Matematikai összefoglaló

Matematikai összefoglaló Vektorok Nagyon sok olyan mennyiség van, amely nem jellemezhető egyetlen számmal. Az ilyen mennyiségre a legegyszerűbb és mindenki által jól ismert példa, valamely pontnak a helyzete a térben. Amikor tájékozódunk és egy pont helyzetét meg akarjuk határozni, akkor mindig más ponthoz képesti helyzetét adjuk meg. Ezt a pontot vonatkoztatási pontnak, vagy origónak nevezzük. Ettől mérjük a pont távolságát. Ahhoz, hogy a pont helyzete egyértelmű legyen, két kiválasztott irányhoz képesti két szöget is meg kell adni. Vagyis egy pont helyzetét így három adat fogja jellemezni, egy távolság és két szög. Általában az olyan mennyiségeket, amelyek a nagyságukkal és irányukkal jellemezhetőek, vektoroknak nevezzük. Jelölésükre nyomtatásban vastagon szedett kis és nagy betűket használunk. Kézírásban pedig alul, vagy felül vonással jelezzük az adott mennyiség vektor voltát. Például:

helyvektor

nyomtatásban

kézírásban

r

r vagy r

Általában ha “A” egy vektor, akkor

bármely vektor

nyomtatásban

kézírásban

A

A vagy A

Grafikus ábrázolás: Vektorok ábrázolása rendkívül szemléletes, amelyet egy irányított szakasz jelképez. A vektor nagyságát (hosszát) a szakasz hossza jelzi, az irányát pedig a szakasz egyik végére tett nyíl (lásd 1. ábra).

1

A

1. ábra. Az A vektor grafikus ábrázolása Az A vektor hosszát A -val jelöljük, amit a vektor abszolutértékének is szokás nevezni. Előfordul, hogy az abszolutértéket egyszerűen csak A-val jelölik. Az A mindig nagyobb, vagy egyenlő 0.

Műveletek vektorokkal:

Összeadás: Ha a és b két vektor, akkor az a  b vektort úgy értelmezzük, hogy a két vektor kezdőpontjait egy pontba helyezzük az egyik vektor önmagával párhuzamos eltolásával, és két vektor által kifeszített parallelogramma átlóját tekintjük az a  b vektornak. Az összegvektor iránya a közös pontból a parallelogramma átellenes csúcsa felé mutat. b

a

a + b

a

a+b

b

a)

b) 2. ábra. Két vektor összege (parallelogramma szabály) A 2. ábra b) ábrája jelzi az a  b vektor egy ekvivalens előállítását. Az összeadás műveletének definíciójából jól látszik, hogy a vektorok összeadása kommutatív (felcserélhető) művelet, azaz ab  ba

2

Vektor valós számmal való szorzása: Ha a egy vektor és  egy valós szám, akkor a  a vektort úgy értelmezzük, amelynek iránya a -val azonos, ha   0 , és a -val ellentétes, ha   0 , nagysága pedig   a (lásd 3. ábra).

a 

 a

a

a 3. ábra Kivonás: Két vektor kivonását az összeadás és a valós számmal való szorzás definíciója alapján értelmezzük. Az összeadás és a valós számmal való szorzás alapján értelmezni lehet két vektor különbségét is. Legyen a és b két vektor, akkor a  b  a   1  b 

módon lehet értelmezni a két vektor különbségét (lásd 4. ábra).

a

a - b -1·b

(  = - 1) b

4. ábra. Két vektor különbsége Egységvektor: Az

olyan

vektort,

amelynek

abszolútértéke

(hossza)

egységnyi,

egységvekornak nevezzük. Ha a egy vektor és „a” a vektor nagysága, akkor 1/a-val szorozva az a vektort, a irányába mutató egységvektort kapunk.

3

Jelöljük ezt e -vel

e

1 a a

Valóban

e 

1 1 a  a 1 a a

Ez azt jelenti, hogy bármely vektor a saját irányába mutató egységvektor és egy  szám szorzataként előállítható. a  e

ahol e az a irányába mutató egységvektor és

 a

Disztributivitás a számmal való szorzásra: Két vektor összegét szorozva  valós számmal a  b    a   b

arra nézve igaz a következő állítás: Biz: (lásd 5. ábra). a a

 (a +

b)

b a +

b b

5. ábra A háromszögek hasonlóságából következik, hogy b és a oldalhosszúságú parallelogramma átlója is  szorosára változik. Továbbá ha µ és  valós számok és a egy vektor, akkor igaz a következő állítás:

    a   a   a Biz.: Mivel a valós számmal való szorzás az a vektor irányát nem változtatja meg csak a vektor hosszát, ezért az állítás ekvivalens a valós számokra vonatkozó disztributív szorzási szabállyal.

4

Skaláris szorzás: Az a és b vektor skaláris szorzatán azt a valós számot értjük, amelyet a  b vel jelölünk és a következő módon definiálunk: a  b  a  b cos  ,

ahol „a” és „b” az a illetve b vektorok hosszai (nagyságai),  pedig a két vektor által bezárt kisebbik szög (lásd 6. ábra). a  a cos 

b

6. ábra. Két vektor skaláris szorzata az 6. ábra szerint megadja az a vektornak b vektor irányába eső vetületének b vektor hosszával való szorzatát. Az előállításból látszik, hogy a b  ba

azaz a skaláris szorzat kommutatív. a  b  a  b cos   b  a cos   b  a

Két vektor skaláris szorzását a „·”jel jelzi szemben a valós számoknál nem kiírt szorzásjellel. Előforduló jelölés még két vektor skaláris szorzására a b  jelölés is. A skaláris szorzat lehetőséget ad arra, hogy megállapítsuk azt, hogy két vektor merőleges egymásra. Ugyanis ha két nem nulla vektor skaláris szorzata 0, az csak úgy lehetséges, hogy a definícióban szereplő cos   0 azaz  

 2

90 . 

Skaláris szorzás disztributivitása: Ha pl. a b vektor két másik vektor összege b cd

akkor

a  b  a  c  d   a  c  a  d

5

Ezt nevezzük a skaláris szorzat disztributivitásának (szétválaszthatóság). Bizonyítást lásd 7. ábra szerint.

a

d 2 b

c  1 c

.

.

d

s co

s co

1 b

s co

 2



7. ábra a  b  a b cos   a  c  a  d  a  c cos 1  a d cos  2  a  c cos 1  d cos  2 

de a 7. ábra szerint c cos 1  d cos  2  b cos 

így valóban igaz a disztributivitás. Vektoriális szorzat: A vektoriális szorzat eredménye vektor, amelynek nagyságát a két vektor hosszának (nagyságának) és a két vektor által bezárt szög szinuszának szorzata adja úgy mérve a szöget, hogy az a vektortól b felé az óramutató járásával ellentétesen jutunk. a  b  ab sin 

(az a  b nagysága)

Az a  b vektor iránya pedig az a, b vektorok által kifeszített síkra merőleges irány, úgy, hogy az a, b és az a  b vektorok jobbsodrású tengelyrendszert alkotnak (8. ábra).

6

axb

.

.

b  a

in bs

.



8. ábra Vektoriális szorzat Az a  b vektor mind az a, mind a b vektorra merőleges és nagysága az a és b vektor által kifeszített parallelogramma területével egyezik (lásd 8. ábra).

Az a-ból a b -n keresztül, az óramutató járásával ellentétesen jutunk az a  b vektor irányába. A definícióból rögtön következik, hogy a vektoriális szorzat nem a  b  b  a

kommutatív, hanem

(lásd 9. ábra)

axb

 =2  - 

b  a



b x a = -a x b

a és b által bezárt szög

b és a által bezárt szög

9. ábra „jobb kéz szabály” A fenti szorzási szabály „jobb kéz szabály” néven is ismert. Vektoriális szorzás disztributivitása: b cd

Ha b két vektor összege

akkor a vektoriális szorzásra is igaz a disztributivitás (szétoszthatóság) a  c  d   a  c  a  d

mivel

a  e

alakban előállítható, ezért  -val való osztással a fenti egyenlet e  c  d   e  c  e  d

alakú.

7

Ezért elegendő elvégezni a bizonyítást a irányába mutató egységvektorra, mert  -val való szorzással az eredeti állítást kapjuk.

d (c +

c d)

O

exc

e ex

exd

(c +

d)

10. ábra Vetítsük az e -re merőleges síkra a c vektort a d vektort és a c  d vektort. Ezen vetületeknek a hossza rendre (lásd 10. ábra). c sin c, e  , d sin d, e  , c  d sin c  d, e 

ahol c, e  , d, e  és c  d, e  az e vektornak és a c , illetve d , valamint c  d -vel bezárt szögeit jelöli. Ezek az értékek éppen az e  c , az e  d és e  c  d  szorzatok abszolút értékei. Így ha a levetített szakaszból álló háromszöget 90-al az O körül e -re merőleges síkban az óra járásával ellentétes irányban elfordítjuk, éppen az e  c a e  d és a e  c  d  vektorokat kapjuk. Ezzel állításunkat beláttuk. Vektorok koordinátás alakjai Legyen e1 és e 2 ugyanazon síkban lévő egymással   0 szöget bezáró

egységvektorok, akkor egy ugyanezen síkban

lévő tetszőleges a vektor

ezen

egységvektorok segítségével előállítható (lásd 11. ábra). Helyezzük e három vektor kezdőpontját egy közös pontba, a vektorok önmagukkal párhuzamos eltolásával. Az a vektor végpontján keresztül húzzunk egy-egy párhuzamos egyenest az e1 , illetve e 2 irányával. Ezen egyenesek egyike az e1 irányban kijelöl egy a 1 vektort, és a

másik az e 2 irányban egy a 2 vektort.

8

a1

e1

a  a2

e2

11. ábra a vektor felbontása két e1 és e 2 egységvektor irányába mutató vektorra A parallelogramma szabály szerint a  a1  a 2

de

a 1  a 1 e1

és

a 2  a 2 e2

a  a 1 e1  a 2 e 2

így

Ez azt jelenti, hogy bármely egy síkban lévő, nem azonos irányú két egységvektor alkalmas arra, hogy az általuk kifeszített sík bármely a vektorát előállítsuk. Más szavakkal, az a 1 és a 2 számok az e1 , e 2 egységvektorok által kifeszített síkban egyértelműen meghatározzák az a vektort.

Ha nem két egységvektort hanem három nem egysíkban lévő egységvektort választunk, ugyanezt az eredményt kapjuk háromdimenziós esetben is (lásd 12. ábra).

a3 a e3 a1

e1

e2

a2 a 1,2

12. ábra Az ábrából a parallelogramma szabály szerint

a  a 1, 2  a 3

9

de

a 1, 2  a 1  a 2 ,

így

a  a1  a 2  a 3

Mivel

a 1  a 1 e1 ,

a 2  a 2 e2

és

a 3  a 3 e3

a  a 1 e1  a 2 e 2  a 3 e 3

Így

Vagyis az a vektor az e1 és e 2 , e 3 úgynevezett bázisvektorok által meghatározott bázison az a 1 , a 2 és a 3 számokkal egyértelműen meghatározott. Az e1 és e 2 , e 3 ilyen választása a legáltalánosabb. A gyakorlat számára igazán fontos eset, amikor az e1 és e 2 , e 3 kölcsönösen merőlegesek egymásra. Ez megfelel a Descartes-féle derékszögű koordináta rendszernek, amelynek tengelyei merőlegesek egymásra. Általánosan elfogadott, hogy a Descartes rendszerben az x, y és z irányokba mutató egységvektorok jelölése i , j és k . z

a z k a x

a

j

a y

i

y

x

13. ábra Descartes-féle koordináta rendszerben az i , j és k egységvektorok Így egy tetszőleges a vektor a  ax  ay  az de amiből

ax  axi,

ay  ay j,

az  az k

a  axi  ay j az k

10

Így egy tetszés szerinti a vektor a Descartes-féle koordináta rendszerben jellemezhető egy a x , a y , a z számhármassal, azaz a vektor azonosítható ezen számhármassal. ax    a  a y  a   z

Az a x , a y , és a z -t a vektor x, y és z komponenseinek (koordinátáinak) nevezzük. Mivel i , j és k kölcsönösen merőleges egységvektorok, így a skaláris szorzat definíciójából következnek a következő összefüggések: i  i  i i cosi, i   1 i 1 i 1

ahol

cosi, i  jelöli i vektornak önmagával bezárt szög (0º) koszinuszát.

Hasonlóan j j  1

kk 1

és

A kölcsönös merőlegességből i  j  i i cosi, j  0 i 1 i 1

 

ahol cos i, j jelenti az i és j vektorok által bezárt szög (90º) koszinuszát. j k  0

Hasonlóan

k i  0

Ugyanúgy a vektoriális szorzás szabályából kapjuk: i j  k



j  i  k

j k  i



k  j  i

ki  j



i k  j

11

Összeadás koordinátás szabályai (Descartes rendszer): Legyen két vektor a és b ax    a  a y  a   z

a a x i  a y j  a z k

b b x i  b y j  b z k

 bx    b   by  b   z

Ekkor felhasználva a vektorok valós számokkal való szorzásra vonatkozó disztributív szabályokat: a  b  a x  b x i  a y  b y j  a z  b z k ,

a x  bx    a  b  a y  by  a  b  z   z

Vagyis két vektor összegének koordinátái a vektorok koordinátáinak összege. Skalárral való szorzás koordinátás alakja: Legyen a egy vektor és  egy valós szám. a a x i  a y j  a z k

Az a koordinátás alakja:

A skalárral való szorzás disztributív tulajdonság miatt  a  a x i  a y j   a z k Vagyis

 a x     a   a y   a   z

azaz minden koordináta  -szorosára változik. Skaláris szorzás koordinátás alakja: Legyen két vektor

a a x i  a y j  a z k b b x i  b y j  b z k

12

Ekkor a skaláris szorzás disztributív szabálya miatt







a  b  a x i  a y j  a z k bx i  by j  bz k   a x bx i  i  a x by i  j  a x bz i  k   a ybx j i  a yby i  j  a ybz j k   a zbx k  i  a zby k  j  a zbz k  k Mivel

i  j  i  k  j  k  0

és

i i  j j  k  k  1

így kapjuk: a  b  a x bx  a yby  a zbz

Speciálisan a  b esetén Amelyből

2

a  a  a  a 2x  a 2y  a 2z

a  a 2x  a 2y  a 2z

ami a vektor abszolút értéke. 2

Megjegyezzük, hogy a  a helyett gyakran az a jelölést használják. Vektoriális szorzás koordinátás alakja Legyen

a  axi  ay j az k

és

b  bx i  by j  bz k

Ekkor a  b  a x bx i  i  a x by i  j  a x bz i  k   a y b x j i  a y b y j j  a y b z j k   a zbz k  i  a zby k  j  a zbz k  k Kihasználtuk a vektoriális szorzás disztributív voltát. Mivel

i  i  j j  k  k  0

és

i j  k

j  k  k

j k  i

k  j  i

ki  j

i k  j

Kapjuk a  b  a y b z  a z b y  i  a z b x  a x b z  j  a x b y  a y b x  k

13

A könnyebb megjegyezhetőség végett i

j

k

a b  ax bx

ay by

az bz

A determináns kifejtési szabály szerint éppen a fenti eredményt adja. Kettős vektoriális szorzat (kifejtési tétel)

Ha a , b és c három vektor, akkor értelmezni lehet az

a x bx c A b x a x c

és az

a x b x c



vektoriális szorzatokat.

a c x a x b  és az a x c x b  szorzatok is értelmesek de ezek az előbbi kettő  1 -el való szorzásából megkaphatók. Ezért elegendő az a x b x c és az a x b x c  vektoriális szorzatokat vizsgálni.

Kifejtési tétel: Ha a , b és c tetszőleges vektorok, akkor a következő két azonosság igaz:

a x b x c  a c b  b c a

illetve a x b x c   ac b  a b c

A második egyenlőség az elsőből megkapható, hiszen egy tényezőcserével az első egyenletből kapjuk  1 -el való szorzás után. c x a x b   ac b  b c a

Betűcserével c  a pedig ebből a x c x b   c a b  b a c -t kapunk, amelyből a c x b   b x c helyettesítés és  1 -el való szorzás után a x b x c   a c b  a b c egyenlőséget kapjuk, ami éppen a második azonosság. Ezért elegendő belátni csak az a x b x c  a c b  b c a -t. első azonosságot, azaz a

Bizonyítás: 1)

Nézzük először azt az esetet, amikor a b . Ekkor mindkét vektor egy e

egységvektorral kifejezhető:

a  e

és

b e

A baloldal nyilván 0, hiszen a és b párhuzamos esetben 0  os szöget zár be, ekkor pedig a vektoriális szorzat értéke 0 . A jobb oldalról pedig behelyettesítéssel láthatjuk  e c  e   e c  e    e c e  e c e  0 be, hogy 0 , ugyanis Vagyis a b esetén beláttuk az állítást. 2)

a és b ne legyen egyirányú. a.

Ekkor, ha c -re igaz az állítás, akkor   c is igaz. Ugyanis az a x b x c  a c b  b c a egyenletet megszorozva  -val a x b  c  a  c b  b c a egyenletet kapjuk.

14

b.

ha c1 -re és c 2 -re igaz az állítás, akkor c1  c 2 -re is igaz. Ugyanis felírva az egyenlőséget c1 és c 2 -re, ezeket összeadva a c1  c 2 -re vonatkozó egyenlőséget kapunk.

a x b x c1  a c1 b  b c1 a a x b x c2  a c 2 b  b c 2 a összeadás után

a x b x c1  c 2   a

c1  c 2 b  b c1  c 2 a

Mivel a , b és a x b három nem egyirányú vektor, ezért bármely c vektor előállítható az a , b és a x b vektorok lineáris kombinációjaként, azaz c   a   b   a x b . Így az előbbiek alapján elég a tételt belátni c  a -ra, c  b re és c  a x b -re. Az a x b vektora az állítás nyilvánvaló, ugyanis baloldal 0, hiszen minden vektor önmagával képzett vektoriális szorzata 0, jobb oldal pedig helyettesítéssel adódik. o  a x b x a x b   a ax b b  b ax b a Mivel az a x b merőleges mind a -ra, mind b -re, így az a ax b  és b ax b  tényezők 0-t adnak. Már csak a -ra és b -re kell igazolnunk az állítást, azaz a

a x b x a  a a b  a b a és a a x b x b  a a b  b b a egyenlőségeket kell belátni. A második egyenletet nem kell belátni, mert az az elsőből következik. Ugyanis az első egyenletben a -t felcserélve b -re b x a x b  b b a  a b b -t kapjuk. Felhasználva a b x a  a x b  -t és szorozva az egyenletet -1-el, kapjuk: a x b x b  a a b  b b a -t, ami éppen a b -re vonatkozó egyenlőség. Ezért elegendő belátni csak a -ra az egyenlőséget, azaz a x b x a  a a b  a b a . Legyen e a irányba mutató egységvektor. Ekkor a   e alakba írható, ahol   a . Beírva a kifejezését az egyenlőségbe



e x b x  e   2 e e b   e b  e

 2 e x b x e   2 b   2 e b  e Elosztva  2 -el a következő egyenlőséget kapjuk:

e x b x

e  b  e b  e , vagy átrendezve b  e x b x e  e b  e

15

Az ábráról az egyenlőség jelentése könnyen leolvasható:

exb b sin 

.. 

b

b =(e x b)x e 

e b sin  = e x b

.

(e b) = b cos

b =(e b) e II

Ez pedig azt fejezi ki, hogy bármely b vektort fel lehet bontani tetszőleges e irányú b II vektorra és az e -re merőleges, az e , b által meghatározott síkban lévő b  b  b   b II ami az ábrából is nyilvánvaló. Ezzel a tételt vektorra. Vagyis bizonyítottuk. Vektor-skalár függvények

A fizikában gyakran előfordul, hogy egy vektor nagysága és iránya (tehát a vektor) egy skalár mennyiségtől függ. Egyik legnyilvánvalóbb példa egy test helyzetvektora, amely ha a test mozog, akkor az időnek függvénye. r t   x t i  yt  j  zt k Ez azt jelenti teljes általánosságban, hogy mindhárom koordináta a t skalár (az említett esetben az idő) függvénye. Az olyan függvényt, amely egy skalár értékéhez vektort rendel, vektor skalár függvénynek nevezzük. Ábrázolás: Ha veszünk egy t 1 , t 2 ...t n , növekedő paraméter sorozatot, akkor minden egyes t i -hez a függvény

hozzárendeli az r t i  vektort, amelynek

komponensei x t i  , yt i  és zt i  . Ha az r t 1  , r t 2  … r t n  vektorok végpontjait összekötjük, egy térbeli görbét kapunk. (14. ábra).

r (t 1) k i

r (t 2)

r (t i ) r (t n)

j J

y 16

Ha az r t  történetesen egy pont helyzete az idő függvényében, akkor az r t  térbeli görbét a pont pályájának nevezzük. Vektor-skalár függvény deriváltja:

Sokszor fontos kérdés az, hogy a vektor skalár függvény változójának bizonyos megváltozására mennyivel változik meg a vektor. Ennek jellemzésére legalkalmasabb a differencia hányados, amelyet a következő módon definiálunk. t  t a független változó két értéke és r t  , r t  t  a hozzájuk

Legyen t és rendelt vektorok.

Értelemszerűen a differenciahányadoson a

 r r t  t   r t  kifejezést értjük (lásd  t t

15. ábra).

z r

k i

t r (t+ 

) r (t

)

y

J

x 15. ábra A  r -t az r t  t   r t  adja és mivel a valós számmal való szorzás értelmezett, így van értelme

1 -vel szorozni  r vektort. A  r vektor az r t  görbe t

r t  és r t  t  pontjai által meghatározott húrvektort jelenti.

Ha a független változó a „t” változását egyre kisebbre választjuk, akkor a húr hossza is egyre kisebb lesz, így van értelme azt vizsgálni, hogy ha t -vel minden határon túl tartunk a nullához a

r differenciahányados (ami egy vektor) t

17

milyen értékű lesz (nagyság és irány szerint). Ezt röviden úgy fejezzük ki, hogy képezzük a

r határértéket. t  r d r t     r t  t  0 t dt

Jelölésben:

lim

Ha ez a határérték létezik, akkor az így kapott vektort az r t  vektor-skalár függvény t skalárértékhez tartozó derivált vektorának vagy differenciálhányados vektorának nevezzük. (Rövidítve deriváltja, differenciálhányadosa). Jelölésére a

 d r t  és r t  -t dt

szokás használni. 

Az előállításból nyilvánvaló, hogy r t  iránya a r t  görbe ezen pontjához tartozó érintőjének irányába mutat, hiszen ha a t -t egyre csökkentjük, akkor a húr fokozatosan átmegy a görbe r t  pontbeli érintőjébe (16. ábra).

r

z

k i j

3

r(

t)

r

2

t 3) )  + t r r(t r(t+ 2 1 r(t+t 1)

y t

1

t

2

t

3

x 16. ábra A  r 1 ,  r 2 és  r 3 vektorok hossza egyre csökken és irányuk egyre jobban közelíti a r t  pontbeli érintő irányát. Ha az r t  éppen egy anyagi pont 



helyzetvektora, akkor r t  jelentése éppen a sebességvektor, mivel az r t  -t a határértékeként értelmeztük, amelynek irányát  r iránya, nagyságát pedig

r t

r t adja

meg, ami az időegység alatt megtett út. Így határesetben t  0  éppen a r t 

18



pályán mozgó anyagi pont sebességét adja meg az r t  vektor. Szokás pillanatnyi sebességnek is nevezni. Derivált vektor koordinátás alakjai: Mivel a deriválás művelete lineáris, azaz két vektor-skalár függvény összegének deriváltja az egyes deriváltak összege, így ha az r t  koordinátás alakjából indulunk ki, akkor: r t   i  t   j yt   k zt  . .







r t   i x t   j yt   k zt 



vagyis az r t  vektort úgy kapjuk, hogy az r t  vektor egyes komponenseit deriváljuk.     x t   x t        r t    yt   r t    yt    z t    z t         

x

ahol

 dx  dy dz , y és z  dt dt dt

Skalár-vektor függvények:

Az olyan függvényeket, amelyek vektorhoz skalárt rendelnek skalár-vektor függvényeknek nevezzük. Jelölése például a  vagy  a  … Legegyszerűbb példák erre, amikor egy vektorhoz hozzárendeljük az abszolút értéket, vagy annak négyzetét. a   a  a 2x  a 2y  a 2z vagy a   a  a 2x  a 2y  a 2z 2

A legtöbb skalár-vektor függvény esetében a vektor változó a helyvektor. A későbbiekben az általánosság sérelme nélkül jelöljük a vektorváltozót r -el.

19

Jelölésben ez egyrészt r  módon írható, de figyelembe véve hogy r -nek három x   komponense van, r   y  azt is írhatjuk, hogy z   x , y, z 

Vagyis a skalár-vektor függvény úgy is tekinthető, mint egy háromváltozós függvény . 

Például:

1 r

2



1 x  y2  z2 2

A kifejezésben  egy állandó. Ha a fenti példában a  értéke éppen  0 , akkor  0  

1 kifejezés azon pontok mértani helyét jelenti, azon x, y, z x  y2  z2 2

értékhármasokat, amelyekre a függvény értéke éppen  0 . Átalakítással 0 1  2  x  y2  z2 véve az egyenlet reciprokát:

  x 2  y2  z2 0 Ez egy gömb egyenlete, amelynek sugara R 

 . Vagyis  0 értékhez 0

tartozik egy gömbfelület, amelynek minden pontjában a függvény  0 értéket vesz fel.

z R=

 -hoz tartozó szintfelület 0

a 0

k i j

0

y

x 17. ábra

20

Általában az így adódó felületeket (ami nem feltétlenül gömb) az adott skalárvektor függvény szintfelületeinek nevezzük. Sokszor fontos azt tudni, hogy egy adott skalár-vektor függvény az r pontban felvett értékéhez képest egy  r vektorral arrébb lévő pontban mennyivel változik meg. Ezt a  függvény differenciája határozza meg:   r   r   r   x  x , y  y, z  z   x , y, z 

Végezzük el a következő azonos átalakításokat.   x  x , y  y, z  z   x , y  y  z  z    x , y  y  y, z  z   x , y, z  z    x , y, z  z   x , y, z  .

Látható, hogy az összeg 2. és 3. tagja illetve a 4. és 5. tagja kiejtik egymást. Osszuk el jobb oldal első különbségét x -el és szorozzuk is meg, hasonlóan y -al második különbséget és z -vel a harmadikat. Így a  -re a  

x  x, y  y, z  z   x, y  y z  z  x  x



x, y  y, z  z   x, y, z  z  y  y



x, y, z  z   x, y, z  z z

kifejezést kapjuk. Látható, hogy a kifejezés első tagja a  háromváltozós függvénynek a differenciahányadosa méghozzá úgy, hogy az y és a z változó állandó. Ugyanígy a második tag az y változó szerinti differencia hányadosa miközben az x és z változó változatlan és végül a z szerinti differenciahányadosa miközben x és y változó állandó. Ha a x , y és z kicsik, akkor a fenti differenciahányadosok jól közelíthetőek a megfelelő változók szerinti differenciálhányadosokkal, hiszen a differenciálhányadosok a differenciahányadosok határértékeként értelmezettek.

21

Mivel a  függvénynek mindhárom változója szerinti differenciahányados szerepel a kifejezésben, ezért az egyes változók szerinti differenciálhányadosokat az egyváltozós függvényektől eltérően jelöljük:

   . , , x y z Ezeket

parciális

differenciálhányadosoknak

nevezzük.

A

parciális

differenciálási szabályok az egyváltozós függvényekével azonosak. Az adott változó szerinti differenciálásnál a másik két változót egyszerűen állandónak tekintjük. Így a  függvény megváltozása:   Ahol h r  olyan, hogy lim

 r 0

   x  y  z  h r  x y z

h r   0 . A h r  hibafüggvény megjelenése azzal r

függ össze, hogy a differenciahányadosokat a megfelelő differenciálhányadosokkal helyettesítettük. A jobb oldal első tagja úgy tekinthető, mint két vektor a       x   grad     és a  y        z 

 x     r   y   z   

vektorok skaláris szorzata. Azaz   grad    r  h r  . A h  0 csak végtelen kicsiny mennyiségek esetén áll fent, ekkor d  grad   d r alakban szokás írni, ahol d és d r a  , illetve r differenciáljai. (  és  r határértékei végtelen kicsiny mennyiségeket jelölnek).

A

     x  x      vektort a x , y, z  skalár-vektor függvény r   y  pontbeli    y  z         z 

gradiensének, gradiens vektorának nevezzük. Jelölésére használjuk a grad  vagy   , ahol  -t nabla operátornak nevezzük:

22

      x       . A nabla operátor egy vektor operátor, amely skalár-vektor  y        z  függvényre úgy hat, hogy azt x , y és z szerint differenciálja és az így előálló parciális differenciálhányadosokból egy vektort képez.

      x        grad  y       z  Kézírásban a nabla operátornál sokszor a vektor jelölést -az aláhúzást- el szokás hagyni. Egyszerűbb írásmóddal  . A gradiens jellemzője, hogy mindig merőleges  szintfelületére. Ez abból következik, hogy a szintfelület mentén megváltozása

a  értéke egy  0 állandó, így a 

ha a  r vektor szintfelületen van 0 kell, hogy legyen, azaz

0    grad    r , ami éppen a merőlegességet jelenti (Lásd 18. ábra).

szintfelület, ezen állandó

z

grad 

r

.

k i

j

r

y r, a szintfelületen történő

x

kicsiny elmozdulás

18. ábra

23

A végtelen kicsiny mennyiségek közötti kapcsolatot leíró összefüggésből az is következik, hogy a gradiens vektor iránya az az irány, amely irányban elmozdulva a skalár függvény változása a leggyorsabb, a legnagyobb, ugyanis d  grad   d r  grad  d r cos 

d akkor a legnagyobb, ha cos   1 , azaz d r és grad  iránya azonos, azaz   0.

Vektor-vektor függvények Az olyan függvényeket, amelyek vektorhoz vektort rendelnek, vektor-vektor

függvényeknek nevezzük. Egy egyszerű példa erre például a szélsebesség függvény, amely a tér különböző pontjaiban ( r helyvektor) hozzárendeli az ottani v szélsebességet (amelynek iránya és nagysága van). A fizikában előforduló vektor-vektor függvények esetében a független változó vektor általában a helyvektor, amelyhez a függvény hozzárendel egy vektoriális fizikai mennyiséget. Az általánosság sérelme nélkül a későbbieken a független változó vektort r -el fogjuk jelölni. A vektor-vektor függvények jelölésére az Ar  írásmódot szokás használni. Koordinátás alakban (Descartes-rendszerben) A x r   A x x , y, z    Ar   A y r   A y x , y, z   A r   A x , y, z  z  z 

A koordinátás alak szerint a vektor-vektor függvény ekvivalens három skalárvektor függvénnyel.

24

Vektor-vektor függvény deriváltja A fizikai alkalmazások szempontjából csak ritkán fordul elő a vektor-vektor függvény deriváltja. Mivel egy vektor-vektor függvény, ahogyan azt megállapítottuk egyenértékű három skalár-vektor függvénnyel, úgy a derivált is a három skalár-vektor függvény deriváltja segítségével képezhető. Így a vektor függvény mindhárom komponensét skalár-vektor függvénynek tekintve kapjuk a már végtelen kis mennyiségekre felírt összefüggéseket.

dA x r   grad A x r d r 

A x A x A x dx  dy  dz x y z

dA y r   grad A y r d r 

A y

dA z r   grad A z r d r 

A z A z A z dx  dy  dz x y z

x

dx 

A y y

dy 

A y z

dz

ami mátrix formában is felírható  A x A x A x    y  x z      dx    dA r  x    A y A y A y      dA y r      dy   dA r   x y z   dz  A A z    z   z A z   x y z   

vagy rövidítve d Ar   Ad r ahol A jelölés a fenti mátrixot jelenti. Ez azt jelenti, hogy a vektor-vektor függvények esetében a derivált egy mátrix, amelynek elemei az egyes vektorkomponensek parciális deriváltjai. Vektor-vektor függvény divergenciája:

A fizikai alkalmazások területén gyakran előforduló mennyiség a divergencia, amely a vektorkomponensek bizonyos parciális deriváltjaiból a következő módon áll elő: div A 

A x A y A z   x y z

Az előállításból látszik, hogy a divergencia egy skalár mennyiség, ami természetesen r függvénye, hiszen a parciális differenciálhányadosok is a hely függvényei.

Ahogyan a fenti írásmód is jelzi, nem írjuk ki részleteiben, hanem div A -val jelöljük (rövidítjük). Szokásos írásmód még a  (nabla)-vektoroperátorral való kifejezés,

25

 Ax    amely a  vektoroperátor és az A   A y  vektor formális skalárszorzataként A   z

értelmezi a divergenciát   A  div A .

Vektor-vektor függvény rotációja

A vektor-vektor függvény esetében gyakran használt másik mennyiség a vektorfüggvény rotációja. Míg a divergencia skalármennyiség, a rotáció a parciális deriváltakból képzett vektormennyiség. Képzési szabályai legegyszerűbben a      Ax   x         nabla operátor és az A   A y  vektor formális vektoriális szorzataként  y  A      z    z  i  x A  x Ax

értelmezett;

j  y Ay

k  z Az

amelyet komponensenként kiírva kapjuk A y   A x A z   A  A y A x    j  x A  i z      k  z   z y  x   y  x

Szokásos jelölése még a vektor rotációjának rot A (Az angolszász területen curl A jelölés is elterjedt). Az előzőekben megismerkedtünk a gradiens, a divergencia és rotációképzés szabályaival. Gyakran előfordul a fizikában, hogy ezen műveleteket egymás után kell alkalmazni. Így van értelme a: div grad   -nek div rot A  -nak

rot grad   -nek rot rot A  -nak

26

Nézzük meg a felsorolt operációkat! Laplace operátor: A

div grad  

operátort -mivel gyakran előfordul az

alkalmazások során- külön névvel jelöljük, Laplace operátornak nevezzük. Külön jelölést vezetünk be rá:

 2 vagy  . A  2 jelölést nabla négyzetnek, a 

jelölést pedig Laplace operátornak szokás nevezni. Ez persze csak kétféle jelölés. Felhasználva a gradiens -és divergencia képzési szabályait:       x    2  2  2    2  div grad    div   = 2  2  2  y  x y z       z 

div (rot A)

A div rot A r  kifejezés abban az esetben értelmezett, ha az Ar  vektor-vektor függvény bármely komponensének második deriváltjai léteznek. Figyelembe véve a rotáció képzés szabályait írhatjuk:  A z A y     z   y A z   A div  x    A z A y     z x    x  y  A z  A  y x    x  y   



  A x A z     y  z x 



  A y A x     z  x y 

2 2Ay 2Ax 2Az  Ay 2Ax 2Az       x y x z y z y x z x z x

Kihasználva,

hogy

vegyes

parciális

differenciálhányadosok

megegyeznek

  2Az  2Az   például   a kifejezés azonosan 0-t ad bármely Ar  vektor-vektor  x y y x  

függvényre. Vagyis

div rot Ar   0

27

rot (grad )

Figyelembe véve gradiens és a rotáció képzési szabályát: i  rot grad    x  x

j  y  y

k   z  z

  2  2     i   y z z y 

  2   2  2   2    k   j     z x x z   x y y x 

A vegyes parciális deriváltak egyenlősége miatt ez szintén azonosan nullát ad. Vagyis

rot grad    0

bármely  -re

rot (rot A)

A rot rot A  képzése a rotáció képzési szabályok

kétszeri alkalmazásával

meghatározható. Mivel a számítás nem rövid, ezért csak a végeredményt írjuk fel (egyébként nem bonyolult végigcsinálni). rot rot A r   grad div A r    A

Látható, hogy a jobb oldalon megjelent a grad div A  és megjelent egy már ismert operátor a Laplace operátor, amelyet eddig csak  r  skalárfüggvényre értelmeztünk. Ez a kifejezés egyben értelmezi a  (Laplace) operátor vektorra való alkalmazását, amely a kifejezés szerint azt jelenti, hogy a vektor mindhárom komponensének, mint skalárfüggvénynek kell venni a Laplace-át, azaz  A x   A   A y  A  z

Egyéb gyakran előforduló vektor analízisbeli azonosságok: div Ar   Br   Br   rot Ar   Ar   rot Br  div  r  Ar   Ar   grad  r    r  div Ar  rot  r  Ar   grad  r   Ar    rot Ar  grad  r  r    r  grad  r    r  grad  r  28

A levezetések a divergencia, a rotáció és a gradiens képzési és -differenciálási szabályok felhasználásával egyszerűen elvégezhetők.

Skalár értékű térfogati integrál

Legyen

r  valamely skalár vektor függvény és V egy véges térfogat a

háromdimenziós térben.

z F felület

V térfogat z i

r

k i

j y i

x

y

x i

19. ábra Szeleteljük fel egymással párhuzamos síkokkal az adott térfogat az x , z  , x , y  és

 y, z 

síkokkal párhuzamosan. Így a V térfogatot a x i , y i , z i oldalhosszúságú

téglatestekre osztottuk, eltekintve a V térfogat határfelületének környezete. Ha egyre csökkentjük a szeletelő síkok távolságát, akkor a x i  y i  z i elemi térfogatok is

egyre csökkennek (lásd 19. ábra). A x  skalár-vektor függvény

térfogati integrálját a következő határértékként értelmezzük és jelöljük: n

lim

 r  x i

i 1

x i 0 y i  0 z i 0

i

 y i  z i    r dxdydz    r dV V

V

ahol r i vektor a x i y i z i oldalhosszúságú téglatestben van. Azt mondjuk, hogy ha az előbbi határérték létezik, akkor r  függvény térfogati integrálja létezik a V térfogatra nézve. Ha r  történetesen a r   1 függvény, akkor a fenti integrál éppen V térfogat nagyságát adja.

29

Felületi integrál

Felületi normális: Tekintsünk egy felületet, amelyet mint tudjuk például egy r    0  állandó skalárvektor függvénnyel adhatunk meg.

n

z

k y

j

i x

20. ábra Tudjuk azt is a r    0  állandó skalár-vektor függvényeknél tanultakból, hogy a grad r  merőleges a szintfelületre, a felület minden pontjában így értelmezhető egy egységvektor

gradr  módon, amely a felület minden kiválasztott pontjában gradr 

(lokálisan) merőleges a szintfelületre. Az így definiált egységvektort a felület r pontjához tartozó normálvektorának nevezzük. n r  

gradr  gradr 

Legyen egy F felület adva valamely r  skalár-vektor függvény által és legyen Ar  egy vektor-vektor függvény, amely F felületi pontjaiban értelmezett. Az (x, z) síkkal és (y, z) síkkal párhuzamos síkokkal szeleteljük fel az F felületet (lásd 21. ábra). z

F felület n

k i

y

j

x

21. ábra

30

Ezen síkok metszésvonalai egy-egy pontban átdöfik az F felületet. Minden egyes döféspontot

összekötve

a

szomszédos

pontokkal

egymáshoz

illeszkedő

háromszögeket kapunk. Ha a síkok távolságát csökkentjük, ezen háromszögek egyre jobban belesimulnak az eredeti felületbe.

Felületelem-vektor

Minden kis háromszöghöz rendeljük hozzá a háromszög síkjára merőleges normálvektort. Ha az n normál-vektort megszorozzuk a kis háromszög f területével, akkor ezt a vektort felületelem vektornak nevezzük, amelynek nagysága a felületelem területe, iránya pedig merőleges a kis háromszög síkjára.  f  n  f

Felületi integrál definíciója:

Az Ar  vektor F felületre vonatkozó felületi integráljának nevezzük a következő határértéket: n

lim

f i  0

 Ar i   nr i f i  lim

f i  0

i 1

 Ar  df



n

 Ar  f r    Ar   df i

i

i 1

F

Rövidített jelölés

F

A definícióban szereplő „” skaláris szorzást jelent, így az integrál értéke is skalár. A Ar  vektor F felületre vett integrálja

tehát azt jelenti, hogy venni kell az Ar 

vektornak F felület r i pontbeli normál-vektor irányába eső vetületét és azt szorozni kell az elemi felület nagyságával és ezt összegezni kell a teljes felületre. Gauss tétel

Legyen

Ar 

minden

komponensében

mindhárom

változója

szerint

folytonosan differenciálható vektor-vektor függvény egy V térfogatban és legyen F egy zárt felület, amely V térfogatot éppen közbezárja. Ekkor igaz a következő állítás:

 Ar df   divAr dV F

V

31

A baloldalon az integráljelen levő kis kör azt jelzi, hogy zárt felületről van szó. A tétel tehát azt mondja ki, hogy egy vektor zárt felületre vett felületi integrálja egyenlő ugyanezen vektor divergenciájának

a zárt felület által határolt

térfogatra vett

térfogati integráljával. Biz.: Először lássuk be az állítást egy kicsiny x , y, z élhosszúságú téglatestre (lásd 22. ábra). z

Ax ( x y z) Ay ( x y z)

k

x r (

i

j

Ay (x y +  y z)

y z)

y A (x  x y z) x

x

22. ábra Írjuk fel a felületi integrált erre a kis téglatestre. Az x tengelyre merőleges felületek normálisai  i a hátsó és i az elülső oldallapokra , ezért a skaláris szorzásban csak A x szerepel. Így mind a hat lapot figyelembe véve

 Adf   A xyz  A x  xyzyz 

az x tengelyre merőleges két felület

  A y xyz  A y xy  yzxz 

az y tengelyre merőleges két felület

x

x

járuléka járuléka

  A z xyz   A z xyz  z xy

a z tengelyre merőleges két felület járuléka

Felhasználva, hogy a differenciahányados és a differenciálhányados közel egyenlő

és

A x x  xyz   A x xyz  

A x x x

A y xy  yz   A y xyz  

A y

A z xyz  z   A z xyz 

y

y

A z z z

ami annál jobban igaz, minél kisebb a x, y, z .

32

Ezeket beírva az előző egyenletbe kapjuk:  A x A y A z  xyz ami rövidítve úgy is írható, hogy   y z  x

 Adf  

 Adf  div A V

V  x y z a téglatest térfogata.

ahol

Látható, hogy egy elemi téglatestre vonatkozólag igaz az összefüggés. (Ez egyben a divergencia koordináta független definícióját is megadja: lim

V 0

 Adf  div A ) V

Ha tetszőleges térfogatról van szó, akkor azt fel kell bontani elemi téglatestre (lásd 23. ábra). z -n

n

k i

y

j

x

23. ábra Mivel az állítás minden elemi téglára igaz, így az összegükre is igaz. Mivel a téglatest belsejében az egymással érintkező téglatestek járulékai a felületi integrálás során kiejtik egymást, hiszen az érintkező felületelem vektorai azonos nagyságúak, de ellentétes irányúak, ezért a felületi integrálhoz csak a kérdéses térfogat felületén elhelyezkedő, nem szabályos „téglatestek” adnak járulékot és azok külső felülete éppen kiadja az F felületet (lásd 23. ábra).

33

Így egy kiválasztott téglatestre felírt

 Adf  div A V

egyenleteket az összes belső

téglatestre, és a térfogat szélén lévő nem szabályos „téglatestekre” összegezzük, akkor a

  Ar df  lim  div Ar V i

Vi 0

 i

i

i

kifejezést kapjuk. Mivel az elmondottak szerint

i

belső téglatest felületelemek járulékai kiejtik egymást, így a baloldal éppen a külső

 Ar df -et

felületre vett integrált, a

adja, jobb oldal pedig a div A térfogati

F

integrálját. Így a végeredmény:

 Ar df   div Ar dV F

V

amit bizonyítani kívántunk.

Vonalmenti integrál

Legyen Ar  egy vektor, és legyen r t  valamely vektor-skalár függvény. r t  egy térbeli görbét ír le, amelynek tekintsük két pontját r 1 -et és r 2 -t (lásd 24. ábra).

z z



k i

r

11

j

r2 1

ri

k y

i x

x

24. ábra

r

ri 1

A (r ) i r

1

2

j

y A ( r i ) cos 

25. ábra

34

Osszuk fel az r 1 -től r 2 -ig terjedő görbét kicsiny  r i húrokra. Az Ar  vektor az r t  görbére vett vonalmenti integrálján értjük a következő határértéket: lim

 r i 0

 i

r2

r2

r1

r1

Ar i  r i   Ar   d r

 Ar  d r  rövidített jelölés.

A vonalmenti integrál a skaláris szorzás definícióját figyelembe véve azt jelenti, hogy venni kell Ar i  vektornak  r i irányába eső vetületét és azt szorozni kell az elemi húr hosszával és az így kapott szorzatot összegezni kell a görbe mentén a r1 -től r 2 ig (lásd 25. ábra) A vonalmenti integrál tehát skalár mennyiség. Ha egyre finomítjuk a görbe felosztását, azaz  r i -t egyre kisebbre választjuk, akkor az i-dik húr egyre inkább az r i pontbeli érintővel azonos irányba mutat. Ha a görbe zárt, vagyis az r 1  r 2 , akkor zárt görbementi integrálról beszélünk, amelyet az integrál jelén lévő kör jelez. Jelölése:  Ar   d r

Ha az r t  görbét konkrétan nem adjuk meg, csak valamely „g” görbe menti integrált jelölünk, akkor az integrál alá írt „g” betű jelzi azt. A „g” görbére vett vonalintegrál jele

 Ar   dr .

Ha „g” görbe zárt, akkor

g

 Ar   dr g

Stokes tétele:

Legyen Ar  egy vektor-vektor függvény, amelynek mindhárom komponensének mindhárom változó szerinti deriváltja létezik és folytonos egy tartományban. Legyen továbbá g egy tetszőleges zárt görbe és F egy tetszőleges felület, amelynek széle a „g” görbe az említett tartományban (26. ábra).

n

F felület

g

26. ábra

35

Ekkor a következő tétel igaz: Az Ar  vektornak a g zárt görbére vett vonalmenti integrálja egyenlő a rot Ar  vektor F felületre vett integráljával (a g görbe körüljárása és az F felület normálisa jobb csavar szerint van egymáshoz rendelve)

 Ar d r   rot A r df g

F

Ezt a tételt nevezzük Stokes tételének. Biz.: Először lássuk be a tételt egy kicsiny felületdarabra (lásd 27. ábra).

z

f=fn n r’ g r

k i

n felület normálisa

y

j x y

x

27. ábra A g görbe pontjait a kis felület egyik belső pontja r  körül írja le az r ' vektor. Mivel kicsiny felületről beszélünk, ezért r ' is kicsi. A g zárt görbe menti integrál alakja.

 A dx'A dy'A dz' x

y

z

ahol dx ' , dy' , dz ' a d r ' vektor x , y és z komponensei.

g

Nézzük az integrál első tagját:

 A r  r'dx' x

g

Ismerve, hogy A x r  r '   A x r '  

A x A x A x x ' y'  z' z x y

Így A x r  r ' helyére beírhatjuk a A x r  r '   A x r '  

A x A x A x x ' y'  z ' kifejezést, ami annál inkább igaz, minél z x y

kisebb az x ' , y' és a z' . A behelyettesítés után az integrál első tagjára kapjuk:

36

A r   A r  r'dx '   A r'dx '  x x ' dx' x

g

g

 g

Mivel A x r  ,

x

x

g

A x r  A x r  y' dx '  z ' dx ' z y g

A x r  A x r  ', ' és x y

A x r  ' nem, függenek x ' , y' és z' -től, ezért z

kivehetők az integrál elé (hiszen állandók). Így az integrál első tagja: A A A  A r  r'dx '  A r  dx'  x  x ' dx'  y  y' dx'  z  z' dx' x

x

x

x

g

g

x

g

g

A kifejezés első két tagja 0-t ad. Az első azért, mert a görbe mentén körben dx ' -ket összeadva nyilván 0-t kapunk, hiszen visszajutunk az eredeti pontba. A második integrál értéke megint csak 0, mert az integrál alsó és felső értéke azonos. a x '2 g x ' dx '  2  0 ahol " a" a kiindulási pont x koordinátája. a

A 3. tag járuléka arányos az

 y' dx' -vel ami megadja F felületnek az x, y 

síkra

vetített felület területét méghozzá negatív előjellel, az adott irányú körbenjárás esetén.

III.

II.

y

r dx’ IV.

x

y’ I.

x

28. ábra A 28. ábra a

 y' dx' integrál kiszámítását mutatja, ahol a jelölt körbenjárás esetén az g

y' pozitív és a dx ' negatív a I.-el és II.-vel jelölt tartományban, míg a III. és IV. tartományban az y' negatív és a dx ' pozitív. Így a szorzatok mindvégig negatívak a I.-II.-III. és IV. tartományokban. Ez adja a negatív előjelet.

37

Az integrál abszolút értéke pedig nyilván a felület vetületének

x y  síkbani területét

adja, ami a f felületelem-vektor z komponense, azaz: f n k  , ahol k a z tengely irányába mutató egységvektor. Az integrál másik 0-tól különböző járulékát a 4. tag adja, amelynek értéke megadja az F felület z x  síkra eső vetültének területét pozitív

 

előjellel, azaz a f felületelem-vektor y komponensét f n j -t. Így vonalintegrál első tagja A r  A  A r  r'dx'   y f n k   z x

x

x

 

f n j

g

Vonalintegrál második és harmadik tagjára hasonló módon, mint az elsőre a következők adódnak:

 A r  r'dy'  

A y r 

y

g

z

f n i  

A y x

A r  A  A r  r'dz'   x f n j  y z

z

z

f n k 

f n i 

g

Így a teljes vonalmenti integrál  A z A y   A y A x  A z   A  f n i    x  f n k     f n j   y z  y  x   z  x

 Ar  r'd r'   g

Mivel f n i   f i   f n j  f j    f f n k   f k 

A jobb oldal nem más, mint a már definiált rot A r  és a f felületelem-vektor skaláris szorzata, azaz

 Ar  r 'dr'  rot Ar   f g

(Ez egyben a rotáció képzés koordináta független értelmezését adja:

 Ar  r 'd r' lim

f  0

g

f

 rot A r   n ,

ahol n a f felület normálisa).

38

Ha nem elemi felületről van szó, akkor a felületet osszuk fel elemi felületekre. Ezek mindegyikére igaz az előbb igazolt összefüggés, ezért ha az összes elemi felületre felírjuk a levezetett összefüggést és ezeket összegezzük, akkor a következőket kapjuk: lim

 f i 0

  Ar i

i

 r i ' d r i '  lim

 f i 0

gi

De nézzük meg, hogy a bal oldalon

 rot Ar f i

i

i

lévő vonalintegrálok összege mit is ad.

Rajzoljuk fel a felület felosztást (lásd 29. ábra).

gi g 29. ábra Látható, hogy a nem a „g” görbe mentén lévő felületelemeket határoló „gi” görbementi integrálok kiejtik egymást, mert a szomszédos érintkező elemeken a vonalmenti integrálás iránya ellentétes, így csupán a szélen lévő a „g” görbe mentén lévő felületelemek adnak járulékot, ami Ar  -nek éppen a „g” görbe menti integrálját adja. Így végül kapjuk:

 Ar d r  g

lim

 f i 0

 rot Ar f i

i

i

A jobb oldal f i  0 esetén éppen a rot Ar  -nek az F felületre vett integrálja , azaz

 Ar d r   rot Ar df g

amit bizonyítani kívántunk.

F

39

Néhány következmény 1)

 r    xyz  legyen egyszer folytonosan differenciálható mindhárom

változója szerint. Legyenek Ar   i  xyz 

 0 j  0k

Br   0i

  xyz  j  0k

Cr   0i

 0 j  k  xyz 

vektorok. Mindhárom vektorra felírhatjuk a Gauss-tételt.

 A df   xyzdf F

F

 B df   xyzdf F

x

 dV mivel A -nak csak x komponense van x V

  div Ar  dV   V

y

F

 dV mivel B -nek csak y komponense van y V

  div Br  dV   V



 C df   xyzdf   div Cr  dV   z dV z

F

F

V

mivel C -nek csak z komponense van.

V

Az A -ra vonatkozó egyenletet szorozva i -vel, a B -re vonatkozó egyenletet szorozva j -vel, és a C re vonatkozó egyenletet szorozva k -val összeadva az egyenleteket kapjuk:

  xyzdf   grad  dV F

V

Tehát egy  xyz skalár-vektor függvény vektor értékű zárt felületre vett integrálja egyenlő, a skalárfüggvény gradiens-vektorának az ugyanezen felület által közrefogott térfogati integráljával. 2)

Legyen Ar  a Gauss tételnek eleget tevő vektor-vektor függvény. Ar   A x i

 Ay j  Az k

alakú.

Képezzük a következő vektorokat: A' r   A y i

 0 j  0k

A' ' r   0 i

 A z j  0k

A' ' ' r   0 i

 0 j  Ax k

40

valamint B' r   A z i

 0 j  0k

B' ' r   0 i

 A x j  0k

B' ' ' r   0 i

 0 j  Ay k

Mivel A eleget tett a Gauss-tétel feltételeinek, így az A' , A' ' , A' ' ' ,

B' , B' ' és B' ' ' vektorok is eleget tesznek hiszen az A

komponenseiből felépülő vektorok. Alkalmazzuk mindegyik vektorra a Gauss-tételt:

 div A' r  dV  

V

A y

V

x

dV   A y df x F

A z dV   A z df y y V F

 div A' ' r  dV  

V

A x dV   A x df z z V F

 div A' ' ' r  dV  

V

A z dV   A z df x x V F

 div B' r  dV   V

A x dV   A x df y y V F

 div B' ' r  dV  

V

 div B' ' ' r  dV  

V

V

A y z

dV   A y df z F

A 2. egyenletből kivonva az utolsót, a 3.-ból kivonva a 4.-et és végül az 1.-ből kivonva az 5.-et a következő három egyenletet kapjuk: A z A y  dV   A z df y  A ydf z  y  z V F



A x A z  dV   A x df z  A z df x z x F V





V

A y x



A x dV   A y df x  A x df y y F

41

Az így kapott első egyenletet szorozva i -vel a másodikat j -vel, harmadikat k -val és ezeket összeadva kapjuk:  A z A y   A y A x  A z   A  dV    j  x      k  y  z  x  y  z  x

 i 

V





  i A z df y  A ydf z   j A x df z  A z df x   k A ydf x  A x df y  Ami rövidítve

 rot Ar  dV    Ar  xdf

V

írható.

F

A jobboldalt vektoriális felületi integrálnak nevezzük. Vagyis egy vektor rotációjának térfogati integrálja egyenlő a vektornak a térfogatot körülvevő F felületre vett vektoriális felületi integráljának a mínusz egyszeresével.

42