III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

III.4. JÁRŐRÖK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Algebra (és számelmélet), szöveges feladatok, mozgásos feladatok, geometria. Előzmények Az idő fogalma, mértékegység-váltás (perc – óra), a sebesség fogalma: v 

s , legkisebb t

közös többszörös, relatív prím fogalma. Cél Mozgásos feladatok előkészítése, mozgásos szituációk elképzelése, lejátszása fejben vagy eszközökkel, különböző megoldási módszerek megismerése. A modellalkotás és szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ + + + + + +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+ + + + + + +

+

Felhasználási útmutató Az ilyen típusú feladatoktól általában félnek a gyerekek, mert nehéznek érzik. Ez a feladatsor is látszólag bonyolult, pedig – remélhetően kiderül – nagyon egyszerű lépésekkel, ötletek nélkül megoldható, „csak” el kell képzelni a helyzetet, és egy picit számolni kell. Mindig érdemes egy teljes megoldás után visszakérdezni, hogy: „Mi okozott nehézséget neked a megoldásban?”, illetve, hogy: „Látva a megoldást, mit tartasz nehéznek?”. Ez azért fontos, mert sok gyereknek el is kell hinnie, hogy meg tudja oldani a feladatokat. Érdemes többféle megoldási módszert, gondolatmenetet összegyűjteni. Javasoljuk a gyerekeknek konkrét szituációk elképzelését, illetve lejátszását, kis számítás, előkészítés után a mozgás elképzelését, annak megállapítását, hogy adott időpillanatban hol vannak az autók! Az órán érdemes párokban dolgozni (kék és fehér, azaz külső és belső járőrautó), a feladatok megoldása során lehet modellezni a települést és az autókat. Az 1. c) és az 1. d) feladatok az 1. a) és az 1. b) feladatok megbeszélése után önálló munkában, akár otthon is megoldhatóak. A 3. b) feladatnál hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a külső autó többféle sebességgel haladhat!

III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás

III.4. Járőrök

1.oldal/10


A feladatok megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy értik-e a diákok a feladat szövegét. (Külső és belső körút, sebesség, irány, találkozás stb.) Tudnak-e sebességből és távolságból menetidőt számolni? Tudnak-e értelemszerű és megfelelő információkat kiszűrni, és a feladat megoldásához egyszerű számításokkal eljutni? A feladatok megoldásának különböző eredményességi szintjei lehetnek: a szituáció megértése; egy-egy autó „menetrendjének” kiszámítása; a „menetrendek” összevetése; a következtetések meghozása, válaszadás; a megoldás célszerű leírása; ötletes, az autók sebessége alapján számolással célhoz érő, rajzos, ábrás, grafikonos megoldás.


III.4. Járőrök

2.oldal/10


JÁRŐRÖK Feladat sor

Egy kistelepülés úthálózatát látjuk. A belső „körút” négyzet alakú, és minden utca 500 méter hosszú. Bolt

Rendőrség

Minden nap sötétedéstől másnap reggel 7-ig két „szuper-lassú” járőrautó biztosítja az ott lakók nyugalmát. Ha bármilyen problémát észlelnek, akkor nem állnak meg, hanem azonnal betelefonálnak a Rendőrségre, és onnan egy motoros járőr siet a helyszínre. A kék színű „Külső Járőrautó” a Bolttól indul, és a külső utcákat járja körbe-körbe, míg a fehér színű „Belső Járőrautó” a Rendőrség elől indul, és a belső „körúton” cirkál az ábrán feltüntetett irányokban.

H É T FŐ 1.

Hétfőn mindkét járőrautó állandó 12 km/h sebességgel rótta az utcákat. Este 10 órakor a Külső autó éppen a Bolt előtt, míg a Belső autó a Rendőrség előtt haladt el. a) Hány percig tart az egyik, illetve a másik autónak, míg megtesznek egy teljes „kört”? b) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? Add meg az összes találkozási helyszínt és időpontot! c) Hajnali 3 óra 15 perckor a belső autós járőr valami problémát észlelt, és azonnal riasztotta a motorost, aki 60 km/h átlagsebességgel haladva gyorsan a helyszínre ért. Hány órakor érkezett a motoros és hova? d) Hajnali 4 órakor valamelyik járőrautó riasztotta a motoros járőrt. Vajon hová ment a motoros?


III.4. Járőrök

3.oldal/10


K ED D 2.

Mivel hétfő hajnalban volt egy kis „zűr” a városban, így kedden a külső járőrautó állandó 18 km/h sebességgel haladt, míg a belső sebessége 9 km/h volt. Este 10 órakor a külső autó éppen a Bolt előtt, míg a belső a Rendőrség előtt haladt el. a) Találkozik-e a két autó valahol az éjszaka folyamán? Ha igen, akkor hánykor és hol? b) Az autók közötti rádiókapcsolat éjfélkor hirtelen megszakadt. A járőrök elővették a tartalék kézi adó-vevőjüket, de ezek hatótávolsága nem nagyobb 750 méternél. Egy perc negyven másodperc elteltével egyikük hívta a másik kocsit. Vajon tudtak-e egymással beszélni?

S Z E R DA 3. a) Szerdára teljesen megnyugodott a város. Ekkor a külső autó 10 km/h sebességgel cirkált egész éjszaka, míg a belső 12 km/h sebességgel. Este 10 órakor mindkét autó éppen a Boltnál haladt el. Találkoznak-e az éjszaka folyamán ismét a Boltnál? b) Szerda este a két járőr kicsit összeveszett, így, miután pontban 2200-kor a Boltnál voltak, már nem akartak többet találkozni reggelig. A belső autó továbbra is 12 km/h sebességgel haladt, a külső 8 km/h-ra csökkentette sebességét, hogy ne találkozzanak többé. Vajon sikerülhetett-e egész éjjel elkerülniük egymást?


III.4. Járőrök

4.oldal/10


MEGOLDÁSOK 1. a) A külső körút 4 km hosszú, így a külső autónak 12 km/h-s sebességgel haladva 1/3 óráig, vagyis 20 percig tart az út. A belső körút éppen fele olyan hosszú, így a belső autónak csak 2 km-t kell megtennie, ami 10 percig tart. b) Első megoldás (elemi) Kis folyamatábrán követjük az autók útját. A két autót a két kör szimbolizálja (a vastagabb vonallal határolt kör jelzi a belső autót). Bolt

Bolt

Bolt

Bolt

Rendőrség

Rendőrség

1000

Rendőrség

Bolt

Rendőrség

Rendőrség

1005

Bolt

Bolt

1010

Bolt

Bolt

Rendőrség

Rendőrség

Rendőrség

Rendőrség

1015

1020

Jól látszik, hogy az autók 10 perc múlva találkoznak a Rendőrségnél, majd újabb 10 perc múlva visszaáll a kiindulási helyzet. (Ez a 10, illetve a 20 perces menetidőket figyelembe véve érthető.) Majd minden kezdődik elölről. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor ... Második megoldás (a mozgás linearizálása, periodikusság, lkkt) Figyeljük az autók szirénáit, amelyek a 4 csúcspontban, a két körút találkozásánál „villannak nagyot”. A külső autó szirénája (5 perces eltolódásokkal) 20 percenként villan egy-egy csúcsban, a fehér autó szirénája (2,5 percenkénti eltolódásokkal) 10 percenként villan egy-egy csúcsban. 1. ábrázolás – időtengelyeken a villanás helyének összehasonlítása Fehér autó R Kék autó

B

B

R R

B

R B

B

R

Idő

R Idő


III.4. Járőrök

5.oldal/10


A két autó akkor találkozik, ha egy csúcsban egyszerre villan a két sziréna. Mivel a kezdeti villanás 2 sarokra történt, így leolvasható, hogy 1010-től kezdve 20 percenként találkoznak (lkkt (4,8) = 8). 2. ábrázolás – helytengelyeken a villanás idejének összehasonlítása

Fehér autó

R

Kék autó

R

B

R

B

R

B

R Hely

B

B

B

R Hely

R

R

Harmadik megoldás (következtetéses megoldás fejben „mozizóknak”) Mivel a két autó sebessége ugyanakkora, így amíg a külső autó megtesz egy kört, addig a belső két kört megy, vagyis amíg a külső megtesz fél kört, addig a belső egy kört megy, azaz éppen visszaér a Rendőrségre. Mivel a Bolt a Rendőrségtől fél körre van, így éppen találkoznak a Rendőrségnél. Innen számítva a belső újabb 2 kör megtétele után találkozik a külső autóval a Rendőrségnél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél: 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor … Negyedik megoldás (az „ÁRNYÉK” színre lép, az ötlet szerepe) Vegyük úgy, hogy a kék autónak van egy „árnyéka”, ami feleakkora sebességgel halad, de a belső körúton. (Tulajdonképpen „levetítjük” a mozgását a belső körútra merőlegesen.) A kék és a fehér autó pontosan akkor találkozik, amikor az „árnyék” és a belső autó találkozik, de csakis a két körút 4 közös csúcspontjának egyikében. Most az árnyék sebessége a belső autó sebességének a fele, így mivel a két autónak kezdetben fél kör volt a távolsága, először akkor találkoznak, amikor az „árnyék” éppen fél kört, a belső autó pedig egy kört haladt. Ez a Rendőrségnél lesz 1010-kor. Innen számítva a belső autó elhagyja az árnyékot, és két kör megtétele után éri utol (körözi le) ismét a Rendőrségnél stb. Tehát az autók 20 percenként találkoznak a Rendőrségnél: 1010-kor, 1030-kor, 1050-kor, 1110-kor … c) A belső autó 10 percenként visszaér a Rendőrséghez, így 310-kor is ott van. 5 perccel később a belső körút felénél jár, azaz 315-kor éppen a Boltnál lesz. A motorosnak 1 km-t kell robognia, azaz 1 perc alatt odaért a Bolthoz. d) Hajnali 4 órakor a belső autó a Rendőrségnél volt, a külső pedig a Boltnál. Így a motorosnak nem kellett sokat gondolkoznia, hogy melyik riasztási helyszínt válassza. A Bolthoz indult sebesen. 2. a) Első megoldás (a sebességek aránya a fontos) Mivel a külső körúton haladó külső autó kétszer akkora sebességgel halad, mint a belső, így ugyanannyi idő alatt kétszerannyi utat tesz meg. Míg a belső 500 métert gurul, addig a külső 1000 métert, így ismét átlósan szemben lesz a két autó. Ez így folytatódik az éjszaka során, így ezen az éjjelen nem találkozik többet a két autó. III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás

III.4. Járőrök

6.oldal/10


Illusztráció: Bolt

Bolt

Rendőrség

Bolt

Rendőrség

Bolt

Rendőrség

Bolt

Rendőrség

Rendőrség

Második megoldás (ismét segít az árnyék) Az „árnyék” [lásd 1. a) feladat Negyedik megoldás] és a belső autó is 9 km/h-s sebességgel halad a belső körúton. Így a két autó sohasem találkozhat többet ezen az éjjelen. b) Az előző megoldás illusztrációjában a 2. ábra ezt az időpontot mutatja.

Bolt 750 m

Rendőrség

Kerek órakor, így éjfélkor is a két autó mindig éppen az indulási helyén lesz, vagyis a külső a Boltnál, a belső a Rendőrségnél. A belső autó sebessége 9 km/h, azaz 9000 m m  2,5 , így 1perc 40 másodperc azaz 100 másodperc alatt 250 m utat tesz 3600 s s meg. A külső autó kétszer ilyen gyors, az ő útja ezalatt 1 km. Elhelyezkedésük az ábrának megfelelő, távolságuk a négyzet oldala + a szabályos háromszög magassága, ami a szabályos háromszög tulajdonságai alapján nagyobb, mint az oldalának fele (ui.: „látszik”, vagy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van a szabályos háromszög egyik felében). Így a távolság egyszerű alsó becslése a négyzetoldal + fél négyzetoldal távolsággal adódó 750 méter. (A szabályos háromszög magasságának ismeretében természetesen pontosabban is szá3 molhatunk, a távolság 500  500   933 m.) 2 Természetesen a becslésünkből adódóan nem ez az egyetlen időpont és az egyetlen helyzet, amikor a két autó távolsága nagyobb, mint 750 méter; az itt mondottakhoz képest egy „picit” előbb és később is vannak ilyen időpontok és az ezekhez tartozó megfelelő helyzetek. 3. a) Első megoldás (barkács) A külső autó 24 perc alatt megy egy teljes kört (4 km), a fehér autó 10 perc alatt (2 km). A külső autó a Boltnál van: 2224, 2248, 2312, 2336, 2400, 024, 048 … III. Számelmélet, számrendszerek, hatványozás

III.4. Járőrök

7.oldal/10


A belső autó a Boltnál van: 2210, 2220, 2230, 2240, 2250, 2300, 2310, 2320, 2330, 2340, 2350, 2400, 010 … Tehát találkoznak újra a Boltnál. Először éjfélkor találkoznak újra a Boltnál, majd rendre kétóránként. Éjjel 2-kor, 4-kor, 6-kor. Második megoldás (tipikus „sebességekkel manipuláló” megoldás, a lekörözés fogalma) A külső autó „árnyéka” [lásd 1.a) 4. megoldás] 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebességgel. Egy kör 2 km hosszú. Ha t óra múlva „találkoznak” (nem biztos, hogy valódi találkozás ez) először, akkor a külső autó 5t a belső pedig 12t km-t tett meg. Ebben a pillanatban a 2 belső autó éppen egy körrel ment többet a külsőnél, így: 12t = 5t + 2, ahonnan t = . 7 2 2 Ezek után is hasonlóan rendre -óránként találkoznak. óra alatt a belső autó 7 7 24 3 = 3 km-t haladt. Keressük az első olyan (biztosan valódi) találkozást, ami a Bolt7 7 nál lesz. Ez akkor következik be, amikor a megtett út a 2 km egész számú többszöröse. 2 3 6 2 5 1 4 Vegyük a óránként adódó megtett utakat: 3 , 6 , 10 , 13 , 17 , 20 , 24, …, 7 7 7 7 7 7 7 2 vagyis a 7. találkozás lesz először a Boltnál. Ez 7 = 2 óra múlva, azaz éjfélkor követ7 kezik be. Legközelebb hasonlóan éjjel 2-kor, majd 4-kor, illetve 6-kor találkoznak a Boltnál. 24 [Ha a k. találkozás az első a Boltnál, akkor k  = 2n (k és n pozitív egészek), ahonnan 7 12k  n . Mivel a tört értéke egész szám és a 12 és a 7 relatív prímek, így a k = 7 a leg7 kisebb pozitív megoldás.] Harmadik megoldás („itt szalad a legkisebb közös többszörös”) A külső autó „árnyéka” 5 km/h sebességgel halad, míg a belső autó 12 km/h sebesség2 2 1 gel. A külső autó egy kört óra alatt tesz meg, míg a belső autó  óra alatt. Mi5 12 6 2 12 1 5 vel  ,  . Számoljunk tovább a 12-vel és az 5-tel. (Számolhatnánk a 24 5 30 6 30 perccel és a 10 perccel is. Lkkt (10, 24) = 120, folytatás a továbbiakban leírtaknak megfelelően.) Olyan időt keresünk, amely a 12-nek és az 5-nek is többszöröse. A legkisebb 12 60 ilyen a 60, tehát 5   2 , azaz 2 óra múlva – éjfélkor – találkoznak ismét a Bolt30 30 nál. A találkozások ezután is 2 óránként lesznek a Boltnál.


III.4. Járőrök

8.oldal/10


b) Megmutatjuk, hogy ha a külső autó sebessége bármely, a belsőénél nem nagyobb páros szám, akkor mindenképpen találkoznak még az éjszaka folyamán. (Érdemes először egy egyszerű, a konkrét feladatra vonatkozó megoldást megmutatni a tanulóknak, s csak aztán mint általánosítást, az ittenit!) Első megoldás (barkács) Találkozás csak a belső körút 4 csúcsában lehetséges. A belső autó 1 óra alatt 12 km-t halad, így 500 métert 2,5 perc alatt tesz meg. A menetiránynak megfelelően a belső körút csúcsai: B (Bolt), C, R (Rendőrség), D. Készítsünk táblázatot, amiből kiderül, hánykor hol van a belső autó, illetve a külső autó lehetséges sebességei esetén mi a helyzet! B Belső autó

22

00

R 22

05

B 22

10

R 22

15

B 22

20

R 22

25

B 22

R

30

22

35

B 22

40

R 22

45

B 22

50

Külső autó, v = 12 km/h

2200 2210 2220 2230 2240 2250


2200 2212 2224 2236 2248 2300 2312 2324 2336 2348 2400


2200 2215 2230 2245 2300


2200 2220 2240


2200 2230 2300


2200 2300 2400


2200

R 22

55

B 2300

2210- kor újra találkoznak

Ha csak a Rendőrséget és a Boltot figyeljük, akkor is kiderül, hogy a két autó nem tudja elkerülni egymást. A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán. (Jobb lesz, ha gyorsan kibékülnek.) Második megoldás (tipikus „sebességekkel manipuláló” megoldás, relatív prímek) A külső autó árnyéka [lásd 1. a) Negyedik megoldás] 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 km-t tesz meg óránként. Mivel az „árnyék” mindenképpen lassabb a belső autónál, így a belső autó a „kék árnyékkal” akkor találkozik először, amikor először lekörözi a külső autót. Ha ez t óra múlva történik, akkor 12t = t1 + 2 vagy 12t = t2 + 2, …, 12t = t6 + 2, 2 2 2 2 2 2 ahonnan t = vagy vagy vagy vagy vagy (óra). 11 10 9 8 7 6 Ennyi idő alatt a belső autó által megtett út rendre: 12 12 12 12 12 12 s= vagy vagy vagy vagy vagy kör. 11 10 9 8 7 6 Egy-egy ilyen találkozás akkor lesz valódi találkozás a külső és a belső autó között, ha a 12 6 12 1 8 megtett út néhány negyedkör. Ezek alapján a  kör és a   kör már va8 4 6 2 4 lódi találkozás.


III.4. Járőrök

9.oldal/10


2 12 és az s = esetén először a 11. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra 11 11 12 múlva futnak össze. (Ugyanis k csak akkor lesz páros szám, ha a nevezőben lévő 11 11-gyel lehet egyszerűsíteni, azaz, ha 12k osztható 11-gyel. Mivel a 11 és a 12 relatív prímek, így k osztható 11-gyel. A legkisebb ilyen pozitív egész k a 11. ) 2 12 6 At= és az s =  esetén először az 5. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 1 10 10 5 óra múlva futnak össze. (Ugyanis …) 2 12 4 2 At= és az s =  esetén először a 3. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 9 9 3 3 óra múlva futnak össze. (Ugyanis …) 2 12 t= ,s= esetén először a 7. találkozás lesz valódi találkozás, azaz 2 óra múlva fut7 7 nak össze. (Ugyanis …) A külső autó bármilyen lehetséges sebessége esetén találkozni fognak, sőt ez többször is megtörténik az éjszaka folyamán.

At=


III.4. Járőrök

10.oldal/10

III.4. JÁRŐRÖK. A feladatsor jellemzői

Recommend Documents