Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6
Tantárgyfelelős: Dr. Lajkó Károly Meghirdető tanszék: Analízis
Debrecen, 2005.
A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) Tantárgyfelelős: Dr. Lajkó Károly A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám: 4 A számonkérés módja: kollokvium
Tematika: Alapfogalom, axióma, definíció, tétel. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Indirekt bizonyítás. Állítások tagadása. Tétel megfordítása. A matematikai szóhasználat egyszerű jelei (kvantorok, szumma és produktum jelek). Halmaz, részhalmaz, hatványhalmaz. Egyszerű halmazműveletek és tulajdonságaik, Venndiagramok. A racionális kitevőjű hatvány fogalma, a hatványozás azonosságai (bizonyításaikkal együtt). A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai, áttérés egyik alapú logaritmusról a másikra. Közepek (számtani, mértani, harmonikus és hatványközepek) fogalma és a köztük fennálló egyenlőtlenségek. Bernoulli-egyenlőtlenség. Leképezések (injektív, szürjektív, bijektív) és tulajdonságaik. Függvények és a megadásukkal kapcsolatos fogalmak. Összetett függvény, inverz függvény. Valós függvény grafikonja. Legegyszerűbb függvények (egész rész, tört rész, abszolút érték függvény). Egyváltozós függvények jellemzésére használt fogalmak (paritás, periodicitás, monotonitás, korlátosság, konvexség, konkávság). Elemi függvények (pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények, trigonometrikus függvények és inverzeik). Abszolútértékes egyenletek. Gyökös egyenletek. Trigonometrikus egyenletek. Exponenciális és logaritmusos egyenletek. Egyenlőtlenségek megoldáshalmazai (törtes-, gyökös-, exponenciális-, logaritmusos- és trigonometrikus egyenlőtlenségek). Ajánlott irodalom: Hajnal Imre, Nemetz Tibor, Pintér Lajos: Matematika III. (fakultatív "B" változat), Tankönyvkiadó, Budapest, 1981. Hajnal Imre, Nemetz Tibor, Pintér Lajos, Urbán János: Matematika IV. (fakultatív "B" változat), Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. Czapáry Endre, Gyapjas Ferenc: Matematika a középiskolák 11. évfolyama számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2004. Czapáry Endre, Gyapjas Ferenc: Matematika a középiskolák 11–12. évfolyama számára az emelt szintű tananyaghoz, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2004.
Részletes tematika: 1.hét: A matematikai szóhasználat egyszerű jelei (logikai jelek, szumma és produktum jelek) és használatuk. Alapfogalom, axióma, definíció, tétel, szükséges feltétel, elegendő feltétel, állítások tagadása, tétel megfordítása, indirekt bizonyítás. 2.hét: Halmazelméleti alapfogalmak, halmazműveletek, nevezetes halmazelméleti azonosságok, halmazok Descartes szorzata. Reláció, ekvivalencia-reláció, rendezési reláció fogalma.
3.hét: Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet fogalma, függvény megadása, injetktív, szürjektív, bijektív leképezés, összetett függvény, invertálható függvény definíciója. 4.hét: Hatványozás: az egész és racionális kitevőjű hatvány valamint a gyökvonás fogalma, a hatványozás azonosságai. 5.hét: A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai, áttérés egyik alapú logaritmusról a másikra. 6.hét: Közepek (számtani, mértani, harmonikus és hatványközepek) fogalma és a köztük fennálló egyenlőtlenségek. A Bernoulli-egyenlőtlenség. 7.hét: Valós függvények grafikonja. Egyváltozós függvények jellemzésére használt fogalmak: zérushely, szélsőérték, paritás, periodicitás, monotonitás, korlátosság, konvexség, konkávság. 8.hét: Néhány egyszerűbb függvény (szignum, egész rész, tört rész, abszolútérték függvény) definíciója, grafikonja és egyéb jellezői. 9.hét: Lineáris, illetve másodfokú függvények tulajdonságai. Függvénytranszformációk. 10.hét: Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények és tulajdonságaik. 11.hét: A trigonometrikus függvények (sin, cos, tg, ctg) és inverzeik fogalma, grafikonja, jellemzői. 12.hét: Egyenletek és megoldáshalmazuk; abszolútértékes, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek megoldása.
gyökös,
exponenciális,
13.hét: Egyenlőtlenségek vizsgálata; törtes, gyökös, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldáshalmaza. 14.hét: A félév során tanultak áttekintése, összefoglalása.
A tárgy neve: Halmazok és függvények (gyakorlat) Tantárgyfelelős: Dr. Lajkó Károly A tárgy oktatója: a matematikai intézet munkatársa Óraszám/hét: 2 Kreditszám: 2 A számonkérés módja: gyakorlati jegy Tematika: Lásd a tárgy előadásánál Ajánlott irodalom: Lásd a tárgy előadásánál
Részletes tematika: 1.hét: Egyszerű logikai feladatok megoldása. A logikai jelek, s egyéb matematikai szimbólumok használatának gyakorlása. 2.hét: Halmazelméleti tulajdonságok vizsgálata, néhány elemi halmazalgebrai azonosság igazolása. Halmazok Descartes-szorzatának meghatározása. 3.hét: Ekvivalencia- illetve rendezési relációk megadása adott halmazokon, relációkra vonatkozó feladatok megoldása. 4.hét: Függvények megadása, jellemzése, injektivitásának, szürjektivitásának, bijektivitásának vizsgálata, összetett függvény képzése, inverz függvény meghatározása. 5.hét: A hatványozással és a gyökvonással kapcsolatos feladatok megoldása. 6.hét: Feladatok megoldása a számtani, a mértani, a harmonikus és a hatványközepek között fennálló egyenlőtlenségek segítségével. 7.hét: Zárthelyi dolgozat az első hat hét feladatanyagából. 8.hét: Valós függvények ábrázolása, néhány egyszerű függvény vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushelyek, szélsőértékhelyek, szélsőértékek, paritás, periodicitás, monotonitás, korlátosság, konvexség, konkávság). 9.hét: Másodfokú függvények ábrázolása, vizsgálata és transzformálása. 10.hét: Hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények, racionális törtfüggvények ábrázolása és vizsgálata. 11.hét: Trigonometrikus függvények, inverzeik és különböző transzformáltjaik ábrázolása és vizsgálata.
12.hét: Abszolútértékes, gyökös, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek megoldása. 13.hét: Törtes, gyökös, exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása. 14.hét: Zárthelyi dolgozat a 8-13. hét feladatanyagából.
