Matek szóbeli érettségi tételek

Matek szóbeli érettségi tételek 1. Halmazok, halmazműveletek Halmazok, részhalmazok A halmazt alapfogalomnak tekintjük. Képezhetünk halmazt a kétjegyű pozitív számokból, személyekből stb. Ezeket a halmaz elemeinek nevezzük. Egy halmaz elemeinek a száma lehet véges, de halmaznak végtelen sok eleme is lehet. (például természetes számok halmaza). A halmazokat nagybetűvel jelöljük, a halmaz elemeit kapcsos zárójelbe tesszük. Azt, hogy a halmaz egy eleme a halmazhoz tartozik, az  jellel jelöljük. Beszélünk üres halmazról is. Az üres halmaznak egyetlen eleme sincs. Az üres halmaz jele:  Egy halmaz megadása az elemeinek egyértelmű meghatározását jelenti. Ha a halmaznak véges sok eleme van, akkor az ilyen halmazt megadhatjuk elemeinek a felsorolásával. Egy halmaz megadásánál olyan utasítást kell adnunk, amely alapján egyértelmű lesz, hogy valamely dolog eleme-e a halmaznak vagy nem eleme. Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemeivel azonosak. Más szóval: az M és N halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha a  M esetén a  N is teljesül, és ha b  M, akkor b  N is igaz. Definíció: Az A halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz minden eleme a H halmaznak is eleme. Jelölése: A  H A részhalmaz definíciója alapján minden halmaz saját magának is részhalmaza. Az üres halmaz részhalmaza minden halmaznak. Az n elemű halmaznak 2n darab részhalmaza van. Definíció: Az A halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A halmaz részhalmaza a H halmaznak, de nem egyenlő vele. Jelölése: AH Definíció: Az [a, b] zárt intervallumon azoknak az x valós számoknak a halmazát értjük, amelyekre a<=x<=b. Az ]a, b[ nyílt intervallumon azoknak az x valós számoknak a halmazát értjük, amelyekre a<x
1

Definíció: Az A és B halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaznak és nem elemei a B halmaznak. Az A és B halmaz különbségének jele: A\B Definíció: Az A és B halmaz szimmetrikus differenciáján értjük az (A\B)(B\A) halmazt. Jelölése: A Δ B (A delta B). Definíció: Egy H (nem üres) halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementer halmazának) nevezzük a H\A halmazt. Ennek jele: Ā Gyakorlati alkalmazás: halmazelmélet, számhalmazok.

2

2. Számhalmazok, halmazok számossága Számhalmazok A 0, 1, 2, 3… számokat természetes számoknak nevezzük. Jele: N Ha természetes számokkal összeadást, szorzást, végzünk, akkor az eredményünk is természetes szám lesz. A …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… számokat egész számoknak nevezzük. Jele: Z Ha egész számokkal összeadást, kivonást (összevonást) és szorzást végzünk, akkor az eredményünk is egész szám. Azokat a számokat, amelyek a/b alakúak, ha a és b egész számok (b0), racionális számoknak nevezzük. (Latin szó, jelentése: arány). Jele: Q A racionális számokat tizedes-tört formában is felírhatjuk, ami lehet véges, vagy szakaszos végtelen tizedes-tört, azaz periodikus tizedes-tört. Tétel: Minden racionális szám periodikus tizedes-tört alakban is felírható. Bizonyítás: Ha az a/b törtnél az osztás folyamán mindig lesz maradék, akkor a b-vel való osztásnál a maradék az 1,2, 3… b-1 számok valamelyike, tehát a maradék legfeljebb (b1)-féle lehet. Ezért előbb-utóbb ismétlődő maradékhoz jutunk és onnan kezdve az osztási eljárás folytán periodikus ismétlődés lesz. Emiatt a hányados számjegyeiben is periodikus ismétlődés mutatkozik. Ha olyan az osztás, hogy egyszer nem lesz maradék, azt úgy is tekinthetjük, hogy a maradék 0, és ezért a hányadosban periodikusan ismétlődik a 0. Az állítás fordítva is igaz: bármely periodikus tizedes-tört felírható két egész szám hányadosaként. A nem periodikus végtelen tizedes-törteket irracionális számoknak nevezzük. Jele: Q* A végtelen tizedes-törtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük. Jele: R A számhalmazok ábrázolása Venn-diagrammal történik. Fogalmak, állítások Két valós számunk van, a és b. Közülük a
3

változik. Az asszociatív tulajdonság: (a+b)+c = a+(b+c): több tag összeadásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk. A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: ab =ba: két tényező összeszorzásánál a két tényezőt felcserélhetjük, a szorzat nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (ab)c = a(bc): több tényező szorzásánál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk. A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív tulajdonságú: (a+b)c =ac+bc: ha a valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval, és a kapott szorzatokat összeadjuk.

4

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Nevezetes ponthalmazok A szakasz felezőmerőlegesének definíciója: A síkban egy szakasz felezőmerőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak. Egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban levő pontok halmaza a szakaszt felező és a szakaszra merőleges sík. Definíció: A körvonal az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságban lévő síkbeli pontok halmaza. Körvonal= {P | OP =r; O  S, P  S}. A körlap az S sík egy adott O pontjától megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő síkbeli pontok halmaza. Körlap = {P | OP<=r; O  S, P  S}. Definíció: A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel pontosan egy közös pontja van. Tétel: A kör érintője merőleges az érintési pontjához húzott sugárra. Bizonyítás: Indirekt módon. Tegyük fel, hogy az érintő-egyenes nem merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Ebben az esetben meg tudjuk húzni a kör középpontján átmenő, az érintőhöz húzott merőlegest, ami viszont azonos lesz a kör érintőjének érintkezési pontjával, vagyis a tételt bebizonyítottuk. Definíció: A gömbfelület egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok halmaza: gömbfelület = {P | OP = r}. A gömbtest egy adott O ponttól megadott r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza: gömbtest = {P | OP<=r}. Definíció: A gömb érintő-egyenese olyan egyenes, amelynek a gömbfelülettel pontosan egy közös pontja van. Definíció: A gömb érintősíkja olyan sík, amelynek a gömbfelülettel pontosan egy közös pontja van. Tétel: A gömb érintő-egyenese merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra. A gömbfelület egy pontjához végtelen sok érintő-egyenes húzható, ezek egy síkban vannak, és ez a sík a gömb érintősíkja. Tétel: A gömb érintősíkja merőleges az érintési ponthoz húzott gömbsugárra. Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban levő pontok halmaza a síkban az adott egyenessel párhuzamos két egyenes. Egy adott egyenestől adott, egyenlő távolságban lévő pontok halmaza egy körhengerpalást.

5

A síkban egy adott r sugarú körtől adott d távolságban levő pontok halmaza, ha, ha a) dr, akkor az adott körrel koncentrikus egyetlen kör, ennek sugara r+d. Tudjuk, hogy egymást érintő két kör középpontja és az érintési pontjuk egy egyenesre illeszkednek. Ekkor az érintési pontban közös egyenes az érintőjük. Két kör kívülről és belülről érintheti egymást. Ha az O1 középpontú r1 sugarú k1 kör és az O2 középpontú r2 sugarú k2 kör kívülről érintik egymást, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 = r1 + r2. Ha az előző két kör érintkezésénél az egyik belső kör, akkor középpontjaik távolsága: O1O2 = r1 – r2. Egy adott r sugarú kört kívülről érintő d sugarú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör. Egy adott r sugarú kört belülről érintő d (d
6

4. Hatványozás, hatványfüggvények Hatványozás definíciója: 1) Ha nN+, akkor an = aaaa…a aR n darab 2) Ha n=0, akkor an = 1 aR\{0} 3) Ha nN+, akkor a-n = 1/an = (1/a)n aR\{0} 4) Ha n\Q és n = p/q, akkor ap/q = qap qN+\{1} pZ aR+ 5) Ha nQ*, akkor an egy sorozat határértéke. A hatványozás azonosságai 1) aman = am+n 2) am/an = am-n a0 3) (am)n = amn 4) (ab)n = anbn 5) (a/b)n = an/bn b0 a, b, n, mR Számok normálalakja Ha a számokat 10 egész kitevőjű hatványa segítségével írjuk fel, akkor azt úgy tesszük, hogy a hatvány szorzója 1 és 10 közötti egész szám legyen. A számoknak az így felírt alakját normálalaknak nevezzük. Egy 0<x szám normálalakja x = N10k, ahol 1<=N<10 és kZ A 10 hatványkitevője az x szám nagyságrendjére jellemző. Ezt a k kitevőt a szám karakterisztikájának nevezzük. Hatványfüggvények A polinom-függvények közül az x2, x3… xn függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük. Képük folytonos vonal. A másodfokú függvények képét parabolának nevezzük. Az f: RR, f(x) = ax2+bx+c (a, b, c konstans, a0) függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük.

7

5. Gyökvonás, gyökfüggvény Az n-edik gyök fogalma Definíció: na az a valós szám, aminek n-edik hatványa a. Feltételek: nN+\{1} Ha n páros, akkor aR+{0} Ha n páratlan, akkor aR A gyökvonás azonosságai 1) nab = nanb 2) na/b = na/nb 3) nak = (na)k kR 4) nka = nka kN+\{1} nN+\{1} a,bR+ Gyökfüggvények Bármely n (nN+\{1}) gyökkitevő esetén az nx függvény mindenütt monoton növekvő, azaz ha x1<x2, akkor nx1
8

6. A logaritmus. Az exponenciális- és logaritmusfüggvény Az exponenciális függvények Definíció: Az f: R  R, f(x)= ax (0
9

egyenesre vonatkozóan egymás tükörképe. Ugyanis az x|ax függvény inverze az ax|x, azaz ax|alogax függvény. Ebből az x|logax függvényhez juthatunk. A logaritmus azonosságai  Szorzat logaritmusa: loga(bc) = logab+logac  Hányados logaritmusa: loga(b/c) = logab-logac  Hatvány logaritmusa: logabk = klogab Az e alapú logaritmus: természetes logaritmus (logaritmus naturalis): ln. Egy szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szám régi alapú logaritmusát elosztjuk az új alapú logaritmusával: logbk = logak/logab

10

7. Első- és Másodfokú függvények, egyenletek Elsőfokú függvények, lineáris függvények és a másodfokú függvények Az f: R  R, f(x) = ax+b (a, b konstans, a0) függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Ezeknek a függvényeknek a képe egyenes. Az f: RR, f(x) = ax2+bx+c (a, b, c konstans, a0) függvényeket másodfokú függvényeknek nevezzük. A másodfokú függvények képét parabolának nevezzük. Az egyenletek megoldási módjai  Grafikus módszer  Az alaphalmaz szerepe a megoldás keresésében  Az értékkészlet szerepe az egyenletek megoldásában  Megoldás keresése szorzattá alakítással  Ismeretlen kifejezése egyenletrendezéssel: mérlegelv. Ekvivalens átalakításokkal. Másodfokú egyenletek; megoldásuk, megoldó-képlet A D = b2-4ac diszkriminánstól függ, hogy az ax2+bx+c = 0 (a0) egyenletnek van-e valós gyöke. Ha D <0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke. Ha D> 0, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van. Ha D=0, akkor az egyenletnek két valós gyöke egyenlő (a megoldásnak egyetlen eleme van). A másodfokú egyenlet megoldó-képlete: x1,2 = -b+-b2-4ac/2a Gyöktényezős alak, Viète-formulák Minden olyan másodfokú egyenletet, amelynek diszkriminánsa nem-negatív, felírhatunk a(x-x1)(x-x2)=0 gyöktényező alakban. Ha az egyenlet ax2+bx+c=0 (a0), akkor x1+x2 = -b/a, x1x2 = c/a. Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük.

11

8. Adatsokaságok jellemzői, a valószínűségszámítás elemei 1. Az események algebrája Alap fogalmak Definíció: Véletlen jelenségek azok a jelenségek, amelyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen. (A jelenségnek tehát van oka, okai, de azok nem ismertek teljes egészében.) Definíció: Kísérletet végzünk, ha egy véletlen jelenséget megfigyelünk. A kísérletet többször, ugyanolyan körülmények között végrehajtjuk. Definíció: Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet egy kimenetelét. Jele: Ω. Az eseménytér elemeinek számát a szokásos halmazjelöléssel, |Ω|-val jelöljük. Definíció: Eseménynek nevezzük az eseménytér részhalmazát. Az események jelölése ezért a halmazjelölésekkel egyezik meg: pl. A esemény. Az „A” esemény elemeinek számát |A|-val jelöljük. a

Mivel az események részhalmazok, ezért az események közötti műveletek és a halmazműveletek egymásnak megfeleltethetők.

b

Minden eseményhez hozzárendelhető egy állítás (ítélet), nevezetesen az, hogy a szóban forgó esemény bekövetkezik. Ezért az események közötti műveletek és a logikai műveletek egymásnak megfeleltethetők.

Definíció: Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely mindenképpen bekövetkezik. A biztos eseménynek megfelelő halmaz a teljes eseménytér, ezért a biztos esemény jele: Ω Definíció: Lehetetlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely semmiképpen nem következhet be. A lehetetlen eseménynek megfelelő halmaz az üres halmaz, ezért a lehetetlen esemény jele: Ø Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, amikor az A esemény nem következik be, az A esemény komplementerének nevezzük és /felülvonás/A-val jelöljük. Események közötti relációk Definíció: Az A esemény maga után vonja a B eseményt, ha az A esemény bekövetkezése esetén a B esemény is mindig bekövetkezik. Ezt a körülményt a c- jellel jelöljük: A c- B. Definíció: Két esemény A és B egyenlő, ha a kísérlet bármely lehetséges kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Jelölése: A=B. Műveletek eseményekkel

12

Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B események közül legalább az egyik bekövetkezik, az A illetve a B esemény összegének nevezzük. Jele: A+B a

Az események összeadása megfelel a halmazok uniójának.

b

Az események összeadása megfelel a „megengedő vagy” (diszjunkció) logikai műveletnek.

Tétel: Véges számú eseményből álló eseménytérben minden esemény előállítható elemi események összegeként. Ez az előállítás az összeadandók sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Definíció: Azt az eseményt, amelyik pontosan akkor következik be, ha az A illetve a B események közül mindkettő bekövetkezik, az A illetve a B esemény szorzatának nevezzük. Jele: A∙B, röviden AB. a

Az események szorzása megfelel a halmazok metszetének.

b

Az események szorzása megfelel az „és” (konjunkció) logikai műveletnek.

Definíció: Egymást kizáró eseménynek nevezzük az A és B eseményeket akkor, ha egyszerre nem következnek be, azaz A∙B=Ø. (Könnyen belátható, hogy ha E1 és E2 különböző elemi események, akkor E1 és E2 kizáró események.) Definíció: A és B esemény különbsége: A–B= A∙/felülvonás/B, azaz: A–B bekövetkezik, ha A bekövetkezik, de B nem. Definíció: Szimmetrikus differencia: Azt az eseményt jelenti, hogy A és B esemény közül az egyik és csakis az egyik következik be. Jele: A˚B. Tehát A˚B=(A–B)+(B–A). Definíció: Teljes eseményrendszernek nevezzük az A1, A2, A3, … An események halmazát, ha teljesülnek a következő feltételek: a

A1, A2, A3, … An páronként kizáró események, azaz Ai∙Bj=Ø, ha i≠j.

b

Egyik sem lehetetlen esemény, azaz Ai≠Ø.

c

Közülük egy és csakis egy mindig bekövetkezik, azaz: A1+A2+A3+…+An=Ω.

2. A valósznűség fogalma A valószínűség számítás feladata a véletlen tömegjelenségek vizsgálata. Pl. radioaktív bomlás, gáz nyomása, gyártási selejt előfordulása, szerencsejátékok, stb. Tekintsünk egy olyan kísérletet, amelynél a figyelembe vett körülmények a kísérlet eredményét nem határozzák meg egyértelműen, hanem többféle kimenetelt engednek meg, tehát egy véletlen jelenséget figyelünk meg. Legyen az A esemény ezen lehetőségek egyike. Hajtsuk végre a kísérletet többször, azonos körülmények között. Ekkor az A esemény a kísérletek egy részében bekövetkezik, más részében nem. Ez utóbbi esetekben tehát /felülvonás/A következik be. 13

Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor k-t az A esemény gyakoriságának nevezzük. Definíció: Ha n kísérletből az A esemény pontosan k- szor következett be, akkor a k/n törtet az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Definíció: Azt a számot, amely körül egy véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik, az illető esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A). Fontos megjegyzések: a

A valószínűség rögzített szám, a relatív gyakoriság pedig a véletlentől függ.

b

Ha egy kísérletet n- szer hajtunk végre és az A esemény k- szor következik be, akkor a 0≤ k ≤ n egyenlőtlenség szerint minden esetre 0 ≤ k/n ≤1 igaz. Tehát egy esemény relatív gyakorisága mindig 0 és 1 közötti szám. Ezért nyilvánvaló, hogy minden esemény valószínűsége is 0 és 1 közé esik. A két szélső eset: a lehetetlen esemény valószínűsége 0, a biztos esemény valószínűsége 1.

c

Ha az eseménytér elemi eseményei egyenlő valószínűségűek, akkor egy A esemény bekövetkezésének valószínűségét kiszámíthatjuk a következő módon: P(A)=K/N=| A|/|Ω| Ahol K az esemény szempontjából kedvező esetek száma, (vagyis az A esemény elemeinek száma) és N az összes lehetséges esetek száma (vagyis a teljes eseménytér, Ω elemeinek száma). Ebben az esetben a valószínűség klasszikus modelljéről van szó.

A valószínűségre vonatkozó legfontosabb tételek Tétel: Ha az A esemény bekövetkezése maga után vonja a B esemény bekövetkezését, akkor az A valószínűsége kisebb, vagy egyenlő, mint a B valószínűsége. Jelöléssel: Ha A c– B, akkor P(A)≤P(B) Tétel:

Minden

A

esemény

bekövetkezési

valószínűségének

és

komplementere

valószínűségének az összege 1. Jelöléssel: P(A)+P(/felülvonás/A)=1. Tétel: Ha az A1, A2, A3, … An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor valószínűségeik összege 1: P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)=1. Tétel: Ha A és B tetszőleges események, akkor P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB). 3. Események függetlensége Definíció: Ha N kísérletet végezve a B esemény pontosan n- szer fordult elő és e közül az n kísérlet közül k esetben B- vel együtt az A esemény is bekövetkezett, akkor a k/n hányadost az A eseménynek a B feltétel melletti feltételes relatív gyakoriságnak nevezzük. A feltételes relatív gyakoriság a P(AB)/P(B) körül ingadozik, ezért ezt a számot nevezzük az A esemény 14

B feltétel melletti feltételes valószínűségének. A feltételes valószínűség jele: P(A|B). Tehát az A eseménynek a B feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét úgy számíthatjuk ki, hogy A és B együttes bekövetkezésének valószínűségét osztjuk B valószínűségével. (feltétel: P(B)>0): P(A|B)=P(AB)/P(B) Definíció: Az A esemény független a B eseménytől, ha az A eseménynek a B eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége egyenlő az A esemény valószínűségével. Jelőlésel: P(A|B)=P(A). Megjegyzés: Ha A független B-től, akkor B is független A-tól. Ekkor azt mondjuk. Hogy A és B függetlenek egymástól. Tétel: Ha A és B függetlenek, akkor P(AB)=P(A)P(B). Geometriai valószínűség Milyen valószínűséggel esik egy kör belsejében kiválasztott pont a körbe írt szabályos háromszögbe. (P=T /T

)

15

9. Első- és másodfokú egyenlőtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei. Definíció: Két pozitív szám számtani közepének a két szám összegének a felét nevezzük. A számtan latinul aritmetika, ezért a számtani közepet aritmetikai középnek is nevezzük, és A betűvel jelöljük. Két szám számtani közepét szokás az alábbi módon jelölni: A(a;b) = a+b/2. Definíció: Két pozitív szám mértani közepének a két szám szorzatának négyzetgyökét nevezzük. Két szám mértani közepének szakaszhosszakkal szemléletes értelmet is adhatunk. Ezért kapta a mértani vagy geometriai közép elnevezést. Szokásos jelölése: G(a;b) = ab. Definíció: Két pozitív szám harmonikus közepe a két szám reciprokából számított számtani közép reciproka. Szokásos jelöléssel: H(a;b) = 1/(1/a+1/b)/2 Definíció: Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk: N(a;b) = (a2+b2/)2. Két szám négyféle közepére az alábbi egyenlőtlenség áll fenn: H(a;b)<=G(a;b)<=A(a;b)<=N(a;b). Vizsgáljuk meg, hogy igaz-e két szám számtani és mértani közepe között a ab<=(a+b)/2 egyenlőtlenség. Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, ezért a bal és a jobb oldal négyzete között ugyanilyen irányú egyenlőtlenség áll fenn: ab<=(a2+2ab+b2)/4 0<=a2+2ab+b2-4ab=(a–b)2 Tehát valóban: G(a;b)<=A(a;b) Ugyanezen elgondolás alapján a többi egyenlőtlenséget is be lehet bizonyítani.

16

10.Számsorozatok Számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, az értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza. Számtani sorozat Az a1, a2, a3… an sorozatot számtani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagból kivonjuk a megelőző tagot, a különbség állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének vagy differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük. an = a1+(n-1)d. Az első tag kivételével a számtani sorozat bármelyik tagja a tőle (balra és jobbra) szimmetrikusan elhelyezkedő két tag számtani közepével egyenlő. ak+i = ak+2i+ak/2 Tétel: Nem létezik olyan csupa pozitív egész számokból álló számtani sorozat, amelynek minden tagja prímszám. Bizonyítás: Legyen a sorozat első tagja a, a különbsége d. Az a legyen prímszám és a d pozitív egész szám. Tekintsük a sorozat n=a+1-edik tagját. an=a+(n-1)d = a+ad = a(1+d). Innen látható, hogy a sorozatban az (a+1)-edik tag nem lehet prímszám, mert osztható az a>1 és a d+1>1 egész számokkal. A számtani sorozat első n tagjának összege: Sn = n(a1+an)/2 Mértani sorozat Az a1, a2, a3… an sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha (a második tagtól kezdve) bármelyik tagot elosztjuk a megelőzővel, a hányados állandó. Ezt az állandót a mértani sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük, és q-val jelöljük. A definícióból következik, hogy a mértani sorozat tagjai között a 0 nem fordulhat elő, mert a 0-val osztani nem lehet. A mértani sorozat n-edik tagjának kiszámítása: an = a1qn-1 (nZ+) A pozitív számokból álló mértani sorozat bármelyik tagja a második tagtól kezdve a tőle balra és jobbra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepe. ak+i = akak+2i A mértani sorozat első n tagjának összege: Sn = a1(qn-1)/q-1 Korlátos, monoton sorozatok Az {an} sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K valós szám, hogy minden n-re an<=K. A K számot a sorozat felső korlátjának nevezzük. Az {an} sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n-re, an>=k. A k számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük.

17

Az olyan sorozatot, amely alulról is és felülről is korlátos, korlátos sorozatnak nevezzük. Az {an} sorozat monoton növő (fogyó), ha minden n-re an<= an+1 (an>=an+1). Ha szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk. Az {(1+1/n)n} sorozat korlátos. Konvergens sorozatok Egy a (valós) szám >0 sugarú környezetén az ]a-;a+[ nyílt intervallumot értjük. Az tól függő N természetes számot küszöbindexnek nevezzük. Az {an} sorozat konvergens és határértéke az a szám, ha bármely (az a számot tartalmazó) ]a-;a+[ (>0) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Az {an} valós számsorozat konvergens és határértéke a, ha minden (>0) számhoz van olyan N természetes szám, hogy ha n>N, akkor |an-a|<. Az N számot küszöbszámnak nevezzük. Minden konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos. Ha {an} monoton növő (fogyó) és felülről (alulról) korlátos sorozat, akkor van határértéke. Ha minden n-re an<= cn<= bn, és an  a és bn a, akkor cn a. Ha an  + vagy an  -, akkor 1/an  0. Feltételezzük, hogy az {an} és a {bn} sorozatok konvergensek, és an  a és bn  b. Ekkor  limn(an+-bn) = limnan+- limnbn = a+-b  limn(anbn) = limnan limnbn = ab  limn(ca) = c limnan = ca (c tetszőleges valós szám).  limn(an/bn) = limnan/ limnbn = a/b, feltéve, hogy bn0 és b0. A mértani sor összege Az s = a1+a2+a3…+an+… össszeget sornak nevezzük. Az összegben szereplő számok az {an} sorozat tagjai. Ha az s = a1+a2+a3…+an+… sor részletösszegeiből alkotott sorozatnak van határértéke, akkor a sor összegét ezzel a határértékkel definiáljuk. Az ilyen sort konvergensnek nevezzük. limn(1+1/n)n = e. A mértani sornak akkor és csakis akkor van összege, ha 0<|q|<1. Az összeg s = a/(1-q).

18

11.Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával Függvények jellemzése (vizsgálata) elemi úton 1) Értelmezési tartomány: Pl.: Df = R; Értékkészlet: Pl. Rf = R 2) Menete: (szigorúan) monoton csökkenő (hol), és/vagy (szigorúan monoton növekvő. 3) Zérus-hely: ahol a függvény az x - tengelyt metszi. 4) Szélső érték: fajtája (minimum, maximum), helye (x), nagysága (y). 5) Korlátosság: Alulról korlátos vagy felülről korlátos vagy korlátos. (k, K értékei): az f függvényt korlátosnak nevezzük, ha az értékkészlete korlátos számhalmaz [k<=f(x)<=K, ahol k, KR és rögzített számok]. 6) Periodikus függvény (p a periódus értéke) 7) Paritás, párosság: páros (y - tengelyre szimmetrikus) vagy páratlan (x- tengelyre szimmetrikus) 8) Kölcsönösen egyértelmű e. Függvényvizsgálat differenciálszámítás felhasználásával 1) Az értelmezési tartomány meghatározás Pl: Df = R. 2) Szakadási helyek; folytonosság; korlátosság; a függvény viselkedése + és – végtelenben, az értelmezési tartomány szélein. 3) Zérus-hely, tengelymetszetek. (Zérus-hely: f(x) = 0. y tengelyen x = 0. 4) A helyi szélsőértékek megállapítása: A függvénynek abban az x0 helyen lehet szélsőértéke, amelyben az első deriváltja 0. Azaz f’(x0)=0. Az x0-ban az f(x) függvénynek maximuma van, ha az f’(x) függvény értéke az x0 környezetében előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba megy át. Az f(x) függvénynek az x0 pontban minimuma van, ha a fentieken kívül az f’(x) függvény az x 0 környezetében előjelet vált, mégpedig negatívból pozitívba. 5) Az f(x) függvény az értelmezési tartomány [a;b] intervallumában konvex, ha: a x1

x

x2 b

konkáv, ha: a x1

x

x2

b

A függvénygörbe alakja abban az intervallumban konvex, amelyben a második derivált előjele pozitív. A függvénygörbe alakja konkáv abban az intervallumban, amelyben a második derivált előjele negatív. Inflexiós pont: ahol egy konkáv és egy konvex ív csatlakozik.

19

12.A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai  A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma, tulajdonságai Definíció: Megadunk egy pontot, a középpontos hasonlósági transzformáció középpontját (legyen ez O) és egy a számot (a0). Valamely ponthoz a következő módon rendeljük a képét: Ha P=O, akkor a P pont képe önmaga. Ha QO, akkor a Q pont képe az OQ egyenesnek olyan Q’ pontja, amelyre OQ’ = |a|OQ. Ha 0
Megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő

b

Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek egyenlők

c

Két-két szögük páronként egyenlő

20

d Két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők. Két sokszög hasonló, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya egyenlő; vagy megfelelő oldalaik aránya egyenlő és megfelelő szögeik páronként egyenlők. Hasonló síkidomok területének aránya A  (lambda) arányú hasonlósági transzformáció bármely szakasz hosszát -szorosára változtatja meg. Az új háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti háromszög területét szorozzuk a hasonlóság arányának a négyzetével. t’ = ama/2=2ama/2 = 2t. Tétel: Hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

21

13.Derékszögű háromszögek Összefüggés a derékszögű háromszög oldalai között Ha egy háromszögről azt mondjuk, hogy derékszögű, akkor ezzel egy adatát megadtuk. A derékszögű háromszög oldalai között szoros kapcsolat van. A közöttük lévő összefüggést Pitagorasz tételének nevezzük. Tétel: Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. Bizonyítás: Vegyünk két négyzetet, mindkettő oldalhossza legyen a+b. Ezeket bontsuk részekre kétféle módon: a+b a a

a+b b

a2

a a

R

b

b c

c

b2

b

b

a Q

C2 c

S

b

c a A

a

b

B

A

b

P a B

Ha mindkét nagy négyzetből elvesszük a minden méretében azonos (csak más helyzetű) négy-négy derékszögű háromszöget, akkor a maradék területeknek is egyenlőknek kell lenniük. A bal oldali nagy négyzetből két kis négyzet marad, ezek együttes területe a 2+b2. A jobb oldali nagy négyzetből marad a középső négyszög. Ennek minden oldala c. A maradék négyszög négyzet. (Mert minden oldala 90), területe c2. A kétféle módon kapott maradék-területek egyenlő nagyságúak. Ezért a2+b2 = c2 A tétel megfordítható. Thalész tétele Tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. (A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója.) Bizonyítás: Az O középpontú kör átmérőjére rajzolt megfelelő ABC háromszög A-nál lévő szögét -val, a B-nél lévő szögét -val jelöljük. Az OC sugár meghúzásával az AOC és a BOC egyenlő szárú háromszöget kapjuk. Ezek alapján a belső szögek összege: ++(+) = 180, + = 90 A tételt bebizonyítottuk. Thalész tétele megfordítható.

22

Derékszögű háromszögek oldalairól, oldalszakaszairól Tétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. Ez a magasságtétel. m2=xy m=xy Tétel: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületnek és az átfogónak. Ez a befogótétel. a2=cx, a=cx A befogótétel kétféle módon történő megadása (a-ra és b-re), valamint ezek összeadása megadja Pitagorasz tételét. A

derékszögű

háromszög

magasságtétele

megszerkeszthetjük két szakasz mértani közepét.

23

vagy

befogótétele

segítségével

14.A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei A háromszögek oldalfelező merőlegesei A háromszög oldalfelező merőlegesei az oldalszakaszok felezőmerőlegesei. Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Bizonyítás: Az ABC háromszög AB oldalának felezőmerőlegese az e, a BC oldalának felezőmerőlegese az f egyenes. Legyen ef = M. Természetes, hogy Me és Mf, ezért AM=BM és BM=CM. Ebből következik: AM=CM, azaz az M pont az AC oldal felezőmerőlegesének is pontja. Egyetlen ilyen pont létezik. Az M pont egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom csúcsától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely átmegy a háromszög mindhárom csúcspontján. Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a háromszög köré írt kör középpontja. (Hegyes-szögűnél belül, derékszögűnél az átfogón, tompaszögűnél kívül). A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonalának a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a háromszög egyik csúcsa és a szemközti oldal egyenese között van, a háromszög egyik magasságának nevezzük. Tétel: A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. A három magasságvonal közös pontját a háromszög magasságpontjának nevezzük. Azt a pontot, ahol az egyik csúcsból húzott magasság a szemközti oldal egyenesét metszi, a magasság talppontjának nevezzük. A háromszög szögfelező egyenesei A háromszög belső szögeinek szögfelező félegyeneseit röviden a háromszög szögfelezőinek nevezzük. A külső szögek szögfelezőit külső szögfelezőknek mondjuk. Tétel: A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. A háromszög szögfelezőinek M metszéspontja egyenlő távolságra van a háromszög mindhárom oldalától, ezért az M pont egy olyan kör középpontja, amely érinti a háromszög oldalait. Ezt a kört a háromszög beírt körének nevezzük, ezért a három szögfelező közös pontját a beírt kör középpontjának mondjuk. A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt körének középpontja. Tétel: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.

24

A háromszög középvonalai Definíció: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. Tétel: A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza fele a harmadik oldal hosszának. A háromszög súlyvonalai Definíció: Egy háromszög súlyvonalának a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt nevezzük. Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalakat 2: 1 arányban osztja két részre. (A hosszabb szakasz a csúcs felől van).

25

15.Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között Összefüggés a háromszög oldalai között A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. Ezt a kifejezést átalakítva: A háromszög bármely oldala nagyobb, mint a másik két oldal különbségének abszolút-értéke. a >|b-c| Összefüggés a háromszög szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180 Bizonyítás: Az ABC háromszög A csúcsára húzunk egy BC oldallal párhuzamos egyenest. Az ott látható  és ’ szögek váltószögek, tehát egyenlők, a  és a ’ szögek egyállású szögek, azok is egyenlők. A háromszög A csúcsánál lévő három darab szög együttvéve egyenesszög: +’+’=180. Mivel = ’ és =’, ezért ++=180 B  ’

 C



’ A

Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével. Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha egy háromszögben két oldal egyenlő, akkor a velük szemközti szögek is egyenlők. A tétel megfordítható: Ha egy háromszög két szöge egyenlő, akkor az ezekkel szemközti oldalak egyenlő hosszúak. Az egyenlő szárú háromszög alapját felezi a szemközti csúcsból az alapra bocsátott merőleges. Tétel: Bármely háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van (rövidebb oldallal szemben kisebb szög van). A tétel megfordítása is igaz: Bármely háromszögben két szög közül a nagyobb szöggel szemközt hosszabb oldal van (kisebb szöggel szemben rövidebb oldal van).

26

16.Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek Húrnégyszög Definíció: Az a négyszög, ami köré kör írható. Oldalai az adott kör húrjai. A húrnégyszög szögei közötti kapcsolat: Tétel: bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 Bizonyítás: A kör egy ívéhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggést használjuk fel. Az  kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög, az  szöggel szemközti  kerületi szöghöz tartozik a 2 középponti szög. 2+2=360, és ha 2-vel osztunk: +=180 A fordítottja is igaz: ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180, akkor az húrnégyszög. A húrnégyszög köré írható kör középpontját úgy kapjuk meg, ha az oldalfelező merőlegeseket megszerkesztjük. Mind a négy oldal felezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont a húrnégyszög köré írható kör középpontja. Fordítottja is igaz. Érintőnégyszög Olyan konvex négyszög, amelybe szerkeszthető mind a négy oldalát érintő kör. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást. Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő. Külső pontból a körhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak. Egy konvex négyszög a síkon akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a szemközti oldalainak összege egyenlő. Szimmetrikus négyszögek Definíció: Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli egyenes, amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. Az egyenes az adott alakzat szimmetriatengelye. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:  Egyenlőszárú trapézok: egy szimmetriatengelyük van (az alapokat merőlegesen felező egyenes a szimmetriatengely).  Deltoidok: egy szimmetriatengelyük van (az egyenlő oldalak metszéspontjait összekötő egyenes a szimmetriatengely).  Rombuszok: két szimmetriatengelyük van (a rombusz átlói a szimmetriatengelyek).  Téglalapok: két szimmetriatengelyük van ( a téglalap középvonalai ezek).  Négyzetek: négy szimmetriatengelyük van ( a két átló és a két középvonal ezek).

27

Definíció: Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van olyan síkbeli pont, amelyre az alakzatot tükrözve, önmagát az alakzatot kapjuk. A pont az alakzat szimmetria-középpontja. Középpontosan szimmetrikus négyszögek:  Paralelogrammák: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.  Rombuszok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.  Téglalapok: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.  Négyzetek: szimmetria-középpontja az átlók metszéspontja.

28

17.Sokszögek, szimmetrikus sokszögek A sokszögekről Azokat a sokszögeket nevezzük konvexeknek, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz minden pontját is tartalmazzák. Konkáv sokszögek azok, amelyeknek nem minden pontjára igaz, hogy összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza a sokszög. Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható. Bizonyítás: Az n- oldalú konvex sokszög bármely csúcsát tekintjük, abból saját magához és a két szomszédos csúcshoz nem húzhatunk átlót, de minden más csúcshoz húzhatunk, ezért az átlók száma n-3. Tétel: Az n- oldalú konvex sokszögben húzható átlók száma n(n-3)/2 Tétel: Az n- oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: (n-2)180 Sokszögek területét háromszögekre bontással és a részterületek meghatározásával, majd megfelelő összegzésével számíthatjuk ki. Szimmetrikus sokszögek Definíció: Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük. Minden szabályos sokszögnél találunk szimmetriát. Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. Az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye van. Ha n páros, akkor a szimmetriatengelyek kétfélék: n/2 szimmetriatengely a szemközti csúcsokra illeszkedő egyenes; másik n/2 szimmetriatengely a szemközti oldalak felezőmerőlegese. Ha n páratlan, akkor mind az n szimmetriatengely egy-egy oldal felezőmerőlegese. Minden szimmetriatengely egy pontra illeszkedik, ezt a pontot a szabályos sokszög középpontjának nevezzük. Ha az n oldalú szabályos sokszög középpontját összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor n egybevágó egyenlő szárú háromszöget kapunk. A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört, amely átmegy a szabályos sokszög minden csúcsán. Ezt a kört a szabályos sokszög köré írt körének nevezzük. A szabályos sokszög középpontjából rajzolhatunk egy olyan kört is, amely átmegy minden oldalának a felezőpontján. Ezt a kört a szabályos sokszög beírt körének nevezzük. Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus is. A páros oldalszámú szabályos sokszög középpontosan is szimmetrikus.

29

18.A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög A kör középponti szöge, a körív hossza, a körcikk területe A körben a középponti szög csúcs a kör középpontja, két szára a kör két sugara. A két sugár két középponti szöget határoz meg. Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. A két sugár félegyenesével és a közte lévő körívvel határolt körlap-részt körcikknek nevezzük. Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körívek hosszai egyenesen arányosak. Tétel: Egy körben a középponti szögek nagyságai és a hozzájuk tartozó körcikkek területei egyenesen arányosak. Bizonyítás: A körívek hosszára vonatkozó aránypár: :360= i:2r, ebből i=r/180 A körcikkek területére vonatkozó aránypár: :360=t:r2, ebből t=r2/360 i:2r = t:r2, ebből t=ri/2. Azaz a körcikk területét megadja a körívhosszúság és a sugár szorzatának a fele. Középponti és kerületi szögek tétele A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcs a kör kerületén van és két száruk vagy két húr, vagy egy húr és egy érintő. Tétel: Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1. Kerületi szögek tétele, látószögkörív Tétel: Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Bizonyítás: Egy körben, egy adott körívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. Valamennyi kerületi szögre vonatkozik a középponti és kerületi szögek tétele, ezért valamennyi kerületi szög egyenlő az egyetlen középponti szög felével. Tétel: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz adott (0<<180) szögben látszik, két szimmetrikus körív (látószögkörív). Az adott szakasz a két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpontjai nem tartoznak a látószögkörívhez. A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele Tétel: A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes szelőkön a P ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjedő szakaszok szorzata állandó.

30

19.Vektorok A vektor fogalma, elnevezések, jelölések Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Jelölésük: AB=a A vektor hosszát a vektor abszolút-értékének nevezzük. Jelölése: |AB|=|a| Ha két vektorhoz található olyan egyenes, amely mindkettővel párhuzamos, akkor ezeket párhuzamos vektoroknak vagy egyállású vektoroknak nevezzük. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha abszolút-értékük egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és azonos irányításúak. Ha két vektor abszolút-értéke egyenlő, párhuzamosak (egyállásúak) és ellentétes irányúak, akkor a két vektort egymás ellentettjének nevezzük. Az a vektor ellentettje -a. Azt a vektort, amelynek abszolút-értéke 0, nullvektornak nevezzük. Jele: 0 A 0 iránya tetszőleges. Vektorok összegezése és különbsége Definíció: Adott az a és a b vektor. Egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek végpontjába a másik vektort. A két vektor összege az a vektor, amely az első vektor kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat. Két vektor összeadása kommutatív művelet. A vektorok összeadása asszociatív művelet. Definíció: Az a–b különbségen az a+(-b) összeget értjük, azaz az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Vektor szorzása számmal Definíció: Adott egy a vektor és egy R szám. A) Ha a0, akkor az a vektor és a  szám szorzata olyan vektor, amelynek abszolút-értéke |||a| és iránya 0< esetén az a vektor iránya, <0 esetén az a vektorral ellentétes, =0 esetén a=0, iránya tetszőleges. B) Ha a=0, akkor a=0. A skalárral történő szorzás tulajdonságai: a+a és = (+)a, (a) = ()a, (a+b) = a+b. Azok a vektorok egysíkúak, amelyekhez van olyan sík, amelyekkel párhuzamosak. Vektor felbontása összetevőkre Tétel: Ha adott az a és a vele egyállású b vektor (a0), akkor az a vektorból a b vektor skalárral történő szorzással előállítható. Azonos irányú a és b esetén: b=|b|a/|a|.

31

Bizonyítás: A vektorok nagyságukat látjuk. Egységvektoruk azonos: b/x = a/y, ebből b=(x/y)a. Ugyanezzel a gondolatmenettel dolgozhatunk ellenkező irányú vektorok esetén is. Tétel: Ha adott a és b nem egyállású vektor, akkor bármely, velük egysíkú v vektor egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyállású összetevőkre, azaz egyértelműen felírható v= a+b alakban, ahol ,R. A v vektor előző felbontásánál a és b vektorok bázisvektorok. Vektorok a koordinátasíkon Helyvektorok összegének koordinátáit az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak az összege adja meg. Az a (x1, y1) és b (x2, y2) helyvektorok összegének koordinátái: (x1+x2; y1+y2). A helyvektorok különbségének koordinátáit is hasonló elgondolással kapjuk meg. Egy vektor skalárszorosának koordinátáit az eredeti koordinátáknak ugyanazzal a skalárral történő szorzásával kapjuk meg. Valamely v (x; y) helyvektor cszeresének koordinátái (cx; cy).

32

20.Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon Szakasz hossza, osztópontja, háromszög súlypontja Szakasz hossza: |AB|=(b-a)2 = |b-a| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 (Pitagorasz tételéből). A szakasz felezőpontjának koordinátái: x= (x1+x2)/2 y= (y1+y2)/2 A szakasz adott arányú osztópontja: Az AB szakaszt m:n arányban osztó P ponttal létrehozott AP és PB szakaszhosszakra fennáll: AP:PB =m:n AP = mAB/(m+n) p=a+AP= a+m(AB)/(m+n)= a+m(b-a)/m+n= (ma+na+mb-ma)/m+n= (na+mb)/m+n. Ebből: x= (nx1+mx2)m+n, y= (ny1+my2)/m+n. Háromszög súlypontjának koordinátái: x= (x1+x2+x3)/3, y= (y1+y2+y3)/3. Az egyenes helyzetét jellemző adatok Definíció: Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely nem zérus-vektor. Jele: v(x2-x1; y2-y1) Definíció: Az (xy) síkban egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a zérusvektortól különböző bármely vektor. Jele: n(y2-y1; x1-x2) Definíció: Az (xy) koordinátasíkon az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x tengely pozitív iránya által bezárt szöget. Definíció: A koordinátasíkon az egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: m (m= tg = (y2-y1)/(x2-x1). Valamely egyenes irányvektora és normálvektora merőleges egymásra, emiatt skaláris szorzatuk 0: vn=0. Ha két egyenes párhuzamos, akkor normálvektoraik és irányvektoraik egyállásúak, iránytangensei és irányszögei egyenlők. Ez fordítva is igaz. Ha két egyenes merőleges egymásra, akkor normálvektoraik és irányvektoraik is merőlegesek egymásra, skaláris szorzatuk 0. Ez fordítva is igaz. Iránytangenssel rendelkező egyenesek akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha iránytangenseik egymásnak ellenkező előjelű reciprok értékei. Az egyenes egyenlete Az egyenes az r0(x0; y0) helyvektorú P0(x0; y0) pontjával és az n(A;B) normálvektorával adott. Az egyenes vektoregyenlete: n(r-r0)=0. A normálvektor koordinátáival felírt egyenes egyenlete: Ax+By = Ax0+Bx0 Két egyenes metszéspontjának meghatározása a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldását kívánja.

33

21.A kör és a parabola a koordinátasíkon A kör egyenlete A kör középpontja legyen C(u;v) és sugara r. A kör tetszőleges P(x;y) pontjára igaz: PC=r A PC szakasz hosszát, végpontjainak távolságát felírjuk koordinátái segítségével: (xu)2+(y-v)2=r (x-u)2+(y-v)2=r2 Bármely körnek az egyenlete másodfokú két-ismeretlenes egyenlet. A parabola Definíció: A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy adott F pontjától (a fókuszponttól) és egy adott v egyenestől (a vezéregyenestől) egyenlő távolságra vannak (F nincs rajta v-n). A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel jelöljük. A v egyenes és az F pont távolságának a felezőpontja a parabola tengelypontja (csúcspontja), és a távolság egyenesként való értelmezése a parabola tengelye. Bármely parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel, megfelelő eltolással olyan helyzetbe hozható, amelyben tengelypontja az origó. A lefelé és felfelé nyitott parabolák az x tengelyre történő tükrözéssel, egymásba átvihetők. Így elég a felfelé nyitott parabolákat vizsgálnunk. Tekintsünk olyan helyzetű parabolát, amelynek tengelye az y tengely; tengelypontja az origó, és a parabola a koordinátasík I. És II. Negyedében van. A parabola paramétere p; vezéregyenesének egyenlete y=-p/2; fókuszpontja F(0;p/2). A parabola tetszőleges pontja: P(x;y). A parabola definíciója alapján: d(P;F) = d(P;v).ebbe behelyettesítve a vezéregyenes és a P pont koordinátáit: x2+(y-p/2)2=y+p/2 ebből átalakítással kapjuk: y=(1/2p)x2 Ezt a parabola tengelyponti egyenletének nevezzük. (vagy csúcsponti egyenlet). Bebizonyítható, hogy bármilyen helyzetű is a parabola, egyenlete másodfokú kétismeretlenes egyenlet.

34

22.Szögfüggvények és alkalmazásuk a geometriában A szögfüggvények, trigonometria alkalmazásai Földméréseknél, magasságmeghatározásnál, távolság-meghatározásoknál. A mérések ugyanis nem adhatnak pontos eredményeket, de ha szögfüggvényekkel dolgozunk. (emelkedési szög, depresszió szög, látószög), s ezeket matematikailag felhasználjuk, akkor biztosan pontos eredményünk lesz. A hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggéseik Definíció: Derékszögű háromszögben az  hegyesszöggel szemközti befogónak és az átfogónak az arányát az  szög szinuszának nevezzük. Rövidebben: Az  hegyesszögű derékszögű háromszögben: sin= (az  szöggel szemközti befogó)/átfogó = a/c, cos= (az  szög melletti befogó)/átfogó = b/c, tg= (az  szöggel szemközti befogó)/(az  szög melletti befogó) = a/b, ctg= (az  szög melletti befogó)/(az  szöggel szemközti befogó) = b/a. Egy szög sinusa egyenlő a pótszögének cosinusával. sin= cos(90-). Pitagorasz-tétele alapján felírhatjuk a trigonometrikus Pitagorasz-tételt is: sin2+cos2=1. Közvetlenül a definícióból következik: tg=1/ctg=sin/cos, ctg=cos/sin. Néhány nevezetes szög szögfüggvényét felírhatjuk szabályos háromszögekből. Egyenlő oldalú háromszög magasság vonalának meghúzásánál a 30, és a 60 szögfüggvényeit kapjuk, az egyenlőszárú derékszögű háromszög a 45 szögfüggvényeit adja: 30: sin: ½, cos: (3)/2, tg: (3)/3, ctg: 3. 45: sin, cos: (2)/2, tg, ctg: 1. 60: sin: (3)/2, cos:1/2, tg3, ctg: (3)/3. Szögfüggvények általános értelmezése Definíció: 1. Az  szög sinusa, a koordinátasíkon, az i vektortól  szöggel elforgatott egységvektor y koordinátája. 2. Az  szög cosinusa, a koordinátasíkon az i vektortól  szöggel elforgatott egységvektor x koordinátája. 3. Az  szög tangense a szög sinusának és cosinusának hányadosa, ha ennek a hányadosnak van értelme: cos0. 4. Az  szög cotangense a szög cosinusának és sinusának hányadosa, ha ennek a hányadosnak van értelme: sin0. A sin és cos szögfüggvény periódusa 360, a tg és a ctg szögfüggvény periódusa 180. Ha 90<<180, akkor szögfüggvénye egyenlő a 180--val. Ha 180<<270, akkor a szögfüggvénye egyenlő lesz az -180-kal. Ha 270<<360, akkor a szögfüggvénye egyenlő lesz a 360--val.

35

A háromszög területét is kiszámolhatjuk szögfüggvényekkel: T= ama/2= absin/2 Szögfüggvények közötti összefüggések tgctg=1, ha k/2 (mivel a tg és a ctg szögfüggvények egymásnak reciprokai). sin(90-)=cos, ami a többi szögfüggvényre is igaz páronként.

36

23.Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával Sokszögek területe A terület számértéke pozitív szám. Egybevágó síkidomok területe azonos. A síkidom területe egyenlő a részei területének összegével. Az a, b oldalhosszúságú téglalap területe: T= ab. Ha a téglalap minden oldala azonos hosszúságú, azaz ha a= b, akkor az négyzet. Az a oldalhosszúságú négyzet területe: T=a2. Ha

a

átalakítható

paralelogramma

azonos

téglalappá,

akkor

területét

már

meghatározhatjuk. Húzzuk meg az egyik magasságát, majd az azonos oldalból kiinduló DC vektorral eltoljuk, s így már téglalap lesz belőle. Paralelogramma területét megadja az egyik oldalhosszának és a hozzátartozó magasságának a szorzata: T= ama vagy T= bmb. Egy háromszöget tükrözve az egyik oldalfelező pontjára, egy paralelogrammát kapunk, amiben kétszer is megtalálható ugyan az a háromszög. A háromszög területét megadja az egyik oldalhosszúság és a hozzátartozó magasság szorzatának a fele: T= ama/2. Egy trapézt tükrözve egyik szárának felezőpontján egy paralelogrammát kapunk, amiben a trapéz kétszer is megtalálható. A trapéz területét megadja középvonalának és magasságának a szorzata, azaz a területet megkapjuk, ha a két párhuzamos oldal hosszúságának összegét szorozzuk a magassággal és osztjuk 2-vel: T= (a+c)m/2. A deltoid területe: T= ef/2. Más sokszögek területét is háromszögekre bontás segítségével számíthatjuk ki. A háromszögek területének az összege adja a sokszög területét. Területszámítás integrálszámítás felhasználásával Ha egy [a,b] intervallumban értelmezett folytonos f(x) függvény görbéje, az a és b határpontokhoz tartozó ordináta-szakaszok, valamint az x-tengely által határolt (előjeles) területet akarjuk meghatározni, akkor a függvény a-tól b-ig vett határozott integrálját kell képeznünk: T= abf(x)dx.=[F(x)]ba= F(b)-F(a) Az előjeles terület azt jelenti, hogy (a
Azokat

az

integrálokat,

amelyeket

valamilyen

deriválásának megfordításakor kapunk, alapintegráloknak nevezzük.  dx= x+C,  xndx=xn+1/n+1+C, ahol n bármilyen egész vagy tört lehet, de n-1.  dx/x= ln|x|+C  exdx= ex+C

37

elemi

függvény

 axdx= ax/lna+C, ahol a>0 és a1.  sinxdx= -cosx+C.  cosxdx= sinx+C.  dx/cos2x=tgx+C  dx/sin2x=-ctgx+C.

38

24. Kombinatorika. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje Kombinatorikai alapfogalmak Az elemeket sorrendbe állítjuk

Az elemek közül k darabot, kiválasztunk

(permutáció) Az elemek mind

Az elemek között

A kiválasztott elemek

A kiválasztott elemek

Különbözőek:

k1 db azonos, k2 db

sorrendje nem lényeges:

sorrendje lényeges:

Ismétlés nélküli

azonos, az előzőtől

Kombináció

Variáció

Permutáció

Különböző… Ismétléses permutáció Egy elemet Egy elemet Egy elemet Egy elem

Pn=n!

Pnk1,k2…kr=n!/k1!*k2!*…kr! k1+k2+…+kr=n

egyszer többször is csak egyszer többször választhatok kiválaszt- választhatunk: is kiválki: ismétlés hatunk:

ismétlés nélküli asztható:

nélküli kombináció Ismétléses

variáció

ismétléses

Cnk=(n /alatt/ k) kombináció Vnk=n!/(n-k)! variáció

Cnk,i=(n+k-1 /alatt/ k)

Vnk,i=nk n!=1*2*3*…*n A binomiális tétel A kéttagú összeg (binom) bármely n є N kitevőjű hatványa az alábbi módon írható fel: (a+b)n=(n /alatt/ 0)an+(n /alatt/ 1)an-1b+…+(n /alatt/ n-1)abn-1+(n /alatt/ n)bn ahol az (n /alatt/ k) binomiális együtthatókat a következő módon értelmezzük: (n /alatt/ k)= n!/k!(n-k)! ∑nk=0(n /alatt/ k)an-kbk Definíció: Ha az adott n különböző elemet (n є N+) minden lehetséges módon elrendezünk, akkor a kombinatorika nyelvén azt mondjuk, hogy az illető elemeket permutáljuk, s ismétlés nélküli permutációról beszélünk. A permutációk számát a Pn szimbólummal jelöljük. Tétel: n (n єN+) különböző elem permutációinak száma Pn=N! Bizonyítás: teljes indukcióval 1. Nézzük meg, hogy n=1 esetén igaz-e az állítás, vagyis az, hogy P1=1! Egy elemet csak egyféleképpen lehet leírni, így P1=1=1! Tehát az állítás n=1 esetén igaz. 2. Tegyük fel, hogy n=k esetén (k є Z+) is igaz az állítás, vagyis k különböző elem permutációinak száma Pk=k! 3. Következik-e ebből n=k+1 esetére is az állítás, azaz Pk+1=(k+1)!?

39

A k+1 elemből vegyünk ki egy tetszőleges elemet és helyezzük el az első helyre. Ekkor a maradék k elemet k! módon tudjuk sorba rakni utána. Ha az első helyre mindig más-más elemet választunk ki, akkor a lehetséges esetek száma k+1 és mindegyik esetben az első elem után k! módon tudjuk sorrendbe rakni a többi k elemet. Így tehát k+1 elem összes permutációinak száma Pk+1=(k+1)k!=(k+1)k(k-1)(k-2)*…*3*2*1=(k+1)! Eszerint abból, hogy valamely k є Z+ számára igaz a vizsgált tétel, következik, hogy ez igaz a k+1 számra is. A teljes indukciós gondolatmenetnek tehát az, hogy Pn=n!, minden pozitív egész szám esetén igaz.

40

25. Bizonyítási módszerek bemutatása tételek bizonyításában Tétel: Ha … /feltétel/ …, akkor … /állítás/ … . 1. Direkt bizonyítás Tétel: Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180o. Bizonyítás: Állítás: α+=180o

A α

=(360o-2α)/2=180o- α

D

α+=180o

360o-2α

2α További tételek: - oA háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást. r - Thales-tétele β derékszögű, akkor a két befogó összege kisebb, mint az B - Ha egy háromszög C átfogó és a hozzátartozó magasság összege. a+b
2=p/q

p,q є Z

q<>0

(p,q)=1 legnagyobb közös osztójuk

q2=p 2q2=p2

ellenőrzés!

Tétel: Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás: P1*P2*P3*…..*Pn+1 Mivel a feltételezésünk szerinti összes prímszámot összeszoroztuk és hozzáadtunk 1-et, ezért egy újabb prímszámot hoztunk létre, tehát végtelen sok prímszám van. Ezt a bizonyítást Euler találta ki. 3. Skatulya-elv Tétel: 3 egész szám között mindig van kettő, amelyek összege osztható 2-vel. Bizonyítás: Páros, páros, páros Páros, páros, páratlan Páros, páratlan, páratlan Páratlan, páratlan, páratlan n=2 k=3 {páros, páratlan} ismétléses kombináció: Ck,in = (n+k-1 /alatt/ k) = (2+3-1 /alatt/ 3) = (4 /alatt/ 3) = 4!/3!(4-3)! = 3!*4/3!*1! = 4

41

További tételek: - 13 tanuló közt van legalább 2 olyan, aki ugyanabban a hónapban született. - 3 négyzetszám közt mindig van kettő, amelyek különbsége osztható 3-al. 4. Algebrai levezetés Tétel: Ha n pozitív egész szám, akkor 120 osztója a következő kifejezésnek: n5-5n3+4n. Bizonyítás: n5-5n3+4n = n(n4-5n2+4) = n(n2-4)(n2-1) = n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1) = = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) 120 = 2*3*4*5 n4-5n2+4=a2-5a+4=0 a1,2 = (5+-25-44)/2 = (5+-9)/2 = (5+-3)/2 = a1=4 a2=1 ax2+bx+c=0 a(x-x1)(x-x2)=0 – (a-4)(a-1)=0 – a2-5a+4=(a-4(a-1) a= n2 További tételek: - Másodfokú egyenlet megoldó képletének levezetése. - Számtani – mértani sorozat összegképletének levezetése. 5. Teljes indukció Ezt a bizonyítási módszert akkor szoktuk alkalmazni, ha a tétel a természetes számok halmazára, vagy annak részhalmazára vonatkozik. Tétel (hamis!): Ha n є Z+, akkor a következő kifejezés értéke nulla: n4-10n3+35n2-50n+24 Bizonyítás: n=1

14-10*13+35*12-50*1+24=0

n=2

24-10*23+35*22-50*2+24=0

n=3

34-10*33+35*32-50*3+24=0

n=4

44-10*43+35*42-50*4+24=0

n=5

54-10*53+35*52-50*5+24=0

n=6

64-10*63+35*62-50*6+24= nem egyenlő 0

Tétel: Ha n pozitív egész szám, akkor 6 osztója a következő kifejezésnek: n3-n. Bizonyítás: 1. Bizonyítás n=1-re: n3-n = 13-1=0 6|0

 n=1-re igaz az állítás.

42

2. Feltételezés: n=k-ra igaz az állítás. Feltételezzük, hogy 6| k3-k–nak, ha k є Z+ 3. Bizonyítás n=k+1-re az indukciós feltevés felhasználásával. Állítás: 6| (k+1)3-(k+1) Bizonyítás: (k+1)3-(k+1) = k3+3k2+3k+1-k-1 = k3-k+3k2+3k = k3-k+3k(k+1) ↓ Az indukciós feltevés miatt 6-al osztható. A k(k+1) két egymás utáni pozitív egész szám, ezért a k vagy a k+1 egyike biztosan páros. Így a 3k(k+1) kifejezés osztható 3-mal és páros, ezért 6-al is osztható. Mivel az összeg két 6-at osztható tagból áll, ezért ha összeadjuk őket, akkor is oszthatóak lesznek 6-al.

43