XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek egyenlőtlenségek, elsőfokú egyenlőtlenség-rendszerek, szimmetria, hasonlóság, súlypont, Thalész-tétel, magasságtétel, logikai következtetések. Cél A gyakran előforduló gondolkodási hibák tudatosítása, figyelemre, önellenőrzésre nevelés. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ + + + + + + +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+

+ + + +

Felhasználási útmutató Javasoljuk, hogy a tanulók először egyéni munkával javítsák ki a „hibás dolgozatokat”, s csak miután mindenki úgy véli, hogy az összes hibát megtalálta, tárgyaljuk meg közösen a javításokat. Nem szabad senkinél túl korán „lelőni a poént”! A közös megbeszélés után mindig fogalmazzuk meg pontosan, miért volt hibás a közölt megoldás. A feladatok közül célszerű válogatni, s nem egyszerre feladni az egész feladatsort.

XI. Feladatok vegyes témakörökből

XI.6. Légy te a tanár!

1.oldal/7


LÉGY TE A TANÁR! Az alábbi dolgozatokat a Csaknem Iskola szorgalmas, ám kicsit figyelmetlen diákja, Peches Péter írta. Olvasd el figyelmesen a megoldásait, s ha hibát találsz valahol, javítsd ki! ALGEBRA Oldd meg az alábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! 1.

x 1  1  x . /2

x 1  1 x x 1  1 2x  x2  1  1  3x  x 0  2  3x  x

2

/ x / 1

2

0  2  2x  x  x 2 0  21  x   x1  x  0  1  x 2  x  x  1 vagy x  2

2.

x x  4  

1 1  . x4 x4

1 1  x4 x4 x x  4   0 x x  4  

/

1 x4

x  0 vagy x  4

3.

x 2  x  3  16  x  3 . x 2  x  3  16  x  3 2

x  16

/ : x 3 /

x 4 x  4 vagy x  4



2.oldal/7


4.

x2  1. 3 x

x2 1 3 x x 2  3 x 2x  2  3 2x  1 1 x 2 5.

/ 3  x  / x / 2 /:2

x 2  2x  1  4  4x  x 2  3 .

x2  2x  1  4  4x  x 2  3

 x  12



2  x 2

3

x 1  2  x  3 1 3 Ez ellentmondás, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

GEOMETRIA 6.

Jelöld be az ábrákba az alábbi alakzatok szimmetriatengelyeit!

7.

Számítsd ki a következő háromszögeknél a beírt kör sugarát! a) Szabályos háromszög, a = 10 cm.

a 3 , ezt a háromszög közép2 pontja, amely egyúttal súlypont is, harmadolja, ezért a beírt kör sugara a 3 10 3 5 3   cm. 6 6 3 Az a oldalú szabályos háromszög magassága



3.oldal/7


b)

10 cm átfogójú derékszögű háromszög. A Thalesz-tétel miatt az átfogóhoz tartozó súlyvonal 5 cm, a beírt kör sugara 5 ennek harmada, tehát cm. 3

8.

Egy háromszög alapját a hozzá tartozó magasság 7 és 2 cm-es darabokra bontja. Az alapon fekvő kisebbik szög 30°. Mekkora a háromszög területe? A magasságtétel szerint

T

9.

7  2  2

14

m  7  2  14 , így a háromszög területe

 4,5  14 cm2.

Egy háromszög oldalai 3, 5, 7 cm, a hozzá hasonló háromszög kerülete 300 cm. Hányszorosa a nagy háromszög területe a kicsinek? A kis háromszög kerülete 15 cm. 300  15  20 , a nagyítás tehát 20-szoros, így a nagy háromszög területe 20-szorosa a kicsinek.

10.

Egy egyenlő szárú háromszög szárai 10 cm-esek, alapja 5 cm hosszú. Mekkorák a szögei?

A háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb szög van, ezért a háromszög szögei , 2, 2, s mivel a szögek összege 180°, 5 = 180°,  = 36°. A háromszög szögei tehát 36°, 72°, 72°.

EGYÉB

11.

Két dobókockával dobva melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a dobott számok összege 9, vagy annak, hogy 10? Kilencet kétféleképpen kaphatunk: az egyik kockával 3-at, a másikkal 6-ot vagy az egyik kockával 4-et, a másikkal 5-öt dobva. Tízet is kétféleképpen kaphatunk, 4-et és 6ot dobva vagy két ötöst. Mivel kilencet és tízet is kétféleképpen kaphatunk, a két összeg dobásának valószínűsége ugyanannyi.



4.oldal/7


12.

Két érmével dobva mekkora valószínűséggel dobunk két fejet, két írást, illetve egy fejet és egy írást? Mivel háromféle kimenet lehetséges, mindegyiknek ugyanakkora a valószínűsége, tehát 1/3 valószínűséggel kapunk két fejet, 1/3 valószínűséggel két írást és 1/3 valószínűséggel különbözőt dobunk.

13.

Egytől százig összeszorozva a természetes számokat a kapott szorzat 5-nek hányadik hatványával osztható? Mivel minden ötödik szám osztható 5-tel és 100-ig 20 öttel osztható szám van, 520-nal osztható.

14.

Egy kereskedő vásárolt valamit 8 euróért, eladta 9 euróért, később visszavásárolta 10 euróért, majd újra eladta 11 euróért. Mekkora volt a nyeresége? Mivel 8 euróért vásárolta és 9-ért adta el, nyert egy eurót. Ezután 10 euróért vásárolta vissza azt, amit 9-ért adott, tehát veszített egy eurót, így éppen „pénzénél van”. De ismét eladja, ezúttal 11 euróért, tehát végül is nyer egy eurót.



5.oldal/7


MEGOLDÁSOK 1.

x  2 hamis gyök, amely a négyzetre emelés miatt lépett fel.

2.

x  4 hamis gyök, mivel a nevező értéke nem lehet 0.

3.

Az egyenletnek x  3 is megoldása. Ezt a gyököt a változót tartalmazó kifejezéssel való osztáskor veszítette el a megoldó.

4.

A 3  x  kifejezéssel való szorzáskor vizsgálni kell annak előjelét, hiszen különben nem tudjuk, hogy megváltozik-e a relációjel iránya. A megoldó feltételezte, hogy x  3 , 1  így a kapott megoldásból x   ; 3 adódik, s még külön meg kell vizsgálni a x  3 2  1 1  esetet, amelyből x  után x    ;  adódik A megoldás tehát: 2 2  1 1   x    ;    ; 3 . 2  2  

5.

A gyökvonás után helyesen: x  0 vagy x  3 .

6.

A paralelogrammának nincsenek szimmetriatengelyei.

x  1  2  x  3 . Ennek az egyenletnek a gyökei:

7. a) A szabályos háromszögben az oldalfelező merőlegesek egybeesnek a súlyvonalakkal, így a számolás itt helyes. b) A háromszög beírt kör középpontja nem a súlypont, hanem a belső szögfelezők metszéspontja. 8.

A magasságtétel csak derékszögű háromszögben igaz! Itt szögfüggvénnyel számolha7 97 63  tunk: m  7  tg 30  , így a terület: T  cm2. 3 2 3 2 3

9.

A területek aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő, tehát a nagy háromszög területe 400-szorosa a kisebbnek.

10.

A szögek aránya nem egyezik meg a szemközti oldalak arányával! Itt is szögfüggvény2,5 nyel számolhatunk. Az alapon fekvő β szögre cos    0,25 , ahonnan   75,5 , s 10 így a szárszög 29°.



6.oldal/7


11.

A két érmével kilencet négyféleképpen kaphatunk: 3-6; 4-5; 6-3; 5-4, tízet csak háromféleképpen: 4-6; 5-5; 6-4. Összesen 6  6  36 lehetőség van, így a keresett valószínűsé4 1 3 1 gek: p9    és p10 =  . 36 9 36 12

12.

A kísérletnek négy egyenlően valószínű elemi kimenete van: FF; FI; IF; II. Ezért 1 1 2 1 pFF   , pII   , p(1 fej és 1 írás) = p FI vagy IF    . 4 4 4 2

13.

Az 1-től 100-ig felírt tényezők között van, amelyik nemcsak 5-tel, de 5  5 -tel is osztható: a 25, 50, 75 és 100 ilyen. A szorzat tehát 524-nel osztható. Osztható 50-nal, 51-nel, 52-nal, …, 524-nel.

14.

A kereskedő összes kiadása 8  10  18 euró, összes bevétele pedig 9  11  20 euró, tehát 2 eurót nyert.



7.oldal/7

XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői

Recommend Documents