3/19/2012
UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK
Kania Evita Dewi, S.Pd., M.Si.
Rata--Rata Hitung Rata
Ukuran gejala pusat Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai sesuatu hal, baik itu dari sampel ataupun populasi • Ukuran gejala pusat adalah ukuran statistik yang menggambarkan gejala pusat pengelompokan data • Yang termasuk kedalam ukuran gejala pusat adalah rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik dan modus.
Contoh RataRata-rata hitung
Bila X1, X2, X3, …,Xn adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut
Bila nilai ujian statistika dari sebagian mahasiswa dalam suatu kelas adalah 70, 75, 60, 65, 80, maka nilai rata-rata hitungnya adalah:
n
X + X 2 + X 3 + ... + X n = X= 1 n
∑X i =1
n
i
Jawab: X1 = 70; X2 = 75; X3 = 60; X4 = 65; X5 = 80
1
3/19/2012
Rata--Rata Hitung(2) Rata Hitung(2)
Contoh ratarata-rata hitung (2)
Jika suatu data dimana masing-masing nilai data mengulang dengan frekuensi tertentu, katakanlah nilai X1 mengulang dengan f1, X2 mengulang dengan f2, …, dan Xn mengulang dengan fn, maka nilai rata-rata hitungnya adalah:
Misalkan pada suatu ujian bahasa inggris, ada 1 mahasiswa mendapat nilai 50, ada 3 mahasiswa mendapat nilai 60, ada 5 mahasiswa mendapat nilai 65, ada 4 mahasiswa mendapat nilai 80, ada 2 mahasiswa mendapat nilai 95 Maka nilai rata-rata hitungnya?
n
X=
f1 X 1 + f 2 X 2 + ... + f n X n = f1 + f 2 + ... + f n
∑fX i
i
i =1 n
∑f
i
i =1
Rata-rata hitung Rataberkelompok
dengan
data
Untuk data dalam distribusi frekuensi maka nilai data diwakili nilai tengah kelas, sedangkan frekuensi diwakili frekuensi nilai tengah kelas. Maka formula n
∑fX i
X=
i =1 n
∑f
i
Xi = nilai tengah kelas
Contoh Dengan menggunakan contoh kemarin: Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan nilai rata-rata hitungnya!
i
i =1
2
3/19/2012
Rata-rata hitung dengan Rataberkelompok (dengan coding)
Jawaban Kelas
Nilai tengah (Xi)
fi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
fX
4 4 7 13 24 8 Total
n
∑fX i
X=
i
data
Dengan cara coding (dapat dipakai jika panjang kelas sama) n ∑ f1c1 i =1 X = X0 + p n ∑ f1 i =1
Keterangan: X0 = niali tengah kelas (frekuensi terbesar) P = panjang kelas Ci=koding
i =1 n
∑f
i
i =1
Contoh
Jawaban
Dengan menggunakan contoh kemarin: Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan nilai rata-rata hitungnya!
Kelas
Nilai tengah
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
c
f
f.c
4 4 7 13 24 8
Total
n ∑ f1c1 i =1 X = X0 + p n ∑ f1 i =1
3
3/19/2012
Rata--Rata Hitung Berbobot Rata
Rata--Rata Ukur Rata
Jika nilai data X1, X2, X3, …,Xn masingmasing mempunyai bobot w1, w2, w3, …,wn. Dalam kasus ini, nilai rata-rata hitung ditentukan dengan formula:
Jika data yang dihadapi merupakan deret ukur dan tidak ada yang nol, maka untuk kasus seperti ini formula yang digunakan:
n
w X + w2 X 2 + ... + wn X n X= 1 1 = w1 + w2 + ... + wn
∑w X i
i
i =1 n
∑w
i
i =1
U = n X 1 × X 2 × X 3 × ... × X n Untuk bilangan yang cukup besar digunakan n formula: log X i ∑ i =1 log U = n
Contoh
Contoh dibidang kependudukan
Misalkan terdapat 4 buah bilangan: 25, 102, 394, dan 1610. Berapakah rata-rata ukur untuk bilangan tersebut:
Pada bulan Juni tahun 1980 jumlah penduduk didaerah “X” adalah 1.256,760 jiwa. Pada bulan Juni tahun 1985 penduduk didaerah itu menjadi 1.498.332 jiwa. Daerah “X” adalah daerah tertutup. Berapa persen pertumbuhan pendudukan per tahun didaerah “X” itu?
U = n X 1 × X 2 × X 3 × ... × X n
Jawaban Gunakan formula
U =n
Pn −1 P0
4
3/19/2012
Rata--rata ukur untuk data kelompok Rata
Contoh UK
Untuk data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi digunakan:
Dengan menggunakan contoh kemarin:
n
∑ ( f log X ) i
log U =
i
i =1
n
∑f
Frekuensi 4 4 7 13 24 8
i
i =1
Tentukan nilai rata-rata ukur!
Jawaban Kelas
Kelas 10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
Rata--Rata Harmonis Rata
Nilai tengah (Xi)
f 4 4 7 13 24 8
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99 Total
Log Xi
fiLog Xi
Jika nilai data X1, X2, X3, …,Xn maka nilai rata-rata harmonis ditentukan dengan formula: H=
1 X1
+
1 X2
n + ... +
1 Xn
=
n n
∑ i =1
n
log U =
∑( f
i
1 Xi
log X i )
i =1
n
∑f
i
i =1
5
3/19/2012
Rata-Rata Harmonis untuk Data RataKelompok
Contoh UH Si A berpergan pulang pergi. Waktu pergi ia berjalan dengan kelajuan 10km/jam, sedangkan waktu pulangnya 20 km/jam. Berapakah rata-rata kelajuan A pulang pergi? Jawaban H=
1 X1
+
1 X2
n + ... +
Untuk rata-rata harmonis dalam daftar distribusi frekuensi menggunakan formula: n
H=
1 Xn
∑f ∑ i =1
Contoh UH
i
i =1 n
fi Xi
Jawaban
Dengan menggunakan contoh kemarin: Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Kelas
Nilai tengah (Xi)
fi
fi/Xi
4 4 7 13 24 8
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99 Total n
Tentukan nilai rata-rata ukur! H=
∑f
i
i =1 n
∑ i =1
fi Xi
6
3/19/2012
Modus
Modus data kelompok
Modus adalah bilangan yang frekuensinya paling besar atau paling sering muncul.
Formula untuk menentukan modus dalam daftar distribusi frekuensi:
Contoh Dari suatu deretan bilangan diperoleh: 2,8,9,11,2,6,6,7,5,2,2.Tentukan modusnya!
Contoh Modus
Keterangan: b = batas bawah kelas modal b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval sebelumnya b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya
Jawaban Modus
Dengan menggunakan contoh kemarin: Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan modusnya!
b Mo = b + p 1 b1 + b2
Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan: b =
; b 1=
; b2 =
b Mo = b + p 1 b1 + b2
7
3/19/2012
Ukuran Letak
Median
Ukuran letak adalah ukuran statistik yang menggambarkan letak data. Yang termasuk ukuran letak adalah median, kuartil, desil dan persentil
Median adalah nilai tengah dari kelompok data yang telah diurutkan (kecil ke besar).
Contoh Median Median dari data: 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 Median dari data: 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 9, 10
Median data berkelompok
Contoh
Jika data yang sudah disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, gunakan formula
Dengan menggunakan contoh kemarin:
n−F Med = b + p 2 f
Keterangan: b = Ujung bawah kelas median p = panjang kelas n = banyak data F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung media f = frekuensi kelas median
Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan mediannya!
8
3/19/2012
Jawaban
Kuartil Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Kelas median: L0 = ;p = ;F =
Jika nilai data X1, X2, X3, …,Xn yang telah diurutkan dari yang terkecil ke besar maka data tersebut dapat dibagi menjadi 4 bagian yang sama.
;f =
n −F Med = L0 + p 2 f
Langkah-langkah penentuan: 1. Susun data menurut urutan nilainya dari yang kecil ke besar 2. Tentukan letak kuartil dengan formula: i(n + 1) LK = a, b LK = i
3.
4
i
Tentukan Nilai kuartil dengan:
Ki = X (a ) + 0, b[X (a+1) − X (a ) ]
Contoh Kuartil
Kuartil data berkelompok
Misalkan ada 13 bilangan yaitu: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.Tentukan Kuartil 1, 2, 3!
Langkah-langkah penentuan: 1. Susun data menurut urutan nilainya dari yang kecil ke besar 2. Tentukan letak kuartil dengan formula:
Jawaban Urutkan dari data yang bernilai kecil ke besar 2. Tentukan letaknya LK = i(n +1) 1.
i
3.
4
LKi =
i(n + 1) 4
Tentukan nilainya
Ki = X (a ) + 0, b[X (a+1) − X (a ) ]
9
3/19/2012
Lanjutan 3.
Contoh Kuartil
Tentukan Nilai kuartil dengan:
Dengan menggunakan contoh kemarin:
in − F Ki = b + p 4 , i = 1, 2, 3 f
Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Keterangan: b = Ujung bawah kelas kuartil ke-i p = panjang kelas n = banyak data F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil f = frekuensi kelas kuartil
Tentukan Kuartil ke-1 dan kuartil ke-2!
Jawaban
Desil Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Jika nilai data X1, X2, X3, …,Xn yang telah diurutkan dari yang terkecil ke besar maka data tersebut dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama.
Kelas kuartil ke-1: b = ;p = ;F =
;f =
Kelas kuartil ke-2: b = ;p = ;F =
;f =
Langkah-langkah penentuan: 1. Susun data menurut urutan nilainya dari yang kecil ke besar 2. Tentukan letak destil dengan formula: i(n + 1) LD = i
3.
10
Tentukan Nilai destil
10
3/19/2012
Destil data kelompok
Contoh Destil
Formula untuk menentukan modus dalam daftar distribusi frekuensi:
Dengan menggunakan contoh kemarin:
in − F , i = 1, 2, 3, ..., 9 Di = b + p 10 f Keterangan: b = Ujung bawah kelas destil ke-i p = panjang kelas n = banyak data F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung destil f = frekuensi kelas destil
Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Tentukan Destil ke-5!
Jawaban Kelas
Frekuensi
10 – 24 25 – 39 40 – 54 55 – 69 70 – 84 85 - 99
4 4 7 13 24 8
Kelas Destil ke-5: b = ;p = ;F =
ADA PERTANYAAN??? ;f =
11
