250. Pada segitiga ABC diketahui AB = 5 cm, AC = 6 cm dan BC = 4 cm. Titik D terletak pada sisi AB sehingga panjang AD = 2 cm. Dari titik D dibuat garis tegak lurus AC di E dan dibuat sebuah garis lagi dari D tegak lurus BC di titik F. Tentukan DE : DF ! Jawab :
C
T
E A
F
D
B
BD = AB − AD = 5 − 2 = 3 L∆ ADC = L∆ BDC
1 2 1 2
AD.t ⇔ BD.t
1 2 1 2
AC.CD 2 6 DE 2 DE 4 = ⇔ = ⇔ = BC.DF 3 4 DF 3 DF 9
251. Bila log 2 = a, log 3 = b dan 2 x + 1 = 32 − 3 x maka tentukan nilai x + 1 ! Jawab : log 2 x + 1 = log 32 − 3 x ⇔
( x + 1) log 2 = ( 2 − 3x ) log 3
( x + 1) a = ( 2 − 3x ) b ⇔
x=
2b − a 2b − a a + 3b 5b ⇒ x+ 1= + = a + 3b a + 3b a + 3b a + 3b
252. Pada segitiga XYZ diketahui sin x =
1 5
5 dan sin z =
1 10
10 . Tentukan nilai tan
y ! 2
Jawab : sin x =
5 ⇒ tan x =
1 5
1 2
1 3 tan y = tan (180 − ( x + z ))
sin z =
1 10
10 ⇒ tan z =
2 tan 12 y = − tan( x + z ) 1 − tan 2 12 y 1 + 13 2 tan 12 y tan x + tan z 2 = − = − = −1 1 − tan 2 12 y 1 − tan x tan z 1 − 12 . 13
2 tan 12 y = − 1 + tan 2 12 y ⇔ 1 = ( tan 12 y − 1) − 1 2
tan 12 y =
2+1
253. Diketahui cos (A + B) = Jawab :
3 12 dan cos (A – B) = . Tentukan nilai sin B ! 5 13
3 4 ⇒ sin ( A + B ) = 5 5 12 5 cos ( A − B ) = ⇒ sin ( A − B ) = 13 13 cos 2 B = cos ( ( A + B ) − ( A − B ) ) cos ( A + B ) =
1 − 2 sin 2 B = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + sin ( A + B ) sin ( A − B ) = sin 2 B =
9 ⇒ sin B = 130
2 130
2 12 4 5 56 . + . = 5 13 5 13 65
130
254. Batistuta akan melakukan tendangan pinalti ke gawang Buffon. Peluang membuat gol dalam sekali tendangan adalah 4/5. Jika dilakukan 5 kali tendangan pinalti, tentukan peluang membuat tiga nol !
Jawab : 3
4 Peluang tiga gol =5C3 5
2
1 64 1 128 . = = 10. 5 125 25 625
255. Tentukan domain dari fungsi f ( x) =
3x 2 + x − 2 2 x 2 − 5x + 2
Jawab : i) 2 x 2 − 5x + 2 ≠ 0 ⇔ ii )
3x 2 + x − 2 ≥ 0⇔ 2 x2 − 5x + 2 +
-
( 2 x − 1) ( x − 2) ≠ ( 3x − 2) ( x + 1) ( 2 x − 1) ( x − 2) +
0⇒ x≠
1 , x≠ 2 2
≥ 0
-
+
2 2 3 1 2 Dari (I) dan (ii) didapat : Df : x x ≤ − 1 atau ≤ x ≤ atau x ≥ 2 2 3 -1
256. Tentukan
1 2
dy dari y = cos x dx
Jawab : y = cos x ⇔ y 2 = cos 2 x ⇒ 2 y dy = 2 cos x ( − sin x ) dx dy − 2 sin 2 x − sin 2 x = = dx 2y 2 cos x 257. Tentukan nilai maksimum fungsi f ( x ) = 4 cos 2 x + 14 sin 2 x + 24 sin x cos x + 10 Jawab :
1 + cos 2 x 1 − cos 2 x + 14 + 12 sin 2 x + 10 2 2 f ( x) = 2 + 2 cos 2 x + 7 − 7 cos 2 x + 12 sin 2 x + 10 f ( x) = − 5 cos 2 x + 12 sin 2 x + 19 f ( x) = 4
f max =
A2 + B 2 + C =
258. Tentukan
( − 15) 2 + 122 + 19 =
32
lim sin 2 x + sin 6 x + sin 10 x − sin 18 x 3 sin x − sin 3 x x→ 0
Jawab : lim ( sin 6 x + sin 2 x ) − ( sin 18 x − sin 10 x ) = x→ 0 3 sin x − sin 3 x 2 sin 4 x cos 2 x − 2 cos14 x sin 4 x lim = 3 sin x − (3 sin x − 4 sin 3 x) x→ 0 lim − 2 sin 4 x ( cos14 x − cos 2 x ) = 4 sin 3 x x→ 0
lim − 2 sin 4 x ( − 2 sin 8 x sin 6 x ) = x→ 0 4 sin 3 x
lim 4 sin 4 x sin 8 x sin 6 x = 4.8.6 = 192 x → 0 4 sin x sin x sin x tan a − tan b lim a a 259. Tentukan a → b 1 + (1 − ) tan a tan b − b b Jawab :
tan a − tan b lim = a a a → b (1 − ) + (1 − ) tan a tan b b b tan a − tan b lim = a ( ) a → b (1 − ) 1 + tan a tan b b tan ( a − b ) lim = a 1− a→ b b tan ( a − b) lim = −b 1 a → b − b ( a − b)
260. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik, ke dalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Tentukan tinggi kerucut agar mempunyai volume terkecil ! Jawab : A
R
F
B
8 E
D t-8
C Segitiga AFC sebangun dengan segitiga CDE AF DE R 8 R2 64 64t = ⇒ = ⇒ 2 2 = 2 ⇔ R2 = AC DC R + t t − 16t + 64 t − 16 R2 + t 2 t − 8 64t t2 V = πR t = π . .t = 64π t − 16 t − 16 2 2t ( t − 16) − 1.t V ' = 0 ⇒ 64π = 0 ⇔ 2t 2 − 32t − t 2 = 0 ⇒ t = 32 (t − 16) 2 2
261. 7 3
12
14
20
8 Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada “bintang ajaib” di samping dengan bilangan sedemikian sehingga bilangan-bilangan pada setiap garis mempunyai jumlah yang sama ! Jawab : 7 3
a
12
14
20
b
f
c
d
e
8 Jumlah setiap baris = 29 + a b+20+a+7 = 29 + a atau b = 2 3+20+c+8 = 29 + a atau c = a – 2 8+d+f+14 = 7+12+f+e atau d = e – 3 b+c+d+e = 29+a 2+a-2+e-3+e = 29+a atau e = 16 d = 16-3 = 13 8+d+f+14 = 29+a 8+13+f+14 = 29+a atau f = a – 6 Soal mempunyai banyak jawaban. Bila dimisalkan a = 11 maka c = 9 dan f = 5 262. Tentukan semua pasangan bilangan bulat yang selisih kuadratnya 924 ! Jawab : a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) = 924 Pasangan nilai (a + b) dan (a – b) yang mungkin adalah pasangan faktor genap dari 924. a+b 462 a-b 2 a + b = 462 a = 232 ⇒ a− b = 2 b = 230
154 6
a + b = 66 a = 40 ⇒ a − b = 14 b = 26
66 14 a + b = 154 a= ⇒ a− b = 6 b=
42 22 80 74
a + b = 42 a = 32 ⇒ a − b = 22 b = 10
263. Diketahui segitiga ABC dengan sisi-sisi AB, CA dan CB masing-masing menyinggung lingkaran yang pusatnya O. Jika ∠ ACB = 40 , tentukan ∠ AOB !
B S 40
R
O
A T Jawab : Misal R, S dan T adalah titik-titik singgung. ∠ CBA + ∠ CAB = 180 − 40 = 140 ∠ TAS = 180 − ∠ CAB ∠ RBS = 180 − ∠ CBA
+ ∠ TAS + ∠ RBS = 360 − 140 = 220 Karena AS dan AT garis singgung maka OA merupakan garis bagi ∠ SAT . Begitupun BS dan BR yang merupakan garis bagi ∠ RBS ∠ OAS + ∠ OBS = 12 ( ∠ TAS + ∠ RBS ) = 12 .220 = 110
∠ AOB = 180 − ( ∠ OAS + ∠ OBS ) = 180 − 110 = 70
264. P A B
C
D
Q Dua buah lingkaran L1 dan L2 masing-masing berjari-jari r1 dan r2 . Kedua lingkaran berpotongan di titik P dan Q. Garis singgung L1 dan L2 di titik P membentuk sudut sikusiku. Garis yang melalui pusat lingkaran-lingkaran itu memotong kedua lingkaran di A, B, C dan D. Jika AD = m dan BC = n maka tunjukkan bahwa mn = 2 r1.r2 Jawab : P A
M
B
N C
D
Q
MP = r1 , NP = r2 MP⊥ NP AD = AM + MN + ND
m = r1 + MN + r2
n = r1 − ( MN − NB ) = r1 − ( MN − r2 ) = r1 − MN + r2
mn = ( r1 + MN + r2 ) ( r1 − MN + r2 ) = ( r1 + r2 ) 2 − MN 2
(
2
2
) (
2
2
)
mn = r1 + r2 + 2r1r2 − r1 + r2 = 2r1r2 265. C D
2 2
E
2 A
4
B
Hitung luas daerah yang diarsir ! Jawab : L = L∆ AED + L∆ BCE = ( L∆ ABD − L∆ ABE ) + ( L∆ ABC − L∆ ABE ) = 266.
( 12 .4.4 −
1 2
.4.2 ) +
( 12 .4.6 −
1 2
.4.2) = 12
C 15
A H 16 B Segitiga ABC siku-siku di C dan AC = 15. Garis tinggi CH membagi AB dalam segmen AH dan HB dengan HB = 16. Tentukan luas segitiga ABC ! Jawab : .
C
15
t
A
y
H
( x + 16) 2 =
16
B
y 2 + 152 ⇔ y 2 = ( x + 16 ) 2 − 152 ....(1)
t 2 = 152 − x 2 .....( 2) t 2 = y 2 − 16 2 ....(3)
Dari (2) dan ( 3) ⇒ 152 − x 2 = y 2 − 162 ......(4) Substitusi (1) ke (4) :
152 − x 2 = ( x + 16) 2 − 152 − 162 ⇔ x 2 + 16 x − 225 = 0 ⇔ x = − 25 tidak memenuhi x = 9 ⇒ t = 12 L∆ ABC =
1 2
( 9 + 16).12 =
(x +
25) ( x − 9 ) = 0
150
267. C N P B
M
A
Segitiga ABC siku-siku di C. Garis berat CM tegak lurus garis berat BN. Panjang sisi BC = s. Tentukan panjang BN ! Jawab : Misal AC = b dan AB = c. Karena BN dan CP garis berat, maka :
BP : PN = 2 : 1 CP : PM = 2 : 1 ∆ BNC ⇒ BN 2 = s 2 + CN 2 = s 2 + 14 b 2 ....(1) ∆ BPM ⇒ BP 2 = BM 2 + PM 2 ⇔ 5 9
BN 2 =
1 4
c2 +
(2) − (1) ⇒ − 94 BN 2 =
1 4
1 4
(c
2
4 9
BN 2 =
1 4
c 2 + 14 CP 2 =
(s
1 4
c2 +
3 4
s 2 ⇒ BN =
1 4
2
− BP 2
)
s 2 .......(2)
)
− b2 −
3 4
s 2 ⇔ − 94 BN 2 =
1 4
s2 −
3 4
s 2
268. Dari segitiga ABC diketahui bahwa AD garis tinggi. Buktikan bahwa untuk setiap titik P pada AD akan berlaku BP 2 − PC 2 = BD 2 − DC 2 Jawab :
C D P A
B
BP 2 = BD 2 + PD 2 PC 2 = DC 2 + PD 2
BP − PC = BD − DC 2 2
269.
2
2
D
G
C
H F A
E
B
Pada sisi-sisi AB, BC, CD dan DA dari persegi panjang ABCD yang panjang sisinya a dan b dipilih titik-titik E, F, G dan H sedemikian hingga AE = 12 EB, BF = 12 FC, CG = 12 GD dan DH = 12 HA. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis AG, BH, CE dan DF !
Jawab : D
G
C
Misal ET = x
H T α A
α E
β
F B
a 23 a . =1 2 a a 3 Maka BH ⊥ EC. Berarti segiempat yang diarsir berupa persegi. Misal panjang sisinya x. tan α tan β =
x BC = ⇔ AE CE
x = a
1 3
a 1 3
a 13
⇔ x=
Luas daerah yang diarsir = x 2 = 270. .
a 3
a2 13
C
9
4
P 49
A
B
Dipilih titik P di dalam segitiga ABC sehingga apabila ditarik garis-garis lewat P sejajar dengan sisi-sisi ABC, maka hasilnya segitiga-segitiga yang luasnya 4, 9 dan 49. Hitung luas segitiga ABC ! Jawab : .
C 2x U 3x 9 V
3y T 3y 2x 4 P
7x
7x
A
Q
49
2y S 7y
7y R
B
Misal panjang PQ = 7x dan PR = 7y, maka TP = 2x, TS = 2y, UV = 3x dan UP = 3y L∆ PQR = 12 .7 x.7 y.sin α = 49 ⇔ xy sin α = 2 L∆ ABC =
1 2
.12 x.12 y.sin α = 72.2 = 144
271.
Jika diketahui jari-jari lingkaran besar adalah R satuan dan jari-jari lingkaran kecil adalah abc 1 = R ( a + b + c) r satuan (kedua lingkaran tidak sepusat). Tunjukkan bahwa 4R 2 Jawab : C
r
P
A
B
L∆ ABC = L∆ PAB + L∆ PBC + L∆ PAC =
1 2
cr +
1 2
ar + 12 br =
1 2
r ( a + b + c ) ....(1)
c c = 2 R ⇔ sin C = sin C 2R c abc L∆ ABC = 12 ab sin C = 12 ab = ....(2) 2R 4R abc 1 Dari (1) dan (2) ⇒ = r ( a + b + c) 4R 2 272. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka buktikan bahwa PA.PA’ = PB.PB’ (teorema tali busur) ! Jawab : B
A’ P B’
A ∠ APB = ∠ A' PB' ⇒ ∆ PAB ~ ∆ PB' A' ∠ PAB = ∠ PB ' A' PA PB = ⇔ PA.PA' = PB.PB' PB ' PA'
273. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di luar lingkaran, maka buktikan PA.PA’=PB.PB’ (teorema Secant) ! Jawab : A’ A P B B’ ∠ A' PB = ∠ B ' PA ⇒ ∆ PA' B ~ ∆ PB' A ∠ AB' P = ∠ BA' P PA' PB = ⇔ PA.PA' = PB.PB' PB ' PA
274. Jika P sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari titik P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka buktikan PA.PA’ = (PT) 2 (teorema Secant-Tangen) Jawab : P
T
α A
O
α A’ = α maka : ∠ OTA = 90 − α ∆ PTA ~ ∆ PA'T
Misal ∠ PA'T ∠ AOT = 2α , ∠ PTA = α ⇒ PT PA = ⇔ PA' PT
PA.PA' = ( PT ) 2
275. R
S O
Q
P T Jika PT = 6 cm, SQ = 2,5 cm dan OS tegak lurus RT maka tentukan panjang TQ ! Jawab : QR = 2 SQ = 2.2,5 = 5 cm TQ.TR = ( TP ) 2⇒ TQ.(TQ + 5) = 6 2 ⇔ ( TQ + 9 ) ( TQ − 4) = 0 TQ = 4
276. Sebuah titik A terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik M. Dari titik A ditarik garis yang memotong lingkaran di titik B dan C. (titik B terletak diantara A dan C). Dibuat garis CM sehingga memotong lingkaran di titik D, ternyata AD menyinggung lingkaran dan titik E terletak pada garis AD. Jika panjang AE = 1 cm, AB = 2 cm dan BC = 6 cm. Buktikan bahwa AM, DB dan CE berpotongan di sebuah titik ! Jawab : C 6
R
B
M
2 A
R E
D
AD 2 = AB. AC = 2(2 + 6) = 16 ⇒ AD = 4 EP = 4 − 1 = 3 AB CM DE 2 R 3 . . = . . =1 BC MD EA 6 R 1 Berarti AM, DB dan CE berpotongan di suatu titik.
277.
C E
D’
E’
D
A F’ F B Sebuah lingkaran memotong sisi-sisi segitiga ABC pada bagian dalam yaitu BC di D dan D’, CA di E dan E’ serta AB di F dan F’. Jika AD, BE dan CF konkuren, tunjukkan bahwa AD’, BE’ dan CF’ juga konkuren ! Jawab : Membuktikan AD’, BE’ dan CF’ konkuren sama artinya dengan membuktikan AF ' BD ' CE ' . . =1 F ' B D 'C E ' A AF AE ' AF '.AF = AE '.AE ⇔ = AE AF ' BD BF ' BD.BD ' = BF .BF ' ⇔ = BF BD ' CE CD ' CE.CE ' = CD.CD ' ⇔ = CD CE ' AD, BE dan CF konkuren, maka : AF BD CE . . =1 FB DC EA AF BD CE . . =1 EA FB DC AE ' BF ' CD ' . . =1 AF ' BD ' CE ' AF ' BD ' CE ' AF ' BD ' CE ' . . = 1⇔ . . =1 AE ' BF ' CD ' F ' B D 'C E ' A
278.
Luas daerah yang diarsir adalah A. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang juga adalah A ! Jawab : q y p
x b
x a
p
2p + 2q = A 1 x+p= luas lingkaran = 12 π ( 12 b ) 2 ⇔ 2 x + 2 p = 14 π b 2 ……. (1) 2 1 y+q= luas lingkaran = 12 π ( 12 a ) 2 ⇔ 2 y + 2q = 14 π a 2 ……. (2) 2 (1) + (2) : 2 x + 2 y + 2 p + 2q = 14 π a 2 + 14 π b 2 2x + 2 y + A =
(
1 4
π ( a 2 + b2 )
)
2 x + 2 y = 14 π a 2 + b 2 − A Luas lingkaran = Luas persegi + 2x + 2y 1 π a 2 + b 2 = Luas persegi + 14 π a 2 + b 2 − A 4 Luas persegi = A
(
)
279.
(
)
A
P
Q
B
C T
Lingkaran besar merupakan lingkaran luar segitiga sama sisi ABC. Lingkaran kecil menyinggung sisi AB dan AC di titik P dan Q dan menyinggung lingkaran besar di T. Jika BC = 12 cm, tentukan panjang PQ ! Jawab :
P
A
Q
B
C
T R T S Misal R jari-jari lingkaran luar, maka : BC 12 = 2R ⇒ 2R = ⇔ R= 4 3 sin A sin 60 AT = 2 R = 8 3 AT 8 3 ⇒ RT = = 8 RT 3 AP = RT = 8
tan 60 =
PQ = AP ⇒ PQ = RT = 8 cm AP = RT
280. x 10
5
15
Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran saling bersinggungan yang berjari-jari 10 cm, 5 cm dan x cm. Tentukan x ! Jawab : x
x
10 15-x 5
5
5
5
(15 − x ) 2= ( x + 5) 2 + 102 − 2 ( x + 5).10 cosα ( x + 5) cosα = 2 x − 5 ....(1) (10 + x ) 2 = ( x + 5) 2 + 152 − 2 ( x + 5).15 cosα 3 ( x + 5) cosα = − x + 15 ....(2) Substitusi (1) ke (2) : 3 ( 2 x − 5) = − x + 15 ⇔ x =
30 7
281. Buktikan pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku a dan b serta sisi miring c berlaku c 2 = a 2 + b2 Jawab :
D a
b
R
c
a
C
c
b Q
S b
c A
a
P
C
a
b
B
Luas ABCD = 4 Luas APS + Luas PQRS ( a + b ) 2 = 4. 12 ab + c 2 ⇔ a 2 + b 2 = c 2 282. Jika panjang sisi-sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC adalah a, b, c dan 2s = a + b + c. Buktikan bahwa luas daerah segitiga ABC adalah L = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) Jawab :
C
B
A
t
a
x
c–x
B
t 2 = b 2 − x 2 .......(1) t 2 = a2 − ( c − x) 2 t 2 = a 2 − c 2 + 2cx − x 2 .......(2) Dari (1) dan (2) : b 2 − x 2 = a 2 − c 2 + 2cx − x 2 ⇔ x =
b2 + c2 − a2 2c
......(3)
Substitusi (3) ke (1) : b2 + c2 − a2 2 t 2 = b 2 − 2 c 2 2 2 b + c − a b2 + c2 − a2 b + t 2 = b − 2c 2c 2bc − b 2 − c 2 + a 2 2bc + b 2 + c 2 − a 2 t 2 = 2c 2c
a 2 − ( b − c ) 2 ( b + c ) 2− a 2 t 2 = 2 c 2 c ( a − b + c) ( a + b − c) ( b + c − a) ( b + c + a) t2 = 4c 2 ( 2s − 2b ) ( 2s − 2c ) ( 2s − 2a ) ( 2s ) t2 = 4c 2 2 t= s ( s − a ) ( s − b) ( s − c) c 2 L = 12 ct = 12 c. s ( s − a ) ( s − b) ( s − c ) c L = s ( s − a ) ( s − b) ( s − c) 283. Segitiga ABC siku-siku di C. Titik P dan Q terletak pada AB sedemikian sehingga AB terbagi menjadi tiga bagian yang sama. Buktikan bahwa CP 2 + PQ 2 + QC 2 = 23 AB 2 Jawab :
B Q P
C
A
CP 2 = CA2 + AP 2 − 2CA. AP cos A CA 2 CP 2 = CA2 + ( 13 AB ) − 2CA. 13 AB. AB 2 2 2 1 1 CP = 3 CA + 9 AB .....(1) QC 2 = CA2 + AQ 2 − 2CA. AQ cos A CA 2 QC 2 = CA2 + ( 23 AB ) − 2CA. 23 AB. AB 2 2 2 1 4 QC = − 3 CA + 5 AB ......(2) PQ 2 =
1 9
AB 2 ......(3)
Dari (1), (2) dan (3) : CP 2 + PQ 2 + QC 2 =
1 3
CA2 +
1 9
AB 2 +
1 9
AB 2 + (− 13 CA2 +
4 5
AB 2 ) =
2 3
AB 2
284.
γ
z C
β x
a B
c
b A
α y
Buktikan bahwa jumlah luas bujur sangkar yang di luar sama dengan tiga kali jumlah luas bujur sangkar yang di dalam ! Jawab :
b2 + c 2 − a 2 2bc 2 a + c 2 − b2 2 2 2 b = a + c − 2ac cos β ⇔ cos β = 2ac 2 a + b2 − c 2 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ ⇔ cos γ = 2ab 2 2 2 x = a + c − 2ac cos 180 − β a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosα ⇔ cosα =
(
)
= a + c + 2ac cos β 2
2
= a 2 + c 2 + 2ac
a2 + c2 − b2 2ac
= 2a 2 + 2c 2 − b 2
(
y 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos 180 − α
)
= b + c + 2bc cosα 2
2
b2 + c2 − a 2 = b + c + 2bc 2bc 2 2 2 = 2b + 2c − a 2
2
(
z 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos 180 − γ
)
= a 2 + b 2 + 2ab cos γ a2 + b2 − c2 = a + b + 2ab 2ab 2 2 2 = 2a + 2b − c 2
2
x 2 + y 2 + z 2 = 2a 2 + 2c 2 − b 2 + 2b 2 + 2c 2 − a 2 + 2a 2 + 2b 2 − c 2
(
x2 + y 2 + z 2 = 3 a2 + b2 + c2
)
285. Jika sebuah garis transversal memotong sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC di titikBD CE AF . . = − 1 (Teorema Menelaos) titik D, E dan F, maka buktikan DC EA FB Jawab : C E D A
P B
F
∆ BDP ~ ∆ CDE BD BP BD EC = ⇔ . = 1 ....(1) DC EC DC BP ∆ AFE ~ ∆ BFP AF AE AF BP = ⇔ . = 1 ....(2) BF BP BF AE BD EC AF BP BD CE AF (1) x (2) ⇒ . . . = 1⇒ . . = −1 DC BP BF AE DC EA FB
Catatan : - Transversal sisi : sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga - Transversal sudut : sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga
286. Sebuah garis transversal memotong sisi-sisi AB, BC, CD, DA dari segi empat ABCD di P, Q, AP BQ CR DS . . . =1 R dan S. Buktikan bahwa PB QC RD SA Jawab :
A D S
R B
Q
x
C
P AP BQ Cx . . = − 1 ....(1) PB QC xA Cx AS DR Cx DS CR . . = −1⇔ = − . .....( 2) Pada segitiga ACD berlaku : xA SD RC xA SA RD Substitusi (2) ke (1) : AP BQ DS CR AP BQ DS CR . . . . . =1 − = −1⇔ PB QC SA RD PB QC SA RD Menurut teoreme Menelaos pada segitiga ABC berlaku :
287. Jika titik-titik D, E , F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P, maka buktikan bahwa BD CE AF . . =1 DC EA FB Jawab : D
E P A
F
B
Pada segitiga ABE berlaku : AF BP EC . . = − 1 ....(1) FB PE CA Pada segitiga BCE berlaku : BD CA EP BP . . = −1⇔ = − DC AE PB PE Substitusi (2) ke (1) : AF BD CA EC . − . = −1⇔ . FB DC AE CA
BD CA . DC AE
....(2)
BD CE AF . . =1 DC EA FB
Jadi jika titik-titik D, E, F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB sedemikian sehingga BD CE AF . . = 1 maka garis-garis AD, BE dan CF konkuren. DC EA FB
288. Buktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga konkuren ! Jawab :
C S
P
A
B
T Misal garis-garis baginya AP, BQ dan CR. ∆ ATP ~ ∆ ASP ⇒ PT = PS BP L∆ PAB = = PC L∆ PAC
1 2 1 2
c.PT c = b.PS b
Dengan cara yang sama akan didapat :
CQ a AR b = dan = QA c RB a
Sehingga : BP CQ AR c a b . . = . . =1 PC QA RB b c a Berarti AP, BQ dan CR konkuren 289. Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB di D, E dan F.Buktikan bahwa AD, BE dan CF konkuren ! Jawab :
C
E
D
A
F
B
AE = AF , BD = BF , CD = CE BD CE AF BF CE AF . . = . . DC EA FB CE AF FB BD CE AF . . =1 DC EA FB Jadi AD, BE dan CF konkuren. 290. Pada lingkaran, buktikan sudut keliling = sama ! Jawab : A x y
C
O B
∠ OCA = x ⇒ ∠ COA = 180 − 2 x ∠ OCB = y ⇒ ∠ COB = 180 − 2 y ∠ COA + ∠ COB + ∠ AOB = 360 180 − + 180 − 2 y + ∠ AOB = 360 x+ y =
1 2
∠ ACB =
∠ AOB 1 2
∠ AOB
1 2
sudut pusat yang menghadap busur yang
291. 45 O X
50
Tentukan x ! Jawab : 45 = 12 x + 50 ⇔ x = 40
(
)
292. Diketahui segitiga ABC, AD adalah garis tinggi dan AE diameter lingkaran luar. Buktikan bahwa AB.AC = AD.AE Jawab :
A C D B
O E
∠ ABD = ∠ AEC ∠ ADB = ∠ ACE = 90 ⇒ ∆ BDA ~ ∆ ECA AB DA = ⇔ AB. AC = AD. AE AE AC 293.
Setengah lingkaran besar berjari-jari 20 cm. Dua buah setengah lingkaran di dalam berjari-jari 10 cm. Lingkaran kecil menyinggung lingkaran-lingkaran lainnya. Tentukan panjang jari-jari lingkaran kecil !
Jawab : R
20 - R R 10
(10 + R ) 2= ( 20 − R ) 2 + 102 ⇔ 294.
R=
20 3
P
Q R
Tiga lingkaran dengan pusat P, Q dan R jari-jarinya berturut-turut 4 cm, 1 cm dan k cm. Ketiga lingkaran bersinggungan. Tentukan k ! Jawab :
P F 4-k D
Q 1-k E R B
A
C
Pada ∆ DRP DR 2 = ( 4 + k ) 2 − ( 4 − k ) 2 = 16k ⇒ DR = 4 k Pada ∆ ERQ RE 2 = (1 + k ) 2 − (1 − k ) 2 = 4k ⇒ RE = 2 k Pada ∆ QFP FQ 2 = 52 − 32 ⇒ FQ = 4 = AC AB + BC = PR + RE = 4 k + 2 k = 4 ⇔
k =
2 4 ⇒ k= 3 9
295.
Tujuh buah pipa dengan diameter 2 cm disusun seperti gambar dan diikat dengan tali. Tentukan panjang tali ! Jawab : l b l = 2 cm 60 2π R = 16 .2π .1 = 13 π cm b= 360 Panjang tali = 6l + 6b = 6.2 cm + 6. 13 π cm = (12 + 2π ) cm
296. Dalam gambar di bawah, sudut θ = mempunyai luas yang sama !
θ
π . Tunjukkan bahwa kedua daerah yang diarsir
D
E A
1 4
B
C
Jawab : Misal jari-jari lingkaran besar adalah R. Luas I = Luas juring BAE – Luas segitiga BAE 90 2 π ( 12 R ) − 12 ( 12 R )( 12 R ) = 161 π R 2 − 18 R 2 ………….. (1) = 360 Luas II = Luas juring ACD – Luas juring BCE – Luas segitiga BAE 1 π 90 2 = 4 .π R 2 − .π ( 12 R ) − 12 ( 12 R )( 12 R ) = 161 π R 2 − 18 R 2 ……… (2) 2π 360 Jadi Luas I = Luas II
297.
C
II y
I x
A
P
B
Setiap sisi dari segitiga ABC merupakan diameter dari masing-masing setengah lingkaran. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga ! Jawab : ∠ ACB = 90 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 Misal luas tembereng PAC = x dan PBC = y Luas daerah yang diarsir = Luas I + Luas II 2 2 = 12 π ( 12 b ) − x + 12 π ( 12 a ) − y
{
(
)
} {
}
= 18 π a 2 + b 2 − ( x + y ) = 18 π c 2 − ( x + y ) = = Luas segitiga ABC.
1 2
π
( 12 c ) 2 − ( x +
y)
298. ABCD adalah persegi dengan sisi 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C dan D terlihat seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas daerah yang diarsir ! D
C
P x y
y
x
x y y
x A B Jawab : Segitiga APB adalah segitiga sama sisi. Luas juring APD = x + y + luas tembereng AP x + y = Luas juring APD – luas tembereng AP
30 .π .12 − ( L. juring BAP − L.∆ BAP ) 360 1 60 = π − .π .12 − 12 .1.1.sin 60 12 360 =
=
3−
1 4
1 12
π
Luas = Luas ABCD – 4 (x + y) = 1 − 4 a+ b ≥ 2
299. Buktikan Jawab :
(
)
ab ≥
1 a
2 +
( AM
1 b
(
1 4
b
2
1 12
) (
π = 1−
)
3 + 13 π m 2
≥ GM ≥ HM )
a+ b ≥ ab ........(1) 2 Persamaan (1) dibagi ab maka : 1 + 1a 1 2 b ≥ ⇔ ab ≥ 1 1 …… (2) 2 + b ab a a+ b ≥ ab ≥ Dari (1) dan (2) didapat : 2 a−
3−
≥ 0⇔
1 a
2 +
1 b
( AM
≥ GM ≥ HM )
Secara lengkap dapat ditulis : a1 + a2 + ..... + an ≥ n
n
a1.a2 ......an ≥
1 a1
+
1 a2
n + .... +
1 an
300. Untuk p, q, r > 0 dan p+q+r = 1, buktikan bahwa Jawab : p+ q+ r ≥ 3
3 1 p
+
1 q
+
1 r
⇔
1 ≥ 3
3 1 p
+
1 q
+
1 r
⇔
1 1 1 + + ≥ 9 p q r
1 1 1 + + ≥ 9 p q r
