Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
VII.10. TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Szögfüggvények a derékszögű háromszögben. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában. Előzmények Szinusz- és koszinusztétel, Pitagorasz-tétel, trigonometrikus összefüggések derékszögű háromszögekben. Cél Gyakorlati problémából kiinduló modellalkotás fejlesztése, adott valós elrendezéshez matematikai modell készítése, távolságok meghatározása a szögfüggvények segítségével. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + +
+
Felhasználási útmutató Ragaszkodjunk hozzá, hogy a tanulók minden feladat megoldása előtt készítsenek ábrát, azon jelöljék be és nevezzék el a feladat megoldása szempontjából fontos pontokat. Keressenek olyan háromszögeket, melyekben elég adatot ismerünk ahhoz, hogy a többi szöget és oldalt meghatározzuk. A feladat megoldása során fokozottan ügyeljünk a diákok figyelmes, értelmező szövegolvasására, mert e nélkül nehéz megfelelően elképzelni a szituációt, és megfelelő ábrát készíteni. Az első feladat két alkérdése a derékszögű háromszögben egyetlen szögfüggvény alkalmazásával megválaszolható. A 2. a) feladat bizonyos szempontból kakukktojás, hiszen nem használ szögfüggvényeket, csak Pitagorasz-tételt. Témájában azonban a feladatsorba illeszkedik, s felhívhatja a figyelmet a várakozásoktól eltérő megoldási módszerekre, ami az érettségi felkészülés időszakában feltétlenül hasznos. A 2. b) és a 3. feladatban a szinusz- és koszinusztételre van szükség, a 3. b) feladat ezen belül szokatlannak s így nehéznek számít. Érdemes arra figyelni, hogy a feladatok valóságosnak tekinthető szituációkat modelleznek, olyan adatokból indulnak ki, melyek ténylegesen mérhetőek lennének. Így a megoldások végén is célszerű meggondolni, életszerű-e az a végeredmény, amit kaptunk. Figyeljünk arra VII. Térgeometria
VII.10. Tornyosuló problémák 1.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
is, hogy milyen pontossággal érdemes megadni a válaszokat. (Számítások közben végzett kerekítésekből eredő hibák felnövekedése.) A megoldás során érdemes figyelni a térbeli helyzet szöveg alapján való helyes elképzelésének készségére a tanulóknál. Figyeljük, hogy tudnak-e a feladatnak megfelelő ábrát készíteni! Fontos megfigyelni, hogy milyen a tanulóknak a térbeli helyzet látványszerű ábrázolásának készsége; szögfüggvények, szinusz- és koszinusztétel használatában való jártassága. Megfigyelhető ennél a feladatsornál a tanulók realitásérzéke az eredmények megadásánál. A trigonometriából minimális alapismeretekkel rendelkezőknek is meg kell tudniuk oldani az első feladatot. A 2. a)-hoz – noha csak Pitagorasz-tételen alapul – már egy ügyes ötletre is szükség van. A 2. b) és a 3. a) feladat egy újabb szintet jelent, de a szinusz- és koszinusztételt készségszinten alkalmazóknak nem okozhat gondot néhány lépésben megtalálni a megoldást. Valószínűleg elsőre sokan nem a legrövidebb utat fogják megtalálni, ekkor érdemes végiggondolni, hogy hogyan lehetett volna kevesebb lépésben eljutni a végeredményhez. A 3. a) feladat megoldása gondot okozhat a tanulók egy részének, ebben az esetben érdemes tanári segítséget adni hozzá. A 3. b) feladat megoldása a legjobbaknak sikerülhet.
VII. Térgeometria
VII.10. Tornyosuló problémák 2.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
TORNYOSULÓ PROBLÉMÁK Feladat sor Ebben a feladatsorban hat különböző helyzetben hat különböző épület magasságát kell meghatároznunk. 1. a) Megmérjük egy torony árnyékának hosszát, ez 10,5 méternek adódik. Tudjuk továbbá, hogy a napsugarak ekkor kb. 75o-os szögben érik a talajt. Milyen magas a torony? b) Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy 30 méter hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél 68o-os szögben hajlik a talajhoz. Milyen magasan van az ablak? 2. a) Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy ismeretlen hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél vége 7,5 méterre található a ház falától. A kötélhez újabb 5 méternyi kötelet betoldva és ismét megfeszítve a kötél vége ezúttal 19 méterre található a ház falától. Milyen magasan van az ablak, és milyen hosszú volt eredetileg a kötél? b) Egy folyótól nem messze álló kilátó tetejéről a 220 méter széles folyó innenső partjának legközelebbi pontja 38o-os, a túlsó partjának legközelebbi pontja 9o-os depresszió szög alatt látszik (azaz a vízszinteshez képest ennyi fokkal kell lefelé néznünk). Milyen magas a kilátó? 3. a) Egy számunkra megközelíthetetlen hegy tetején álló adótorony magasságát szeretnénk meghatározni. Ezért felvesszük az egymástól 90 méterre lévő A és B pontokat úgy, hogy a B pontból az A pont és a torony (ebben a sorrendben) egy irányban látszódjanak. Az A pontból a torony alját 41o30'-es, a tetejét 49o-os, a B pontból a torony alját 34o15'-es emelkedési szögben látjuk (azaz a vízszinteshez képest ennyi fokkal kell felfelé néznünk). Milyen magas az adótorony, és milyen magas a hegy, amelynek a tetején áll? (Segítség: Milyen messze van az A pont a torony T tetejétől? Jelölje a torony alját a hegy tetején a T’ pont, a TT’ egyenesnek a vízszintes talajjal való metszéspontját pedig H. Vizsgáld az ATT’ és AHT’ háromszögeket!) b) Egy folyó túlsó partján álló kilátó magasságát kell meghatároznunk. Ezért az innenső parton felvesszük az A és a B pontokat úgy, hogy a köztük levő távolság 50 méter legyen. Az A pontból 62o-os, a B pontból 38o-os emelkedési szögben látszik a torony teteje, valamint megmérjük, hogy az A pontból milyen szögben látszik a torony talppontját és a B pontot öszszekötő szakasz. Ez a szög 96o-osnak adódik. Milyen magas a kilátó? (A feladat megoldását a mellékelt vázlatrajz segíti.) VII. Térgeometria
VII.10. Tornyosuló problémák 3.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) Legyen a torony magassága t. tg 75
t , ebből t 10,5 tg75 39,2 (m). 10,5
Tehát 39,2 méter magas a torony.
a)
b)
b) Jelöljük az ablak földtől számított távolságát t-vel. Erre teljesül, hogy sin 68
t . 30
Ebből t 30 sin 68 27 ,8 (m). Tehát 27,8 m magasan van az ablak. 2. a) Az ablak magasságát t-vel, a kötél hosszát k-val jelölve: t 2 k 2 7,52 (k 5) 2 19 2 . A k-ra kapott egyenletből 0 10k 25 19 2 7,52 , amiből k 28 méter. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy t 27 méter magasan van az ablak.
a) b) b) A kilátótorony tetejét jelölje T, alját T’, a folyó innenső partjának legközelebbi pontja legyen A, a túlsó part legközelebbi pontja legyen B. Ezekkel a jelölésekkel TAT’ ) = 38o, tehát TAB ) = 142o, TBT’ ) = 9o, ATB ) = 29o. A TAB háromszögben felírható a szinusztétel a TA oldalra: TA sin 9 sin 9 , s ebből TA 220 71 (m). 220 sin 29 sin 29 TAT’ háromszögből TT ' TA sin 38 43,7 méter magas a kilátó. (A többi távolság: T’A 55,9 m; TB 275,9 m.) Megjegyzés: Természetesen a feladat megoldható a színusztétel alkalmazása nélkül is a TT’ és TA-ra felírt egyenletrendszerrel: TT ' tg 38 TA . TT ' tg 9 TA 200 Ezt a megoldást most nem részletezzük. VII. Térgeometria
VII.10. Tornyosuló problémák 4.oldal/5
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
3. a) Az adótorony tetejét jelölje T, alját T’, a toronynak a talaj síkjára eső merőleges vetülete pedig legyen H. T’AH ) = 41,5o, tehát T’AB ) = 138,5o. T’BA ) = 34,25o, míg AT’B ) = 7,25 o. A T’AB háromszögben felírható a szinusztétel a T’A oldalra: T ' A sin 34,25 sin 34,25 401,4 (m). , s ebből T ' A 90 90 sin 7,25 sin 7,25 A hegy magassága a T’HA háromszögből: T ' H T ' A sin 41,5 266 m. A TT’A háromszögben T’AT ) = 7,5o és T’TA ) = 41o. TT ' sin 7,5 sin 7,5 Itt a szinusztétellel: , s ebből TT ' 401,4 79,9 (m). T ' A sin 41 sin 41 Tehát 79,9 méter magas az adótorony. (A többi távolság: HA 300,6 m; AT 458,2 m; BT’ 472,6 m; BT 521,7 m.) Megjegyzés: A szinusztételt mellőző számítás itt már jóval bonyolultabb lenne!
a)
b)
b) A kilátótorony tetejét jelölje T, alját pedig T’, a TT’ távolság pedig legyen t. TT ' TT ' Ekkor T ' A 0,532t és T ' B 1,280t. tg 62 tg 38 Az ABT’ háromszögben a T’B oldalra felírva a koszinusztételt: 1,280t 2 0,532t 2 502 2 0,532t 50 cos 96 ; 1,638t 2 0,283t 2 2500 5,558t ; 1,356t 2 5,558t 2500 0 . A megoldóképletből t –40,954 vagy t 45,054. A negatív gyök nyilván nem megoldás, a kilátó tehát kb. 45 méter magas.
VII. Térgeometria
VII.10. Tornyosuló problémák 5.oldal/5
