VEKTOR
Bab 20
a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA
a
; OB
b
maka O A
AB O B AB O B O A AB
u
a b
c
dan v
maka u
d
b
v
a
a
c
a
c
b
d
b
d
Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab :
Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½
b. Panjang Vektor Misal u
u
a
2
a b
b
, maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus
2
Untuk A ( x1 , y1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka panjang vector AB : AB
( x2
x1 )
2
( y2
y1 )
2
Misal vector u = li + mj + nk atau Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan
Contoh : Diketahui Tentukan Vektor satuan v Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 134
Jawab : Vektor satuan v adalah
c. Perkalian vector dengan scalar. a. Secara geometris. Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k ditulis sebagai c k u . Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u - Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u - Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u b. Secara Non Geometris Jika k
a
R dan u
maka k u
b
k
a
ka
b
kb
Contoh : 3
Jika a
1
,b
2
dan c=
0
-5
, Tentukan panjang u = a + b - c
4
Jawab : u=a+b–c = u
3
1
2
9
-
0
2
( 6)
-5
9
4 2
6
117
3 13
d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan a
i) Jika u
b
ii) Jika u
a b
c
dan v
d c
dan v
d
, maka u
v
, maka u v
a
c
b
d
a
c
b
d
u
v
(a
c)
2
(b
d)
2
u
v
(a
c)
2
(b
d)
2
iii) v
u
v
u
v
u
u
v
u
u2
v v
2
uu iv)
u-v -
v
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 135
2
2 u v cos 2
v
2 u v cos
e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Arah suatu vector hasil penjumlahan. u
v
v
u
u
v
u
sin
u
v
sin(
v )
sin
Arah suatu vector hasil pengurangan u
v
u
sin
sin(
v )
sin
Contoh : Diketahui vector a dan b adalah ….
, maka besar sudut antara
f. Rumus Pembagian Ruas Garis Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga AP : PB = m : n, maka : B
P
OP
nO A m
A
mOB n
p
na m
mb n
n
m
Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka : OP
1
(O A
OB)
p
2
1
(a
b)
2
Jika A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x p , y p ) terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m : n, maka : xp
nx1 m
m x2 n
dan y p
ny1 m
m y2 n
Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 136
xp
1 (x 2 1
1 (y 2 1
x 2 ) dan y p
y2
Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : n dengan m > 0 dan n > 0 Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : - n dengan m > 0 dan n > 0 B P A
-
n
m g. Perkalian vector a .b
= a1 .b1 Jika
cos
a b . cos
a b
a 2 .b2
0
90 ( a
a 3 .b3
b)
a .b
lancip maka a.b
0
0
tumpul maka a.b
0
h. Proyeksi Vektor
a
c b
Vektor c hasil proyeksi a pada b Proyeksi scalar c
Proyeksi vector c
a .b
a .b b
a .b b
2
.b
Hubungan antar Vektor : a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 137
,
(a , b )
Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar / bilangan real b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang ) dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian sehingga w = mu + nv
SOAL LATIHAN : 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d.450 e.300 2. Diketahui a 2, b 9, a b 5 . Besar sudut antara vector a dan vector b adalah …. a. 450
b.600
3. Besar sudut antara a
c.1200 3
2
2 dan b
3
4
a. 180° 4. Jika a 2 , b a. 5 5. Diketahui a a.
adalah ….
b.90° c.60° d.30° 3 , dan sudut ( a , b ) = 120°, maka 3 a 2 b 3, b
1, a
e.0° ....
c.10 d.12 e.13 b 1 . Panjang vector a + b = ….
b. 5
6. Diketahui a
e.1500
3
b.6
3
d.13500
c. 7
d.2 2
e.3
6 , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a.
b.
6
c.
4
d.
3
e.
2
2 3
7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8, 2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah … a. 0 0 b. 30 0 c. 45 0 d. 60 0 e. 90 0 8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB = … a.
1
109
10
9. Jika a b a. 2 7 10. Bila a.
b.
10 11
2i
d.
110
11
b. 2 6
b.
7
1
2 7 dan a.b = 4 maka a
sudut antara a
3
c.
b
1 11
4 k dan q
5
c.
21
6
b.
i
3j
5k
8
d.
21
4
=…
maka cos 5
23
adalah …… c.
3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 138
110
10
d. 2 5 e. 2 2
11. Besar sudut antara vector a.
1
...
c. 2 3 4j
e.
109
d.
2
e.
2 3
e.
38 48
____
12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB ____
pada AC adalah …. a. j k b. i
c. i
k
d. i
j
j
1
k
e.
2
13. Diketaui vector a
3i
4k , b
4j
2i
3 k , dan c
j
1
i
j
2
4i
5 k . Panjang proyeksi
3j
vector ( a b ) pada c adalah …. a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2 14. Diketahui u (2, 1,1), v ( 1,1, 1) Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u dan tegak lurus pada v adalah … a. (0, 0, 1)
2
b. (0,
,
2
2
c. (0,
)
2
2 2
,
2
d. (
)
2
15. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector v
2 1 2 , , ) 3 3 3
2 1
e. ( , , 3 3
2
)
3
2
-1
- 3 terhadap vector u
2
4
-1
,
maka w =…. 1
a.
0
0
-1
b. - 1
c. 1
3
-2
2
16. Diketahui vector a
1
2
x ,b
1
2
2
-2
d. - 4
e. 4
2
-2
, dan proyeksi a pada b adalah
2
. Sudut antara a
6
-1
dan b adalah α, maka cos α = …. 2
a.
b.
3 6
1
c.
3
2
d.
3
2
e.
18. Panjang proyeksi orthogonal vector a adalah
2 3
3
6
17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah itu merupakan hasil kali scalar vector deret geometri tak berhingga tersebut = … a. b. c. 3i
6
dan
, suku pertama deret . Jumlah d. 2
pj
k
, pada vector b
e. 4 3i
2j
pk
. Nilai p = ….
a. 3
b.2
c.
1
d.– 2
3
e.– 3
19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah …. a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0 , 2) 20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5 21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 ____
: 3. Panjang PB = …. a. 15 b.
81
c.
90
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 139
d.
121
e.
153
22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA
dan CB
u
v
,
maka PQ = …. 1
a.
1
b. v - u
v-u
3
1
1
3
6
c. v -
3
1
1
6
3
d. u -
u
1
1
6
3
e. u
v
v
23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13 24. Diketahui vector u 2 i v adalah 4 i 8 j 12 k a. b. d. i
2j
6 k dan v
4j
b. 4 i
4j
e. i
3k
2i
j
2j
4 k . Proyeksi vector orthogonal u pada
c. 2 i
8k
2j
4k
2k
25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan q berturut-turut adalah … a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan 0 26. Jika sudut antara a dan b adalah 60 0 dan a 2 dan b a. 5 b. 7 c. 8 1
27. Jika a
1
1 ,b
e. 10
dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …
4
1
a. –11
d. 9
0
2 ,c
1
5 maka nilai a.(a+b) = …
x
b. –10
c. 8
d. 10
e. 11
28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = … a. 1
1
(a
b.
d)
2 (a
1
(a
c.
d)
2
1
(c
d.
d)
2
1
(c
e.
d)
2
c)
2
29. Jika a a.
1
4, b
0
6 dan sudut antara a dan b adalah 60 , maka nilai a
b. 13
13
2
30. Jika diketahui p
3i
a. 13 31. Jika a
2j
b. 2 3 2, a .b
4
a. 4 2 32. Ditentukan a adalah … a. 1 33. Diketahui vector
k
1
d. 2 19
13
2
dan q
i
3j
5k
, maka ( p
3j
xk
d. –11
c. 2 3
c. 2 2 dan b
i
d. 4j
5k
c. –1
b. 2 dan vector
e. 3 13
q ).( p
1
dan sudut antara a dan b sama dengan b. 3 2
2i
c. 1
b
4
q)
adalah ….
e. –21 , maka b e.
2
1
2
2
. Jika a tegak lurus b , maka nilai x d. –2
e. 0
, jika proyeksi scalar orthogonal vector u
pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah … Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 140
...
a. -4 atau -2
b. -4 atau 2
c. 4 atau -2
d. 8 atau -1
e. -8 atau 1
Soal – soal vector Ujian Nasional Materi Pokok : Sudut antara dua vektor 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d. 450 e. 300 2. Diketahui a
2
, b
9
, a
b
5
. Besar sudut antara vector a dan vector b
adalah …. a. 450 b. 600 c. 1200 d. 13500 e. 1500 3. Besar sudut antara a
3
2
2 dan b
3
4
adalah ….
3
a. 180° b. 90° c. 60° d. 30° e. 0° 4. Jika a
2, b
3 , dan sudut ( a , b
) = 120°, maka 3 a
2b
1 . Panjang vector a
+ b = ….
....
a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 5. Diketahui a
3, b
1, a
b
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 141
a.
3
b.
5
c.
7
d. 2 2 e. 3
6. Diketahui a
6
, ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a. b. c. d. e.
6
4
3
2 2 3
Materi Pokok : Proyeksi vector ____
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB ____
pada AC adalah …. j
k
b. i
k
a.
i
c. d.
i
1
j
k
2 1
e.
j
i
j
2
8. Diketahui vector a vector ( a
3i
b ) pada c
a. 3
2
b. 4
2
c. 5
2
d. 6
2
e. 7
2
4j
4k
,b
2i
adalah ….
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 142
j
3k
, dan c
4i
3j
5k
. Panjang proyeksi
9. Diketahui vector u v
2i
4j
6k
dan v
2i
2j
4k
. Proyeksi vector orthogonal u pada
adalah …. a.
4i
8j
12 k
b.
4i
4j
8k
c.
2i
2j
4k
d.
i
2j
e.
i
j
3k
2k
10. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector v
2
-1
- 3 terhadap vector u
2
4
-1
maka w =…. 1 -1
a.
3 0 -1
b.
-2 0 1
c.
2 2 -4
d.
2 -2 4
e.
-2
11. Diketahui vector a
1
2
x ,b
1
2
, dan proyeksi a pada b adalah
-1
dan b adalah α, maka cos α = …. 2
a.
3 6 1
b.
3 2
c. 3 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 143
2 6
. Sudut antara a
,
2
d.
6 6
e.
3
12. Panjang proyeksi orthogonal vector a 2
adalah
3
3i
pj
k
, pada vector b
3i
2j
pk
. Nilai p = ….
a. 3 b. 2 1
c. 3 d. 2 e. 3 Materi Pokok : Perbandingan garis 13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7 e. 7 : 5 14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 ____
: 3. Panjang PB = …. a.
15
b.
81
c.
90
d.
121
e.
153
15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA maka PQ = …. 1
a. b.
v-u
3 v-
1
u
3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 144
u
dan CB
v
,
1
c.
3 1
d.
v-
u
6 u-
6 1
1
1
v
GOD IS MY SAFIOR
3 u
1
v
3 e. 6 16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….
a. 13
b.11
c.5
d.11
e.13
Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PRQ=……… a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : = Q - R = (3, -3, 0) = P – R = (1, 1, 2) . = 3 – 3 +3 = 0 = 90º = 2. Diketahui = , = , = . Besar sudut antara vektor dan vector adalah …… a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º Jawab : ( + 2 + (2
( + 2.
= +
=5 = -6 =
=
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 145
= 135º 3. Besar sudut antara a. 180º Jawab: Cos =
adalah……
dan
b. 90º
c. 60º
d. 30º
e. 0º
= = = Cos
4. Jika a. 5
=0 = 900 =3, dan sudut ( )= 1200, maka b. 6 c. 10 d. 12
=2,
(
=.... e. 13
(
5. Diketahui a. Jawab:
, b.
c.
panjang vector d.
e. 3
-2 1
= 3+1-2
= 6. Diketahui adalah . . . a. Jawab: 6 – (6 . -6.
( b.
.(
dan c.
( d.
Besar sudut antara vector e.
)=3 = -3 = =
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi Orthogonal pada adalah. . . a. b. c.d. e.Jawab: = B – A = (2, 2, 0)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 146
dan
= C – A = (0, 2, 2) = =
. (0, 2, 2)
= (0, 1, 1) 8. Diketahui vector = 3 Proyeksi vector ( a. b. Jawab: ( = (5 ,-5, -1) = (4, -3, 5)
,
2 c.
.Panjang d.6
e. 7
I I= = =
.
=
=3
9. Diketahui vector pada adalah . . . a. d. Jawab: =
b.
c.
e.
.
=
=
=
.
.
=
.
=2
.
=
10.Jika adalah vector proyeksi orthogonal dari vector ,maka =… a.
b.
d.
= terhadap vector
=
c.
e.
Jawab: . =
. (-1, 2, -1)
= (-1, 2, -1) = (2, -4, 2) 11. diketahui vector
=
, dan proyeksi …..
adalah a, maka a. b. Jawab :
,
c.
d.
e.
= = 2 =x *
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 147
pada
adalah
. Sudut antara
dan
2+2–2= =
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 148
