A MÁGIKUS MATEK ÉRETTSÉGI FELADATSOR

A MÁGIKUS MATEK ÉRETTSÉGI FELADATSOR A KÖZÉPSZINTŰ MATEK ÉRETTSÉGIN ELŐFORDULÓ MINDEN LEHETSÉGES FELADATTÍPUSBÓL TALÁLSZ ITT LEGALÁBB EGYET, ÉS A MI MÉG JOBB, HOGY LÉPÉSRŐL LÉPÉSRE MEGNÉZHETED A MEGOLDÁSOKAT IS OKTATÓVIDEÓINKBAN A www.easyMaths.hu OLDALON. Pl.: a "video1" feladatot az 1-es videóban találod, és így tovább.

EGYENLETEK EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK video1 Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.1.

x 2  7 x  12  0 0.2.

x 2  7 x  18  0

video2 Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket. 0.3.

x 2  7 x  12  0 0.4.

 x 2  7 x  30  0 0.5.

x 2  4x  5  0 0.6.

x2  4 0 2x  6

www.easyMaths.hu a matek világos oldala © Mosóczi András

1

video3 Egyszerűsítsük az alábbi kifejezéseket: 0.7.

x 2  8x  6 3x  12

x  4

0.8.

x 2  4x  4 x2  4

x  2

0.9.

x 2  6x  9 2 x 2  18

x  3

0.10.

b 2  64 b 8

b8

0.11.

2a 2 b  18b a 2 b  6ab  9b

b0 a3

0.12.

8a 3b  2ab 4a 2 b  4ab  b

b  0 a  1 / 2

0.13.

a 3  ab 2 3a 2 b  6ab 2  3b 2

b0 ab

video4 Egészítsük ki teljes négyzetté: 0.14.

x 2  8x  17 0.15.

x 2  10 x  21 0.16.

x 2  6 x  13 0.17.

x 2  5x  6


2

0.18.

x 2  7 x  12 0.19.

x 2  9x  7


x 1 3 x

0.21.

x

4  3x x3

0.22.

6  x  3( x  2) egyenlőtlenség megoldáshalmaza és 2 a B halmaz az x  x  12  0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza. Legyen az A halmaz a

Adjuk meg az

A  B az A  B és az A  B halmazokat.


1 2  x2 x3 0.24.

x2 3 0.25.

x  3  x 1

video7 Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket.


3

0.26.

3x  y  13   2 x  3 y  11 0.27.

5 x  3 y  11  7x  2 y  3  0.28.

5 x  3 y  131    4 x  7 y  48 0.29.

x  y  13  xy  42  0.30.

2 x  y  13  xy  18 

KOORDINÁTAGEOMETRIA

video8 0.31.

a  (6;2) és b  (4;5) Mekkora a két vektor szöge? 0.32.

a  (6;2) és b  (x;9) Mekkora legyen x értéke, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra?

video9 0.33. Adott az ABC háromszög, A(-2;1) B(7;4) és C(2;9). Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit.

video10 0.34. Adott az ABC háromszög, A(-1;1) B(7;3) és C(3;9). a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit.


4

b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit. c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit.

video11 0.35. Adott a 3x  4 y  6  0 egyenletű egyenes. Döntsük el, hogy az egyeneshez képest hol helyezkednek el a P(4;1) Q(1;3) és R(6;3) pontok. 0.36. Adott az ABC háromszög, A(-2;-3) B(6;3) és C(-1;6). Mekkora az AB oldal és a hozzá tartozó magasság?

video12 0.37. Határozzuk meg az kör sugarát.

( x  3) 2  ( y  6) 2  25 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és a

0.38. Határozzuk meg az sugarát.

( x  2) 2  y 2  10 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és a kör

0.39. Határozzuk meg az kör sugarát.

x 2  y 2  6 x  2 y  10 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és a


x 2  y 2  6 x  8 y  9  0 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és a


x 2  y 2  6 x  8 y  9  0 egyenletű kör középpontjának koordinátáit és a

0.42. Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket és átmegy a P(1;2) ponton.

video13 0.43. Keressük annak az x tengelyt érintő körnek az egyenletét, amely átmegy a P(5;2) ponton és középpontja az x  y  6 egyenletű egyenesen van. 0.44. Keressük annak az x tengelyt érintő körnek az egyenletét, amely átmegy a P(8;5) valamint a Q(2;-3)ponton és középpontja az x  3 y  8 egyenletű egyenesen van. 0.45. Keressük annak az x tengelyt érintő körnek az egyenletét, amely átmegy a P(2;14), Q(12;-10) valamint az R(-5;7)pontokon.

video14 0.46. Adott a P(1;1) Q(9;5) és R(1;13) pont. A QR szakasz felezőpontja legyen F. a) Írjuk föl a PF szakasz egyenesének egyenletét.


5

b) Határozzuk meg a QPR szög nagyságát. c) Mekkora a PQ oldallal párhuzamos középvonal hossza a PQR háromszögben? d) Írjuk fel a P; q; R pontokon átmenő kör egyenletét. e) Mekkora a PQR háromszögben az R csúcshoz tartozó magasságvonal hossza?

video15 0.47. Adott két egyenes, e1 : 3x  4 y  8 és e1 : 4 x  3 y  19 . a) Számítsuk ki a metszéspontjuk koordinátáit. b) Igazoljuk, hogy az egyenesek merőlegesek egymásra. c) Mekkora szöget zárnak be az egyenesek az x tengellyel? 0.48. Adott az A(6;-1) középpontú és 10 egység sugarú kör. a) Számítsuk ki az ey  7 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit. b) Írjuk fel a kört a P(-2;5) pontban érintő egyenes egyenletét. c) Mekkora szöget zár be ez az érintő az x tengellyel?

video16 0.49. Ábrázoljuk az, e : 3x  4 y  12 egyenletű egyenest. a) Döntsük el, hogy a P(140;-106) pont rajta van-e az egyenesen? A Q pont abszcisszája 108 és rajta van az egyenesen. Mennyi az ordinátája? b) Írjuk föl az A(-4;-6) és B(8;10) átmérőjű kör egyenletét. Az S(3;4) pont rajta van-e a körön? c) Adjuk meg az ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha a háromszög súlypontja az S pont. d) Mekkora ennek a háromszögnek a területe? e) Mekkora a legnagyobb szöge?

GYÖKÖS EGYENLETEK video17 Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.50.

x5 3 0.51.

x  5  1 x 0.52.

x  3  2  4x

video18


6

Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.53.

x  3  2  x  11 0.54.

x  2  1  4x  1 0.55.

x  4  4 x  28

EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUSOS EGYENLETEK video20 Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.56.

3  4 x  48 0.57.

3  4 x  5  4 x  64 0.58. x

5  2 x 1  6  4 2  8 x  2

video21 Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.59.

5  2 x1  4 x  16 0.60.

9

x

 313

x


5 2

x 1

 24  4  2

x

0.62.

3 x1  32 x  28


7

video23 0.63. Számítsuk ki a következő kifejezések értékét.

log 3 9  ?

log 2 32  ? log 3 81  ?

log 81 9  ? log 8 16  ? log 16 32  ?

log 5 125  ? 0.64. Oldjuk meg:

log 2 (7 x  1)  3


log 3 ( x  5)  2 0.66.

log 3 ( x  5)  log 3 (2 x  1) 0.67.

log 3 ( x  5)  log 3 ( x  2)  2 0.68.

lg( x  7) 2  lg( 3x  1)  lg 45 0.69.

lg( x  2)  lg( x  5)  lg 18

TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK www.easyMaths.hu a matek világos oldala © Mosóczi András

8


2 cos x  1  0

0.71.

4 cos 2 x  3


2 sin x  3 cos x

0.73.

ctgx  1  0

0.74.

cos x  sin x  0


2 sin 2 x  5 sin x  3  0 0.76.

3 cos 2 x  3 cos x  sin 2 x  0 0.77.

3 sin 2 x  cos 2 x  0 video28 Oldjuk meg a következő egyenleteket. 0.78.

tg 2 x  3tgx  2  0 0.79.

sin 2 x  4 sin x  cos x  3 cos 2 x  0

video29 Oldjuk meg a következő egyenleteket.


9

0.80.

2 sin x  1cos x  sin x  0

0.81.

2 sin 6 x  3  0 0.82.

2 cos 3x  1sin 2x  cos 2x  0

video30 0.83. Adjuk meg a

2 cos x  1 egyenlet megoldását a  2 ;0 intervallumon.

0.84. Adjuk meg a

2 sin 2 x  5 sin x  2  0 egyenlet megoldását a   ;   intervallumon.

FÜGGVÉNYEK video31 Ábrázoljuk a következő függvényeket: 0.85.

f ( x)   x  2 

2

0.86.

f ( x)   x  3

2

0.87.

f ( x)  2 x  6

2

0.88.

f ( x)  x  4 0.89.

f ( x)  5  x 0.90.

f ( x)  x  3 0.91.

f ( x)  x  3


10

0.92.

f ( x)  x  3  5 0.93.

f ( x)   x  1  2 0.94.

f ( x)  x  2  1 2

video32 0.95. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x   x  2  5 2

0.96. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x  x2 3

video33 0.97. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x  x 2  6 x  13 0.98. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x  x 2 3 0.99. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x  x 2  2x  4 0.100. Határozzuk meg a lokális szélsőértékeit és adjuk meg a monotonitási szakaszait:

x  x 2  10 x  20

video34 Ábrázoljuk a következő függvényeket: 0.101.

f ( x) 

1 x3

0.102.

f ( x) 

1 5 x2


11

video35 0.103. Adja meg az ábrán látható függvény hozzárendelési szabályát.

0.104. Adja meg az ábrán látható függvény hozzárendelési szabályát.



12


0.107. Adja meg az ábrán látható függvény

f ( x)  a x . Határozza meg az a szám értékét.

0.108. Adja meg az ábrán látható függvény

f ( x)  a x . Határozza meg az a szám értékét.


13

0.109. Az f ( x)   x függvény grafikonját eltoljuk a v  (3;1) vektorral. Adjuk meg az így keletkező függvény maximum helyét és értékét valamint a függvény zérushelyeit. 2

0.110. Az

f ( x)  x függvény grafikonját eltoljuk a v  (2;1) vektorral. Adjuk meg az így keletkező

függvény maximum helyét és értékét valamint a függvény zérushelyeit. 0.111. Az

f ( x)   x függvény grafikonját eltoljuk a v  (2;1) vektorral. Adjuk meg az így keletkező

függvény maximum helyét és értékét valamint a függvény zérushelyeit.

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

video36 0.112. Egy sorozatról tudjuk, hogy Mennyi

a 7 ha számtani és ha mértani sorozatról van szó?

0.113. Egy sorozatról tudjuk, hogy Mennyi

a10  2a8  3a9 és a4  24

a8  2 és a7  162

a10 ha számtani és ha mértani sorozatról van szó?

video37 0.114. Egy sorozatról tudjuk, hogy

a1  7 és a8  896

Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó? Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?

video38 0.115. Egy sorozatról tudjuk, hogy

a1  5 és a6  1215

Mennyi lehet az n értéke, ha az első n tag összege, 5890-nél kisebb?


14

Adjuk meg számtani és mértani sorozat esetében is. 0.116. Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege? 0.117. Egy mértani sorozatról tudjuk, hogy az első tagja 3, az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?

video39 0.118. Egy futóversenyt minden évben megrendeznek és a versenyzők száma évről évre növekszik. 2006-ban 10ezren vettek részt, 2010-ben 20736-an. A 2014-es versenyen már 36482 versenyző volt. Peti szerint a versenyzők száma egy mértani sorozat szerint növekszik évről évre. A 2006-os és a 2010-es adatok alapján mekkora ennek a sorozatnak a hányadosa? Kati szerint a versenyzők száma egy számtani sorozat szerint növekszik évről évre. A 2006-os és a 2010-es adatok alapján mekkora ennek a sorozatnak a differenciája? Mindketten megbecsülik a 2014-es létszámot a sorozataik alapján. Melyikük becslése pontosabb?

SZÁZALÉK ÉS PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK video41 0.119. Peti egy autót szeretne vásárolni 5 év múlva, aminek akkor az ára 2 millió forint lesz. Jelenleg van 800ezer forintja, amit erre az öt évre berak a bankba éves 6%-os kamatra (a kamat jóváírása évenként történik). a) Mennyi pénze lesz 5 év múlva? b) Ha éves 4%-os inflációval számolunk, akkor mennyi lenne az autó ára „ma”? c) Ha „ma” venné meg az autót, a 800 ezer forinthoz képest mennyivel kerülne többe? Mi mondható 5 év múlva? 0.120. Egy autó ára 3 millió 250 ezer forint. a) Évente 6%-os értékcsökkenéssel számolva mennyit fog érni két év múlva, ha egy baleset miatt további 17%-os értékcsökkenés történik? b) egy másik autónál az évenkénti értékcsökkenés csak 5%-os, az eltelt két év során ez is balesetezett és ennek következtében 23%-os értékcsökkenés történt. Így most az autó értéke 1 737 312,5 forint. Hány százalékkal ért kevesebbet ez az autó a két éves időszak elején?

video42 0.121. Egy üzem éves termelése 2001 és 2007 között évente 4%-al növekedett. 2007-től, amikor a termelés 24840 millió darab volt már évente 5,4%-al nőtt a termelés 2011-ig. Onnantól viszont folyamatos csökkenés kezdődött és évente mindig ugyanakkora százalékkal zsugorodott a termelés, míg 2014-re elérte a 2007-es szint 80%-át. a) Hány darabot állítottak elő 2011-ben? b) Hány darabot 2001-ben? c) Hány százalékos volt a csökkenés 2012-ről 2013-ra?


15

0.122. Egy autó ára 3 millió 250 ezer és a vásárlás után minden évben ugyanakkora mértékben csökken az értéke. 7 év elteltével 1570000-el ér kevesebbet. Közben a műszaki állapot romlása miatt a fékút évente 4%-al nő. a) Hány százalékkal nő a fékút 7 év alatt összesen? b) Hány százalékkal csökken az autó értéke évente?

video43 0.123. Anna 800 ezer forintot rak be egy bankba két évre. Az éves kamat első évben 7% de a második évben már csak 4%. Legfeljebb mekkora összeget vehet ki a bankból, ha megtakarításának kétötödét mindenképpen a bankban szeretné tartani? Béla egy másik bankba teszi a 600 ezer forintját. Itt a bank egy év elteltével az éves kamatot a felére csökkentette és így két év alatt Bélának 45750 kamat gyűlt össze. Hány százalékosak voltak a kamatok? 0.124. Egy mobilszolgáltatónál a percdíj csúcsidőn kívül 18 forinttal alacsonyabb, mint csúcsidőn belül. Kati egy hónapban összesen 4 óra 40 percet beszélt telefonon és ugyanannyi időt beszélt csúcsidőn belül, mint csúcsidőn kívül. Ha 5880 forintért telefonált összesen, akkor hány percet beszélt csúcsidőben? Peti egy másik szolgáltatónál van, ahol a csúcsidőn kívüli ár 40%-al olcsóbb, mint a csúcsidőben. Egyik hónapban 1400 forinttal többet költött csúcsidőn kívül, és közben másfél órával többet telefonált, mint csúcsidőn belül, amikor 60 percet. mekkorák a percdíjak? Hány százalékkal költöttek volna kevesebbet, ha mindketten csak csúcsidőn kívül telefonálnak?

video44 0.125. Egy alkalmazott nettó bérét a bruttó bérből számítják ki különböző levonások és jóváírások alkalmazásával. Anna bruttó bére 240 ezer forint. Ebből 16% személyi jövedelemadót kell fizetnie, amit a bruttó bér 120%-a alapján számítanak. Ezen kívül egyéb járulékok a bruttó bér 27%-a. A megmaradó összeghez 13500 forint adójóváírást kap és így jön ki a nettó bér. Mekkora ez a bér? Hány százalék közterhet Anna a bruttó bére után összesen? Béla 20 ezer forint adójóváírást kap és így nettó bére 168 ezer forint. Mekkora a bruttó bére, ha az Anna által is megfizetett közterheken kívül még 5%-os helyi adót is kell a bruttó bére alapján fizetnie? 0.126. Egy országban egy választáson a választók 57,8%-a vett részt. A győztes pártra a választók 48,7%-a szavazott ami 3 millió 377 ezer 832 fő volt. Hány választó van az országban? Nem minősülnek választónak a 18 év alattiak, akik negyed annyian vannak, mint a választók. Hány lakosa van az országnak? Ennek az országnak a GDP-je 2010-ről 2011-re 1%-al nőtt, míg 2011-ről 2012-re 2,5%-al nőtt. Közben a GDP-hez viszonyított államadósság 2010-ben 82% 2011-ben 81% és 2012-ben 80%. Hány százalékkal változott az államadósság pénzben kifejezett (tehát nem a GDP-hez viszonyított) értéke? Hány százalékkal változott 2010-ről 2012-re?

HALMAZOK ÉS GRÁFOK video45


16

0.127. Egy biztosítóhoz az elmúlt hónapban autóbiztosításra 20 kártérítési igény, lakásbiztosításra 12 kártérítési igény érkezett. Olyan ügyfél, aki legalább az egyik kárigényt benyújtotta 30 volt. Hányan nyújtottak be kárigényt csak autóra? 0.128. Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autóbiztosítási kártérítési igény érkezett és ezek közül 8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett és egyéb igény 17. 30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be és egy-egy olyan ügyfél volt, aki a lakáson kívül még pontosan egy igényt nyújtott be, olyan pedig nem volt aki mindhármat. Készítsünk ábrát és állapítsuk meg, hogy hányan vannak, akik pontosan két kárigényt nyújtottak be. 0.129. Egy üzemben három műszakban dolgoznak az alkalmazottak. Az első műszakba az összes alkalmazott 20%-át szokták beosztani és közülük 13-at csak ebbe, a többieket másikba is. 40-en vannak akiket legalább két műszakba is be szoktak osztani és 30%-ukat mindháromba. 23 olyan ember van, akit csak a második vagy a harmadik műszakba szoktak osztani. A második műszakba összesen a teljes létszám 40%-át osztják be és ezek 25%-a dolgozik az elsőben is. Hányan dolgoznak kizárólag a hármas műszakban?

video46 0.130. Egy baráti társaságban mindenki mindenkinek ír egy SMS-t. Így mindenki négy SMS-t ír. Ábrázoljuk gráffal az SMS-küldéseket. Hány SMS-t küldtek összesen? 0.131. Egy iskolai sakkversenyen 8-an indulnak, Aladár, Béla, Cecil, Dezső, Elemér, Ferenc, Géza és Hugó. Mindenki mindenkivel pontosan egy mérkőzést játszik. Eddig Aladár már játszott Bélával, Gézával és Hugóval, Béla már játszott Aladárral, Cecillel és Gézával, Cecil csak Bélával játszott és Dezső csak elemérrel. Ábrázoljuk egy gráf segítségével az eddig lejátszott mérkőzéseket. Hány mérkőzés van még hátra?

KOMBINATORIKA video48 1.1. Egy buszon összesen 25-en utaznak és a hat megálló során minden utas leszáll. Hányféleképpen tehetik ezt meg? 1.2. Öt ajándékot szeretnénk kisorsolni 20 gyerek között. Hányféleképpen lehetséges ez, ha a) Egy gyerek csak egyet kaphat és az ajándékok különbözőek? b) Egy gyerek többet is kaphat és az ajándékok különbözőek? c) Egy gyerek csak egyet kaphat és az ajándékok egyformák?


17

1.3. Tíztagú társaság raftingolni indul egy ötszemélyes egy háromszemélyes és egy kétszemélyes csónakkal. a) Hányféleképpen ülhetnek a csónakokba, ha a csónakokon belül a helyek között nem teszünk különbséget? b) Mi a helyzet akkor, ha két adott ember egy csónakba akar kerülni? c) Mi a helyzet, ha mindenképp külön csónakba akarnak kerülni?

video49 1.4. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből hány négyjegyű szám alkotható, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk föl és a) páros számot szeretnénk? b) páratlan számot szeretnénk? c) 4-gyel osztható számot szeretnénk? d) olyan számot szeretnénk, amely két páros és két páratlan számjegyet tartalmaz? 1.5. A 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből hány négyjegyű szám alkotható, ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk föl és a) páros számot szeretnénk? b) páratlan számot szeretnénk? c) 5-tel osztható számot szeretnénk? 1.6. A 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből hány négyjegyű szám alkotható, ha minden számjegyet többször is fölhasználhatunk és a) páros számot szeretnénk? b) páratlan számot szeretnénk? c) 5-tel osztható számot szeretnénk? 1.7. Egy turista hat nevezetességet szeretne megnézni és közben kétszer akar pihenőt beiktatni. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha a pihenőket nem különbözteti meg és minden pihenő előtt és után is megnéz egy nevezetességet?

video50 1.8. Egy zár számkombinációja ötjegyű. Legfeljebb hány próbálkozással tudjuk kinyitni, ha ismeretes, hogy a) a számkódban van 7-es b) a számkódban van 7-es, és nem nullával kezdődik c) van 7-es de nincs benne 0 d) van 7-es, nincs 0 és 1-el kezdődik e) pont két 7-es van benne, nincs 0 és 1-el kezdődik 1.9. Tíz különböző szín felhasználásával hány olyan hat cikkelyből álló esernyő készíthető, amelyben minden cikkely más színű? 1.10. Egy csomag 32 lapos magyar kártyából húzunk 5 lapot. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a húzott lapok közt a) pontosan két király lesz? b) két király lesz és egy ász? c) nem lesz király? d) legalább egy király lesz? e) két király lesz de ász nem? f) két király és legalább egy ász lesz?


18

g) két piros lesz? h) két piros és egy ász lesz?

video51 1.11. Egy iskolai asztalitenisz bajnokságon hét tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. a) Hány mérkőzést játszanak? Aladár eddig két mérkőzést játszott, Béla egyet, Cecil és Dezső kettőt-kettőt, Elemér hármat, Feri és Géza négyet-négyet. b) Adjuk meg az eddig lejátszott mérkőzéseknek egy lehetséges gráfját. c) Előfordulhat-e, hogy Béla az egyetlen mérkőzését …………el játszotta? d) Hányféleképpen ülhetnek le a játékosok két kör alakú asztal köré, ha az egyiknél négyen, a másiknál hárman férnek el? 1.12. Az ötös lottón 90 számból húznak ki visszatevés nélkül 5 darabot. Kati elhatározza, hogy az összes lehetséges módon kitölti a lottószelvényeket. a) Hány napig tartana neki(3 tizedes jegy pontossággal), ha percenként 10 szelvényt tud kitölteni? b) Ha kitöltené az összes szelvényt, pontosan egy öttalálatosa lenne. De hány négyese? 1.13. Melyek azok a 200-nál nagyobb háromjegyű számok, amelyek számjegyei egy számtani sorozat három egymást követő eleme? 1.14. Egy Rádióadó az épület oldalára koncentrikus körökből álló képet készíttet. Összesen 5 körvonal öt tartományt határoz meg, amit színesre akarnak festeni öt különböző szín felhasználásával. a) Hányféleképpen tehetik meg, ha a piros, kék, zöld, lila, sárga, türkiz, narancs és fehér színekből válogathatnak? b) Hányféle színezés lehet, ha a kék és a türkiz nem kerülhet egymás mellé? c) Sajnos közben kiderült, hogy a lila és a kék festék fogyóban van, így azt csak a legbelső kör festésére használhatják, de nem feltétlen kell használniuk egyiket sem. Ebben az esetben hányféle színezés lehetséges, ha így már bármilyen sorrendet megengedünk?

GEOMETRIA

video52 1.15. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC=14, AC=12 és a BCA  40 Mekkora az AB oldal?




19

video53 1.16. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC=14, AC=12 és a BCA  40 Mekkora az AB oldal? Legyen az AB oldal felezőpontja C1 és a BC oldal felezőpontja A1. Mekkora az AC1A1C négyszög területe? 

1.17. Az ABC hegyesszögű háromszögben BC=14, AB=12 és a BCA  46 Mekkora az AB oldal? Legyen az AB oldal felezőpontja C1 és a BC oldal felezőpontja A1. Mekkora az AC1A1C négyszög területe? a) Mekkorák a háromszög szögei? b) Mekkora a háromszög köré írható kör sugara? c) Mekkora az AC oldal? 

video54 1.18. Az ABCD négyzet oldala 12cm, az AB oldal felezőpontja legyen F és a CD oldal felezőpontja G. Megforgatjuk a négyzetet először az AC átló egyenese, majd az FG szakasz egyenese körül. a) Mekkorák az így keletkező forgástestek térfogatai? b) A nagyobb térfogatú test felszíne hány százaléka a kisebb térfogatú test felszínének?

video55 1.19. Belefér-e egy 36 cm2 felszínű labda egy szabályos kocka alakú fémdobozba, aminek belső felülete 433,5 cm2? 1.20. Egy kocka élének hossza a=12 cm. Az ábrán látható módon berajzoljuk három lapátlóját és az így keletkező tetraédert levágjuk a kockából. Mekkora az így keletkező test térfogata és felszíne?

video56 1.21. Egy szabályos (négyzet alapú) négyoldalú gúla oldallapja 50  os szöget zár be az alaplappal. A gúla alapja 36 cm2 területű. a) Mekkora a gúla térfogata? b) A gúlát az ábrán látható módon kettévágjuk. Mekkora az így keletkező tetraéder közül az egyiknek a felszíne? 


20

video57 1.22. Egy folyó vizét köríves gáttal duzzasztották föl. A keletkező víztároló alakja paralelogrammával közelíthető, az 1:20 000 méretarányú térképen az ábrán látható módon. Az AB oldal 2,9 cm az AD oldal 3,1 cm és ABC  150 . A köríves gát a víztároló egyik végében helyezkedik el, a kör középpontja a C csúcsban van és a kör sugara a valóságban kétszáz méter. 

a) Hány négyzetkilométer a víztároló vízfelszíne? b) Milyen hosszú úton lehet körbesétálni, ha a gáton átvezető szakaszt leszámítva az út 5%-al hosszabb a víztároló kerületénél? c) Ha egyik nap a heves esőzések miatt 15 cm-el megemelkedik a víztároló vízszintje, hány köbméterrel lesz benne több víz? 1.23. Egy üzemben gyertyákat öntenek. A gyertyák szabályos háromszög alapú 20 cm magas hasábok, az alapjául szolgáló háromszög oldala 6 cm. Az elkészült gyertyákat egy tálcára pakolják, ami 120 cm széles és 100 cm hosszú. A kész gyertyákat egy sorban pakolják a tálcára az ábrán látható elrendezésben.

a) Legfeljebb hány gyertya fér el egy ilyen tálcán? Az egy nap előállított mennyiség 1170 darab. b) Hány tálcára van szükség? c) Hány köbméter viaszra van szükség a gyertyák öntéséhez, ha az öntés során 4% veszteség keletkezik?

video58


21

1.24. Egy derékszögű háromszögben

tg 

3 a háromszög területe pedig 24 cm 2. 4

a) Mekkorák a háromszög oldalai? b) Mekkora a köré írható kör sugara? c) A háromszöget az átfogója, mint forgástengely körül megforgatva egy forgástestet kapunk. Mekkora az így keletkező test térfogata és felszíne? 1.25. Egy háromszög szögei ABC  50 BCA  60 CAB  70 és BC=5 cm. a) Mekkora a háromszög területe? b) Mekkora a háromszög köré írható körének AB körívének hossza? c) A körív és a háromszög összesen négy tartományt határoz meg. Hányféleképpen lehet ezeket piros, kék, zöld és sárga színekkel kiszínezni, ha a kék és a piros szín nem kerülhet egymással határos tartományba? 





video59 1.26. Az ábrán látható ABC háromszögben a C1 pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 36 mm, CC1 = 24 mm, δ = 40°. a) Számítsa ki az ABC háromszög területét! b) Mekkora a BC oldal hossza? c) Mekkora a háromszög B csúcsánál lévő belső szög? 1.27. Egy üvegből készült szabályos négyoldalú gúla alapja 20cm hosszú, az alaplap az 

oldallapokkal 60 -os szöget zár be (az üveglap vastagsága elhanyagolható). A gúla tetején egy apró lukon keresztül vizet lehet tölteni a gúlába. Egy liter víz térfogatát tekintsük 1 köbdeciméternek. a) Hány liter vizet kell beletöltenünk ahhoz, hogy a gúlában lévő víz éppen a gúla magasságának a feléig érjen? b) Milyen magasan áll a víz a gúla belsejében akkor, amikor éppen a térfogatának a felét töltjük ki vízzel?

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS video60 1.28. Egy 12 fős osztályt két hatfős csapatba osztanak. Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos a) azonos csapatba kerül? b) különböző csapatba kerül? 1.29. Két dobókockát egyszerre földobunk. Legyen az A esemény, hogy legfeljebb az egyik dobás páros, a B esemény pedig, hogy a dobott pontok összege ötnél nem nagyobb. a) Melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége? b) Hány elemű az A  B halmaz?

video61 1.30. Egy biztosítóhoz az elmúlt hónapban autóbiztosításra 20 kártérítési igény, lakásbiztosításra 12 kártérítési igény érkezett. Olyan ügyfél, aki legalább az egyik kárigényt benyújtotta 30 volt. Ha a 20 autós igény közül 3 sportautóra szólt, akkor mi a valószínűsége, hogy ezek közül volt olyan, akinek


22

lakásbiztosítási igénye is volt? 1.31. Egy biztosítóhoz az egyik hónapban 24 autóbiztosítási kártérítési igény érkezett és ezek közül 8-an más kárigényt is benyújtottak. Lakásbiztosításra 7 igény érkezett és egyéb igény 17. 30 olyan ügyfél volt, aki csak egy igényt nyújtott be és egy-egy olyan ügyfél volt, aki a lakáson kívül még pontosan egy igényt nyújtott be, olyan pedig nem volt aki mindhármat. Mi a valószínűsége, hogy ha valakinek két kárigénye is volt, akkor az egyik autós? 1.32. Egy üzemben három műszakban dolgoznak az alkalmazottak. Az első műszakba az összes alkalmazott 20%-át szokták beosztani és közülük 13-at csak ebbe, a többieket másikba is. 40-en vannak akiket legalább két műszakba is be szoktak osztani és 30%-ukat mindháromba. 23 olyan ember van, akit csak a második vagy a harmadik műszakba szoktak osztani. A második műszakba összesen a teljes létszám 40%-át osztják be és közülük 0,25 valószínűséggel dolgozik valaki az elsőben is. Ha kiválasztunk egy dolgozót a hármas műszakból, akkor mi a valószínűsége, hogy csak abban szokott dolgozni?

video62 1.33. Egy futóverseny döntőjébe nyolc versenyző jutott be, A, B, C, D, E, F, G, H. A cél előtt pár méterrel látszik, hogy F biztosan utolsó lesz, továbbá az is, hogy B és E osztoznak majd az első két helyen. Ha biztosan nem alakul ki semelyik két versenyző között sem holtverseny, akkor a) Hányféleképpen alakulhat a nyolc versenyző helyezése célba érkezéskor? b) Hány olyan célba érkezés lehet, amikor az A és C versenyzők egymás után érnek célba? c) Mi a valószínűsége, hogy C harmadiknak fog célba érni? 1.34. Egy dominókészletben a dominóelemek két végükön el vannak látva bizonyos számú pöttyel. A pöttyök száma a dominó mindkét végén 0-tól 6-ig terjedhet. A készletben az összes lehetséges kombináció pontosan egyszer fordul elő. a) Hányféle dominóelem van a készletben? b) Mi a valószínűsége, hogy ha kezünkben van az a dominó, aminek egyik végén kettő, a másikon egy pötty van, akkor olyan elemet húzunk a többi közül, ami a készletben van, akkor azt a kezünkben lévő mellé tudjuk rakni (két elem akkor rakható egymás mellé, ha valamelyik végüknél azonos számú pötty van mindkettőn)?

video63 1.35. Egy pakli magyar kártyában 32 lap van. Négyféle szín szerepel, piros, zöld, makk és tök, és mindegyik színből 8 darab lap van ( 7, 8, 9, 10, alsó, felső, király, ász). Kihúzunk a pakliból egymás után öt lapot. a) Mi a valószínűsége, hogy két ászt húzunk? b) Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász? c) Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász? 1.36. Egy focicsapat 13 játékosból áll. A meccs előtt üdvözlik egymást és mindenki mindenkivel egyszer kezet fog. a) Hány kézfogás történt? b) Az ellenfél csapatban szintén mindenki egyszer kezet fog egymással és 105 kézfogás történt. Hány játékos van az ellenfél csapatában? c) A meccsre mindkét csapat 11 játékost állít ki. Hányféleképpen lehetséges ez? A meccs döntetlennel zárul, így büntetőrúgásokra kerül sor. Mindkét csapat 5-5 büntetőrúgást hajt


23

végre felváltva. Az egyik csapat 0,3 míg a másik 0,2 valószínűséggel tudja a labdát a kapuba rúgni. d) Mi a valószínűsége, hogy az első menet után (mindkét csapat 1-1 lövést ad le) az állás döntetlen? e) Mekkora a valószínűsége, hogy a harmadik menet után az egyik csapatnak behozhatatlan előnye legyen?

video64 1.37. András és Béla egy kártyajátékot játszik. Mindkettőjüknek hat lapjuk van:

A játék hat körből áll és minden körben a két játékos egyszerre tesz le 1-1 lapot az asztalra. Amelyik játékos lapján nagyobb szám szerepel, az viszi mindkét lapot. Ha a számok egyformák, akkor mindketten 1 lapot visznek. Az elvitt lapokat le kell tenniük maguk elé az asztalra, ezeket a további körökben már nem játsszák meg. a) Hány kártya van Béla előtt a játék végén, ha András 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben, Béla pedig 2, 4, 5, 3, 1, 6 sorrendben játszotta meg a lapjait? Egy újabb mérkőzés során Béla az 1, 2, 3, 4, 5, 6 sorrendben játszotta ki a lapjait, és így összesen két lapot vitt el. b) Adjon meg egy lehetséges sorrendet amelyben András kijátszhatta lapjait. c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első két kört Béla nyeri? d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az utolsó három körből András kettőt nyer meg? 1.38. a) Hányféleképpen helyezhetünk el a polcon 10 különböző könyvet, ha egy három kötetes regény kötetei csak egymás mellé kerülhetnek? b) Ha magunkkal akarunk vinni 5 könyvet, de a kapkodásban véletlenszerűen választjuk ki őket, mekkora valószínűséggel visszük magunkkal a 3 kötetes regénynek csak két kötetét? 1.39. András és Béla egy kockajátékot játszik. A kocka egy oldalán 1-es két oldalán 2-es és három oldalán 3-as szerepel. A játék három menetből áll, minden menetben András és Béla is egyszer dob a kockával és a menetet az nyeri, aki nagyobbat dob. Egy játék során András az első menetben 1-est a második menetben 2-est a harmadik menetben 3ast dobott. Mekkora a valószínűsége, hogy a) Béla mindhárom menetet megnyeri? b) Béla pontosan két menetet nyer? c) Béla legalább egy menetet nyer?

video65 1.40. Egy gimnázium valamely évfolyamának 120 hallgatóját 24 fős tankörökbe osztották. A tankörökből 2-2 tagot delegálnak egy hallgatókból álló bizottságba. Hányféleképpen delegálhatják a bizottság 10 tagját, ha a) Minden tankörből két hallgatót kell delegálni? A bizottság tagjai egyenként vonulnak be az ülésterembe. b) Mekkora a valószínűsége, hogy éppen abc sorrendben vonulnak be? c) Ha a bizottságban 4 fiú és 6 lány van, mi a valószínűsége, hogy az első kettő bevonuló lány?


24

1.41. Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a dobott szám a 60-nak osztója? 1.42. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az első dobás osztója a második dobásnak? 1.43. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a pontok összege kettő-hatvány?

STATISZTIKA video66 1.44. Egy üzletben egy óra leforgása alatt az alábbi összegekért vásároltak:

a) Adjuk meg az adatsor móduszát, mediánját, a kvartiliseket és az átlagot. b) Rendezzük az adatokat 2500-asával osztályközös gyakorisági sorba és ábrázoljuk az eloszlást hisztogrammal.

video67 1.45. Egy város lakosságának életkor és nem szerinti megoszlása:

a) Melyik csoport a népesebb? b) Ábrázoljuk egy közös diagramban a nők és férfiak életkor szerinti megoszlását. c) Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott lakos 30 évnél fiatalabb nő? 1.46. Egy iskolai tanulmányi versenyen 37 diák indult. Az egyik feladatra kapott pontszámok eloszlása:


25

Töltsük ki az alábbi táblázatot és ábrázoljuk a fiúk által elért pontszámokat a kördiagramon:

video68 1.47. Egy versenyen két csapat vesz részt. Az egyik csapat életkor szerinti összetétele:

A másik csapat is 15 fős, az életkor terjedelme 6 év, a medián 20 év, a módusz 18 év és az átlag 19,8 év. Ezen kívül tudjuk, hogy a legidősebb és a legfiatalabb játékosból is három van, 22 évesből pedig kettő. a) Ábrázoljuk a második csapat életkor szerinti megoszlását oszlopdiagramon. b) Melyik csapat átlagéletkora nagyobb?


26

A MÁGIKUS MATEK ÉRETTSÉGI FELADATSOR

Recommend Documents