Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
VII.2. RAJZOLGATUNK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások, párhuzamosság, merőlegesség, térelemek és egymáshoz való viszonyuk, hasonlóság. Egyszerűbb testek, tulajdonságaik. Cél A térgeometriai szemlélet fejlesztése, a térgeometriai problémákhoz szükséges modellalkotási folyamat fejlesztése, az axonometrikus rajzok egy csoportjába tartozó ábrák elkészítésének fokozatos elsajátítása. A térgeometriai ábrák értelmezéséhez szükséges térlátási képességek fejlesztése. A felszín- és térfogatszámítás előkészítése, ismerkedés a hasábok és a gúlák világával. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+
+ + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + + +
Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához az aktívabbak, illetve gyengébb térgeometriai személettel rendelkezők részére készíthető (vagy velük készíttethető) térbeli modell (élváz) például drótból vagy műanyag, harmonikás nyakú szívószálból, illetve írásvetítő fóliából. A tanulók önállóan dolgozzanak, de tanári felügyelettel. Ha valamely kérdésnél valaki elakad, akkor a tanár adjon segítséget, rávezető kérdés vagy hasonló, de egyszerűbb feladat adásával. A munka végén érdemes meg is beszélni az elkészített rajzokat, az elkészítés miértjét, hogyanját, valamint további problémák felvetésére ösztönözni a diákokat. A megoldás során érdemes felhívni arra a figyelmet, például a 3. feladatnál, hogy a síkmetszetek elkészítésénél figyelembe kell venni a keresett sík esetében a párhuzamos síkokkal vett metszésvonalak párhuzamosságának tényét. További segítséget nyújthat a tanulóknak, ha átlátszó modellt készítünk keményebb anyagú írásvetítő fóliából, és ezen rajzoljuk meg a szükséges szakaszokat, így a térben is be tudjuk mutatni az elkészített síkrajzok eredetijét. VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 1.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
A megoldásokból prezentáció is készíthető, hogy az ábrákat bemutathassuk a diákoknak. A megoldás során érdemes folyamatosan figyelemmel kísérni, ki hogyan boldogul a feladatokkal. Mivel a megoldások ideális esetben nem tartanak túl sokáig, ezért ha valaki elakad, rögtön kapjon segítséget, különben unatkozni fog, illetve jelentősen lemarad a többiektől. Érdemes folyamatosan azt is kontrollálni, hogy az elkészült rajzok megfelelőek-e, mert egy-egy feladatban elkövetett hiba kihatással lehet a további feladatok megoldására. A fejlesztési folyamat végére lehetőleg mindenkinek el kell jutnia arra a szintre, hogy hasonló feladatokat meg tudjon oldani. Ha úgy tűnik, hogy valaki a feladatsorban felvetett problémák egyikét sem tudta megoldani, a már megoldott feladatok, kérdések megbeszélése után sem tudta a továbbiakat megválaszolni, akkor mindenképpen újabb feladatokat kell neki adni. A feladatsor folytatható a kérdések bővítésével. Azokban a feladatokban, ahol síkmetszeteket kell rajzolni, lehet további kérdésként a metszet síkidom alakját kérdezni, oldalainak hosszát kiszámíttatni, esetleg területét, kerületét, szögeinek nagyságát meghatároztatni. Lehet azt is kérdezni, hogy a síkmetszet trapéz-e, ha igen, milyen trapéz. A 3. feladat címe talán némi magyarázatra szorul: a feladatban metszeteket kell rajzolni, a cím Dürer metszeteire utal.
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 2.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
RAJZOLGATUNK Feladat sor
K OC KÁ Z TA T UN K 1.
Az alábbi kérdésekben a megadott szakaszok a BCGF síkba esnek. Keressük azokat a szakaszokat, melyek egyik végpontját megadtuk és a párjukként jelölt szakaszokkal párhuzamosak. (A keresett szakaszok hiányzó végpontja az ábrán jelölt pontok közül kerül ki.) Rajzoljuk is be az egymással párhuzamos szakaszokat azonos színnel! (Az ábrán a kocka csúcsai és a megfelelő élek felezőpontjai vannak feltüntetve.) a) YZ X... d) FC D...
2.
b) YG X... e) FZ E...
c) YG A... f) FZ D...
Keressünk a megadott szakaszokhoz minél több, velük párhuzamos szakaszt, melyek végpontjai az előző feladat ábráján szereplő pontok közül kerülnek ki! a) VZ b) XZ c) EZ d) YD
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 3.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
DÜRER 3.
N Y OM ÁB A N
Tudjuk, hogy ha egy sík két másik, egymással párhuzamos síkot metsz, akkor a metszésvonalak is párhuzamosak lesznek. Ennek ismeretében rajzoljuk be az ábrákba a megadott síkmetszeteket! (Az ábrán a kocka csúcsai és a megfelelő élek felezőpontjai vannak feltüntetve.)
a) A kocka és a VZY sík metszete.
c) A kocka és a BZA sík metszete.
VII. Térgeometria
b) A kocka és a HAB sík metszete.
d) A kocka és a HXB sík metszete.
VII.2. Rajzolgatunk 4.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
DÚL
A GÚ LA L ÁZ
4. a) Rajzoljuk be a bal oldali ábrába az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát, ha K rajta van az EFGH síkon! Milyen speciális pont a K pont az EFGH négyzetben? b) Rajzoljuk le az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát a jobb oldali ábrába, ha magasságának hossza az m szakasz hosszával egyezik meg. Látunk-e egyenlő szárú háromszöget a síkbeli ábrázoláson?
c) Pistinek egy egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát kellett rajzolnia (lásd a lenti, bal oldali ábra). Az ABK egyenlő szárú háromszöggel kezdte, majd kiegészítette „hátrafelé” a rajzot az ábrának megfelelően. Miért helytelen a rajza? d) Rajzoljuk meg annak az egyenlő oldalú, háromszög alapú gúlának a látszati képét, amelynek alapja az ABC háromszög, az ehhez tartozó testmagassága pedig párhuzamos és egyenlő a megadott m hosszúságú szakasszal (jobb oldali ábra). Hol lesz a gúla negyedik csúcsa?
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 5.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) YZ XV d) FC DE
b) YG XH e) FZ EV
c) YG AV f) FZ DX
2. a) VZ-vel párhuzamos szakaszok: HG, EF, XY, AB, DC. b) XZ-vel párhuzamos szakaszok: EG, AC.
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 6.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
c) EZ-vel párhuzamos szakasz: XC.
d) YD-vel párhuzamos szakasz: FV.
3. a) A kocka és a VZY sík metszete: adottak a V, Z, Y pontok; VZ-vel párhuzamos az ABFE lapon az YX szakasz; YZ-vel párhuzamos az ADHE lapon az XV szakasz. b) A kocka és a HAB sík metszete: HA-val párhuzamos a BCGF lapon a BG szakasz; ABvel párhuzamos a CGHD lapon a GH szakasz.
a)
VII. Térgeometria
b)
VII.2. Rajzolgatunk 7.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
c) A kocka és a BZA sík metszete: BZ-vel párhuzamos az ADHE lapon az AV szakasz; ABvel párhuzamos a CGHD lapon a VZ szakasz. d) A kocka és a HXB sík metszete: HX-szel párhuzamos a BCGF lapon a BZ szakasz; XBvel párhuzamos a CGHD lapon a HZ szakasz.
c)
d)
4. a) K pont az EFGH négyzet középpontja, mivel az alaplap középpontja felett van, azaz a belőle az alaplap síkjára bocsátott merőleges az alaplap középpontjába érkezik meg. (A négyzet középpontját természetes átlóinak metszéspontjaként is megkaphatjuk.)
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 8.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
b) Az ABCD négyzet középpontjába kell állítanunk az m hosszúságú szakasszal azonos hosszúságú szakaszt, és ennek végpontja adja meg a keresett K pontot. A síkbeli ábrázoláson nincsenek egyenlő szárú háromszögek! (Persze, ha m kisebb, azaz K-t lejjebb tesszük úgy, hogy KK’ = K’D, akkor van.)
c) Az előző feladatban mondottak miatt a rajz helytelen, az ábra teteje a helyes ábrához képest balra van eltolódva. A K csúcsnak az alapnégyzet (az ábrán paralelogramma) középpontja „fölött” kell lennie axonometrikus ábrázolás esetén. (Persze egy feladathoz készített vázlatnak esetleg a fenti ábra is megteszi, pláne, ha az oldalélekre ráírjuk, hogy b, b, b, b.) d) A háromoldalú gúla negyedik csúcsa az alapháromszög súlypontja fölött van. A súlyvonal a vetületben is felezőpontba kerül, tehát az ABC háromszög súlypontját kell megszerkesztenünk, és ide felmérni az m szakasszal párhuzamosan a testmagasságot.
VII. Térgeometria
VII.2. Rajzolgatunk 9.oldal/9
