MATEK ELMÉLET HALMAZOK:

MATEK ELMÉLET HALMAZOK: részhalmaz: A halmaznak B részhalmaza, ha B bármely eleme az A halmaznak is eleme (jel: B⊆ A) valódi részhalmaz: B valódi részhalmaza A-nak, ha részhalmaza és A-nak létezik olyan eleme, ami nem eleme B-nek (jel: B⊂ A) unió: A és B halmazok uniója azon elemek halmaza, amelyek A-nak vagy B-nek elemei A ∪ B := { a | a ∈ A ∨ a ∈ B } metszet: A és B halmaz metszete, azon elemek halmaza, amelyek A-nak és B-nek is elemei A ∩ B := { a | a ∈ A ∧ a ∈ B } különbség: A és B halmaz különbsége, azon elemek halmaza melyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek A \ B := { a | a ∈ A ∧ a ∉ B } komplementer halmaz: A halmaz alaphalmazra vett különbsége (jel: H \ A = Ā) direkt ( Descartes) szorzat: A és B halmazok direkt szorzata azon rendezett elempárok halmaza, melyben minden elempár első eleme A-ból való, a második eleme pedig B-ből AxB := { (a;b) | a∈ A ; b∈ B } de Morgan azonosságok: _  Ā = A : A halmaz komplementerének komplementere maga az A halmaz ____ _ _  A ∪ B = A ∩ B : A és B halmaz uniójának komplementere egyenlő A halmaz komplementerének és B halmaz komplementerének metszetével ____ _ _  A ∩ B = A ∪ B : A és B halmaz metszetének komplementere egyenlő A halmaz komplementerének és B halmaz komplementerének uniójával kétváltozós reláció: az A halmazon vett kétváltozós relációnak nevezzük AxA direktszorzat részhalmazait ekvivalenciareláció: olyan reláció, amire a szimmetria, tranzitivitás és a reflexivitás egyszerre teljesül -szimmetria: ha a ~b (egyik halmaz elem relációban áll a másikkal) akkor b~a (másik is az egyikkel) -tranzitivitás: ha a~b (a és b relációban áll) és b~c (b és c relációban áll), akkor a~c (a és c is relációban áll) -reflexivitás: a~a teljesül (bármely halmaz relációban áll önmagával) VALÓS SZÁMOK Műveleti tulajdonságok kommutativitás: felcserélhetőség a + b = b + a ; a x b = b x a disztributivitás: műveleti sorrend felbonthatósága a x ( b+ c) = a x b + a x c asszociativitás: zárójelre érvényesülő felbonthatóság (a + b) + c = a + ( b + c) neutrális elem: semleges elem vagy egységelem a + 0 = a ; a x 1 = a Rendezési axiómák trichotómia elve: Bármely két a; b ∈ R számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes: ab; a= b tranzitivitás: Ha a >b és b >c , akkor a > c monotonitás: ha a
teljességi axióma: Ha egy számhalmaz felülről korlátos, nem üres akkor létezik legkisebb felső korlátja (supT) T∈ R Teljes indukció: olyan bizonyítási módszer, melyben igaznak tekintünk egy 'n' egész számra vonatkozó állítást és ugyanazt az állítást 'n + 1' -re az 'n'-re vonatkozó állítás alapján bizonyítjuk lépései: 1. kicsi egészre kipróbáljuk, hogy igaz e az állítás 2. feltesszük, hogy 'n' ∈ Z- re teljesül az állítás -> INDUKCIÓS FELTEVÉS 3. belátjuk az indukciós feltevés alapján, hogy az állítás 'n + 1' -re igaz Binomiális tétel: halmazelméleti jelentése: n- elemű halmaz k- elemű részhalmazainak száma (tulajdonságai: szimmetria, additivitás) egy kéttagú kifejezés bármely egész, nem negatív kitevőjű hatványa szorzattá alakítható

KOMPLEX SZÁMOK komplex számsík: a komplex számokat ábrázolhatjuk egy derékszögű koordináta- rendszerben (síkban), ezt a síkot, azaz a komplex számok halmazát valós számsíknak nevezzük egyenlőség: két komplex szám egyenlő, ha valós és képzetes részük is egyenlő z = a + ib ; w = c + ib (a,b,c,d valós szám); z=w ha, a=c és b=d konjugálás: egyik szám a másik konjugáltja ha valós részük megegyezik, képzetes része pedig az ellentettjére változik; geometriailag: a szám és a konjugáltja egymás valós tengelyre vett tükörképei z konjugáltja = a- ib ; a valós számok konjugáltja önmaga összeadás/ kivonás: komplex számok összeadásánál/ kivonásánál a valós és a képzetes részük külön összeadódik/kivonódik, geometriailag: vektorösszeadás

szorzás: geometriailag: forgatva nyújtás  algebrai alakban:

 trigonometrikus alakban:

osztás: (reciprokkal való szorzás) geometriailag: forgatva összenyomás  algebrai alakban

 trigonometrikus alakban

hatványozás: a komplex számok hatványozása a Moivre formulával történik

gyökvonás: a komplex számok gyökvonása többértékű művelet, annyi megoldása van ahanyadik gyököt vonunk ; geometriailag : egy komplex szám n-edik gyökei egy szabályos n- szög csúcsait jelölik ki

egységgyök: az 1 szám n-edik gyökei ; εk^n = n√1 közül a k-adik

POLINOMOK: polinom: n-ed fokú polinom az a kifejezés, mely a 'z' változóhoz a következő véges összeget rendeli an x z^n + an-1 x z^n-1 +...a1z + a0 an nem egyenlő 0; n a polinom fokszáma, a0 = konstans, z=változó irreducibilis polinom: valós együtthatós polinomoknál nem mindig tudjuk a polinomot kisebb fokszámú szintén valós együtthatós polinomokra bontani, az ilyen polinomokat irreducibilis polinomoknak nevezzük Bézout- tétele: ha p(z) komplex együtthatós polinómnak gyöke z0 akkor létezik q(z) polinom úgy, hogy p(z)= (z-z0) q(z) ;degp= 1+degp ; (z-z0)-> lineáris faktor: fokszáma 1 polinomok algebrai alapfeltétele: minden legalább 1. fokú komplex együtthatós polinomnak van gyöke, ennek következménye: p(z) komplex polinom lineáris faktorok szorzatára bontható: p(z)= (z-z1)^k1 x (z-z2)^k2....(z-zl)^kl x an

SZÁMSOROZATOK: valós számsorozatok: {an} sorozat olyan hozzárendelés, amely minden pozitív egész számhoz egy valós számot rendel korlátosság: {an} valós számsorozat korlátos, ha létezi k valós szám úgy, hogy minden 'n'-re an>= k, (k alsó korlát ) és létezik K valós szám, hogy minden n-re an<=K, (K felő korlát) monotonitás: {an} monoton növő, ha bármely n<m -re (n, m egész szám) igaz, hogy an<= am, monoton csökkenő ha an>= am (szigorú monotonitás> az egyenlőség nem megengedett) határérték: {an} valós számsorozatnak A szám határértéke, ha bármely ε>0 -ra létezik N( ε) küszöbindex, hogy ha n> N( ε), akkor |an-A| < ε (jelölés lim an = A) konvergencia: ha létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor {an} konvergens divergencia: ha nem létezik lim an = A (a>végtelenbe), akkor divergens torlódási pont: egy T szám torlódási pontja {an} -nek, ha bármely ε>o -ra létezik n, hogy |an-T|< ε (minden h.é torlódási pont, de fordítva nem igaz) részsorozat: Az an számsorozat egy részsorozatának nevezzük az ani számsorozatot, ahol i = 1,2, . . . és ani minden tagja eleme az an részsorozatnak. Konvergens sorozatok korlátossága: Konvergens számsorozat mindig korlátos Monoton, korlátos sorozatok konvergenciája: Minden korlátos, monoton sorozat konvergens. Rendőr- elv: ha {an} és {cn} konvergens és határértékük megegyezik továbbá {bn} sorozatról tudjuk, hogy minden an ≤ bn ≤cn akkor {bn} határértéke megegyezik a másik két sorozat határértékével

Műveletek konvergens sorozatokkal:

Nevezetes határértékek:

FÜGGVÉNYEK: függvény: legyen A és B két valós számhalmaz. Ekkor f: A->B függvény, ha a eleme A-hoz hozzárendelünk egy b eleme B számot. Injektív függvény: injektívnek nevezzük azokat a , függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. ( a1; a2 eleme A halmaznak, a1 nem egyenlő a2vel és f(a1) sem egyenlő f(a2) -vel) szürjektív függvény: Ha minden B halmazbeli b számhoz létezik A halmazbeli a szám, hogy f(a)=b

bijektív: ha injektív és szürjektív, más néven: egyértelmű hozzárendelés inverz függvény:Az f függvény inverz függvényének nevezzük és 1 f − -el jelöljük azt a függvényt, mely minden valós 'a' számhoz (mely az f függvény az értékkészletéhez tartozik), azt a b számot rendeli, melyhez az f az a-t rendelte. Geometriai jelentése: Az 1 f − függvény és az f függvény grafikonja egymásnak az y x = egyenesre vett tükörképe. Függvénykompozíció: legyen f A->B és g B-> C , akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi. értelmezési tartomány: Az f funkció szempontjából lehetséges x-ek halmaza jele: Df értékkészlet: a lehetséges f(x) függvényértékek halmaza jele: Rf paritás:  páros ha minden x eleme Df-re f(x) = f(-x) geom: y tengelyre tükrös fgv  páratlan ha minden x eleme Df-re -f(x)= f(-x) geom: origóra tükrös fgv periódikusság: az f függvény periodikus és periódusa a p valós szám, ha f(x)= f(x+p) bármely értelmezési tartománybeli x-re korlátosság: az f fgv korlátos, ha Rf korlátos mint halmaz  

inf( an ) : legnagyobb alsó korlát, a sorozatnak nincsen ennél kisebb eleme sup(an ) : legkisebb felső korlát, a sorozatnak nincsen ennél nagyobb eleme

monotonitás: f fgv szigorúan monoton nő ha bármely x1; x2 eleme Df-re igaz h x1<x2, akkor f(x1)f(x2) határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy környezetében ekkor f-nek az 'a'-ban A a határértéke ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε jobboldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy jobboldalú környezetében (létezik δ , hogy (a; a+ δ ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek jobboldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε baloldali határérték: legyen f fgv értelmezve az 'a' pont egy baloldalú környezetében (létezik δ , hogy ( a-δ ; a ) kisebb egyenlő Df). Ekkor az f-nek baloldali határértéke az 'a'-ban az A szám, ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha 0 <|x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-A|< ε folytonosság: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében és 'a' pontban is, ekkor f folytonos, ha bármely ε>0- ra létezik δ(ε) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(ε), akkor|f(x)-f(a)|< ε végtelenbe tartó függvény: legyen f fgv értelmezve 'a' pont környezetében ekkor f -nek végtelen a határértéke 'a'-ban, ha bármely K>0- ra létezik δ(K) >0 úgy hogy ha |x-a| <δ(K), akkor f(x) >K végtelenben vett határérték: legyen f fgv értelmezve az (a;∞) ekkor f-nek az '∞'-ben A a határértéke ha bármely ε>0- ra létezik k(ε) >0 úgy hogy ha |x-a|
lim( an  bn )  lim an  lim bn b) lim( an  bn )  lim an  lim bn c) lim( an / bn )  lim an / lim bn a)

( lim bn

 0)

Boltzano és Weierstrass tételei: - ha f fgv folytonos értelezési tartománybeli intervallumon, akkor ott korlátos is (létezik k és K, hogy hogy bármely intervallumbeli pont a kettő közé esik) - ha f folytonos adott intervallumon, akkor létezik x1; x2 (eleme az intervallumnak) úgy hogy bármely intervallumbeli pont f(x1) és f(x2) közé esik, azaz f felveszi egy alsó és egy felső korlátját Elemi függvények:  racionális törtfgv  racionális egészfgv  hatványfgv  logaritmusgfgv  trigonometrikusfgv (inverzeik arc)  hiperbolikusfgv (inverz arcsh) DERIVÁLÁS: differenciálhányados: legyen f fgv (Df: R) értelmezve egy x0 pontban és annak környezetében. Ekkor

az f fgv x0 pontbeli differenciálhányados függvényének nevezzük és

adja a differenciálhányadost; geometriai jelentés: (x; f(x)) és (x0;f(x0)) pontokat összekötő szakasz emelkedési meredeksége derivált: legyen f értelmezve x0 pontban és egy környezetében. Ekkor ha létezik A∈ R és ε(x) fgv úgy, hogy f(x)- f(x0)= A (x-x0) + ε(x) (x-x0) és lim ε(x)= 0 (ha x tart x0-ba) akkor f deriváltja A szám x0 pontban függvény érintője: vegyük az (x0;f(x0)) és (x;f(x)) grafikonpontok közötti szakaszokat, amihez vegyünk olyan x értékeket, amik egyre közelebb vannak x0-hoz, ekkor a szakaszok határhelyzetét nevezzük f grafikonjának x0 pontban vett érintőjének bal- és jobboldali derivált: f fgv deriválható az [a;b]-n (Df részhalmaza), ha minden xo∈ ]a;b[ -ra deriválható x0-ban és f deriválható jobbról a-ban és balról b-ben deriválási technikák:

folytonosság és deriválhatóság kapcsolata: ha f fgv deriválható adott pontban, akkor ott folytonos is egyváltozós függvények monotonitása:  ha [a;b]-n f ' (x) >0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton nő adott intervallumom  ha [a;b]-n f ' (x) <0igaz bármely x ∈ [a;b]-ra, akkor a fgv monoton csökken adott intervallumon  lokális szélsőérték: lokális szélsőértéke van a fgv-nek adott x0 pontban, ha f ' (x0) = 0 (szükséges feltétel)és f ' (x) az x0-ban előjelet vált (elégséges feltétel) konvexitás: f fgv legyen értelmezve x0-ban és egy környezetében, ekkor f x0-ban szigorúan lokálisan konvex ha bármely x-re x0 egy adott környezetében f(x)> f ' (x0) (x-x0) + f (x0) , ha kétszer deriválható és f '' (x) >0 akkor lokálisan konvex, ha f '' (x) < 0, akkor lokálisan konkáv inflexiós pont: azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe vagy fordítva. Vizsgálata: az a pont ahol a második derivált egyenlő 0-val( szükséges feltétel) és a második derivált előjelet vált (elégséges feltétel) Középérték tételek: Rolle-tétele: Ha a f függvény folytonos az [a;b] intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és f (a) = f(b), akkor van olyan a<x0
x a

0  vagy határozatlan alakban áll elő (  0 

f ( x) f ' ( x)  lim . Ha ez szintén határozatlan alakú, a szabály g ( x ) x a g ' ( x )

újból alkalmazható. A többi határozatlan alakra is alkalmazható a szabály a következő átalakítások után:

0

Határérték alakja → hányadossá alakítás

Átalakítás

lim f ( x) g ( x)  lim x a

ez már

00 ,  0 , 1



→ logaritmizálás

x a

0 0

vagy

 

n-ed fokú Taylor-poliom és hiba becslése:

alakú

lim f ( x) g ( x )  lim eln f ( x ) x a

ahol a kitevő már → törtté alakítás pl. közös nevezőre hozással

f ( x) g ( x)  lim , x a 1 1 g ( x) f ( x)

g ( x)

x a

0

alakú

 lim e g ( x ) ln f ( x ) , x a

Taylor-formula Lagrange-féle maradéktaggal – Ha az f valós-valós függvény (n+1)-szer differenciálható az értelmezési tartománya belsejének egy a pontja körüli I intervallumban, akkor tetszőleges, I-beli x ponthoz létezik az a és x között olyan

szám, amire:

INTEGRÁLÁS: alsó/felső közelítő összeg: f függvény korlátos [a;b;]-n és felosztjuk [a;b] -t. A részintervallumokon is korlátos f, azaz minden i-re létezik mi≤f(x)≤Mi ( x eleme [xi-xi-1] – ekkor az alsó közelítő összeg:

–

a felső közelítő összeg:

(ha n a végtelenbe tart akkor ezek limsn = limSn határértékek pontosan f határozott integrálját adják [a;b]-n) Riemann összeg szerinti határozott integrál: f egy adoot valós és [a;b]-n korlátos és folytonos függvény. Vegyük [a;b] felosztását, jelölje az osztópontokat növekvő sorrendben x1; x2....xn. Legyen továbbá a=x0; b=xn. Ekkor tetszőleges ξi eleme ]xi-1; xi[,-t választva (i=1,2,3...n) összeget a Riemann- összegnek nevezzük. Folytonos és integrálható függvények kapcsolata: ha egy függvény folytonos [a;b]-n, akkor ott integrálható, azaz létezik (ellenpélda: Priman összeg, Dirishlet fgv) Határozott integrálási szabályok:

határozott integrál additivitása: f(x) integrálható [a;b]-n, ekkor minden [c;d]-n ami részhalmaza [a;b]- nek, integrálható és

primitív függvény: ha f fgv értelmezett egy [a;b]-n, akkor F(x) -et az f(x) primitív függvényének nevezzük, ha F'(x)=f(x) az [a;b]-n Newton- Leibniz szabály: legyen f(x) [a;b]-n integrálható és F(x) a primitív függvénye ott, ekkor:

(ez megadja a kapcsolatot határozott és határozatlan integrál között) Integrálfüggvény: az f(x) fgv legyen integrálható [a;b] -n , ekkor f(x) integrálfüggvénye:

Parciális integrálás:

Helyettesítéses integrálás:

Racionális törtfüggvények felbontása résztörtekre: Improprius integrálok fő típusai: – f(x) [a;∞[ -on korlátos és minden [a;b]-n integrálható, ekkor

f(x) nem korlátos fgv az [a;b]-n, minden ε>0 -ra az f(x) integrálható az [a+ε; b]-n, azaz f(x) az 'a' fele haladva, nem korlátos, ekkor –

–

ha f fgv nem korlátos az [a;∞[-on akkor: → 1. és 2. típusú integrálok összegére bontható

az integrálszámítás alkalmazásai: ívhossz számítása:

forgástest felszín:

paraméteresen adott

Forgástest térfogat: -sima

-paraméteres

Szektorterület: -paraméteres:

VEKTORANALÍZIS: vektorműveletek: -összeadás: a és b vektor összvektorját a paralelogramma szabály alapján kapom meg (kommutatív, asszociatív) paralelogramma szabály: a vektor végpontjába vesszük fel b vektor kezdőpontját, az így kapott 2 összefűzött vektor meghatározza az összegvektort,ami a vektor kezdőpontjából, b vektor végpontjába mutató vektor - kivonás: a vektort és b vektort közös kezdőpontból felvéve a b vektor végpontjából az a vektor végpontjába mutató vektor, a két vektor különbsége - ellentett: az a vektor amit 'a' vektorhoz adva a nullvektort kapjuk - vektorok szorzása konstanssal: adott 'a' vektor és λ x a olyan, hogy λ x a = λ x a és ha λ>0 irányuk megegyezik, ha λ<0 ellentétes nullvektor: olyan vektor aminek hossza 0, iránya tetszőleges lehet lineáris kombináció: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineáris kombinációja λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn x an összeg, ahol mindegyik lambda valós szám lineáris függetlenség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan független, ha λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn x an =0 esetén a kombinációban szereplő összes lambda = 0 és nincsen más kombinációja a vektoroknak, mert a nullvektort adná eredményül lineáris összefüggőség: az a1; a2; ….an 'n' db vektor lineárisan összefüggő, ha bármely lambda valós szám, úgy hogy nem mindegyik 0 és λ1x a1 + λ1 x a2 +.... λn x an =0 (nem triviális lineáris kombináció) skaláris szorzat: a és b vektorok skalárszorzata , eredménye mindig egy valós szám. Geometriai jelentés: ha a x b =0 , akkor a két vektor derékszöget zár be vektoriális szorzat: 3 dimenziós vektorokkal végzett művelet, melynek eredménye egy vektor: Geometriai jelentés: az eredményvektor állása merőleges a és b vektorra is, irány pedig olyan, hogy a 3 vektor jobbsodrású vektorrendszert alkot c vektor koordinátái: