvétele esetén azonban a különböző testek hőmérséklete anyaguktól és tömegüktől függően más-más mértékben változik meg. A fajlagos hőkapacitás (régi nevén fajhő), megadja, hogy mennyi hőt kell közölni egységnyi tömegű anyaggal


95

ahhoz, hogy a hőmérséklete egy kelvinnel (illetve egy CELSIUS-fokkal) megemelkedjen. Egy (homogén anyagú) test c fajhője kiszámítható a testtel közölt Q hő, valamint a test m tömegéből és ΔT hőmérséklet-változásából képzett szorzatának hányadosaként:

c

Q , m  T

(9.8)

így a fajhő SI-mértékegysége a J/(kg∙K), de gyakran használják a J/(kg∙°C) egységet is. Vannak olyan esetek, amikor célszerűbb az egységnyi hőmérséklet-változáshoz szükséges hőt nem tömegegységre, hanem a vizsgálat tárgyát képező egész testre vonatkoztatni, különösen akkor, ha a test nem egynemű, hanem többféle, különböző fajlagos hőkapacitású anyagból épül fel (például ilyen az emberi test). Ebben az esetben a fajlagos hőkapacitás helyett az ún. hőkapacitással dolgozunk, amelynek definíciója annyiban különbözik a(9.8) egyenlettől, hogy nem tartalmaz tömegre való normálást. A hőkapacitás megadja, hogy mennyi hőt kell közölni az adott – nem feltétlenül egységnyi tömegű– testtel ahhoz, hogy a hőmérséklete egy kelvinnel (illetve egy CELSIUS-fokkal) megemelkedjen. Egy test C hőkapacitása kiszámítható a testtel közölt Q hő és a test ΔT hőmérséklet-változásának hányadosaként:

Q . T

C

(9.9)

A hőkapacitás mértékegysége a J/K vagy a J/°C.

A fajhő elsősorban anyagi minőségtől függő mennyiség, és értéke annál kisebb, minél „könnyebb”egy adott anyagot felmelegíteni. Kis mértékben függ azonban a hőmérséklettől is, bár a gyakorlatban néhány 100 °C-os tartományon belül állandónak tekinthető. A termodinamika 3. főtételének következménye, hogy az anyagok fajhője az abszolút nulla fok felé közeledve zérushoz tart. A fajhő értékének meghatározásakor megkülönböztetjük az állandó hőmérsékleten mért fajhőt (cT) és az állandó nyomáson mért fajhőt (cp). Az állandó nyomáson tartott rendszer hőkapacitása mindig nagyobb, mint az állandó térfogatú rendszeré, azonban a szilárd testek és a folyadékok kétféle fajhőértéke gyakorlatilag megegyezik, légnemű közegek esetén azonban jelentősen különböznek. Homogén anyagú testeknél a(9.8) és (9.9) összefüggések alapján egy m tömegű homogén test C hőkapacitása és c fajlagos hőkapacitása között a következő összefüggés teremt kapcsolatot: C  mc .

(9.10)

Ha a test több, különböző fajhőjű részegységből tevődik össze, a hőkapacitás az egyes fajhők megfelelő résztömegekkel súlyozott összegeként adódik: C 

 mi ci .

(9.11)

i

A fajlagos hőkapacitáshoz hasonlóan definiálható a moláris hőkapacitás (vagy mólhő), amely az egységnyi n anyagmennyiségű anyag egységnyi ∆T hőmérséklet-változásához szükséges Q hővel egyenlő: cM 

A mólhő mértékegysége a J/(mol∙K) vagy a J/(mol∙°C).

Q nT

.

(9.12)


96

A testek és környezetük kölcsönhatásakor a hőcsere fentiekben említett módozatainak hozzájárulásai általában nem különíthetők el élesen. Együttes hatásukat írja le a NEWTON-féle lehűlési törvény, amely egy To hőmérsékletű környezetben lévő, eredetileg Tmax hőmérsékletű test T hőmérsékletének időbeli változását írja le. Az összefüggés értelmében a kölcsönhatás kezdetétől számított t időpontban a test hőmérséklete:

T (t )  To + Tmax.  To  e t .

(9.13)

A (9.13) egyenletben szereplő, anyagi minőségtől és geometriai jellemzőktől függő κ exponenciális tényezőt a test lehűlési sebességállandójának nevezzük:



k A  ,  c V

(9.14)

aholk, ρ és c rendre a test hővezetési tényezője, sűrűsége és fajlagos hőkapacitása, az A/V hányados pedig a test felület–térfogat aránya.

9.4.

Ideális és reális gázok állapotváltozásai

Ideális gázoknak nevezzük azokat a gáz halmazállapotú anyagi rendszereket, amelyeknél a részecskék elhanyagolható méretű, de tömeggel rendelkező golyókként foghatók fel, és köztük a rugalmas ütközésen kívül más kölcsönhatás nem lép fel. Az ideális gázok modellje kielégítő módon írja le a néhány atomos, inert gázok (különösen a nemesgázok) viselkedését. Az ideális gázok állapotváltozásai során kitüntetett szerepet töltenek be azok az állapotváltozások, amelyek során a gáz valamely állapotjelzője állandó értéken marad. A gázok állapotjelzői közé soroljuk a gáz nyomását, térfogatát és hőmérsékletét. Az állandó nyomáson, térfogaton vagy hőmérsékleten lejátszódó állapotváltozásokat rendre izobár, izoterm, illetve izochor állapotváltozásoknak nevezzük. A tankönyvek általában külön-külön tárgyalják a fenti állapotváltozásokat leíró BOYLE–M ARIOTTE- és GAY–LUSSAC-törvényeket. Mi a továbbiakban csak az ideális gázok állapotegyenletét tárgyaljuk, mert abból (akárcsak a belőle származtatott egyesített gáztörvényből) az előbbi összefüggések levezethetők, ha az állandó értéken tartott paraméterekkel egyszerűsítünk.

Az ideális gázok állapotegyenlete összefüggést teremt az ideális gáz p nyomása, V térfogata, n anyagmennyisége (illetve N részecskeszáma), valamint a gáz T abszolút hőmérséklete között:


pV  nRT  NkT ,

97 (9.15)

ahol R = 8,314 J/(mol∙K) az univerzális gázállandó és k = 1,38×10-23 J/K a BOLTZMANN-állandó. A (9.15) egyenlet az állapotváltozások minden egyes infinitezimális lépésében, így az azok kezdetén és végén is teljesül az ideális gázokra, ha az egyenletbe a gázra az adott pillanatban érvényes állapotjelzők értékeit helyettesítjük be. A reális gázok részecskéi nem tekinthetők kiterjedés nélkülieknek, valamint a közöttük (illetve a gázrészecskék és az edény fala közötti) kölcsönhatás sem hanyagolható el. Ezek az ideális gázokhoz képest jelentkező különbségek egy térfogat- és egy nyomáskorrekciós tagként jelentkeznek az ideális gázok állapotegyenletéből származtatható, reális gázokra vonatkozó állapotegyenletben. Ehhez az ideális gázokra vonatkozó állapotegyenlet szerint a gáz rendelkezésére álló V térfogatot le kell csökkenteni egy, az N részecskeszámmal arányos térfogatértékkel, amely a gázrészecskék saját térfogatát képviseli. A részecskék közötti kölcsönös vonzást az ún. VAN DER WAALS-erők okozzák, az ezt reprezentáló korrekciós nyomástag egyenesen arányos az N részecskeszám négyzetével (hiszen részecskepárok közötti kölcsönhatásról van szó) és fordítottan arányos a V térfogat négyzetével (ugyanis minél távolabb vannak egymástól a részecskék, annál kisebb a köztük fellépő erő). A fentiek értelmében a reális gázok állapotegyenlete (más néven a VAN DER WAALS-egyenlet) a következő alakot ölti:

 a  n2  p    V  b  n   nRT  NkT , V2  

(9.16)

ahol a és b anyagi minőségtől függő állandók.

9.5.

Halmazállapot-változások

A legtöbb anyag – a hőmérséklettől és a nyomástól függően – három különböző halmazállapotban (szilárd, folyékony vagy légnemű) lehet stabil állapotú, ezt egészíti ki a negyedik halmazállapotnak tekintett plazmaállapot. Elvileg mindegyik anyag mindegyik halmazállapotban előfordulhat, azonban sok esetben a hőmérséklet növelésével kémiai átalakulás (pl. hőbomlás) következik be, emiatt bizonyos szilárd anyagoknak nem létezik folyékony vagy légnemű halmazállapotú változata. A szilárd halmazállapotú anyagok jellemzője a szerkezeti szilárdság, valamint a térfogatuk és alakjuk megváltoztatásával szembeni ellenállás. A szilárd anyagok atomjai szabályos kristályrácsban (pl. a fémeknél vagy a jégnél), illetve az amorf anyagoknál (pl. az üvegnél) rendezetlen formában, szorosan kötöttek egymáshoz, ezért a szilárd halmazállapotú anyagok megőrzik alakjukat. A folyadékok részecskéi


98

között ható erő jóval kisebb, mint a szilárd anyagok esetén, és ugyan ez még mindig elegendő a folyadékok anyagának összetartására, a részecskék képesek elgördülni egymáson, így a folyadékok felveszik a tárolóedény alakját. A folyadékok folyási tulajdonságait számszerűsíti a viszkozitás. A NEWTONféle súrlódási törvény szerint az A felületű folyadékrétegek egymás feletti elmozdulásakor ébredő F erő, valamint az egymástól Δx távolságban lévő rétegek közötti Δv sebességkülönbség között a következő összefüggés írható fel:

F v  , A x

(9.17)

más szavakkal a folyadékokban ébredő F/A nyírófeszültség egyenesen arányos a rétegek között kialakuló Δv/Δx (helyesebben dv/Δx) sebességgradienssel. Az előbbi két mennyiség közötti η arányossági tényezőt a nevezzük a folyadék viszkozitásának, amely anyagi minőségtől és a hőmérséklettől is függő paraméter. A viszkozitás SI-mértékegysége a Pa·s. A viszkozitás az anyagok folyékonyságának mértéke, nagy viszkozitású anyagok (pl. a méz) nehezen, míg a kis viszkozitású anyagok (pl. a víz) könnyen folynak. A (9.17) egyenletet követő folyadékokat newtoni folyadékoknak nevezzük. A folyadékok erőtérmentes környezetben a felületi feszültségnek köszönhetően gömb alakot vesznek fel, azaz a lehető legkisebb térfogatra törekszenek, valamint a felületi feszültség következménye a cseppképződés és az a jelenség, hogy bizonyos tárgyak és állatkák nem süllyednek el a vízben, bár a sűrűségük nagyobb, mint a folyadéké. A felületi feszültség kialakulásának oka, hogy míg a folyadék belsejében a folyadékrészecskékre szimmetrikusan hatnak a körülötte lévő részecskék által kifejtett vonzóerők (az. ún. kohéziós erők), a folyadék felszínén ez a szimmetria megtörik, és a felületi részecskéket a folyadék belseje felé igyekszik vonzani. A felületi feszültség a felület egységnyi hosszúságú vonalában ható erővel (N/m), vagy az egységnyi nagyságú felület létrehozásához szükséges munkával (J/m²), az ún. felületi munkával egyenlő. A légnemű halmazállapotú részecskéi között olyan kicsi a vonzóerő, hogy a légnemű anyagok nemcsak az alakjukat, hanem a térfogatukat sem képesek megőrizni, így kitölti a rendelkezésükre álló teret. A légnemű anyagok lehetnek gőzök vagy gázok: az ún. kritikus hőmérséklet alatt gőzökről, felette pedig gázokról beszélünk. A kritikus hőmérséklet az a hőmérsékleti érték, amely alatt a nyomás növelésével az adott légnemű anyag cseppfolyósítható. A gőzök tehát cseppfolyósíthatók, a gázok azonban csak a kritikus hőmérséklet alá hűtve (azaz gőzzé alakítva). A plazma gázokból keletkezik a részecskék ionizációja révén. Nagyon magas hőmérsékleten, sugárzás vagy elektromos kisülés hatására az atomokról elektronok szakadnak le. Plazmaállapotban szabadon mozgó pozitív ionok és negatív elektronok vannak jelen olyan arányban, hogy az egész rendszer elektromosan semleges. A szabadon mozgó részecskék miatt a plazma jól vezeti az elektromos áramot.


99

Az anyagok egyik halmazállapotból a másik halmazállapotba történő átalakulását minden esetben hőfelszabadulás vagy hőelnyelés kíséri, ezt nevezzük látens hőnek. (A látens = „rejtett”elnevezés onnan ered, hogy ilyenkor a hő elnyelését nem kíséri hőmérséklet-emelkedés, amíg a halmazállapot-változás teljes egészében le nem zajlik. A látens hőt sok esetben konkretizálják az adott halmazállapot-változás szerint olvadáshőként, fagyáshőként, párolgáshőként stb.). A halmazállapot-változást kísérő QL hőelnyelés vagy hőfelszabadulás arányos az anyag m tömegével:

QL  L·m,

(9.18)

ahol az L(fajlagos látens hőnek is nevezett) állandó az anyagi minőségtől és az adott halmazállapottól függő állandó (pl. (fajlagos) fagyáshő, forráshő, párolgáshő stb. ), amely számszerűen megadja az egységnyi tömegű anyag teljes egészében történő, állandó hőmérsékleten végbemenő átalakulását kísérő hőfelszabadulást vagy -elnyelést.

44. ábra A halmazállapot-változás (fázisátmenet) grafikus összefoglalója

9.6.

A termodinamika főtételei

A termodinamika főtételei a klasszikus termodinamika alapelveit rögzítő posztulátumok. A termodinamika 0. főtételét már korábban említettük a hőmérsékletmérés kapcsán. A termodinamika 1. főtétele azt mondja ki, hogy nyugvó és zárt termodinamikai rendszer belső energiáját


100

kétféleképpen,munkavégzéssel vagy hőközléssel lehet megváltoztatni (feltételezve, hogy rendszerben nem zajlik le fázisátalakulás vagy kémiai reakció). Matematikai formában tehát a rendszer belső energiájának ΔE megváltozása egyenlő a rendszeren végzett W munka és a rendszerrel közölt Q hő összegével:

E  W  Q.

(9.19)

Bizonyos esetekben a CLAUSIUSTÓL származó előjelezési konvenció értelmében a rendszer által végzett munkát veszik figyelembe, így a(9.19) egyenlet a E  W  Q .

(9.20)

alakot ölti.

A termodinamika 1. főtétele az energiamegmaradás tételét fogalmazza meg termodinamikai rendszerekre nézve, és következménye, hogy nincs olyan periodikusan működő gép, (ún. elsőfajú perpetuum mobile, örökmozgó), amely hőfelvétel nélkül képes lenne munkát végezni. A termodinamika 2. főtételének CLAUSIUS-féle megfogalmazása szerint a hő alacsonyabb hőmérsékletű helyről magasabb hőmérsékletű helyre magától nem megy át, ez csak külső munka (tehát a környezetben létrejövő más változás) árán érhető el. Ez az állítás egyenértékű a törvény PLANCK-féle megfogalmazásával, amely azt mondja ki, hogy nem lehet olyan periodikusan működő készüléket (ún. másodfajú perpetuum mobilét) szerkeszteni, amelynek működése kizárólag abból állna, hogy egy hőtartály hőtartalmát teljes egészében mechanikai munkává alakítja át.

A termodinamika 2. főtételének modern megfogalmazásához be kell vezetni az entrópiát, amely egy extenzív állapotjelző, szemléletesen a rendszer rendezetlenségének mértéke. Ha egy rendszer lehetséges állapotait az {x1, x2, x3…}, amelyek valószínűsége rendre {p1, p2, p3…}, akkor a rendszer Si entrópiája az xi állapotban: S i   k·ln pi ,

(9.21)

ahol k a BOLTZMANN-állandó. A termodinamika második alaptörvénye az entrópia felhasználásával a következőképpen fogalmazható meg: izolált rendszerek entrópiája nem csökkenhet, spontán módon csak azok a folyamatok mennek végbe, amelyek entrópianövekedéssel járnak.

A termodinamika 3. főtétele Nernst megfogalmazása szerint azt mondja ki, hogy az abszolút tiszta kristályos anyagok entrópiája 0 K hőmérsékleten zérus. Ennek az a következménye, hogy az abszolút nulla hőmérséklet (0 K) elvileg tetszőleges pontossággal megközelíthető, de nem érhető el.

9. Hőtan, kalorimetria Felhasznált irodalom: 1. 2.

Wikipedia Maróti–Laczkó: Bevezetés a biofizikába

101

10. Elektromosságtan és mágnességtan

102

10. Elektromosságtan és mágnességtan Equation Section (Next)

10.1. Az elektromos töltés

Már az ókorban észrevették, hogy bizonyos anyagokat egymáshoz dörzsölve azok vonzani vagy taszítani kezdik egymást, illetve más apró tárgyakat. Miután két hatást, vonzást és taszítást tapasztaltak, a későbbi korok fizikusai ezt két elektromos állapotnak feleltették meg.

DU FAY francia fizikus a 18. században az „üvegszerű”elektromosságot és a „gyantaszerű”elektromosságot különböztette meg, melyeket üvegrúd selyemmel történő megdörzsölésével, illetve borostyán szőrmével történő megdörzsölésével állított elő. Ezt a két állapotot később pozitív, illetve negatív elektromos állapotként említették. THOMSON 1897-ben fedezte fel, hogy a katódsugárzás addig ismeretlen, negatív töltésű részecskékből áll, amelyet az atom egyik alkotóelemeként azonosított (az elektron név a borostyánkő görög elnevezéséből (ήλεκτρον) származott). Az elektron töltését MILLIKAN határozta meg nagy pontossággal 1910-ben.

Az elektron felfedezése után kiderült, hogy a legtöbb esetben ez a részecske felel a töltés egyik testről a másikra történő átviteléért, és a negatív elektromos állapot a negatív töltések felhalmozódásából, míg a pozitív elektromos állapot azok hiányából ered. Az elektromos töltés az anyagok megmaradó tulajdonsága, amely meghatározza, hogy milyen mértékű elektrosztatikus erő hat a testre más elektromosan töltött objektumok közelében (elektromos mezőben). Az azonos töltésű testek taszítják, az ellentétes értelmű töltéssel rendelkező testek pedig vonzzák egymást. Az elektromos töltés mértékegysége a coulomb(C). Egy coulomb az a töltésmennyiség, amely egy amper (1 A) áramerősség mellett egy másodperc (1 s) alatt átfolyik a vezetőn. Az elektromos töltés kvantált, azaz értéke egy legkisebb érték (1,6×10–19 C, az elektron töltésének) egész számú többszöröse lehet. Az elektromos töltés megmaradó mennyiség, azaz nem keletkezhet, de nem is tűnhet el. Az elektromosan töltött testek között fellépő, töltésükből eredő vonzó- vagy taszítóerőt elektrosztatikus erőnek nevezzük. Az FC elektrosztatikus erő nagysága egyenesen arányos a kölcsönható testek töltéseinek szorzatával (azaz egyenesen arányos az egyes testek Q1 és Q2 töltésével), valamint fordítottan arányos a közöttük lévő r távolság négyzetével:

FC  k ahol a

Q1Q2 , r2

(10.1)

10. Elektromosságtan és mágnességtan k

1 4 o

 9×109 Nm2 / C2

103 (10.2)

együttható a COULOMB-féle arányossági tényező (εo a vákuum permittivitása). Ennek megfelelően a fenti COULOMB-törvény alakilag megegyezik a gravitációs vonzóerő képletével, leszámítva azt a tényt, hogy az elektrosztatikus erő taszító is lehet. A kondenzátorok az elektromos töltések tárolására alkalmas technikai eszközök. Minden kondenzátor legalább két párhuzamos vezető anyagból (az ún. fegyverzetből), és a közöttük lévő szigetelő anyagból (dielektrikumból) áll. A kondenzátorok legfontosabb jellemzője a kapacitás, amely a töltésfelhalmozási és -tárolási képesség mérőszáma. A C kapacitás számértékileg a kondenzátorban felhalmozódott Q töltésmennyiség és az ezek által létrehozott U feszültség hányadosa:

C

Q . U

(10.3)

A kapacitás SI-mértékegysége a farad (F). A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok kapacitása összeadódik, a sorosan kapcsolt kondenzátorok kapacitása reciprokosan összegződik:

C párh.  C1  C2  C3 ...

(10.4)

és

1 1 1 1    ... Csor . C1 C2 C3

(10.5)

A síkkondenzátor kapacitása a kondenzátor geometriai méreteitől és a dielektrikum permittivitásától függ. A síkkondenzátorok kapacitása egyenesen arányos a fegyverzetek A felületével, fordítottan arányos a közöttük lévő d távolsággal, valamint egyenesen arányos a fegyverzetek közötti térrészt kitöltő anyag ε permittivitásával:

C 

A . d

(10.6)

Nagy kapacitású kondenzátor tehát úgy készíthető, hogy nagy felületű vezetőket közel helyezünk el egymáshoz, a közöttük lévő térrészt pedig nagy permittivitású anyaggal töltik ki (pl. speciális műanyaggal, kerámiával stb. elválasztott fémfóliákat hengerelnek össze).

10.2. Az elektromos tér Az elektromos mező az elektromosan töltött részecskéket (és az időben változó mágneses tereket) körülvevő mező. Az elektromos mező azokat az elektrosztatikus erőket képezi le, amelyeket a mező forrása más elektromosan töltött objektumokra kifejt. Az elektromos mező egy vektormennyiséggel, az


104

elektromos térerősséggel jellemezhető. Az elektromos tér egy pontjában az E elektromos térerősség nagysága és iránya megegyezik az adott pontba helyezett q egységnyi pozitív elektromos töltésre (az ún. próbatöltésre) ható FC elektrosztatikus erő nagyságával és irányával:

E

FC . q

(10.7)

Az elektromos térerősség mértékegysége a N/C, de az ezzel egyenértékű V/m mértékegység is használatos. A (10.1) egyenlet alapján látható, hogy a térerősség független a kölcsönhatásban részt vevő másik q töltéstől, kizárólag az adott elektromos mező forrásának tekintett Q töltéstől, valamint az attól mért r távolságtól függ:

qQ 2 F Q E C =k r =k 2. q q r

(10.8)

Az elektromos térerősség alkalmazásával az elektromos térbe helyezett q töltésre ható FC elektrosztatikus erő:

FC  qE.

(10.9)

Az elektromos mezőt az elektromos erővonalakkal szemléltetjük Az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyekhez képest az elektromos térerősségvektora a tér minden pontjában érintőleges, és az erővonalak irányítása megegyezik a térerősség mindenkori irányával. A más töltésektől távoli töltések körül az elektromos erővonalak sugaras szerkezetűek, és pozitív töltés körül kifelé, míg negatív töltés körül befelé mutatnak, ugyanis az elektromos erővonalak mindig pozitív töltésből indulnak ki és negatív töltésen végződnek. Az azonos térerősségű pontokra fektetett felületeket ekvipotenciális felületeknek nevezzük.

45. ábra Erővonalak ellentétes (bal oldalon) és azonos értelmű (középen) töltések között, valamint az erővonalak és az ekvipotenciális felületek kapcsolata (jobb oldalon)


105

Megegyezés szerint egységnyi térerősség esetén felületegységenként egyetlen (merőleges) erővonalat rajzolunk, az E térerősségű elektromos mezőben lévő adott A felületen áthaladó erővonalak számát a Ψ elektromos fluxus adja:   E·A.

(10.10)

Az elektromos fluxus megegyezik a felület és a rá merőleges elektromos térerősség szorzatával, mértékegysége a Nm2/C, de a V·m egység is használható. A GAUSS-törvény értelmében egy vagy több ponttöltést körülvevő zárt felületre nézve a fluxus



Q

o

,

(10.11)

ahol Q a ponttöltések össztöltése és εo a vákuum permittivitása. Az elektromos potenciál az a mechanikai munka, amelyet az egységnyi pozitív töltés (lassú) mozgatásakor kell végezni az elektromos teret létrehozó töltés ellenében. Ha nincs megadva, melyik két pont között történik a mozgatás, akkor a végtelen távoli pont (∞) és a töltés pillanatnyi helyzete (P) közötti r távolság mentén végzett W∞→P munkát vesszük alapul. A P pontban lévő V(P) potenciál így

Q V ( P)  W P  E (r )·r  k · , r

(10.12)

ahol E(r) a térerősség nagysága az adott P pontban, k a COULOMB-féle arányossági tényező és Q a mező forrását képező ponttöltés töltése. Két adott pont közötti potenciálkülönbséget feszültségnek nevezünk. Az elektromos potenciál és a feszültség SI-mértékegysége egyaránt a volt (V).

10.3. Az elektromos áram, áramkörök és áramköri elemek Az elektromos áram a töltéssel rendelkező részecskék rendezett áramlása. Kezdetben az elektromosság forrásaként kizárólag a dörzsölésen alapuló generátorok (valamint a természetes elektromos kisülést keltő villámok) álltak rendelkezésre, és a 18. században feltalált kondenzátorokat is csak körülményesen lehetett áramforrásként használni. Komoly előrelépést jelentett az első mai értelemben vett áramforrások, a galvánelemek megjelenése. A legegyszerűbb galvánelemek két tiszta fémelektródból állnak, amelyek saját ionjaikat tartalmazó sóoldatba merülnek (pl. a VOLTA-elemnél réz és cink merül hígított kénsavba). A lejátszódó redoxireakció következtében a két fémelektród között elektronok áramlanak, azaz áram keletkezik. A galvánelemek kémiai reakciói nem fordíthatók meg, ezzel szemben az akkumulátorokban (pl. a gépjárművekben alkalmazott ólom-savas akkumulátorban vagy az

10. Elektromosságtan és mágnességtan elektronikai

berendezésekben

használt

nikkel-kadmium

akkumulátorban)

106

ellenirányú

áram

alkalmazásával a reakció visszafordítható, így az akkumulátorok ciklikusan feltölthetők és lemeríthetők. Az elektromos áram intenzitását az I áramerősség jellemzi, amely megmutatja a vezető teljes keresztmetszetén egységnyi idő (t) alatt áthaladó töltések (Q) számát:

I

Q . t

(10.13)

Az áramerősség SI-mértékegysége az amper (A). Az áramkörök egy vagy több áramforrásból, egy vagy több fogyasztóból (ellenállással rendelkező, rendszerint az elektromos energiát hasznosító alkatrészből) és további áramköri elemekből, köztük az egyes komponenseket összekapcsoló vezetékekből és az áramkör megszakítására alkalmas kapcsolókból álló műszaki rendszerek, amelyek alkalmasak az elektromos áram felhasználására. Ha egy áramkörben az áram iránya időben állandó, akkor egyenáramról, ellenkező esetben váltakozó áramról beszélünk. Az egyenáramú áramkörökben a töltések a negatív pólus felől a pozitív pólus felé mozognak, azonban a technikai áramirány konvencionálisan ezzel ellentétes. Az áramköri elemek sorosan vagy párhuzamosan is kapcsolhatók. Soros kapcsolás esetén az elemek egymás után felfűzve, elágazás nélkül kapcsolódnak egymáshoz, míg párhuzamos kapcsolás esetén az egyes komponensek kivezetései közös kezdő- és végpontban egyesülnek. Az elektromos áram hatásai közé tartozik a hőhatás (az árammal átjárt vezetők felmelegednek), a vegyi hatás (pl. képes a vizet bontani, fémeket elektrolizálni), a mágneses hatás (az árammal átjárt vezetők körül mágneses tér alakul ki) és az élettani hatás. OHM törvénye értelmében egy fogyasztón átfolyó áram I erőssége egyenesen arányos a fogyasztó kivezetésére kapcsolt U feszültséggel. Az arányossági tényezőt a fogyasztó G vezetőképességének, annak reciprokát a fogyasztó R ellenállásának nevezzük:

I  G·U 

1 ·U . R

(10.14)

Az R ellenállás tehát a fogyasztó kivezetéseire kapcsolt U feszültség és a fogyasztón átfolyó áram I erősségének hányadosa:

R

U , I

(10.15)

1 . R

(10.16)

a G vezetőképesség pedig az ellenállás reciproka:

G

Az ellenállás SI-mértékegysége az Ω (ohm), a vezetőképesség SI-mértékegysége az S= 1/ Ω (sievert).


107

A vezetők nagy vezetőképességgel rendelkező anyagok (pl. fémek), amelyek lazán kötött elektronjaiknak köszönhetően jól vezetik az elektromos áramot, azaz kicsi az ellenállásuk. Ezzel szemben a szigetelők (pl. műanyagok, kerámiák) elektronjai szorosan kötöttek, emiatt rosszul vezetik az elektromos áramot: nagy az ellenállásuk, azaz kicsi a vezetőképességük. A dielektrikumok olyan szilárd, folyékony vagy gáznemű anyagok, amelyek elektromos szigetelőként viselkednek. A permittivitás egy anyagi állandó. amely megmutatja, hogy az elektromos tér milyen mértékben hat az adott dielektrikumokra, mennyire képes polarizálni azt. Minél nagyobb egy anyag permittivitása, annál könnyebben képes átadni az elektromos teret. A félvezetők olyan félfémes anyagok, amelyek áramvezetési tulajdonsága nagyban függ az anyag (természetes vagy mesterséges) szennyezettségétől. Az OHM-törvényt követő anyagokat ohmikus vezetőknek nevezzük. A fémes vezetők R elektromos ellenállása egyenesesen arányos a vezető l hosszúságával és fordítottan arányos a vezető A keresztmetszetével. Az arányossági tényezőt a vezető ρ fajlagos ellenállásának nevezzük:

R

l . A

(10.17)

A fémes vezetők ellenállása a hőmérséklet emelkedésével növekszik, a hőmérséklet csökkenésével pedig csökken. A sorosan kapcsolt ellenállások ellenállása összeadódik, a párhuzamosan kapcsolt ellenállásoké pedig reciprokosan összegződik:

Rsor .  R1  R2  R3 ...

(10.18)

és

1 Rpárh.



1 1 1   ... R1 R2 R3

(10.19)

Az áramköri elemeken áthaladó áram erősségét úgy mérjük, hogy a kis (ideális esetben nulla) belső ellenállású áramerősség-mérőt (ampermérőt)

sorba kapcsoljuk az adott áramköri elemmel. Ezzel

szemben az áramköri elemek kivezetésein mérhető feszültség meghatározásához a nagy (ideális esetben végtelen) belső ellenállású feszültségmérőt (voltmérőt)

párhuzamosan kell kapcsolni az áramköri

elemmel. A feszültségforrás terheletlen állapotában (azaz közvetlenül a feszültségforrásra kapcsolt, ideális feszültségmérővel) mérhető feszültséget a feszültségforrás forrásfeszültségének vagy elektromotoros erejének nevezzük. Az elektromos hálózatok leírását segítik a KRICHHOFF-törvények. A csomóponti törvény értelmében egy hálózat minden csomópontjára igaz, hogy a beérkező (pozitív értelmű) és a kifolyó (negatív értelmű) áramok előjeles összege zérus:

 I  0.

(10.20)


108

A huroktörvény pedig azt mondja ki, hogy egy hálózat bármely zárt hurkot alkotó részében az ellenállásokra jutó feszültségek összege egyenlő a körben lévő elektromotoros erők (feszültségek) összegével:

 R·I   U . o

hurok

(10.21)

hurok

46. ábra A csomóponti törvény és a huroktörvény szemléltetése.

Egy fogyasztó által felvett Pel. elektromos teljesítmény, azaz az egységnyi idő alatt felvett elektromos energia a fogyasztón átfolyó áram erősségének és a fogyasztó kivezetésein mérhető feszültségnek a szorzata, amely az OHM-törvény értelmében a fogyasztó R ellenállásával is felírható:

U2 Pel .  U ·I  I R  . R 2

(10.22)


109


110



Gulyás–Rácz–Tomcsányi–Varga: Ennyit kell(ene) tudnod – Fizika

111

11. Lézerek

112

11. Lézerek 11.1. A lézerműködés alapjai A spektroszkópia kapcsán szó esett már az anyagi rendszerek (atomok, molekulák) gerjesztődési folyamatairól. A lézerműködés alapjainak megértéséhez a következőkben az atomok foton elnyelésével, illetve kibocsátásával történő gerjesztődésére és relaxációjára szorítkozunk. Foton elnyelődésekor (abszorpció) az eredetileg alapállapotban lévő atom magasabb, instabil energiaállapotba (az ún. gerjesztett állapotba) kerül, amelyből az adott energiaállapot élettartamának elteltével külső behatás nélkül, egy foton kibocsátásával visszatér az alapállapotba. Ez utóbbi folyamatot nevezzük spontán emissziónak. Az említett élettartam az atom adott energiaállapotban történő tartózkodására vonatkozó egyfajta átlagos időtartam. A gerjesztődés során az elnyelt foton energiája az atom alap- és gerjesztett állapota közötti energiakülönbséggel egyezik meg, azaz egy atomot meghatározott energiájú, vagyis frekvenciájú (ennek megfelelően adott hullámhosszú) fotonokkal lehet gerjeszteni. Az emisszió során kibocsátott foton energiája ugyancsak a gerjesztett állapot és az alapállapot közötti energiakülönbséggel egyenlő. ALBERT EINSTEIN mutatott rá arra, hogy az előbbiekben leírt relaxációs folyamat nemcsak önmagától, spontán módon következhet be, hanem egy külső foton ls a gerjesztett állapotban lévő atom közötti kölcsönhatás is kiválthatja, ha a külső foton energiája ugyancsak megegyezik az alapállapot és a gerjesztett állapot közötti energiakülönbséggel. A kölcsönható foton ilyenkor nem nyelődik el, csak kölcsönhat a gerjesztett állapotban lévő atommal, aminek eredményeként az atom relaxálódik, miközben a kölcsönható foton tulajdonságaival teljesen megegyező tulajdonságú fotont bocsát ki. A két fotonnak tehát azonos lesz a frekvenciája (hullámhossza, „színe”), terjedési iránya, fázisa, energiája stb. Ez utóbbi folyamatot nevezzük kényszerített vagy indukált emissziónak, amely a lézerműködés alapja. A lézerműködés elindításához és fenntartásához szükség van valamilyen külső energiaforrásra (elektromos energia, fény, kémiai folyamatokstb. ), amely gondoskodik arról, hogy – a termodinamika vezérelte állapottal ellentétben – több atom kerüljön gerjesztett állapotba, mint amennyi alapállapotban van. Ezt a fordított betöltöttséget nevezzük populációinverziónak, amelyet az előbb ismertetett módokon megvalósítható optikai pumpálás tesz lehetővé. A gerjesztett állapotban lévő atomok egy

11. Lézerek

113

része fotonkibocsátás mellett spontán emisszióval relaxálódik, és ezek a fotonok képesek kényszerített emissziót kiváltani más gerjesztett atomoknál, így a fotonok mintegy „klónozzák”önmagukat. A lézerekben lévő nagy reflexióképességű tükrök visszaverik a lézer központi részébe, az ún. rezonátorba a lézer tengelye mentén haladó fotonokat, az ettől eltérő terjedési irányú fotonok pedig elhagyják a lézert. A folytonos üzemmódú lézereknél a lézer egyik zárótükre valamivel kisebb visszaverőképességű, így a lézerfotonok egy része (legfeljebb néhány százalékuk) áthalad rajta, azaz folyamatos lézerfény hagyja el a lézert. Az impulzusüzemű lézereknél az egyik tükör visszaverő képessége (például elektrooptikai megoldásokkal) adott időközönként lecsökkenthető, ezáltal a felhalmozódott lézerfotonok egy rövid, nagy energiájú lézerimpulzus formájában hagyják el a lézert.

A fenti erősen leegyszerűsített kép csak a lézerek elvi működését szemlélteti, a valóságban az alapállapot mellett egyetlen g erjesztett állapottal rendelkező anyagi rendszerek nem tudnak a lézerek aktív közegeként funkcionálni. Ehelyett legalább három energiaállapot szükséges, de nem ritkák a négy vagy több energiaállapottal rendelkező aktív anyagok sem. A gyakorlatban használt közegek legmagasabb energiájú állapota általában rövid élettartamú, és a lézeremisszió valamely hosszabb élettartamú, alacsonyabb energiájú gerjesztett állapot és az alapállapot (vagy egy annál valamivel magasabb energiájú állapot) közötti átmenet eredménye.

11.2. A lézerek típusai Üzemmódjuk mellett a lézerek a lézerműködést biztosító anyag, az ún. aktív közeg alapján is csoportosíthatók. A gázlézerekben az aktív közeg valamilyen gáz, amelyet szinte minden esetben elektromos árammal gerjesztenek. A gázlézerek közé tartozik például a vörös fényű, elsősorban méréstechnikai és demonstrációs célokra alkalmas HeNe-lézer, a sebészetben használt CO2-lézer, a látáskorrekciós műtétekre szolgáló EXCIMER lézerek, se ide sorolhatók a fémgőzöket (pl. réz- vagy aranygőzt) tartalmazó lézerek is. A festéklézerek aktív közege (általában szerves) festék, amelyben erős megvilágítás hatására keletkezik a lézersugárzás. A festéklézereket villanólámpákkal vagy sok esetben egy másik lézerrel (az ún. pumpalézerrel) gerjesztik. A festéklézerek nagy előnye, hogy hangolhatók, ugyanis a gerjesztett festékmolekulák viszonylag széles hullámhossztartományban képesek lézersugárzást kibocsátani, amelyből például prizmával kiválasztható a kívánt hullámhossz. A szilárdtestlézerek aktív közege nagy tisztaságú átlátszó kristályos anyagból (például mesterséges rubin vagy smaragd), illetve megfelelően adalékolt („szennyezett”) üvegszerű anyagból készült rúd. Az iparban gyakran használják vágásra, fúrásra vagy gravírozásra a Nd:YAG- és Nd:üveg-lézereket.

11. Lézerek

114

11. Lézerek

115

11. Lézerek


Maróti–Laczkó: Bevezetés a biofizikába

116

12. Tárgymutató

117

Tárgymutató abszolút fekete test ........................................ 60 abszolút hőmérséklet ..................................... 91 abszorpció .................................................... 112 abszorpciós állandó ........................................ 63 abszorpciós színkép ........................................ 62 akkumulátor ................................................. 105 aktív közeg ................................................... 113 akusztikus ellenállás ....................................... 44 alapállapot ................................................... 112 állapotváltozás izobár ......................................................... 96 izochor ....................................................... 96 izoterm ....................................................... 96 állapotváltozások............................................ 96 amorf anyagok ............................................... 97 ampermérő .................................................. 107 amplitúdó....................................................... 36 gyorsulás- ................................................... 37 sebesség-.................................................... 37 áram.................................. lásdelektromos áram áramerősség................................................. 106 áramerősség-mérő ....................................... 107 áramforrások................................................ 105 áramkör ....................................................... 106 ARCHIMÉDÉSZ törvénye ..................................... 50 BEER–LAMBERT-törvény .................................... 63 BEER-törvény................................................... 63 beesési merőleges .......................................... 43 beesési szög ................................................... 43 BOLTZMANN-állandó ......................................... 97 BOYLE–MARIOTTE-törvény ................................. 96 CELSIUS-skála ................................................... 90 centrifugális erő ............................................. 33 centripetális erő ............................................. 33 centripetális gyorsulás .................................... 33 COULOMB-törvény.......................................... 103 csapok ............................................................ 55 csomóponti törvény ..................................... 107 decibelskála.................................................... 45 deformálható testek ....................................... 50 derivált.............................................................9 dielektrikum ................................................. 107 differenciálegyenlet........................................ 13 differenciálhányados ........................................9 másodrendű ............................................... 10 parciális ...................................................... 10

differenciálszámítás ......................................... 9 diffrakció........................................................ 44 dikroikus szűrő ............................................... 86 dinamika alapegyenlete ................................. 27 dioptria .......................................................... 71 direkciós állandó ............................................ 51 diszperzió (kolloidika)..................................... 46 diszperzió (optika).......................................... 72 divergencia .................................................... 11 DOPPLER-effektus ............................................ 47 egyenáram ................................................... 106 egyenes arányosság ......................................... 4 egyensúly....................................................... 28 egyesített gáztörvény ..................................... 96 egyszerű mikroszkóp ...................................... 78 működése .................................................. 78 nagyítása.................................................... 79 optikai tubushossz...................................... 79 egyszerű nagyító szögnagyítása ............................................. 72 ekvipotenciális felület .................................. 104 elektromágneses hullámok ............................ 54 terjedési sebessége .................................... 54 elektromágneses spektrum ............................ 54 elektromos áram.......................................... 105 elektromos fluxus ........................................ 105 elektromos mező ................................. 103, 104 elektromos potenciál ................................... 105 elektromos teljesítmény .............................. 108 elektromos térerősség ................................. 104 elektromos töltés ......................................... 102 elektromotoros erő ...................................... 107 elektron ....................................................... 102 elektrosztatikus erő ..................................... 102 elhajlás .......................................................... 44 rácson ........................................................ 62 ellenállás...................................................... 106 emisszió kényszerített ............................................ 112 ndukált..................................................... 112 spontán .................................................... 112 emissziós színkép ........................................... 62 endoszkóp ..................................................... 67 energia .......................................................... 30 forgási ........................................................ 30 kinetikus .................................................... 30

12. Tárgymutató potenciális .................................................. 31 energiamegmaradás tétele ............................. 31 entrópia ....................................................... 100 erő ................................................................. 25 centrifugális................................................ 33 centripetális ............................................... 33 elektrosztatikus ........................................ 102 eredő.......................................................... 27 felhajtó-...................................................... 50 gravitációs .................................................. 28 harmonikus ................................................ 39 hidrosztatikai .............................................. 50 húzó- .......................................................... 50 konzervatív ................................................. 26 nem konzervatív ......................................... 26 nyíró-.......................................................... 50 nyomó- ....................................................... 50 rugó- .......................................................... 51 súly- ........................................................... 28 erőkar ............................................................ 27 érzékenység ................................................... 16 EULER-féle szám ................................................6 extenzív fizikai mennyiség .............................. 90 extinkció......................................................... 63 fajhő............................................................... 95 fajlagos térfogatot .......................................... 50 fajsúly............................................................. 50 fázis.......................................................... 36, 38 fáziskontraszt-mikroszkóp .............................. 84 fegyverzet ............................... lásd kondenzátor felhajtóerő ..................................................... 50 feloldóképesség ............................................. 88 felület–térfogat arány .................................... 96 félvezető ...................................................... 107 fény intenzitás.................................................... 55 fénysugár megfordíthatóságának elve ............ 66 fénysugarak függetlenségének elve ................ 66 fénytörés ........................................................ 66 fény-visszaverődés ......................................... 66 feszültség ..................................................... 105 feszültségmérő ............................................. 107 fluoreszcenciamikroszkóp............................... 85 fluorokróm ..................................................... 85 fogyasztó ...................................................... 106 fókuszálás....................................................... 43 fókuszpont ............................................... 68, 75 fókusztávolság .......................................... 68, 75

118

folyadékok ..................................................... 97 fordított arányosság ......................................... 6 fordulatszám .................................................. 32 forgásmennyiség ............................................ 35 forgatónyomaték ........................................... 27 forgó mozgás ................................................. 34 forrásfeszültség............................................ 107 fotoelektromos hatás ..................................... 59 foton .............................................................. 59 fotonelmélet .................................................. 59 fotonelnyelődés ........................................... 112 FOURIER-tétel .................................................... 8 FOURIER-törvény ............................................. 94 FOURIER-transzformáció .................................... 8 frekvencia ...................................................... 36 függvény .......................................................... 4 exponenciális ............................................... 6 harmonikus .................................................. 7 hatvány- ....................................................... 5 lineáris ......................................................... 4 logaritmus-................................................... 7 nemlineáris .................................................. 5 reciprok- ...................................................... 6 többváltozós ................................................ 9 trigonometrikus ........................................... 7 galvánelem .................................................. 105 gamma-sugárzás ............................................ 58 GAUSS-törvény .............................................. 105 GAY–LUSSAC-törvények.................................... 96 gáz ................................................................. 98 gázok állapotjelzők............................................... 96 ideális ........................................................ 96 reális .......................................................... 97 geometriai optika ........................................... 66 gerjesztett állapot ........................................ 112 gömbtükrök ................................................... 74 domború (konvex)...................................... 75 fókuszpontja .............................................. 75 fókusztávolsága.......................................... 75 geometriai középpontja ............................. 74 görbületi sugara ......................................... 75 homorú (konkáv)........................................ 75 képalkotása ................................................ 75 nyílásszöge ................................................. 75 optikai középpontja.................................... 74 optikai tengelye ......................................... 74 gőz ................................................................. 98

12. Tárgymutató gradiens ................................................... 10, 11 gravitáció ....................................................... 28 gravitációs állandó.......................................... 28 gravitációs gyorsulás ...................................... 28 gravitációs mező............................................. 29 gyorsulás ........................................................ 23 átlag- .......................................................... 23 pillanatnyi- ................................................. 23 halmazállapot ................................................. 97 szilárd ......................................................... 97 halmazállapot-változás ................................... 99 hangerősség ................................................... 45 hanghullámok................................................. 45 hangmagasság ................................................ 45 hangszínezet .................................................. 45 harmonikus erő .............................................. 39 harmonikus rezgőmozgás ............................... 36 erősítés ...................................................... 40 gyengítés .................................................... 40 gyorsulás .................................................... 37 kioltás......................................................... 40 kitérés ........................................................ 37 lebegés ....................................................... 40 LISSAJOUS-görbék ......................................... 40 sebesség ..................................................... 37 határérték ........................................................9 hatás–ellenhatás törvénye ............................. 27 hatásfok ......................................................... 32 helykoordináta ............................................... 22 helyvektor ...................................................... 22 helyzeti energia .............. lásdpotenciális energia hiba ................................................................ 15 abszolút ...................................................... 15 relatív ......................................................... 15 szisztematikus ............................................ 16 véletlen ...................................................... 15 hidrosztatikai nyomás..................................... 49 hő................................................................... 93 hőáramlás ...................................................... 94 hőcsere .......................................................... 94 hőenergia ....................................................... 93 hőkapacitás .................................................... 95 fajlagos ....................................................... 95 moláris ....................................................... 95 hőmérők ........................................................ 90 hőmérséklet ............................................. 90, 92 abszolút ...................................................... 91 mérése ....................................................... 90

119

hőmérséklet-gradiens .................................... 94 hőmérsékleti sugárzás.................................... 60 hőmozgás ...................................................... 91 HOOKE-törvény ............................................... 51 hősugárzás ..................................................... 94 hőtágulás ....................................................... 92 felületi ....................................................... 93 lineáris, vonalas.......................................... 93 térfogati ..................................................... 92 hőtágulási együttható felületi ....................................................... 93 lineáris ....................................................... 93 térfogati, köbös .......................................... 92 hővezetés ...................................................... 94 hővezetési tényező ........................................ 94 hullám ........................................................... 41 elektromágneses .................................. 41, 54 harmonikus ................................................ 41 intenzitása ................................................. 43 longitudinális ............................................. 41 mechanikai................................................. 41 polarizált .................................................... 41 transzverzális ............................................. 41 hullámegyenlet .............................................. 42 hullámhossz ................................................... 41 hullámszám.................................................... 42 huroktörvény ............................................... 108 HUYGENS−FRESNEL-elv ...................................... 45 ideális gázok állapotegyenlete ........................ 96 impulzus ........................................ lásd lendület impulzusmomentum ...................................... 35 indukált emisszió ......................................... 112 inerciarendszer .............................................. 22 infrahang ....................................................... 45 infravörös sugárzás ........................................ 56 integrál határozatlan ............................................... 12 határozott .................................................. 12 integrálszámítás ............................................. 12 intenzitás ....................................................... 43 intenzív fizikai mennyiség............................... 90 interferencia .................................................. 44 erősítés ...................................................... 44 gyengítés.................................................... 44 jobbkézszabály ............................................... 33 kapacitás...................................................... 103 katódsugárzás .............................................. 102 kavitáció ........................................................ 46

12. Tárgymutató KELVIN-skála .................................................... 91 kényszerített emisszió .................................. 112 kényszerrezgés ............................................... 40 kép ................................................................. 78 valódi ......................................................... 70 virtuális ...................................................... 70 kerületi sebesség ............................................ 33 kezdőfázis....................................................... 36 kinetikus energia ............................................ 30 koaguláció ...................................................... 46 koherencia ..................................................... 44 kompressziómodulus...................................... 52 kondenzátor ................................................. 103 síkkondenzátor kapacitása ........................ 103 kondenzorlencse ............................................ 78 kontrasztnövelő eljárások ............................... 83 konvekció ....................................................... 94 körfrekvencia ........................................... 36, 39 körmozgás ...................................................... 32 egyenletes .................................................. 32 közegellenállás ............................................... 52 KRICHHOFF-törvények ..................................... 107 csomóponti törvény ................................. 107 huroktörvény............................................ 108 kristályrács ..................................................... 97 kritikus hőmérséklet ....................................... 98 küvetta ........................................................... 63 kvantáltság ................................................... 102 látens hő ........................................................ 99 látható fény .................................................... 55 lebegés........................................................... 40 légnemű halmazállapot .................................. 98 lehűlési sebességállandó ................................ 96 leképezési egyenlet .................................. 68, 75 előjelezési szabályok................................... 68 lencse .................................. lásd optikai lencsék lencsekészítők egyenlete ................................ 68 lendület.......................................................... 25 lendületmegmaradás törvénye ....................... 25 lézerek ......................................................... 112 festék- ...................................................... 113 folytonos üzemmódú ................................ 113 gáz- .......................................................... 113 hangolható ............................................... 113 impulzus-.................................................. 113 szilárdtest-................................................ 113 lézeres konfokális mikroszkóp ........................ 86 lézerműködés ............................................... 112

120

LISSAJOUS-görbék............................................. 40 lumineszcencia............................................... 84 lumineszcenciamikroszkóp ............................. 85 lupe .................................. lásd egyszerű nagyító mechanikai energia ........................................ 31 mechanikai energia megmaradásának tétele.. 31 mechanikai feszültség .................................... 51 megmaradó mennyiség ................................ 102 megtett út ..................................................... 23 mélységélesség .............................................. 89 meredekség ..................................................... 4 mérés ............................................................ 15 közvetett .................................................... 15 közvetlen ................................................... 15 merev test ............................................... 27, 50 mérőszám ...................................................... 15 mértékegység ................................................ 16 mértékegységrendszer ................................... 16 mező.............................................................. 29 gravitációs.................................................. 29 mikroszkóp amplitúdótárgy .......................................... 83 fáziskontraszt- ............................................ 84 fázistárgy ................................................... 83 fluoreszcencia- ........................................... 85 fókuszálás .................................................. 81 konfokális................................................... 86 lézeres konfokális ....................................... 86 lumineszcencia-.......................................... 85 objektív ................................................ 78, 81 okulár .................................................. 78, 81 optikai szeletelés........................................ 87 reflexiós ..................................................... 81 sztereo- ...................................................... 81 tárgyasztal.................................................. 80 transzmissziós ............................................ 80 tubuslencse ................................................ 81 mikroszkóp-megvilágítás alsó ............................................................ 80 felső ........................................................... 82 ferde beesésű ............................................ 82 KÖHLER-féle................................................. 80 sötét látóterű felső ..................................... 82 moláris dekadikus extinkciós koefficiens ........ 63 mólhő ............................................................ 95 monokromatikus............................................ 62 monokromátor .............................................. 62 mozgás .......................................................... 22

12. Tárgymutató egyenetlen ................................................. 23 egyenletes .................................................. 23 egyenletesen változó .................................. 23 mozgási energia ................ lásdkinetikus energia munka ............................................................ 30 munkatétel ..................................................... 30 NEWTON-féle lehűlési törvény.......................... 96 NEWTON-féle súrlódási törvény........................ 98 newtoni folyadékok ........................................ 98 NEWTON-törvények ......................................... 26 I. törvény .................................................... 26 II. törvény ................................................... 27 III. törvény .................................................. 27 IV. törvény .................................................. 27 normálás ..........................................................6 normálvektor ................................................. 49 numerikus apertúra ........................................ 88 nyírás ............................................................. 52 nyírási modulus .............................................. 52 nyírófeszültség ............................................... 52 nyomás .......................................................... 49 hidrosztatikai .............................................. 49 nyugalom ....................................................... 22 OHM törvénye............................................... 106 oldalnagyítás .................................................. 70 optikai denzitás .............................................. 63 optikai lencsék................................................ 67 dioptria ...................................................... 71 fókuszpontja ............................................... 68 fókusztávolsága .......................................... 68 gyűjtőlencse ............................................... 68 képalkotása ................................................ 69 lencsehibák ................................................ 72 lencserendszer ........................................... 71 optikai középpontja .................................... 68 optikai tengelye .......................................... 68 szórólencse................................................. 68 vékonylencse .............................................. 68 optikai pumpálás .......................................... 112 optikai rács ..................................................... 62 optikai szál ..................................................... 67 összetett fény ................................................. 62 pálcikák .......................................................... 55 pálya .............................................................. 23 párhuzamos kapcsolás .................................. 106 PASCAL-törvény ............................................... 50 perdület ......................................................... 35 perdületmegmaradás törvénye ...................... 35

121

periódusidő.............................................. 32, 36 permittivitás ................................................ 107 PLANCK-állandó ............................................... 59 plazma ........................................................... 98 pontosság ...................................................... 16 populációinverzió......................................... 112 potenciális energia ......................................... 31 gravitációs.................................................. 31 rugalmas .................................................... 31 precizitás ....................................................... 16 prefixumok .................................................... 20 prizma............................................................ 62 próbatöltés .................................................. 104 produktum ....................................................... 8 rácsegyenlet .................................................. 63 rádióhullámok................................................ 58 RAYLEIGH-féle feloldási kritérium ..................... 88 reális gázok állapotegyenlete ......................... 97 referenciaoldat .............................................. 63 relatív alakváltozás......................................... 51 relaxáció ...................................................... 112 reprodukálhatóság ......................................... 16 rezgésszám .................................................... 36 rezgőmozgás .................................................. 36 rezonancia ..................................................... 40 rezonátor ..................................................... 113 röntgenfelvétel .............................................. 58 röntgensugárzás............................................. 57 fékezési ...................................................... 57 határhullámhossz ....................................... 57 karakterisztikus .......................................... 57 rotáció ........................................................... 12 rugalmas alakváltozás .................................... 51 rugalmassági állandó...................................... 31 rugalmassági modulus.................................... 51 rugóállandó.............................................. 39, 51 sajátfrekvencia............................................... 40 sebesség ........................................................ 23 átlag-.......................................................... 23 pillanatnyi .................................................. 23 sebességgradiens ........................................... 98 síktükör.......................................................... 74 SI-mértékegységrendszer ............................... 17 alapegységek ....................................... 16, 18 kiegészítő egységek .................................... 19 prefixumok................................................. 20 származtatott egységek .............................. 17 skaláris mennyiség ................................... 17, 30

12. Tárgymutató SNELLIUS–DESCARTES-törvény ............................ 44 soros kapcsolás ............................................ 106 spektrális bontóelem ...................................... 62 spektrofotométer ........................................... 62 egysugaras.................................................. 63 kétsugaras .................................................. 63 spektrográf..................................................... 62 spektroszkópia ............................................... 61 spektrum ........................................................ 54 elektromágneses ........................................ 54 spontán emisszió .......................................... 112 STEFAN–BOLTZMANN-állandó ............................. 61 STEFAN–BOLTZMANN-törvény ............................ 61 súly ................................................................ 28 súrlódás ......................................................... 52 súrlódási együttható....................................... 52 súrlódási erő csúszási ...................................................... 52 tapadási...................................................... 52 sűrűség........................................................... 49 szabad rezgés ................................................. 40 szem............................................................... 76 akkomodáció .............................................. 76 felbontóképessége ..................................... 76 felépítése ................................................... 76 rövidlátás ................................................... 77 távollátás.................................................... 77 szigetelő ....................................................... 107 szöggyorsulás ................................................. 33 szögsebesség .................................................. 32 szögsebességvektor ........................................ 33 sztereomikroszkóp ......................................... 81 szumma............................................................8 szuperpozíció elve .......................................... 27 technikai áramirány ...................................... 106 tehetetlenség törvénye .................................. 26 tehetetlenségi erő .......................................... 33 tehetetlenségi nyomaték ................................ 34 teljes visszaverődés ........................................ 67 határszöge .................................................. 67 teljesítmény ................................................... 32 elektromos ............................................... 108 tengelymetszet.................................................4

122

térerősség gravitációs.................................................. 29 termikus egyensúly ........................................ 90 termodinamika 0. főtétele ............................. 90 termodinamika 1. főtétele ............................. 99 termodinamika 2. főtétele ........................... 100 termodinamika 3. főtétele ........................... 100 termodinamika főtételei ................................ 99 termográfia.................................................... 56 többfotonos fluoreszcencia ............................ 86 tömeg ............................................................ 27 tömegközéppont............................................ 22 tömegpont ..................................................... 22 törés .............................................................. 43 törési szög...................................................... 44 törésmutató ................................................... 44 abszolút ..................................................... 66 relatív ........................................................ 66 törőerő .......................................................... 71 transzducer .................................................... 46 transzmisszió ................................................. 63 ultrahang ....................................................... 45 ultraibolya sugárzás ....................................... 57 univerzális gázállandó .................................... 97 ütközés .......................................................... 25 tökéletesen rugalmas ................................. 25 tökéletesen rugalmatlan ............................ 25 UV/VIS-spektroszkópia ................................... 61 váltakozó áram ............................................ 106 VAN DER WAALS-egyenlet.................................. 97 VAN DER WAALS-erők ........................................ 97 vektoriális mennyiség..................................... 17 vezető .......................................................... 107 ohmikus ................................................... 107 vezetőképesség............................................ 106 visszaverődés ................................................. 43 visszaverődési szög ........................................ 43 viszkozitás ...................................................... 98 voltmérő ...................................................... 107 vonatkoztatási rendszer ................................. 22 WIEN-féle eltolódási törvény........................... 61 YOUNG-modulus.............................................. 51 zárt rendszer .................................................. 25

1. Matematikai összefoglaló 1

Recommend Documents