III.A. Halmazok Megoldások 1. Az 1.2. és 1.6. feladatban felírt összességekben nem HJ\pUWHOP& KRJ\ PHO\ HOHPHN WDUWR]QDN D KDOPD]KR] $ W|EEL definíció halmazt határoz meg. Az 1.4. és 1.7. feladat különlegessége, hogy a megadott halmaz üres, azaz nincsenek a IHOWpWHOHNQHNHOHJHWWHYREMHNWXPRN 2.2. B = {jobb, járó, Jani, jegy, …}; 2.3. C = {2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21,...}; 2.4. D = {3, 4, 5, 6}; 2.5. Az E halmazt megadó feltételek ellentmondásosak, így E={}; 2.6. F = {3, 4, 5}; 2.7. G = {− 1, 1}; 2.8. H = {2, 4, 6, 8,...}; 2.9. I = {..., − 4, − 2, 0, 2, 4,...}; 2.10. J = {3, 5, 7, 9, 11,...}; 2.11. K = {3, 7, 11, 15, 19,...}. 3.1. A = {a tavaszi hónapok}; 3.2. B = {x 3 ≤ x ≤ 5 ∧ x ∈N};
3.3. C = {x x = 10k ∧ k ∈ N};
3.4. D = {x x = 3k + 1 ∧ k ∈ N};
{
}
3.5. E = x x = 10 k ∧ k ∈ N ; 3.6. F = {x x = 5k + 1 ∧ k ∈ Z}; 1 3.7. G = x x = ∧ x ∈ N . k 4. A = B = D és C = E. 5. Az A halmaz részhalmazai: {}. A 0 elemszámú halmaznak így 1 1 . Az 1 elemszárészhalmaza van. A B halmaz részhalmazai: {}, {} mú halmaznak így 2 részhalmaza van. 44
A C halmaz részhalmazai: {}, {} 1 , {2}, {1,2}. A 2 elemszámú halmaznak így 4 részhalmaza van. A D halmaz részhalmazai: {}, {} 1 , {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. A 3 elemszámú halmaznak így 8 részhalmaza van. Az E halmaz részhalmazai: {}, {} 1 , {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}. A 4 elemszámú halmaznak így 16 részhalmaza van. Az F halmaz részhalmazait nem soroljuk föl. Összesen 32 részhalmaza van. $NLW|OW|WWWiEOi]DWDN|YHWNH]NpSSHQDODNXO a halmaz eleme0 1 2 3 4 5 … n inek a száma a halmaz 1 2 4 8 16 32 … 2 n részhalmazainak a száma $ KDOPD]P&YHOHWHN GHILQtFLyMiW DONDOPD]YD XJ\DQDNNRU ILJ\HOHPEHYpYHDP&YHOHWHNVRUUHQGMpWDN|YHWNH]WNDSMXN 6.1. A ∪ (B ∩ C ) = {a, b, c}∪ {d } = {a, b, c, d }; 6.2. (A \ B ) ∪ (C \ A ) = {b }∪ {d , e} = {b , d , e}; 6.3. (B ∪ C ) \ (A ∩ B ) = {a, c, d , e}\ {a, c} = {d , e}; 6.4. A ∪ B \ C = {a, b, c, d } \ {d , e}= {e} \ {d , e}= {}; 6.5. A ∪ B \ C = {a, b, c}∪ {a, c} = {d , e}∪ {b, d , e} = {b, d , e}; 6.6. A × B = {(a; a ), (a; c ), (a; d ), (b; a ), (b; c ), (b; d ), (c, a ), (c; c ), (c; d )}; 6.7. (B × C ) \ (C × B ) = {(a; d ), (a; e ), (c; d ), (c; e ), (d ; d ), (d ; e )}\ \ {(d ; a ), (d ; c ), (d ; d ), (e, a ), (e; c ), (e; d )} = {(a; d ), {a; e}(c; d ), (c; e ), (d ; e )}. $ NpW ROGDO HJ\HQO (]W D] DOiEEL 9HQQ-diagramokról is le lehet olvasni a sötétített részek összehasonlításával.
(A ∪ B ) ∩ C
45
(A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
$NpWROGDOHJ\HQO
A ∩ (B \ C )
(A \ C ) ∩ (B \ C )
$ NpW ROGDO QHP HJ\HQO PLYHO D] DOiEEL UDM]RNRQ QHP ugyanazok a halmazrészek vannak beárnyékolva.
(A ∩ B ) \ C
46
(A ∩ C ) \ (B ∩ C )
$ NpW ROGDO QHP HJ\HQO $ NLYRQiV QHP DVV]RFLDWtY D]D] nem társítható.)
(A \ B ) \ C
A \ (B \ C )
8. Természetesen itt nem csak egyetlen megoldás létezik. Az DOiEELDNEDQDOHJNp]HQIHNYEEPHJROGiVRNDWN|]|OMN 8.1. A ∩ B ; 8.2. A \ B \ C vagy A \ (B ∪ C ) ; 8.3. (B ∪ C ) \ A vagy (B \ A) ∪ (C \ A) ; 8.4. (A ∪ C ) \ (B ∩ C ); 8.5. B ∪ (A ∩ C ) vagy (B ∪ A) ∩ (B ∪ C ) ; 8.6. [(A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )] \ (A ∩ B ∩ C ).
47
9.1. Rajzoljunk a feladathoz számegyenest! Jelöljük be rajta a 3mal és a 4-gyel osztható számokat!
Az ábrán négyzetekkel jelöltük a 3-mal, körökkel pedig a 4-gyel osztható számokat. Látható, hogy 10 szám kapott valamilyen jelölést, tehát 10 szám osztható 4-gyel vagy 3-mal. Próbáljunk meg általános eljárást kidolgozni a bejelölt számok számának megállapítására! Mivel minden harmadik szám osztható 3-PDOtJ\D]HOV20 szám között 6 hárommal osztható szám van, ugyanis ennyiszer van meg a 3 a 20-ban (maradékosan). Ugyanígy okoskodva 20 : 4 = 5 szám van, amely 4-gyel osztható. Ha a 6ot és az 5-öt összeadjuk, akkor 11-et kapunk. Ez azért tér el a NRUiEEDQNLV]iPROWHUHGPpQ\WOPHUWD12-t, amely 3-mal is és 4gyel is osztható, kétszer számoltuk. Így a 11-EO NL NHOO YRQQL azoknak a számoknak a számát, amelyek mindkét számmal, 3mal is és 4-gyel is oszthatók. 20-ig egy ilyen szám van, a 12.
3
4
6
8 9
12
15
16 20
18 A fenti Venn-diagramon az A halmaz, melyben a 3-mal osztható számok vannak, számossága 6, a 4-gyel osztható számokat tartalmazó B halmaz számossága 5. A két halmazban összesen található elemek száma: A ∪ B = A + B − A ∩ B = 6 + 5 − 1 = 10 . $] HO] IHODGDW PHJROGiViEDQ EHYH]HWHWW MHO|OpV pV számolás alapján A = 33 , B = 25 és A ∩ B = 12 . Ez utóbbi számot a 100 : 12 hányados egészrészeként kaptuk. Az A∪ B = A + B − A∩ B képletet alkalmazva kapjuk: 33 + 25 − 12 = 46 .
48
9.3. Jelölje A a 3-mal, B az 5-tel osztható számok halmazát. Ekkor D N|YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A = 33 , B = 20 és A ∩ B = 6 . Ez utóbbi halmaz a 15-tel osztható számokat tartalPD]]DLO\HQEO100-ig pedig éppen 6YDQ$]HUHGPpQ\D]HO]ekben használt képlet alkalmazásával: 33 + 20 − 6 = 47 . 9.4. Jelölje A a 4-gyel, B az 6-tal osztható számok halmazát. Ekkor D N|YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A = 25 , B = 16 és A ∩ B = 8 . Ez utóbbi halmaz a 12-vel osztható számokat tartalPD]]D LO\HQEO 100-ig pedig éppen 8 van. Az eredmény az HO]HNEHQKDV]QiOWNpSOHWDONDOPD]iViYDO 25 + 16 − 8 = 33 . 9.5. Jelölje A a 3-mal, B a 4-gyel és C az 5-tel osztható számok KDOPD]iW (NNRU D N|YHWNH] V]iPRsságokat kapjuk: A = 33 , B = 25 és C = 20 . Mivel az A és a B halmaz metszetében a 12vel, a B és a C metszetében a 20-szal, az A és a C metszetében a 15-tel és mindhárom halmaz metszetében a 60-nal osztható V]iPRN YDQQDN tJ\ D N|YHWNH] V]iPRVViJRNDW NDSMXN A ∩ B = 8 , B ∩ C = 5 , A ∩ C = 6 és A ∩ B ∩ C = 1 . Az eredményt az A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C képlet adja. Behelyettesítve a számosságokat: 33 + 25 + 20 − 8 − 5 − 6 + 1 = 60 . Az alábbi Venn-diagramon jelöltük az egyes halmazrészek számosságát.
19
7 5
1
4
9
49
13
