SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM
ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK
MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd) 12.1 feladat : Prizmatikus rudak összetett igénybevételei ( nyírás és hajlítás) Adott : a = 0,4 m , b = 45 mm , F = 16 kN , σ meg = 125 MPa. y A
x
B F
a
2a
Feladat : a) Rajzolja meg az igénybevételi ábrákat és határozza meg a veszélyes keresztmetszet. b) Rajzolja meg a veszélyes keresztmetszet y és z tengelyei mentén a feszültségeloszlást. c) Írja fel a feszültségi tenzort a veszélyes keresztmetszet S,C,D pontjaiban. d) Végezze el a tartó szilárdságtani ellenőrzését HMH elmélet szerint.
y
S
D
b/2
z
2b
C
b
a) Igénybevételi ábrák, a tartó veszélyes keresztmetszete : y
FBY
M b = F a − FAy 2a = 0,
FAX x
B
A
a
2a
F
FAY
A
3 3 FBy = F = 16 = 24 kN ( ↓ ) . 2 2
24 kN
y
B
8 kN 0,8 m
F a F 16 = = = 8 kN ( ↑ ) , 2a 2 2 M a = F 3a − FBy 2a = 0, FAy =
x 16 kN
0,4 m
Veszélyes keresztmetszet : B + Ty ( B + ) = − 16 kN ( ↓ ) ,
M hz ( B + ) = − 6 ,4 kNm .
Ty ( kN ) 8
8
x −16
−16
M hz ( kNm )
x
−6 ,4
b) Feszültségeloszlás a veszélyes keresztmetszet y és z tengelyei mentén :
y
C
y
y
Ty < 0
M hz S
σx
yD
z
τ yx
D y
σx z z
M hz = −6 ,4 kNm,
τ yx
x M hz < 0 y
Ty = −16 kN .
x
τy <0
c) A feszültségi tenzor a veszélyes keresztmetszet S,C,D pontjaiban : Keresztmetszeti jellemzők : b ( 2b3 ) 2 b4 2 ⋅ 454 Iz = = = = 2733750 mm4 , A = 2b 2 = 2 ⋅ 45 2 = 4050 mm 2 . 12 3 3 2 ⎤ 45 b ⎡⎛ 2 b ⎞ 2 ⎡⎣ 45 2 - 22,5 2 ⎤⎦ = 34171,875 mm 3 . S z ( y D ) = ⎢⎜ ⎟ - yD ⎥ = 2 ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 2 ▪ A keresztmetszet C pontjában: M M −6 ,4 ⋅ 10 6 45 = − 105,35 MPa ; τ xy = 0 MPa , σ x ( C ) = hz yC = hz ( + b ) = Iz Iz 2733750
⎡ −105,35 0 0 ⎤ ⎡F ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ▪ A keresztmetszet S pontjában: 3 Ty 3 ( −16000 ) =− = 5,925 MPa , σ x ( S ) = 0 MPa ; τ xy ( S ) = − 2 A 2 4050 5,925 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎡ F ⎤ = 5,925 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ S⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ▪ A keresztmetszet D pontjában: M hz M hz ⎛ b ⎞ − 6 ,4 ⋅ 10 6 ⎛ 45 ⎞ σ x (D) = yD = ⎜− ⎟= ⎜ − ⎟ = 52,67 MPa ; Iz I z ⎝ 2 ⎠ 2733750 ⎝ 2 ⎠ T S (y ) T S (y ) −16 ⋅ 10 3 ⋅ 34171,875 τ xy ( D ) = − y z D = − y z D = − = 4,44 MPa. I z a ( yD ) Iz b 2733750 ⋅ 45
⎡ 52,67 ⎡⎣ F D ⎤⎦ = ⎢ 4,44 ⎢ ⎢⎣ 0
4,44 0 ⎤ 0 0 ⎥⎥ MPa . 0 0 ⎥⎦
d)A tartó szilárdságtani ellenőrzése HMH elmélet szerint : Általános összefüggés : σ red = σ x2 + β τ xy2 , ahol β = 3 . ▪ A keresztmetszet C pontjában a redukált feszültség:
σ red ( C ) = σ x2 ( C ) + 3τ xy2 ( C ) =
( −105,35 )
2
+ 3 ⋅ ( 0 ) = 105,35 MPa . 2
▪ A keresztmetszet S pontjában a redukált feszültség:
σ red ( S ) = σ x2 ( S ) + 3τ xy2 ( S ) =
(0 )
2
+ 3 ⋅ ( 5,925 ) = 10,27 MPa . 2
▪ A keresztmetszet D pontjában a redukált feszültség:
σ red ( D ) = σ x2 ( D ) + 3τ xy2 ( D ) =
( 52,67 )
2
+ 3 ⋅ ( 4,44 ) = 53,23 MPa . 2
A maximális redukált feszültség a C pontban ébred, így σ red ( C ) = 105,35 MPa < σ meg = 125 MPa , a tartó szilárdságtanilag megfelel !
12.2 feladat : Prizmatikus rudak összetett igénybevételei (nyírás+hajlítás) Adott : R p0,2 = 80 MPa , n=1,3 , F0 = 30 kN, l = 0,2 m y
A
x
l y
F0
z
S
∅d
Feladat : a) Rajzolja meg a tartó l szakaszán az igénybevételi ábrákat, és határozza meg a tartó veszélyes keresztmetszetét. b) Rajzolja meg a feszültségeloszlást a veszélyes keresztmetszet S pontján átmenő, y és z tengelyei mentén. c) Végezze el a tartó szilárdságtani méretezését MOHR elmélete szerint (méretezés hajlításra, szilárdságtani ellenőrzés hajlításra és nyírásra).
a) A tartó igénybevételi ábrái, veszélyes keresztmetszet :
y
FA
F0
A l
x
MA
30 kN
y 30 kN
A
200
Ty ( kN ) 30
x 6 kNm
30 x
6 kNm
M hz ( kNm )
x −6
Támasztó erőrendszer: Fy = 0 = F0 − FA = 0 ⇒ FA = F0 = 30 kN ( ↓ ) , M a = M A − ( F0 l ) = 0 ⇒ M A = ( 30 ⋅ 0,2 ) = 0,6 kNm
b) A tartó veszélyes keresztmetszete: A tartó befalazási, A jelű keresztmetszete.
b) Feszültségeloszlás a veszélyes keresztmetszet y és z tengelyei mentén : y
y
C
y
S
M hz z
τ yx
σx
Ty
B
σx
M hz = −6 kNm,
z
τ yx
x M hz < 0 y
Ty = 30 kN . z
x
τy >0
c) A tartó szilárdságtani méretezése MOHR elmélete szerint (méretezés hajlításra) : M M σ x max = σ x ( B ) = σ x ( C ) = hz ymax = hz ≤ σ meg , Iz Kz ahol a megengedett feszültség σ meg = a keresztmetszeti tényező K z =
σ x max =
d≥
3
M hz ≤ σ meg d 3π 32
⇒
R p0 ,2 n
=
80 = 61,53 MPa, 1,3
Iz d 3π . = ymax 32
32 M hz ≤ σ meg d 3π
⇒
32 M hz
σ m eg π
≤ d3,
32 ⋅ 6 ⋅ 106 = 102,27 mm . = σ m eg π 57,14 ⋅ π
32 M hz
3
A tartó átmérője (kerekítés után, a nagyobb biztonság felé térve) : d=103 mm . d) A tartó szilárdságtani ellenőrzése MOHR elmélete szerint (ellenőrzés hajlításra és nyírásra) : Keresztmetszeti jellemzők : d 4π 1034 ⋅ π d 2π 1032 π 4 Iz = = = 5523786 mm , A = = = 8330 mm 2 . 64 64 4 4 ▪ A keresztmetszet C pontjában: M M ⎛ d ⎞ − 6 ,4 ⋅ 10 6 σ x ( C ) = hz yC = hz ⎜ + ⎟ = 51,5 = − 59,66 MPa ; τ xy = 0 MPa , Iz I z ⎝ 2 ⎠ 5523786 ⎡ − 59,66 0 0 ⎤ ⎡F ⎤ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ C⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
▪ A keresztmetszet S pontjában:
σ x ( S ) = 0 MPa ; τ xy ( S ) = −
4 Ty 4 ( 30000 ) =− = − 4,8 MPa , 3 A 3 8330
−4,8 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎡ F ⎤ = − 4,8 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎣ S⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ▪ A keresztmetszet B pontjában: M M ⎛ d ⎞ −6 ,4 ⋅ 10 6 σ x ( B ) = hz y B = hz ⎜ − ⎟ = ( −51,5 ) = 59,66 MPa ; τ xy = 0 MPa , Iz I z ⎝ 2 ⎠ 5523786 ⎡ 59,66 0 0 ⎤ ⎡⎣ F B ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0 ⎥⎥ MPa . ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ Általános összefüggés : σ red = σ x2 + β τ xy2 , ahol β = 4 . ▪ A keresztmetszet C pontjában a redukált feszültség:
σ red ( C ) = σ x2 ( C ) + 4τ xy2 ( C ) =
( −59,66 )
2
+ 4 ⋅ ( 0 ) = 59,66 MPa . 2
▪ A keresztmetszet S pontjában a redukált feszültség:
σ red ( S ) = σ x2 ( S ) + 4τ xy2 ( S ) =
(0 )
2
+ 4 ⋅ ( −4,8 ) = 9,6 MPa . 2
▪ A keresztmetszet B pontjában a redukált feszültség:
σ red ( B ) = σ x2 ( B ) + 4τ xy2 ( B ) =
( 59,66 )
2
+ 4 ⋅ ( 0 ) = 59,66 MPa . 2
A maximális redukált feszültség a C és a B pontokban ébred, így σ red ( C ) = σ red ( B ) = 59,66 MPa < σ meg = 61,53 MPa , a tartó szilárdságtanilag megfelel !
12.3 feladat : Vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása
G
G
Adott : F = ( 2 j ) kN és a keresztmetszet méretei.
y y
7
Feladat : a) A feszültségeloszlások megrajzolása a középvonal mentén. b) A feszültségkoordináták meghatározása az övlemez, illetve a gerinclemez B, E, C, D,H pontjaiban. c) A Q nyírási középpont meghatározása.
H
64
2
D
S
F
.x
2
z
C E B
30
a) A feszültségeloszlások a középvonal mentén : A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre Iz =
∫
( A)
29
y 2 dA = ∫ y 2 vds = y 2y =−31v ∫ ds + v (l )
s =0
I z = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 29 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2
τ zx
2
s = 29
120
∫
ds ,
s = 91
31 + 312 ⋅ 2 ⋅ ( 120 − 29 ) = 151,2 ⋅ 10 3 mm4 . 3
( MPa )
Elsőként a sarokpontban ( E ) ébredő csúsztató feszültséget határozzuk meg : T S (s ) τ zx ( E ) = τ yx ( E ) = y z E , Iz v
ξ′ y
η
11,89
∫
( s − 60 ) ds + y 2y =31v
3
−11,89
η
91
ξ′
S z ( sE ) =
∫
( A)
y dA = ∫ y vds = y y =−31v (l )
( 29 )
∫
ds ,
( s =0 )
S z ( sE ) = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 29 = −1798 mm3 .
τ yx
y
z
( MPa )
Ty = − 2000 N .
S
τ zx ( E ) = τ yx ( E ) =
s 11,89
τ zx 11,89
( MPa )
ξ ′′
x
τy<0
( −2000 ) ⋅ ( −1798 )
= 11,89 MPa. 151200 ⋅ 2 Az övlemezekben ébredő nyírófeszültség előjelét a nyírófolyam irányítása alapján határozhatjuk meg.
ξ ′′ b) A feszültségkoordináták az övlemez, illetve a gerinclemez B,C,D,H pontjaiban. Ty S z ( sB ) ▪B pontban : τ ex ( B ) = τ zx ( B ) = , Iz v
S z ( sB ) =
∫
( A)
y dA = ∫ y vds = y y =−31v (l )
τ ex ( B ) = τ zx ( B ) =
Ty S z ( sB )
=
Iz v
ds = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 28 = −1736 mm3 .
( s =0 )
151200 ⋅ 2
Ty S z ( sC ) Iz v
,
∫ y dA = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 30 = −1860 mm . 3
( A)
τ ex ( C ) = τ yx ( C ) =
Ty S z ( sC )
=
Iz v
( −2000 ) ⋅ ( −1860 ) = 12,3 MPa. 151200 ⋅ 2
▪D pontban : τ ex ( D ) = τ yx ( D ) =
S z ( sD ) =
∫
( −2000 ) ⋅ ( −1736 ) = 11,48 MPa.
▪C pontban : τ ex ( C ) = τ yx ( C ) =
S z ( sC ) =
( 28 )
∫
Ty S z ( sD ) Iz v
,
y dA = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 28 + ( −16 ) ⋅ 2 ⋅ 32 = −2760 mm3 .
( A)
τ ex ( D ) = τ zx ( D ) =
Ty S z ( sD ) Iz v
=
( −2000 ) ⋅ ( −2760 ) = 18,25 MPa. 151200 ⋅ 2
▪H pontban : τ ex ( H ) = τ ( − z ) x ( H ) = −τ zx ( H ) = −
S z ( sH ) =
∫
Ty S z ( sH ) Iz v
,
y dA = ( −31) ⋅ 2 ⋅ 28 + ( 0 ) ⋅ 2 ⋅ 64 = −1736 mm3 .
( A)
τ ex ( H ) = −τ zx ( H ) = −
Ty S z ( sH ) Iz v
c) A Q nyírási középpont :
F
Q z
S
a
FH
b=62 mm
y
=−
( −2000 ) ⋅ ( −1736 ) = −11,48 MPa. 151200 ⋅ 2
A feszültségi eredő y tengely irányában: F=2000 N . A feszültségi eredő z tengely irányában: 29 1 FH = ∫ τ zx vds = 11,89 ⋅ 2 ⋅ 29 = 344,81N . 2 s =0 A feszültségi eredők nyomatéka a Q ponti tengelyre: M q = F a − FH b = 0.
A Q nyírási középpont a távolsága : F 344,81 a = b H = 62 = 10,69 mm. F 2000 FH
+
