Matematikai segédlet Fi02 tantárgykódú el˝oadás számára
Lengyel Krisztián, Szigeti Krisztián 2003
TARTALOMJEGYZÉK
Tartalomjegyzék
1
1 DERIVÁLÁS
1.
2
Deriválás
1.1. Elmélet A derivált fogalom geometriai bevezetéséhez nézzük meg a következ o˝ ábrát:
f(x+h)
αé
f(x) x
Egy
x+h
függvény képe a síkon egy görbe. A görbe tetszo˝ leges két pontját összeköt˝o szakasz a szel˝o. Válasszunk ki egy pontot ( ) a görbén, majd rajzoljunk be az innen induló szel o˝ ket. Amint a szel˝o másik végpontja közelít a kiválasztott ponthoz, a szelo˝ egyre közelebb kerül az érint˝ohöz. Fejezzük ki a behúzott szel˝ok meredekségét, felhasználva az ábrán látható jelöléseket.
$%
" ! #
A szel˝o pontjának az ponthoz való közelítését, a két pont közötti távolság csökkenését határesetben elt˝unését a formulával jelöljük. Definíció szerint egy függvény deriváltja egy pontban megadja az ahhoz a ponthoz húzott érinto˝ meredekségét. Az ábra jelöléseit felhasználva a következo˝ módon fejezhetjük ki az érint˝o meredekségét, azaz a deriváltat:
+-&('*,/) .
" 012 +-(& '*3, ) . 4 "! # 657 # é
é
Az érint˝o meredeksége megmutatja, hogy abban az adott pontban a függvény hogyan viselkedik. Ha a függvénynek az adott pontban széls˝oértéke van, akkor a derivált értéke nulla, mert az érinto˝ vízszintes, ha a függvény az adott pontban szigorúan monoton csökken (n o˝ ), akkor ( ). Egy függvény legyen deriválható minden pontban. Ekkor -en azt a függvényt értjük, amely tetsz˝oleges pontban megadja az -hez abban a pontban húzott érint o˝ meredekségét. függvény deriváltja. Mintapélda:
#
" # 5 #
#
5 # 38:9 5 # ;<9 5 #
= "! # > 6 = !? =
+-&*'(,3) . A@ > 6 @ & ( * ' ) +-&*'(,3) . + , / . Többváltozós függvények (általános alakja CBED#B0FGBIHIHIHE ) esetén is beszélhetünk deriváltról. Eb-
ben az esetben a derivált azt mutatja meg, hogy egy kiszemelt irányban hogyan változik a függvény. Technikailag ez azt jelenti, hogy a kiszemelt változón kívül az összes többit állandónak tételezzük fel és úgy járunk el, mintha csak egy változója lenne a függvényünknek. Ennek a jelölése és értelmezése ilyen alakban írható:
J CBJD6B0FKBLHIHIHM ON " CBD %P-QSRUTIV BF %P-QWRXTLV BIHIHIH N
1 DERIVÁLÁS
3
1.2. Deriválási szabályok Nincs szükség minden egyes függvénynél az elözo˝ eljárást végigcsinálni, ugyanis nagyon sok függvényre elvégezték ezt a munkát. A legfontosabb alapfüggvények deriváltjait a következ o˝ táblázat tartalmazza:
Y constZ 5 9 Y & \Z 5 `_ Y &(dfefg6\Z 5 _ Ykj ' \Z 5 il 2d & j / h Ykj ' nm \Z 5 il d j m
Y \[Z 5 R \[S]\^ YbaLc Z 5 aLc Y h c Z 5 ih c & /h Y l d j \Z 5 ! j ' Y l d j m \Z 5 j ' nm
Az utolsó két függvény nem nagyon ismert, pedig gyakran el o˝ fordulnak fizikával kapcsolatos feladatokban, problémákban. Definiciójuk:
j ' nm a c ! @ a ] c l d j m a c @ a ] c
A függvények általában több elemi függvény kapcsolataként állnak el o˝ . Tekintsük át a deriválás hatását ilyen függvényekre.
Y P # oZ 5 P Y # pZ 5 Y " # or # oZ 5 5 # or # X # pr 5 # 5 w _ ! 5 # w ## yx 5 5 #= o#r # "! # pr 5 #
r # fx r = #
1.3. Kidolgozott példák
Y " # Xqsr # pZ 5 75 # Xq>r 5t # Y r # E pZ 5 5 r # u vr 5 # ]z \^ # p{ 5 5 A ]\_ ^ # E
# = j ' , a szorzat függvény deriválási szabálya szerint: 5 # Y = Z 5 j ' | = Ykj ' \Z 5 @ j ' }~ = l d j 2. # 0 , a törtfüggvényre vonatkozó szabály szerint: 657 # w j ' j 5 Ykj ' \Z 5 l d j $j! j ' Y l d j \Z 5 ld x ld = j j j j j
l d = ! l ' j ! ' # l d = l }j ' = l j _ d = d = d = j 3. # %El ' , az inverz függvényre vonatkozó szabály szerint: 5 # Ykj ' ]\^v\Z 5 j _ j j _ j _ l d ul ' _ !? = _ ! ' = ul ' 1.
1 DERIVÁLÁS
4
# , az összetett függvényre vonatkozó szabály szerint: _ 5 #
_ fL 5 @_ _ ] _ { 5 @_ _ ]y = z j j 5. CBDn = ' D>D l d , ez egy kétváltozós függvény, deriváljuk parciálisan mind a kett o˝ változója szerint. J " J CBDK N CBD P-QWRXTLV Y = Z 5 j ' D|D Y l d j \Z 5 @ j ' D!~D j ' J " J CBDK N N P- QWRXTLV BDK = Ykj ' DZ 5 Y D Z 5 l d j = l d j D D = l d j D ND
4.
1.4. Feladatok Ebben a témában gyakorlópéldának szinte bármi jó, ami az ember eszébe jut. Azért álljon itt kedvcsinálónak néhány. Deriváld a következo˝ függvényeket!
h N rK *
# # # # #
j ' l d j
= _ 4
= ! _
%1El
a A R
# # # # #
=
ac @
TIA R
" @
1ElLl d j
P A Q
# # # # #
!? ] = >
j ' j ' nm j
l d 2& | = !
aLcM ] c
a c ]\^ & = X>f u
2 INTEGRÁLÁS
2.
5
Integrálás
2.1. Elmélet Az integrál fogalmának megértéséhez induljunk ki újra a geometriai értelmezésb o˝ l. Nézzük a következ˝o ábrát:
y
a
∆x
b
f
x
h
A probléma megfogalmazása a következo˝ : Adott egy függvény, amelyet ábrázolva a síkon egy görbét kapunk, számítsuk ki a függvény görbéje és az x tengely közötti területet valamely ponttól pontig. A probléma megoldásához közelítsük a kiszámítandó területet olyan téglalapok összegével, melyeknek szélessége , magassága pedig a függvény legkisebb értéke ezen a kicsiny intervallumon belül. Ezzel megkaptuk a függvény alatti terület alsó közelít o˝ összegét. Látható, hogy ha a felosztást finomítjuk, akkor a közelít˝o összeg egyre pontosabban visszaadja az eredményt. Ha végtelenül sok intervallumra osztjuk fel az intervallumot, akkor pontosan megkapjuk a kérdéses területet. Ezt a következ˝o módon jelöljük:
4
Yh B Z
# K¡G Terület g Ennek a m˝uveletnek a neve határozott integrál. Milyen tulajdonságai vannak? Ha a terület az , negatív el˝ojel˝u. Ha kiszámítjuk a területet összege kiadja a harmadikat:
felett van akkor pozitív, ha alatta akkor Y h B Z Y B P tengely Y h P Z és B Z intervallumon, akkor elso˝ kett˝o terület
"
# K¡K ¢ # K¡K ¢ # K¡K g g Ha az integrál intervallumának eleje és vége ugyanaz, akkor nullát kapunk (nincs közrezárt terület): g # K¡K 9 g
2 INTEGRÁLÁS
6
Végül, ha felcseréljük az integrálási határokat, akkor ellenkez o˝ el˝ojel˝u területet kapunk:
g # K¡G ! # K¡K g f%¤ függvény, melyre igaz, hogy: Ha létezik olyan £ # # K¡K £ "!|£ h Y £ # pZ g g akkor £ # -et a # függvény primitív függvényének hívjuk. A primitív függvény alakja egy kons-
tans additív tagig határozatlan, mert a különbség képzése során az additív tag kiesik. Határozatlan integrál fogalmán a primitív függvény megkeresését értjük, jelölése a határozott integrál jelölését o˝ l csupán abban különbözik, hogy nem írunk ki határokat:
# K¡K £ # X>¥
£ #
#
Bizonyítható (lásd analízis el˝oadás Newton-Leibniz tétele), hogy ha függvénye, akkor deriváltja éppen .
£ # a #
függvény primitív
£ 5 # #
2.2. Integrálási szabályok Newton-Leibniz tétel felhasználásával, egyszer˝ubb függvények esetén könnyen visszakereshetjük a primitív függvényt, íme egy táblázat a legfontosabb alapfüggvények integráljáról:
\[¡K R [I ¦#^ _ >¥ j ' §¡K ! l d j s¥ j Km ' §¡K il d j m s¥ ac ¡K a c >¥ _!? ¡K %ul j ' s¥ _ =
_ K¡ l j d 2¡K l jm d 2¡K _ ¡K _ ! |_ = !? ¡K _ =
& } s¥
j ' 4>¥
j ' Km 4>¥
iEl-0 4>¥
iEll d j >¥
Az összetett függvények integráljának kiszámítása nem egyszer˝u feladat, a deriválással ellentétben nem minden esetben tehet˝o meg analitikusan. Annyira azért nem reménytelen a helyzet, mert most is érvényes néhány általános formula, melyek használatával nagyon sok integrál eredménye zárt alakban
2 INTEGRÁLÁS felírható.
7
P # K¡K # Xq>r # K¡K 5 # or # K¡K 5 r # E or # K¡K
P # K¡K
# K¡G q r # K¡K
# or # "! # or 5 # K¡K
DK K¡nD ahol D r #
_ A@
¨
2.3. Kidolgozott példák és gyakran használt módszerek Most alkalmazzuk az el˝oz˝o szabályokat és néhány speciális esetet részletesebben is megvizsgálunk: 1.
© ]\= ^ @ ] = 2 ª«¡G ¬
Összegfüggvény határozott integrálját kell kiszámolni, melyet tagonkét számolhatunk (2. formula). Az összes tag polinom melyekre alkalmazva a megfelel o˝ szabályt:
=
2.
© . =µ´ = j ' 2 ¡K ¶¬
@ U ] = }>¡K ^ =
¡G} = @ U] = ¡K = K¡ } ^w w @ ^ ]\^ = ^ = Y = \ ®
¨ = x^ _ x ^ °¯ =²± ^ 1 \Z ^
=
«¡G ^ @f³
¨ ¨ @
Ez egy szorzatfüggvény, ezért alkalmazzuk rá a parciális integrálás szabályát (3. formula). A probléma az, hogy melyik függvényt válasszuk deriváltnak? A polinom foka a deriválással csökken, így a szabály többszöri alkalmazásával elt˝unhet az integrálandó függvényb˝ol, ezért következ˝oképp választunk:
=µ´ j = ' .
! ¨1· =
! ldj
@ =µ´ @ l j j
l µ = ´ . 2¡K z !/ = d \ { ! ! d # K¡K . =µ´ l j @ d §¡K . 5 # r #
j '
=
" # r 5 #
2 INTEGRÁLÁS
8
Újra alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
! 1¨ ·
! 1¨ · 3.
© & § ¡K ¬
5 # l d j r # =µ´ l j ¨ · @ = d §¡G ! = . =µ´ j @ =! ' 2¡K ! ¨· = ! .
j ' _ =µ´ j @ \Z .=µ´ ! ' 2 ¡K . @ Y ! l d j \Z .=µ´ ! ¨· =
# r 5 # @ Y j '
Ez egy érdekes példa a szorzat függvények integrálására. Ugyanis egy olyan cselt kell alkalmazni, mellyel sokat találkozhatunk a matematika világában. Nevezetesen, ha egy kifejezést megszorzunk 1-gyel, akkor nem változtatjuk meg az értékét. Tekintsük szorzatfüggvénynek a logaritmust az el˝oz˝o értelemben, majd alkalmazzuk rá a parciális integrálás szabályát.
& § ¡K _ & 2¡K
A szabály alkalmazásákor a következ˝o választást használjuk:
# 5 # _ r # & r 5 # ° _ _
_ & 2 ¡K 2& ¸! ¡K 2& ! _ ¡K 2& ¸!¶}s¥ c K¡ ¶¬ Ez a feladat a helyettesítéses integrál egyik speciális esete. A számlálóban lévo˝ 4. © c ¦ = a nevez˝o deriváltja. A végeredmény a nevez˝oben lév˝o függvény logaritmusa, amir˝ol függvény deriválással könnyen meggy˝oz˝odhetünk. Matematikai jelöléssel:
5 # ¹ ¹ # K¡ & # >¥
A feladat megoldása ennek segítségével:
= @ @ ¡G & = X s¥
Az abszolútértéket itt elhagyhatjuk, mert a logaritmus argumentumában szerepl o˝ kifejezés minden -re pozitív.
5.
© @ = _ = ¡G ¶¬
Ez egy másik speciális esete a helyettesítéses integrálnak. A szorzat egyik tagja egy függvény valamilyen kitevo˝ re emelve, a másik tagja pedig a függvény derivátja. Az eredmény a függvényünk eggyel nagyobb kitev o˝ n osztva az új kitev˝ovel. Deriválás
2 INTEGRÁLÁS
9
segítségével meggy˝oz˝odhetünk a szabály helyességér˝ol. Matematikai jelöléssel:
5 # [ # K¡K R [y ¦#^ _ >¥
A feladat megoldása tehát:
6.
© l d j 1! ³ G¡K ¶¬
= p @
= »ºA = _y¼ ¡K f _ s¥
Ez a feladat a helyettesítéses integrál alkalmazásával oldható meg (4. formula), ahol a helyettesítend˝o függvény els˝ofokú kifejezés.
D 1¸! ³
n¡ D ¡K
¡nD 1¡K
Ezekkel a kifejezésekkel végezzük el a helyettesítéseket.
l j ³ l j j d 1¸! G¡K d D½¡KD ' D¾s¥ j ' 1! ³ X>¥
¬ Az olyan függvények integrálásánál, amiben szerepel a következo˝ négyzet7. © ¿ ^ c K ¡ ¿ c . gyakran célravezet˝o a következ˝o helyettesítés: ^p] kifejezés: ¦#^ gyökös ^p] j ' D ¡K¡nD il d j D ¡G %l d j DK o¡KD Ezek segítségével:
_
¶ !_ = _ ¡K _!
ldjD j ' = ÀD ¡nD _
Els˝o ránézésre talán bonyolítottuk a feladatot, de alkalmazva a következ o˝ trigonometrikus azonosságokat egyszer˝usödik a példa.
j ' = l d j = l d j @ %l d j = ! j ' = _ @ D: Jelen esetben ldjD @ l d j =Á ! _ ldjD
j @ l d j = = Á ¡nD l d j D _ ¡nD !_ ' = DÀ _ ¡nD =
_ ! @ l _ j ¡nD D! @ l _ j ¡KD d = Á= d = Á= A F Á helyettesítéssel: = _ _
DÂ! @ l d j = Á ¡nD DÂ! l d j = F ¡\F D! F2>¥ j =
D! D@ s¥ El j ' $! ªÃ ul @ ' Ä >¥
2 INTEGRÁLÁS
10
© Å7Æp7Å Ç ÆpÁÇ ¦#Á ^ ¡nD
integrált egy másik helyettesítés segítségével. Ha olyan függvényt Számoljuk ki a kell integrálni, melyben trigonometrikus kifejezések szerepelnek, és nem akarunk (tudunk) b˝uvészkedni a különböz˝o azonosságokkal, akkor az esetek többségében segít a következ o˝ módszer:
V« <0 D@
A derivált és
¡nD
ekkor
j ' D @ V V= _
kifejezése pedig:
D @ El-0V
Az integrál a következ˝oképp alakul.
ldjD l d j DÀ
! VV = _ = _
és
l d j D V_ ! V = = _
¡nD @ V¡ V = _
@¡V
n¡ D V = _
p ^ ] È ¡_ D p^ ]È ÈÉ ¦#^ n ÉÈ ¦#^ @ « V
V= _ ¡ ! V
@
_ ! V= Ê V
¡ V= _ _ V= _ @ El-0V >¥ ! 0
Ez megegyezik az el˝oz˝o módon számított eredménnyel. 8.
© ¨ ~ = ¡G ˬ
¡ V« D@ sD¾s¥
¨
El˝oször hozzuk ki a négyzetgyök alól a -t, utánna egy gyakori helyettesítéses szabályt alkalmazunk.
¨ ~ = ¡K D @ @ Ì
@ Ì _ ¨ = ¡nD @_ ¡K _ Í @CÏ = ¡K
Ì @
K¡ _ ÎÍ @CÏ = ¡K ¡G @ ¡nD ¨ |D = ¡nD _ Az integrandusz hasonlít az el˝oz˝o példában látott _ !¶ = kifejezéshez, csak most kivonás
helyett összeadás szerepel a gyökjel alatt. Ilyenkor a következ o˝ helyettesítés a célravezet˝o:
D j ' n m F
¡nD
ld jm F ¡\F
Ennek segítségével az integrálunk a következo˝ képp alakul.
¨ s _ D = ¡nD j
¨ l d j m = FÊ¡\F ¨ l d m
¨ A@ F X @
l d j m F o¡\F ¡KD i
j j ¨ _ ' nm = F l d m F«¡\F _ ¡\F j ' Km A@ F C @ F§s¥
l jm d = F«¡\F
@ D _ |D =
arsinh
D¾s¥
2 INTEGRÁLÁS 9.
11
© j ' j ' n m 2 ¡K ¬
Utolsó kidolgozott példánk a parciális integrálás speciális esete. A szorzat mindkét tagja olyan, hogy többször deriválva vagy integrálva önmagát kapjuk. Végezzük el a parciális integrálást kétszer egymás után.
j j n m ' ' § ¡K ! l d j l! d j j ' n m 4 l d j
# ! l d j 5 # j ' r # j ' Km r 5 # il d j m j ' nm ¸! ! l d j l d j m §¡K ! l d j 57 # l d j # j ' r # l d j m r 5 # j ' Km l d j m §¡K ! l d j j ' nm j ' l d j m
j ' nm l d j l d j m § ¡G j j n m ! ' ' § ¡K
Írjuk fel újra, hogy milyen kifejezésb˝ol indultunk és mihez érkeztünk:
j j n m j j n m j j j j
l n m l m ' ' § ¡K ! d ' 4 ' d ! ' ' § ¡G
Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés megtalálható a jobb oldalon is, így egy kicsit átrendezve az egyenletet és kifejezve a keresett integrált a következo˝ t kapjuk:
j j K m l d j j ' n m j ' l d j m !
@ ¥ > ' ' 2 ¡K
2 INTEGRÁLÁS
12
2.4. Feladatok Számold ki a következ˝o határozott és határozatlan integrálokat! Ne feledkezz meg arról, hogy deriválással ellen˝orizheted a megoldást!
]\ ^ .
! @ U ] = La c K¡
´ l j d 2¡K 2& 2¡K = ! @ ¡K ldj j ' _ ¡G ¨ º ® ! ¼ ® ¡K & ! ¨ G¡K 4 @ ¡K a ] c ¡K l d j $_ ! _ ¡K
´ j ' 2¡K . ^ aLc = ¡K . & = §¡G §¡G j ' @ l d j = } ¡K = @ ¡K j A@ @ ' ¸! u G¡K _ !? = ¡K ac a = c ¡G _ j ' j ' ! l d j ¡K
^ _ _ ~ = K¡ ]\ ^ ^j · · ' Í ! @Ï ¡K . aLcCj ' §¡G _ ¡K 2 & _ a ] c ¡G _ $º = _ _I¼ ¡K = _ l d j = ¨ _ } _ ¡K _ !? ¡K j ' = ¡K 1El |# ¡K _
3 VEKTOROK
3.
13
Vektorok
3.1. Vektor fogalma, alapmuveletek ˝ Azokat a mennyiségeket, amelyek egy iránnyal és egy mér o˝ számmal adhatók meg vektoroknak nevezzük. Ilyen például a sebesség, gyorsulás, ero˝ . . . A vektorok szemléltetésére geometriai módot szoktak használni. Egy nyíllal szokták jelölni a vektort, melynek hossza a vektor nagyságát az iránya a vektor irányát mutatja. A vektort ebben az értelemben kétszer aláhúzott bet˝uvel jelöljük, pl. . Úgy is felfoghatjuk, hogy a vektor egy olyan utasítás, ami megmondja nekünk, hogy mennyit és milyen irányban mozduljunk egy adott térben. A vektor hosszának, az abszolútértékének jelölése: . A nulla hosszúságú vektort nullvektornak hívjuk. Két vektor összegén egy olyan harmadik vektort értünk, amely az els o˝ vektor kezdetét˝ol a másik vektor végéig mutat. Adott és vektor esetén a:
h
h ÐÐ h ÐÐ Ñ
h
P Òh összeget geometriailag úgy képzelhetjük el, hogy a P
h
vektor az és vektorok által kifeszített paralelogramma átlója. Több vektor esetén az összeg az elso˝ vektor elejét˝ol az utolsó vektor végéig mutat. A vektor ellentetjén az azonos nagyságú, de ellentétes irányú vektort értjük, jelölése: . Egy vektor és annak ellentetjének összege a nullvektort adja eredményül. Ennek segítségével két különbségét úgy képezzük, hogy az els˝o vektorhoz hozzáadjuk a második ellentetjét:
! h
P `h ! `h º ! ¼
Egy vektort úgy szorzunk meg egy számmal, hogy nagyságát megszorozzuk az adott számmal és a kapott vektor iránya a szorzó szám el˝ojelét˝ol függ˝oen vagy azonos (pozitív) vagy ellentétes (negatív) az eredeti vektorhoz képest. Legyen , ekkor egy olyan vektor, amely -val egyirányú, ha el˝ojele pozitív és ellentétes, ha el˝ojele negatív, a nagysága pedig . Két vektor összege és számmal való szorzása disztributív m˝uvelet:
h P i4h s Ó
4h
ι ¹ph
h
ºh ¼
4h
P
Vektorok lineáris kombinációján értjük a számmal való szorzás és a vektorok közötti összeadás során kapott kifejezéseket. Például és vektorok lineáris kombinációja az a vektor, amely el o˝ áll a következ˝o alakban: . Két vektor skaláris szorzatán egy olyan számot értünk, melyet a következ o˝ képp számítunk ki:
h h l d j
Ez a szorzat a fizikában gyakran el˝ofordul (például munka. . . ). A skaláris szorzat két vektorhoz egy számot rendel, az asszociativitás nem igaz rá, ezért ki kell tenni a zárójeleket:
Ô h º P¼ º h ¼ P °
A skaláris szorzat kommutatív, azaz két vektor skaláris szorzata nem függ a sorrendt o˝ l. A vektorok közötti összeadás és a skaláris szorzás között érvényes a disztributivitás.
º h ¼ P `h P P
3 VEKTOROK
14
Ha két vektor mer˝oleges egymásra (ortogonális), akkor skaláris szorzatuk nulla. Fordítva is igaz, ha két vektor skaláris szorzata nulla, akkor mero˝ legesek egymásra (ortogonálisak), vagy az egyik vektor a nullvektor, de annak iránya úgyis tetszo˝ leges. Tetsz˝olegs vektor saját magával vett skaláris szorzata . megadja a hosszának négyzetét Valamely sebességgel mozgó töltésre mágneses térben olyan er o˝ hat, melynek iránya mer˝oleges -re és -re ( és által kifeszített síkra), nagysága pedig -val arányos. A vektoriális szorzat segítségével a Lorenz ero˝ t a következ˝o alakban írhatjuk:
Õ
Õ
Ö
Õ
P h Ø
h h %
h= Ö
h
P
Ö
£
ÕvÖ j ' /
× Õ ØÙÖ £ i
Legyen , ekkor , és jobbsodrású rendszert alkot, azaz a jobb kezünk hüvelyk, mutató és középs˝o ujjával (ebben a sorrendben) tudjuk o˝ ket fedésbe hozni. A vektoriális szorzat nem asszociatív és nem kommutatív. A definicióból következik, hogy:
h Ø ! Ø h
A vektorok összeadására és vektoriális szorzására is érvényes a disztributivitás.
º h ¼ Ø P `h Ø P Ø P
h º Ø P¼
Az szorzatot hármas vegyes szorzatnak nevezik. Ha a három vektor egy síkban fekszik (vagy az egyik a nullvektor), akkor a vegyes szorzatuk nullát ad eredményül. Geometriailag a vegyes szorzat, a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát adja. A vegyes szorzat el o˝ jele megmutatja, hogy a három vektor jobb- (pozitív elo˝ jel) vagy balsodrású rendszert (negatív elo˝ jel) alkot. Geometriai megfontolásokból igaz a következo˝ két egyenl˝oség:
h º Ø P ¼ `P º h h º Ø P¼
Ø ¼ ºP Ø h ¼ ºh Ø ¼ P
ºh P¼
A hármas vegyes szorzatot ezen tulajdonságok miatt a következ o˝ formulával jelölik: , , .
h º Ø P¼
3.2. Bázis, koordináta Legyen
h ,
és
P
a tér három olyan vektora, melyekre igaz, hogy az
Ó Ú 9
h |Ó ~Ú P 9
egyenletnek a triviális megoldáson kívül nincs másik gyöke. Ekkor azt mondjuk, hogy a három vektor lineárisan független. Síkban ketto˝ , térben három lineárisan független vektort találhatunk, természetesen létezhetnek olyan terek is, ahol több lineárisan független vektor létezik. Lineárisan függ˝oek a vektorok, ha létezik más megoldása is az elo˝ z˝o egyenletnek, ilyenkor az egyik vektort kifejezhetjük a többi vektor lineáris kombinációjaként. Adott valamilyen vektortér, azaz olyan tér, ahol értelmezve vannak valamilyen vektorok összeadással, számmal való szorzással és valamilyen skaláris szorzattal. Ha meghatározunk annyi lineárisan független vektort, melyekb˝ol lineáris kombinációként a tér összes vektora elo˝ állítható, akkor ezeket a vektorokat bázisnak hívjuk. A bázisvektorok számát az adott vektortér dimenziójának nevezzük.
3 VEKTOROK
15
P
h % h ? Ó ¶Ú P Ó Ú
Síkban kett˝o, térben három lineárisan független vektor kell egy bázis kialakításához. Legyen , és egy bázis a térben. Ekkor tetsz˝oleges vektorra definíció szerint igaz, hogy és a felbontás egyértelm˝u, tehát , és számok egyértelm˝uen jellemzik az vektort. Az , , számhármast az vektor koordinátáinak nevezzük az , , vektorok által kifeszített koordináta rendszerben. Egy bázist ortogonálisnak nevezünk, ha vektorai egymásra páronként mer o˝ legesek, azaz skaláris szorzatuk nullát ad eredményül. Ha egy ortogonális bázis minden vektora egységnyi hosszú, akkor ortonormált bázisról beszélünk. A vektorok leírása ilyen bázisban általában egyszer˝u és könnyen követhet o˝ , a továbbiakban ezzel foglalkozunk részletesen. Legyen egy ortonormált bázis a térben, ekkor definíció szerint igazak a következ˝o egyenl˝oségek:
Ó Ú
a Û ^ Ü B a Û = Ü B a Û Ü a Û ^ Ü a Û = Ü a Û Ü a Û ^ Ü a Û = Ü a Û ^ Ü a Û Ü a Û = Ü a Û Ü
h P
_
9
egységnyi hosszúak páronként mer˝olegesek
3.3. Reprezentáció, indexes írásmód
h
P
Ý ^ h = P ^ = Ý
^ BE = BE h ß ß h %h a Û ^ Ü h a Û = Ü h a Û Ü Þ ßáà h a Û Ü = ^ ^ aâ @ Szorozzuk be mindkét oldalt -vel, ahol § _ B B lehet. Mivel a bázis ortonormált, ezért a jobb oldalon csak az a tag nem nulla, ahol az azonos bázisvektorral szorozzuk, ami viszont éppen egyet ad eredményül, így: ß ß h a Û â Ü Þ ßáà h a Û Ü a Û â Ü %h â ^ Tehát egy vektor koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy skalárisan összeszorozzuk a megfelel o˝ bázisvek-
Legyen , és egy bázis a térben, amelyek kifeszítik a koordináta rendszert. Ekkor tetsz o˝ leges vektorra definíció szerint igaz, hogy . Az , és koordinátákat, mint számhármast, az vektor koordináta rendszerbeni reprezentációjának nevezzük. Jelölése: . Adott egy ortonormált bázis. Ekkor egy tetszo˝ leges vektor a kövektez˝o alakban írható fel:
torokkal. Ennek megfelel˝oen a bázisvektorok reprezentációi:
a Û ^ Ü B09KB09 a Û = Ü 9KB B09 a Û Ü 9GB09KB _ _ _
Nézzük meg hogyan reprezentálódnak a vektorok közötti m˝uveletek. Legyen ki a bázisvektorok segítségével az összeadást majd olvassuk le az eredményt.
h h B h B h ß B B ß P P B P B P ß ^ =ß ^ ß= ^ ß= Þ ã ß à Þ ã ß à Þ ã ß à h h a ÛÜ a ÛÜ P P a ÛÜ ß ß^ ß ß ^ ß ß ß ^ ß ß Þ ßãà h a Û Þ ßáà a Û Þ ßãà h a Û Þ ßãà P a Û Ü\ ß ß ß Ü Ü Ü ^ Tehát: P h^ más^ jelöléssel: P `h ^
h P , írjuk
3 VEKTOROK
16
ß
ß ß formát indexes irásmódTehát összeadás során a megfelel˝o koordináták összeadódnak. A P h @ nak nevezzük, ekkor az indexben szereplo˝ bet˝u felveheti térben _ B B értékeket. Ezzel a jelöléssel megspóroljuk, hogy mind a három egyenletet ki kelljen írnunk. Legyen ä§h . Az el˝oz˝o gondolatmenetet végigcsinálva a következo˝ t kapjuk. h h B h B h ß B B ß ^ =ß ^ ß= Þ ã ß à Þ ã ß à Û h h a Ü a ÛÜ ß ß^ ß ß ^ ß ß ä Þ ßãà h ß a Û Ü ß Þ ßáà ä h a Û Ü Þ ßãà a Û Ü ^ ^ ^ Tehát: ä6h más jelöléssel: ä§h Ilyenkor tehát minden koordinátát meg kell szorozni az adott számmal. Skaláris szorzat reprezentálásához megint írjuk ki a bázisvektorok segítségével az
h h ß Þ ßãà h a ^
h Bh Bh ß ^ =ß Þ ßãà h a Û Ü ß ^ ß Û Ü Þ à a Ûkâ Ü â ^
B B ß ^ = Þ à â a Û Ü â ^ß ß
ß(Þ å à h â a Û Ü a Û â Ü â ^
h
szorzatot.
Itt fontos, hogy a két vektor megfelel˝o komponenseit ne ugyanazzal a bet˝uvel indexeljük, mert akkor nem kapnánk meg a tényleges szorzatot. Az utolsó szorzatnál megint a bázisvektorok szorzatát látjuk, amelyek csak akkor ad egyet, ha ugyanazokat a vektorokat szorozzuk össze, minden más esetben nulla az értéke.
ß
ß
ßß ß(Þ å à h â a Û a Û â Þ ßãà h Ü Ü â ^ ^ Tehát skaláris szorzat a megfelel˝o koordináták szorzatainak az összege.
A vektoriális szorzat vizsgálatát kezdjük a bázisvektorok egymással vett vektoriális szorzatával. Mivel ortonormált bázisunk van, ezért a vektoriális szorzat definiciójából következik, hogy:
a Û ^ ÜØ a a Û = Ü Ø a Û ^ Ü
Û= Ü a Û Ü
! a Û Ü
a Û = ÜØ a Û Ü a Û ^ Ü a Û Ü Ø a Û = Ü ! a Û ^ Ü
a Û ÜØ a Û ^ Ü a Û = Ü a Û ^ Ü Ø a Û Ü ! a Û = Ü
minden más esetben nullát eredményez a szorzás.
h %
h B h B ß h B B P P B P B P æ ^ß = ^ = ^ =æ Þ ã ß à Þ à Þ æ Û k Û â h h a Ü â a Ü P à P a Û Ü âß ^ ß ß ß^ ^ ß ß P Þ ßãà h a Û Ü Ø Þ ßãà a Û Ü ß(Þ å à h â a Û Ü Ø a Ûkâ Ü â ^ ^ ^
3 VEKTOROK
17
Részeletesen kiírva a koordinátákat a következo˝ formulát kapjuk:
çè P
çè h ! h P ^ h = ! h = P =0éê h ^ ! h ^ éê = ^ ^ =
3.4. Kidolgozott feladatok Adott három vektor reprezentációja egy ortonormált bázisban:
çè
h
_
_
9 éê
çè
_
!@_
1. Számoljuk ki a következ˝o kifejezéseket:
2. Mekkora szöget zár be a
h
és a
P
éê
h ! P
çè @ P ! @ _ éê h Ø @ P
vektor?
ßß h %h %h h h _3ë_ _/ë ! _ Xs9 ë @ 9 ^ ^ = =
1. Vegyük sorra a kifejezéseket.
h ! P
Tehát a két vektor mer˝oleges egymásra. A kifejezésnél el˝oször a zárójelben lév˝o tagot számoljuk ki.
çè
h ! __ ! 9 éê
çè
çè ! èç @ _ ! @ _ @_ ¨ @ 9¾! éê ! êé éê _
ß ß h ! P h ! P @ @ ¨ ! @ C ! @ !2 ë ë ë_
Most már könnyen elvégezhetjük a skaláris szorzást.
A harmadik kifejezésnél szintén a zárójeles taggal kell kezdeni.
çè
èi çè @ ç ì @ P !__ @ ! @ ! ì @ ¨ _ éê êé êé A vektoriális szorzat kiszámításának szabálya: çè h ! h h Ø h = ! h = h ^ ! h ^ éê = ^ ^ = Tehát ezt alkalmazva a következ˝ot kapjuk: çè ¨ !|9 ! ì çè ¨ / _ ë ë ì h Ø f @ P 9 ì ë ! _/ë ¨ ì ! ¨ _/ë ! _3ë ! éê _ 9 êé
3 VEKTOROK
18
2. Két vektor hajlászögének meghatározására, a skaláris szorzat két kiszámítási módja ad lehet o˝ séget.
P
ßß P P Píl d j
ßß P = ! = @ =ß ß _ _ l d j PP
Ahol és a két vektor hosszát,
pedig a közrezárt szöget jelenti.
@ @ @ P3 @ =
! @ = _= î ì H fï
3.5. Feladatok Egy koordináta rendszerben adottak a következo˝ vektorok reprezentációi:
h
çè
_
_
çè _ @ êé N ! _ _ éê
çè 9 _ éê çè ! a ! @_ _ éê
çè ! P çè ¨_ éê
9ì ! éê
1. Számold ki a hat vektor közül két tetsz˝olegesnek a skaláris szorzatát! 2. Számold ki a hat vektor közül két tetsz˝olegesnek a vektoriális szorzatát! 3. Számold ki a hat vektor közül két tetsz˝olegesnek a közrezárt szögét! 4. Számold ki a hat vektor közül három tetszo˝ legesnek a hármas vegyes szorzatát!
4 AJÁNLOTT IRODALOM
4.
Ajánlott irodalom
4.1. Bolyai sorozat
ð
ð
Bárczy Barnabás Differenciálszámítás (M˝uszaki Könyvkiadó) Bárczy Barnabás Integrálszámítás (M˝uszaki Könyvkiadó)
19
