PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS TIPE SOAL : 2 1. Dengan menggunakan definisi, buktikan lim x 1 x 1
Jawab: Ambil sebarang 0, 0 , yakni sedemikian sehingga Jika o | x 1| , maka | x 1| Terbukti bahwa lim x 1 x 1
2. Diberikan g ( x) 2 x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah g ' 1
1 ada atau 2
tidak ada. Jawab: 1 Dalam kasus ini, domain dari g ( x) akan dibatasi di sekitar x 1 , sehingga fungsi g ( x) 2 x 2 1 di sekitar x 1 dapat dinyatakan sebagai 2 1 3, untuk 1 2 x 2 g ( x) 2 x 2, untuk 1 x 1 1 2
1 g ( x) g 1 g ( x ) g (c ) 1 2 Dari definisi turunan diperoleh g '(c) lim , sehingga g ' 1 lim 1 x c 1 xc 2 x12 x 1 2 1 g ( x) g 1 2 ada. Akan diselidiki apakah lim 1 1 x 1 x 1 2 2 1 g ( x) g 1 2 lim 3 3 lim 0 0 lim 1 1 x11 1 1 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 2 2 1 g ( x) g 1 2 lim 2 3 lim 1 lim 1 1 x11 1 1 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 2 x 1 2 2 2 1 1 1 g ( x) g 1 g ( x) g 1 g ( x) g 1 2 lim 2 , maka lim 2 tidak ada. Karena lim 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 2 2 1 Sehingga disimpulkan bahwa g ' 1 tidak ada. 2 Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
3. Hitunglah lim t 0
tan 3t sin t
Jawab:
tan 3t lim t 0
sin 3t sin t cos 2t cos t sin 2t sin t cos 2t 2cos 2 t sin t , sehingga cos3t cos3t cos3t
tan 3t 1 sin t cos 2t 2cos 2 t sin t cos 2t 2cos 2 t 1 2 lim lim 3 t 0 cos t t 0 sin t sin t cos t 1
4. Misalkan h(x) = {
| |
Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana. Jawab: Asumsikan bahwa h( x) kontinu dimana-mana. Oleh karena h( x) kontinu dimana-mana, maka lim h( x) f (0) dan lim h( x) h(1) . x 0
x 1
lim h( x) ada, berarti lim h( x) lim h( x) , sehingga lim h( x) lim h( x) x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
lim h( x) ada, berarti lim h( x) lim h( x) , sehingga lim h( x) lim h( x) x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lim h( x) h(1)
lim h( x) h(0)
x 1
x 0
lim h( x) h(1)
lim h( x) h(0)
x 1
x 0
x 1 x karena b 0, maka a 1 Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a 1 dan b 0 . 5. Carilah Dx2 ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) untuk x 1 , jika diketahui ab
0 a.0 b b 0
f (1) 2, f '(1) 4, f ''(1) 1, g (1) 1, g '(1) 3 dan g ''(1) 5
Jawab: Dx ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) f '( g ( x)) g '( x) 2 g ( x) g '( x)
Dx2 ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) Dx ( f '( g ( x)) g '( x) 2 g ( x) g '( x)) f ''( g ( x)) g '( x) g '( x) f '( g ( x)) g ''( x) 2 g '( x) g '( x) 2 g ( x) g ''( x) Dx2 ( f ( g (1)) g 2 (1))
f ''( g (1)) g '(1) g '(1) f '( g (1)) g ''(1) 2 g '(1) g '(1) 2 g (1) g ''(1) f ''(1).3.3 f '(1).5 2.3.3 2.1.5 (1).9 4.5 18 10 9 20 28
17 6. Sebuah tangga sepanjang 8 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 50 centimeter per detik. Seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter dari dinding? Jawab:
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
dinding
8 meter
lantai
82 x 2 y 2 dx dy 2y dt dt dy x dx dt y dt
0 2x
Karena x = 2, maka y 82 22 60 2 15 , sehingga
dy 2 15 (tanda negatif berarti bergerak turun) .0,5 dt 30 2 15 Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter adalah
15 meter per detik. 30
7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari
3
26,1
Jawab: Dari rumus diferensial diperoleh f ( x x) f ( x) dy f ( x) f '( x)x Misalkan f ( x) 3 x , maka f '( x) 3
1 3 3 x2
.
26,1 f (26,1) f (27 0,9) f (27) f '(27)(0,9) 3 27
1 3
3 27
Jadi nilai pendekatan dari
3
2
(0,9) 3
26,1 adalah 2,967
8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut: 1. Domani fungsi f =[-3, 5] 2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3) 3. f (2) f (1) f (2) f (4) 2 4. lim f ( x) lim f ( x) 0 x 1
x 4
5. lim f ( x) 1 x 0
6. f '( x) 0 pada x (1, 2), f '( x) 0 pada x (3, 2) , dan f '(3) tidak ada.
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
0,9 2,967 27
PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS TIPE SOAL : 1 1. Dengan menggunakan definisi, buktikan lim x 3 x 3
Jawab: Ambil sebarang 0, 0 , yakni sedemikian sehingga Jika o | x 3 | , maka | x 3 | Terbukti bahwa lim x 3 x 3
2. Diberikan g ( x) 2 x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah g '
1 ada atau 2
tidak ada. Jawab: Dalam kasus ini, domain dari g ( x) akan dibatasi di sekitar x di sekitar x
1 , sehingga fungsi g ( x) 2 x 2
1 dapat dinyatakan sebagai 2
1 1, untuk 2 x 1 g ( x) 2 x 0, untuk 0 x 1 2 1 g ( x) g g ( x ) g (c ) 1 2 Dari definisi turunan diperoleh g '(c) lim , sehingga g ' lim 1 x c 1 xc 2 x 2 x 2 1 g ( x) g 2 ada. Akan diselidiki apakah lim 1 1 x x 2 2 1 g ( x) g 2 lim 1 1 lim 0 0 lim 1 1 x 1 1 1 1 x x x 2 x 2 2 x 2 2 2 1 g ( x) g 2 lim 0 1 lim 1 lim 1 1 x 1 1 1 1 x x x 2 2 x 2 x 2 2 2 1 1 1 g ( x) g g ( x) g g ( x) g 2 lim 2 , maka lim 2 tidak ada. Karena lim 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 2 2 2 2 2 2 1 Sehingga disimpulkan bahwa g ' tidak ada. 2 Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
3. Hitunglah lim t 0
tan t sin 4t
Jawab: sin t , dan sin 4t 2sin 2t cos 2t 4sin t cos t (1 2sin 2 t ) 4sin t cos t 8sin 3 t cos t cos t tan t 1 sin t 1 1 1 lim lim lim 2 2 t 0 sin 4t t 0 cos t sin t (4cos t 8sin t cos t ) t 0 cos t (4cos t 8sin t cos t ) 4 tan t
| |
4. Misalkan h(x) = { Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana. Jawab: Asumsikan bahwa h( x) kontinu dimana-mana. Oleh karena h( x) kontinu dimana-mana, maka lim h( x) h(0) dan lim h( x) h(1) . x 0
x 1
lim h( x) ada, berarti lim h( x) lim h( x) , sehingga lim h( x) lim h( x) x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
lim h( x) ada, berarti lim h( x) lim h( x) , sehingga lim h( x) lim h( x) x 1
x 1
x 1
x 1
lim h( x) h(0)
x 1
lim h( x) h(1)
x 0
x 1
lim h( x) h(0)
lim h( x) h(1)
x 0
x 1
x a b 1 a.0 b x karena b 1, maka a 2 1 b Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a 2 dan b 1 . 5. Carilah Dx2 ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) untuk x 1 , jika diketahui f (1) 2, f '(1) 5, f ''(1) 1, g (1) 1, g '(1) 4 dan g ''(1) 2
Jawab: Dx ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) f '( g ( x)) g '( x) 2 g ( x) g '( x)
Dx2 ( f ( g ( x)) g 2 ( x)) Dx ( f '( g ( x)) g '( x) 2 g ( x) g '( x)) f ''( g ( x)) g '( x) g '( x) f '( g ( x)) g ''( x) 2 g '( x) g '( x) 2 g ( x) g ''( x) Dx2 ( f ( g (1)) g 2 (1))
f ''( g (1)) g '(1) g '(1) f '( g (1)) g ''(1) 2 g '(1) g '(1) 2 g (1) g ''(1) f ''(1).4.4 f '(1).2 2.4.4 2.1.2 (1).16 5.2 32 4 16 10 36
42 6. Sebuah tangga sepanjang 9 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 0,5 meter per detik. Seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 3 meter dari dinding? Jawab:
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
dinding
9 meter
lantai
92 x 2 y 2 dx dy 2y dt dt dy x dx dt y dt
0 2x
Karena x = 3, maka y 92 32 72 6 2 , sehingga
dy 3 1 1 .0,5 2 (tanda negatif berarti bergerak turun) dt 8 6 2 4 2 Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter 1 adalah 2 meter per detik. 8 7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari
3
26,8
Jawab: Dari rumus diferensial diperoleh f ( x x) f ( x) dy f ( x) f '( x)x Misalkan f ( x) 3 x , maka f '( x) 3
1 3
3 x2
.
26,8 f (26,8) f (27 0, 2) f (27) f '(27)(0, 2) 3 27
1 3
3 27
2
(0, 2) 3
Jadi nilai pendekatan dari 3 26,8 adalah 2,993 8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut: 1. Domani fungsi f =[-3, 5] 2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3) 3. f (2) f (1) f (2) f (4) 4 4. lim f ( x) lim f ( x) 2 x 1
x 4
5. lim f ( x) 3 x 0
6. f '( x) 0 pada x (1, 2), f '( x) 0 pada x (3, 2) , dan f '(3) tidak ada.
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus
0, 2 2,993 27
