VERSENYFELADATOK
5 – 12. évfolyam részére
I. FELADATSOR
5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi az osztály létszáma? 2. Kitar Tóni arra szánta el magát, hogy egy hosszú papírcsíkra felírja 1-től 5000-ig egymás után a természetes számokat. Tóni egyenletes tempóban úgy dolgozott, hogy másodpercenként két számjegyet tudott leírni. Ügyes számolással próbáld ki, hogy egy óra elteltével eljutott-e Tóni 2000-ig! 3. Hány olyan – egymástól különböző méretű – téglalap létezik, amelyiknek minden oldala egész deciméterben mérhető, és kerülete 2000 mm? E téglalapok közül melyiknek legnagyobb a kerülete? 4. Egy kétfordulós verseny négy résztvevőjéről a következőket tudjuk: • Mind a négyen mindkét fordulóban más-más értékű, de mindig páros számú pontot kaptak; • Mind a négy versenyzőnek minden egyes fordulóban 20 pontnál kevesebbet sikerült szereznie. A két fordulóban szerzett pontok összegzése után a négy ismert versenyző közül Gábornak 16, Palinak 26, Tominak 12 pontja lett. Dani pontjait nem ismerjük, de azt tudjuk, hogy a négy fiú együtt összesen 84 pontott gyűjtött. Hány pontot kaphatott Dani az első, és hányat a második fordulóban? 5. Az ismert számjegyek közül milyen számhármasokkal lehet olyan háromjegyű számokat alkotni, amelyekben a számjegyek különbözőek és összegük 15? Hány ilyen számhármas van összesen? (Egy számhármas például: 8, 7, 5, ezek összege 20.)
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
6. osztály 1. Bontsd fel a 15-öt egymás utáni egész számok összegére! Keresd meg az összes megoldást! 2. A 2002-ben a két szélső számjegy szorzata 4, a két középső számjegy szorzata pedig 0. hány ilyen tulajdonságú négyjegyű pozitív egész szám van? 3. Mindig csak egy betűt változtatva és végig értelmes szavakon haladva juss el PEST-ről BUDA-ra! 4. Két pozitív egész szám összege 207. A nagyobbat a kisebbel elosztva hányadosul és maradékul egyaránt 7-et kapunk. Melyik ez a két szám? 5. Az alábbi bűvös négyzetbe 1-től 25-ig kell beírni a számokat. A bűvös négyzet minden sorában, minden oszlopában és mindkét átlójában megegyezik a számok összege. Beírtunk 15 számot. Írd be a hiányzó számokat! 10 1 14
21
17
5
6
13 24
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
7 15
9
4 19
3
7. osztály 1. Három kislány: Anna, Bea és Marika matekversenyre készülnek. Minden feladat megoldása után annyi narancsot kapnak édesanyjuktól és ugyanakkor a matektanártól is, ahány feladattal eddig végeztek. Mindhármuknak van befejezett feladata. Tudva azt, hogy összesen 92 narancsot kaptak, számítsuk ki, hány feladatot oldott meg a legügyesebb gyermek, aki a második legeredményesebbnél legalább 2 feladattal többet oldott meg! 2. A kertben 30 ágyás van. A hossza mindegyiknek 16 m, a szélessége 2,5 m. a kútból, amelyből öntözni lehet, az 1. ágyásig 14 méteres út vezet. A kertész egy kannányi vízzel egy-egy ágyást öntöz meg, úgy, hogy közben körbejárja azt. Hány méter utat tesz meg a kertész, amíg az összes ágyást megöntözi? Az útját a kútnál kezdi és ott is fejezi be, s mindig az úton halad. 3. Egy 32 kártyából álló csomagból egyszerre három kártyát húztunk. Hányféleképpen lehet, hogy a kihúzott kártyák értékeinek összege 21? (A csomagban 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11 értékű kártya van, valamint mindegyik kártyából négy szín.) 4. Egy külföldi nagyvárosban 2001 ház egyetlen sorban helyezkedik el. Minden ház után adót kell fizetni. Az első és az utolsó ház kivételével minden ház adója 1 dollárral kevesebb, mint a két szomszédja által fizetett adó szorzata. Hány dollárt fizetett a 2001 háztulajdonos összesen, ha az első ház adója 2 dollár, a másodiké 3 dollár? 5. Kecskés Béla kereskedő volt. Káposztafejekkel kereskedett. Gyorsan meg akart gazdagodni, ezért 50%-kal drágábban akarta adni a káposztát, mint ahogyan azt a kistermelőktől megvette. Így azonban nem fogyott az árú. Béla ekkor gondolkodni kezdett. Kénytelen engedni az árból, különben a káposzta tönkremegy, és a haszon helyett kárral zárja az üzletet. Hány százalékkal árazza le Béla a terméket, ha még így is szeretne 20% hasznot?
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
8. osztály 1. Egy kirándulócsoport az első nap megtette a kijelölt út megmaradt út
3 -ét, a második nap a 7
2 -át, a harmadik nap a többit, ami 12 km-rel volt kevesebb, mint a 3
második napi távolság. Mekkora utat tettek meg naponta? 2. Egy tantestület átlagéletkora pontosan 40 év. Tudjuk, hogy a tanárnők átlagéletkora pontosan 35 év, a tanár uraké pontosan 50 év. Határozzuk meg a tanárnők és tnár urak arányát a tantestületben! 3. Egy városból reggel 6 órakor elindult egy személyvonat 80 Valamennyi idő múlva utánaindult egy gyorsvonat 120
km h
sebességgel.
km sebességgel. A gyorsvonat h
indulása után 1 órával ugyanannyi a távolság közöttük, mint az indulás után 3 órával. Mikor indult a gyorsvonat? 4. Az ABC háromszögben AB = AC , és az A csúcsnál lévő szög 20°. A B csúcshoz tartozó belső szögfelező és az AC oldal metszéspontja D . A D -re illeszkedő, AB vel párhuzamos egyenes és a BC alap metszéspontja pedig E . Igaz-e, hogy BE = CD ? 5. Egy részvénytársaság három tagja megvásárol egy részvényt. Az első tag a második által 1 -ával járul hozzá, és 500 000 forinttal többel, mint a harmadik tag. A 6 9 második tag a harmadik által fizetett összeg -ét fizeti. Mennyi volt a megvásárolt 10
fizetett összeg 1
részvény értéke, és mennyit fizettek az egyes tagok külön-külön?
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
9. osztály 1. Igazold, hogy a 2 2003 + 3 nem lehet két egymást követő pozitív egész szám szorzata! 2. Az ABCD paralelogramma C csúcsánál levő hegyesszögének belső szögfelezője a DA oldalt P pontban metszi úgy, hogy AP = 4,5cm . Mekkorák a paralelogramma oldalai, ha kerülete 33 cm? 3. A 2003 prímszám. Melyek azok az
x , y egész számok, amelyek kielégítik az
1 1 1 + = egyenletet? x y 2003
4. Határozzuk meg az összes olyan abcd + ab + cd + a + b + c + d = 2001
abcd
négyjegyű számot, amelyre igaz, hogy:
!
5. Bizonyítsuk be, hogy az S = 5 + 52 + 53 + ... + 5150 szám osztható 186-tal!
C:\Balázs\Arany\Új honlap\htdocs\pontverseny1f.html Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
10. osztály 1. Melyik az a legkisebb 36-tal osztható pozitív egész szám, melyben csak páros számjegyek vannak? 2. Egy család (apa, anya és gyerekek) átlagéletkora 18 év. A 38 éves apát nem számítva a család átlagéletkora 14 év. Hány gyerek van a családban? 3. Számold
ki a tört értékét! 1234567890 . 1234567891 2 − 1234567890 ⋅ 1234567892
(Számológépet
ne
használj!)
4. Két embernek 8 liter bora van egy 8 literes edényben. Hogyan felezhetik meg ezt a bort, ha a 8 literes edényen kívül csak egy 5 literes és egy 3 literes edény áll rendelkezésükre? 5. Az ABCD húrtrapéz AB alapjára mint átmérő fölé rajzolunk egy félkörívet. A félkör a szárakat felezi és érinti a trapéz másik alapját. Mekkorák a trapéz szögei?
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
11. osztály 1. Péter 25%-kal több zsebpénzt kap, mint Pál. Pál hány %-kal kap kevesebbet Péternél? 2. Egy derékszögű háromszögbe írt kör sugara 5 egység, az átfogóhoz tartozó magasság 12 egység. Hány egység a háromszög kerülete? 3. Az x 2 + 8 x + q = 0 és x 2 − 16 x + 3q = 0 egyenletek egyik gyöke megegyezik. Mennyi a különböző gyökeik eltérése? 4. Egy szabályos nyolcszög két szomszédos csúcs A és E . Egy béka minden ugrással egyik csúcsból egy szomszédos csúcsba jut. Hány különböző módon tud A -ból indulva a nyolcadik ugrással E -be eljutni, ha ekkor ugrik először E -be? 5. Egy körbekerített 30 m oldalú szabályos háromszög alakú terület középpontjában álló cövekhez 10 m hosszú kötéllel kikötött kecske által lelegelhető terület (egészre kerekítve) hány m2?
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
12. osztály a+ b = lg a + lg b , ahol a és b ( a < b) egy derékszögű háromszög befogói, 4 akkor mivel egyenlő sin 2α ( α az a oldallal szemközti szög)?
1. Ha 2 ⋅ lg
2. Egy végig bokrokkal, fákkal szegélyezett mecseki út
3 részben bokrok, 80 %-ban fák 5
között vezetett. Az út hányad részében vezetett az út bokrok is és fák között is? 3. Egy 2,5 m-es lécből egy ötfokú létra fokait akarjuk kiszabni úgy, hogy a legalsó fok 80 cm-es legyen és felfelé haladva mindig ugyanannyival rövidüljenek a fokok. Hány cm-es lesz a létra legfelső foka? 4. Hét egyforma doboz közül 6 üres, a hetedikben egy arany zsebóra lapul. Ha a dobozokat megbetűznénk, sorbaraknánk és a következő sorrendben számlálnánk: A, B, C, D, E, F, G, F, E, D, C, B, A, B, … akkor az ezrediknél jutnánk az aranyórához. Melyik jelű dobozban van a zsebóra? 5. Az ABCD érintőnégyszög oldalai AB = 11cm , CD = 7cm . A beírható kör középpontján keresztül húzzunk AB -vel párhuzamost. Ez az AD oldalt E -ben BC -t F -ben metszi. Mekkora az EFCD négyszög és az ABCD négyszög kerületeinek aránya?
Egy-egy feladat jó megoldása 10 pontot ér.
Beadási határidő: november 5.
