HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL

Halmazok definíciója, megadása 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= {a csoport tanulói} b) B:= { Magyarország városai ma} c) C:= { Pilinszky János versei} d) D:= {a temészetes számok }

e) E:= {a természetes számok halmaza} f)

g) h) i) j)

{ } G:= {az x 2 + 1 = 0 egyenlet valós gyökei} H:= {a prímszámok } I := {a legnagyobb prímszám} J := {néhány prímszám} F:= az x 2 − 5x + 6 = 0 egyenlet valós gyökei

2. Adja meg a következő halmazok elemeit! a) A:= {a 100 − nál kisebb négyzetszámok } b) B:= {a 10 − nél kisebb négyzetszámok }

⎧ x −1 ⎫ = 2 egyenlet pozitív gyökei ⎬ c) C:= ⎨az x ⎩ ⎭ ⎧ x −1 ⎫ d) D:= ⎨az = 2 egyenlet pzitív gyökeinek a száma ⎬ x ⎩ ⎭

{ } F:= {a háromjegyű páratlan számok halmaza} G:= {729 pozitív osztói}

e) E:= az x 2 − 2 x ≤ 0 egyenlőtlenség egész gyökei f) g)

3. Válasszuk ki a következő halmazok közül az egyenlőket! a) A:= {a legkisebb prímszám} b) B:= {egy prímszám pozitív osztóinak száma

{ } D:= {az x 3 − 2 x 2 = 0 egyenlet valós gyökeinek a száma} E: = {a (0,2) számpár} F:= {a − 1 és 3 közé eső páros számok } G:= {az x 100 = 1 egyenlet valós gyökei} H:= {az x = 0 és y = 2 egyenletű egyenesek metszéspontjainak koordinátái}

c) C:= az x 3 − 2 x 2 = 0 egyenlet valós gyökei d) e) f) g) h)

}

1

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL

Venn-diagram 4. Igazolja az X alaphalmaz A, B , C részhalmazaira az alábbi egyenlőségeket Venndiagram segítségével. a) A \ ( A \ B ) = B \ ( B \ A) b) ( A \ C ) \ ( B \ C ) = ( A \ B) \ C c) ( A \ C ) ∪ ( B \ C ) = ( A ∪ B ) \ C d) ( A \ C ) ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ C e) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) f) A ∪ B = A ∩ B g) A ∩ B = A ∪ B h) A ∪ B = A ∪ ( B ∩ A) i) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) 5. Legyen A = {− 2,−1,0,1,2,3,4} és B = {8 − nál nem nagyobb pozitív páros számok } . Szemléltesse a halmazokat Venn-diagramon! Határozza meg az A ∩ B, B \ A halmazokat!

6. Legyen

A: = {− 2,−1,0,1,2,3,4}

B:= {a 8 − nál nem nagyobb pozitív páros számok } . Szemléltesse Venn-diagramon! Határozza meg az A ∩ B, B \ A halmazok elemit!

2

és a

halmazokat

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL

Műveletek halmazokkal 7. Alaphalmazunk legyen a H-B. megyei mezőgazdasági vállalkozók halmaza. Az A halmaz tartalmazza azokat a fenti halmazból, akiknek van traktoruk, a B halmaz tartalmazza azokat a fenti halmazból, akiknek van kombájnuk Írja fel halmazelméleti műveletekkel azon vállalkozók halmazát, akik a) mindkettővel rendelkeznek, b) legalább az egyikkel, c) nincs traktoruk, d) egyikkel sem rendelkeznek, e) csak traktorral nem rendelkeznek, f) legalább egyikkel nem rendelkeznek, g) pontosan egyikkel rendelkeznek. 8. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív osztói, a C halmaz elemei 12 pozitív osztói. Határozzuk meg az A ∪ B , B ∪ C , C ∪ A halmazokat. Lesz-e a kapott halmazok között két egyenlő halmaz? 9. Adjon meg az A = {10,20,30} halmazhoz olyan B, C és D halmazt, hogy az alábbi összefüggések A\ D = ∅.

igazak

A ∪ B = {10,20,30,40,50} ,

legyenek!

A ∩ C = { 20} ,

10. Legyen A = {tíznél kisebb pozitív egész számok } , B = {1,2,3,4,5,6,16,17,18,19,20} és

C = {1,3,5,10,1112 , ,13,14,15,20} . Határozza meg az alábbi halmazok elemeit: A ∩ B, B \ ( A ∪ C ) , ( A ∩ C ) \ B, A \ C !

11. Az

M = {1,2,3,4,5,6} halmaz

A, B és C részhalmazairól az alábbiakat tudjuk:

A ∩ B = { 2} , ( A ∪ B ) ∩ C = {5,6}, A \ C = {2,3,4}, C \ B = {1,5} . Határozza meg az A, B és C halmazokat!

12. Legyen az A a budapesti házaspárok, B a budapesti nős férfiak, C a budapesti férjezett nők halmaza. Állapítsa meg, hogy igazak-e a következő állítások? a) B ⊂ A b) B ∪ C = A 13. Határozza

meg

A = {nullára végződő egész számok } és

az

B = {5 − tel osz th ató egész számok } halmazok különbségét!

14. Legyen az alaphalmaz H = {x ∈ Z 0 < x < 25} . Legyen továbbá adottak a következő

{

}

{

halmazok: A = x ∈ H x páros ,

{

}

}

B = x ∈ H x egyjegyű szám ,

C = x ∈ H 8,9,10,1112 , . Határozza meg az ( A ∩ B ) \ C , ( A ∪ B ) ∩ ( A \ C ), (C ∪ B )

halmazok elemeit és számosságát!

3

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL

{

}

15. Legyen az alaphalmaz H = x ∈ Z x < 10 . Legyenek továbbá adottak a következő halmazok:

{

{

}

A = x ∈ H negatív számok ,

}

{

C = x ∈ H 4 − gyel osz th ató számok .

a) b) c) d)

Határozza meg a B \ C , A ∩ C , A ∪ B ∪ C halmazokat! Határozza meg az a)-ban megadott halmazok számosságát! Írjon fel a H -nak olyan részhalmazait, melyek egyenlő számosságúak! Határozza meg a B ∩ C és B ∪ C halmazokat!

16. A megadott halmazokkal végezze el a kijelölt műveleteket! a) X = {az egyetem I . évf . általános agrárménök hal lg atói}

A = {az évfolyam 18 fős 1. csoportja}

B = {az évfolyam 18 fős 2. csoportja}

C = {az 1. csoport 15 fő fiú hal lg atója} A ∪ B, B ∩ C, A \ C , B, C b) X = N A = { prímszámok }

B = { pozitív párosak }

C = {a 2 pozitív egész kitevőjű hatványai} A, B ∪ C , C \ A, C ∩ A, A ∩ B c) X = Z A = a a osz th ató 5 − tel

{ } B = {b b páros} C = {c c negatív páratlan} D = {− 5,−10,−15}

C ∩ A, A ∩ B, B ∪ D d) X = Z A = a a osz th ató 3 − mal

{ } B = {b b osz th ató 5 − tel} C = {c c prím} D = {15,30,45,90}

C ∩ A, A \ B , B ∩ D, ( A ∩ C ) ∪ D

4

}

B = x ∈ H páros számok ,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL 17. Állapítsa meg, hogy az XY sík mely pontjaival szemléltethetők a következő halmazok?

A= B=

{( x, y) ∈ R

{( x, y) ∈ R

}

2

x4 − y4 = 0

2

x > 0, y > 0, x + y < 4

}

18. Az A = { x ∈ Z x ≤ 3} és B = {a 8 − nál nem nagyobb nem negatív páros számok } halmazokkal végezze el az alábbi műveleteket: A ∩ B, A ∪ B, A \ B . 19. Legyen az alaphalmaz a H = {x ∈ Z − 5 ≤ x < 13} és az ezen értelmezett A, B és C halmazok az alábbiak: A = {− 3,−2,0,3,5,9}

{

}

B = x ∈ H x osz th ató 3 − mal

C = { x ∈ H x < 3}

a) Készítsen Venn-diagramot a halmazokról! b) Határozza meg az ( A ∪ C ) \ B és B ∪ C halmazok elemeit és számosságát! c) Műveleti jelek felhasználásával írja fel a H halmaznak olyan részhalmazait, melynek számossága 4.

{

}

{

}

20. Legyen adott az A = x ∈ R x 2 + 2 x − 4 ≤ 0 és B = x ∈ R x 2 + 4 x − 1 ≤ 0 halmaz. Határozza meg az A ∪ B és A ∩ B halmazokat! 21. Legyenek az A, B , C halmaz elemi az alábbi gyümölcsnevek betűinek a karakterei.

A = { ALMA} , B = { BANÁN } , C = { CITROM } . a) Határozza meg az A, B , C halmazok számosságát! b) Határozza meg az ( A ∪ B) \ C halmaz elemeit! c) Az elemek felsorolásával írja fel a B \ A halmaz összes részhalmazát!

22. Határozza meg az A∩ B B = {x ∈ N 4 x − 11 ≤ 2 x + 11} !

halmazt,

ha

A = {x ∈ N 2 x ≤ 4 x − 6}

és

, ) , (0,1) koordinátapontokkal adott négyszöglap 23. Az A halmaz legyen a (0,0) , (1,0) , (11

, ) , (0,2) koordinátájú csúcsok pontjainak a halmaza, a B ponthalmaz legyen (0,0) , (11 által meghatározott háromszöglap pontjainak a halmaza, a C halmaz pedig legyen a (0,−1) , (1,0) , (0,1) csúcspontokkal adott háromszöglap pontjainak a halmaza. Milyen alakzatot határoznak meg az A ∪ B , B ∪ C , C ∪ A és ( A ∪ B ) ∪ C halmazok?

24. Legyen A a 2-vel osztható kétjegyű számok halmaza, B a 3-mal osztható 100-nál kisebb pozitív számok halmaza, C pedig a 30-cal osztható egész számok halmaza. Határozza meg az A és B , B és C , C és A halmaz közös részét!

5

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL 25. Jelölje ( x , y ) -nal a koordinátasík tetszőleges pontjának koordinátáit. Legyen A , B és C rendre az olyan

( x, y)

koordinátákkal rendelkező pontok halmaza, amelyekre 1 x + y ≤ 1, x − y ≤ 1 ill. y ≤ . A sík milyen tartományait határozzák meg az 2 A ∩ B és ( A ∩ B ) ∩ C halmazok?

1⎫ ⎧ 26. Legyen D = ⎨( x , y ) ∈ S x ∈ R, y ∈ R és x ≤ ⎬. Az előbbi feladat feltételeit használva 2⎭ ⎩ határozza meg az ( A ∩ B ) ∩ ( C ∩ D) halmazt. 27. Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azoknak a P( x , y ) pontoknak a halmazát, amelyekre: a) x + y = 1 b)

x + y >1

c)

x + y + x+ y =2

d) x 2 + y 2 < 4 2 e) ( x − 2) + ( y + 3) ≤ 16 2

28. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} , A \ B = {2,4,6} , A ∩ B = {1,3} . Határozza meg az A és B halmazt!

29. Egy irodaházban három légkondicionáló működik. Jelölje az A halmaz azokat a napokat, amikor az első működik, jelölje B azokat a napokat, amikor a 2. működik és C-vel jelöljük azokat a napokat, amikor a 3. működik. Fogalmazzuk meg, hogy milyen napokat jelölnek a következő halmazok: a) A ∩ B ∩ C , b) A ∪ B ∪ C , c) A ∩ B ∩ C , d) A ∪ B ∪ C , e) A ∩ B ∩ C , f) C . 30. Hány elemű az alábbi két halmaz uniója ill. metszete? A = {7 − tel osz th ató kétjegyű számok } B = {3 − mal osz th ató kétjegyű számok }

6

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL 31. Egy mezőgazdasági üzemben bizonyos földterületre háromféle műtrágyát szórtak. Az első típusú műtrágyával 230, a második típusúval 170, a harmadik típusúval 190 hektárt szórtak meg. 100 hektárra első és második típusú, 70 hektárra második és harmadik típusú, 180 hektárra első és harmadik típusú műtrágya is került, 70 hektár területet mindhárom műtrágyával kezeltek. Hány hektár föld kapott műtrágyakezelést? 32. Egy osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és spanyolt. Mindenki tanul valamilyen nyelvet, de mindhárom nyelvet csak 1 tanuló tanulja. 12 olyan tanuló van, aki két nyelvet tanul. Angolul 15-en, németül 13-an, spanyolul 9-en tanulnak. Mennyi az osztály létszáma? 33. Egy repülőgépen 9 fiú, 4 lány, 5 magyar gyerek, 9 felnőtt férfi, 7 külföldi fiú, 14 magyar, 6 magyar férfi és 7 külföldi nő utazott. Hányan voltak a repülőgépen? 34. Egy munkahelyen 30-an dolgoznak. A dolgozók közül kilencnek van életbiztosítása, 16 dolgozónak pedig gépjármű-biztosítása, 8 dolgozónak nincs semmilyen biztosítása sem. Hány dolgozónak van mind a kétféle biztosítása? Hány dolgozónak van életbiztosítása? 35. Egy osztály létszáma 32 fő. Az osztályban angolul és oroszul tanulnak és mindenki tanul valamilyen nyelvet. Mindkét nyelvet kilencen tanulják. Bizonyítsa be, hogy angolul és oroszul nem tanulhatnak ugyanannyian! 36. Egy osztály létszáma 30. Az osztályban 3 nyelvet tanítanak: angolt, németet és franciát. Azt tudjuk, hogy minden gyerek legalább egy nyelvet tanul. Angolul 14-en, németül 15-en, franciául pedig 5-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 6 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? 37. Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az első feladatot a tanulók 70%-a, a másodikat 60%-a oldotta meg. Minden tanuló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 38. Egy osztály 28 tanulója közül 8-an felvételizek matematikából, 6-an fizikából, és 4 tanuló mindkét tárgyból. Hányan nem felvételiztek egyik tárgyból sem? 39. Egy egyetem 500 hallgatója közül 300 tud oroszul, 200 angolul, 50 franciául, 20 olvas oroszul és franciául, 30 tud angolul és franciául, 20 beszél oroszul és angolul, 10 pedig mindhárom nyelven. Hányan tudnak legalább az egyik nyelven? Hányan vannak azok, akik egyik nyelvet sem beszélik?

7

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL

Részhalmaz 40. Írja fel az {1,2,3} halmazok összes részhalmazát! 41. Tekintsük a következő halmazokat:

{ } B = {x ∈ R x 2 − vel osz th ató egész szám} C = {x ∈ R x = 6k + 1, k ∈ N ∪ { 0}} A = x ∈ R x 2 − 5x + 6 = 0, x ≤ 0

x +1 ⎧ ⎫ D = ⎨x ∈ R > 0⎬ x−4 ⎩ ⎭ Állapítsa meg, hogy A, B , C és D halmazok közül melyik részhalmaza N -nek és melyik nem! 42. Igazolja, hogy egy 53 elemű halmaznak ugyanannyi 16 elemű részhalmaza van, mint ahány 37 elemű. 43. Hány elemű az a halmaz, amelynek legalább 1000-rel több részhalmaza van, mint eleme? 44. Hányszor annyi 3 elemű részhalmaza van egy 10 elemű halmaznak, mint ahány 2 elemű?

Bizonyítások 45. Bizonyítsa be, hogy A ⊂ B esetén A ∪ B = B ! 46. Bizonyítsa be a két halmaz egyenlőségét! A\ B = A∩ B a) ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) b) ( A \ B ) \ C = ( A \ C ) \ ( B \ C ) c) A \ B = A \ ( A ∩ B) d) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C ) e) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A \ C )

Nevezetes számhalmazok

{

}

47. Legyen A = n ∈ N n páros , B = {n ∈ N n < 4} , C = {n ∈ N n > 2} . Állapítsa meg, hogy mik lesznek az X = [ A \ ( B ∩ C ) ] ∪ [( A \ B ) \ C ] halmaz elemei? 48. Tekintsük a nevezetes számhalmazokat a szokásos jelölésükkel. Adjuk meg a következő halmazokat: N ∩ Z , Q ∪ Q ∗ , R \ Q , Q \ Q ∗ , Q \ Q ∗ .

8

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, MŰVELETEK HALMAZOKKAL 49. Legyen az alaphalmaz a természetes számok halmaza. Adottak a következő halmazok: A := { páros számok} , B := { páratlan számok} . Adja meg a következő halmazok elemeit: a) ( A ∪ B) ∩ (A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ,

[

]

b) ( A \ B) ∪ ( A ∩ B) \ (A ∪ B) ,

(

)

c) ( A \ (B ∪ A)) ∩ A ∪ B .

Teljes indukció 50. Igazolja teljes indukcióval az alábbi állításokat! n( n + 1)( 2n + 1) 6 2 2 n ( n + 1) 3 3 3 3 b) 1 + 2 + 3 +...+ n = 4

a) 12 + 2 2 + 32 +...+ n 2 =

c) 12 − 2 2 + 32 −...+( − 1)

n −1

⋅ n 2 = ( − 1)

d) 1 + 3 + 5 +...+( 2n − 1) = 2

2

2

2

n −1

n(4n 2 − 1)

⋅

n( n + 1) 2

3 1 e) 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 +...+ n( n + 1) = n( n + 1)( n + 2) 3 1 f) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5+...+ n( n + 1)( n + 2) = n( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4

51. Bizonyítsa be a teljes indukció módszerével, hogy a) 6 n ⋅ ( 2n + 1)( 7n + 1) , n pozitív egész b) 6 (n 2 + 5)n, n pozitív egész c) 52 4n +1 + 3, n pozitív egész d) 85n + 2 ⋅ 3n −1 + 1, n pozitív egész e) 6 n 3 − n, n pozitív egész

9