1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ A fejezet néhány olyan matematikai összefüggést foglal össze, azok egzakt bizonyítása nélkül, amelyetek a Fizika I. c. tárgy tárgyalása során felhasználásra kerülnek. 1.1. Vektorok, műveletek vektorokon 1.1.1. Skaláris és vektormennyiségek Az olyan mennyisségeket, amelyek pozitív és negatív számokkal jellemezhetők skaláris mennyiségeknek nevezzük. Ilyen, pl. a töltés, a tömeg, a hőmérséklet, a sűrűség, a munka. Azokat a mennyiségeket viszont, amelyek megadásához méretük mellett még térbeli helyzetükre, irányaikra is szükség van, vektormennyiségeknek nevezzük. Pl. erő, sebesség, gyorsulás, elektromos és mágneses térerősség. Mind a skaláris, mind a vektormennyiségek a hely és idő függvényében változhatnak. Amíg egy adott időpillanatban egy adott helyen a skaláris mennyiséget egy pozitív vagy negatív értékű számadat és a mértékegysége jellemzi, addig egy adott helyen egy adott időpillanatban a vektormennyiséget a nagysága és mértékegysége mellett az iránya is meghatározza. Az r r F = Fe F (1.1) r vektormennyiség F nagysága a vektor hosszával, a vektor F abszolút értékével adható meg, r F= F,

(1.2)

r r a vektor e F irányát az F vektor irányába mutató r r r eF = F F

(1.3)

egységvektor definiálja.

r

1.1. ábra. Az F vektor ábrázolása

r Az 1.1. ábrán látható F vektor az A pontból a B pont felé mutat, hossza F , irányát az AB r pontokat összekötő egyenes irányába mutató, az A pontból a B pont felé mutató e F egységvektor adja meg.

4

A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

1.1.2. Pont helyvektora A derékszögű, Descartes koordináta rendszerben az x, y, z koordinátákkal jellemzett r P( x, y, z ) , azaz a P(r ) pont helye (1.2. ábra) a koordináta rendszer origójából a P pont felé r r mutató r vektorral adható meg, ahol az r vektor az x, y, z koordináta vetületeivel és a r r r koordináta tengelyek irányába mutató e x , e y , e z egységvektorokkal a következő r r r r r = xe x + ye y + ze z .

(1.4)

1.2. ábra. P pont a derékszögű koordináta rendszerben

Két vektor akkor tekinthető egyenlőnek, ha az abszolút értékük egyenlő, és irányúk megegyezik, azaz párhuzamosak és egyenlő nagyságúak. 1.1.3. Vektorműveletek

Vektorokon alkalmazott lineáris operációk, a jelen esetben lineáris műveletek az összeadás, a kivonás és az állandóval való szorzás. r r Legyen r1 és r2 két helyvektor, a derékszögű koordináta rendszerbeli (Descartes-féle) koordináta vetületeivel adott r r r r r r r r r1 = x1e x + y1e y + z1e z , r2 = x2 e x + y 2 e y + z 2 e z . (1.5) (i) A két helyvektor összege az r r r r = r1 + r2 ,

1.3. ábra. Két vektor összege

(1.6)

1.4. ábra. Két vektor különbsége

r r r r r r r az az r vektor, amelyre az r1 + r2 − r = 0 összefüggés fennáll, azaz az r1 , r2 és a − r vektorok zárt háromszöget (több vektor esetén zárt sokszöget) alkotnak (1.3. ábra). Az eredő

1. Fejezet, Matematikai összefoglaló

5

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r vektor koordináta vetületei a komponensek koordináta vetületeinek összegeként adható meg r r r r r = (x1 + x2 ) e x + ( y1 + y 2 ) e y + ( z1 + z 2 ) e z . (1.7) r r (ii) A két helyvektor különbsége az r1 és a − r2 vektorok összege (1.4. ábra), r r r r = r1 − r2 . (1.8) r A különbségi r vektor koordináta vetületei a komponensek koordináta vetületeinek különbségével a következő alakban fejezhető ki r r r r r = ( x1 − x2 ) e x + ( y1 − y 2 ) e y + (z1 − z 2 ) e z . (1.9) r Az r1 helyvektornak valamely c állandóval való szorzata a vektor hosszának, abszolút értékének, a megnövelését ( c > 1 ), ill. csökkentését ( c < 1 ) eredményezi r r r r r r = c r1 = cx1e x + cy1e y + cz1e z , r =

(cx1 )2 + (cy1 )2 + (cz1 )2

(1.10)

r r r r (iii) Két vektor skaláris szorzata skaláris mennyiség. Az r1 és az r2 vektorok r = r1 ⋅ r2 skaláris szorzatának a két vektor abszolút értékének, és a két vektor által bezárt kisebbik ϕ szög szorzatával kapott r = r1 r2 cosϕ skaláris mennyiséget nevezzük, (1.5. ábra) r r r r r1 ⋅ r2 = r1 r2 cosϕ . (1.11)

1.5. ábra. Két vektor skaláris szorzata

1.6. ábra. Egységvektorok skaláris szorzata

A derékszögű Descartes-féle koordináta rendszerben a párhuzamos egységvektorok skaláris szorzatai egységnyi skaláris értéket eredményeznek, míg az egymásra merőleges egységvektorok skaláris szorzatai nulla értéket adnak (1.6. ábra) r r r r r r e x ⋅ e x = 1, e y ⋅ e y = 1, e z ⋅ e z = 1, (1.12) r r r r r r e x ⋅ e y = 0, e y ⋅ e z = 0, e z ⋅ e x = 0. r r Az r = r1 ⋅ r2 vektorok skaláris szorzatának eredménye a koordináta komponensekkel is megadható, ha figyelembe vesszük az egységvektorok skaláris szorzataira vonatkozó r r összefüggéseket. Így az r1 ⋅ r2 skaláris szorzat a következő alakban írható r r r r r r r r r1 ⋅ r2 = x1e x + y1e y + z1e z ⋅ x2 e x + y 2 e y + z 2 e z = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 . (1.13)

(

)(

r r r r Két vektor r1 ⋅ r2 = r2 r1 cosϕ a másik vektorra eső vetülete

)

skaláris szorzata úgy is értelmezhető, mint az egyik vektornak r r1 cos ϕ szorozva a másik vektor r2 hosszával (1.7. ábra).

6


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r

r

1.7. ábra Az r1 vektornak az r2 vektorra vonatkozó vetülete

r r r r r (iv) Két vektor vektoriális szorzata vektort eredményez. Az r1 és az r2 vektorok r = r1 × r2 r r vektoriális szorzatának azt a r vektort tekintjük, amelynek az r1r2 sin ϕ hosszúsága az r1 és r az r2 vektorok által kifeszített paralelogramma területével egyenlő, iránya merőleges mind az r r r r r r1 mind az r2 vektorra, olyan irányítással, hogy az r1 , az r2 és az r vektorok jobbsodrású hármast alkotnak (1.8. ábra) r r r r r r r r = r1 × r2 , r1 × r2 = r1 r2 sinϕ . (1.14)

r

r

1.8. ábra. Az r1 és az r2 vektorok vektori szorzata

1.9. ábra. Egységvektorok vektoriális szorzata

A derékszögű, Descartes-féle koordináta rendszerben a párhuzamos egységvektorok vektoriális szorzatai nullahosszúságú vektort eredményeznek, míg az egymásra merőleges egységvektorok vektoriális szorzatai mindkét vektorra merőleges, egységnyi hosszúságú, egységvektort adnak (1.9. ábra) r r r r r r r r r ex × e y = ez , e y × ez = ex , ez × ex = e y , (1.15) r r r r r r r r r e x × e x = 0, e y × e y = 0, e z × e z = 0. Figyelembe véve az egységvektorok vektoriális szorzataira vonatkozó fenti összefüggéseket, két vektor vektori szorzata a vektorok koordináta komponenseivel is kifejezhető a következő determináns kiértékelésével r r r ex ey ez r r r r r (1.16) r1 × r2 = x1 y1 z1 = e x ( y1 z 2 − z1 y 2 ) − e y ( x1 z 2 − z1 x2 ) + e z (x1 y 2 − y1 x2 ) . x2

y2

z2


7

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

A vektorok szorzatainak tulajdonságai közül ki kell emelni a skaláris szorzat kommutatív tulajdonságát, míg meg kell jegyezni, hogy a vektoriális szorzat nem kommutatív, azaz vektoriális szorzat eleinek felcserélése ugyanolyan nagyságú, de ellenkező irányú vektort eredményez r r r r r r r r r1 ⋅ r2 = r2 ⋅ r1 , r1 × r2 = −r2 × r1 . (1.17) 1.2. Az integrál és a derivált fogalma 1.2.1. Skalár-vektor és vektor-vektor függvények

r Az olyan Φ skaláris mennyiséget, amely a geometriai tér egy tartományának minden r r vektor által kijelölt pontjában maghatározott értéket vesz fel Φ = Φ (r ) skalár-vektor függvénynek nevezzük. Ilyen skalár-vektor függvény pl. a hőmérséklet, a sűrűség, a skalár potenciál. r r Az olyan V vektormennyiséget, amely a geometriai tér egy tartományának minden r r r r vektor által kijelölt pontjában maghatározott vektor értéket vesz fel V = V (r ) vektor-vektor függvénynek nevezzük. Ilyen pl. a sebesség, az elektromos és a mágneses térerősség, stb. 1.2.2. A vonalintegrál

r r r Mint ismeretes, ha a geometriai tér valamely r pontjában egy F (r ) erő hat egy tömegpontra, r amely az erő hatására valamely irányába ∆ l elmozdulást végez, akkor a tömegpont ∆ W munkát végez, r ∆ W = Fl (r ) ∆ l , (1.18) r ahol Fl (r ) az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense, ∆ l pedig az út hossza (1.10.a ábra). A fenti (1.18) összefüggés a vektorok skaláris szorzata alapján megadható az erő és az elmozdulás vektorok skaláris szorzataként r r r r ∆W = F ⋅ ∆l , ∆ W = F ⋅ ∆ l cos ϕ . (1.19)

r

1.10.a ábra. Az elemi tömegpont Fl erő hatására a

r ∆ l úton való elmozdulása

1.10.b ábra. A vonalintegrál értelmezése, a munkavégzés számítása

8


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r Ha az F (r ) erő hatására az elemi tömegpont az A pontból a B pontba mozdul el r valamely l út mentén, akkor az út elemi szakaszain végzett munkavégzések összege az A pontból a B pontba való elmozdulás során kifejtett munkát eredményezi (1.10. b ábra). N

W AB = ∑ ∆ Wk .

(1.20)

k =1

Ezt a munkát úgy határozhatjuk meg, hogy az A − B pontok közötti útszakaszt N elemi r részre bontjuk. A k − adik elemi útszakaszt a ∆ lk vektor jellemez. Minden elemi szakasz r r r belsejében felveszünk egy rk pontot, és ott meghatározzuk az erőhatás nagyságát Fk (rk ) , amelyet az elemi elmozdulás vektorral skalárisan szorozva a k -adik szakaszon végzett munkát kapjuk r r r ∆ Wk = F (rk ) ⋅ ∆ l k . (1.21) Az összes elemi szakaszon kapott munkavégzéseket összegezve a két pont közötti munkavégzést kapjuk r N N r r W AB = ∑ ∆ Wk = ∑ F (rk ) ⋅ ∆ l k . k =1

k =1

(1.22)

Ha az elemi szakaszok hosszát, abszolút értékét, minden határon túl csökkentjük, akkor az r r r r A − B út elemi ∆ lk szakaszainak végtelen finom dl osztása szerinti összegezéshez, az F (r ) erőnek az A − B pontok közötti vonalintegráljához, a tömegpont elmozdításához szükséges munkavégzéshez jutunk W AB = lim

r Br r r N r r ∑ F (rk ) ⋅ ∆ lk = ∫ F (r ) ⋅ dl .

∆ l k → 0 k =1

(1.23)

A

Minthogy a klasszikus fizika értelemben az A pontból a B pontba való elmozdulás során végzett munka valamint a B pontból az A pontba való visszatérés során végzett összes munka nulla, Br r r Ar r r W ABA = ∫ F (r ) ⋅ dl + ∫ F (r ) ⋅ dl = 0 ,

(1.24)

B

A

azaz az integrál alsó és felső határainak felcserélése az integrál eredményében egy negatív előjelet eredményez B

Ar r r r r r ∫ F (r ) ⋅ dl = − ∫ F (r ) ⋅ dl .

A

(1.25)

B

r r r r r s Adjuk meg az F (r ) erőt az erő F (r ) = F (r ) abszolút érétkével és az erő irányába mutató e F r r r s r egységvektorral, F (r ) = F (r ) eF , valamint az A − B pontok közti elmozdulást az l úthossz r r l abszolút érétkével (hosszával), valamint az elmozdulás érintője irányába mutató el r r egységvektorral, l = lel . A fenti jelöléseket az (1.23) kifejezésbe helyettesítve az A − B pontok közti elmozdulás során végzett munka kifejezésére a következőt kapjuk


9

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r B r r r r ∫ F (r ) ⋅ dl = ∫ F (r ) dl e F ⋅ el .

B

A

(1.26)

A

r r r r r Vegyük figyelembe, hogy a két egységvektor, eF , el skaláris szorzata az F (r ) erő és az l útszakasz érintője közti szög koszinuszát eredményezi, így a fenti (1.26) kifejezés az erőnek az elmozdulás irányába eső vetületének az elmozdulás menti integrálját adja B

r r r B ( ) F r dl e e ⋅ ∫ F l = ∫ F cosϕ dl .

A

(1.27)

A

1.2.3. A felületi integrál

Mint ismeretes, ha egy felületen mágneses indukcióvonalak mennek át, azok összege a felület r fluxusát adják. Ennek meghatározásához tekintsük az 1.11. ábrát, ahol az a felület a felület a r r r mérőszámával és a hozzá rendelt n felületi normálissal adható meg, a = a n .

1.11. ábra. Az elemi felület értelmezése

1.12. ábra. A felületi integrál értelmezése

r r Bontsuk fel az 1.12. ábrán látható a felületet N elemi ∆ ak felületre, amely belsejében az r r r rk vektor egy pontot határoz meg. A megfelelően kis méretű elemi ∆ ak felület rk pontjában r r r a Bk (rk ) mágneses indukcióvektor állandónak tekinthető. Ezen elemi felületeken a Bk r indukcióvektornak az elemi felület normálisával való skaláris szorzata a Bk r r indukcióvektornak a felületre merőleges komponensét eredményezi (Bk )n = Bk ⋅ n .

(1.13 ábra)

1.12. ábra. Az elemi felület fluxusa

1.14. ábra. Zárt felület fluxusa

r Ekkor a ∆ ak elemi felület ∆ Ψ k fluxusa ∆ Ψ k = (Bk )n ∆ ak , azaz r r ∆ Ψ k = Bk ⋅ ∆ ak . A teljes felület Ψ fluxusa az elemi felületek fluxusainak összege,

(1.28)

10


−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r

N

N

k =1

k =1

r

Ψ = ∑ ∆Ψ k = ∑ Bk (rk ) ⋅ ∆ ak .

(1.29)

Ha az elemi felületek méretét minden határon túl csökkentjük egy végtelen sok elemből álló r r összeghez, a B indukciónak az a felületre vett integráljához jutunk,

Ψ = lim

N r r r r r ∑ Bk ⋅ ∆ ak = ∫ B(r ) ⋅ da .

∆ a k → 0 k =1

(1.30)

a

Egy zárt felületen a belépő fluxus ki is lép, (1.14. ábra) r r r r ∫ B1 ⋅ da = −Ψ1 , ∫ B2 ⋅ da =Ψ 2 ,

(1.31)

és minthogy Ψ1 =Ψ 2 , így a zárt felület fluxusa nulla, r r ∫ B ⋅ da = 0 .

(1.32)

a1

a2

a

1.2.4. A térfogati integrál

Egy test tömegét a ρ sűrűsége és a v térfogata határozza meg. Ha azonban a test sűrűsége r nem állandó, hanem a geometriai tér egyes rk pontjaiban más-más értéket vesz fel r ρ k = ρ (rk ) , a test tömege a test sűrűségfüggvényének a térfogatra vett integráljával határozható meg. Bontsuk fel a test v térfogatát olyan N számú elemi ∆ vk térfogatokra, amelyek helyzetét r r az rk vektorokkal lehet jellemezni. Tekintsük az elemi ∆ vk térfogat rk pontjában a test r ρ k = ρ (rk ) sűrűségét állandónak, ekkor az elemi térfogat ∆ mk tömegét a következő szorzattal fejezhetjük ki (1.15. ábra)

∆ mk = ρ k ∆vk .

1.15. ábra. Az elemi térfogat

(1.33)

1.16. ábra. A térfogati integrál értelmezése

A teljes v térfogat m tömege ezen elemi ∆ mk tömegek összegeként állítható elő, (1.16. ábra) N

N

k =1

k =1

m = ∑ Dmk = ∑ ρ k Dvk .

(1.34)


11

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Ha az elemi ∆ vk térfogatok méreteit minden határon túl csökkentjük, ugyancsak egy végtelen r sok elemből álló összeghez, a test ρ (r ) sűrűségének a v térfogatra vonatkozó integráljához jutunk m = lim

N r ∑ ρ k Dvk = ∫ ρ (r ) dv .

Dv k → 0 k =1

(1.35)

v

1.2.5. Az idő szerinti derivált

Tekintsük egy térfogatban elhelyezkedő Q(t ) töltés időbeli változását (1.17. ábra).

1.17. ábra. Az időszerinti differenciálhányados értelmezése

Legyen a t = t1 időpillanatban az töltés értéke Q1 = Q(t1 ) , a t = t 2 időpillanatban Q2 = Q(t 2 ) . A térfogat töltése Dt = t 2 − t1 idő alatt DQ = Q2 − Q1 értékkel változik meg. A térfogat töltésének megváltozására a töltés idő szerinti differenciálhányadosa ad tájékoztatást, amely a Dt időegység alatt létrejött DQ töltés megváltozás hányadosának azon határértékével adható meg, amikor az idő Dt növekménye nullához tart dQ DQ . = lim dt Dt → 0 Dt

(1.36)

Ha az 1.17. ábrán a t 2 időpillanat megegyezik a t1 időpillanattal, azaz Dt nullához tart, az (1.36) differenciálhányados a Q töltés időfüggvényének t1 időpillanatbeli érintőjét adja.

1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

Recommend Documents