Z H ~Z P Z H. oblast ticha Z S =-Z H Z S Z P S 0. a) b) c)

Aktivn metody v akustice Ondej Jiek letn semestr 2000/2001

Dotazy a pipomnky na adresu [email protected]

Aktivn zen zvuku - Interference vln

tlum 20 dB ) #  4 7

tlum 30 dB ) #  2 8 Huygensv princip - M. J. M. Jessel 1966 ZH

ZH~ZP

oblast ticha ZS=-ZH ZS

ZP

a)

S0

S0

b)

ZP

S0

c)

H. Olson 50-t lta - lokln tlumie c Ondej 

Jiek, 2001

1

Oblasti aktivnho zen zvuku Jednorozmrn zvukov pole - zvukuvody, potrub Mal uzaven prostory - globln zen - potla ovn m d Velk prostory, voln pole - lokln zen (sniovn hluku) - globln zen - akustick vazba Aktivn zen vibrac - Zmny  innosti vyzaovn akustick energie

Hlavn aplikace Potrub - tlumi e Tlumen hluku ventiltor Tlumen hluku transformtor Pevodovky Aktivn protihlukov bariry Aktivn absorbry Vnin hluk automobil Vnitn hluk letadel a vrtulnk Aktivn chrni e sluchu Tlumen kmitn (budovy, nosn konstrukce ...)

Aktivn metody 1. Vhody  inn na nzkch frekvencch Mal rozmry 2. Nevhody Nutn drba Cena za pozen a provoz Nevhodn pro vysok frekvence Jen pro nkter typy zdroj c Ondej 

Jiek, 2001

2

Pasivn metody 1. Vhody Pi vhodn konstrukci velmi trvanliv Obvykle nevyaduje drbu Velk vbr materil a variant 2. Nevhody Mal  innost na nzkch frekvencch Prostorov nro n  innost je omezena fyziklnmi vlastnostmi pouitch materil Hygienick problmy

Fyzikln princip ANC v potrub

Jednorozmrn vlny v potrub bez proudn ! @ 2 ; c2 @ 2 p = 0 @t2 0 @x2

p(x t) = Aei(!t;kx) + Bei(!t+kx)  k = !=c0 S proudnm o rychlosti U D=Dt = @=@t + U @=@x ! D2 ; c2 @ 2 p = 0 Dt2 0 @x2

p(x t) = Aei(!t;!x=(c0 +U )) + Bei(!t+!x=(c0 ;U )) : Proudn lze obvykle zanedbat

Podmnka pro jednorozmrn vlny v potrub

 > 1 7d resp.  > 2h c Ondej 

Jiek, 2001

3

q(t) = Aei!t v+ = 2qS  v; = ; 2qS  v(x) = 2qS e;ikjxj @p = ; @v  p =  c v p(x) = 0 c0 qe;ikjxj 0 o 0 @x @t 2S pp(x) = 20Sc0 qpe;ikjxj ps(x) = 20Sc0 qse;ikjx;Lj p(x) = pp(x) + ps(x) p(x) = 0 pro x > L 0 c0 q e;ikx + 0c0 q e;ik(x;L) = 0 2S p 2S s

qs = ;qpe;ikL

)





p(x) = 20Sc0 qpe;ikL eik(L;x) ; e;ik(L;x)  0 < x < L 



p(x) = 20Sc0 qpeikx 1 ; e;i2kL  x < 0 kL = n

c Ondej 

Jiek, 2001

,

L = n=2

)

p(x) = 0 x < 0 4

p(x) = 20Sc0 qpe;ikx + 20Sc0 qs1e;ik(x;L) + 20Sc0 qs2 e;ik(x;(L+d)) x > L + d ;ikL qs1 = ;qs2 e;ikd qs2 = ;qp 2iesin kd

pp(x) = 20Sc0 qpe;ikx(1 + R) h



i

p(x) = 20Sc0 qp(1 + R) + qs eikL + Re;ikL e;ikx x > L h



i

p(x) = 20Sc0 qp(1 + R)e;ikx + qs e;ik(L;x) + Re;ik(L+x)  0 < x < L qs = ;qp eikL 1++ReR;ikL R = 1 qs = ; cos(qpkL) f = c0(24nL+ 1)  n = 0 1 2 : : :

c Ondej 

Jiek, 2001

)

qs ! 1

5

1 Strategie sniovn hluku enho potrubm V pedchzejc kapitole byla shrnuta nkter uspodn zdroj zvuku ve zvukovodu konstantnho prezu. Pro kadou variantu jsme odvodili poadavek na objemovou rychlost sekundrnho zdroje a tm i na akustick tlak sekundrnm zdrojem zpsoben. V tto kapitole budou prodiskutovny strategie, pomoc kterch se zskv signl pro sekundrn zdroj. Vechny vahy vychzej z poteb systm pro potla ovn hluku v potrubch a zvukovodech pod mezn frekvenc, avak vtina princip m ir platnost. Strategie, kter vedou k potla en zvuku (obvykle hluku) v njak oblasti potrub, meme rozdlit do dvou zkladnch skupin podle toho, odkud se bere signl, kter je po zpracovn piveden k sekundrnmu zdroji. Tyto strategie budeme pedevm pro nejednozna nost pekladu nazvat jejich anglickmi nzvy. V rmci odvozen a vah v tto kapitole budeme pedpokldat, e jednotliv prvky systmu (dic len, mni e, akustick st) jsou linern a plat tedy princip superpozice.

1.1 Feedforward\ strategie

Tuto strategii pouil u Paul Lueg ve svm patentu v roce 1936 a jej schma je znzornno na obr. 1. Referen n signl x(t), kter pin informaci o hluku, je piveden do dicho lenu, kde je upraven tak, aby objemov rychlost dodvan sekundrnm zdrojem do zvukovodu odpovdala poadavkm odvozenm v pedchoz kapitole. Chybov mikrofon snm vsledn zvukov pole a obvykle poskytuje potebn signl pro nastaven dicho lenu.

Figure 1: Jednoduch !feedforward\ systm.

1.1.1 Referenn signl Z obrzku 1 nen zejm, jakm zpsobem je zskvn referen n signl. Na tom vak zvis jak nhradn schma celho elektroakustickho systmu, tak dal postup, a proto se tm zabvejme podrobnji. c Ondej 

Jiek, 2001

6

Optimln referen n signl nen nijak ovlivnn dalm fungovnm systmu a pedstavme si jej nap. jako signl zskan na svorkch reproduktoru, kter je primrnm zdrojem zvuku. Tato varianta se zd bt vhodn snad pouze pro experimenty s aktivnm sniovnm zvuku, avak Conover, kter ji v roce 1956 experimentoval s aktivnm potla ovnm hluku transformtor, ji spn pouil v praxi, nebo# hluk transformtor m charakteristick t nov sloky dan nsobky s#ov frekvence. Jednotliv t nov sloky nebylo obtn analogov separovat a pak kadou zvl# pati n fzov oto it a zeslit $7, 9]. Druhm pkladem me bt potla ovn frekven nch sloek harmonickch k frekvenci ot ek njakho stroje. Tyto ot ky je mono snmat opticky a dle zpracovvat jako elektrick signl, kter ji nen ovlivnn dalm dnm v systmu (nap. zvukem pochzejcm od sekundrnho zdroje). Tento zpsob byl spn pouit nap. pro potla ovn hluku ventiltor $17, 27, 29]. Je-li systm mono schmaticky znzornit pomoc obr. 1 a referen n signl je nezvisl, pak systm lze znzornit nhradnm schmatem podle obr. 2. Frekven n odezva chybov cesty C (i!) je de&novna jako ! E ( ! )  (1) C (i!) = Y (!) D=0

tj. za pedpokladu, e signl D(!) je nulov. Zahrnuje v sob frekven n odezvu A/D a D/A pevodnk, analogovch <r, elektroakustickch mni  a akustick cesty od sekundrnho zdroje k chybovmu mikrofonu. Frekven n odezva primrn cesty P (i!) v sob zahrnuje penos mezi referen nm signlem a akustickm signlem vyzenm primrnm zdrojem, akustickou cestu a frekven n odezvu chybovho mikrofonu a jeho analogovch st. Velk psmena zde zna  Fourierovy obrazy odpovdajcch asovch prbh.

Figure 2: Nhradn schma jednoduchho !feedforward\ systmu. Signl pichzejc z chybovho mikrofonu (nebo jinho senzoru) je pak dn vztahem E (!) = D(!) + G(i!)C (i!)X (!): Uvme-li, e plat D(!) = P (i!)S (!) a pro systm bez umu tak X (!) = S (!) pak chybov signl je dn vztahem E (!) = $P (i!) + G(i!)C (i!)]S (!): c Ondej 

Jiek, 2001

(2) (3) (4) (5) 7

Z poadavku nulovho chybovho signlu E (!) = 0, kter odpovd potla en zvuku v mst chybovho snma e, snadno odvodme poadavek na frekven n odezvu dicho lenu (6) G(i!) = ; PC (i(i!!)) :

1.1.2 Zptn vazba

V pedchozm odstavci jsme pedpokldali, e mme k dispozici referen n signl x(t), kter je korelovan s primrnm zdrojem a jinak je zcela nezvisl na fungovn systmu. Takovto signl je a na nkter ji zmnn a jim podobn ppady nedostupn1 . Referen n signl je snmn mni em (nej astji mikrofonem), umstnm v blzkosti primrnho zdroje. Takov systm je znzornn na obr. 3.

Figure 3: !Feedforward\ systm, kter zkv referen n signl pomoc mikrofonu Hlavnm rozdlem proti systmu uvaovanmu v minulm odstavci je skute nost, e referen n mikrofon nesnm jen signl z primrnho zdroje, ale tak signl ze sekundrnho zdroje. Je zde tedy zptn vazba charakterizovan frekven n odezvou F (i!), kter me mt na fungovn systmu negativn dopad. Nhradn schma odpovdajc takovmu systmu je znzornno na obr. 4.2 V tomto schmatu je oproti jednodu variant zobrazen na obr. 2 znzornn krom zptn vazby od sekundrnho zdroje k referen nmu mikrofonu tak vliv umu na obou snma ch. Signl pivdn referen nm mirofonem do dicho lenu je popsn vztahem X (!) = S (!) + F (i!)Y (!) + N1(!) (7) Zajmavou variantou zsk v n nez visl ho irokop smov ho referennho sign lu vynael Dines, kter zjistil, e uktuace intenzity svtla plamene ho ku vhodn vlnov d lky jsou korelovan s akustick m tlakem generovan m tmto plamenem 7]. 2 Zptn vazba je v tomto sch matu pipojena ped penosovou funkc C , kter charakterizuje penos od v stupu dicho lenu k v stupu chybov ho mikrofonu. V nkter literatue je po tek zptn vazby zn zorov n za tmto l nkem. Ve skutenosti je vak nkde uprosted, avak za pedpokladu LTI syst mu jsou v sledky anal zi shodn . 1

c Ondej 

Jiek, 2001

8

Figure 4: Nhradn schma !feedforward\ systmu se zptnou vazbou. kde N1 (!) je um na referen nm snma i. Vstup z chybovho snma e je popsn vztahem E (!) = P (i!)S (!) + C (i!)Y (!) + N2 (!) (8) kde N2 (!) je um na chybovm mikrofonu. Uvaujme nejprve pouze zptnou vazbu. Ve vztazch (7) a (8) tedy chyb umov leny. Dosazenm Y (!) = G(i!)X (!) do tchto vztah zskme (9) X (!) = 1 ; FS(i(!!))G(i!) a odtud " # C (i ! ) G (i ! ) E (!) = S (!) P (i!) + 1 ; F (i!)G(i!) : (10) Poadujeme-li nulov chybov signl, pak frekven n odezva dicho systmu mus bt dna vztahem G(i!) = ; C (i!) ;PP(i(i!!) )F (i!)  (11) kter pi nulov zptn vazb pejde na vztah (6). Stabilita systmu me bt zkoumna pomoc pomru E (!)=S (!), kter snadno zskme z rovnice (10). Odtud vidme, e obte se stabilitou nastanou pro 1 ; F (i!)G(i!) = 0: (12) Pro dal analzu je vhodn zavst zdnliv dic len, do kterho je zahrnut zptnovazebn len a je tedy de&novn vztahem (13) H (i!) = YU ((!!)) = 1 ; GG(i(i!!))F (i!)  kde U (!) = S (!) + N1(!) je zaumn signl na vstupu referen nho snma e. Skute n frekven n odezva dicho lenu je se zdnlivm pak svzna vztahem (14) G(i!) = 1 + FH(i(i!!)H) (i!) :

c Ondej 

Jiek, 2001

9

Vsledkem zaveden zdnlivho dicho lenu je schma shodn se schmatem podle obr. 2 s tm, e na mst <ru G(!) je zdnliv <r H (!). Clem je minimalizovat stedn kvadratickou hodnotu chybovho signlu, kter vak ji vzhledem k umu nemus bt nulov a je reprezentovna vkonovou spektrln hustotou

See(!) = E $E  (!)E (!)]

(15)

kde E $ ] je opertor stedn hodnoty a  zna  komplexn doplnk. Zavedenm vkonovch spektrlnch hustot signlu a umu Sss(!) a Sn1n1 (!) do vztah pro optimln dic len se d dokzat skute nost, e na nastaven takovho dicho lenu m vliv pouze um na referen nm snma i $7, 15]. De&nujeme-li pomr signl/um SNR(!) (z anglickho signal-to-noise ratio) pro referen n signl jako

SNR(!) = SSss(!(!) )  n1 n1

(16)

pak optimln zdnliv dic len bude mt frekven n odezvu dnu vztahem $7] (!) P (i!) : Hopt(i!) = ; 1 +SNR SNR(!) C (i!)

(17)

Tento vztah pi vkonu umu N1 jdoucmu k nule pejde na vztah (6). Frekven n odezvu skute nho dicho lenu pak zskme pomoc vztahu (14). Takto ur en optimln dic len jet nemus jt zkonstruovat, vsledn <r me bt nekauzln. Vpo et vkonovch spektrlnch hustot navc pedpokld stacionrn signly, co je, zejmna pokud potebujeme tlumit obecn umy, dal omezen.

1.2 Feedback\ strategie

Tato strategie je znm z elektrotechniky a pro ANC ji poprv pouili Olson a May (1953) ve svm elektronickm absorbru zvuku, kter byl plnovn pro sniovn hluku v okol hlavy pasara v letadle nebo automobilu. Uvaovali tak jej vyuit v oblasti pracovnho hluku. Dal aplikac, o kter Olson a May uvaovali, bylo sniovn hluku vyzaovanho z vfuku automobilu nebo klimatiza n soustavy. Zde si uvedeme pro ilustraci variantu aktivnho tlumi e v potrub, kter je znzornn na obr. 5. V tomto systmu je dic prvek G nastavovn tak, aby se minimalizovala vkonov spektrln hustota na mikrofonu, kter pln lohu jak chybovho, tak referen nho mikrofonu. Nhradn schma takovhoto systmu je znzornno na obr. 6, kde C je penosov funkce (resp. frekven n odezva) mezi vstupem reproduktoru a vstupem mikrofonu a zahrnuje v sob jak elektroakustick vlastnosti obou mni , tak akustick penos mezi nimi. Cesta od vstupu reproduktoru po vstup mikrofonu se nazv sekundrn nebo chybov cesta (mikrofon pln i funkci chybovho mikrofonu). Chybov signl je pak dn vztahem E (!) = D(!) 1 ; G(i1!)C (i!) : (18) c Ondej 

Jiek, 2001

10

Figure 5: !Feedback\ systm v potrub

Figure 6: Nhradn schma !feedback\ systmu Pedpokldme-li, e primrn signl je nhodn signl s vkonovou spektrln hustotou Sdd (!), vkonov spektrln hustota chybovho signlu bude dna vztahem (19) See(!) = Sdd (!) j1 ; G(i!1)C (i!)j2 : Chceme-li doshnout maximlnho potla en, potebujeme minimln See(!) a tedy maximln hodnotu jmenovatele j1 ; G(i!)C (i!)j2. Pokud by sekundrn cesta mla frekven n odezvu C (i!) bez fzovho posuvu a relativn hladkou, frekven n odezva dicho prvku by byla dna vztahem H (i!) = ;A, tj. vhodn zeslen signl oto en o 180. To lze pomrn snadno realizovat pomoc invertujcho zesilova e. Avak pedevm klasick roproduktory vnej do sekundrn cesty fzov posuv (zejmna v blzkosti jejich rezonan n frekvence) a akustick st sekundrn cesty pidv rostouc fzi s rostouc frekvenc. Frekven n odezva sekundrn cesty proto bude vdy obsahovat fzov posuv. Pibl-li se fzov posuv 180 zporn zptn vazba se zmn na kladnou a systm me bt nestabiln. Tento nedostatek je mono do jist mry kompenzovat pomoc vhodnho kompenza nho <ru. Jak vyplv z pedchozho, systm podle obr. 5 lze pomrn snadno realizovat analogov a dodnes se stavj systmy s analogovou dic jednotkou. Nejznmj dnes u komer n dostupnou realizac jsou aktivn chrni e sluchu a tlumi e hluku v podhlavnku sedadel. Ty dnes dosahuj snen akustickho tlaku o 10-15 dB pro frekvence od 30 do 500 Hz $11]. c Ondej 

Jiek, 2001

11

!Feedback\ strategie pro potla ovn hluku v potrub se dnes pouv nej astji ve form hybridnch absorbr, kter spojuj pasivn tlumi e s aktivnm prvkem. Ty mohou bt na bzi analogovch zptnovazebnch obvod (nap. $18]) nebo digitln. V ppad digitlnho proveden je teba mt na pamti, e penosov funkce C v sob zahrnuje tak penos nezbytnch antialiasingovch <r a pevodnk.

2 Adaptivn dic systm pro ANC V pedchzejc kapitole jsme si uvedli dv zkladn strategie uvan pi aktivnm sniovn hluku (ANC). Ve vech ppadech je snahou zskat optimln dic len, kter se vyzna uje tm, e v mst chybovho mikrofonu je minimln (pokud mono nulov) zvukov pole. U feedback strategie jsme zmnili tak monost analogov realizace systmu. I feedforward strategie pipout analogovou realizaci, avak v dnen dob se dky boulivmu rozvoji digitln techniky a zejmna signlovch procesor vtina dicch len realizuje digitln. Digitln dic len m proti analogovmu adu vhod. Adaptace na zmny systmu probh v signlovm procesoru (DSP) sou asn s <rac a koe&cienty <r lze snadno inovovat. Pesnost vpo t je obvykle vy ne pesnost ostatnho zpracovn a proto nezan do systmu dnou vznamnou chybu. DSP jsou velmi stabiln v porovnn s analogovmi stmi systmu. Nevznamn nen ani prudk pokles ceny procesor v poslednch letech. V digitlnm proveden je dic len digitln <r. Tento text si neklade za cl zabvat se principy digitln <race, a proto si zde uvedeme jen informace dleit pro ANC. Zvislosti na ase t a frekvenci !, se ktermi jsme pracovali v pedchzejcch kapitolch, se zmn v zvislost na diskrtnm ase n (kter obvykle odpovd poad vzorku) a komplexn promnn z vyplvajc z transformace z 3.

2.1 FIR a IIR ltry

Digitln <r, jeho impulsn odezva je nulov po njakm kone nm po tu krok, se nazv ltr s konenou impulsn odezvou. O takovm <ru budeme hovoit jako o FIR <ru (podle anglickho &nite impulse response). Jeho vstup je dn venm sou tem I pedchozch vzork na jeho vstupu IX ;1 y(n) = gix(n ; i) (20) i=0

kde gi jsou koe&cienty <ru, x(n) je vstupn ada vzork, y(n) je vstupn ada vzork a n je diskrtn as. Uve)me si zkladn vlastnosti FIR <r: 1. Pro kone n koe&cienty jsou vdy stabiln. 2. Fzov odezva odpovd prostmu zpodn a kme, e jejich fze je linern. 3. Zmny frekven n odezvy zpsoben malmi zmnami koe&cient jsou mal a snadno predikovateln. V poet frekvenn charakteristiky penosov funkce LTI syst mu zsk me dosazenm z = ei!T , kde T je perioda vzorkov n. 3

c Ondej 

Jiek, 2001

12

Filtr, kter je implementovn na zklad vztahu (20), se v literatue nkdy nazv MA <r (moving average). Digitln <r, jeho impulsn odezva nen nikdy nulov po kone nm po tu krok, se nazv ltr s nekonenou impulsn odezvou. O takovm <ru budeme hovoit jako o IIR <ru (podle anglickho in&nite impulse response). Jeho vstup je dn venm sou tem I pedchozch vzork na jeho vstupu a poslednch K vzork na jeho vstupu

y(n) =

IX ;1 i=0

gix(n ; i) +

K X k=1

bk y(n ; k)

(21)

kde prvn suma je shodn s pedpisem pro FIR <r a bk jsou koe&cienty rekurzivn sti. Zkladn vlastnosti IIR <r lze shrnout do nsledujcch bod: 1. Nemus bt vdy stabiln. 2. Jejich fze neme bt linern. 3. Mal zmny koe&cient bk mohou zpsobit velk zmny frekven n odezvy. IIR <r, kter je implementovn na zklad vztahu (21), se v literatue nkdy nazv ARMA <r (autoregressive moving average). Zkladn rozdl mezi FIR a IIR <ry spo v v tom, e pro dosaen poadovan penosov funkce je pi pouit FIR <ru poteba vce koe&cient ne pi pouit IIR <ru. Pro praktick realizace vak otzka stability bv asto kl ov, proto v naich dalch vahch budeme pedpokldat FIR <ry, pokud nebude uvedeno jinak.

2.2 Adaptivn ltry

Akustick a elektroakustick parametry systmu se obvykle mn, s tm se mn i odpovdajc frekven n odezvy ve schmatech uvedench v kapitole 1. Z toho vyplv, e pro dosaen nulovho akustickho tlaku v mst chybovho mikrofonu bude nutno mnit tak parametry dicho lenu, kter jsme u digitlnch systm pedpokldali ve form digitlnho <ru. Mli bt cel systm vhodn pro pouit v praxi, je zejm, e dic len by ml bt schopen samostatn reagovat na zmny akustickch parametr systmu a proto bude realizovn jako adaptivn <r. Nejprve pedpokldejme jednoduch systm podle obr. 7, ve kterm je referen n ada vzork x(n) zpracovna adaptivnm <rem s I koe&cienty gi a vsledn signl je ode ten od poadovanho signlu d(n). Vsledkem je ada chybovch vzork

e(n) = d(n) ;

IX ;1 i=0

gix(n ; i):

(22)

Clem je zvolit koe&cienty <ru gi tak, aby hodnoty chybovch vzork byly minimln. Nej astji pouvanm kritriem, podle kterho se hodnot, zda jsou koe&cienty <ru nastaveny

c Ondej 

Jiek, 2001

13

d(n)

x(n)

gi

y(n)

+

e(n)

Figure 7: Schma obecn lohy pro digitln <raci. optimln, je stedn hodnota druh mocniny chybovho signlu E $e2 (n)]. Hledme-li minimum tto funkce4 vyjdeme z jejho gradientu " # @E $e2 (n)] = 2E e(n) @e(n) = ;2E $e(n)x(n ; k)]: (23) @gk @gk Ten se mus v jejm minimu rovnat nule. Dosazenm vztahu (20) do vrazu pro gradient (23) obdrme IX ;1 Rxd (k) ; giRxx(k ; i) = 0 k = 0 1 2 : : : I ; 1  (24) i=0

kde Rxd(m) = E $x(n)d(n+m)] je vzjemn korela n funce mezi signly x(n) a d(n) a Rxx(m) = E $x(n)x(n + m)] je autokorela n funkce pro signl x(n). Tmto jsme de&novali soustavu rovnic, kter pedstavuje Wienerovu-Hopfovu rovnici pro diskrtn as. Takto zskan koe&cienty gi jsou optimln a <r s tmito koe&cienty se nazv Wienerv <r5. Gradient njak funkce pedstavuje vektor, kter m ve smru nejvt zmny. Nejjednodu metoda vyhledn optimlnch koe&cient gi se nazv metoda nejvtho spdu (method of steepest descent) a je pro i-t koe&cient dna pedpisem e2 (n)] j (25) gi(n + 1) = gi(n) ;  @E $@g g =g (n)  i kde  je konvergen n koe&cient. Gradient v tomto vztahu meme upravit pomoc vztahu (23), avak zskan postup pedpokld zdlouhav vpo et stedn hodnoty v kadm kroku. Widrow a Ho* v edestch letech navrhli nahradit jeho vpo et jednoduchm odhadem a tm vznikl LMS algoritmus (z anglickho Least Mean Squares) dan pedpisem i

i

gi(n + 1) = gi(n) + e(n)x(n ; i) pro vechna i (26) kde je konvergen n koe&cient a gi(n) je i-t koe&cient FIR <ru v ase n-tho vzorku. Schma <ru popsanho pedpisem (26) je na obrzku 8. Konvergen n vlastnosti LMS algoritmu jsou dobe znmy z mnoha oblast pouit adaptivnch <r a pro konvergen n koe&cient se pouv kritrium (27) 0 < < IE $x12 (n)]  kter zajist, e <r bude konvergovat k Wienerovu <ru. Stedn hodnota druh mocniny referen nho signlu E $x2 (n)] vynsoben po tem koe&cient <ru I je mrn energii obsaen 4 5

V literatue se nkdy naz v elov funkce (cost function) nebo chybov povrch (error surface). Podrobnosti nalezneme nap. v 7, 19].

c Ondej 

Jiek, 2001

14

d(n)

x(n)

gi

y(n)

+

e(n)

Figure 8: Adaptivn <r s LMS adaptac. v signlu. Konvergen n koe&cient blc se prav stran nerovnosti (27) zajist sice nejrychlej dosaen optimlnho <ru, ale pro prud zmny systmu (nap. zpsoben proudnm vzduchu) me vst k nestabilit. Proto pro praktickou realizaci bereme 0 01 < < 0 1 : (28) IE $x2 (n)] IE $x2 (n)] LMS algoritmus nen zdaleka jedin algoritmus, kter umo+uje doshnout optimlnho Wienerova <ru. Na tomto mst jmenujme alespo+ RLS algoritmus (Recursive Least Squares), kter se od LMS algoritmu li vpo tem konvergen nho kroku v kad iteraci. To zpsob, e RLS algoritmus konverguje stejn rychle pro rzn typy signl $19] a jednotliv kroky adaptace m pmo do minima kritria (23). Nevhodou tohoto algoritmu je vak pedevm vy vpo etn nro nost. Nkter posledn studie tak ukzaly, e tento algoritmus m hor vsledky pro nestacionrn signly. Pro plnost zde uve)me jet rekurzivn LMS algoritmus (nkdy zna en RLMS), kter je obdobou LMS pro rekurzivn st IIR <r. Je dn pedpisem bi (n + 1) = bi (n) + e(n)y(n ; i) pro vechna i (29) kde je konvergen n koe&cient a bi (n) je i-t koe&cient IIR <ru v ase n-tho vzorku. Konvergen n koe&cient se obvykle vol desetkrt men ne .

2.3 Pou it LMS algoritmu pro ANC v potrub

V tomto odstavci se zabvejme pouitm uvedench algoritm pi potla ovn hluku enho zvukovodem i potrubm. Nejprve budeme pedpokldat situaci znzornnou na obr. 1 v kapitole 1. Pedpokldejme, e koe&cienty <ru jsou aktualizovny se stejnou frekvenc, s jakou jsou sbrny vzorky A/D pevodnkem na vstupu dicho lenu. Tedy po odebrn novho vzorku a vpo tu novho vstupnho vzorku jsou tak spo teny nov koe&cienty podle vztahu (26) (ev. vztahu (29)). Pedpokldejme, e diskrtn systm je popsn schmatem na obr. 9 (kter je obdobou systmu podle obr. 2). Penosov funkce primrn cesty P (z) v sob zahrnuje akustick penos od primrnho snma e k chybovmu mikrofonu, ale tak elektrick vlastnosti obou snma  a eventuln elektroniky6 . I kdy je mon jednotliv penosy s rznou pesnost mit nebo predikovat, o primrn cest pedpokldejme, e je neznm (ne vak libovoln). 6

O tchto penosov ch funkcch v cel m textu pedpokl d me, e jsou line rn.

c Ondej 

Jiek, 2001

15

x(n)

P(z)

d(n) y(n)

G(z)

+

-

C(z)

Figure 9: Blokov schma jednoduchho ANC systmu s LMS adaptac. Porovnnm se shodnm schmatem v minul kapitole vidme, e adaptivn <r G(z) pro dosaen nulov hodnoty chybovho signlu mus modelovat primrn cestu P (z) a pevrcenou hodnotu chybov cesty C (z) a tedy optimln je popsn vztahem

G(z) = PC ((zz)) :

(30)

Jsou-li penosov funkce primrn a chybov cesty racionln funkce, pak i penosov funkce G(z) bude racionln. Pokud je adaptivn <r realizovn jako FIR <r, je k dobr aproximaci funkce 1=C (z) poteba, aby jeho d (po et koe&cient) byl dostate n. Princip kauzality pidv dal dleit omezen: nen mon kompenzovat irokopsmov um (tj. nhodn signl), pokud zpodn zpsoben elektroakustickmi a elektrickmi leny v sekundrn cest nen men ne zpodn v primrn (akustick) cest. Vzdlenost mezi referen nm snma em a sekundrnm zdrojem je nutno volit tak, aby tato podmnka byla splnna7 . Zaazen chybov cesty C (z) za adaptivn <r G(z) pedstavuje zmnu proti klasickmu LMS algoritmu odvozenmu v odstavci 2.2, kter m vliv na konvergenci a tm i na stabilitu celho systmu. Zde si uvedeme dv een tohoto problmu.

2.3.1 FXLMS algoritmus Prvn een ve zmnnho problmu je znzornno na obr. 10. Princip spo v v tom, e signl je v rmci digitlnho zpracovn <rovn nejen adaptivnm &trem G(z), ale tak kompenza nm <rem C^ ;1(z), jeho penosov funkce je inverzn k C (z). Poadavky na kompenza n <r vyplvaj z penosovch funkc elektronickch st systmu (pedevm reproduktoru) a pro nkter kon&gurace jej nemus bt mon realizovat. Tato jednoduch varianta pracuje velmi dobe pro harmonick signly, kdy sta  doshnout dostate n shody pro diskrtn frekvence8 . Dal varianty een na tomto principu, v etn uvaovn zptn vazby, jsou popsny v $7]. Odhad minim ln vzd lenosti pro zvukovod pod mezn frekvenc najdeme nap. v 7]. Nae experimenty uk zaly, e f ze mus b t nastavena podobn jako pro FXLMS s chybou pouze men ne =2. 7 8

c Ondej 

Jiek, 2001

16

P(z)

x(n)

+

d(n)

-

y(n) G(z)

e(n)

C(z)

C-1(z)

Figure 10: Jednoduch ANC systm s kompenzac chybov cesty. Druh een problmu zmnnho na konci minulho odstavce navrhl Widrow (viz nap. $16]) a nezvisle na nm Burgess $20] a je schmaticky znzornno na obr. 11. Aby byla zajitna konvergence LMS algoritmu, je referen n signl x(n) pro<rovn <rem odpovdajcm odhadu chybov cesty. Tato metoda je ozna ovna FXLMS podle anglickho <ered-x LMS. Dvody, kter vedly k tomuto een jsou pehledn shrnuty v $15]. Vsledkem je, e pro LMS adaptaci je pouit nov referen n signl x0 (n) a koe&cienty <ru jsou dny pedpisem

gi(n + 1) = gi + e(n)x0 (n ; i):

(31)

Tento algoritmus je navc velmi tolerantn v i pesnosti odhadu penosov funkce C^ (z). Morgan nap. ukzal, e pi dostate n pomal adaptaci algoritmus konverguje i pro odhady, jejich fze se od skute n li o tm 90. P(z)

x(n)

d(n) y(n)

G(z)

+

-

e(n)

C(z)

C(z)

x’(n)

Figure 11: ANC systm vyuvajc FXLMS algoritmus. Ukazuje se, e ANC systm zaloen na FXLMS podle obr. 11 je vhodn pro aktivn sniovn irokopsmovho hluku pod mezn frekvenc s tm, e je teba splnit ve zmnn c Ondej 

Jiek, 2001

17

poadavky na kauzalitu. Potla ovn umu nad mezn frekvenc nen mon realizovat jednokanlovm systmem $15, 21, 23].

2.3.2 O -line identikace

Zabvejme se nyn metodami zskn odhadu penosov funkce C^ (z), kter je nezbytn pro dobrou konvergenci FXLMS algoritmu. Jedna z monch metod je znzornna na obr. 12. Dve ne je sputn samotn adaptivn algoritmus pro potla ovn nedoucho hluku, probhne fze u en, ve kter se zm penosov funkce C^ (z). Protoe fze u en probh oddlen od aktivnho tlumen, nazv se tento zpsob identi&kace systmu o*-line.

Figure 12: Adaptivn o*-line identi&kace. Z obr. 12 je patrn, e do penosov funkce chybov cesty pispvaj A/D a D/A pevodnky, antialiasingov <r chybovho mikrofonu a rekonstruk n <r sekundrnho zdroje, zesilova e, penosov funkce elektroakustickch mni  a akustick penosov cesta. Pouijeme-li jako zdroj identi&ka nho signlu zdroj blho umu9 , bude adaptivn <r pomoc klasickho Nkdy se tak vyuv p smov um nebo um proltrovan ltrem, kter odpovd antialiasingov m ltrm v syst mu. Vhodn se jev tak MLS sign ly. 9

c Ondej 

Jiek, 2001

18

LMS konvergovat k potebnmu odhadu penosov funkce C^ (z). Jeho koe&cienty pak sta  pekoprovat do <ru ve schmatu FXLMS (obr. 11). Vyhledem k nzkm poadavkm na pesnost ur en penosov funkce chybov cesty me bt fze u en pomrn krtk. Na ppadn zmny charakteristik jednotlivch len vak nen schopen reagovat. Je tedy po njakm ase teba zopakovat fzi u en. Systm vyuvajc o*-line identi&kace pedstavila v komer nm proveden &rma Digisonix, kter do svho dicho algoritmu zakomponovala tak zesilovn a zeslabovn identi&ka nho umu v zvislosti na konvergen nch vlastnostech adaptivnho <ru. Mn-li se penosov funkce chybov cesty (pedevm jej fze) s asem vznamnji, nebude takto navren o*-line identi&kace vhodn. Druhou nevhodou tto metody je, e ve fzi u en pidv do systmu dal hluk.

2.3.3 On-line identikace Na rychlej zmny chybov cesty mus systm reagovat v relnm ase. K tomu je vhodn online identi&kace, kter probh soubn s aktivnm tlumenm pomoc adaptivnho <ru G(z). Nejjednodu metoda on-line identi&kace je znzornna na obr. 13. Vstup z adaptivnho <ru G(z) slou tak jako referen n signl pro druh LMS algoritmus, kter zaji#uje adaptaci penosov funkce C^ (z). Vytv tak odhad y^0(n), kter se s t s chybovm signlem e(n) a vsledek se pak pomoc tohoto LMS minimalizuje. Vsledn koe&cienty <ru se pak pekopruj do tlumcho algoritmu. P(z)

x(n)

y(n) G(z)

-

y’(n)

e(n)

C(z) y’(n)

C(z) C(z) x’(n)

+

d(n)

-

+

-

Figure 13: Jednoduch adaptivn on-line identi&kace navren Widrowem a Stearnsem $16]. Takto navren een m jednu vraznou nevhodu: Jak z podrobnj analzy $15], tak pmo z obr. 13 vyplv, e identi&ka n LMS algoritmus me konvergovat k trivilnmu een C^ (z) = 0. Tento nedostatek lze odstranit pidnm nekorelovanho umu k signlu y(n), tm se nm vrt jedna z nevhod o*-line identi&kace. c Ondej 

Jiek, 2001

19

S nrstem vpo etnho vkonu pouvanch dicch len se jako optimln zd metoda, kter vychz z celkovho adaptivnho modelovn. Jej princip je schematicky znzornn na obr. 14. P(z)

x(n)

d(n)

+

-

y(n) G(z)

e(n)

C(z)

C(z)

x’(n)

C(z)

-

e(n) +

-

+

P(z)

Figure 14: pln adaptivn on-line identi&kace. Cel ANC systm obsahuje ti adaptivn <ry vyuvajc LMS. Krom hlavnho <ru G(z) jsou zde dal dva <ry, z nich prvn modeluje primrn cestu P (z) a druh chybovou cestu C (z). Sou et signl prochzejc tmito odhady primrn a chybov cesty je odhadem chybovho signlu e^(n). Rozdl skute nho a odhadnutho chybovho signlu je vhodn signl pro adaptaci obou pomocnch LMS. Stabilita tohoto algoritmu zvis na konvergen nch koe&cientech jednotlivch LMS a na po te nch hodnotch adaptivnch <r. Obecn lze ci, e hlavn adaptivn <r G(z) by ml konvergovat nejpomaleji. -dic len vyuvajc obdobnho algoritmu byl pouit v experimentln sti tto prce a jeho modi&kaci najdeme tak nap. v $17].

c Ondej 

Jiek, 2001

20

2.3.4 Kompenzace akustick zptn vazby

V odstavci 1.1.2 minul kapitoly jsme se zabvali problmy spojenmi s akustickou zptnou vazbou. Pro sprvnou funkci FXLMS algoritmu je teba vliv tto zptn vazby minimalizovat. Vliv akustick zptn vazby lze kompenzovat pidnm vhodnho <ru do dicho lenu. Schma takovho systmu je na obr. 15. P(z)

x(n)

+

+

+

d(n)

-

e(n)

F(z)

-

F(z)

G(z)

C(z)

C(z)

x’(n)

Figure 15: Metoda kompenzace akustick zptn vazby. Takto sestaven systm vyaduje odhad zptn vazby F^ (z), kter lze zskat napklad pomoc o*-line identi&kace shodn s identi&kac chybov cesty (viz obr. 12). Existuj nvrhy systm, kter provdj ob identi&kace najednou. O*-line identi&kace zptn vazby m stejn nevhody jako o*-line identi&kace chybov cesty. Nabzej se rzn een na pasivnm principu, kter vyuvaj smrovch vlastnost jak referen nho snma e, tak sekundrnho zdroje. Smrovost lze tak zajistit pomoc pol snma , resp. sekundrnch zdroj. Jednu z variant sekundrnho zdroje vyzaujcho pouze ve smru od primrnho zdroje navrhl Swinbanks a jej fyzikln princip spo vajc v dvojici sekundrnch zdroj je shrnut v vodn kapitole. Chovn vtho po tu sekundrnch zdroj modelovali Guicking a Freienstein $14]. Nevhodou tohoto een je, e  innost takovho zazen je zvisl na vzdlenosti sekundrnch zdroj (kter je zvisl na rozmrech pouitch mni ) a je obtn vytvoit zdroj s dobrou smrovost v dostate n irokm frekven nm psmu. Hamada navrhnul pouit dvou referen nch mikrofon, kdy druh identick referen n mikrofon je umstn na druh stran sekundrnho zdroje ve stejn vzdlenosti. V praxi se vak ukzalo, e eventuln nesymetrie v akustickm i elektroakustickm penosu znemo+uje c Ondej 

Jiek, 2001

21

konvergenci k optimlnm koe&cientm <ru G(z). Nejjednodu ste n potla en zptn vazby se d realizovat pomoc pasivnho tlumi e zaazenho mezi referen n snma a sekundrn zdroj a pro mnoho aplikac se jev jako dostate n.

References $1] Jessel, M.J.M., Traduction du principe de Huygens en acoustique linaire, Compte Rendus Acad. Sci. Paris, Vol. 262, 1321-1324, 1966. $2] Olson, H.F., May, E.G., Electronic Sound Absorber, J. Acoustical Soc. Am., 25(6), 11301136, 1953. $3] Munjal, M.L., Acoustics of Ducts and Muers, John Wiley & Sons, New York, 1987. $4] Mason, V., Some experiments on the propagation of sound along a cylindrical duct containing /owing air, J. Sound Vib., 10(2), 208-226, 1969. $5] Pierce, A.D., Acoustics - An Introduction to Its Physical Principles and Applications, Acoustical Society of America, New York, 1991. $6] Kvasnica, J., Matematick apart fyziky, Academia, Praha, 1989. $7] Nelson, P.A., Elliott, S.J., Active Control of Sound, Academic Press, London, 1992. $8] Tokhi, M.O., Leitch, R.R., Active Noise Contol, Oxford University Press, New York, 1992. $9] Angevine O.L., Active Systems for Attenuation of Noise, Int. J. of Active Control, 1(1), 65-78, 1995. $10] Tich, J., Applications for active control of sound and vibration, Proc. of Inter-Noise'95, 17-28, Newport Beach, 1995. $11] Elliott, S.J., Nelson, P.A., Active Noise Control, IEEE Signal Processing Magazine, 12-35, October 1993. $12] Winkler, J., Elliott, S.J., Adaptive Control of Broadband Sound in Ducts Using a Pair of Loudspeakers, Acustica, 81, 475-488, 1995. $13] Swinbanks, M.A., The active control of sound propagating in long ducts, J. Sound Vib., 27, 411-436, 1973. $14] Guicking, D., Freienstein, H., Broadband active sound absorption in ducts with thinned loudspeaker arrays, Proc. of ACTIVE 95, 371-382, Newport Beach (USA), 1995. $15] Kuo, S.M., Morgan, D.R., Active Noise Control System - Algorithms and DSP Implementations, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1996. $16] Widrow, B., Stearns, S.D., Adaptive Signal Processing, Englewood Cli*s, Prentience-Hall, 1985. c Ondej 

Jiek, 2001

22

$17] G.C. Lauchle, J.R. MacGillivray, D.C. Swanson, \Active control of axial-/ow fan noise", J. Acoust. Soc. Am., 101(1), 341-349, 1997. $18] Irrgang, S.,\Optimisation of active absorbers in rectangular ducts", Proc. of Active 97, 255-264, Budapest, 1997. $19] Uhl, J., Sovka, P., slicov zpracovn signl, Vydavatelstv 1VUT, Praha, 1995. $20] Burgess, J.C., \Active adaptive sound control in a duct: A computer simulation", J. Acoust. Soc. Am., 70, 715-726, 1981. $21] Zander, A.C., Hansen, C.H., \Active control of higher-order acoustic modes in ducts", J. Acoust. Soc. Am., 92(1), 244-257, 1992. $22] Wu, Z., Varadan, V.K., Varadan, V.V., \Time-domain analysis and synthesis of active noise control system in ducts", J. Acoust. Soc. Am., 101(3), 1502-1511, 1997. $23] Joseph, P., Nelson, P.A., Fisher, M.J., \Active control of turbofan radiation using an in-duct error sensor array", Proc. of Active 97, 273-286, Budapest, 1997. $24] Laugesen, S., Johannesen, P.T., \Experimental study of an active control system for multimodal sound propagation in ducts", Proc. of Active 95, 441-450, Newport Beach, 1995. $25] Bai, M.R., Wu, T., \Study of the acoustic feedback problem of active noise control by using the l1 and l2 vector space optimization approaches", J. Acoust. Soc. Am., 102(2), 1004-1012, 1997. $26] Bai, M., Chen, H., \A modi&ed H2 feedforward active control system for suppressing broadband random and transient noises", J. Sound and Vibration, 198(1), 81-94, 1996. $27] O. Ji ek, P. Kon ek, \Basic study of ANC in an acoustic wave-guide", Proc. of Active 97, Budapest, 265-272, 1997. $28] O. Ji ek, P. Kon ek, \An experimental study of active control in a duct", Proc. of Noise-Con 97, State College, pp. 93-100, 1997. $29] O. Ji ek, P. Kon ek, \Zkuenosti s aktivnm sniovnm hluku v potrub", Sbornk - 55. akustick semin, Kouty, 53-62, 1997. $30] O. Ji ek, \Strategie sniovn hluku enho potrubm", Sbornk - 56. akustick semin, Jetichovice, 16-21, 1997. $31] Ji ek, O.: Aktivn sniovn hluku v potrub, Habilita n prce, 1VUT, 1998. $32] Ji ek, O., Aktivn sniovn vych m d v potrub, Proc. of 36th Conference on Acoustics/60. akustick semin, 34-41, Kouty, 2000.

c Ondej 

Jiek, 2001

23