Inferensia dan Perbandingan Vektor Nilai Tengah

Inferensia dan Perbandingan Vektor Nilai Tengah

Perbandingan Kasus Peubah Tunggal dan Peubah Ganda Peubah Tunggal

Peubah Ganda

Skalar

Vektor nilai tengah

Penduga selang nilai tengah

Selang Kepercayaan

Daerah (elips) Kepercayaan

Pengujian hipoteis nilai tengah satu populasi

Uji t-student

Uji T2-Hotelling

Pengujian beda nilai tengah dua populasi

Uji t-student

Uji T2-Hotelling

Pengujian beda nilai tengah beberapa populasi

ANOVA

MANOVA

Penduga titik parameter nilai tengah

Pengujian Hipotesis: Vektor Nilai Tengah

Bentuk Hipotesis Hipotesis yang diuji dalam pengujian vektor nilai tengah populasi mirip seperti pada kasus univariate, yaitu:

H0:  = 0 vs H1:   0 Dengan,

 10    20 0       ( px1)     p 0 

Statistika uji untuk vektor nilai tengah Statistik uji yang dapat digunakan dalam pengujian vektor nilai tengah populasi adalah (1) T2-Hotelling dan (2) Wilk-lambda.

1. T2-Hotelling, sebagai berikut: 1 1  2 T  X   0 '  S  X   0  n X   0 ' S 1 X   0 n  Dengan,







 

n

1 X  X (px1 ) n j 1

j

 



1 n  S  X j  X X j  X '  ( pxp) n  1 j 1

2. Uji Wilk-Lambda, sering juga disebut uji rasio kemungkinan (likelihood ratio test) max L(  0 , )      max L(  , )   ,  dengan, L (  , ) 

ˆ    ˆ 0   

L (  0 , ) 

n/2

e  np / 2

1

2 np / 2 ˆ 0

Hubungan Hotelling dengan Wilk - Lambda, 2/n

1

2 np / 2 ˆ

n/2

n/2

e  np / 2

 T2    1  n  1  

1

Daerah Penolakan H0 Daerah penolakan untuk hipotesis nol dapat dihampiri dengan menggunakan sebaran F, sebagai berikut:





1  T  X   0 ' S  n  2

1

 n  1 p X   0   n  p Fp,n p  

Untuk ukuran sampel besar maka T2-Hotelling dapat juga dihampiri dengan sebaran khikuadrat berderajat bebas p.

Makna Penolakan H0 • Jika hipotesis nol ditolak itu artinya bahwa paling sedikit ada satu kombinasi linier peubah yang rata-ratanya berada diluar selang kepercayaan (1-). • Perlu uji lanjut, yaitu: – Daerah kepercayaan ganda, dapat disajikan dalam bentuk Ellips. – Selang kepercayaan simultan – Selang kepercayaan Bonferoni

ILUSTRASI Perspirasi dari 20 wanita yang tergolong sehat dianalisa. Tiga komponen, yaitu X1 = laju perspirasi, X2 = kandungan sodium dan X3 = kandungan potasium diukur Ujilah apakah hipotesis H0: ’ = [4, 50, 10] lawan H1: ’  [4, 50, 10] pada taraf nyata  = 0.10

Ringkasan Data  4.640  x  45.400   9.965 

S 1

 2.879 10.010  1.810  S   10.010 199 .788  5.640   1.810  5.640 3.628 

 .586  .022 .258    .022 .006  .002   .258  .002 .402 

Perhitungan T2-Hotelling  .586  .022 .258   4.640  4  T 2  204.640  4 45.400  50 9.965  10'  .022 .006  .002  45.400  50   9.74  .258  .002 .402   9.965  10 

n  1 p F .10   193 F .10   3.3532.44   8.18 p,n  p 3,17 n  p  17 Terlihat bahwa T2 = 9.74 > 8.18, sehingga konsekuensinya kita tolak H0 pada taraf nyata 10%.

Daerah (ellips) Kepercayaan bagi Vektor Nilai Tengah

Daerah (ellips) Kepercayaan Suatu daerah kepercayaan 100(1-)% bagi nilai tengah suatu sebaran normal ganda p adalah suatu elips yang ditentukan oleh semua  sedemikian rupa sehingga nX   ' S

1

 n  1 p X     n  p  Fp,n p  

di mana 1 n X  X (px1 ) n j 1

j

1 n X j  X X j  X ' S   ( pxp) n  1 j 1

dan x1, x2, ..., xn adalah pengamatan contoh.

ILUSTRASI .0144 .0117  1  203 .018  163 .391 .564  X  S S     . 0117 . 0146 . 603  163 . 391 200 . 228      

ellips kepercayaan 95% bagi  terdiri dari semua nilai (1, 2) yang memenuhi 42.564  1

 203 .018  163 .391 .564  1  241 .603   2   F2, 40 .05    40  163 .391 200 .228  .603   2 

Mencari Akar dan Vektor Ciri Pasangan akar ciri dan vektor ciri bagi S adalah 1 = .026 e1’ = [.704, .710] 2 = .002 e2’ = [-.710, .704] Pusat ellips tersebut pada titik [.564, .603]

Hitung Panjang Sumbu setengah dari panjang sumbu mayor dan minornya masing-masing adalah: 1

pn  1 Fp ,n p    .026 nn  p 

241 3.23  .064 4240

2

pn  1 Fp ,n  p    .002 nn  p 

241 3.23  .018 4240

Sumbu-sumbu tersebut teletak sepanjang e1’ = [.704, .710] dan e2’ = [-.710, .704]

Menggambar Ellips Kepercayaan Menggambar Elips Kepercayaan 2 0.65

0.60

0.55 0.55

0.60

1

Pengujian Hipotesis: Perbandingan Vektor Nilai Tengah

Kasus Dua Sample Saling Bebas – Setiap populasi diambil sampel acak berukuran tertentu (bisa sama, bisa juga tidak sama) – Pengambilan kedua sampel saling bebas – Tujuannya adalah menguji apakah parameter 1 sama dengan parameter 2

1 ??? 2

Populasi I X~N(1,12)

Populasi II X~N(2,22)

Acak dan saling bebas

Sampel I (n1)

Sampel II (n2)

Deskripsi masing-masing sampel Multivariate: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Misal: vektor peubah acak untuk sampel 1 adalah x1’=(x11, x12,…,x1p) dan vektor peubah acak sampel 2 adalah x2’=(x21, x22,…,x2p) n1

1 n1 x1 j  x1 x1 j  x1 ' S1   n1  1 j 1

n1

1 n1 x 2 j  x2 x 2 j  x2 ' S2   n2  1 j 1

1 x1   x1 j n1 j 1 1 x2  n2

x j 1

2j

Langkah Pengujiannya Bentuk Hipotesis: H0:

 1 =  2 vs H1:  1   2.

Statistik uji: a. Ragam sama  1 1   T  x1  x 2 '    S gab   n1 n2   2

S gab

1

x1  x 2 

 n1  1S1  n2  1S 2  n1  n2  2

2 2 Daerah penolakan H0: T  c 

n1  n2  2 p

n1  n2  p  1

Fp ,n1 n 2 p 1  

Statistik uji: a. Ragam tidak sama (Gunakan matriks kovarian masingmasing sample

 S1 S 2  T  x1  x 2 '     n1 n2  2

Daerah penolakan H0:

T c  2

2

2 ( , p )

1

x1  x 2 

Ilustrasi Misal: x1=lebar badan kura-kura; x2=panjang badan kura-kura 102.583 Sampel 1: 171.732 101.844 xJ   SJ     52.042   (n1=24) 101.844 64.737   Sampel 2: 88.292 50.042 21.654 x  (n2=24) B 40.708 S B      21.654 11.259 Hipotesis : H0 :  J   B H1 :  J   B

• Kasus ragam sama  |  1 1 2 T  x1  x 2    S gab   n1 n2  



S gab



n  1S1  n2  1S2  1 n1  n2  2

14.292 x1  x 2    11.333

1

x  x  1

2

110.887 61.749 S gab     61.749 37.998

 0.095 - 0.154 1 S gab    - 0.154 0.277 

1  0.0945 - 0.154  14.292  24  1 T 2  14.292 11.333     4 . 995 x   2  24 24  - 0.154 0.277  11.333 

• Tolak Ho, jika T 2  c2 

n1  n2  2 p

n1  n2  p  1

Fp ,n1  n2  p 1 .01 

46 2 2.44   4.988 45

• Kasus ragam tidak sama





S S  T 2  x1  x 2 '  1  2   n1 n2 

1

x  x  1

2

1

57.197 25.898 14.292 T 2  14.292 11.333    25.898 13.956 11.333

 0.109 - 0.203 14.292 T  14.292 11.333  14.170    - 0.203 0.448  11.333 2

• Tolak Ho, jika T 2   2( 0.05; 2 )  5.99