VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS A feladatsor jellemzői Tárgy, téma A háromszögek, négyszögek területe rácssokszögek segítségével. Előzmények A terület fogalma. Cél A már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek területének) átismétlésére, átgondolására, a fogalom elmélyítése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ + +

+ +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+ + + + + +

Felhasználási útmutató A feladatsor feldolgozása kétféleképpen történhet: hagyományos módon, a feladatokat egymás után megoldva órai munkában, vagy társasjáték formájában. A társasjáték szabályai és minden egyéb tudnivaló a feladatsor végén levő tájékoztatóban található. A társasjáték pályája az iskolai táblára rajzolható, kivetíthető, vagy kinyomtatva minden csapat kezébe adható, ez a tanári döntés függvénye. Ha társasjáték során dolgozzuk fel a feladatokat, akkor minden csapatnál szükséges eszköz a négyzethálós papír, írószerszámok, színes ceruza, dobókocka, csapatonként 1 db A4-es sima papír és olló. Az 1., 2. és 6. feladatokat önálló munkára ajánljuk. Az 5. és 6. feladat ábráit készítsük el előre, majd az óra végén vessük össze a tanulók megoldásaival! Az 1. feladatban a terület számítása feltehetőleg úgy történik, hogy az alakzatokat kisnégyzetre darabolják a diákok, és megszámolják, hány ilyen egység fért bele az egyes sokszögekbe. Akik a területszámítás képleteire emlékeznek, és értették az összefüggéseket, lehet, hogy egyes elemek, egyes részek területeinek kiszámolásához felhasználják azokat. A 2. feladat megoldásához tanári segítség nyújtható. Érdemes hangsúlyozni, hogy erre a feladatra végtelen sok megoldás adható aszerint, hogy a párhuzamos egyenes melyik pontját kötik össze az alappal. A végtelennel való ismerkedést is segíti ez a feladat. A 3. és a 4. feladat egymásra épül, ezért aki az elsőt nem tudja megoldani, a másodiknál sem lesz sikeres.

VI. Síkgeometria

VI.7. RÁCSodálkozás

1.oldal/18


Ezért fontos a 3. feladat megbeszélése. Aki érti a háromszög területképletét, az a 2–4. feladatokat várhatóan egyedül és gyorsan megoldja. Az 1. feladatnál át lehet betűzni a sokszögeket úgy, hogy az azonos területű sokszögek betűjelei sorban egy-egy értelmes magyar szót adjanak ki. Például: Mi volt a betűjele:

G

D

F

J

N P R

B

C H K M Q A E L O

Mit írjunk rá:

Az e

sz

k

i m ó

pi

n g

e

pi

in

t

á r u l

r

n

á sz

v

k

g

az

v

L

m

in u

t

i ó

Az 1. feladat várhatóan senkinek nem jelent majd nehézséget. A 2. feladat lehet nehéz, ha még valaki nem találkozott ilyen problémával, vagy általában is nehezebben boldogul a matematikával. Ha a tanuló a 2. a) megoldását már ismeri, akkor a b) feladatot remélhetőleg már meg tudja oldani. Ha ez mégsem történik meg, akkor kérjük meg, hogy foglalja össze az a) megoldását. Talán a szóbeli megfogalmazásban (számára is) kiderül, hogy hol nem érti a feladat megoldását valójában. A 3. és a 4. feladat egymásra épül. Itt már a terület képletét kell érteni. Az 5. feladat a begyakorlást teszi lehetővé, a 6. feladat a jobb képességűeknek ad munkát.

VI. Síkgeometria


2.oldal/18


RÁCSODÁLKOZÁS Feladat sor

Az alábbi ábrákon megfigyelheted, hogy a sokszögek csúcspontjai csak rácspontokon helyezkednek el. Ezeket rácsponti sokszögeknek nevezzük. Most ilyen típusú sokszögekkel fogunk foglalkozni, ilyeneket rajzolunk. Azt a területet, amelyet egy kisnégyzet lefed, 1 területegységnek nevezzük. FEDI - FERI - TERI - TERÜ 1.

Az alábbi ábrán mely sokszögeknek azonos a területe? Mekkora területű sokszögeket találtál?

2. a) Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek van 1 egység hosszú oldala és a területe 3 területegység (és természetesen a csúcsai rácspontokon helyezkednek el)! b) Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek van 2 egység hosszú oldala és a területe 4 területegység (és természetesen a csúcsai rácspontokon helyezkednek el)! c) Hogyan rajzolnál meg olyan háromszöget, amelynek a területe 8, 10, 2006 területegység? Keress több megoldást!

A M A PE R 2 3.

Az ábrán két nagyobb rácsháromszöget láthatunk. Melyik területe nagyobb, a felsőé vagy az alsóé? Mekkora a területük?

VI. Síkgeometria


3.oldal/18


4. A Q pont valahol az AB oldalon helyezkedik el, nem feltétlenül B rácsponton. a) Mikor a legnagyobb a CDQ háromszög területe? b) Hányad része a sötét rész területe a téglalapnak?

Q

A

C

D

5. Mekkora a síkidomok területe? (1 területegység legyen a kis rácsnégyzet területe.)

A

B

C

E

D

F

H G

Alakzat Terület

A

B

C

D

E

F

G

H

N E C SA K E GY Ü N K , I GY U N K I S

6. a) Hat testvér egy hatalmas legelőt örökölt. A legelő rajzán a pöttyök az itató kutakat jelzik. A testvérek szeretnék felosztani a legelőt hat egyenlő területű részre úgy, hogy minden legelőn legyen kút. Először hat egyenlő területű, négyszög alakú részre bontották a területet. Bontsd fel te is hat egyenlő területű négyszögre!

VI. Síkgeometria


4.oldal/18


b) Később kiderült, hogy ezek a kutak már nem is olyan jók, ezért elhatározták, hogy a régi gémeskutakat használják inkább. Ezek helyét a következő ábrán lehet látni. Most 6 háromszög alakú részre osztották a területet igazságosan (azaz egyenlő területű részekre). Bontsd fel te is csak háromszögekre igazságosan!

c) Sajnos ezek a régi kutak kiszáradtak, így úgy döntöttek, hogy új kutakat fúrnak. Hamar el is készültek az új kutak, és a legelőt is felosztották igazságosan (azaz egyenlő területű részekre), méghozzá úgy, hogy négyszög és háromszög alakú legelőrész is kialakult. Bontsd fel te is igazságosan úgy, hogy legyen benne háromszög és négyszög is!

VI. Síkgeometria


5.oldal/18


MEGOLDÁSOK 1.

0,5; 1; 1,5 és 2 területegység nagyságú sokszögeket láthatunk: 0,5 területegység: G; 1 területegység: A, E, L, O; 1,5 területegység: D, F, J, N, P, R; 2 területegység: B, C, H, K, M, Q.

2. a) A háromszög 1 egység hosszú oldalára 6 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk az 1 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 1 egység hosszú oldaltól 6 egység távol van. A végtelen sok megoldásra fel is hívhatjuk a gyerekek figyelmét. b) A háromszög 2 egység hosszú oldalára 4 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk a 2 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 2 egység hosszú oldaltól 4 egység távol van. c) Terület 8 10 2006 Oldal (b)

1 2 4 8 1

2 4 5 10 20

Magasság (mb) 16 8 4 2 20 10 5 4 2

3.

1

2

17 34 59 118 1003 2006

1 4012 2006 118 59 34 17

A két háromszög területe ugyanakkora: T 

2

1

am 62   6. 2 2

4. a) A terület független a Q pont helyzetétől, mert csak az alaptól és a hozzá tartozó magasságtól függ, ami jelen esetben állandó. (A vízszintes oldalt nevezzük alapnak.) b) A besatírozott rész a téglalap fele. Ez a téglalap és a háromszög területének számításával vagy átdarabolással könnyen adódik.

VI. Síkgeometria


6.oldal/18


5.

A megfelelő területeket a bennfoglaló téglalap területének segítségével számoljuk ki. Az A jelű (derékszögű) háromszög területe: 34 T  6 területegység. 2 A B jelű (egyenlőszárú) háromszög területe: 44 T  8 területegység. 2 44 A C jelű háromszög területe: T  8 2 területegység. A D jelű paralelogramma területe: 24 T  64  2  16 területegység (vagy a 2 megfelelő területképlettel számolva: T  4  4 =16 területegység). 54 Az E jelű paralelogramma területe: T  9  4  2   16 területegység (vagy a megfe2 lelő területképlettel számolva: T  4  4 =16 területegység). 44 Az F jelű négyszög (négyzet) területe: T =  8 területegység (vagy a megfelelő 2 44 átlós területképlettel számolva: T  = 8 területegység). 2 1 4 1 5 1 6 A G jelű négyszög területe: T  5  6     22,5 területegység. 2 2 2 1 3 1  7 2  4 2  4 A H jelű négyszög területe: T  5  7  2  1      20 területegység. 2 2 2 2

6.

Az alábbiakban egy-egy megoldást láthatunk az egyes részfeladatokra. (Érdemes utánagondolni, hogy van több megoldás is.) a) b) c)

VI. Síkgeometria


7.oldal/18


TÁRSASJÁTÉK A

JÁ T É KT Á BL A

SZABÁLYOK Előkészületek – – – –

Minden csapat választ egy sort és a nevüket (pl. rozmárok) eléírják az első mezőbe. Eldöntik, hogy ki írja a csapat pontszámát, illetve a válaszokat. A csapatok (2–3 fő) a csapatnév mezőről indulnak. Amelyik csapat a legnagyobbat dobja három kockával, az kezd.

Indul a játék – A csapatok dobnak egymás után. – Minden mezőn egy-egy feladat, villámkérdés, jutalompont vagy egyéb akció van. – Sima mezőre lépve (az 5-tel nem osztható sorszámúak) csak az a csapat játszik, amelyik rálépett (pl. a villámkérdésre csak ők válaszolhatnak). – Feladatmezőre lépve (5., 10., 15., ..., 35. mező) minden csapatnak jön az aktuális feladat. – A feladatmezők melletti sárga négyzetben álló szám jelzi, hány segítség van az aktuális kérdéshez. – Amennyiben egy csapat átlép egy feladatmezőn (pl. a 4.-ről a 7.-re lép), előbb a mezőn lévő kérdést, akció-utasítást kapja meg, majd az átlépett feladatmezőn lévő feladatot az összes csapat. VI. Síkgeometria


8.oldal/18


– Ha egy mezőn villámkérdés vagy feladat volt és valaki már rálépett, akkor az a mező kiürül, és későbbi rálépés esetén itt nem történik semmi. Az akciómező nem ürül ki rálépés után. (Akciómezők: 3., 4., 9., 13., 21., 23., 26., 29., 31., 32.) – A villámkérdések 3 pontot érnek, és 30 másodperc van a válaszadásra. – Minden feladat 10 pontot ér, a segítségek felhasználása 1-1 pont levonását jelentik a szerzett pontszámból. – A feladatok segítség nélküli megoldására szánható idő 2 perc. A válaszokat le kell írni, majd megmutatni a játékvezetőnek (tanárnak), aki pontot ad rá. – A segítségek kis lapokra vannak felírva és megszámozva. Ha egy csapat 2 perc alatt nem boldogul, feladhatja, vagy kérhet segítő kérdést. Ekkor további 1 perce van a segítő kérdés és az eredeti feladat megválaszolására. A segítő kérdések megválaszolásáért nem jár pont. Ha nem elegendő a segítség, kérhet másik segítő kérdést (ha még van) további 1 percre a válaszokkal együtt. Így egy feladat teljes megoldására akár 6 percet is szánni kell, ha valamelyik csapat kikéri az összes segítséget, és minden időt kihasznál. – Az első három célba érkező csapat plusz 5, 4, illetve 3 pontot kap. – A játékot az a csapat nyeri, amelyik a legtöbb pontot gyűjti.

A pontok adminisztrálása – A pontokat írhatja minden csapat saját magának a lapjára, vagy vezetheti a tanár egy nagy összesítő táblázatban.

Kellékek – Nagy méretű játéktábla egy nagy asztalon, a falon vagy a táblán, rajta bábuk. (Ha a falon vagy a táblán van, akkor mágnessel vagy ragaccsal – „blutek” – lehet rögzíteni a bábukat, vagy filccel, illetve krétával + szivaccsal is lehet követni a lépéseket.) Írásvetítővel a falra is vetíthető a fóliára nyomtatott tábla, ebben az esetben a bábukat árnyékuk jelzi. – Csapatonként 1 db A4-es sima papír + olló. – Minden csapatnál négyzethálós papír, írószerszámok, színesceruza. – Minden csapatnak 1-1 dobókocka.

VI. Síkgeometria


9.oldal/18


AZ EGYES JÁTÉKMEZŐK TARTALMA START 1. Mennyi az egyjegyű pozitív egész számok összege? 2. Hány átlója van egy hatszögnek? 3. Dobjatok a kockával kétszer! Ha a dobott számok összege páros, 3 pontot kaptok. 4. Menjetek vissza a Start mezőre! 5.

Az alábbi ábrán mely sokszögeknek azonos a területe? Mekkora területű sokszögeket találtál?

Segítségek S5-1. Melyik szám a nagyobb: két fél és egy egész összege vagy három egészből két fél? S5-2. Melyik az a szám, amely kétszeresének a fele éppen a 138? 6. Mekkora egy 6 cm-es befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög területe? 7. Egy négyzet kerülete 32 cm. Mekkora a területe? 8. Rajzoljatok egy konvex 12-szöget! 9. Dobjatok négyszer a kockával! Ha nincs a dobások között egyes, akkor 3 pontot kaptok. 10.

Rajzolj egy olyan rácsháromszöget, amelynek van 1 egység hosszú oldala és a területe 4 területegység! Segítségek S10-1. Rajzolj egy olyan téglalapot, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm2! S10-2. Rajzolj egy olyan rombuszt, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm2!

11. Két prímszám szorzata 4006. Mennyi az összegük? 12. Mennyi 99101? 13. Menj vissza két mezőt! 14. Két egész szám szorzata 2009. Lehet-e az egyik szám a 15?

VI. Síkgeometria


10.oldal/18


15.

Hogyan rajzolnál meg egy olyan háromszöget, amelynek a területe 23 területegység? Írd le röviden! Segítségek S15-1. Melyik állat a magasabb: egy 75 cm hosszú tacskó, vagy egy 50 cm magas őzgida? S15-1. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzata?

16. Melyik szám a nagyobb: 12508 vagy 24825? 17. Igaz-e, hogy a Kékes alacsonyabban van, mint Magyarország legmagasabb pontja? 18. Ha 3 kockadobásból összesen legalább 12-t dobtok, akkor 3 pontot kaptok. 19. Vágjatok ki papírból két pontosan ugyanolyan háromszöget! (Kellék: sima papír + olló.) 20.

Az ábrán két nagyobb rácsháromszöget láthatunk. Melyik területe nagyobb, a felsőé vagy az alsóé? Mekkora a területük?

Segítségek S20-1. Melyik szám a nagyobb: az 56 fele, vagy az a szám, aminek a fele a 14? S20-2. Bontsd fel a 100-at két prímszám összegére! Szorozd meg a prímeket 3-mal! Mennyi az így kapott számok összege? S20-3. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzatának a fele? 21. Dobjatok négyszer a kockával! Ha a dobások között van hatos, kaptok 3 pontot. 22. Igaz-e, hogy egy paralelogramma átlója felezi a területét? 23. Menjetek vissza a 19. mezőre! 24. Egy háromszög AB oldala 12 cm hosszú, a területe 120 cm2. Milyen messze van a C csúcs az AB oldal egyenesétől? 25.

Hányad része a sötét rész területe a téglalapnak? Q B A

C

D

Segítségek S25-1. Az ABCD téglalap területe 14 területegység. Mekkora az ABC háromszög területe? S25-2. Ha a Q pont az AB oldal felezőpontja, akkor mennyi a háromszög területe? 26. Dobjatok kétszer! Ha a dobott számok összege nem prím, akkor 3 pontot kaptok. VI. Síkgeometria


11.oldal/18


27. Legyen EFGH egy paralelogramma. Igaz-e, hogy TEFG  TEFH ? 28. Legyen EFGH egy trapéz, egyik alapja EF. Az EFG vagy az EFH területe nagyobb? 29. Menjetek előre egy mezőt! 30.

A Q pont valahol a AB oldalon helyezkedik el, nem feltétlenül rácsponton! Mikor a legnagyobb a CDQ háromszög területe? Q B A

C

D

Segítségek S30-1. Függ-e a háromszög területe a színétől? S30-2. Igaz-e, hogy a téglalap átlója két egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontja a téglalapot? S30-3. Igaz-e, hogy ha két háromszögnek ugyanakkora egy magassága, akkor egyenlő a területük? 31. Dobjatok kétszer! Ha a második dobás nagyobb az elsőnél, akkor 3 pontot kaptok. 32. Menjetek vissza 1 mezőt! 33. Hány mező van az 1. és a 35. mező között? 34. Mi a kedvenc színetek? 35. Dobjatok a kockával, ha 1-et dobtok célba értetek, ha nem, maradtok ezen a mezőn, és újra dobtok a következő körben. CÉL

VI. Síkgeometria


12.oldal/18


1. melléklet – Ábrák a csapatoknak az 5. feladathoz

VI. Síkgeometria


13.oldal/18


2. melléklet – Ábrák a csapatoknak a 20. feladathoz

VI. Síkgeometria


14.oldal/18


3. melléklet – Ábrák a csapatoknak a 25. és a 30. feladathoz

B

Q

C B

Q

C B

Q

C B

C

VI. Síkgeometria

Q

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

Q

A

D Q

A

D Q

A

D Q

A

D


15.oldal/18


4. melléklet – SEGÍTSÉGEK Ezt a lapot csíkokra lehet vágni, és kiosztani a csapatoknak, ha éppen kérik. Ennek megfelelően annyi példányban kell sokszorosítani, ahány csapat van.

S5-1. Melyik szám a nagyobb: két fél és egy egész összege vagy három egészből két fél? S5-2. Melyik az a szám, amely kétszeresének a fele éppen a 138? S10-1. Rajzolj egy olyan téglalapot, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm2! S10-2. Rajzolj egy olyan rombuszt, amelynek van 4 cm hosszú oldala és a területe 8 cm2! S15-1. Melyik állat a magasabb: egy 75 cm hosszú tacskó, vagy egy 50 cm magas őzgida? S15-2. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzata? S20-1. Melyik szám a nagyobb: az 56 fele, vagy az a szám, aminek a fele a 14? S20-2. Bontsd fel a 100-at két prímszám összegére! Szorozd meg a prímeket 3-mal! Mennyi az így kapott számok összege? S20-3. Igaz-e, hogy a háromszög területe egy oldal és egy magasság szorzatának a fele? S25-1. Az ABCD téglalap területe 14 területegység. Mekkora az ABC háromszög területe? S25-2. Ha a Q pont az AB oldal felezőpontja, akkor mennyi a háromszög területe? S30-1. Függ-e a háromszög területe a színétől? S30-2. Igaz-e, hogy a téglalap átlója két egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontja a téglalapot? S30-3. Igaz-e, hogy ha két háromszögnek ugyanakkora egy magassága, akkor a egyenlő területük?

VI. Síkgeometria


16.oldal/18


EREDMÉNYEK, MEGOLDÁSOK, VÁLASZOK 1. 2. 5.

6. 7. 10.

11. 12. 14. 15.

16. 17. 19.

20.

22. 24.

45. 9. 0,5; 1; 1,5 és 2 területegység nagyságú sokszögeket láthatunk: 0,5 területegység: G; 1 területegység: A, E, L, O; 1,5 területegység: D, F, J, N, P, R; 2 területegység: B, C, H, K, M, Q. S5-1. Egyenlők. S5-2. 136. 18. 64. A háromszög 1 egység hosszú oldalára 8 egység hosszú magasságot állítunk, és a magasság végpontján át párhuzamost húzunk az 1 egység hosszú szakasszal. Ennek az egyenesnek minden pontja megoldás, hiszen az 1 egység hosszú oldaltól 20 egység távol van. A végtelen sok megoldásra fel is hívhajuk a gyerekek figyelmét! S10-1. Az oldalai 4 cm és 2 cm. S10-2. A 4 cm-es oldalhoz tartozó magasság 2 cm. Az egyik prím biztosan a 2, a másik szám a 2003 (ami prím). Az összegük 2005. 9999. Nem, mivel a 2006 nem osztható 15-tel, hiszen nem osztható 5-tel. Hasonlóan a 10. feladathoz olyan háromszöget rajzolunk, melynek az egyik oldala 1 egység és a rá merőleges magasság 46 egység hosszú, vagy az oldal 46 egység hosszú és a rá merőleges magasság 1 cm, vagy 2–23, 23–2 elosztás is jó. (Elegendő egy jó válasz a négyből.) S15-1. Az őzgida. (Amit persze tapasztalatból tudunk, nem az adatokból. A kérdés persze inkább „költői”, mint megválaszolandó, célja a keresett háromszög alakjára való rávezetés.) S15-1. Nem igaz. Egyenlőek Nem igaz, mert ez éppen a Kékes. Jó megoldások (más megoldás is lehet jó): – Ha az átló mentén elvágják a lapot. – Ha egymásra raknak két papírt, vagy összehajtják a papírost, akkor könnyű kivágni két egybevágó háromszöget. am 62 Mindkét háromszög területe ugyanakkora: T    6. 2 2 S20-1. Egyenlőek. S20-2. 300. (Valóban van két ilyen prím, pl. a 3 és a 97.) S20-3. Nem igaz, mert az oldalhoz tartozó magasságra van szükség. Igen. 20 cm-re.

VI. Síkgeometria


17.oldal/18


Fele. Indokolni kell! Pl.: a Q-ból merőlegest állítva CD-re kapjuk W-t. CWQB és WDAQ téglalapok területét a CQ és QD átlók felezik, így a fehér és a kék rész területe egyenlő. Hasonló eredményre jutunk, ha kiszámítjuk a CDQ háromszög területét. S25-1. 7 területegység. S25-2. Fele. 27. Igen, mert közös az AB oldal, és az ehhez tartozó magasság mindkét háromszögben ugyanolyan hosszú. 28. Egyenlő nagyságú, mert közös az AB oldal és az ehhez tartozó magasság mindkét háromszögben ugyanolyan hosszú. 30. A terület független a Q pont helyzetétől, mert csak az alaptól és a hozzá tartozó magasságtól függ, ami jelen esetben állandó. (A vízszintes oldalt nevezem alapnak.) S30-1. Nem. S30-2 Nem. S30-3. Nem. 33. 33. 34. Minden olyan válasz, ami egy színt ad meg, pontot ér. 25.

VI. Síkgeometria


18.oldal/18

VI.7. RÁCSODÁLKOZÁS. A feladatsor jellemzői

Recommend Documents