Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése
1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el®állítását: (a)
(a, b)
(b)
y = mx + b
(c)
v = (v1 , v2 , v3 )
(d)
z
középpontú,
tengely¶,
r
sugarú kör a síkban;
egyenlettel leírt egyenes a síkban;
a
irányvektorú,
P = (p1 , p2 , p3 )
ponton átmen® egyenes a térben;
2πb
sugarú egyenes forgáshengerre írható
menetemelkedés¶ hengeres
csavarvonal. 2. Írjuk fel az
x2 + y 2 + z 2 = R 2
egyenlet¶ gömb és az
x2 + y 2 − Rx = 0
áthatási görbéjének egy paraméteres alakját (Viviani-féle 3. Legyen adva a valós síkban egy az
x-tengely
x2 + (y − a)2 = a2
egyenlet¶ henger
görbe )!
egyenlet¶ kör, és gördüljön ez a kör
mentén. Határozzuk meg az origó mint pont által befutott ponthalmaz (ún.
ciklois ) egy paraméteres el®állítását! Végeredmények:
c(t) = (a+r cos t, b+r sin t), (d) c(t) = (a cos t, a sin t, bt)
1. (a)
2.
(b)
c(t) = (t, b+mt),
c(t) = (R cos2 t, R cos t sin t, ±R sin t),
t ∈ − π2 , π2
1
(c)
c(t) = (p1 +tv1 , p2 +tv2 , p3 +tv3 ),
3.
c(t) = (at − a sin t, a − a cos t),
t∈R
A teljesség igénye nélkül néhány további nevezetes görbe:
• Traktrix (vonszolási görbe): Olyan síkgörbe, amelyre teljesülnek a következ®k: ∗ (a) A görbe átmegy az (a, 0) ponton, ahol a ∈ R+ . 0 (b) A görbe tetsz®leges A pontjára illeszked® érint®egyenes olyan A pontban metszi 0 y -tengelyt, amelyre d(A, A ) = a. t A görbe paraméteres alakja: c(t) = a sin t, a ln tg + cos t , t ∈ ]0, π[ 2
• Bernoulli-féle lemniszkáta:
Legyen
A
és
B
a síkbeli pontok távolsága √ , a keresett görbe 2
a2 2 teljesül.
P pontok halmaza, amelyre d(A, P )d(B, P ) = a cos t a sin t cos t ∗ c(t) = 1+sin , a ∈ R+ (Az ábrán a = 1.) 2 t , 1+sin2 t
pedig azon Ekkor:
• Asztroid: mozog. Az
Egy
A
a
hosszúságú szakasz
pontra illeszked®,
A
mer®leges talppontja legyen
P
B végpontja az y -tengelyen párhuzamos és a B -re illeszked®, x-tengellyel ← − → C , a C pontból az AB egyenesre bocsátott
végpontja az
y -tengellyel
párhuzamos egyenes metszéspontját jelölje A
az
x,
a
P.
pontok halmaza a keresett görbe:
c(t) = a cos3 t, a sin3 t , a ∈ R∗+
2
(Az ábrán
a = 1.)
• Dioclész-féle cisszoid: Tekintsünk egy origó középpontú, 2a sugarú kört a síkban. Legyen −−→ − − → e a kör A = (2a, 0) pontbeli érint®egyenese. Tetsz®legesen kiválasztva egy OB 6= OA félegyenest, messe ez a kört a C pontban, az e érint®egyenest pedig a D pontban. Legyen −−→ −−→ P ∈ OB az a pont, amelyre d(O, P ) = d(C, D). Keressük a P pont pályáját, ha OB körbeforog O körül. 2 2at 2at3 ∗ , , a ∈ R+ (Az ábrán a = 1.) A keresett görbe: c(t) = 2 2 1+t 1+t
(Ezt a görbét a görögök a kockakett®zés és a szögharmadolás problémájának megoldására szerették volna felhasználni.) 2. Sebességvektor, ívhossz, természetes paraméterezés
1. Írjuk fel a
c : I → Rn
görbe tetsz®leges pontbeli sebességvektorát és a
c(t0 )-beli
érint®-
egyenesének egyenletrendszerét, ha
(c)
c(t) := et cos t, et sin t, et , t0 = 0 √ c(t) := 3t , ln 3t , t2 + 1 , t0 = 21 √ c(t) := e3t , e−3t , 3 2t , t0 = 1
(d)
c(t) := (cos 4t, sin 4t, t), t0 =
(e)
c(t) := (3 cos t, 3 sin t, 5t), t0 =
(a) (b)
π 8 π 6
c(t) := sin(2t − π)3 , cos2 2t, et cos t − eπ , t0 = π2 4 3 2 t t t Határozzuk meg a c : t ∈ R 7−→ c(t) := ∈ R3 görbe azon érint®egyeneseinek 4, 3, 2 egyenletrendszerét, amelyek párhuzamosak az x + 3y + 2z = 0 egyenlet¶ síkkal! (f )
2.
3. Számítsuk ki a
c : [a, b] → Rn
görbe ívhosszát, ha
(a)
[a, b] = [0, 2], c(t) := t2 , t3
(b) (c)
[a, b] = [1, 3], c(t) := (cos 2t, sin 2t, 3t) [a, b] = [1, 3], c(t) := t, 2t, t2
(d)
[a, b] = [0, 2π], c(t) := (cos t, sin t, cos t, sin t)
4. Vezessünk be természetes paraméterezést a következ® görbékénél:
(b)
c : t ∈ R 7−→ c(t) := (2 cos t, 2 sin t, 3t) ∈ R3 c : t ∈ R 7−→ c(t) := et cos t, et sin t, et ∈ R3
(c)
c : t ∈ R 7−→ c(t) := (t cos(3 ln t), t sin(3 ln t), 2t) ∈ R3
(a)
(Az ívhosszfüggvényt olyan intervallumon adjuk meg, amelynek a
3
0
a baloldali végpontja.)
Végeredmények: 1.
(a) (b) (c)
2.
(d)
c0 (t) = (−4 sin 4t, 4 cos 4t, 1),
(e)
c0 (t) = (−3 sin t, 3 cos t, 5),
(f )
c0 (t) = 6(2t − π)2 cos(2t − π)3 , −4 cos 2t sin 2t, et (cos t − sin t) , e : x = 0, y = 1, z ∈ R
t1 = −1
3. (a)
esetén
Λ(c) =
hogy 4.
c0 (t) = et (cos t − sin t, sin t + cos t, 1), e : x − 1 = y = z − 1 √ √ √ y−ln 3 x− 3 2 5z−5 c0 (t) = 3t ln 3, ln 3, √t2t+1 , e : √ = = ln 3 2 3 ln 3 √ √ −3 3 √ 2 = y−e = z−3 c0 (t) = 3e3t , −3e−3t , 3 2 , e : x−e e3 −e−3 2
(a) (b) (c)
R√
x− √
8 27 (10
1 4
= −y −
10−1),
x2 + a2 dx =
1 2
(b)
1 3
e : x = −4z + π2 , y = 1 √ 2x−3 3 3
e:
=z−
1 2
és
√ Λ(c) = 2 13,
=
3−2y √ 3 3
=
t1 = −2 (c)
5π−6z 30
esetén
Λ(c) =
=
√ 3 41 3 5 2 −2+4
√ √ x x2 + a2 + a2 ln x + x2 + a2 + c,
x−4 4
(d)
y+ 83 −2
=z−2 √
ln 6+5 41 felhasználva, √ Λ(c) = 2π 2
c˜(t) = 2 cos √t13 , 2 sin √t13 , √3t13 √ √ √ c˜(t) = t+√3 3 cos ln t+√3 3 , sin ln t+√3 3 , 1 c˜(t) = √t14 cos 3 ln √t14 , sin 3 ln √t14 , 2
3. Síkgörbék Frenet-bázisa, görbület, simulókör
1. Határozzuk meg a a
t
c : I → R2
síkgörbe Frenet-bázisát, továbbá számítsuk ki a görbületét
paraméter¶ pontban, ha
(a)
I = [0, 2π],
c(t) = (t, sin t),
(b)
I = [0, 2π],
c(t) = (3 cos t, 5 sin t),
(c)
I = [1, +∞[,
(d)
c(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t = π2 3 t −2 1 I = [1, 10], c(t) = , ln t − 2 , t = 2 t t t t I = [0, 2π], c(t) = e cos t, e sin t , t = π
(e) (f )
t=π
t1 = 0 és t2 = c(t) = 3 ln t, −5t2 + 2t , t = 2
π 2
I = R,
2. Írjuk fel az el®z® feladat (b), (d) és (f ) példájában szerepl® görbe adott ponthoz tartozó simulókörének egyenletét!
3. Adott egy
x2 y 2 + 2 =1 a2 b
egyenlet¶ (azaz
a
nagy- és
b
kistengely¶) ellipszis (a
≥ b).
(a) Határozzuk meg a görbületfüggvényét, majd annak széls®értékeit. Mely pontokban lesz maximális és melyekben minimális a görbület? (b) Szerkesszük meg az ellipszis tengelypontjaiban a simulóköröket!
Végeredmények: 1.
√1 , − √1 , 2 2
(a)
T (π) =
(b)
T (0) = (0, 1), N (0) T π2 = (−1, 0), N
√1 , √1 , κ(π) 2 2 3 = (−1, 0), κ(0) = 25 5 π π 2 = (0, −1), κ 2 = 9
N (π) =
4
=0
(c) (d) (e) (f ) 2.
1 12 76 √1 √ T (2) = √145 , − √12 , , N (2) = √ , κ(2) = − 145 145 145 1305 145 1 T π2 = √12 , √12 , N π2 = − √12 , √12 , κ π2 = − 2√ 2 √ T (2) = √637 , √137 , N (2) = − √137 , √637 , κ(2) = − 11128 37 1 1 1 1 1 T (π) = − √2 , − √2 , N (π) = √2 , − √2 , κ(π) = √2eπ
1 1 |κ(t)| , Kt = c(t) + κ(t) N (t) 16 2 2 + y 2 = 625 (b) x + 3 9 és x + 2 π (d) x − + (y + 1)2 = 8 2 −1 2 π 2 2π (f ) x + (y + e ) = 2e
rt =
3. Segítség:
y−
16 2 5
=
81 25
− 3 κ(t) = ab a2 sin2 t + b2 cos2 t 2
A görbület a nagytengely végpontjaiban
a b , a kistengely végpontjaiban 2 . b2 a
4. Térgörbék Frenet-bázisa, torzió
1. Határozzuk meg az alábbi térgörbék
t paraméter¶ pontjához tartozó kísér® triéder élegye-
neseinek egyenletrendszerét és síkjainak egyenletét, ha
4 2(t+1)3 t2 , − t2 2 ,− 3
(e)
t=1 c(t) = t2 − 1, t + 2, t3 − 3 , t = 1 c(t) = t, t4 + 1, 1t , t = −1 2 3 , c(t) = 1 + t2 , 1+t t=1 2,t − t c(t) = et − t, e2t , −(2 + e−t ) , t = 0
(f )
c(t) = (2 cos 2t, 2 sin 2t, 3t),
(g)
c(t) = (2t − sin 2t, cos 2t, 4 sin t),
(a) (b) (c) (d)
c(t) =
,
t=
π 6 π 4
t=
2. Számítsuk ki a következ® térgörbék görbületét és torzióját a megadott
t paraméter¶ pont-
ban!
(d)
c(t) = t3 − 2t2 , 3t + 2, t2 − 5 , t = 1 c(t) = t2 − 1, t + 2, t3 − t , t = 1 c(t) = t cos t, t sin t, sin12 t , t = π2 c(t) = sint t , cost t , 1t , t = π
(e)
c(t) = (2t − sin 2t, cos 2t, 4 sin t),
(f )
c(t) = (a cos t, a sin t, bt), t = t0 c(t) = et cos t, et sin t, et , t = t0
(a) (b) (c)
(g)
t=
π 4 (a
3. Határozzuk meg a következ® térgörbék adott
> 0)
t
paraméter¶ pontjában a
rokat a Frenet-formulák segítségével, ha
t2 2t3 t4 2, 3 , 4
(a)
c(t) =
(b)
c(t) = (2t − sin 2t, cos 2t, 4 sin t),
(c)
c(t) = (a cos t, a sin t, bt),
,
t=1 t=
t = t0
π 4 (a
5
> 0, b 6= 0)
T 0, F 0, B0
vekto-
4. Bizonyítsuk be, hogy a következ® görbék síkgörbék: (a)
c(t) = (a cos t, a sin t, cos t)
(b)
c(t) = (2t2 + 3t − 1, t2 + 2t, −3t2 + 4)
(c)
c(t) = (et cos t, et sin t, et (cos t + sin t))
5. Írjuk fel természetes paraméterezés¶ görbe esetén a a
T, F, B
T 00 , T 000 , F 00 , F 000 , B 00
és
B 000
vektorokat
vektorok segítségével!
6. Számítsuk ki természetes paraméterezés¶ görbe esetén a
T 0, F 0
és
B0
vektorok egymással
bezárt szögeit! 7. Bizonyítsuk be, hogy az
x2 = 3y
és
2xy = 9z
egyenlet¶ másodrend¶ felületek metszésvo-
nala általános csavarvonal! (Segítség:
τ (t) ha κ(t)
Lancret tétele: Egy bireguláris térgörbe pontosan akkor általános csavarvonal,
= k, k ∈ R
minden
t
paraméterre!)
Végeredmények: 1.
3y+16 2x−1 1 = − 3y+16 = − 2z+1 24 4 , binormális egyenes: 16 = 3 , z = −2, 2x−1 = − 3y+16 = 2z+1 f®normális egyenes: 4 48 130 ; normálsík: 6x − 48y − 12z = 265, simulósík: 24x + 3y = −4, rekti kálósík: 12x − 96y + 390z = −323 2x−1 2
(a) érint®egyenes:
= y − 3 = z2 , binormális egyenes: x3 = 3−y = −z , f®normális 4 x z egyenes: = = − ; normálsík: 2x + y + 2z = 3, simulósík: 3x − 4y − z = −12, 7 11 rekti kálósík: 7x + 8y − 11z = 24 x 2 y−3 8
(b) érint®egyenes:
2−y 4
z+1 = −z − 1, binormális egyenes: x+1 10 = y − 2 = 6 , y−2 z+1 x+1 f®normális egyenes: 23 = 16 = − 41 ; normálsík: x − 4y − z = −8, simulósík: 10x + y + 6z = −14, rekti kálósík: 23x + 16y − 41z = 50
x+1 =
(c) érint®egyenes:
x−2 2 = = 1−y 2
1 − y = − z2 , binormális egyenes: egyenes: x − 2 = z2 ; normálsík: 2x − y − 2z = 3, rekti kálósík: x − 2y + 2z = 0
(d) érint®egyenes:
x−2 2
=
y−1 2
simulósík:
= z , f®normális 2x + 2y + z = 6,
y−1 x−1 z+3 2 = z + 3, x = 1, binormális egyenes: 6 = 1 − y = 2 , f®normális y−1 z+3 x−1 egyenes: 5 = 6 = − 12 ; normálsík: 2y + z = −1, simulósík: 6x − y + 2z = −1,
(e) érint®egyenes:
rekti kálósík:
5x + 6y − 12z = 47
(f ) érint®egyenes:
1−x √ 2 3
=
√ √ y− 3 3−y 2z−π x−1 = , binormális egyenes: √ = = 2z−π 2 6 3 16 , f®nor3 3 √ √ √ 3 , z = π ; normálsík: 4 3x − 4y − 6z = −3π , simulósík: = y− 2 3 √
x−1 √ 3 3x − 3y + 8z = 4π , mális egyenes:
rekti kálósík:
x+
3y = 4
√ √ z−2 √ 2 , binormális egyenes: x − π−2 = y = z−2 √ 2, 2 3 2 √ 2 √ 2 √2−z , y = 0; normálsík: 2x − 2y + 2 2z = 6 + π , 2 √
π−2 2 = −y = 2x−(π−2) f®normális egyenes: = √ 4 simulósík: x + 3y + 2z = 3 + π2 , rekti kálósík: 2x − √ √ 3 42 104 1 3 2. (a) κ(1) = , τ (1) = ; (b) κ(1) = 98 3 27 , τ (1) = − 26 ; (g) érint®egyenes:
2z = π − 6 (c)
κ
π 2
=
√ 2 2 π 4 +32π √ +128 , (π 2 +4) π 2 +4
q π 3 (2+π 2 ) 32π 1+π 2 1 = − π4 +32π (d) κ(π) = , τ (π) = − ; 2 +128 ; 4 2 π +π +1 π 4 +π 2 +1 π(2+π 2 )(1+π 2 ) √ √ √ 6 5 2 2 π π a2 b = 8 , τ 4 = 24 ; (f ) κ(t0 ) = a2 +b2 , τ (t0 ) = a2 +b2 ; (g) κ(t0 ) = 3et0 , (e) κ 4 τ (t0 ) = 3e1t0 1 1 1 4 1 1 1 0 0 0 √ √ √ (a) T (1) = − √ , 0, √ , F (1) = , − , , B (1) = √ , 0, − √ 6 6 3 2 3 2 3 2 3 3 τ
3.
x−
π 2
6
√ √ √ √ √ √ = 1, 0, − 22 , F 0 π4 = − 96 , 2 3 6 , − 912 , B 0 π4 = − 5 9 3 , 0, 5186 t0 a sin t0 0 √ T 0 (t0 ) = − √a acos , − , 0 , F (t0 ) = (sin t0 , − cos t0 , 0), B 0 (t0 ) 2 2 a2 +b2 +b b cos t0 √ t0 √ , b asin ,0 2 +b2 a2 +b2 T0
(b) (c)
4. Segítség:
π 4
τ (t) = 0
minden
=
t-re.
5.
0 2 2 0 ; B 00 = κτ T − τ 0 F − τ 2 B ; T 00 = −κ2 T + κ0 F + κτ B ; F 00 = −κ T − (κ 0 + τ )F0 + τ B 000 000 0 2 2 00 2 + τ 2 ) − κ00 T − T = −3κ κT + −κ(κ + τ ) + κ F + (2κ τ + κτ )B ; F = κ(κ 3 2 2 0 2 2 00 B ; B 000 = (κ0 τ + 2κτ 0 )T + τ (κ2 + τ 2 ) − τ 00 F − 3τ τ 0 B 2 (κ + τ ) F − τ (κ + τ ) − τ
6.
T 0 ⊥ F 0 , F 0 ⊥ B 0 ; ^(T 0 , B 0 ) = π , 2 3 τ (t) c(t) = t, t3 , 2t 27 , κ(t) = 1.
7.
ha
κτ > 0
és
^(T 0 , B 0 ) = 0,
ha
κτ < 0
5. Felületek megadási módjai
I ⊂ R nyílt intervallum, t ∈ I esetén. Belátható, hogy
Legyen minden
r : I × R → R3 , elemi felület: a
c
görbe
Amennyiben adott
x-tengely
és
c = (c1 , c2 )
parametrizált görbe, amelyre
c2 (t) > 0,
ekkor az
r(u, v) = (c1 (u), c2 (u) cos v, c2 (u) sin v)
x-tengely körüli megforgatásával keletkez® forgásfelület. egy f (x, y) = 0, z = 0 egyenletrendszerrel megadott ponthalmaz,
úgy az
körüli elforgatásával keletkez® felület egyenlete:
f (x,
p p y 2 + z 2 ) · f (x, − y 2 + z 2 ) = 0 .
Ha a ponthalmaz a forgatás tengelyére szimmetrikus, úgy az egyenlet
f (x,
p y2 + z2) = 0
redukálódik.
Néhány másodrend¶ felület kanonikus egyenlete:
x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c 2 2 y z2 x + − =1 a2 b2 c2 x2 y 2 z 2 − 2 − 2 =1 a2 b c 2 2 x y z2 + 2 − 2 =0 2 a b c 2 2 x y + 2 = 2z a2 b 2 x y2 − 2 = 2z 2 a b 2 x y2 + 2 =1 2 a b 2 x y2 − 2 =1 2 a b 2 y = 2cz (c 6= 0)
ellipszoid
egyköpeny¶ hiperboloid
kétköpeny¶ hiperboloid
kúp
elliptikus paraboloid
hiperbolikus paraboloid/nyeregfelület
elliptikus henger
hiperbolikus henger parabolikus henger
7
-ra
x − 2y + 3z = 5
1. Adjuk meg az
egyenlet¶ sík egy paraméteres el®állítását!
2. Adjuk meg egy origó középpontú, 3.
Tórusz: Legyen adva az (0
< β < α).
[x, z]
R
sugarú gömb egy paraméteres el®állítását!
k (α, 0, 0) középpontú, β sugarú kör el®állítását a k kör z -tengely körüli megforga-
koordinátasíkban egy
Adjuk meg egy paraméteres
tásával keletkez® felületnek!
4. Tekintsük az
x2 + y 2 − 6x + 5 = 0, z = 0
egyenletrendszer¶ körvonal
megforgatottját. Állítsuk el® a kapott tóruszt implicit módon (F (x, y, z)
y -tengely körüli = 0) és paramé-
teresen is! 5. Az alábbi parametrizált felületek mely másodrend¶ felületek paraméterezései? (α, β, γ
∈ R+ ) u ∈]0, π[, v ∈] − π2 , π2 [
(a)
r(u, v) = (α cos u cos v, β sin u cos v, γ sin v),
(b)
r(u, v) = (v cos u, v sin u, v), u ∈ R, v ∈ R+
(c)
r(u, v) = (αu cos v, βu sin v, u2 ), u ∈ R, v ∈ [0, 2π]
(d)
r(u, v) = (α ch u cos v, β ch u sin v, γ sh u), u ∈ R, v ∈ [0, 2π]
(e)
r(u, v) = (α ch u, β sh u cos v, γ sh u sin v), u ∈ R, v ∈ [0, 2π]
(f )
r(u, v) = (α(u + v), β(v − u), 2uv), u, v ∈ R
(g)
r(u, v) = (u, v, uv), u, v ∈ R
ahol
6. Írjuk fel annak a kúpnak az egyenletét, amelynek csúcspontja az origó, vezérvonala pedig az a kör, amelyet az
y=3
egyenlet¶ sík metsz ki az
x2 + (y − 6)2 + z 2 = 25
egyenlet¶
gömbfelületb®l!
x2 + y 2 = 2y, z = 0, alkotóegyeneseinek henger F (x, y, z) = 0 implicit egyenletét, és
7. Egy henger vezérvonalának egyenletrendszere közös irányvektora
v = (2, 1, 2).
Adjuk meg a
állítsuk el® paraméteres formában is!
Végeredmények: 1.
r(u, v) = u, v, 31 (5 − u + 2v )
2.
r(u, v) = (R cos u, R sin u cos v, R sin u sin v),
3.
r(u, v) = ((α + β cos u) cos v, (α + β cos u) sin v, β sin u), r : [0, 2π]2 → R3 √ x2 + z 2 − 6 x2 + z 2 + y 2 + 5 = 0, r(u, v) = ((3 + 2 cos u) cos v, 2 sin u, (3 + 2 cos u) sin v)
4.
Euler-Monge paraméterezés
5. (a) origó középpontú ellipszoid, (d) egyköpeny¶ hiperboloid, (nyeregfelület), (g)
z -tengely
körüli
− π4
ahol
u ∈ [−π, π], v ∈ [0, π]
(b) origó csúcspontú körkúp,
(e) kétköpeny¶ hiperboloid,
(c) elliptikus paraboloid,
(f ) hiperbolikus paraboloid
xy−z = 0 nyeregfelület, amely az el®z® példában szerepl® nyeregfelület szög¶ elforgatásával (és nyújtással) keletkezik.
8
6.
r(u, v) = (4v cos u, 3v, 4v sin u), 9x2 − 16y 2 + 9z 2 = 0
7.
4x2 + 4y 2 + 5z 2 − 8xz − 4yz − 8y + 4z = 0, r(u, v) = (2v + cos u, v + 1 + sin u, 2v)
6. Felületek paramétervonalai és érint®síkjai
1. Határozzuk meg, hogy az alábbi parametrizált felületek paramétervonalai milyen parametrizált görbék!
u, v ∈ R
(a)
r(u, v) = (u cos v, u sin v, v)
(b)
r(u, v) = (u + v, u − v, uv)
(c)
r(u, v) = (cos u ch v, sin u sh v, u)
, ,
u, v ∈ R ,
u, v ∈ R
2. Írjuk föl az alábbi parametrizált felületek (r :
R2 → R3 ) megadott p paraméter¶ pontjában
az érint®sík egyenletét és a felületi mer®leges egyenletrendszerét. Határozzuk meg az adott ponton átmen® paramétervonalak hajlásszögének koszinuszát! (a)
r(u, v) = (u2 − v 2 , 2uv, u2 + v 2 )
(b)
r(u, v) = (cos u − v sin u, sin u + v cos u, v)
(c)
r(u, v) = (u, (1 + u) cos v, (1 + u) sin v)
(d)
r(u, v) = (u cos v, u sin v, 2v)
,
p = (1, 2) ,
p = 1, π3
,
p = (0, 1) p = 1, π3
,
r : (u, v) ∈ R2 7−→ r(u, v) := (v cos√u, v sin u, v) ∈ R3 parametrizált körkúpot c˜ := r ◦ c felületi görbét, ahol c(t) := ( 2t, et ) ∈ R2 , t ∈ R.
3. Tekintsük az és azt a
(a) Fejezzük ki a
c˜0
deriváltat az
(b) Mutassuk meg, hogy
rv (c(t))
c˜0 (t)
vektorral minden
ru
és
rv
parciális deriváltak segítségével!
ugyanakkora szöget zár be az
t∈R
ru (c(t))
vektorral, mint az
paraméter esetén!
r : (u, v) ∈ R2 7−→ r(u, v) := (u cos v, u sin v, u2 ) ∈ R3 parametrizált felület. Számítsuk ki r ◦ α és r ◦ β felületi görbe szögét a közös t0 = 1 paraméter¶ pontban, ha α : t ∈ R 7−→ α(t) := (t, t + 1) ∈ R2 és β : t ∈ R 7−→ β(t) := (t, 3 − t) ∈ R2 .
4. Adott az
5. Határozzuk meg az alábbi implicit megadású felületek kijelölt pontjában az érint®sík egyenletét! (a)
xy 2 + z 3 = 12
2 (b) 6xy (c) (d)
−
2x2 y
,
P = (1, 2, 2)
−z =0
x2 − 2y 2 − 3z 2 − 4 = 0 x2 α2
−
y2 β2
= 2z
6. Határozzuk meg az
,
P = (2, 3, 84)
, ,
P = (3, 1, −1)
P = (p1 , p2 , p3 )
xyz = 1
felület
x+y+z−5 = 0
síkkal párhuzamos érint®síkjának
egyenletét! 7. Igazoljuk, hogy az
x2 + y 2 + z 2 = 18
és az
érint®síkok is egybeesnek!
9
xy = 9
egyenlet¶ felületek közös pontjaiban az
Végeredmények: 1. (a) 1. paramétervonalak: egyenesek, 2. paramétervonalak: hengeres csavarvonalak a felület csavarfelület; (b) 1. és 2. p.m.v.: egyenesek a felület nyeregfelület; (c) 1. p.m.v.:
cos-függvény,
ha a második paraméter 0, egyébként elliptikus hengerre írt csavarvonal, 2.
p.m.v.: hiperbola, ha az 1. paraméter nem
k
páratlan;
(±cht, 0, u0 ),
ha
u0 k ·
k·
π 2 alakú és
π 2 alakú;
k
páros,
(0, ±sht, u0 ), k ∈ Z.
ha
u0 k ·
π 2 alakú és
4−y z−5 2 √ Tp r : 3x − 4y + 5z = 0, n : x+3 3 = 4 = 5 , cos (^ (ru (p), rv (p))) = 3 6 π (b) Tp r : x + y − z = 1, n : x − 1 = y − 1 = 1 − z , ^ (ru (p), rv (p)) = 3 √ √ 3−z π x−1 √ (c) Tp r : 2x − y − , ^ (ru (p), rv (p)) = 3z = −2, n : 2 = 1 − y = 2 3 √ 1 √ x− 2 3 2π 2π (d) Tp r : 3x − y + z = 3 , n : √3 = 2 − y = z − 3 , ^ (ru (p), rv (p)) = π2
2. (a)
√ √ √ √ √ c˜0 (t) = 2 −et sin( 2t), et cos( 2t), 0 + et cos( 2t), sin( 2t), 1 (b) ru (c(t))⊥rv (c(t)) és ezeknek szögfelez®je a c ˜0 (t) minden t-re
3. (a)
4.
cos (^ ((r ◦ α)0 (1), (r ◦ β)0 (1))) =
2 3
5. a felület pontbeli gradiensvektorának felhasználásával: (a) (b) 6.
TP F : 30x + 64y − z = 168,
(c)
TP F : 3x − 2y + 3z = 4,
TP F : x + y + 3z = 9, p1 x (d) TP F : − pβ22y = z + p3 α2
P = (1, 1, 1), TP F : x + y + z = 3
7. közös pontok:
P = (3, 3, 0) és Q = (−3, −3, 0), grad F1 P kgrad F2 P
és
grad F1 Qkgrad F2 Q
7. Els® alapmennyiségek, felületi görbék ívhossza, felületdarab felszíne
1. Számítsuk ki a következ® felületek els® alapmennyiségeit (u, v (a)
r(u, v) = (au cos v, bu sin v, u2 ) (au ch v, bu sh v, u2 )
(elliptikus paraboloid)
(b)
r(u, v) =
(c)
r(u, v) = (a sh u cos v, b sh u sin v, c ch u)
(d)
r(u, v) = (x(u) cos v, x(u) sin v, z(u))
2. Számítsuk ki az
∈ R):
(hiperbolikus paraboloid) (kétköpeny¶ hiperboloid) (z -tengely¶ forgásfelület)
r : R2 → R3 parametrizált felület r◦c felületi görbéjének ívhosszát (felületi
görbeként!), ha (a)
r(u, v) = (v cos u, v sin u, v), c(t) = (t, et ), t ∈ [0, α] (eu cos v, eu sin v, eu ),
(α
∈ R+ )
c(t) = (−t, 2t), t ∈ [0, α]
(b)
r(u, v) =
(α
(c)
r(u, v) = (u2 − v 2 , 2uv, u2 + v 2 ), c(t) = (sin t, sin t), t ∈ 0,
∈ R+ )
π 2
3. Számítsuk ki a felület felszínét, ha (a)
r : (u, v) ∈ [−π, π] × − π2 , π2 7−→ r(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v) ∈ R3
(b)
r : (u, v) ∈ [0, 2π]2 7−→ r(u, v) = ((α + β cos u) cos v, (α + β cos u) sin v, β sin u) ∈ R3
(c)
r : (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 1] 7−→ r(u, v) = (cos u − v sin u, sin u + v cos u, u + v) ∈ R3 r : (u, v) ∈ [−1, 8] × [0, 2π] 7−→ r(u, v) = 31 (u − 2) cos v, u, 13 (u − 2) sin v ∈ R3
(d)
U ⊂ R2 a (0, 0), (1, 0) és (1, 1) csúcspontokkal háromszöglemez. Szá 2 2 2 2 rendelkez® u +v u −v mítsuk ki az r : (u, v) ∈ U 7−→ r(u, v) = 2 , 2 , uv parametrizált felület felszínét!
4. Legyen
10
Végeredmények: 1.
(a)
Ep = a2 cos2 v + b2 sin2 v + 4u2 , Fp = (b2 − a2 )u cos v sin v , Gp = a2 u2 sin2 v + b2 u2 cos2 v
(b)
Ep = a2 ch2 v + b2 sh2 v + 4u2 , Fp = (a2 + b2 )u ch v sh v , Gp = a2 u2 sh2 v + b2 u2 ch2 v
(c)
Ep = a2 ch2 u cos2 v + b2 ch2 u sin2 v + c2 sh2 u, Fp = (b2 − a2 ) ch u sh u cos v sin v , Gp = a2 sh2 u sin2 v + b2 sh2 u cos2 v
Ep = (x0 (u))2 + (z 0 (u))2 , Fp = 0, Gp = (x(u))2 √ α √ √ 3(e − 1), (b) 6(1 − e−α ), (c) 2 2 √ √ 4π , (b) 4αβπ 2 , (c) 2π , (d) 3π 10
(d) 2. (a) 3. (a)
√ 4.
8.
2 3
Második
alapmennyiségek,
f®irányok,
f®görbületek,
Gauss-
és
Minkowski-
görbület
1. Határozzuk meg az alábbi parametrizált felületek kijelölt pontjában a f®görbületeket, f®irányokat, a Gauss- és Minkowski-görbületeket! (a) (b) (c) (d)
(e)
r : (u, v) ∈ R2 7−→ r(u, v) := u2 + v 2 , 2uv, u − v ∈ R3 ,
p = r (−1, −1) π r : (u, v) ∈ R × ] 0, 2π [ 7−→ r(u, v) := (u cos v, u sin v, v) ∈ R3 , p = r 1, 4 r : (u, v) ∈ R × ] 0, 2π [ 7−→ r(u, v) := (eu cos v, eu sin v, ev ) ∈ R3 , p = r (0, 0) √ u v r : (u, v) ∈ ] 0, 2π [ × R+ 7−→ r(u, v) := v cos u, v sin , (1 + cos u) ∈ R3 , 2 2 π p=r ,1 3 r : ] 0,π [ × ] 0, 2π [ → R3 , r(u, v) := a sin u cos v, a sin u sin v, a ln tg u2 + cos u π p=r , λ , a ∈ R∗+ rögzített, λ ∈ ] 0, 2π [ 3
2. Határozzuk meg a következ® implicit alakban megadott felületek adott pontbeli Gaussés Minkowski-görbületét! (a)
4x2 y + 2xy 2 − z = 0,
2 (b) x (c)
−
4y 2
− 8z = 0,
x3 − y 3 − z = 0,
P = (−1, 2, 0) P = (4, 2, 0)
P = (2, −1, 9)
3. Végezzük el a felületi pontok osztályozását az
r : [0, 2π] × [0, 2π] → R3 ,
r(u, v) = ((α + β cos u) cos v, (α + β cos u) sin v, β sin u)
parametrizált tóruszon! 4. Határozzuk meg az
r : (u, v) ∈ R2 \ {(0, 0)} 7−→ r(u, v) = (v 3 , u2 , u + v) ∈ R3
felület
parabolikus pontjait! 5. Mutassuk meg, hogy az
r : (u, v) ∈ [0, 2π]2 7−→ r(u, v) = (cos u, sin u cos v, sin u sin v) ∈ R3
parametrizált gömb minden pontja elliptikus!
11
6. Mutassuk meg, hogy az
r : (u, v) ∈ R × [0, 2π] 7−→ r(u, v) = (u, u cos v, u sin v) ∈ R3
parametrizált kúp minden pontja parabolikus! 7. Mutassuk meg, hogy az
r : (u, v) ∈ R2 7−→ r(u, v) = (u, v, uv) ∈ R3
parametrizált nyereg-
felület minden pontja hiperbolikus! 8. Tekintsük az
r : [0, 2π] × [0, 2π] → R3 ,
r(u, v) = ((α + β cos u) cos v, (α + β cos u) sin v, β sin u)
parametrizált tóruszt. Adjunk meg olyan érint®síkot, amely pontosan két pontban érinti a felületet! Milyen alakzatban metszi ez a sík a tóruszt?
(Villarceau-körök)
Végeredmények: 1. Itt
V1
és
V2
vektorok a megfelel® f®irányokkal párhuzamos vektorok. (A
Vi , i = 1, 2
a
i
f®irányhoz tartozó
érint®egyenes egy eleme.)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√ 2 1 −1 Wp = ; −1 1 2
√ κ1 (p) = 0, V1 = (1, 1)B , κ2 (p) = 2, V2 = (1, −1)B ; √ 2 K(p) = 0 (parabolikus pont), H(p) = 2 √ √ √ 2 0 2 1 1 Wp = − ; κ1 (p) = − , V1 = ( 2, 1)B , κ2 (p) = , V2 = ( 2, −1)B ; 0 1 4 2 2 1 K(p) = − (hiperbolikus pont), H(p) = 0 4 √ √ 1 2 2 0 −2 ; κ1 (p) = Wp = √ , V1 = (2, 1)B , κ2 (p) = − , V2 = (1, −1)B ; −1 1 2 4 2 2 √ 1 2 K(p) = − (hiperbolikus pont), H(p) = 4 8 √ √ √ 4 3 1 5 3 √ 5 , Wp = − ; κ1 (p) = 0, V1 = (1, − 3)B , κ2 (p) = − 9 3 3 18 9 √ √ 2 3 V2 = (5, 3 3)B ; K(p) = 0 (parabolikus pont), H(p) = − 9 ! √ √ √ − 3 √0 1 3 3 ; κ1 (p) = − , V1 = ru (p), κ2 (p) = , V2 = rv (p); Wp = 3 a a 3a 0 3 √ 1 3 K(p) = − 2 (hiperbolikus pont), H(p) = − a 3a
64 K(p) = − 81 2 , H(p) = 45 H(p) = 14√154
2. (a)
4 243 ;
√
(b)
6 1 K(p) = − 144 , H(p) = − 96 ;
(c)
K(p) =
π 3π (u, v) ∈ [ 0, ] ∪ ] , 2π ] × [0, 2π]; π2 3π 2 , × [0, 2π] ; parabolikus pontok: (u, v) ∈ 2 2 π 3π hiperbolikus pontok: (u, v) ∈ ] , 2 2 [ × [0, 2π]
3. elliptikus pontok:
72uv 3 = 0;
4.
K(u, v) = 0,
5.
K(u, v) = 1 > 0
6.
K(u, v) = 0
H(u, v) 6= 0
az értelmezési tartomány minden
(u, v)
pontja esetén
7.
K(u, v) = − (u2 +v12 +1)2 < 0
az értelmezési tartomány minden
(u, v)
pontja esetén
ha
és
így egy felületi pont parabolikus, ha
az értelmezési tartomány minden
12
(u, v)
u=0
vagy
v = 0.
pontja esetén
18 5929 ,
8.
Útmutató: Végtelen sok ilyen sík létezik. Kiválasztva például az
[y, z]-koordinátasík metx-tengely által megha-
szetét, az ott kapott két kör (egyik) közös bels® érint®egyenese és az
tározott sík pontosan két pontban érinti a tóruszt. A kapott metszési alakzat két (egymást
Villarceau-körök . √ α2 −β 2 β α2 −β 2 , valamint v2 0, α , α
az érintési pontokban metsz®) kör ezek az ún. Az
ábra
jelöléseit
az
érint®sík
követve
egy-egy
v1
=
irányvektora,
így
az
érint®sík
egy
=
(1, 0, 0)
normálvektora
például:
p w = 0, β, − α2 − β 2 . A sík tartalmazza az origót, így az egyenlete:
13
βy −
p α2 − β 2 z = 0.
