Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
III.4. JÁRŐRÖK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Algebra (és számelmélet), szöveges feladatok, mozgásos feladatok, geometria. Előzmények Az idő fogalma, mértékegység-váltás (perc – óra), a sebesség fogalma: v
s , legkisebb t
közös többszörös, relatív prím fogalma. Cél Mozgásos feladatok előkészítése, mozgásos szituációk elképzelése, lejátszása fejben vagy eszközökkel, különböző megoldási módszerek megismerése. A modellalkotás és szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + +
+
Felhasználási útmutató Az ilyen típusú feladatoktól általában félnek a gyerekek, mert nehéznek érzik. Ez a feladatsor is látszólag bonyolult, pedig – remélhetően kiderül – nagyon egyszerű lépésekkel, ötletek nélkül megoldható, „csak” el kell képzelni a helyzetet, és egy picit számolni kell. Mindig érdemes egy teljes megoldás után visszakérdezni, hogy: „Mi okozott nehézséget neked a megoldásban?”, illetve, hogy: „Látva a megoldást, mit tartasz nehéznek?”. Ez azért fontos, mert sok gyereknek el is kell hinnie, hogy meg tudja oldani a feladatokat. Érdemes többféle megoldási módszert, gondolatmenetet összegyűjteni. Javasoljuk a gyerekeknek konkrét szituációk elképzelését, illetve lejátszását, kis számítás, előkészítés után a mozgás elképzelését, annak megállapítását, hogy adott időpillanatban hol vannak az autók! Az órán érdemes párokban dolgozni (kék és fehér, azaz külső és belső járőrautó), a feladatok megoldása során lehet modellezni a települést és az autókat. A feladatok megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy értik-e a diákok a feladat szövegét. (Külső és belső körút, sebesség, irány, találkozás stb.) Tudnak-e sebességből és távolságból menetidőt számolni? Tudnak-e értelemszerű és megfelelő információkat kiszűrni, és a feladat megoldásához egyszerű számításokkal eljutni? III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.4. Járőrök
1.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
A feladatok megoldásának különböző eredményességi szintjei lehetnek: a szituáció megértése; egy-egy autó „menetrendjének” kiszámítása; a „menetrendek” összevetése; a következtetések meghozása, válaszadás; a megoldás célszerű leírása; ötletes, az autók sebessége alapján számolással célhoz érő, rajzos, ábrás, grafikonos megoldás.
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.4. Járőrök
2.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
JÁRŐRÖK Feladat sor
Egy kistelepülés úthálózatát látjuk. A belső „körút” négyzet alakú, és minden utca 500 méter hosszú. Bolt
Rendőrség
Minden nap sötétedéstől másnap reggel 7-ig két „szuper-lassú” járőrautó biztosítja az ott lakók nyugalmát. Ha bármilyen problémát észlelnek, akkor nem állnak meg, hanem azonnal betelefonálnak a Rendőrségre, és onnan egy motoros járőr siet a helyszínre. A kék színű „Külső Járőrautó” a Bolttól indul, és a külső utcákat járja körbe-körbe, míg a fehér színű „Belső Járőrautó” a Rendőrség elől indul, és a belső „körúton” cirkál az ábrán feltüntetett irányokban.
1.
Hétfőn mindkét járőrautó állandó 12 km/h sebességgel rótta az utcákat. Este 10 órakor a Külső Járőrautó éppen a Bolt előtt, míg a Belső Járőrautó a Rendőrség előtt haladt el. Hány percig tart az egyik, illetve a másik autónak, míg megtesznek egy teljes „kört”?
2.
Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? Add meg az összes találkozási helyszínt és időpontot!
3.
Hajnali 3 óra 15 perckor a fehér autós járőr valami problémát észlelt, és azonnal riasztotta a motorost, aki 60 km/h átlagsebességgel haladva gyorsan a helyszínre ért. Hány órakor érkezett a motoros és hova?
4.
Hajnali 4 órakor valamelyik járőrautó riasztotta a motoros járőrt. Vajon hová ment a motoros?
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.4. Járőrök
3.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1.
A külső körút 4 km hosszú, így a külső autónak 12 km/h-s sebességgel haladva 1/3 óráig, vagyis 20 percig tart az út. A belső körút éppen fele olyan hosszú, így a belső autónak csak 2 km-t kell megtennie, ami 10 percig tart.
2.
Első megoldás (elemi) Kis folyamatábrán követjük az autók útját. A két autót a két kör szimbolizálja (a vastagabb vonallal határolt kör jelzi a belső autót). Bolt
Bolt
Bolt
Bolt
Rendőrség
Rendőrség
1000
Rendőrség
Bolt
Rendőrség
Rendőrség
1005
Bolt
Bolt
1010
Bolt
Bolt
Rendőrség
Rendőrség
Rendőrség
Rendőrség
1015
1020
Jól látszik, hogy az autók 10 perc múlva találkoznak a Rendőrségnél, majd újabb 10 perc múlva visszaáll a kiindulási helyzet. (Ez a 10, illetve a 20 perces menetidőket figyelembe véve érthető.) Majd minden kezdődik elölről. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor ... Második megoldás (a mozgás linearizálása, periodikusság, lkkt) Figyeljük az autók szirénáit, amelyek a 4 csúcspontban, a két körút találkozásánál „villannak nagyot”. A külső autó szirénája (5 perces eltolódásokkal) 20 percenként villan egy-egy csúcsban, a belső autó szirénája (2,5 percenkénti eltolódásokkal) 10 percenként villan egy-egy csúcsban. 1. ábrázolás – időtengelyeken a villanás helyének összehasonlítása Fehér autó R Kék autó
B
B
R R
B
R B
B
R
Idő
R Idő
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.4. Járőrök
4.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
A két autó akkor találkozik, ha egy csúcsban egyszerre villan a két sziréna. Mivel a kezdeti villanás 2 sarokra történt, így leolvasható, hogy 1010-től kezdve 20 percenként találkoznak (lkkt (4,8) = 8). 2. ábrázolás – helytengelyeken a villanás idejének összehasonlítása
Fehér autó
R
Kék autó
R
B
R
B
R
B
R Hely
B
B
B
R Hely
R
R
Harmadik megoldás (következtetéses megoldás fejben „mozizóknak”) Mivel a két autó sebessége ugyanakkora, így amíg a külső autó megtesz egy kört, addig a belső két kört megy, vagyis amíg a külső megtesz fél kört, addig a belső egy kört megy, azaz éppen visszaér a Rendőrségre. Mivel a Bolt a Rendőrségtől fél körre van, így éppen találkoznak a Rendőrségnél. Innen számítva a belső újabb 2 kör megtétele után találkozik a külső autóval a Rendőrségnél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél: 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor … Negyedik megoldás (az „ÁRNYÉK” színre lép, az ötlet szerepe) Vegyük úgy, hogy a külső autónak van egy „árnyéka”, ami feleakkora sebességgel halad, de a belső körúton. (Tulajdonképpen „levetítjük” a mozgását a belső körútra merőlegesen.) A külső és a belső autó pontosan akkor találkozik, amikor az „árnyék” és a belső autó találkozik, de csakis a két körút 4 közös csúcspontjának egyikében. Most az árnyék sebessége a belső autó sebességének a fele, így mivel a két autónak kezdetben fél kör volt a távolsága, először akkor találkoznak, amikor az „árnyék” éppen fél kört, a belső autó pedig egy kört haladt. Ez a Rendőrségnél lesz 1010-kor. Innen számítva a belső autó elhagyja az árnyékot, és két kör megtétele után éri utol (körözi le) ismét a Rendőrségnél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél: 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor … 3.
A belső autó 10 percenként visszaér a Rendőrséghez, így 310-kor is ott van. 5 perccel később a belső körút felénél jár, azaz 315-kor éppen a Boltnál lesz. A motorosnak 1 km-t kell robognia, azaz 1 perc alatt odaért a Bolthoz.
4.
Hajnali 4 órakor a belső autó a Rendőrségnél volt, a külső pedig a Boltnál. Így a motorosnak nem kellett sokat gondolkoznia, hogy melyik riasztási helyszínt válassza. A Bolthoz indult sebesen.
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.4. Járőrök
5.oldal/5
