Konferencia A Korszerű Oktatásért Almássy Téri Szabadidőközpont, 2004. november 22.
Matematikai modellalkotás (ötletek, javaslatok)
Kosztolányi József
I. Elméleti kitekintés – oktatási koncepciók 1. Realisztikus matematikaoktatás (Hans Freudenthal, Hollandia) Jellemző vonások: 1. A matematikai alkotómunka fontosabb a tényszerű ismereteknél 2. Az elvek fontosabbak a technikáknál 3. Lehetőség biztosítása valóságból vett matematikai problémák megoldására Didaktikai alapelvek 1. A valóságból vett szöveges problémák kiindulópontjai is, és alkalmazási területei is a matematikai elméleteknek, matematikai eszközöknek 2. Horizontális és vertikális matematizáció 3. A tanulók saját konstrukciói, produktumai fontosak 4. Interaktív problémamegoldás és tanulás 5. A tanulókban meglevő intuitív összefüggések, kapcsolatok, ismeretek nagyon fontosak Példa: (a logaritmus fogalmának bevezetése) Egy laboratóriumban a kísérletekhez baktériumokat szaporítanak. A baktériumok száma óránként megduplázódik. Mennyi idő múlva éri el az egyedszám a kísérlethez szükséges 10000-et, ha az adott pillanatban 800 baktérium áll rendelkezésre?
2. Projektorientált matematikaoktatás Jellemző vonások: 1. Orientáció a környezet problémáira 2. Tantárgyi integráció 3. Az oktatás középpontjában a tanuló érdeklődése, szükségletei állnak 4. Nem a matematikai képességek fejlesztése az elsődleges cél, hanem a tanulót körülvevő környezet megértése 5. A tanulói teljesítmények osztállyal közös értékelése 6. A tanítás demokratizálása, liberalizálása 7. Csoportmunka, közösségi diszkussziók Példa: (takarékosság; egy német tankönyv példája) Milyen takarékossági formák vannak? Ezek közül melyiket ajánlanátok osztálytársaitoknak? 1. Érdeklődjetek különböző pénzintézeteknél a lehetséges takarékossági formákról. Mik a feltételek (kamat, lejárati idő, minimális kezdőtőke, felmondási határidő)? 2. Hasonlítsátok össze a különböző ajánlatokat! Mely esetben lesznek ezek különösen kedvezők? 3. Eredményeiteket foglaljátok össze úgy, hogy a valódi segítség legyen számotokra és osztálytársaitok számára is.
3
II. A matematikai modellalkotás folyamata (vázlat) ÉLET (probléma)
MATEMATIKAI MODELL (pl. új fogalom, egyenlet)
MODELLBELI MEGOLDÁS ÉLETBELI MEGOLDÁS “Azok a nehézségek, melyek egyenletek felállításakor felmerülnek, fordítási nehézségek.” (Pólya György) Példa: A Metróban 1 liter tej 120 Ft. Ez 15 Ft-tal kevesebb, mint a Tescoban. Mennyibe kerül 5 liter tej a Tescoban? Két alapvető, tipikus út a tanulók részéről: 1. közvetlen transzlációs stratégia (kulcsszavak) 2. problémamodellező stratégia (problémareprezentáció) III. Javaslatok, ötletek „szöveges” problémák megoldásának menetére 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
A szöveg többszöri, közös, értelmező olvasása Információk, adatok (explicit információk) „szemléletes” kigyűjtése (táblázat, ábra) A rejtett (implicit) információk „kihámozása” a szövegből A kérdés(ek) pontosítása, tisztázása Kapcsolat keresése az adatok, információk és a kérdezett objektumok, mennyiségek között A kapott problémareprezentáció alapján a matematikai modell megalkotása Megoldás a modellben (előbb érdemes megbecsültetni az eredményt, a választ) A kapott megoldás ellenőrzése előbb a modellben, majd a szöveg alapján Interpretáció az eredeti problémára; válasz
Fontos! 1. A szövegelemző, problémamodellező stratégiát demonstratív módon tanítani kell. 2. Kevesebb probléma, alaposabb tárgyalás. 3. A megoldás menetét részletesen le kell íratni (jegyzőkönyv). 4. Adjunk teret a tanulók lehetséges „félreértéseinek” is, beszéljük meg, hogy miért hibás az adott értelmezés.
4
Néhány feladat - középszintű érettségi 1. Egy személygépkocsi két város közötti útjának harmadát 60 km/h átlagsebességgel 48 perc alatt tette meg. Az út hátralevő részén a kocsi átlagsebessége 64 km/h volt. A gépkocsivezető teli üzemanyagtartállyal indult, és megérkezéskor újra teletöltötte a kocsit benzinnel. A töltőállomáson 2592 Ft-ot fizetett. 1 liter benzin 250 Ft-ba került a) Mekkora a két város távolsága? b) Mekkora volt a személygépkocsi teljes útra vonatkozó átlagsebessége? c) Hány liter volt a kocsi átlagos üzemanyag-fogyasztása a két város közötti úton 100 km-re vonatkoztatva? 2. Egy sportklubban 80-an úsznak, 95-en atletizálnak, 125-en tornáznak. Az úszók 45%-a, az atletizálók közül 20%, a tornászoknál 68% lány. Egy közvélemény-kutatás alkalmával tetszőlegesen kiválasztott 3 klubtagot megkérnek arra, hogy töltsenek ki egy kérdőívet. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott sportolók mindegyike lány? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott sportolók mindegyike atletizál? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott sportolók mindegyike atletizáló lány? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott sportolók ugyanazt a sportágat űzik? 3. Egy dobozban piros és kék golyók vannak. Véletlenszerűen kihúzva egy golyót, 0,4 annak a valószínűsége, hogy az piros. Ha még 10 kék golyót beteszünk a dobozba, a piros húzásának valószínűsége 1/3 lesz. a) Melyik színből hány golyó van a dobozban? b) Az eredeti dobozból kihúzunk 4 golyót úgy, hogy nem tesszük vissza azokat. Mennyi a valószínűsége, hogy mind a négy golyó kék lesz? c) Az eredeti dobozból egymás után kihúzunk 4 golyót úgy, hogy minden húzás után megnézzük, és visszatesszük a kihúzott golyót. Mennyi a valószínűsége, hogy mind a négy golyó kék színű? 4. A következő táblázat Magyarország 15 évnél fiatalabb népességszámát tartalmazza a megadott években rögzített adatok alapján. Év 0-14 éves népesség összesen
1997 1797606
1998 1767223
1999 1736811
2000 1706370
a) Az 1997-es adatot alapul véve fejezzük ki a rákövetkező évek adatait ennek százalékában. A változást szemléltessük oszlopdiagramon. b) Mekkora átlagos csökkenéssel számolhatunk a négy év adatait figyelembe véve? c) Ha 2000 után a számított átlagos csökkenés bizonyulna állandó értéknek, akkor mekkora népességszámmal kalkulálhatnánk 2020-ra?
Egy-egy érettségi feladatsor Franciaországból illetve Ausztriából FRANCIA FELADATSOR (1996. humán szakirány, emelt szint) 1. Négy barát elhatározta, hogy egy 32 lapos kártyacsomaggal játszik. Egy játszma abból áll, hogy egy játékos húz 3 lapot. A következők szerint szereznek pontokat a játék során: – 4 pont jár minden egyes ászért (4 db van összesen a csomagban) – 3 pont jár minden egyes királyért (4 db van összesen a csomagban) – 2 pont jár minden egyes dámáért (4 db van összesen a csomagban) – 1 pont jár minden egyes bubiért (4 db van összesen a csomagban). A többi 16 lapért nem jár pont.
5
Azt mondjuk, hogy a játékosnak "nincs találata", ha összesen 0 pontot szerez, "találata van", ha pontot szerez. Tételezzük fel, hogy minden játszmában minden "laphármas" ugyanolyan eséllyel húzható. a) Az egyik játékos játszik egy játszmát. Tekintsük a következő eseményeket: A: Ennek a játékosnak "nincs találata". B: Ennek a játékosnak "találata van". C: Ennek a játékosnak 9 pontos találata van. Mutassuk meg, hogy az A esemény valószínűsége
7 . 62
Számítsuk ki a B és C események valószínűségét. (A törteket hozzuk a legegyszerűbb alakra.) b) Mind a 4 játékos játszik egymás után egy-egy játszmát. Tételezzük fel, hogy a 4 játszma eredménye egymástól független. c) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a 4 barát közül legalább egynek "találata van". (A végeredményt 10 −4 pontossággal, tizedes tört alakban adjuk meg.) 2. Péter nagymamája minden évben félretett egy kis pénzt unokája számára egy perselybe. 500 Ft-tal kezdte a takarékoskodást 1976. január elsején. Minden év első napján hozzátett az addig összegyűlt összeghez, méghozzá az előző évben félretettnél 50 Ft-tal többet. Jelöljük un -nel azt a pénzösszeget, amelyet az (1976 + n) . év január elsején tett a perselybe a nagymama ( u0 = 500, u1 = 550, ... ). Jelöljük sn -nel azt a pénzösszeget, amely az (1976 + n) . évben, január elseje
után a perselyben volt ( s0 = 500, s1 = 1050, ... ). (1) Számítsuk ki u2 -t, és fejezzük ki un -t n függvényében. Számítsuk ki s2 -t, és fejezzük ki sn -t n függvényében. 1996. január elsején Péter nagymamája beletette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy döntött, hogy a perselyt unokájának most adja át. Mekkora összeget kapott Péter? (2) Péter nagymamája ajándékából vett néhány apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg nagyobb részét bankszámlára teszi. Be is tett 20000 Ft-ot évi 6%-os kamatra. (A kamatok minden évben hozzáadódnak a tőkéhez.) Jelöljük cn -nel a bankszámlán az n-edik évben rendelkezésre álló, forintban megadott összeget ( c0 = 20000 ). (a) Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n számra cn +1 = 1,06 ⋅ cn . (b) Fejezzük ki cn -t n függvényében. (c) Legalább hány évig kell Péternek várnia, hogy legyen legalább 30000 Ft a számláján? 3. Legyen az f függvény az alábbi módon megadva: f ( x ) = 1 − e −3 x minden valós x-re. A derékszögű koordináta-rendszerben legyen f grafikonja C, az y = x egyenletű egyenes D. a) Az f függvény vizsgálata. Határozzuk meg az f −∞ -ben vett határértékét. a) Határozzuk meg az f +∞ -ben vett határértékét. Mutassuk meg, hogy f szigorúan növő a valós számok halmazán. b) A C görbe elhelyezkedése a D egyeneshez képest. (1) Legyen g( x ) = f ( x ) − x minden valós x-re. Határozzuk meg g ′( x ) -et.
Mutassuk meg, hogy ha g ′( x ) < 0 , akkor x >
1 ln 3 . 3
(2) Adjuk meg a g menetét leíró táblázatot. (g határértékeinek vizsgálata nem szükséges, de g(0) ,
1 g ln 3 , g(1) pontos értékeinek kiszámítása igen.) 3
6
(3) Jelöljük x a -val a g( x ) = 0 egyenlet egyetlen 0-tól különböző megoldását.
]
[
Számológép segítségével indokoljuk meg, hogy x a miért esik a 0,94; 0,95 intervallumba.
(4) Adjuk meg, hogy hogyan függ g( x ) előjele az x valós változó értékeitől.
4. Állapítsuk meg ennek segítségével, hogy a C görbe a D egyeneshez képest hogyan helyezkedik el.
OSZTRÁK FELADATSOR 1. Egy városban járvány tört ki. Az f (t ) = 20000 − 19950 ⋅ e − kt függvény minden t időpontban (egy egység egy hetet jelent) megadja azon emberek számát, akik fertőződtek. Két hét elteltével 832 ember betegedett meg. a) Határozzuk meg a k paramétert, valamint ez alapján az f (t ), f ′(t ), f ′′(t ) függvényeket. Az eredeti függvény mely tulajdonságait tudjuk f ′(t ) és f ′′(t ) segítségével meghatározni?
[
]
b) Ábrázoljuk f-et a 0; 100 intervallumon. c) Mikor lesz több, mint 5000 ember fertőzött? d) Számoljuk ki az átlagos változást a t = 0 és t = 20 időpont között. Mi a jelentése az f ′(t ) és
f ′′(t ) függvényeknek ebben az esetben?
e) Elég nagy t értékeknél milyen a görbe lefutása? (Mi a határértéke a függvénynek t → ∞ esetén?) Magyarázzuk meg ezt a tényt. 2. Egy fekvő vízibója keletkezik egy ellipszis egyik felének, és egy őt érintő egyenesnek az x tengely körüli forgatásával. (Az ellipszis középpontja az origóban van, nagytengelye illeszkedik az x tengelyre.) Az ellipszis adatai: a = 4 dm, b = 2 dm, és az egyenes az ellipszist a P(2,4; y ) ( y > 0 ) pontban érinti. a) Határozzuk meg az érintő egyenes egyenletét. b) Számítsuk ki a vízibója térfogatát. c) Számítsuk ki a vízibója kúpjának nyílásszögét. 3. Egy sportegyesületnek háromszögletű telket ajánlanak fel a következő oldalhosszúsággal: AB = 238,9 m; BC = 249 m; AC = 151,8 m. a) Számítsuk ki az α szöget (a szokásos betűzés alapján), és a telek területét. b) A háromszögletű telekbe maximális területű téglalapot kell írni (jövendőbeli játéktér) úgy, hogy egyik oldala a háromszög AB oldalára essen. Számítsuk ki a téglalap oldalait. 4. Egy gyárban 3 gép azonos típusú lámpákat gyárt. Az A gép készíti a termékek 40%-át, B a 35%-át, C pedig a 25%-át. Tapasztalati úton megállapították, hogy az A gép 6%-ban, B 4%-ban, C pedig 3%-ban állít elő selejtes terméket. a) Számítsuk ki, hogy az össztermelés hány százaléka selejtes. b) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a selejtes lámpa az A géptől származik. c) Mennyi lámpát kell ellenőrizni ahhoz, hogy legalább 98%-os valószínűséggel legalább egy selejtes lámpát találjunk? d) A szállításnál szintén sérülnek meg lámpák, amiket már nem válogatnak ki, hanem 20-as kartonokba raknak. A szállítás után tapasztalat szerint az összes lámpa 6%-a rossz. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a szállítás után egy kartonban mind a 20 lámpa ép. e) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a szállítás után egy kartonban több mint 4 selejtes lámpa van.
7
