Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
III.7. PRÍM PÉTER A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Számelmélet: osztó, többszörös, prímtényezős felbontás, legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó. Előzmények Oszthatóság, prímtényezős felbontás, legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó. Cél Váljon a prímtényezős felbontás felírása rutinszerű műveletté. Osztók, többszörösök keresése. Ismerje fel a tanuló az osztók, többszörösök kitevőinek vizsgálatával, hogyan keressük meg a számok legkisebb közös többszörösét és legnagyobb közös osztóját. A feladatsor alkalmas a szövegértés fejlesztésére is. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + +
+ +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + +
Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásakor ajánlott az egyéni munka, minden feladat utáni közös megbeszéléssel, koncentrálva az 1. c), 2. b), 3. c), 4. d) és 4. f) feladatokra. Érdemes megbeszélni, hogy a 3. feladatban a legkisebb közös többszörösről, a 4. feladatban pedig a legnagyobb közös osztóról van szó. Bőven van gyakorlási lehetőség a feladatokban, ezért érdemes akár minden alkalommal felhívni a figyelmet a kitevőkre, és megbeszélni, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással az egyes kifejezésekben. Mivel a feladatok nagy része egyszerű, így a szöveg megértése és a matematikai tartalom kicsomagolása után várhatóan mindenkinek – kis segítséggel – meg kell tudni oldania azokat.
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.7. Prím Péter
1.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
PRÍM PÉTER Feladat sor
A B É RL ET
1.
Katinka úszni jár, és rendszeresen bérletet vesz. Amikor elhasználta az egyik bérletet, megveszi a következőt. A bérletet nem lehet „átvinni” egyik évről a másikra. a) Hány alkalommal mehet úszni egy évben, ha egy bérlet öt alkalomra szól, valamint feltételezzük, hogy minden bérletet teljesen elhasznál, és egy héten legfeljebb kétszer megy úszni? b) Hányszor mehet, ha egy bérlet 12 alkalomra szól, és legfeljebb háromszor megy egy héten úszni?
Prím Péter, Katinka barátja, nevéhez híven a válaszait prímszámok segítségével adja meg: mindig egy-egy prímszám vagy egy prímfelbontás a válasza. Ő is elgondolkodott, hogy Katinka hányszor mehetett úszni, de a lehetséges válaszokat „prímpéteresen” írta fel. c) Milyen válaszokat írt fel Prím Péter, és milyen következtetést vonhatunk le belőle?
M I N DE N KI M Á SKÉ PP C SIN Á L JA
2.
Ági is jár úszni, de ő egy másik uszodába. a) Hány alkalomra szólhat egy bérlet, illetve hány bérletet vehetett, ha egy évben 180-szor volt úszni, és minden bérletet elhasznált, amit vett? b) Hogyan írná fel a 180-at, illetve a fenti kérdésre adható válaszokat Prím Péter, és milyen következtetést vonhatunk le ebből?
N Y A R AL JU N K !
3.
Ági és Katinka a barátnőikkel, összesen tizenketten, együtt fognak nyaralni, és az ottani uszodába is el szeretnének menni. Közös bérleteket vesznek, mivel nem lesznek ott olyan sokáig, hogy mindenki elhasználjon egy-egy bérletet. a) Melyik fajtából hány bérletet kellene legalább venniük, ha a kapható bérletek 8, 15 vagy 18 alkalomra szólnak? (Minden bérletet teljesen el akarnak használni, és mindig együtt mennek az uszodába. Egy bérletet több ember is használhat.) Töltsd ki a táblázat hiányzó adatait!
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.7. Prím Péter
2.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
Létszám
Hány alkalomra szól egy bérlet?
12
8
12
15
12
18
Hány bérletre van szükség?
Összesen hány alka- Hány alkalommal lomra szólnak a bér- mehet a társaság letek? úszni? 2
4 108
b) Prím Péter ismét egy külön táblázaton dolgozott. Hogy néz ki Péter táblázata?
Létszám
Hány alkalomra szól egy bérlet?
223
23
Hány bérletre van szükség?
Összesen hány alkalomra szólnak a bérletek?
Hány alkalommal mehet a társaság úszni? 2
2
2
2233 c) Milyen következtetést vonhattak le Péter táblázatából? d) Ha lenne 5 alkalomra szóló bérlet is, abból hányat kellene venniük legalább, hogy együtt mehessenek úszni, s mindegyik bérletet teljesen kihasználják? e) Ha három barátnő vesz valahány darab tizenkét alkalomra szóló bérletet, akkor legkevesebb hány bérletet kell venniük, hogy teljesen kihasználhassák, s hányszor mehetnek így úszni? f) És ha tizenöt barátnő vesz valahány darab öt alkalomra szóló bérletet? KE L L E GY C SAP AT !
4.
Egy másik baráti társaság szintén vásárol néhány bérletet. Mindegyiket teljesen elhasználják, és ők is együtt mennek uszodába. a) Összesen hány alkalomra szólnak a bérletek, és hány főből áll ez a társaság, ha öt darab nyolc alkalomra szóló bérletet vesznek? b) Prím Péter ismét önállóan gondolkozott ugyanezen a kérdésen, és észre is vett valamit. Mit írt Péter a füzetébe, és vajon mit vett észre? c) Összesen hány alkalomra szólnak a bérletek, és hány főből áll ez a társaság, ha négy darab tizenöt alkalomra érvényes bérletet vesznek? d) Prím Péter tovább gondolkozott ezen a kérdésen, és ismét rájött valamire. Mit írt Péter a füzetébe, és vajon mire jött rá? e) Legfeljebb hányan lehettek a társaságban, ha egyik nyáron 40, egy másik nyáron pedig 60 alkalomra szóló bérletcsomagot vásároltak? f) Péter is felírta az adatokat és a válaszát: 60 = ................. 40 = .................. Ennyi fős a társaság: ........................ Írd fel Te is Péter válaszait, és most már Tiéd a következtetés joga, Péter megpihen.
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.7. Prím Péter
3.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 365 2 105 , egy évben legfeljebb 104-szer mehetne úszni, de egy bérlet 5 7 alkalomra szól, ezért 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 vagy 100 alkalommal mehet. 365 b) Mivel 156 3 157 , egy évben legfeljebb 156-szor mehet úszni, vagyis 12, 24, 36, 7 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 vagy 156 alkalommal. c) Prím Péternek az a) kérdéshez írt válaszai: 20 2 2 5 55 10 2 5 15 3 5 25 5 2 40 23 5 30 2 3 5 35 5 7 45 32 5 50 2 5 2 60 2 2 3 5 55 5 11 75 3 5 2 80 2 4 5 65 5 13 70 2 5 7 90 2 32 5 100 2 2 5 2 85 5 17 95 5 19 Prím Péternek az b) kérdéshez írt válaszai: 12 2 2 3 24 23 3 36 2 2 32 48 2 4 3 60 2 2 3 5 72 2 3 32 84 2 2 3 7 96 2 5 3 108 2 2 33 120 2 3 3 5 132 2 2 3 11 144 2 4 32 156 2 2 3 13 Minden prímnek a kitevője nagyobb vagy egyenlő, mint a 12 prímfelbontásában szereplő prímeké.
1. a) Mivel 104
2. a) 180-nak keressük az osztóit: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 alkalomra szólhat a bérlet. Ugyanezek a válaszok a másik kérdésre, a 180 kivételével, és hozzájön még az 1 is. b) 180 2 2 32 5 4 22 9 32 6 23 10 2 5 2 2 12 2 3 18 2 3 20 2 2 5 15 3 5 36 2 2 32 45 32 5 60 2 2 3 5 30 2 3 5 90 2 32 5 180 2 2 32 5 Csak a 180 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és minden prímnek kisebb vagy egyenlő a kitevője, mint a 180 prímtényezős alakjában. 3. a) Összesen hány alka- Hány alkalommal lomra szólnak a bér- mehet a társaság letek? úszni?
Létszám
Hány alkalomra szól egy bérlet?
Hány bérletre van szükség?
12
8
3
24
2
12
15
4
60
5
12
18
2
36
3
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.7. Prím Péter
4.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
b) Prím Péter táblázata: Létszám
Hány alkalomra szól egy bérlet?
Hány bérletre van szükség?
223
23
3
2
35
2
2
2 3 2 3
23
2
2
23
Összesen hány alka- Hány alkalommal lomra szólnak a bér- mehet a társaság letek? úszni? 233
2
2
5
2 35 2
2 3
3
32
c) Az első két oszlopban levő prímek közül mindig a nagyobb kitevőjűt kell venni, és azokat össze kell szorozni. d) Ezzel nem tudnak spórolni. Meg kellene venniük a 12 bérletet, mivel nincs közös osztója az 5-nek és a 12-nek, vagyis relatív prímek. e) Egy bérletet kell venniük, s azzal négyszer mehetnek úszni f) Három bérletet kell venniük, s azzal egyszer mehetnek az uszodába. 4. a) 40 alkalomra szólnak. Tehát a második kérdésre a válasz a 40 osztói: 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 – az 1 kivételével. b) 40 23 5 22 4 22 8 23 55 20 2 2 5 40 23 5 10 2 5 Csak a 40 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és a jobb oldalon lévő prímek kitevői kisebb vagy egyenlők, mint a 40 felbontásában. c) 60 alkalomra szólnak. Tehát a második kérdésre a válasz a 60 osztói: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 – az 1 kivételével. d) 60 2 2 3 5 22 4 22 33 55 2 12 2 3 20 2 2 5 6 23 10 2 5 15 3 5 60 2 2 3 5 30 2 3 5 Csak a 40 prímfelbontásában szereplő prímek fordulnak elő, és a jobb oldalon lévő prímek kitevői kisebbek vagy egyenlők, mint a 60 felbontásában. e) 20-an. f) 20 2 2 5 40 23 5 60 2 2 3 5 A 20 prímtényezős felbontásában az egyes prímtényezők kitevői a megfelelő közös prímtényezők kitevői közül a lehető legnagyobbak, vagyis a 40 és 60 megfelelő közös prímtényezőinek kisebbik (nem nagyobbik) kitevőjével egyeznek meg.
III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás
III.7. Prím Péter
5.oldal/5
