1 Jenő. É-matek. É-matek:

É-matek

1

Huszk@ Jenő

Módszertani segédlet csak középiskolás diákoknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai ismeretek kapcsolatait? Hogyan haladjunk lépésről lépésre a teljes megoldás felé?

1.

É-matek

Ebben a sorozatban ötletek és eljárások sokasága szerepel, amelyek nem biztos, hogy a legjobbak, de hasznosak!

Van egyáltalán legjobb ötlet? Akinek nincs egyetlen ötlete sem, annak biztosan segít ez a sorozat az önálló ötlethez vezető út megtalálásában! Akinek van, az bővítheti ötlettárát! Minél több ötletünk van egy-egy probléma megoldására, annál kreatívabbak lehetünk munkánk során!

É-matek:

Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek!

Példa (1) I. Egy iskolában 36 tanuló írt 3 feladatból álló dolgozatot. Húszan oldották meg jól az 1. és 3. feladatot, nyolcan a 2. és 3. feladatot. Csak az elsőt, illetve csak a másodikat 2-2 tanuló. Az 1. vagy a 2. feladatot viszont 29-en oldották meg jól. A harmadik feladat megoldása szintén 29 tanulónak lett jó. Hibátlan dolgozat három volt. a) Hányan oldottak meg pontosan két feladatot? b) Hozzájuk képest többen vagy kevesebben voltak, akik csak egy feladatot oldottak meg jól? c) Hány olyan tanuló van, akinek egyetlen megoldása sem jó? II. Ennek az iskolának az egyik fakultációs csoportjából négyen utazhatnak el jutalom-kirándulásra. Az egyik tanuló kiszámította, hogy a négy főt 495 féleképpen lehet kiválasztani. a) Hány tanulója van a fakultációs csoportnak? b) Hárman önként lemondanak a jutalom-kirándulásról közös barátjuk javára, ha ő mindenképpen utazhat. Ezt az csoport elfogadta. Így hányféleképpen lehet kiválasztani a jutalom-kirándulás résztvevőit? Ha egy feladatnak számodra hosszú a „szövege”, akkor részekre bontás nélkül nem érdemes a megoldást elkezdeni. Többnyire az első kérdés utáni részeket célszerű letakarni, vagy elrejteni a szemünk elöl, hogy ne zavarja a „munka” alá vont rész „felfogását, feldolgozását, elemzését stb.”

Részekre bontás Az első részből, az első olvasás után biztosan megmaradt címszavak: 36 tanuló, dolgozat, három feladat, ezek közül oldottak meg a tanulók bizonyos számút. Vannak olyanok is, akik hibátlanul dolgoztak. Ha újból visszatérünk a szövegre, akkor észrevesszük, hogy a tanulók úgy vannak „csoportosítva”, hogy hány feladatot oldottak meg a háromból: 1. ÉS 3.; 2. ÉS 3.; CSAK az 1.; CSAK a 2.;1. VAGY 2.; a 3.feladatot; hibátlan, ami azt jelenti, hogy mind a hármat: 1. ÉS 2. ÉS 3.

Kapcsolatteremtés Az ÉS, VAGY kötőszavak segítenek bennünket abban, hogy a halmazokkal kapcsolatos ismereteinket (metszet, unió) szedjük össze és pl. halmazábrákon szemléltessük a megadott adatokat. Legyen pl.: az 1. feladatot megoldó tanulók halmaza: {A}; a 2. feladatot megoldó tanulók halmaza: {B}; a 3. feladatot megoldó tanulók halmaza: {C}. Itt még nem a tanulók számáról van szó! Mivel vannak olyan tanulók, akik mind a három feladatot megoldották, ezért a három halmaznak van közös része is.

Módszertani segédlet, csak középiskolás diákoknak: halmazok, kombinatorika, valószínűség-számítás

É-matek

2

Huszk@ Jenő

Az adatok szemléletessé tétele Ezt a vázlatos halmazábrát célszerű először elkészíteni pl. a következők szerint:

{B}( 2.)

{A}(1.)

{C}( 3.)

A tan ulók száma : 36 Ha elkészült a vázlatos halmazábra, akkor a feladat szövege alapján a halmazábra megfelelő síktartományaihoz hozzárendelhetjük a számokat. (A halmazok abszolút értékét.)

Beazonosítás a halmazműveletekkel A feladat szövege szerint haladva, pl.: Húszan oldották meg jól az 1. és 3. feladatot: | A ∩ C |= 20 Nyolcan a 2. és 3. feladatot: | B ∩ C |= 8 Csak az elsőt, illetve csak a másodikat 2-2 tanuló. Az 1. vagy a 2. feladatot viszont 29-en oldották meg jól: | A ∪ B |= 29 A harmadik feladat megoldása szintén 29 tanulónak lett jó. | C | = 29 Hibátlan dolgozat három volt. | A ∩ B ∩ C |= 3 Fontos azt észrevenni, hogy ez a három fő már szerepel a megfelelő két-két halmaz metszetében is! Kezdjük ennek a számnak (3) a beírásával! Összefüggések megalkotása

V

{A}(1.)

2

T

{B} (2.)

2

S 3

P

Q

A tan ulók száma : 36

8− 3= 5

R {C}(3.)

20 − 3 = 17

29 − (3 + 17 + 5) = 4

Mivel | A ∪ B |= 29 ezért, | A ∪ B ∪ C |= 29 + 4 = 33 A kérdésekre adandó válaszok megfogalmazása Ennyien (33 fő) oldottak meg legalább egy feladatot! Módszertani segédlet, csak középiskolás diákoknak: halmazok, kombinatorika, valószínűség-számítás

É-matek

3

Huszk@ Jenő

Ezért a c) kérdésre könnyen válaszolhatunk elsőre: 36 – 33 = 3 tanuló van, akinek egyetlen megoldása sem jó.

a) Az ábráról jól leolvasható, hogy a pontosan két feladatot megoldók száma: 17 +5 = 22 fő. b) Az egyetlen feladatot megoldók száma: 2 +2 + 4 = 8 < 22 Ha ismerjük és alkalmazzuk a logikai szita elvét három halmazra, akkor a kigyűjtött adatok egyszerű behelyettesítésével is megoldhatjuk a feladatot! Kiszámolhatjuk, hogy hányan oldottak meg legalább egy feladatot a háromból.

| A ∪ B ∪ C |= | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Az előző adatok között nem szerepel: |A| = 2 + | A ∩ C | = 22; |B| = 2 + | B ∩ C | = 10 Behelyettesítve: | A ∪ B ∪ C |= 22 + 10 + 29 − 3 − 20 − 8 + 3 = 33 Ezek után a kérdések megválaszolása az előzőhöz hasonló módon történhet. A feladatok egy része úgy van megszerkesztve hogy a részek eredményei (megoldásai) között nincs különösebb kapcsolat, az előző eredményeit nem kell felhasználni. Itt most egy ilyen példa szerepel! A feladat először történő olvasásakor ezt jó észrevenni, mert ilyenkor egymástól függetlenül is megoldhatók a részletek.

Bontsuk most ki ezt a részletet is! Kapcsolatteremtés, beazonosítás ….négy főt 495 féleképpen lehet kiválasztani. a) Hány tanulója van a fakultációs csoportnak? A csoport létszáma természetesen egy véges halmaz elemszáma. Ebből lehet kiválasztani négy fős csoportot 495 féleképpen. A feladat értelméből következik, hogy a 4 fős csoporton belüli megkülönböztetésnek, sorrendnek nincs szerepe. A kiválasztással és a sorba-rendezési problémákkal a kombinatorika (permutáció, variáció, kombináció) foglalkozik. Ennek tartalmát végiggondolva könnyen megállapítható, hogy valahány elem (pl. „n”) ismétlés nélküli kombinációinak a száma 495. Összefüggések magalkotása, numerikus műveletek elvégzése Az ismert képletet alkalmazva:  n  = 495;  4   n(n − 1)(n −

 n n! n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3)   = = 24  4  4!⋅ (n − 4)! 2)(n − 3) = 11880

Az utóbbi egyenlet csak ügyeskedéssel oldható meg. Egy ilyen lehetőség, ha észrevesszük a következő összefüggéseket: n(n − 3) = n 2 − 3n; (n − 1)(n − 2) = n 2 − 3n + 2 ha n(n − 3) = a akkor (n − 1)(n − 2) = a + 2 igy az egyenlet : a( a + 2) = 11880 ⇒ a = 108 Visszahelyettesítve : n(n − 3) = 108 ⇒ n = 12


É-matek

4

Huszk@ Jenő

A kérdésekre adandó válaszok megadása Ez azt jelenti, hogy a fakultációs csoport létszáma 12 fő. (Ez volt az a) kérdés!) ….b) Hárman önként lemondanak a jutalom-kirándulásról közös barátjuk javára, ha ő mindenképpen utazhat. Ezt az csoport elfogadta. Így hányféleképpen lehet kiválasztani a jutalom-kirándulás résztvevőit?

Ha a 12 -ből 3 fő lemond, akkor 9 fő marad. Ezek között van az az egy fő, akinek a javára lemondottak, aki biztosan utazik. Ez azt jelenti, hogy neki kell 3 társat választani az őt nélkülöző 8 fős csoportból. 8 Kombinációs alapfeladat:   = 56  3   Így a kirándulás résztvevőit 56 féleképpen lehet kiválasztani.


É-matek

5

Huszk@ Jenő

Példa (2) Egy autókereskedés parkolójában 1–25-ig számozott hely van. Minden beérkező autó véletlenszerűen kap parkolóhelyszámot. a) Az üres parkolóba elsőként beparkoló autó vezetőjének szerencseszáma a 7. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kapott parkolóhelyszámnak van hetes számjegye, vagy a szám hétnek többszöröse? Május 10-én az üres parkolóba 25 kocsi érkezik: 12 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, 2 piros háromajtós és 7 zöld háromajtós. b) Az üres parkolóba már beálltak a négy és ötajtós autók. Hányféleképpen állhatnak be az üresen maradt helyekre a háromajtósak? (Az azonos színű autókat nem különböztetjük meg egymástól.) A május 10-re előjegyzett 25 vevő az autó színére is megfogalmazta előzetesen a kívánságait. Négyen zöld kocsit rendeltek, háromnak a piros szín kivételével mindegyik megfelel, öten akarnak piros vagy ezüst kocsit, tízen zöldet vagy pirosat. Három vevőnek mindegy, milyen színű kocsit vesz. c) Színek szempontjából kielégíthető-e a május 10-re előjegyzett 25 vevő igénye az aznap reggel érkezett autókkal? A feladat végigolvasása után fontos azt észrevenni, hogy itt az előző részek kapcsolatban vannak a következőkkel! Ugyan arról a parkolóról, autókereskedőről és autókról van szó, színre és az ajtók számára vonatkozóan is. A feladat szövegezése önmagában tagolt, ezeket a részeket kell megtartani.

Részenként keressük a kapcsolatokat:

a) …..véletlenszerűen kap parkolóhelyszámot. Ez azt jelenti, hogy nincs előre meghatározva, hogy milyen számú helyre állhat. Természetesen két autó nem kaphatja ugyanazt a számot! …..üres parkolóba elsőként beparkoló autó vezetőjének szerencseszáma a 7. Ebből az következik, hogy ő a 25 hely közül választhat, mert üres parkolóba érkezik. ….a kapott parkolóhelyszámnak van hetes számjegye, vagy a szám hétnek többszöröse? Az 1-25 számok közül kell a feltételeknek megfelelő számokat, számjegyeket kiválogatni. Hetes számjegye van: 7; 17 számoknak. A hétnek többszörösei: 7; 14; 21. Ezek után a két halmaz metszetébe tartozó számok {7; 14; 17; 21} alkotják a vezető szerencseszámait. Beazonosítás a valószínűség-számítási fogalmakkal, összefüggések A kérdés megválaszolásához egy esemény valószínűségét kell meghatározni! Ehhez a valószínűségszámításnál tanultakat kell felidézni. Mivel ez a vezető a 25 hely közül bármelyiket választhatná, így az eseménytérnek 25 eleme van. Az a megszorítás, hogy a szerencseszáma a 7, azt eredményezi, hogy a {7; 14; 17; 21}, összesen 4 elemi esemény „kedvező” számára. Az ismert képlet alapján az a) kérdésre adandó válasz: k 4 P ( A) = = = 0,16 n 25


É-matek

b)

6

Huszk@ Jenő

Kapcsolatkeresés

…. üres parkolóba 25 kocsi érkezik. Ha beállnak az autók, minden parkolóhelyet elfoglalnak. …üres parkolóba már beálltak a négy és ötajtós autók. A feladat adatai alapján:12 ezüstszínű ötajtós,

4 piros négyajtós, összesen 16 autó. A fennmaradó helyek száma: 25-16 = 9. Ezekre a helyekre kell beállni a 2 piros háromajtós és 7 zöld háromajtós autónak, az-az ennyi helyet kell kiválasztani a 9 közül. ….(Az azonos színű autókat nem különböztetjük meg egymástól.). Ez azt jelenti, hogy a piros és a zöld színű autókon belül a „sorrend” nem számít. Beazonosítás, összefüggések megalkotása Ha összegezzük az elemzésnél feltárt összefüggéseket (kiválasztás, a sorrend nem számít), akkor könnyen beazonosítható, hogy kombinációs alapproblémát kell megoldani. Pontosabban 9 elem hetedosztályú, vagy 9 elem másodosztályú kombinációinak a számát kell meghatározni. Az ismert képlet alapján:  9 9! 9! 72   = = = = 36 vagy  7  7!⋅ (9 − 7)! 7!⋅ 2! 2  9 9!   = = 36  2  2!⋅ 7! A feltételek miatt bármelyik színű autók állnak be „először” a parkolóba, az utána beálló autóknak már nincs választási lehetőségük, mert pont annyi az autó, ahány a parkolóhely (azonos színűek között nem teszünk különbséget).

Ezek után megadhatjuk a választ a kérdésre: b) a háromajtós autók 36 féleképpen állhatnak be a fennmaradó helyekre.

c)

Kapcsolatkeresés Nagyon lényeges annak meglátása, hogy ugyanarról a 25 autóról van szó, mint amelyik a b) részben szerepel!

Tehát:..,12 ezüstszínű ötajtós, 4 piros négyajtós, 2 piros háromajtós és 7 zöld háromajtós. …, c) Színek szempontjából kielégíthető-e a május 10-re előjegyzett 25 vevő igénye az aznap reggel érkezett autókkal? Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy olyan színű autót vesz át a vevő, amilyen a megrendelésben szerepel. …,Négyen zöld kocsit rendeltek, háromnak a piros szín kivételével mindegyik megfelel, öten akarnak piros vagy ezüst kocsit, tízen zöldet vagy pirosat. Három vevőnek mindegy, milyen színű kocsit vesz. Ha a számadatokat megvizsgáljuk, akkor az azonnal megállapítható, hogy annyi autó van, ahányat megrendeltek. Kérdés most az, hogy mindenkinek a színnel kapcsolatos igényét is ki tudják-e elégíteni. Engedjük szabadjára fantáziánkat, kreativitásunkat mert sablont itt nem találunk! Lehet pl. az alábbiak szerint gondolkodni, összefüggéseket konstruálni „kizárásos” alapon.


É-matek

7

Huszk@ Jenő

Ha például 8-an csak piros színű autót hajlandók átvenni, akkor nagyon egyszerű a válaszunk, hogy ezt nem tudják teljesíteni, mert összesen csak 6 piros színű autó van készleten. Itt azonban ilyen nem szerepel a megrendelésekben! A zöld színű kocsiknál szerepel egyedül, hogy 4-en csak ezt a színt jelölték meg. Ezen a „színen” lenne célszerű elindulni! A készletben zöld vagy piros autó összesen 13 darab van. Ebből ha teljesítik a 4 vevő igényét, akkor már csak 9 darab „zöld vagy piros” lehetőség marad (pontosan:3 zöld és 6 piros), az igény viszont 10 darab „zöld vagy piros”, az-az a 6 piros autó mellé 4 zöld színű kellene, melyből viszont csak 3 darab van. Ezért a zöld színű autókra vonatkozó igény biztosan nem elégíthető ki.


É-matek

8

Huszk@ Jenő

Példa (3) Számországban 40% a valószínűsége annak, hogy valaki szemüveges. Számország lakosságának 50%-a, egyáltalán nem fogyaszt gyümölcsöt.

a)Legfeljebb a lakosság hány százaléka ehet szemüvegben almát? b) A lakosság legalább hány százaléka ehet szemüveg nélkül gyümölcsöt? c) Ha kiderülne, hogy a szemüvegesek 12, 5%-a nem eszik gyümölcsöt, akkor a gyümölcsfogyasztók hány százalékáról állíthatnánk, hogy szemüveges! Részenként keressük a kapcsolatokat Először a feladat adatait, feltételeit értelmezzük, elemezzük Ezt követően keressük a kérdésekre a választ. Addig nincs értelme a kérdések megválaszolásával foglalkozni, mert csak összezavarhatja gondolatainkat!

…,40% a valószínűsége annak, hogy valaki szemüveges. Ez azt jelenti pl. hogy 100 emberből 40 szemüveges, 60 ember nem szemüveges. Ezzel azonos állítás, hogy 60% nem szemüveges. A százalékról áttérve 0,4 és 0,6 valószínűségekről beszélünk.(Esemény és komplementerének a valószínűsége) …, 50%-a, egyáltalán nem fogyaszt gyümölcsöt. Ezzel azonos állítás, hogy 50% fogyaszt gyümölcsöt.

a)Legfeljebb a lakosság hány százaléka ehet szemüvegben almát? A legfeljebb pl. 30% azt jelenti, hogy 30%, vagy ennél kevesebb. A kérdésre adandó válaszban minkét tulajdonságnak teljesülnie kell: szemüveges és almát eszik. A „legfeljebb” kitétel megengedi, hogy feltételezzük, mindenki, aki szemüveges almát eszik. Mivel 40% -a szemüveges, így előfordulhat, hogy a lakosság 40%-a, eszik szemüvegben almát.

b) …, A lakosság legalább hány százaléka ehet szemüveg nélkül gyümölcsöt? A legalább pl. 20% azt jelenti, hogy 20%, vagy ennél több.(A kérdés nem teljesen egyértelmű, mert ha valaki szemüveges, nem feltétlenül szemüveget viselve fogyaszt gyümölcsöt, de ettől most tekintsünk el.)

Mivel 50% fogyaszt gyümölcsöt és csak 40% a szemüveges akikről feltételezzük hogy eszik gyümölcsöt, akkor is legalább 50%-40% = 10% olyan ember van, aki nem szemüveges és ehet gyümölcsöt.


É-matek

9

Huszk@ Jenő

c) …,a szemüvegesek 12, 5%-a nem eszik gyümölcsöt. Szemüveges 40%, ennek a 12, 5%-a 0,4×0,125 = 0,05, az-az 5%-nak megfelelő érték. Ez azt jelenti, hogy ennyi szemüveges nem eszik gyümölcsöt. Természetesen azt is jelenti, hogy 40% – 5%= 35% szemüveges és eszik gyümölcsöt. ….gyümölcsfogyasztók hány százalékáról állíthatnánk, hogy szemüveges.

A gyümölcsfogyasztók a lakosság 50%-a, ebből 35% szemüveges, és eszik gyümölcsöt.


É-matek

10

Huszk@ Jenő

Példa (4) Egy urnában csak piros, zöld és kék golyók vannak. A piros golyók száma 18. Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót (azaz zöldet 1 − del kisebb, mint azé, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. 15 11 − szer nagyobb, Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk 10

vagy kéket) húzunk

mint annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. Hány zöld és hány kék golyó van az urnában? A megoldandó „probléma” meghatározása, beazonosítása Nevezhetjük ezt a feladatot egy „fordított” feladatnak is. Bizonyos eseményekhez köthető valószínűségek értékei vannak megadva, ezekből kell „visszafelé okoskodva” az elemi események számát (zöld golyók száma; kék golyók száma) meghatározni. Mivel értékek közötti összefüggések az ismertek, ezért a kérdésre adandó válaszhoz ezeket az összefüggéseket kell értelmezni „kibontani, a modellt megalkotni” a valószínűség-számításnál tanultak felhasználásával.

A feladat feltételeinek jelentése, azonosítása …,Egy urnában csak piros, zöld és kék golyók vannak. A piros golyók száma 18. Ha tudnánk, hogy pl. hány kék golyó van és összesen hány golyó van az urnában, akkor a zöld golyók számát egyszerű lenne megmondani. Mivel ilyen adatunk nincs, ezért két változó bevezetése szükséges: a zöld golyók száma legyen „z”, a kék golyók száma legyen „k”. Így az első megállapításunk az, hogy az urnában lévő golyók száma: 18 + z + k, ahol „z” és „k” pozitív egész számok. Részenként alkossuk meg az összefüggések adatokkal kifejezett modelljét …,Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót húzunk.., Ez értelemszerűen azt jelenti, hogy zöldet, vagy kéket húzunk a 18 + z + k számú golyó közül. A valószínűség-számításnál megismert kombinatorikus összefüggést alkalmazva: P ( A) =

kedvező z+ k = összes 18 + z + k

…, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A zöld

P( B) =

vagy a piros is „kedvező” húzás 18 + z + k golyó közül.

kedvező z + 18 = összes 18 + z + k


É-matek

11

Huszk@ Jenő

…, Egy golyó kihúzása esetén annak a valószínűsége, hogy nem piros golyót (azaz zöldet vagy kéket) húzunk 1 − del 15

kisebb, mint azé, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A feladat

egyértelműen megadja, hogy

1 = P ( B ) Ezzel a feladat harmadik mondatában szereplő 15 összefüggéshez megalkottuk a problémát megoldó modell első egyenletét. P(A) < P(B). Az-az P ( A) +

A negyedik mondat összefüggéseiből megalkotott egyenlet …, Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk.., Természetesen itt is a 18 + k + z számú golyó közül k + 18 P (C ) = 18 + k + z z + 18 …,annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk P ( D) = 18 + k + z

…,Annak a valószínűsége viszont, hogy kék vagy piros golyót húzunk

11 − szer 10

nagyobb,

mint annak a valószínűsége, hogy zöld vagy piros golyót húzunk. A megadott összefüggés

alapján

P(D) < P(C), az-az P (C ) =

11 ⋅ P( D) 10

Rendszerezzük az egyenleteket A megoldás modelljét – a két egyenletből álló egyenletrendszert- ezek után a következőkben foglalhatjuk egységbe: P ( A) +

1 = P( B) 15

P (C ) =

P ( A) =

kedvező z+ k = összes 18 + z + k

P (C ) =

k + 18 18 + k + z

P( D) =

11 ⋅ P( D) 10

P ( B) =

z + 18 18 + k + z

kedvező z + 18 = összes 18 + z + k

2.)

1.)

z+ k 1 z + 18 + = 18 + z + k 15 18 + z + k

k + 18 11 z + 18 1,1( z + 18) = ⋅ = 18 + k + z 10 18 + k + z 18 + k + z


É-matek

12

Huszk@ Jenő

Egyenletmegoldás, numerikus műveletek Az 1.) és 2.) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásához először törtmentes alakra hozzuk az egyenleteket: 1.) 16k + z = 252 2.) k + 18 = 1,1 (z + 18) Ezek megoldásából kapjuk, hogy z = 12 és k = 15. Válasz a feladat kérdéseire A feladat szövege alapján a zöld golyók száma 12, a kék golyók száma 15. Összesen 12 + 15 + 18 = 45 golyó van az urnában. Az eredmények ellenőrzése A megoldást ellenőrizhetjük is az adatok eredeti szövegbe történő visszahelyettesítésével!

P ( A) =

z+ k 27 P ( B) = z + 18 = 30 = 18 + z + k 45 18 + z + k 45

P (C ) =

k + 18 33 = 18 + k + z 45

P( D) =

z + 18 30 = 18 + k + z 45

P ( B ) − P( A) =

30 27 3 1 − = = 45 45 45 15

P(C ) 33 45 33 11 = ⋅ = = P ( D) 45 30 30 10


É-matek

13

Huszk@ Jenő

Példa (5) Az alábbi négyzetrács labirintus két átellenes pontjában, a kijáratoknál, egy egér illetve egy macska van. Mindketten adott jelre, ugyanakkora sebességgel, elindulnak a szemközti kijárat felé úgy, hogy minden „lépésben” közeledjenek a céljukhoz. Egymást nem látják, útválasztásuk az elágazásokban véletlenszerű.(Ez azt jelenti, hogy amikor az elágazáshoz érnek, a lehetséges két irány közül egyenlő valószínűséggel választanak.) a) Hányféle úton juthat el az egér a P pontba? b) Hányféle úton juthat el a macska a Q pontba? c) Ha a macska nem állná útját, akkor hányféle úton juthatna el az egér a szemközti kijárathoz? d) Hányféle úton találkozhat az egér és a macska? e) Mekkora valószínűséggel találkoznak?

A feladat feltételeinek jelentése, azonosítása Először a feltételeket értelmezzük nagyon figyelmesen, mert ez meghatározóan fontos! …. a kijáratoknál. Ez azt jelenti,

hogy itt lehet belépni a labirintusba, illetve kilépni a labirintusból, más rácspontoknál nem. Ezek egymással szemközti „kijáratok”. …, minden lépésben közeledjenek a céljukhoz. Ez nagyon lényeges, hiszen ez szab határt annak, hogy nem lehet „cikázva” haladni, hanem mindig közeledni kell a cél felé. Más szóval: ha pl. a P pontot akarja az egér megközelíteni és balra indul el, akkor a következő lehetőségnél már nem mehet jobbra, mert valamikor ismét balra kell vennie az útirányt stb., ami feleslegesen megtett út, nem szolgálta a cél felé való közeledést.


É-matek

14

Huszk@ Jenő

a) Hányféle úton juthat el az egér a P pontba?

Összesen min dig 3 " lépés" felfelé

Kapcsolatkeresés Az ábra alapján azt kell megfigyelni, hogy összesen hány úton jut el az egér a megadott ponthoz. Az biztos, hogy ha pl. „balra” indul, akkor az első elágazásnál felfelé kell haladnia 3-t. Ebből már jól látható, hogy ha egy elágazás egy „lépés”, akkor összesen 4 lépés után jut el az egér a P pontba. Ezt a 4 „lépést” annyiféleképpen tudja megtenni, ahányféleképpen a „balra” lépést megteheti a négy lépés közül. Beazonosítás Ezek után gondolkodhatunk úgy, hogy a feladat kiválasztással kapcsolatos, a sorrend nem számít, ismételni az „utat” nem lehet. Az-az a 4 elem elsőosztályú, ismétlés nélküli kombinációinak a száma megadja, hogy az egér hányféle úton juthat el a P pontba. Az ismert összefüggést alkalmazva:  n  4 Cnk =   C41 =   = 4  k  1 Válasz a feladat kérdésére Ezek után a válasz a kérdésre: az adott feltételek mellett az egér 4 -féle úton juthat el a P pontba. Kereshetünk más utat is Természetesen lehet más módon is számolni! A négy „lépést” egy halmazba sorolva, egy olyan halmazt kapunk, amelynek elemei: {balra, fel, fel, fel}. Annyi út létezik, ahány sorrendje van ennek a 4 elemnek. Így már permutációs alapprobléma, pontosabban az ismétléses permutációk számát kell az ismert képlettel meghatározni. 4! P43;1 = = 4 3!⋅ 1! Ilyen „típusú” feladatoknál a Pascal-háromszög is jól alkalmazható, de gondolom a bemutatott két lehetőség mindenki számára követhető és érthető!


É-matek

15

Huszk@ Jenő

b) Hányféle úton juthat el a macska a Q pontba?

Ha az első kérdést ilyen részletességgel kielemeztük, akkor ennek a kérdésnek a megválaszolása már nem okoz különösebb nehézséget.

összesen 2 lefelé

összesen 2 jobbra Kapcsolatkeresés az előző megoldással Itt is 4 „lépésről” van szó! Ezek közül 2 mindig jobbra, 2 mindig lefelé történik, természetesen nem mindig ilyen sorrendben. Az-az itt is 4 elemből kell kettes csoportot kiválasztani, úgy, hogy a csoporton belüli sorrend nem számít. Ismét kombinációs alapfeladatra vezettük vissza:  4 4! C42 =   = = 6  2  2!⋅ 2! Ezek után a válasz a kérdésre: az adott feltételek mellett a macska 6 -féle úton juthat el a Q pontba. Ha más megközelítést veszünk, akkor annyi úton közelítheti meg a macska a Q pontot, ahány sorrendje van a {jobbra, jobbra, lefelé, lefelé} halmaznak. Az ismétléses permutációk számát felhasználva: 4! P42; 2 = = 6 2!⋅ 2!


É-matek

16

Huszk@ Jenő

c) Ha a macska nem állná útját, akkor hányféle úton juthatna el az egér a szemközti kijárathoz? összesen 4 balra

összesen 4 felfelé

A feltételek jelentése, értelmezése A szemközti kijárat természetesen csak az lehet, ahol eredetileg a macska van. Az egérnek, ahhoz hogy ide eljusson összesen 4 „lépést” kell tennie felfelé és ugyanennyit balra is. Az-az összesen 8 „lépést” az eredetileg megadott feltételek mellett. Kapcsolatkeresés az előző megoldással A kérdés már ismerős, hiszen ismét arra kell válaszolni, hogy a 8 „lépésből” pl. a 4 „balra lépést” hányféleképpen lehet kiválasztani, hiszen minden kiválasztás egy-egy utat jelent. Természetesen itt a „balra” lépéseken belül a sorrend nem számít. Alapfeladat: a kombinációk számát kell meghatározni!  8 8! C84 =   = = 70  4  4!⋅ 4!

Ezek után a válasz a kérdésre: az adott feltételek mellett az egér 70 -féle úton juthat el a vele szemközti kijárathoz. Ha más megközelítést veszünk, akkor annyi úton közelítheti meg az egér a vele szemközti kijáratot, ahány sorrendje van a {balra, balra, balra, balra, felfelé, felfelé, felfelé, felfelé} halmaznak. Az ismétléses permutációk számát felhasználva: P84; 4 =

8! = 70 4!⋅ 4!


É-matek

17

Huszk@ Jenő

d) Hányféle úton találkozhat az egér és a macska?

S

R

A

T

A feltételek jelentése, értelmezése Mivel a feladat szövege szerint egyenletes sebességgel haladnak, ez azt jelenti, hogy egy-egy „lépést” ugyanannyi idő alatt tesznek meg. Természetesen azt is jelenti, hogy ugyanannyi lépét ugyanannyi idő alatt tesznek meg. Pl. ha a P pontba való eljutást vizsgáljuk akkor az egér útvonala lehet „3 felfelé és egy balra”. A macska eljutása ugyanebbe a pontba a következő útvonal lehet: „3 jobbra és egy lefelé”. Mindketten 4 – 4 „lépést” tettek meg. Mivel azonos a sebességük, ezért ez egy találkozási pont lehet. Ha pl. az „A” pontot vizsgáljuk, akkor látható, hogy az egér 3 „lépésben”, a macska 5 lépésben tud oda eljutni. Mivel azonos a sebességük, így az ilyen tulajdonságú pontokban biztosan nem találkoznak. Kapcsolatkeresés Ezek után nem nehéz észrevenni, hogy csak a P és Q pontokat tartalmazó átlóra eső rácspontokban találkozhatnak, mivel mindketten azonos számú „lépéssel” juthatnak el ezekbe a pontokba. Az is igaz, hogy ugyanannyi út vezet ezekbe a pontokba ha a macska, vagy az egér szempontjából vizsgáljuk az utak számát. Az ábráról is jó leolvasható az egyes pontokba vezető utak száma, mivel a két pontba (P és Q) vezető utak számát az előzőekben meghatároztuk és Q a szimmetriaközéppontja ennek a „labirintusnak: S: 1; P: 4; Q: 6; R: 4; T: 1. (A Pascal-háromszög negyedik sorának számai, binomiális együtthatók értékei!)

A kérdés az, hogy hányféle úton találkozhatnak. Vegyük például a P pontot, és nézzük meg hányféle út megtételekor találkozhatnak. Az egér bármelyik utat választja a 4 közül, a macska az egér mindegyik választása esetén 4 különböző úton juthat el a P pontba. Ez azt jelenti, hogy 4×4 = 16 -féle úton találkozhatnak Így összesen: 12 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 12 = 70 -féle úton találkozhatnak.


É-matek

18

Huszk@ Jenő

e) Mekkora valószínűséggel találkoznak? Lényegében az előző adatok felhasználásával egyszerűen tudunk a kérdésre válaszolni. A macska és az egér is egyenként 70-féleképpen juthat ki a labirintusból. Ez azt jelenti, hogy összesen 70 × 70 lehetőséggel kell számolnunk (összes elemi esemény). Ebből éppen hetvenszer találkoznak (kedvező elemi esemény). Az ismert kombinatorikus összefüggést felhasználva a keresett valószínűség: P ( A) =

k 70 1 = = ≈ 0,0143 2 n 70 70


É-matek

19

Huszk@ Jenő

Példa (6) A 12.-es matematika-fakultáción 18-an tanulnak. Mindenki egy vagy két tantárgyat választott emelt szintű érettségire a matematika, a fizika és a történelem közül. 15-en választották a matematikát, 8an a fizikát, 7-en a történelmet. a) Hányan választottak pontosan két tantárgyat? b) A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre. A csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották? Először a feltételeket vegyük sorra és azonnal rájövünk, hogy a választott tantárgyak száma (matematika + fizika + történelem) lényegesen több, mint a tanulók száma. Az első 15 +8 + 7 = 30, a tanulók száma pedig 18.

A feltételek részekre bontása …. Mindenki egy vagy két tantárgyat választott..,

ebből kiderül, hogy három tantárgyat egyetlen tanuló sem választott, csak egy vagy két tantárgyat, de mindenki választott legalább egyet. Kapcsolatkeresés a) Hányan választottak pontosan két tantárgyat?

Ha mindenki csak egy tantárgyat választott volna, akkor az 18 tantárgy. Mivel 30 -18 = 12, így ennyi tanuló választott pontosan két tantárgyat.

a b

c

Egy másik megközelítése lehet a megoldásnak, ha az ábra jelöléseit használva a-val, b-vel és c-vel jelöljük azoknak a tanulóknak a számát, akik pontosan két tantárgyat választottak. Ekkor a csoport létszámát megkapjuk, ha a 30-ból levonjuk az a + b +c összegét. Az-az 30- (a +b +c)= 18. Ebből a + b + c = 12.


É-matek

20

Huszk@ Jenő

b) A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre. A csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották?

Modellezzük a feladat adatait a halmazábrán, mielőtt az összefüggéseket megfogalmazzuk!

a

b

0

c= 0

..A történelem és a fizika emelt szintű érettségit senki nem választotta egyszerre.

Ebből egyértelműen adódik,

hogy az ábra jelölése szerint a c = 0. Mivel történelmet választotta 7 fő, ebből történelmet és matematikát b fő, ezért a csak történelmet 7 – b fő választotta. …. A csak történelmet választók..,

Mivel a fizikát választotta 8 fő, ebből fizikát és matematikát a fő, ezért a csak fizikát választók száma 8 – a fő. …, csak a fizikát választották..,

….A csak történelmet választók kétszer annyian vannak, mint akik csak a fizikát választották.

Ebből egyértelműen

adódik, hogy 7 – b = 2(8 – a), az-az, 2a- b = 9. Másrészt az előző pont eredménye alapján a + b + c = 12, de itt a c = 0 miatt a + b = 12. Ebben az esetben hányan vannak, akik a matematika mellé a fizikát, illetve a történelmet választották?

Ennek az egyenletrendszernek a megoldásából adódik, hogy a = 7 és b = 5. Az-az 7 olyan tanuló van, aki a matematika mellé a fizikát választotta, és 5 olyan tanuló, aki a matematika mellé a történelmet.


1 Jenő. É-matek. É-matek:

Recommend Documents