GYAKORLAT 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok
(lásd EA-ban is; iskolából ismert) I. Halmazok
.
1. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm¶en eldönthet®, mik az elemei. halmaz, az "okos emberek" nem. Jelek: ∈, ⊂, {...}, ∅, :=, ∪, ∩, \
Pl: "A bp-i egyetemek"
2. Nevezetes halmazok: R, Q, Z; N = {0, 1, 2, ...}, N+ = {1, 2, ...} 3. Halmaz megadása: (i) Elemekkel, pl. A := {3, 5, (ii) Más halmazokból.
√
2}.
M¶veletekkel: A ∪ B , A ∩ B , A \ B . Venn-diagram. Példa: A := {3, 2, −2}, B := {3, 4}. Adjuk meg az A∪B , A∩B , A\B halmazokat! Tulajdonsággal: pl. R+ := {x ∈ R : x > 0} Példa: adjuk meg elemeivel az A := {x ∈ R : x páros egész szám és 2 < x < 7} halmazt! II. Elemi logika.
0. Jelek: ∀, ∃, ∃!, ⇒, ⇔, ¬ 1. Matematikai állítás: amir®l eldönthet®, igaz-e. Pl.: A. "Mo. f®városa Róma." B. "Budapest szép város."
Ez mat. állítás, és hamis. Ez nem mat. állítás.
Az els® ellenkez®je (azaz tagadása): ¬A = "Mo. f®városa nem Róma", ez igaz állítás. 2. Fontos szabályok. (i)
(A ⇒ B ) = (¬B ⇒ ¬A).
Vigyázat! (A ⇒ B ) 6= (¬A ⇒ ¬B ).
Példák: (Ha havazik, akkor hideg van) = (Ha nincs hideg, akkor nem havazik). De: 6= (Ha nem havazik, akkor nincs hideg.) (Ha n 4-gyel osztható, akkor páros) = (Ha n páratlan, akkor nem osztható 4-gyel). De: 6= (Ha n nem osztható 4-gyel , akkor páratlan.) (ii) Tagadás. (a) de Morgan: ¬ (A vagy B) = (¬ A és ¬ B), ¬ (A és B) = (¬ A vagy ¬ B) Pl.: ¬ (írok vagy olvasok) = (nem írok és nem olvasok) ¬ (írok és olvasok) = (nem írok vagy nem olvasok) (b) Kvantorok: legyen T egy tulajdonság (pl. T (x)= "x pozitív"). Ekkor:
¬(∀x T (x)) = (∃x ¬T (x)) (szabály ellentéte: kivétel); ¬(∃x T (x)) = (∀x ¬T (x)) Pl. ¬ (minden rovar bogár) = (van olyan rovar, amely nem bogár) ¬ (van olyan üvegem, ami színes) = (minden üvegem színtelen) 1
(c) Következtetés tagadása: el®bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: ¬ (Ha valaki magyar, akkor pesti) = ¬ (Minden magyar pesti) = (Van olyan magyar, aki nem pesti) √ Pl.: ¬ (Ha n pozitív egész, akkor n is pozitív egész) = ¬ (Minden n pozitív egész √ √ esetén n is pozitív egész) = (Van olyan n pozitív egész, hogy n nem pozitív egész) 3. Más összetett állítások. Példa. Igaz állítás-e: "A napot mozogni látjuk, mert a Föld forog." Igaz, mert az állítás szerkezete "A és B és (A⇐ B)", és mindhárom részállítás igaz. 4. Szükséges, elégséges feltétel fogalma
B ⇒ A esetén: B A-nak elégséges, A B -nek szükséges feltétele. Példa: az, hogy (A) valaki élt 1999-ben, annak, hogy (B) látta a napfogyatkozást, szükséges, de nem elégséges feltétele. Itt B ⇒ A, de A 6⇒ B .
2
Házi feladatok.
1. Tagadjuk! "Vagy észak felé kell indulnunk, vagy vissza kell fordulnunk." "Esik az es® és fúj a szél." "Minden puha szilva kukacos." "Van színtelen virág." "Minden krétai hazudik." "Ha egy szilva puha, akkor kukacos." "Ha egy csónak felborul, akkor az evez®i eltörnek." "Ha x valós szám, akkor x2 pozitív." "Ha egy természetes szám páros, akkor 0-ra végz®dik." 2.Döntsük el az alábbi állításokról, hogy (i) igaz-e az els® fele, a második fele, ill. ha mindkett® igaz, akkor igaz-e a következtetés. (Relációanalízis) (ii) igaz-e az egész összetett állítás. a. "Magyarország éghajlata szárazföldi, mert közel van az Atlanti-óceánhoz." b. "Hazánk népessége fogy, mert a születések száma alacsony és a halálozásoké magas." c. "Ausztria jelent®s idegenforgalommal rendelkezik, mert az EU tagállama." 3. Döntsük el, szükséges, elégséges, ill. szükséges és elégséges feltétele-e (i) annak, hogy valakinek jogosítványa van, az, hogy elmúlt 14 éves? (ii) annak, hogy x pozitív szám, az, hogy x − 2 pozitív szám? (iii) annak, hogy x2 ≤ 4, az, hogy x legalább −2 és legfeljebb 2? (iv) annak, hogy egy természetes szám 0-ra végz®dik, az, hogy páros? 4. Egy társaságról tudjuk, hogy aki vidéki, az vonattal jött. Az alábbiakból melyikben lehetünk biztosak? (i) Aki nem vidéki, az nem vonattal jött. (ii) Aki vonattal jött, az vidéki. (iii) Aki nem vonattal jött, az nem vidéki. 5. (i) Legyen A := {n ∈ N+ : n ≤ 3}, B := {n ∈ N+ : 2 ≤ n ≤ 4}. Adjuk meg elemeikkel az A, B , A ∪ B , A ∩ B , A \ B halmazokat! (ii) Egy könyvtárban 67 ember dolgozik. Angolul tud 47, németül 35, mindkét nyelven 23 munkatárs. Hány f® nem tud sem angolul, sem németül? (Útmutatás: rajzoljuk fel a Venn-diagramot, és írjuk bele a megfelel® számokat.) (iii) Egy sportklubnak atlétika- és fociszakosztálya van. A klub 30 tagjából 13 tagja az atlétika- és 20 a fociszakosztálynak. Hányan tagok mindkett®ben? (Útmutatás: hasonlóan, mint el®bb.)
3
2. Elemi számolások, százalékszámítás. Algebrai alapismeretek.
1. Feladatok abszolút értékkel, esetszétválasztás. Abszolút érték fogalma: |a| := a, ha a ≥ 0 és −a, ha a ≤ 0. Pl.: |2| = | − 2| = 2. Példák: (i) Mely x ∈ R számokra áll fenn az |x − 3| = 8 egyenl®ség? Ha x − 3 ≥ 0, azaz x ≥ 3, akkor x − 3 = 8 megoldása 11; ha x − 3 ≤ 0, azaz x ≤ 3, akkor 3 − x = 8 megoldása -5. Azaz, a 11 és -5 számokra. (ii) Legyen a ∈ R, R > 0. Igazoljuk, hogy az {x ∈ R : |x − a| ≤ R} halmaz azonos az [a − R, a + R] (ún. a körüli R sugarú) zárt intervallummal! (Az x ≥ a és x ≤ a esetek szétválasztásával oldjuk meg.) 2. Százalékszámítás. (A B -nek s százaléka, ha A = B ·
s .) 100
Példák. 1. Egy ember 17.000 eurót zetett foglalóként egy ház vásárlásánál. Mennyibe került a ház, ha ez az egész összeg 20 %-át tette ki?
F =H·
20 , 100
azaz 17.000 = H · 0.2 = H/5, így H = 5 · 17.000 = 85.000 euróba.
2. Ha egy áru ÁFÁ-ja 25%, hány százaléka a nettó ár a bruttónak? 100 125
= 0.8 része, azaz 80%-a.
3. Számok normálalakja. Ha x ∈ R+ , akkor egyértelm¶en felírható x = r·10k alakban, ahol 1 ≤ r < 10 és k ∈ Z. Pl. Egy elem atomsúlya S , ha 1 mól (azaz 6·1023 = 600...0 db, ez az Avogadro-szám) atom tömege S gramm. Ha a szén atomsúlya 12, mennyi egy szénatom tömege?
12 = S = 6 · 1023 · x gramm, így x = 4. Fontos szimbólum: n P 1
Példák:
k=1
Írjuk fel
k
n P k=m
12 6·1023
= 2 · 10−23 gramm.
ak := am + am+1 + ... + an .
:= 1 + 12 + ... + n1 ,
-val: 2 + 4 + ... + 12 =
P
6 P k=4 6 P k=1
k 2 := 42 + 52 + 62 ,
2k .
5. Fontos kifejezések. Polinom: a változó egyes hatványainak számszorosait adjuk össze. Pl.: egyváltozós: x4 −
x2 2
+ 1; kétváltozós: x2 y 3 −
x2 2
+ xy − 4
Algebrai tört: polinomok hányadosa. Feladat: alakítsuk algebrai törtté, egyszer¶sítsünk, és adjuk meg a legb®vebb értelmezési tartományt! (a)
x−y x
−
x2 −y 2 xy
=
(x−y)y−(x2 −y 2 ) xy
(b) További példák:
x−y x+y
−
=
x+y , x−y
xy−y 2 −x2 +y 2 xy a−1 a
− 4
b , b+1
=
xy−x2 xy
u3 −u2 +1 . u2
=
y−x y
(x, y 6= 0)
√ √ √ √ 6. Gyöktelenítés: ha egy a − b kifejezést beszorzunk ( a + b)-vel, akkor √ √ ( a)2 − ( b)2 = a − b lesz. √ √ √ √ √ √ 3√ = 3 ( 3+ 2) = 3 + Pl. nevez® gyöktelenítése: 6. 3−2 3− 2 Házi feladatok.
1. (a) Igazoljuk: ha a ∈ R, b ≥ 0, akkor:
|a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b.
(b) Mely x ∈ R számokra áll fenn, hogy |x − 5| ≤ 2? Ábrázoljuk is a kapott x-ek halmazát. √ (c) Mivel azonos az√{x ∈ R : x2 ≤ 3} halmaz: az {x ∈ R : x ≤ 3} vagy {x ∈ R : |x| ≤ 3} halmazzal? Mindegyiket ábrázoljuk! 2. (a) Egy autó eredeti ára 9000 euró volt, de csökkentették 7200 euróra. Hány százalékos volt az árcsökkenés? (b) A tej tömegének 7,3 %-a tejszín, a tejszín tömegének 62 %-a vaj. Mennyi vaj lesz 5 l tejb®l? Hány liter tejb®l készült 5 kg vaj? (1 liter tej kb 1 kg.) (c) Évi hány százalékkal kellene az USA-nak csökkentenie károsanyag-kibocsátását, hogy 3 év alatt 27,1%-os legyen a csökkenés? 3. (a) Az ún. Planck-hossz az elvileg legkisebb mérhet® hosszúság, kb. 1.6 · 10−35 méter. Az ún. Planck-id® a legrövidebb mérhet® id®tartam, egy fotonnak ennyi id®re lenne szüksége, hogy a kb. 3 · 108 m/s fénysebességgel megtegyen egy Planck-hossznyi távolságot. Számítsuk ki a Planck-id®t. (b) Egy átlagos feln®tt hány lépéssel kerüli meg a Múzeumkertet? Információk: egy 1:5000 méretarányú térképen az út 13,8 cm, az átlagos lépéshossz 75 cm. 4. Igaz-e? (b)
n P
(a) (
n P
k=m
k2 =
k=2
n P
ak ) c =
ak c
∀am , am+1 , ..., an , c ∈ R
k=m
n−1 P
n−1 P
j=1
k=1
(j + 1)2 =
(k + 1)2
∀n ≥ 2
5. Alakítsuk algebrai törtté, egyszer¶sítsünk, és adjuk meg a legb®vebb értelmezési tartományt! (a)
x−y xy 2
−
(b)
2x+y x2 y
k2 −kl k2 +kl
·
k2 l+kl2 k 2 l2
(c)
x+1 − x−1 x−2 x+2 8 +4 x−2
(d) Polinommá alakítható-e az alábbi algebrai tört? 6. (a) Számítsuk ki
√ √ √18+√2 18− 2
(b) Igazoljuk, hogy
x4 −y 4 (x+y)(x2 +y 2 )
(ahol x 6= −y ).
pontos értékét.
√ √ 2501 nem egészen 0.01-gyel nagyobb 2500 = 50-nél!
5
3. Egyenletek
I. Bevezetés. Egyenlet megoldása: Módszere: egyenletrendezés, azaz az összefüggés egyszer¶sítése, törtek és gyökös kifejezések megszüntetése, az ismeretlen átrendezése egy oldalra. a helyes megoldás elve: ekvivalens átalakítások. Hibalehet®ségek: gyök elvesztése, vagy hamis gyök. a megoldások száma: nem feltétlenül egy, lehet több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Példák. (i) Mely x ∈ R esetén x2 = 4? x = ±2. (Nem elég x = 2, akkor elvesztenénk a -2-t.) √ (ii) Mely x ∈ R esetén x = x? Megoldás: A gyök miatt eleve csak x ≥ 0 lehet, így ekvivalens átalakítás: x = x2 . Most egy nem ekvivalens átalakítás: osztunk x-szel, így x = 1. Ez csak x 6= 0 esetén jó, így x = 0-t is meg kell nézni, ez is megoldás. √ (iii) Mely x ∈ R esetén x = −x? Nem ekvivalens átalakítás: ha x megoldás, akkor x = x2 . Ebb®l, mint az el®bb, x = 1 vagy 0. Visszahelyettesítve: csak x = 0 jó. II. Lineáris (els®fokú) egyenletek Megoldása: rendezzük ax = b alakra (ahol a, b ∈ R adott, x =?); ha a 6= 0, akkor x = b/a. Ha a = 0, akkor b = 0 esetén ∀x ∈ R jó, b = 6 0 esetén megoldás (ez már az átrendezés el®tt is kiderülhet). 1. Mely x ∈ R esetén igaz, hogy
(a) 2x + 7 = 9 − x2 ; (b) 3x − 6 = 3(x − 2)?
2. Egy motorcsónak sebessége állóvízben 16 km/h. Ugyanannyi id® alatt tesz meg árral szemben 3 km-t, mint árral 5 km-t. Mekkora sebességel folyik a folyó? (Az egyenlet: ha a folyó sebessége x, akkor a csónaké árral, ill. árral szemben 16+x, 3 5 ill. 16 − x. Az id®=út/sebesség képlet alapján tehát 16+x = 16−x . Átrendezve 5(16 − x) = 3(16 + x) lineáris, ezt megoldva x = 4 km/h.) III. Másodfokú egyenletek. Alakja: ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, a 6= 0). Megoldóképlet: x1,2 =
√ −b± b2 −4ac ; 2a
a valós megoldások száma 2,1 v. 0.
Példák: (a) x(1 − x) = −2. Átrendezve: x2 − x − 2 = 0, a képletb®l x = −1 és 2. 2
(b) (x−3) = 8. Ez kifejtve a fenti alakú, azaz másodfokú. Itt azonban ez fölösleges, 2 egyszer¶bb az átszorzás után gyököt vonni: (x − 3)2 = 16, azaz x − 3 = ±4, azaz x = 7 és −1. (A megoldóképlet is így jön ki.)
6
IV. Egyenletek törtekkel (racionális törtfüggvényekkel): a (közös) nevez®vel felszorozva polinomot kapunk. Ha ez els®- vagy másodfokú, akkor a fenti módon megoldható. Példák: 1. Lineárisra visszavezethet®: x+1 3 (i) = (x 6= 1) ⇔ 2x + 2 = 3x − 3 ⇔ x = 5. x−1 2
3 x+1 3 (x 6= 1) ⇔ =± . x−1 2 x−1 2 Ha a jobb oldal + 32 , akkor a fent kapott 5 a megoldás. x + 1 (ii)
=
Ha a jobb oldal − 23 , akkor átszorozva 2x + 2 = −3x + 3 ⇔ x = 15 . 2. Másodfokúra visszavezethet®:
2x2 + 3x + 5 = x + 1 (x 6= 1) ⇒ 2x2 + 3x + 5 = x2 − 1 ⇒ x2 + 3x + 6 = 0. x−1 V. Paraméteres egyenletek: valamely állandó(ka)t nem rögzítünk, ennek függvényében nézzük, mik a megoldások. Pl.: 1. Az x + 2 = p x + 4 egyenletnek mely p ∈ R paraméter esetén van megoldása? Rendezve: (p − 1)x + 2 = 0. Így, ha p = 1: nincs megoldás, ha p 6= 1: x = 2/(1 − p) egyetlen megoldás. Pl. ha p = 2, akkor x + 2 = 2x + 4, azaz x = −2 a megoldás; ha p = 1, akkor x + 2 = x + 4, ez az, amikor nincs megoldás. 2. Mely p ∈ R esetén hány megoldása van és mely(ek)? (Átrendezve másodfokú lesz.)
7
x−1 x+1 − =p x+1 x−1
Házi feladatok.
1. Adjuk meg x3 = x összes x ∈ R megoldását! 2. Mely x ∈ R esetén igaz, hogy
(a) 4x + 10 = 1 − 2x; (b)
2 x 3
+ 10 =
x 5
+
36 ; 5
(c) 7x + 14 = 7(x + 2); (d) 5(x − 2) = 5x + 1 ? 3. (a) Hány liter sót kell adni 100 liter 40%-os sóoldathoz, hogy 65%-os oldatot kapjunk? (b) Hány éves az a tölgyfa, amely 60 év múlva 5-ször annyi id®s lesz, mint 20 évvel ezel®tt volt? 4. (a) Oldjuk meg az x2 − x − 6 = 0 egyenletet. (b) A v0 kezd®sebességgel felfelé hajított test t id® alatt s = v0 t− g2 t2 utat tesz meg, ahol g ≈ 10. Mennyi id® alatt repül felfelé 2 métert a 7 m/s kezd®sebességgel felhajított test? (Vigyázat: a két gyökb®l a kisebb kell, miért? Mit jelent a másik?) 5. Oldjuk meg:
5 2x + 3 = ; (a) 4−x 3
x + 3 (b)
7 = ; x−2 2
(c)
2 7 = ; x x+3
(d)
x2 = x+2. 2x + 1
6. (a) A p ∈ R paraméter értékét®l függ®en hány megoldása van a p(p−1)x+1 = p2 egyenletnek? (b) A b ∈ R paraméter értékét®l függ®en hány valós megoldása van az x2 +bx+1 = 0 egyenletnek? (c) Mutassuk meg, hogy bármely a, b ∈ R esetén az megoldása; hány van?
(x−a)2 2
= 2b2 egyenletnek van
(d) A p ∈ R paraméter értékét®l függ®en van-e, és mi a megoldása az egyenletnek?
8
x =p 4−x
4. Hatványozás, logaritmus, egyenletrendszerek
I. Hatványozás, logaritmus. (a) Ismétlés.
(i) a−n :=
1
1 , an
a0 = 1, a n :=
√ n
m
a, a n :=
√ n
am .
(ii) Ha a > 0, a 6= 1, b > 0, akkor x := loga b az egyetlen valós szám, melyre ax = b. Röviden: aloga b = b. Nevezetes alapok: lg b := log10 b; ln b := loge b (ún. természetes alapú logaritmus, ahol e ≈ 2.71, def. kés®bb). Feladat: adjuk meg az alábbi számok pontos értékét (számológép nélkül): 1
3
4
1
9 2 ; 4− 2 ; 8− 3 ; log2 4; log2 12 ; log4 2; log5 1; 2log2 3 ; 16log4 3 ; 3 2 log3 4 ; lg 100. (b) Exponenciális és logaritmusos egyenletek.
Fel kell használni:
• de níciók; • az exp és log függvények szigorú monotonitása, így egy értéket egyszer vesznek fel: au = av ⇒ u = v ,
loga u = loga v ⇒ u = v .
• azonosságok: ax+y = ax ay , ax−y =
ax , ay
(ax )y = axy ;
loga xy = loga x + loga y , loga loga x =
x y
= loga x − loga y , loga (y c ) = c loga y ,
logb x . logb a
1. Oldjuk meg: (a) 32x−5 = 13 ; x + 1
(d) log2
x−1
(b) log2 x = 5;
= 3;
(c) lg(3x − 4) = lg(x + 1);
(e) ln(x + 4) − ln(2x − 1) = 1
2. Egy tenyészetben a baktériumok számát a t id®pontban N (t) = N0 · 20.25 t képlettel írhatjuk le (folytonos közelítéssel), ahol N0 millió a kezdeti mennyiség a t = 0 id®pontban, és az id®t órákban mérjük. Hány óra alatt lesz a baktériumok száma a kezdeti mennyiség (a) 8-szorosa;
(b) K -szorosa (ha K > 1 adott szám)?
II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Oldjuk meg a "beszorzás azonos együtthatóra" módszerével! Hány megoldás van?
2x + 6y = 9
9x − 3y = 6
x − y =5
3x − 4y = 7;
6x − 2y = 4;
−8x + 8y = 2.
Eredmények:
(3, 21 ) egyértelm¶; ∞ sok (öszefügg® egyenletek); nincs. 9
Házi feladatok.
1. (a) Adjuk meg az alábbi számok pontos értékét (számológép nélkül): 3
1
1
2
4 2 ; 9− 2 ; 8− 3 ; log3 9; log3 31 ; log3 3; log9 3; log7 1; 5log5 3 ; 25log5 3 ; 5 2 log5 9 ; log2008 π √ . lg(104 ); lg 1000000; log2 (2π ); log2008 π + log2008 π1 ; log π 2008
(b) Melyik nagyobb (számológép nélkül), log2 3 vagy log4 8? √ (c) Hogyan számítható ki számológépen 7 12 a lg x és 10x funkciók segítségével? 2. Oldjuk meg: (a) 5x+1 =
1 ; 25
(b) 372x−3 = 1;
(e) log9 |x − 1| = 3;
(f) log3
(c) log3 x = 2;
x+2 = 2; x−3
(d) lg(5x − 4) = lg x;
(g) ln(x + 3) + ln(x − 3) = 2
3. Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát a t id®pillanatokban egy id®ben csökken® exponenciális függvény írja le: N (t) = N0 · e−λt , ahol N0 az N értéke t = 0 pillanatban, λ > 0 az ún. bomlási állandó, e ≈ 2, 71. Számítsuk ki az (N0 -tól független) T felezési id®t, azaz, amelyre bármely t ≥ 0 esetén N (t + T ) = N2(t) , (a) ha λ =
ln 2 , 100
t
azaz N (t) = N0 · 2− 100 ;
(b) általában (λ függvényében)!
4. Oldjuk meg! Hány megoldás van?
3x + 3y = 9
4x + 2y = 10; 8x − 2y = 5; 4x − 2y = −6; 3x − 6y = 3; −8x + 2y = 2.
(Eredmények:
5x + 3y = 1
7x − y = −3
x − 2y = 1
(2,1), ( 21 , - 21 ), (0,3), ∞ sok (öszefügg®k), nincs.)
10
4x − y = 5
5. Mátrixok, vektorok
1. (a) Gyakoroljuk az A+B és A·B mátrix, ill. az Ax vektor kiszámítását, tetsz®legesen felírt A és B mátrixokkal és x vektorral! (A 2 × 2 esetre kétszer, az egyik esetben az A = I mátrixszal; a 3 × 3 esetre egyszer.)
5 3 2 1
(b) Igazoljuk a de nícióból, hogy (
(c) Mutassuk meg, hogy az írható ! 5 3
2 1
·
x y
!
=
2 1
!
és
−1 3 2 −5
!
egymás inverzei!
5x + 3y = 2 lineáris egyenletrendszer (LAER) fel2x + y = 1
!
alakban!
(d) Szorozzuk be a fenti LAER-t a mátrix (b) pontban kapott inverzével, és ellen®rizzük, hogy a kapott vektor koordinátái valóban megoldásai a LAER-nek! 2. Determináns kiszámolása. Gyakoroljuk tetsz®legesen felírt mátrixokkal: a 2 × 2 esetre kétszer; a 3 × 3 esetre legalább egyszer, ugyanazt Sarrus-szabállyal és az els® sor szerint kifejtve is végigszámolva.
2 1 3. Számítsuk ki az A := 2 3 egy-egy konkrét sajátvektort!
!
mátrix sajátértékeit, és adjuk meg az összes, ill.
(Eredmények: sajátértékek 4 és 1, egy-egy sajátvektor
11
1 2
!
és
1 −1
!
.)
Házi feladatok.
1. (a) Számoljuk ki az A + B és A · B mátrixokat, ill. az Ax vektort, ha
3 4 2 3
A=
!
,
1 −1 −3 4
B=
!
,
1 −1
x=
!
.
3 −2 −1 1 2 (b) Ellen®rizzük az IA = A = AI azonosságot az A = 0 mátrixra! −3 4 5 a b c d
2. (a) Legyen A =
!
, det(A)6= 0. Igazoljuk, hogy A
−1
d −b −c a
!
.
!
3 4 2 3
(b) Számítsuk ki a fentib®l a
1 = det(A)
mátrix inverzét, és ellen®rizzük a de nícióból,
hogy az valóban inverz! 3. Determináns kiszámolása. (a)
(b)
3 4 =? 2 3
3 −1 =? 2 0
−3 −1 5 = ? 2 3
(Sarrus-szabállyal, ill. az els® sor szerint kifejtve is)
3 −2 −1 0 1 2 = ? −3 4 5
−1 0 −1 1 1 1 = ? 3 2 1
4. Számítsuk ki az alábbi mátrixok sajátértékeit, és adjunk meg egy-egy konkrét sajátvektort!
A=
2 −1 −2 3
!
,
B=
Eredmények: A: 4 és 1,
1 3 2 1 1 −2
!
.
!
1 1
és
12
!
,
ill. B: 1 ±
√
6,
√3 ± 6
!
.
6. Geometria, trigonometria, vektorm¶veletek I. Ismétlés.
• Vektor fogalma. Egy P pontot gyakran azonosítunk az OP vektorral. Vektor megadása: sor vagy oszlop. • Pontok távolsága síkon ill. térben, polárkoordináták. • Szögek értelmezése radiánban (dimenziótlan), szögfüggvények. Írjuk fel az alábbi szögek radián értékét, ill. sin, cos és (ha van) tg értékeiket: 0◦ , 30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦ , 150◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ . Periodikusság: sin α = sin(α + 2kπ) (k ∈ Z), és cos-ra is. • Példa: a Föld sugarának meghatározása. Eratoszthenész meg gyelése: ha a Nap Syenében pontosan delel (kútban tükröz®dik), akkor a 800 km-re lev® Alexandriában 7, 2◦ -os szögben esik be. Ebb®l a sugár ≈ 800 km/tg 7, 2◦ ≈ 800/0, 1263 ≈ 6334 km. (Elemibb út: 7, 2◦ = 360◦ /50, így a kerület ≈ 800 · 50= 40 000 km.) • Háromszög további adatai 3 adatból (sin- és cos-tétel). b c a = = . sin α sin β sin γ Cos-tétel. Mi lesz (c2 = a2 + b2 )-tel, ha a derékszöget elrontjuk? Sin-tétel:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ . (Spec. esetek: γ = π/2 ⇒ Pith.; γ = 0 ⇒ c = |a − b|.) II. Feladatok.
1. (a) Milyen messze van a (3,-4) síkbeli pont az origótól? (b) Mekkora a (2,-3) és (7,9) síkbeli pontok távolsága? (c) Mekkora a (2,1,-1) és (4, -2, 1) térbeli pontok távolsága? 2. (a) Mekkora egy derékszög¶ háromszögben az a befogó, amely 45◦ -os szöget zár be a mellette lév® 10 cm hosszú átfogóval? (b) Mekkora egy derékszög¶ háromszögben az az átfogó, amely 60◦ -os szöget zár be a mellette lév® 3 cm hosszú befogóval? (c) Egy 40 m hosszú híd egyik hídf®jénél állva a másik parton álló lámpaoszlopot a híddal 30◦ -os szöget bezáró irányban látjuk. Milyen messze van a lámpaoszlop a másik hídf®t®l? (Feltesszük, hogy a híd és a part is egyenes, és mer®legesek egymásra.) 3. Adjuk meg az ( 21 ,-
√
3 ), 2
a (0,3) és a (2,2) pontok polárkoordinátáit.
4. (a) Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, a csúcsainál lév® szögek 60◦ és 45◦ . Mekkora a másik két oldal? (b) Egy 60◦ -os útelágazástól A falu 7 km-re, B falu 4 km-re van (egyenes úton, rajz). Mekkora A és B távolsága? (kb. 6,08 km) 5. (a) Számítsuk ki néhány tetsz®legesen felírt vektor skaláris szorzatát! (Két-két 2 és 3 dimenziós példa.) (b) Számítsuk ki két-két tetsz®legesen felírt 3 dimenziós vektor vektoriális szorzatát! 13
Házi feladatok.
1. (a) Mekkora a (2,-1) és (5,3) síkbeli pontok távolsága? (b) Mekkora az egységkocka testátlója? 2. (a) Egy 10◦ -os emelked®n megtett út végén egy autó km-órája 2500 m-vel mutat többet. Mennyivel került magasabbra? (b) Egy 1000 m magas fennsíkon állva az Ararát 40 km-re lév® csúcsát vízszinteshez képest 6◦ -os szögben látjuk. Ez alapján milyen magas a csúcs tengerszint felett? (c) Egy egységnégyzet alapú négyzetes oszlopot elmetszünk egy 30◦ -os szögben emelked® síkkal. Mekkora a síkmetszet területe? √ 3. (a) Adjuk meg az (1, 3), a (-4,0) és a (-1,-1) pontok polárkoordinátáit. (b) Jelölje r és ϕ a síkbeli pontok polárkoordinátáit. Ábrázoljuk az r = 2, ϕ = koordinátájú pontot, ill. a C := {(r, ϕ) : r = 1, ϕ ∈ [0, 2π)} halmazt!
π 4
4. (a) Egy 45◦ -os útelágazástól A város 10 km-re, B város 15 km-re van egyenes úton. Mekkora A és B távolsága? (b) Egy A-ból induló egyenes f®útról a 3. km-nél jobbra 15◦ -os szögben ágazik el egy szintén egyenes út. Ezen 6 km után érünk B-be. Milyen messze van légvonalban A és B? (c) A Föld-Hold távolság 382,5 ezer km. Egy üstökös a Földr®l nézve a Holddal 73◦ -os, a Holdon lév® ¶rállomásr®l nézve a Földdel 106◦ -os szöget zár be. Milyen messze van a Földt®l? 5. Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris és a (c)-(d) esetben vektoriális szorzatát! (a) a = (1, 2), b = (7, 1); (b) a = (−1, 2), b = (3, −1); (c) a = (−1, 2, 0), b = (3, 4, −1); (d) a = (3, 1, −2), b = (1, −4, 2). 6. Számítsuk ki az alábbi vektorok által bezárt szöget! a·b , ebb®l egyértelm¶ γ ∈ [0, π].) cos γ = |a||b| √ √ (i) a = (1 − 3, 1 + 3), b = (4, 4); (ii) a = (−1, 2), b = (6, 3).
(Útmutatás:
7. Mutasuk meg a kiszámítási képletb®l, hogy bármely térvektorra a × a = 0.
14
7. Függvények
I. Kompozíció fogalma (x 7→ g(x) 7→ f (g(x)), "két gép egymás után"). Példák.
1. Írjuk fel az alábbi valós függvények f ◦ g kompozícióját és annak legb®vebb értelmezési tartományát! x+4 és g(x) := x2 ; (b) f (x) := x2 + ex és g(x) := 3x; (a) f (x) := x−4 √ (c) f (x) := x2 és g(x) := x; (d) f (x) := x3/2 és g(x) := x − 1; (e) f (x) := 2x és g(x) := 3x;
(f) f (x) := 2x − 3 és g(x) := x + 1.
2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f ◦ g ◦ h kompozícióját!
f (x) := 10x , g(x) :=
1 x
és h(x) := x − 2.
3. Szemléltessük az alábbi példákon, hogy általában f ◦ g 6= g ◦ f ! (a) f (x) := x2 és g(x) := x + 1;
(b) f (x) := sin x és g(x) := 2x.
4. Az alábbi f ◦ g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! (a) f (g(x)) = e2x ,
(b) f (g(x)) = ln(x2 ), (c) f (g(x)) = (x − 3)2 , √ 1 (d) f (g(x)) = sin2 x, (e) f (g(x)) = 4 + x, (f) f (g(x)) = 3x . √ 5. Az f (g(h(k((x)))) = 1 + cos2 x kompozíciófüggvény esetén adjuk meg, melyik az f , g , h ill. k függvény! II. Inverz fogalma: ha f injektív, akkor y 7→ f −1 (y) az f (x) = y egyenl®ség egyetlen x megoldása (y ∈ Rf esetén). (A képlet kiszámítása után persze áttérhetünk x változóra!) Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! x−3 (x ∈ R, x 6= −1/2); (a) f (x) := 2x + 1 (c) f (x) := (e3x + 4)2 (x ∈ R).
(b) f (x) := 4 + 31−2x (x ∈ R);
III. Függvények ábrázolása. 1. Elemi függvények. (Hatvány, exp, log: ismételjük át az 5. el®adás III.(a)-(b) rajzait. Sin, cos gra konja.) Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f (x) :=
x6 , x5 , x5/2 , x4/3 , x2/3 , x1/4 ,
x−1/2 , ( 32 )x , ( 52 )x ,
4−x ,
lg x.
2. f (x) + c, f (x + c), c · f (x), f (−x), f (c · x) ábrázolása, pl. a sin-függvényen. 3. Egyes térer®sségek leírhatók az f (r) :=
c r2
függvénnyel, ahol c > 0 állandó.
Ábrázoljuk az f függvényt pl. c = 2 esetén!
15
Házi feladatok.
1. Írjuk fel az alábbi valós függvények f ◦ g kompozícióját és annak legb®vebb értelmezési tartományát!
x2 + 1 és g(x) := ex ; x−1 (c) f (x) := 2x és g(x) := log2 x;
(b) f (x) := x2 − 1 és g(x) := sin x + 2;
(a) f (x) :=
(d) f (x) := x − 1 és g(x) := x + 3.
2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f ◦ g ◦ h kompozícióját!
f (x) := 4x, g(x) :=
1 x−1
és h(x) :=
2 x
+ 1.
3. Az alábbi f ◦ g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! (a) f (g(x)) = cos 3x,
(b) f (g(x)) = ln(sin x),
(c) f (g(x)) = (x + 5)3/2 ,
(d) f (g(x)) = e−x . 4. Az alábbi kompozíciófüggvények esetén adjuk meg sorrendben a kompozíció tagjait! (a) cos2 4x,
(b)
√ 1 , 3x−2
(c) (1 + x2 )5/2 ,
√
(d) 10−
2x
.
5. Igaz-e az alábbi függvényekre, hogy f ◦ g = g ◦ f ? (a) f (x) := cos x és g(x) := x2 ;
(b) f (x) := ex és g(x) := ln x.
6. Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! 2x + 1 x (x ∈ R, x 6= 1); (b) f (x) := 5 − 2 2 +6 (x ∈ R). (a) f (x) := x−1 7. Mutassuk meg, hogy az f (x) := x2 − 2x függvénynek nincs inverze, de az (1, ∞) félegyenesre vett lesz¶kítésének már van. 8. Egy gáz állapotegyenlete pV = 0.02T , ahol p, V és T rendre a nyomás, térfogat és h®mérséklet. Ábrázoljuk (a) V = 0.01 rögzített térfogat esetén a p(T ) függvényt; (b) T = 100 rögzített h®mérséklet esetén a p(V ) függvényt! 9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! f (x) :=
x3/2 , (x + 1)2 , (x − 1)2/3 , 3−x , ln x, log2 (3 − x)
(2x − 1)3/4 ,
16
(x + 4)−1 ,
cos 3x,
3 cos x,
2x ,
8. Végtelen számsorozatok
1. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat:
N+ → R leképezés. Jelölés: tagjait a1 , a2 , a3 . . . indexekkel, a sorozat (an ).
Példa: az (1/n) sorozat: 1, 1/2, 1/3.... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije a sorozatnak? Sorozat határértéke: lim an = A ∈ R, ha ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N+ : ∀n > N esetén |an − A| < ε. A paraméterek jelentése: ε hibahatár (akármilyen kicsi lehet), N küszöbindex. A sorozat tehát bármilyen kis hibahatáron belül megközelíti A-t elég nagy n-re. A "∃N = N (ε) ∈ N+ : ∀n > N esetén" kitétel lazábban: "elég nagy n-re". Gyakori jelölés: an → A. Ha van ilyen A, akkor (an ) konvergens. 2. Példák. Írjuk fel az els® néhány tagot, és rajzoljuk fel szemléletesen a számegyenesen mind a sorozatot, mind a limeszt. Az absztrakt de níciót nem használjuk, a cél ehelyett az lesz, hogy a szemlélet számára világossá tegyük a fogalmat. (a) an := (b) an := (c) an := (d) an := (e) an :=
1 n 1 n2
→ 0. → 0.
n2 +1
=1+
n2 1 → 0. 2n 1 n (− 2 ) →
1 n2
→ 1.
0. ("Ugrálva" tart.)
(f) an := 5 ∀n (konstans sorozat) limesze is 5. (g) Nem minden sorozat konvergens. (divergens).
Pl. an := (−1)n : nincs határértéke
3. M¶veletek: ha lim an = A és lim bn = B , akkor:
lim(an + bn ) = A + B , ha B 6= 0: lim
an bn
=
lim(an − bn ) = A − B ,
A , B
lim(an · bn ) = A · B ,
ha an ≥ 0 és α ∈ R: lim aαn = Aα .
(Szemléletesen mindez azért igaz, mert elég nagy n-re an ≈ A és bn ≈ B .) q 1 √ 2+ n 2 1 = lim ; lim = Példák: lim 2n+1 = 5 + 5. 5 3n−5 3 n 3− n
4. ∞ mint határérték. Csak szemléltetünk. Pl.: an := n2 → +∞;
an := −2n → −∞;
an := (−2)n -nek végtelen limesze sincs. 5. Fontos határértékek:
+∞, ha α > 0; 1, ha α = 0; lim nα = 0, ha α < 0;
+∞, 1, lim q n = 0, 6 ∃, 17
ha ha ha ha
q > 1; q = 1; |q| < 1; q ≤ −1.
√ lim n = lim n1/2 = +∞, = lim( 14 )n = 0, lim 3n = +∞.
Példák:
lim 41n
lim
1 √ 3n
= lim n−1/3 = 0,
lim( 32 )n = 0,
6. Szabályok végtelen limeszre. (i) Rendezés: ha lim an = +∞ és ∀n-re bn ≥ an , akkor lim bn = +∞. (Hasonlóan −∞-re, ha bn ≤ an .) q √ Példa: lim n2 + n 1 + 2n n + n3 +∞, mert bn := n2 +. . . ≥ an := n2 → +∞. (ii) M¶veletek. Összegsorozat: ha lim an = +∞ és lim bn ∈ R vagy +∞, akkor lim(an + bn ) = +∞; ha lim an = −∞ és lim bn ∈ R vagy −∞, akkor lim(an + bn ) = −∞; ha lim an = +∞ és lim bn = −∞ (v. fordítva): lim(an + bn ) bármi lehet. Példák: h
h
i
lim(n2 +2n) = +∞, lim( n1 −n) = −∞, lim (n+1)2 −(n2 +2n) = 1, i
lim (n + 8) − n = 8.
Az utóbbiaknál rossz lenne "(+∞) − (+∞) = 0".
Szorzatsorozat: ha lim an = +∞ és lim bn = B > 0 vagy +∞, akkor lim(an · bn ) = +∞; ha lim an = +∞ és lim bn = B < 0 vagy −∞, akkor lim(an · bn ) = −∞; ha lim an = +∞ és lim bn = 0: lim(an · bn ) bármi lehet. (Ha lim an = −∞: ugyanezek fordított el®jelekkel.) Példák:
lim (1 + n1 ) · 2n = +∞, lim n3 2n = +∞, lim 12 · n = 12. n (Az utóbbinál rossz lenne "(+∞) · 0"-ra eredménynek (+∞) vagy 0.)
Reciproktáblázat: lim an = +∞ vagy − ∞ 0 0+ (:= 0 és an > 0) 0− (:= 0 és an < 0) 1 lim an = 0 nem tudjuk +∞ −∞ Példák:
1 = 0, lim lim n2 +2n
hányados: lim
n4 1 + 32 n n
= +∞;
1 1 + 32 n n
= +∞, lim
14 n 2 n
= 7 (rossz lenne " 00 = 1”).
7. Racionális törtfüggvények limesze. ∞ Formálisan " ∞ ”. Módszer: a legnagyobb kitev®j¶ taggal egyszer¶sítünk.
Példák:
2
3
+2n −1 lim 3nn2 +n−5 = 31 , lim n2n+1 = 0, lim n4n2 +2n = +∞.
Házi feladatok.
Létezik-e, ha igen, mennyi? (Ismert limeszek + a szabályok alapján lehet megoldani.) √ (a) lim √1n , lim 3 n, lim n−3/2 , lim( 34 )n , lim( 34 )n , lim(− 23 )n , lim(−3)n , lim( π1 )n
(b) lim 2 +
(c) lim
3 n
4−
2+ n3 −n
1 n2
,
n3
2
q
3
n
, lim (n+2) −(n+1)2 , lim n n4 , lim
lim n2 − 4n + 3 , lim n4 + (d) lim 3n+5 , 7n−4
3+ 2
lim 5− n1 .
2
2+
3 n
,
2 −3 n
n2 , lim n2 +4n+3 ,
lim(−1)n · n2 .
2
2
2
+1 −n n +3 −n−1 lim nn2 −1 , lim 2n+3 , lim 2−n lim 2n , lim n + 1 3, 3n2 +10n
18
2 n
−
1 n2
.
9. Végtelen sorok
1. Téma: hogyan lehet ∞ sok szám összegét értelmezni? Példák: (a) (rajzon, számegyenesen): 1 +
1 2
+ 14 + ... +
+ ... = 2.
1 2n
(b) 1/3 tizedestört-alakja. Mit jelent az, hogy 0, 333...? Végtelen sor összege. Egy sort konvergensnek de niáltunk, ha az sn :=
n P
ak szeletek sorozata konvergens;
k=1
ekkor a sor összege lim sn . (Más indext®l is indulhat.) Célok: egy adott sor konvergens-e; ha lehet, számítsuk ki az összegét. 2. Fontos példák. (a) A
P n q mértani sor. Ez |q| < 1 esetén konvergens, és (0 indext®l vett) összege n ∞ P P n+1 n = 1 , azaz 1 + q + q 2 + ... = 1 . q := lim s = lim q k = lim 1−q n
n=0
1−q
k=0
1−q
1−q
(Pl. az el®bb, q = 1/2.) Ha |q| ≥ 1, akkor a sor divergens. Példák: i.
∞ n P 2 n=0
3n
ii. 1 − iii. iv.
1 2
=
∞ P ( 2 )n
=
1 1− 32
+ 14 − 81 + ... =
∞ n n P 2 +3 5n
n=0 ∞ P
3
n=0
=
∞ n P 2 n=0
5n
+
= 3, hiszen |q| = | 23 | =
∞ P
(− 12 )n =
n=0 ∞ P n=0
3n 5n
=
( 53 )n divergens, hiszen |q| =
n=0
5 3
+
< 1.
= 23 , hiszen |q| = | − 21 | =
1 1+ 21
1 1− 25
2 3
1 1− 35
=
1 2
< 1.
25 . 6
> 1. (Itt a sorösszeg +∞, hiszen 1-nél nagyobb
számokat adunk össze.) ∞ P
v. vi.
(− 53 )n divergens, hiszen |q| = | − 35 | =
n=0 ∞ P
n=0
(−1)n ·3n 5n
=
∞ P
(− 35 )n =
n=0
1 1+ 35
5 3
> 1. (Vigyázat: hiába q < 1!)
= 58 , hiszen |q| =
3 5
Vigyázat, nem tagonként szorzunk! Azaz pl. nem vii. Legyen |q| < 1 adott szám, N ≥ 1 adott egész.
< 1. ∞ P (−1)n n=0 ∞ P
5n
·
∞ P n=0
q n =?
n=N
1. megoldás: q N + q N +1 + q N +2 + ... = q N (1 + q + q 2 + ...) = 2. megoldás:
∞ P
qn =
n=N
(b) Hipergeometrikus sor:
∞ P
qn −
n=0
NP −1
qn =
n=0
∞ P 1 , ahol nα
n=1
1 1−q
−
3n ...
1−q N 1−q
=
qN . 1−q
qN . 1−q
α > 0 rögzített szám.
Áll. (biz. nélkül): α > 1 esetén konvergens, α ≤ 1 esetén divergens. Pl.
∞ ∞ P P 1 1 konvergens. divergens (ezt láttuk az ea-n), de pl. n n2
n=1
n=1
3. Konvergenciavizsgálat: egy adott an sor konvergens-e? (Itt nem muszáj kezd®indexet írni, mert nem számít.) P
19
(a) Szükséges feltétel: an → 0.
(Nem elégséges, pl. an := 1/n.)
(b) Kritériumok.
• Gyökkritérium. Ha ∃ lim
q
|an | =: q : q < 1 ⇒ absz. konv., q > 1 ⇒ div.
n
| =: q : " • Hányadoskritérium. Ha ∃ lim |a|an+1 n| Ha van ilyen q , akkor ugyanaz jön ki mindkét kritériummal (amelyre elég nagy n-re an ≈ c · q n ); a hányadoskritériumot általában könnyebb kiszámolni!
Ha ezek nem m¶ködnek (pl. mert q = 1), akkor mással próbálkozunk, pl. ha felismerjük, hogy hipergeom. sor, akkor α-tól függ®en konv. vagy div.; P P ha |an | konvergens, akkor an is konvergens; ha nem teljesül a szükséges feltétel, azaz ha an 6→ 0, akkor a sor div. Példák: P n2
(i)
konv.-e?
2n
Hányadoskritérium: (ii)
(−1)n
P
∞ P (−1)n ·5n 3n
n=0
=
(n+1)2 2n+1
·
2n n2
= (1 + n1 )2 ·
1 2
< 1 ⇒ konv.
→
1 2
1 3
→
konv.-e?
n(n+1) 3n
Hányadoskritérium: (iii)
|an+1 | |an |
|an+1 | |an |
=
(n+1)(n+2) 3n+1
=
5n+1 3n+1
3n n(n+1)
·
=
n+2 n
·
1 3
< 1 ⇒ konv.
konv.-e?
Hányadoskritérium:
|an+1 | |an |
·
3n 5n
5 3
=
> 1 ⇒ div.
Észrevétel: ez egy divergens geometriai sor, q = − 53 mellett. (Már néztük is.) Megj.: fontos az abszolút érték! (Rossz megoldás: (iv)
an+1 an
= − 53 < 1 ⇒ konv.)
P 1 konv.-e? n3
Hányadoskritérium: nem m¶ködik, mert q = 1. Mivel hipergeom. sor, ahol a kitev® α = 3 > 1, így konv. (v)
P (−1)n
konv.-e?
n2
Hányadoskritérium: nem m¶ködik, mert q = 1. Abszolút értéke hipergeom. sor: P 1 , amely α = 2 > 1 miatt konv. ⇒ az eredeti sor is konv. n2 Házi feladatok.
1. Konvergens-e a sor? Ha igen, mennyi az összege? (a) (g)
∞ P 1 n=0 ∞ P n=2
(b)
4n
∞ n P 3 n=0
4n
(c)
∞ n P 3 n=0 ∞ P
(2-t®l indul!) (h)
1 3n
(d)
2n
n=0
∞ n n P 3 −2 n=0
4n
(e)
∞ P (−1)n n=0
(f)
4n
∞ P
(−2)n
n=0
1 3n+2
2. Értelmezzük és bizonyítsuk be a szemléletesen ismert 0.999... = 1 egyenl®séget! 3. Konvergens-e a sor? (a)
P n
(f)
P 23n+10
(l)
P
5n
(b)
32n+1
(−1)n
P n3 2n
(c)
P n5 7n
P 3n
(h)
P
(g)
3n
6n
(d)
P (2n+1)(2n+3) 4n
n
3 (−1)n · 2n (n+1)! (i) n! √ P (m) (−1)n · n
20
P 1
n4
n
(e)
P
(j)
P 1 √
(−1)n · n · 2− 2 n
(k)
P (−1)n2 +3n n3
10. Egyváltozós függvények deriválása
1. A derivált fogalma és geometriai jelentése példákon. (i) Vezessük le: f (x) := x2 dierenciálható bármely a-ban, éspedig f 0 (a) = 2a. Rajzoljuk fel az a-beli érint®t, és szemléltessük, hogy f 0 (a) értéke ennek meredeksége. Pl. az a = 1 pontban: Az érint® egyenlete: meredeksége 2.
f 0 (1) = 2, azaz az 1-beli érint® meredeksége 2. l(1 + h) = f (1) + f 0 (1)h = 1 + 2h, ez átmegy (1, 1)-en és
Ennek jelentése közelítés szempontjából: f (1) = l(1) = 1, és kis h-ra f (1 + h) ≈ l(1 + h), azaz (1 + h)2 ≈ 1 + 2h. Ez az f lineáris közelítése a = 1 körül. (Konkrétan most az is látszik, hogy h2 -et hagytuk el.) (ii) Deriváltfüggvény: f 0 (x) = 2x
(x ∈ R).
(iii) Példák nem deriválható függvényre (csak a geometriai jelentést szemléltessük):
f (x) := |x| az a = 0 pontban: nincs érint®, mert töréspontja van; √ f (x) := 3 x az a = 0 pontban: nincs véges meredekség¶ érint®. 2. A továbbiakban a deriváltfüggvény kiszámításával foglalkozunk, azaz f (x) képletéb®l f 0 (x) képletét állítjuk el®. Felidézend® (ld. ea): f (x) := xα , ex , ln x, sin x, cos x deriváltja. 0
Jelölés: f 0 (x) helyett néha f (x) -t írunk, pl. (ex )0 = ex . 3. Deriválási szabályok (ea-ról felidézend®). (i) Összeg, szorzat, hányados deriváltja. Pl. deriváljuk: ex + sin x, x2 3x sin x − cos . x
1 x
− x2 ,
x3/2 − 4 ln x,
x2 sin x,
x3 e x ,
ln x , 3x4
√
x , sin x
(ii) Kompozícióderivált (ea-ról felidézend®). Néhány spec. esete:
(g α )0 = αg α−1 · g 0 , (ln g)0 =
g0 , g
= c f 0 (cx), pl. f (−x)
0
= f 0 (x2 ) · (2x).
f (cx)
f (x2 )
Több tagra:
g
0
= − gg2 ,
(eg )0 = eg · g 0 ,
0
0 1
pl. (g 2 )0 = 2gg 0 ,
0
0
= − f 0 (−x),
(láncszabály). √ Példák: sin(x2 ), sin2 x, ecos x , ln(1 + x2 ), cos1 x , sin 2x, e−x , (2x + 1)3 , 1 − 3x, √ 1 sin2 x x 1 + x2 , cos(x deriváltja. 3) , e
f (g(h(x)))
= f 0 (g(h(x)) · g 0 (h(x)) · h0 (x)
(iii) Alkalmazások (néhányat vezessük le):
tg0 x =
1 , cos2 x
ctg0 x = − sin12 x ,
sh0 x = chx, ch0 x = shx, th0 x = (ln |x|)0 =
1 x
1 , ch2 x
negatív x-re is. 21
cth0 x = − sh12 x .
Ha a > 0, akkor (ax )0 = eln a·x
0
Ha a > 0, a 6= 1, akkor (loga x)0 =
= eln a·x · ln a = ax · ln a.
ln x ln a
0
=
1 . x·ln a
(iv) Szorzatderivált több tagra. Vezessük le:
(f gh)0 = f 0 gh + f g 0 h + f gh0 (stb).
Pl.: (x ex sin x)0 4. Inverz deriváltja: y = f (x) esetén (f −1 )0 (y) =
1 . f 0 (x)
Példa: legyen x ∈ [− π2 , π2 ], és y = sin x ∈ [−1, 1]. Ekkor cos x ≥ 0, így arc sin0 y =
1 cos x
=√
Hasonlóan jön ki:
1 1−sin2 x
= √1
1−y 2
arc tg0 y =
.
1 . 1+y 2
5. Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/ ˜ benedek/Analizis/pdf/Seged/derivaltTablazat.pdf Fejb®l tudni kell:
f (x) := xα , ax , loga |x|, sin x, cos x, (tg x, ctg x), arc tg x, sh x, ch x, (th x, cth x) deriváltját. (A többi arc és az area függvényekét csak táblázatból.) A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el®ttük lev®kb®l. Házi feladatok.
1. Adjuk meg f (x) := x3 érint®jének meredekségét az (1, 1) pontban. Írjuk fel az érint® egyenletét. Mely c, d ∈ R mellett érvényes a legjobb (1 + h)3 ≈ c + dh lineáris közelítés h ≈ 0 esetén, és mi köze ennek az a = 1 pontbeli deriválthoz, ill. érint®höz? 2. f 0 (x) =?, ha f (x) = ... √ √ x4 , x−3 , x, x12 , x x, 3x5 − 4x2 +
x5 cos x, xex , x ln x, x2 log2 x,
x+1 , x2 −4
2 √ 3 x, sin x , x
2x ,
x 1
, 3 cos x − 5 sin x, ex sin x,
4 2 3 x , x ln−4x , cos x x x2 − 2 −x √
x2 , chx
shx , x3/2 5/2
x sin x cos x,
2 ln(1−x), ln(1−4x) cos x√ , e , e , (x+1) √, ln(x +3x−4), ln x cos 4x, tg 2 , ctg x, lg(1 − 5x), ex sin x , 1 + x2 , (1 − x2 )5/2 , 1 , (1−x)2
1 , 1+x2
x , 1+x2 2
√ x , 1+x2
√ arcsin x, arc tg(x ), arc tg
2x −1 x , ee2x +1 , ln 1−x , (1−x2 )3/2 √ 1+x x , x arc tg x − ln 1 + x2 . 2
, (3x+1)5/2 , 1 √ 1 , 4, 1−x 1+x √ 2x xe , ln(x + 1 + x2 ), 1+x
3. (a) Legyen c > 0 állandó, f (x) := ln(cx). f 0 (x) =?, hogyan függ ez c-t®l és miért? (b) (xx )0 =? Útm.: xx = eln x·x .
22
11. Taylor-polinom és -sor.
I. Taylor-polinomok. Cél: polinommal közelíteni f (x)-et. Pl. ha sin x-et polinommal közelítjük, akkor tetsz®leges értéke közelít®leg kiszámítható (míg a pontos érték nem), a számológép is ezt teszi. A megfelel® közelítések az ún. Taylor-polinomok (ld. el®adás):
Tn (x) :=
n P f (k) (a) k!
k=0
(x − a)k = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f
00 (a)
2
(x − a)2 + ... + f
(n) (a)
n!
(x − a)n .
Megj.: Tn (a) = f (a), Tn0 (a) = f 0 (a), . . . , Tn(n) (a) = f (n) (a). Tehát az a pontban egyre jobban simul f -hez, ha n-et növeljük. Példák az a = 0 pontban: (a) ex esetén T1 (x) = 1 + x,
T2 (x) = 1 + x +
x2 2!
(rajzzal),
n
2
. . . , Tn (x) = 1 + x + x2! + . . . + xn! . √ (b) f (x) := 1 + x esetén f 0 (x) = 12 (1+x)−1/2 , f 00 (x) = − 41 (1+x)−3/2 , így f (0) = 1, 2 f 0 (0) = 21 és f 00 (0) = − 41 . Ebb®l T2 (x) = 1 + x2 − x8 . II. Hatványsorok, Taylor-sor. 1. Hatványsorok konvergenciája. 1. példa:
tekintsük a
∞ P n=0
xn = 1 + x + x2 + . . . formális sort, ahol x ∈ R. Ekkor
hatványfüggvényeket adunk össze, ezért ezt a sort hatványsornak hívhatjuk. Kérdés: mely x esetén konvergens? Tudjuk a választ (x helyett q -val láttuk): ha |x| < 1. (A sor összegét is tudjuk:
1 , 1−x
Általában: hatványsornak egy
ez most az összegfüggvény.) ∞ P n=0
cn xn sort hívunk, ahol a cn -ek adott számok.
Kérdés: mely x ∈ R esetén konvergens? 2. példa:
∞ P
(n+1) 3n xn . Ekkor an := (n+1) 3n xn mellett
n=0
|an+1 | |an |
=
(n+2)·3|x| (n+1)
→ 3|x|.
Tehát: ha 3|x| < 1, azaz ha |x| < 31 , akkor konvergens a sor. Ha |x| > 13 , akkor divergens. Ha |x| = 13 , akkor még nem tudjuk. Megj.:
ez általában is így van (lásd ea.):
(i) ∃R ∈ R+ (lehet R = +∞ is), hogy a sor konvergens, ha |x| < R, és (véges R esetén) divergens, ha |x| > R. (ii) Az x = ±R pontokban a sor lehet konv. és div. is. Mostantól a (−R, R) ún. nyílt konvergenciaintervallumot fogjuk keresni. A példában ez (− 31 , 31 ). 23
2. Taylor-sor. Itt találkozik a két fogalom (hatványsor, ill. Taylor-polinom): (i) A hatványsoroknál a sor adott, és azt néztük, mely x-re értelmezhet® összegfüggvény. Fordítva: adott függvény melyik hatványsor összege? (ii) Mit tesz a Taylor-polinom, ha n → ∞? ∞ (k) P f (a)
Mindkett®re a válasz: a Taylor-sor,
k!
k=0
(x − a)k .
Taylor-sorba fejtés: (a szummákat néhány els® taggal is szemléltessük) (a) Ismert sorok:
∀x ∈ R esetén ex =
ha |x| < 1, akkor ∞ n P x , n!
x e2x =
=
∞ P
xn ;
n=0 2n
x , (−1)n (2n)!
sin x =
n=0
n=0
(b) Szorzás, hatvány: ha x ∈ R:
cos x =
∞ P
1 1−x
∞ P
2n+1
x . (−1)n (2n+1)!
n=0
pl. ∞ n n+1 P 2 x ,
n=0
ha |x| < 1:
n!
1 1+x
=
∞ P
(−1)n xn .
n=0
Megj.: egy függvény Taylor-sorát gyakran nem tudjuk felírni, mert a szükséges f (n) (x) képletek elbonyolódnak. Adott n-re viszont a Taylor-polinom mindig felírható, mint közelítés, és ez bármilyen pontos lehet, ha n elég nagy. Házi feladatok. 1. Írjuk fel az alábbi függvények adott Taylor-polinomjait az a = 0 pont körül: (a) f (x) := e−2x esetén T2 (x), (c) f (x) := ch x esetén T4 (x),
(b) f (x) := sin x esetén T3 (x), √ (c) f (x) := 4 − x esetén T2 (x).
2. Adjuk meg az alábbi hatványsorok nyílt konvergenciaintervallumát. ∞ P n=0
4n xn ,
∞ 2n P x , 4n
n=0
∞ P
(−1)n
n=0
xn , n(n+1)
∞ n n P 2 x .
n=0
n!
3. Fejtsük Taylor-sorba a 0 pont körül: Ha x ∈ R:
f (x) := e−x ,
ha |x| < 1:
f (x) :=
f (x) := x2 sin x,
1 . 1−x2
24
