ELADÁS Megjegyzés: a jegyzetben található bekeretezett részek kiemelten kezelend® fogalmak és összefüggések, ezekre vonatkoznak a vizsga beugrókérdései, melyek témáit a tárgyhonlapon felsoroltam.
1. Halmazok, elemi logika, valós számok I. Halmazok. 1. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm¶en eldönthet®, mik az elemei. 2. Halmaz megadása:
A := {3, 5,
(i) Elemekkel, pl.
√
2}.
(ii) Más halmazokból. M¶veletekkel: pl.
A ∪ B, A ∩ B, A \ B.
Tulajdonsággal: pl.
R+ := {x ∈ R : x > 0}
II. Elemi logika. 1. Matematikai állítás: amir®l eldönthet®, igaz-e. Pl.:
A. "A 2 egész szám."
B. "A 2 valós szám."
C. "Mo. f®városa Róma."
D. "Budapest szép város."
Itt A,B,C matematikai állítás, bár C hamis. Megj.:
A⇒B;
¬C =
D nem matematikai állítás.
"Mo. f®városa nem Róma."
2. Fontos szabályok. (i)
(A
⇒ B)
= (¬B
⇒ ¬A).
Vigyázat! (A
⇒ B ) ̸= (¬A ⇒ ¬B ).
(ii) Tagadás. (a) de Morgan: Pl.:
¬
¬
(A vagy B) = (¬ A és
¬
B),
¬
(A és B) = (¬ A vagy
¬
B)
(írok vagy olvasok) = (nem írok és nem olvasok)
(b) Kvantorok:
legyen T egy tulajdonság (pl.
T (x)= "x
pozitív").
¬(∀x T (x)) = (∃x ¬T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); ¬(∃x T (x)) = (∀x ¬T (x)) Pl. ¬ (minden rovar bogár) = (van olyan rovar, amely nem bogár) (c) Következtetés tagadása: el®bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.:
¬
(Ha valaki magyar, akkor pesti) =
magyar, aki nem pesti)
1
¬
(Minden magyar pesti) = (Van olyan
III. Valós számok. 1. Szemléletes számfogalmak. Kialakulásuk sorrendjében: Pozitív egészek:
N+ = {1, 2, 3, ...}
Természetes számok:
N = {0, 1, 2, ...}.
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2...}
Egész számok:
Racionális számok: egész számok hányadosai, jele
Q.
Püthagorasz iskolájának észrevétele: a négyzet átlóját nem lehet így kifejezni, azaz
√
2∈ /Q →
irracionális számok.
Valós számok:
a racionális és irracionális számok együtt, jele
R.
Szemléletesen:
számegyenes. Formálisan: a (véges vagy végtelen) tizedestörtek. S¶r¶ségi tulajdonság: bármely két szám közt van racionális és irracionális szám.
∑
2. Fontos szimbólumok: példákon:
n ∑ k=1
ált.
n ∑
1 k
(szumma),
:= 1 + 21 + ... +
1 , n
∏
(produktum). Jelentésük:
6 ∑
k 2 := 42 + 52 + 62 ,
k=4
ak := am + am+1 + ... + an .
Hasonlóan,
k=m
n ∏ k=m
ak := am · am+1 · ... · an .
3. Fontos számhalmazok. (i) Intervallumok de níciója. Legyenek Korlátos intervallumok: Félegyenesek: pl.
a
valós számok:
[a, b], (a, b), [a, b), (a, b].
[a, +∞), (−∞, b).
R
is nem korlátos intervallum.
(ii) Korlátos számhalmazok. De níció:
H⊂R
felülr®l korlátos, ha alulról korlátos, ha
∃M ∈ R: ∀x ∈ R x ≤ M . ... x ≥ M.
korlátos, ha alulról és felülr®l is korlátos. Pl.
[a, b]
korlátos,
N
felülr®l nem.
2
2. Algebrai alapismeretek. I. Nevezetes kifejezések, azonosságok. (i) Egyváltozós polinom. Egy határozatlan (ált.
x
melyben
x-szel jelölt ) elem olyan kifejezése,
egyes hatványainak számszorosait adjuk össze:
p(x) := a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn = a1 , ..., an ∈ R
n ∑
ai xi ,
i=0 (együtthatók) adott számok.
n ∈ N
ahol
(a polinom foka) és
3x4 − 5x + π
Pl.
(ii) Racionális törtfüggvény v. algebrai tört: polinomok hányadosa,
p(x) . q(x)
Pl.
2x−3 x2 +5x
Racionális törtfüggvények összeadása, szorzása: ahogy a törteket kell, azaz
p(x) q(x)
·
r(x) s(x)
=
p(x)r(x) , q(x)s(x)
p(x) q(x)
+
r(x) s(x)
=
p(x)s(x)+r(x)q(x) . q(x)s(x)
Ezek is rac. törtfüggvények.
(iii) Többváltozós polinomok és algebrai törtek.
a2 b − 2ab3 + b4
Pl.
polinomja
a, b-nek,
ab algebrai tört. a2 +b2
(iv) Nevezetes azonosságok több határozatlannal.
Pl.:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
a2 − b2 = (a − b)(a + b).
II. Hatványozás, logaritmus 1. (i) Hatvány értelmezése Egész kitev®:
a>0
pozitív alap esetén.
an := a · a · ... · a, a−n :=
1 , an
a0 := 1.
Rac. kitev®:
m
a n :=
√ n
am .
t: at
r r az az egyetlen szám, amely mindig a 1 és a 2 közé esik, t ha t az r1 és r2 rac. számok közé esik. (Itt a létezése a fontos, de csak közelít®leg r számíthatjuk ki az ilyen a -ekb®l.) Irracionális kitev®, pl.
(ii) Exponenciális függvény: rögzített szigorúan növ®, ha
(iii)
a>1
a>0
esetén
és szig. csökken, ha
A hatványozás azonosságai:
legyenek
a < 1.
ax , ay
ax+y = ax ay , ax−y =
(Vigyázat: általában
ax ay ̸= axy , (ax )y ̸= a(x
Megj.: 2. (i)
az
a0 = 1
(ab)x = ax bx , ( ab )x =
(Ha
Ez pozitív érték¶;
a = 1,
a, b > 0, x, y ∈ R.
Különböz® kitev®k:
Különböz® alapok:
x 7→ ax .
y)
akkor konstans 1.)
Ekkor:
(ax )y = axy . !)
ax . bx
def. az azonosságokból is szükségszer¶.
Logaritmus értelmezése (a > 0, a ̸= 1 pozitív alap esetén):
Legyen Azaz:
b > 0. Ekkor loga b az a szám, amelyre a-t emelni kell, hogy b-t kapjunk. x := loga b az egyetlen valós szám, melyre ax = b. Röviden: aloga b = b.
3
23 = 8,
Pl.: ha
így
a > 0, a ̸= 1
Megj.:
loga b
2−1 =
log2 8 = 3;
tetsz., akkor
1 , így 2
a0 = 1,
így
csak akkor értelmes, ha
log2
1 2
= −1;
1
4 2 = 2,
így
log4 2 =
1 ; 2
loga 1 = 0.
a
és
b
is pozitív, de maga
loga b
negatív is
lehet.
lg b := log10 b; ln b := loge b (ún.
Nevezetes alapok: ahol
(ii)
e ≈ 2.71
természetes alapú logaritmus),
(def. kés®bb).
A logaritmus azonosságai:
legyenek
loga xy = loga x + loga y , loga loga
(2. és 3. spec.:
Áttérés más alapra:
1 y
sai. 3. Számok normálalakja. Ha ahol
1 ≤ r < 10
és
k ∈ Z.
Pl.
1 240 000=
1.24 · 106
Ekkor
= loga x − loga y , loga (y c ) = c loga y .
x y
= − loga y .)
loga x =
a, x, y > 0.
logb x . logb a
Vigyázat!
Pl.
loga (x + y) = ...
log2 x =
képlet nincs!
lg x , azaz egymás konstansszorolg 2
x ∈ R+ , akkor egyértelm¶en felírható x = r·10k alakban,
III. Egyenletek. Itt most algebrai egyenletekr®l lesz, azaz számot keresünk. (Vannak függvényegyenletek is, l. kés®bb.)
1. Egyenlet fogalma: keresünk egy mennyiséget, amelyre fennáll valamilyen összefüggés. A megoldást gyakran az egyenlet gyökének hívjuk. (Ez nem a
√
!)
Lehet egy vagy több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Fontos példa:
2. Másodfokú egyenletek megoldása. Rendezve:
ax2 + bx + c = 0
Megoldóképlet levezetése:
0 = x2 + ab x +
c a
= (x +
(ahol
(: a)
b 2 ) 2a
+
a, b, c ∈ R
a ̸= 0, x =?)
és teljes négyzetté alakítjuk.
c a
−
b2 4a2
= (x +
A valós megoldások száma (2,1 v. 0) a 3. Egyéb egyenletek: ld. gyak.
adott,
b 2 ) 2a
−
D := b2 − 4ac
b2 −4ac (2a)2
⇒ x1,2 =
√ −b± b2 −4ac 2a
diszkrimináns el®jelét®l függ.
(Törtekkel; hatvány, logaritmus; trigonometrikus stb.)
4
4. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Legyenek
a, b, c, d ∈ R,
ill.
u, v ∈ R
adott számok. Keresend®
x, y ∈ R:
ax + by = u cx + dy = v. (Megj.: szokásos feltevés:
A megoldás elve: Pl.
y -t
a
vagy
b ̸= 0, c
vagy
d ̸= 0.)
beszorzás azonos együtthatóra.
d-vel,
eliminálhatjuk, ha az 1. sort
a 2. sort
b-vel
szorozzuk:
adx + bdy = ud bcx + bdy = bv
kivonva:
(ad − bc)x = ud − bv
Innen:
helyettesítve
ad − bc ̸= 0: átosztva kifejezzük y -t.
2. eset -
ad − bc = 0:
1. eset -
ha
ha
megkapjuk
x-et →
ekkor a fent kapott egyenlet
ezt valamelyik egyenletbe
0 = ud − bv .
(i) aleset: ha a megadott adatokra
0 ̸= ud − bv ,
akkor nem lehet megoldás.
(ii) aleset: ha a megadott adatokra
0 = ud − bv ,
akkor
eset miatt
ad = bc.
ud = bv ,
és az
ad − bc = 0
Tehát a beszorzott alakban a két egyenlet azonos! Vagyis
az eredeti kett® is beszorzással egymásba vihet® (nem függetlenek). Azaz valójában csak egy egyenletünk van, pl.
ax + by = u.
Ennek végtelen sok
megoldása van (a síkon ez egy egyenes egyenlete).
Megjegyzés (a megoldások számának diszkussziója) Ha
ad − bc ̸= 0:
a megoldás egyértelm¶, azaz egyetlen megfelel®
(x, y)
számpárt
kapunk. Ha
ad − bc = 0: vagy nincs megoldás, vagy
∞
sok megoldás van (amikor a két egyenlet egymás számszorosa).
Összefoglalva: az egyértelm¶ megoldás feltétele, hogy néha a rendszer determinánsának hívjuk.)
5
ad − bc ̸= 0.
(Az
ad − bc számot
3. Lineáris algebra/1. Mátrixok, determináns 1.
Mátrixok és oszlopvektorok fogalma.
{
Motiváció: tekintsük a következ® lineáris egyenletrendszert (LAER):
(
a b c d
Mátrixnak hívjuk az együtthatók táblázatát:
( Szeretnénk a LAER-t
a b c d (
mátrix-vektor szorzás:
→
i-edik
A szorzat
eleme:
· a b c d
a mátrix
A ∈ Rn×k , x ∈ Rk
Általában:
x y
)
(
=
) (
· i-edik
)
x y
esetén
y
,
∈ R2 .
v
)
u v
alakba írni:
(
:=
ax + by cx + dy
) .
sorának és a vektornak a skalárszorzata.
A ∈ R3×4 (3 × 4)-es
Példa más méretre: 3 vektorral, Ax ∈ R .
2.
) (
=: A ∈ R2×2 .
( x ) ( u )
oszlopvektorok:
Az ismeretlenek és 'jobboldal'
)
ax + by = u cx + dy = v.
mátrix, ill.
Ax := {
k ∑
j=1
ennek szorzata
x ∈ R4
aij xj }ni=1 ∈ Rn .
Négyzetes mátrix determinánsának értelmezése. det(A)
Jelölés: (i)
2×2
(ii)
3×3
Def.:
Példa:
(iii)
eset:
vagy
|A|.
det(A) := ad − bc.
Példa:
1 2 3 4
= 1 · 4 − 2 · 3.
eset. (Szemléletesen: Sarrus-szabály)
n×n
a1 a2 a3 b1 b2 b3 := a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 − a3 b2 c1 . c1 c2 c3
−1 0 −1 1 1 1 = (−1) · 1 · 1 + ... 3 2 1 eset.
Egy determinánsban valamely elem
aldetermináns ának nevezzük az adott elem sorá-
nak és oszlopának elhagyásával keletkez® kisebb determinánst. A determináns kiszámolása rekurzív módon aldeterminánsokkal: tetsz®legesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeter-
sakktáblaszabály
minánssal, majd a kapott szorzatokat a ,, összeadjuk.
+ − + ... − + − ... + − + ... . . .
. . .
. . .
..
. 6
szerinti el®jellel ellátva
Példa: a 3x3 eset, els® sor szerint kifejtve (ez ugyanazt adja, mint a Sarrus-szabály):
a 1 b1 c1 3.
a2 a3 b2 b3 = a1 (b2 c3 − b3 c2 ) − a2 (b1 c3 − b3 c1 ) + a3 (b1 c2 − b2 c1 ). c2 c3
M¶veletek vektorokkal és mátrixokkal. (i) Vektorok és mátrixok összeadása és számmal való szorzása: elemenként. (ii) Mátrixok
sor-oszlop-szorzása:
a szorzat minden elemét úgy kapjuk meg, hogy
az els® mátrix megfelel® sorát skalárisan szorozzuk a második mátrix megfelel® oszlopával. ("Megfelel®" = annyiadik, mint a vizsgált elemnek.)
( A
2×2
esetben:
( Példák:
Megj.:
1 2 3 4
)(
·
Általában
) (
a b c d 5 6 7 8
· )
(
=
AB ̸= BA,
e f g h
)
(
=
19 22 43 50
)
ae + bg af + bh ce + dg cf + dh (
,
5 6 7 8
)(
·
) .
1 2 3 4
)
(
=
23 34 31 46
)
mint fent.
Azért ilyen bonyolult, mert így lesz
(AB)x = A(Bx) ∀x
A nem négyzetes esetben megfelel® méretek:
vektorra.
m × n, n × k → m × k .
(iii) Fogalmak négyzetes mátrixra.
Egységmátrix: I :=
1. 0 0
..
1
.
Az
I -vel való szorzás helybenhagy: IA = A = AI .
Inverz : A inverze az az A−1 -gyel jelölt mátrix, melyre A−1 A = AA−1 = I . (
Példa:
4 1 3 1
)
(
és
1 −1 −3 4
)
Nem minden mátrixnak van inverze.
(iv) Az Pl.:
egymás inverzei. Tétel:
∃A−1 ⇔ det(A) ̸= 0.
A ∈ Rn×n mátrix által meghatározott Rn → Rn
A=
(
1 0 0 −1
)
→
lineáris leképezés: v 7→ Av.
a síkon a vízszintes tengelyre való tükrözés.
7
.
4. Lineáris algebra/2. Függvények I.
(i)
Mátrixok sajátértékeinek, sajátvektorainak értelmezése és kiszámítása. Def.: Az A ∈ Rn×n mátrixnak λ∈R sajátérték e és v ∈ Rn \ {0} egy hozzá tartozó sajátvektor, ha Av = λv . Szemléletes jelentés: az
A-val
való szorzás a
v
sajátvektornak csak a hosszát be-
folyásolja, az irányát nem. (ii) Hogyan találhatók meg a sajátértékek?
λ sajátérték ⇔ (A − λI)v = 0, v = (A − λI)−1 0 = 0 lenne.
Észrevétel:
ahol
v ̸= 0.
Ekkor
(A − λI)-nak
nincs
inverze, kül.
Állítás:
λ
(
Példa:
pontosan akkor sajátértéke az
2 1 2 3
A
mátrixnak, ha
)
( sajátértékei 4 és 1, egy-egy sajátvektor
det (A
1 2
)
− λI) = 0. (
és
1 −1
)
.
Látható: a sajátvektorok számszorosai is sajátvektorok, azaz sajátirányokról van szó.
II. Függvények alapfogalmai 1. Függvény=hozzárendelés, megadása: értelmezési tartomány és hozzárendelési szabály. Jelölés:
Df := A
Itt
f : A → B , x 7→ f (x).
jelöli az értelmezési tartományt, az értékek B-ben vannak és megadtuk
a szabályt.
•
Példa:
•
Értékkészlet: amiket felvesz, Pl.
•
f : R → R, f (x) := x2 .
Rf ⊂ B . Nem mindig ismerjük el®re. f : R → R, f (x) := sin(x + 2x )/(x2 + 1), Rf ⊂ R nem látszik.
Df -et sem ismerjük el®re. Ekkor célszer¶ jelölés f : A ⊃→ B , jelentése Df ⊂ A. 3 Pl. f : R ⊃→ R, f (x) := (x + 1)/(x + 3x − 4), Df ⊂ R ahol a nevez® ̸= 0. Hasonlóan: lehet, hogy egy hozzárendelési szabályhoz a legb®vebb
2. További példák. (a) Véges halmazon, ahol pl. több elemhez is rendelheti ugyanazt. (b)
√ x 7→ ± x
viszont nem függvény
R+ -on.
3. Függvény fogalma másképp: "m függvénye Azaz, ha van olyan
f
függvény, melyre
Fizikai példa a szabadesés:
n-nek", ha n értéke meghatározza m-et. m = f (n).
s = (g/2)t2 ≈ 4.9 · t2 ,
8
azaz az út az id® függvénye.
III. További fontos fogalmak. 1. Injekció, szuperjekció (vagy szürjekció), bijekció. (Rajzok)
Def.:
egy
f :A→B
függvény
(i) injekció, ha különböz®khöz különböz®ket rendel, (ii) szuperjekció, ha
Rf = B ,
(iii) bijekció, ha injekció és szuperjekció (azaz kölcsönösen egyértelm¶
A és B
közt).
Megjegyzések. Jelz®ként: injektív függvény stb. Az injekció és szuperjekció nem egymás ellentétei (egyszerre is lehetséges, lásd épp (iii)). 2. Kompozíció, inverz, lesz¶kítés, kiterjesztés. (Rajzok)
Def.: (i) Kompozíció: egymás utáni elvégzés.
g : A ⊃→ B , f : B ⊃→ C , akkor f ◦g : A ⊃→ C , Df ◦g := {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }, x 7→ f (g(x)).
Ha
(ii) Inverz: visszairányú hozzárendelés.
f : A → B injekció, akkor f −1 : B ⊃→ A, Df −1 = Rf , y 7→ f −1 (y) f (x) = y egyenl®ség egyetlen x megoldása. Ha
pedig az
(iii) Lesz¶kítés: ugyanaz a függvény sz¶kebb halmazon. Ha
f :A→B
és
K ⊂ A,
akkor
f|K : K → B , x 7→ f (x).
(iv) Kiterjesztés: az adott függvény értelmezése b®vebb halmazon. Ha
f :A→B
f -fel
és
N ⊃ A,
akkor
f :N →B
kiterjesztése
f -nek,
(több is lehet).
Példák:
f (x) := x2
nem injektív;
viszont lesz¶kítése Az
n 7→ an
R-r®l R+ -ra
injektív, ennek inverze a gyök.
függvényt korábban kiterjesztettük
9
N-r®l R-re.
ha
A-n
megegyezik
5. Egyváltozós valós függvények. I.
Ábrázolás gra konnal. Példák: napi h®mérsékletgörbe, ill.
II.
Monotonitás, inverz. •
Monoton, szigorúan monoton függvény fogalma. (Rajz is.)
•
Szigorúan monoton függvény injektív.
•
Inverz gra konja: tükrözés a Ui. Pl.
III.
f (x) := x2 .
45◦ -os
tengelyre.
−1
f : x 7→ y ⇔ f : y 7→ x, így a két tengely szerepet cserél. f (x) = x2 R+ -on: inverzének (a gyökfüggvénynek) ábrázolása.
Elemi függvények és gra konjaik. f (x) := xα
(a) Hatványfüggvények:
(α
∈R
adott kitev®).
x > 0 változóval (ill. x ≥ 0, ha α ≥ 0) rajzoljuk fel általánosan. Rajzok: α > 1, α = 1, 0 < α < 1, α = 0, α < 0 esetek. Szigorúan monotonak (kivéve, ha α = 0). • Megj.: xα értelmes x < 0 esetén is ⇔ α = pq , ahol q ∈ {1, 3, ...} páratlan. Ilyenkor a gra kon az x > 0 eset tükörképe az origóra (ha p páratlan) vagy az y tengelyre (ha p páros). 3 4 Rajzok: pl. x , x . •
Most csak
(b) Exponenciális függvények: Rajzok:
f (x) := ax
0 < a < 1, a = 1, a > 1
Szigorúan monotonak (kivéve
(a
adott alap).
esetek (lásd ea.)
a = 1).
Inverzeik: a logaritmusfüggvények, azaz az alapú log. függvény (x
>0
a
alapú exp. függvény inverze az
7→ loga x). 0 < a < 1, a > 1
Rajzok (tükrözéssel):
esetek (lásd ea.)
Szigorúan monotonak. (c) Trigonometrikus függvények. Rajzok:
sin, cos, tg, ctg (lásd ea.)
Inverzek. Pl. arc sin értelmezése:
sin|[− π , π ]
inverze;
gra konja.
2 2
Hasonló: arc cos, arc tg. (d) Hiperbolikus függvények:
sh x := 21 (ex − e−x ), Fontos azonosság:
ch x := 12 (ex + e−x ),
thx
ch 2 x − sh 2 x = 1 ∀x ∈ R.
Inverzeik. Nevük: "area" el®taggal, pl. arshx.
10
:=
sh x , ch x
cthx
:=
ch x . sh x
(A def.-ból következik.) Kifejezhet®k logaritmussal.
a
IV.
Exponenciálisból származó nevezetes függvények (rajzokkal) (a)
ex (e ≈ 2.71) e−x (tükrözéssel vagy közvetlenül) 2 e−x 2 e−x /2 2 e−(x−σ) /2 (ahol σ > 0): eltolással. Általános elv: f (x − c) és f (x + c) gra konja
az
f (x)-éb®l
jobbra/balra való
eltolással. (b) Logaritmikus skála: lgf (x) vagy Pl. de
ln f (x)
f (x) = 10x -et nehéz pontosan lgf (x) = x-et már lehet.
ábrázolása.
ábrázolni (gyorsan n®),
Példák: i. A 10-es alapú logaritmikus skálán bármely alapú exponenciális fügvényb®l x lineáris lesz (azaz, bármely a > 0 esetén lg(a ) = cx valamely c állandó mellett). ii.
Exponenciális csökkenés (pl.
C-izotóp):
állandó). Ekkor
ln f (x) = ln N0 − kx
lineáris, csökken®.
11
f (x) := N0 e−kx
(ahol
k > 0
6. Geometria, trigonometria, vektorm¶veletek I. Pithagorasz-tétel, pontok távolsága síkban ill. térben. Pith.-tétel (síkban, derékszög¶ háromszögre): a2 + b2 = c2 Térben
2
2
2
2
a +b +c =d
(rajz). (rajz).
Következmények: 1. Pontok távolsága. Síkban
√
(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 ,
d(A, B) =
2. Kör egyenlete
(a1 , a2 )
középponttal: a
térben ugyanez 3 taggal.
P = (x, y)
pontokra
d(P, A) = r,
azaz
(x − a1 )2 + (y − a2 )2 = r2 .
(négyzetre emelve):
II. Trigonometria. 1.
Szögfüggvények értelmezése. (a)
cos α, sin α:
az
x
tengellyel
α
cos α =
(b) Derékszög¶ háromszögben:
(c)
tg α :=
(d) Ha
α
sin α , cos α
ctg α :=
nem 0 és
360◦
1 tg α
szöget bezáró egységvektor koordinátái.
=
cos α , sin α
b , c
sin α =
a , c
tg α =
a . b
ha a nevez® nem 0.
közé (azaz radiánban nem 0 és
2π
közé) esik: periodikus
kiterjesztés. 2. Polárkoordináták:
bármely
(x, y) ̸= (0, 0)-hoz ∃! r > 0
és
φ ∈ [0, 2π) :
x = r cos φ, y = r sin φ. 3. Nevezetes azonosságok
sin2 α + cos2 α = 1
(bármely
α, β ∈ R
(Pithagoraszból),
esetén).
cos α = sin( π2 − α).
Addíciós tételek: pl.
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β , cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β , sin 2α = 2 sin α cosα, cos 2α = cos2 α − sin2 α.
köv.:
4. Sin- és cos-tétel: ld. gyakorlat.
12
III. Egyenes és sík egyenlete meredekséggel. 1. Egyenes: mennyit
y = mx + b. Ekkor m az egyenes meredekségét változik y , miközben x egységnyit változik.
z = m1 x + m2 y + b.
2. Sík:
m1
Ekkor
és
m2
a sík
meredekségeit fejezi ki, azaz, hogy mennyit változik
x
egységnyit változik és
y
rögzített (ez
m1 ),
y
egységnyit változik és
x
rögzített (ez
m2 ).
x
z,
ill.
y
fejezi ki, azaz hogy
koordináták irányú
miközben:
vagy
IV. Vektorm¶veletek n-dimenziós Rn tér: a = (a1 , a2 , . . . , an ) szám-n-esek (vektorok). Gyakorlatban n = 2, 3 (sík, ill. tér). Nagyobb n: pl. állapottér, pl. egy térben mozgó részecske helye és sebessége 6 egy 6-dimenziós állapotvektorral írható le, az összes lehet®ség alkotja R -ot. Az
a = (a1 , a2 , . . . , an )
A továbbiakban legyenek
és
b = (b1 , b2 , . . . , bn ) Rn -beli
együtt
vektorok.
1. Összeadás és számmal való szorzás:
a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ), c · a := (ca1 , ca2 , . . . , can ). Geometriai jelentése 2 és 3 dimenzióban (rajzon: illesztés ill. nyújtás). 2. Vektorok szorzása egymással. Két különböz® értelemben de niáljuk: skalárszorzat: 2 és 3 dimenzióban is (ill. formailag akármennyiben) értelmezzük, értéke valós szám; vektoriális szorzat: csak 3 dimenzióban értelmezzük, értéke is 3-dimenziós vektor. (i)
Skalárszorzat. •
Motiváló példa:
W = |F| |s| cos γ ,
er® munkája,
azaz csak a párhuzamos
komponens számít.
• •
A skalárszorzat értelmezése:
a, b ∈ Rn
a · b := |a| |b| cos γ .
Hasonló tulajdonságok, mint a számok szorzásánál: ta · b = a · tb (t ∈ R), a · b = b · a, a · a = |a|2 . Viszont: általában
•
(a · b) c ̸= a (b · c);
(a + b) · c = a · c + b · c,
a · b = 0 ⇔ a⊥b.
A skalárszorzat koordináták segítségével való kiszámítása:
a, b ∈ R2 ): 3 ha a, b ∈ R ):
a · b = a1 b1 + a2 b2 , a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Pl. síkon (azaz ha térben (azaz
Biz. síkon:
•
esetén
γ = α−β
miatt
cos γ = cos α cos β + sin α sin β =
|a · b| ≤ |a||b|. |a · b| = |a| |b| | cos γ| ≤ |a||b|.
Cauchy-Schwarz-egyenl®tlenség: Biz.:
| cos γ| ≤ 1
miatt
13
a·b =
n ∑
ai b i .
i=1
a1 b1 a2 b2 + |a| |b| |a| |b|
.
(ii)
Vektoriális szorzat.
•
1. 2. 3.
•
a, b ∈ R3 , akkor a × b ∈ R3 a × b mer®leges a-ra és b-re is, a, b és a × b jobbrendszert alkot, |a × b| = |a| |b| sin γ .
Értelmezése: ha
az a vektor, melyre
Tulajdonságok. Mint a számok szorzásánál: (t
∈ R).
Viszont:
a × b = −b × a,
(a + b) × c = a × c + b × c, ta × b = a × tb a×a = 0
(és általában
a × b = 0 ⇔ a||b).
Itt
tehát a mer®leges komponens számít.
•
Fizikai példa: mágneses térben mozgó egységnyi töltés. A rá ható (Lorentzféle) er® a sebesség és a mágneses indukció vektorszorzata.
•
A vektoriális szorzat koordináták segítségével való kiszámítása:
i j, k jobbrendszer¶ derékszög¶ koordináta-rendszerben
egy ,
i j k a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3
•
, azaz
Egy geometriai alkalmazás:
|a × b|
az
területe. (Utóbbi ui.
|a|m,
és itt
a2 b3 − a3 b2 a × b = −(a1 b3 − a3 b1 ) a1 b2 − a2 b1
m = |b| sin γ .)
14
a
és
b
.
által kifeszített paralelogramma
7. Végtelen számsorozatok és sorok I. Sorozatok. 1. Sorozat és határérték fogalma.
Sorozat: N+ → R leképezés. Példa: az
De níció
∀n > N
1 sorozat, azaz n
Jelölés: tagjait
1, 12 , 31 , . . ..
Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije?
lim an = A ∈ R,
(sorozat határértéke).
esetén
a1 , a2 , a3 . . . indexekkel, a sorozat (an ).
|an − A| < ε.
∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N+ :
ha
Szemléletesen: A "∃N "elég nagy
= N (ε) ∈ N+ : ∀n > N esetén" kitétel helyett lazábban mondható. Az "|an − A| < ε" tulajdonság: an ∈ (A − ε, A + ε).
n-re"
an → A.
Gyakori jelölés: Példa: az
an :=
Ha van ilyen
1 sorozat, azaz n
A,
1, 12 , 13 , . . ..
konvergens.
akkor
(an )
Ekkor
lim an = 0,
másképpen
an → 0.
Egy sorozatnak csak egy határértéke lehet. 2. Szabályok.
Tétel (határérték és m¶veletek). ha
B ̸= 0: lim
=
A , B
ha
an ≥ 0
(Biz.helyett pl. összegre: ha elég nagy
Tétel
(rend®relv).
lim an = A
és
lim bn = B ,
lim(an − bn ) = A − B ,
lim(an + bn ) = A + B , an bn
Ha
Ha
és
akkor:
lim(an · bn ) = A · B ,
α ∈ R: lim aαn = Aα .
n-re an ≈ A és bn ≈ B , akkor an +bn ≈ A+B .)
lim an = lim bn = D
és
an ≤ cn ≤ bn ∀n ∈ N+ ,
akkor
lim cn = D. 3.
∞
mint határérték.
Példa: az
Def. (Azaz
n2
sorozat, azaz
1, 4, 9, 16, . . .
"hova tart"?
lim an = +∞, ha ∀K > 0 ∃N = N (K) ∈ N+ : ∀n > N "elég nagy n-re" an > K .) (i)
(ii)
lim an = −∞,
ha
∀K < 0
.....
"-
esetén
an > K .
...
an < K .
Szabályok végtelen limeszre:
M¶veletek:
az el®bbi tétel értelemszer¶en kiterjeszthet®
∞
limeszre, lásd gyakorlat.
4. A konvergencia elégséges feltétele.
Tétel.
Ha
(an )
monoton és korlátos, akkor konvergens.
Nevezetes példa:
(
an := 1 +
számt.-mért. középpel lehet)
(
Def.: e := lim 1 + n1
)n
(≈
1 n
)n
⇒
2.71,
monoton növ® és felülr®l korlátos (biz. konvergens.
irracionális).
15
nincs,
II. Sorok. 1. Téma: hogyan lehet
∞
sok szám összegét értelmezni?
Példa (rajzon, számegyenesen):
1 + 12 + 14 + ... +
Def.
∀n ∈ N+
(an )
Legyen
adott sorozat,
∑
esetén
1 2n
+ ... = 2.
sn :=
n ∑
k=1 , ha az
végtelen sor konvergens azaz ∃ lim sn = S ∈ R. A sor összege a fenti S szám. Azt mondjuk, hogy a
an
n.
További elnevezések: a végtelen sor
an , n.
tagja
ak = a1 + a2 + . . . + an . (sn )
sorozat konvergens,
szelete vagy részletösszege
sn .
Megj.: a sor indexelése nemcsak 1-t®l, hanem más egészt®l is indulhat. 2. Fontos példa: így
∑
q
n
mértani sor,
∑
qn,
ahol
∞ ∑
konvergens és összege
|q| < 1.
Ekkor
sn :=
q =
n=0
qk =
1−q n+1 1−q
q = 1/2
eset.)
k=0
1 . (A fenti példa: 1−q
n
n ∑
Klasszikus példa: Akhillesz és a tekn®sbéka paradoxona.
→
1 , 1−q
Megoldása: bár végte-
len sok id®szakaszt veszünk gyelembe, ezek egy konvergens sort alkotnak, így nem "soha", hanem csak a tekintett id®intervallumban nem éri utol Akhillesz a tekn®sbékát. 3. A konvergencia szükséges feltétele.
Állítás:
∑
ha
an
Elégséges-e? Pl: Tehát a
konvergens, akkor
∑
lim an = 0
1 divergens, ui. n
∞ ∑
4. További fontos példa:
n=1 (biz. nélkül):
Biz.:
an = sn − sn−1 → S − S = 0.
1+ 12 +( 13 + 41 )+( 51 + 16 + 17 + 18 )+... ≥ 1+ 12 + 12 +.....
feltétel csak szükséges, de nem elégséges. A konvergencia azon
múlik, milyen gyorsan tart
Áll.
lim an = 0.
α>1
an
0-hoz.
1 , nα
ahol
α>0
rögzített szám.
esetén konvergens,
α≤1
esetén divergens.
5. Konvergenciakritériumok. (a) Öszehasonlító kritériumok (ha egy másik alkalmas sorról már tudjuk, hogy konv.)
∑
Tétel.
(i) Ha
(ii) Ha
|an | ≤ bn ∀n ∈ N+
|an |
∑
konvergens, akkor és
∑
bn
an
is konvergens.
konvergens, akkor
∑
an
Általánosabban:
konvergens.
(b) Kiszámítható elégséges feltételek a konv-ra.
Tétel. gens,
(1) (Gyökkritérium). Ha
q>1
esetén
∑
an
q>1
Megj. : ∑
esetén
an
√ n
|an | =: q ,
akkor
q<1
| ∃ lim |a|an+1 =: q , n|
akkor
q<1
∑
an
an
konver-
konvergens,
n-re an ≈ c · q n , így a sor kb. mint a tudjuk, hogy |q| < 1 esetén konvergens,
Mindkét kritérium lényege: elég nagy
mértani sor viselkedik. (Az utóbbiról n ill. ha |q| > 1, akkor q ̸→ 0, így a mértani sor divergens.)
q = 1,
esetén
∑
divergens.
qn
Ha
esetén
divergens.
(2) (Hányadoskritérium). Ha
∑
∃ lim
egyik sem ad információt.
Általában a hányadoskritériumot könnyebb kiszámolni.
16
8. Függvények folytonossága és határértéke 1. Bevezet® példák. (a) Folytonosság: szokásos szemléltetése a "fel nem emelt tollal rajzolt gra kon", azaz "ha
x
f (x)
kicsit változik, akkor
is kicsit változik".
Példák az utóbbira:
π 2 ≈?
(i)
π ≈ 3.1415926, így π 2 ≈ 3.14159262 ≈ 9.8696041. Jó közelítésnek 2 mert szemléletünk szerint x 7→ x folytonos fügvény (rajz).
Mivel
érezzük,
(ii) Egy ktív postai díjszabás-függvény: ha egy csomag 2 kg-nél kevesebb, akkor
{
1000 Ft, ha legalább 2 kg, akkor 5000 Ft. Azaz: Csomagunk 1.998 kg, amire azt mondják:
2?
ha ha
x < 2, x ≥ 2. Ez nem
(Folytonos nem folytonos.)
x2 −1 függvényt! Ennak x−1 pontban kilyukasztott egyenes. Az 1-ben milyen értéke m-nek a
(b) Határérték (limesz). Probléma: ábrázoljuk az
(1, 2)
1000, 5000,
1.998 ≈ 2 kg, tehát 5000 Ft.
tetszik, miért? Miben más ez az (i) példánál?
gra konja az
f (x) :=
m(x) :=
(Ez lesz a határérték.)
2. E fogalmak pontos tárgyalásához szükséges
Def.: ha
H ⊂ R halmaz. Egy a ∈ R pont H -nak torlódási pontja (jel.: a ∈ H ′ ), ∃(xn ) ⊂ H \ {a} sorozat, melyre xn → a. Legyen
Példák (rajzzal): (i)
H = [2, 3)
(ii)
esetén 2,
H = R \ {1}
2.5 és 3
esetén
H ′ -beli.
1 ∈ H ′.
3. A f® de níciók. Többféle ekvivalens de níció létezik, mi itt sorozatokat használunk.
Def.: (a) Legyen a ∈ Df . f folytonos a-ban, ha ∀ xn → a (b) Legyen
lim f = b, a
Df -beli
sorozatra
a ∈ Df′ , b ∈ R. ha ∀ xn → a, xn ̸= a Df -beli
4. (a) A két fogalom kapcsolata. Legyen most
Áll.
f
folytonos
x=1
I
f; ⇒ ∃ lim a
pontban
f
f (xn ) → b.
intervallum,
Biz.:
a
f (x) :=
f : I → R, a ∈ I .
a def-ból következik.
visszafelé: csak ha ez épp
(b) Tipikus helyzetek. Tekintsük a fenti Az
sorozatra
a-ban ⇔ ∃ lim f = f (a).
Köv.: folytonosság
f (xn ) → f (a).
f (a).
x2 −1 függvényt, melyre x−1
lim f = 2. 1
nincs értelmezve. Ha ott is szeretnénk értelmezni, kétféleképp
tehetjük, mindkétszer érvényes marad vagy
f (1) := b,
vagy
f (1) := 2 ⇒ f
ahol
b ̸= 2
(pl.
lim f = 2. 1
b = 3) ⇒ f
folytonos 1-ben.
Lehet
nem folytonos 1-ben;
(Rajzok.)
5. Folytonosság halmazon.
Def.: f : H → R folytonos, ha ∀a ∈ H Tétel (elemi függvények, biz. nélkül): gvények folytonosak teljes
Df -jükön. 17
pontban az
f
folytonos.
f (x) := xα , ax , loga x, sin x, cos x
füg-
6. M¶veletek.
(f + g)(x) := f (x) + g(x), (f · g)(x) := f ≤ g H -ban, ha f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ H .
(a) Értelmezésük: pontonként, azaz pl.
f (x) + g(x)
stb.; valamint
(b) Tulajdonságok: részben a sorozatoknál látottak megfelel®i.
Határértékre:
Tétel.
Legyen
lim f = b, lim g = c. a
Ekkor
a
lim(f ± g) = b ± c; lim(f · g) = b · c; a
ha
a
c ̸= 0: lim fg = a
b ; ha c
b > 0: lim f α = bα . a
Folytonosságra:
Tétel.
Legyen f értelmes:) és g
f és g folytonos a-ban/egy H halmazon. f α is folytonos a-ban/a H halmazon.
Ekkor
f ± g, f · g,
(ha
Kompozíció és inverz esetén is megmarad a folytonosság:
Tétel. Tétel. akkor
Ha
f, g : R → R
Legyen
f −1
I⊂R
folytonosak, akkor
f ◦g
f :I→R
intervallum,
is folytonos.
szigorúan monoton. Ha
f
folytonos,
is folytonos.
7. További határérték-fogalmak. (a) Limesz és végtelen.
Def.:
lim f = +∞,
(i)
a
ha
∀ xn → a, xn ̸= a Df -beli
sorozatra
f (xn ) → +∞.
(−∞-re hasonlóan.)
lim f = b,
(ii)
(Itt Pl.:
ha
+∞
f (x) :=
b
∀ xn → +∞ Df -beli
sorozatra
f (xn ) → b.
lehet véges vagy végtelen is.)
1 , ekkor x2
lim f = +∞ 0
(Ilyen lehet pl. egy térer®sség
és
x>0
lim f = 0 +∞
(rajz is).
esetén.)
(b) Egyoldali limesz.
Def.:
lim f = b, + a
(lim f a− Itt
b
ha
∀ xn > a, xn → a Df -beli ∀ xn < a,
sorozatra
f (xn ) → b.
........)
lehet véges vagy végtelen is.
Példák:
Áll.:
= b,
ha
lim sgnx = 1, lim− sgnx = −1; lim+
x→0+
x→0
x→0
∃ lim f ⇔ ∃ lim f , ∃ lim f + − a
a
a
1 x
= +∞, lim−
és ezek egyenl®k.
18
x→0
(Pl.:
1 x
= −∞.
̸ ∃ lim sgnx.) x→0
9. Egyváltozós függvények deriválása/1. 1. Bevezet® példa: mekkora egy szabadon es® test pillanatnyi sebessége a
t0
id®pil-
lanatban? (Feltevés: a 0 id®pontban elejtjük.) (i) Kiszámítás. A test által megtett út: s(t) := 5t2 út-id® függvényt.
s(t) := g2 t2 .
Itt
g ≈ 10,
így tekintsük az
5t2 −5t2
0) = t−t0 0 = 5(t + t0 ). [t0 , t] id®intervallumban: ∆s = s(t)−s(t ∆t t−t0 Pillanatnyi sebesség t0 -ban: amihez ez közelít t → t0 esetén. Azaz: 0) v(t0 ) = lim s(t)−s(t = 10t0 . t−t0
Átlagsebesség a
t→t0
v(t0 )
(ii) Értelmezés: 2.
az
s
függvény pillanatnyi megváltozása.
A derivált fogalma. Ehhez szükséges def.: egy
a
ha az
(Rajz:
H ⊂ R halmaznak a ∈ H
bels® pontja (jelölés:
pont körül valamely nyílt intervallum is része
H = [−1, 1]
esetén
a ∈ int H ),
H -nak.
0 ∈ int H , 1 ̸∈ int H .)
Def. Azt mondjuk, hogy az f : R ⊃→ R függvény az a ∈ int Df pontban (a) dierenciálható és a-beli deriváltja f ′ (a) := x→a lim f (x)−f , ha ez a limesz létezik x−a és véges.
Megj.
különbségihányados-függvénynek
x 7→
f (x)−f (a) (ha x ̸= a) függvényt a-beli x−a hívjuk, jelentése ∆f /∆x az a pont körül. A példában ez az átlagsebesség az id® Az
függvényében. Ennek limesze az út-id® függvény 3.
t0 -beli
a-beli derivált; ez a példában a pill. v(t0 ) = s′ (t0 ).
sebesség, azaz
deriváltja:
A derivált szemléletes jelentése. f (x)−f (a) az (a és x pontokhoz tartozó) szel® meredeksége, így a derivált értéke x−a ezek limesze. Ebb®l következ®en: Itt
Az
f
f ′ (a)
derivált értéke az
függvény
a-beli
a-beli
érint® meredeksége (rajz). Ennek jelentése az
"pillanatnyi" változásának mértéke.
4. A derivált jelentése közelítés szempontjából. (i)
x=a+h
helyettesítéssel kapható a fentivel ekvivalens def.:
f ′ (a) := lim
h→0
(ii)
f (a+h)−f (a) , ha ez a limesz h
Inhomogén lineáris függvénynek m, b ∈ R
f ′ (a) ≈
∃
és véges.
hívunk egy
l(x) := mx + b függvényt, h ≈ 0, akkor
ahol
állandók. A derivált fenti de níciója alapján: ha
f (a+h)−f (a) , azaz h
f (a+h) ≈ f (a)+f ′ (a)h =: l(h) inhom.
lin. függvény.
Geometriai jelentés (rajzzal): h ≈ 0 esetén a két függvény kb. azonos, s®t itt m = f ′ (a), így a-beli meredekségük azonos.
19
5. További fogalmak. (i) Egyoldali derivált: az
a ∈ Df′
(Ugyanígy
Áll.:
f+′ (a) := lim
pontban
f−′ (a) := ...,
x→a+
ahol
x → a−.)
∃f ′ (a) ⇔ ∃f+′ (a), ∃f−′ (a) f (x) := |x|
Példa:
f−′ (0)
= −1,
így
f
és
f (x)−f (a) , ha ez a limesz létezik és véges. x−a
a = 0.
és ezek egyenl®k.
Ekkor
|x|−|0| x→0+ x−0
f+′ (0) := lim
= lim 1 = 1,
ugyanígy
x→0+
0-ban.
nem dierenciálható
Rajz: a gra konnak "törése" van (míg dierenciálható esetben "sima"). (ii) Deriváltfüggvény. Ha az
f : H → R dierenciálható a H halmazon (azaz H minden pontjában), x 7→ f ′ (x) függvényt f deriváltfüggvényének hívjuk, jelölése f ′ : H → R.
(Pl. a fenti
s(t) = 5t2
s′ (t) = 5t ∀t ∈ R,
esetén
akkor
rajz.)
6. Kapcsolat a folytonossággal.
Áll.:
Ha
f
dierenciálható
a-ban,
akkor ott folytonos is.
f folytonos a-ban ̸⇒ f dierenciálható a-ban. a = 0-ban, de ott nem dierenciálható.
Visszafelé ez nem igaz, vagyis ha
f (x) := |x|
Például
folytonos
7. A derivált kiszámítása:
deriválási szabályok.
Deriváltfüggvényre írjuk fel, pontonként is érvényes.
Tétel.
Legyenek
f, g : H → R
dierenciálhatóak a
H
halmazon. Ekkor
(f ± g)′ = f ′ ± g ′ , (cf )′ = cf ′ ′
c∈R
(ha
′
állandó),
′
(f · g) = f g + f g , ( fg )′ =
f ′ g−f g ′ g2
(ha
g ̸= 0),
(f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g) · g ′
Biz.:
(
)
pontonként:
(f (g(x))′ = f ′ (g(x)) · g ′ (x)
a ∈ H, (f (x)−f (a))g(x)+f (a)(g(x)−g(a))
̸=
....... .
f′ g′
̸= f ′ ◦ g ′
Def. és számolás. Pl. szorzatra: ha
(f · g)′ (a) := lim (
= x→a lim
x→a
f (x)g(x)−f (a)g(a) x−a
f (x)−f (a) g(x) x−a
(f −1 )′ (y) =
= lim
x−a
x→a
)
=
+ f (a) g(x)−g(a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). x−a
Tétel (inverz deriváltja). akkor
̸= f ′ · g ′
Vigyázat!
1 . f ′ (x)
Legyen
f ′ ̸= 0
az
I
intervallumon. Ha
x∈I
és
y = f (x),
(Rajzon: a meredekség a másik irányból reciprok.)
20
10. Egyváltozós függvények deriválása/2. 1. Elemi függvények deriváltjai (a) Elemi függvények néhány limesze.
lim sinx x = 1. Ui. x → 0(. )x lim 1 + x1 = e
(i)
x→0
(ii)
x→+∞
(rajz)
(
1
t→+∞
x→0
x sin x
1<
→ 1,
1 cos x
<
ha
(mint sorozatokra).
lim+ (1 + x) x = lim 1 +
(iii)
sin x , így cos x
sin x < x <
)t
1 t
=e
(t
1 helyettesítéssel). x
= 1
lim (1 + x) x = e.
Ugyanez igaz balról is, így
x→0 ( ) 1 ln(1+x) x (iv) lim = lim ln (1 + x) = ln e = 1 az ln folytonossága miatt. x x→0 x→0 ex −1 t = lim ln(1+t) = 1 (t = ex − 1 helyettesítéssel). (v) lim x x→0 t→0 (b) Elemi függvények deriváltjai.
A def.-ból, bármely
(a) Ha
f ≡c
(b) Ha
f (x) := xn :
(Pl.
a ∈ Df
f ′ (a) = lim
c−c = 0. x→a x−a n −an f ′ (a) = lim xx−a = lim (xn−1 +xn−2 a+...+an−1 ) = nan−1 . x→a x→a ′ f (x) = 1 (rajz is), f (x) = x2 ⇒ f ′ (x) = 2x, mint a
konstans:
f (x) = x ⇒
pontban:
szabadesés.) Ez a képlet valós kitev®re is igaz. (c) Ha
f (x) := ex :
ln′ (a) = lim
(d)
x→a helyettesítéssel). (e)
ea+h −ea h h→0 ln x a = lim a( x −1) x→a a
f ′ (a) = lim ln x−ln a x−a
sin′ (a) = lim
sin x−sin a x−a x→a
= lim
2 sin
x→a
eh −1 = h→0 h 1 lim ln(1+t) a t→0 t
= ea lim
x−a 2
=
cos x−a
x+a 2
ea . =
1 a
(t
=
x a
−1
= cos a · lim sint t = cos a t→0
x−a helyettesítéssel). 2 ′ Hasonlóan cos (a) = − sin a. (t
=
Tehát: Jelölés:
f (x) := xα , ex , ln x, sin x, cos x ⇒ f ′ (x) := αxα−1 , ex , f ′ (x)
(
helyett néha
f (x)
)′
-t írunk, pl.
a > 0, a ̸= 1,
(Megj.:
e
akkor
(loga x)′ =
azért nevezetes, mert
(
ln x ln a x ′
)′
=
(e ) = ex .)
21
cos x, − sin x.
(ex )′ = ex .
- További példák, m¶veletekkel: ( )′ ′ 2 x+sin2 x x−cos′ x·sin x sin x tg′ x = cos = sin x·coscos = cos cos = cos12 x , 2x 2x x − sin12 x . ( x −x )′ x −x = e +e = chx. Has. ch′ x = shx, th′ x sh′ x = e −e 2 2 − sh12 x . )′ ( x ′ ln a·x = eln a·x · ln a = ax · ln a. Ha a > 0, akkor (a ) = e Ha
1 , x
1 . x·ln a
has.
=
1 , ch2 x
ctg′ x = cth′ x =
Inverz deriváltja:
y = f (x)
esetén
(f −1 )′ (y) =
x ∈ [− π2 , π2 ], és y = sin x ∈ [−1, 1]. ′ 1 sin y = = √ 1 2 = √ 1 2. cos x
Példa: legyen arc
Hasonlóan jön ki:
1−sin x ′ arc tg y
=
1 . f ′ (x) Ekkor
cos x ≥ 0,
így
1−y 1 . 1+y 2
Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/˜benedek/Analizis/pdf/Seged/derivaltTablazat.pdf Fejb®l tudni kell:
f (x) := xα , ax , loga |x|, sin x, cos x,
(tg
x,
ctg
x),
sh
x,
ch
x,
(th
x,
cth
x)
deriváltját. (Az arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el®ttük lev®kb®l. 2. Magasabbrend¶ derivált.
Def.
f : I → R dierenciálható egy I intervallumban és f ′ dierenciálható a ∈ intI -ben, akkor f kétszer dierenciálható a-ban és f ′′ (a) := (f ′ )′ (a). Ha
n-edik Pl.
f
derivált: hasonlóan, rekurzióval,
f (n) (a) := (f (n−1) )′ (a).
f (x) := x3 ⇒ f ′ (x) := 3x2 ⇒ f ′′ (x) := 6x ∀x ∈ R.
akárhányszor dierenciálható, ha
∀n-re n-szer
22
dierenciálható.
11. Hatványsorok, Taylor-sor 1. Hatványsorok.
x∈R
(a) Bevezet® példa. Mely Tudjuk: (x helyett Itt
n ∑
∀n-re sn (x) :=
konvergál az
q -val):
∞ ∑
esetén konvergens a
xk
sor?
k=0
ha
|x| < 1,
és ekkor összege
1 . 1−x
xk egy függvény a (−1, 1) intervallumban, amely x-enként
k=0
f (x) :=
összegfüggvényhez.
1 függvényhez, az ún. 1−x
(b) Def. és alaptulajdonságok.
Def.
(cn )
Adott
sort. Általában,
a
közep¶ hatványsor:
∞ ∑ n=0
Tétel.
Tegyük fel, hogy létezik és véges
Legyen ha
R :=
|x| < R,
1 (ha α
√
α := lim A
∞ ∑ n=0
R
α > 0.
esetén) divergens, ha
Gyökkritérium
∞ ∑ n=0
c n xn
cn (x − a)n .
α = 0, akkor R := +∞).
és (véges
Biz.:√ Legyen
hatványsornak hívjuk a
számsorozat esetén 0 közep¶
n
|cn |
vagy
| α := lim |c|cn+1 . n|
cn xn hatványsor konvergens,
|x| > R.
an := cn xn
√
mellett:
q := lim
lim |cn | · |x| = α|x| = |x| . A sor konvergens, ha q < 1, azaz ha |x| R divergens, ha q > 1, azaz ha |x| > R. A többi eset hasonlóan jön ki. n
n
|an | =
< R,
és
(c) Hatványsorok deriválása. Egy hatványsor
sn (x)
zolható:
Tétel. esetén
Legyen
|x| < R
szeletei polinomok, tagonként deriválhatók. Ebb®l iga-
∞ ∑
cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + ... valamely n=0 mellett. Ekkor az f összegfüggvény dierenciálható, és f (x) =
f ′ (x) = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ...
(∀|x|
R>0
< R).
Köv.: (i) Ez is hatványsor, így a tételt újból alkalmazva , f ′′ (x) = 2 · 1 c2 + 3 · 2 c3 x + ...
∀|x| < R
∀n-re f (x) = n(n − 1) · ...2 · 1 cn + (n + 1)n · ...3 · 2 cn−1 x + ... (ii) Fontos észrevétel: x = 0 helyen mindegyik sorban csak az els® (n) Így f (0) = n! cn . és ugyanígy, (n)
Taylor-féle együtthatóképlet:
cn =
f (n) (0) n!
(∀n
tag nem 0!
∈ N).
2. Taylor-sorok. Eddig adott hatványsor esetén vizsgáltuk az összegfüggvényt. Megfordítva: adott
f
függvény el®áll-e alkalmas hatványsor összegeként?
(Pl. ha a sin függvény el®áll, akkor
sin x értéke bármely x-re közelít®leg kiszámítható
mint a hatványsor valamely szelete.) A Taylor-féle együtthatóképletb®l következik a keresett
Tétel.
Ha
f (x) =
∞ ∑ n=0
cn xn
szor dierenciálható, és
(∀|x|
cn =
f (n) (0) n!
valamely
(∀n ∈ N). 23
R>0
cn
együtthatók értéke:
mellett), akkor
f
akárhány-
Def.
f
Az
∞ ∑
függvény 0 közep¶ Taylor-sora a
f (n) (0) n x hatványsor. n!
n=0
f (x) := ex .
Példa:
Ekkor
∀n ∈ N
Hasonló számolással kapható
Tétel.
∀x ∈ R esetén ex = a
Megj.:
esetén
f (n) (x) = ex ,
| 1 n x . Hányadoskritériummal |a|an+1 n! n| n=0 esetén a sor konvergens.
Taylor-sora
∀x ∈ R
∞ ∑
közep¶ Taylor-sor:
sin x
∞ ∑
és
xn , n!
n=0 ∞ ∑
cos x
∞ ∑
n! |x| (n+1)!
2n
n=0 n!
n=0
f (n) (0) = 1. =
|x| n+1
Ezért
ex
→ 0 < 1,
így
∞ ∑
2n+1
Taylor-sora.
cos x =
f (n) (a)
=
így
x (−1)n (2n)! ,
sin x =
n=0
x (−1)n (2n+1)! .
(x − a)n .
3. Közelítés Taylor-polinommal.
∞ ∑
f (n) (a) (x n!
− a)n az (a n=0 számítani csak a szeleteit tudjuk, ezekre
Legyen
Def.
f (x) =
Az
Tn (x) :=
f a-beli n-edfokú n ∑
k=0 Ezek
n
f (k) (a) k!
− R, a + R)
intervallumon.
E sornak ki-
(x − a)2 + ... + f
(n) (a)
Taylor-polinomja
(x − a)k = f (a) + f ′ (a)(x − a) + f
növelésével egyre pontosabban közelítik
Szemléltetés (rajzzal). Legyen
f (a + h) ≈
x = a + h,
′′ (a)
2
f -et
az
a
n!
(x − a)n .
pont körül.
ekkor
T0 (a + h) = f (a) T1 (a + h) = f (a) + f ′ (a)h T2 (a + h) = f (a) + f ′ (a)h +
f ′′ (a) 2 h 2
... stb. .... egyre jobb közelítés.
T0 -nál:
f (a + h) ≈ f (a)
is érvényes közelítés (bár elég durva), ez épp a
folytonosság.
T1 -nél: f (a+h) ≈ f (a)+f ′ (a)h T2 -nél: parabolával közelítjük.
lineáris közelítés, amit a deriváltnál láttunk.
24
