Kisérettségi feladatsorok matematikából
8. feladatsor
8. feladatsor I. rész 1.
Egy deltoid két szomszédos szöge 75° és 110°. Mekkora lehet a hiányzó két szög? 2 pont
2.
Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha 1 a = és b = −2! 2 ( a + b )2 − ( a − b ) ( a + b ) 3 pont 2ab
3.
Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; B = [0; 30[. Adja meg az A Ç B halmaz elemeit! 2 pont
4.
Egy a hegyesszögre tg α =
5.
Egy osztály
6.
Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartománya a [−2; 11] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő! 2 pont
7.
28
5 . Határozza meg sin a pontos értékét! 12
3 pont
1 -a gyalog jár iskolába, a többiek 75%-a kerékpárral, 5-en pedig 3 busszal. Hány fős az osztály? 3 pont y 4 3 2 1
2 1
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
Egy szimmetrikus trapéz alapjai 20 cm és 4 cm, átlója 13 cm hosszú. Mekkora a területe? 3 pont
Kisérettségi feladatsorok matematikából 3 x 5 − ≤ egyenlőtlenségnek? 2 3 6
4 pont
Hány egész megoldása van az
9.
Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; 1; 2; 3; 4; 5 számjegyek mindegyikét, és osztható 12-vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám? 3 pont
10. Az A és a B halmazokra teljesül, hogy A = 5 ; A È B = 12 és A \ B = 4. Hány 2 pont
elemű a B halmaz? 11. Oldja meg az x 4 + 8 x 3 + 16 x 2 = 0 egyenletet!
3 pont
II./A rész 12. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám 32-vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám? 12 pont 13. Az f ( x ) = x 2 − 4 x − 5 függvény értelmezési tartománya a [−2; 5] intervallum. a) Határozza meg a függvény értékkészletét! 4 pont b) Határozza meg f ( x ) szélsőértékeit és azok helyét!
8 pont
14. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága 5 egység. a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól? 3 pont b) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfelezőjének a háromszögbe eső szakasza? 9 pont
II./B rész 15. Egymástól 12 m távolságban áll egy 6 m és egy 10 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítettünk egy 16 m hosszú kötelet, és erre ráakasztottunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a 10 kötél két ága merőleges egymásra. a) Milyen hosszú a kötél két ága? 9 pont
6 12
29
8. feladatsor
8.
Megoldások
8. feladatsor megoldása
1.
Egy deltoid két szomszédos szöge 75° és 110°. Mekkora lehet a hiányzó két szög?
8. feladatsor
I. rész
Megoldás: Ha a két különböző hosszúságú oldal által bezárt szög 75°, akkor 2 ⋅ 75° + 110° + γ = 360°; amiből g = 100°. Így a szögek: 75°; 110°; 75°; 100°. 1 pont Ha ez a szög a 110°, akkor 2 ⋅ 110° + 75° + δ = 360°; amiből d = 65°. A deltoid szögei 110°; 75°; 110°; 65°. 1 pont 1 2. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a = és b = −2 2 1 a = és b = −2 ! 2 ( a + b )2 − ( a − b ) ( a + b ) 2ab Megoldás: a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + b 2 2ab + 2b 2 2b ( a + b ) a + b = = = ; a ≠ 0 és b ≠ 0. 2ab 2ab 2ab a 1 −2 3 = − ⋅ 2 = −3. Behelyettesítve: 2 1 2 2 3.
1 pont
Adott két halmaz: A = {kétjegyű prímszámok}; B = [0; 30[. Adja meg az A Ç B halmaz elemeit!
Megoldás: A Ç B = {11; 13; 17; 23; 29} 4.
2 pont
Egy a hegyesszögre tg α =
2 pont 5 . Határozza meg sin a pontos értékét! 12
97
8. feladatsor
Megoldások Megoldás: Legyenek az a hegyesszögű derékszögű háromszög megfelelő oldalai a szokásos jelöléssel a, b és c! a 5 12 tgα = = ⇒ b = a. 1 pont b 12 5 144 2 169 2 13 c2 = a2 + a = a ⇒ c = a. 1 pont 25 25 5 a 5 sin α = = . 1 pont c 13 1 5. Egy osztály -a gyalog jár iskolába, a többiek 75%-a kerékpárral, 5-en pedig 3 busszal. Hány fős az osztály? Megoldás:
1 2 x + 0, 75 ⋅ x + 5 = x . 3 3 Ebből x = 30; azaz 30 fős az osztály.
Ha az osztálylétszám x, akkor
6.
Az alábbi grafikonnal megadott függvény értelmezési tartománya a [−2; 11] intervallum. Adja meg az értelmezési tartomány azon intervallumait, ahol a függvény szigorúan monoton növekvő!
Megoldás: A függvény szigorúan monoton növekvő a [2; 4] és a [6; 8] intervallumon. 2 pont 7.
2 pont
y 4 2
2
2
4
6
8
10
x
2
4
Egy szimmetrikus trapéz alapjai 20 cm és 4 cm, átlója 13 cm hosszú. Mekkora a területe?
Megoldás: Az ábra az adatokkal m2 + 122 = 132; amiből m = 5. 20 + 4 ⋅ 5 = 60. A terület: T = 2
98
1 pont
1 pont 1 pont
4 13
1 pont 12
m 8
Megoldások
8.
Hány egész megoldása van az
3 x 5 − ≤ egyenlőtlenségnek? 2 3 6
9.
1 pont 2 pont 1 pont
Egy hatjegyű szám tartalmazza a 0; 1; 2; 3; 4; 5 számjegyek mindegyikét, és osztható 12-vel. Melyik a legkisebb, illetve legnagyobb ilyen szám?
Megoldás: A számjegyek összege 15, ezért a szám osztható 3-mal, így elég a 4-gyel való oszthatóságot vizsgálni. 1 pont Az utolsó két helyen lévő számjegyből alkotott számnak oszthatónak kell lenni 4-gyel. A legkisebb ilyen szám a 103 452, a legnagyobb pedig az 543 120. 2 pont 10. Az A és a B halmazokra teljesül, hogy A = 5; A È B = 12 és A \ B = 4. Hány elemű a B halmaz? Megoldás: AÇ B = A − A \ B = 5 − 4 =1 A È B = A + B − A Ç B alapján B = 8.
1 pont 1 pont
11. Oldja meg az x 4 + 8 x 3 + 16 x 2 = 0 egyenletet! Megoldás: x 2 x 2 + 8 x + 16 = 0
(
)
x ( x + 4) = 0 ebből x = 0 vagy 2
2
x = −4.
1 pont 2 pont
II./A rész 12. Két pozitív szám számtani és mértani közepe között a különbség 8. Az egyik szám 32-vel nagyobb a másiknál. Melyik ez a két szám?
99
8. feladatsor
Megoldás: 5 3 x 5 − ≤ − ≤ 6 2 3 6 −5 ≤ 9 − 2 x ≤ 5 ⇒ − 14 ≤ −2 x ≤ −4 ⇒ 2 ≤ x ≤ 7 6 egész megoldása van az egyenlőtlenségnek.
8. feladatsor
Megoldások Megoldás: Legyen az egyik szám x, a másik x + 32 (x > 0)! x + x + 32 = x + 16. A számtani közepük: 2
1 pont 1 pont
A mértani közepük: x ( x + 32 ) . A számtani közép nem kisebb a mértaninál, ezért
1 pont
x + 16 − x ( x + 32 ) = 8;
2 pont
x 2 + 32 x = x + 8 . Minkét oldalt négyzetre emelve: x 2 + 32 x = x 2 + 16 x + 64 . Ebből x = 4. A két szám a 4 és a 36. Ellenőrzés
2 pont 2 pont 1 pont 1 pont 1 pont
13. Az f ( x ) = x 2 − 4 x − 5 függvény értelmezési tartománya a [−2; 5] intervallum. a) Határozza meg a függvény értékkészletét! b) Határozza meg f ( x ) szélsőértékeit és azok helyét! Megoldás: 2 1 pont a) f ( x ) = ( x − 2 ) − 9 Mivel f másodfokú függvény, és a fő együtthatója pozitív, így a képe egy pozitív irányba nyíló parabola. f ( −2 ) = 7 és f ( 5 ) = 0 1 pont A függvény minimuma f ( 2 ) = −9; az értékkészlete [ −9; 7 ]. 2 pont b) Az x f ( x ) függvény grafikonja: y f ( x ) értékkészlete [ 0; 9]; 2 pont 8 minimuma: 0; 1 pont 7 minimumhelyei az x 2 − 4 x − 5 = 0 megoldásai: 6 x = −1 és x = 5 ; 2 pont 5 maximuma: 9; 1 pont 4 maximumhelye: x = 2. 2 pont 3 2 1
2 1
1 2 3 4 5x
14. Derékszögű háromszög magasságpontjának és súlypontjának távolsága 5 egység. a) Milyen messze van a köré írható kör középpontja a súlyponttól? 100
Megoldások b) A háromszög legkisebb oldala 9 egység. Milyen hosszú a legkisebb szög szögfelezőjének a háromszögbe eső szakasza?
8. feladatsor
Megoldás: a) Legyen az ABC derékszögű háromszög súlypontja S, az AB oldal felezőpontja F! A háromszög magasságpontja a derékszögű csúcs. M = C és MS = 5. 1 pont A köré írható kör középpontja F és FM súlyvonal, amelyet S harmadol. 1 pont 1 5 FS = MS = . 1 pont 2 2
B F 5
S
M C
5 b) Az átfogó hossza c = 2 ⋅ sc = 2 ⋅ FC = 2 ( FS + SM ) = 2 + 5 = 15. 2
A
2 pont
A legrövidebb oldal a = 9. A másik befogó b = c 2 − a 2 = 152 − 92 = 12. 1 pont A legkisebb szög a legrövidebb oldallal szemközti szög, ez most a. 1 pont a 9 sin α = = ; amiből a ≈ 36,87°. 2 pont c 15 Legyen az A csúcsból induló szögfelező és a szemközti oldal metszéspontja D! A szögfelező hossza AD = f. α b Az ACD derékszögű háromszögben cos = . 1 pont 2 f 12 ≈ 12, 65 . 2 pont Innen f = cos18, 43° II./B rész 15. Egymástól 12 m távolságban áll egy 6 m és egy 10 m magas oszlop. Az oszlopok tetejéhez rögzítettünk egy 16 m hosszú kötelet, és erre ráakasztottunk egy testet úgy, hogy egyensúlyi helyzetben a kötél két ága merőleges egymásra. a) Milyen hosszú a kötél két ága? b) A két oszlop között, azoktól egyenlő távolságra állva mekkora emelkedési szögben látjuk az oszlopok tetejét, ha a szemmagasságunk 1,6 m?
101
