Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
IX.4. FESZTIVÁL A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Leíró statisztika: megoszlási viszonyszámok – relatív gyakoriság, grafikus ábrázolás és grafikonok elemzése. Előzmények Százalékszámítás, adatok grafikus ábrázolása, kördiagram, oszlopdiagram készítésének ismerete. Cél Megoszlási viszonyszámok értelmezése, alkalmazása a gyakorlatban, számítások elvégzése a segítségükkel, valamint ábrázolásuk. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + +
Felhasználási útmutató A feladatsor feldolgozásához szükség van szögmérőre, és nagy segítséget nyújt, ha a számításokat az Excel programcsomag segítségével végezzük el, illetve a kézzel készített diagramok után ugyanezeket az adatsorokat ábrázoljuk az Excel diagramtípusainak segítségével is. Az adatok kiértékelése gép nélkül sok számolást igényel, ezeket lehet csoportmunkában megosztani, a lényegen ez a munkaforma nem változtat. Az egyéni munka ebben az esetben eléggé monoton a sok azonos jellegű számítás elvégzése miatt. Az 1–3. feladat fokozatosan nehezedik, egyre komplexebb feladatmegoldást igényel. A 4. feladat a megoldás számítási részét tekintve a 2. feladattal egyenértékű, ám az interpretáció során már kritikai összehasonlításra késztetjük a diákokat: összevetjük a számadatokat és a megadott ábrázolást, s megnézzük, mennyire pontosan adják vissza a középiskolás atlaszban szereplő egyszerű kördiagramok a valós adatokat, összefüggéseket, valamint megvitatjuk az eltérések okait. A 3–4. feladatban a kerekítésekből adódó hibákat is korrigálni kell, a meglévő adatok alapján. A 2. feladatban diagramot készítünk, a 4. feladatban pedig kész diagramot elemzünk, értelmezünk.
IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
1.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
A feladatok szövege a diákok még jobb motiválása érdekében tehető érdekesebbé egyéni ötletekkel. Például a 3. feladatban úgy is fel lehet tenni a kérdést, hogy a Föld felületének hány százalékát járhatjuk be kerékpárral, autóval, továbbá hajóval. Ezzel egyfajta képzeletbeli utazás részesei lehetünk a feladatok feldolgozása során. A feladatsor megoldása egyszerű számítási műveleteket igényel. A hangsúly a feladatok megértésén, az arányokkal, százalékokkal való súlyozás gyakorlásán van, valamint a sokaságon belüli arányok, a megoszlási viszonyszámok grafikus megjelenítésén. Az ábrázolás kapcsán áttekintjük és alkalmazzuk az ehhez szükséges és erre alkalmas diagramtípusokat. A diagramokat az Excel programcsomag segítségével könnyen és gyorsan elkészíthetjük. E nélkül szükség van különféle számításokra, például kördiagram esetén a körcikkek területarányainak megadására, vagyis a szögük kiszámítására és felmérésére. Ezt kérjük számon a 2. d) feladatban. A feladatsor megoldása során értékeljük a tanulóknál a feladat értelmezését, a számítások elvégzését, a megfelelő diagramtípus kiválasztását és a grafikonok elemzését. Mélyebb megértést, alaposabb gondolkodást jelez a közölt és számított értékek összevetésének képessége; a számítás és a kerekítés, valamint ezek összegződő következményeinek végiggondolása. Erre mindenképpen érdemes felhívni a figyelmet. A diákok által számított értékek esetén a szabályos kerekítések nagyon fontosak, de komoly készségek kellenek ahhoz, hogy az eltérések nyomán kialakuló kettőséget (például az arányok összege nem lesz 100%) a diákok magukban fel tudják dolgozni, és szét tudják választani.
IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
2.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
FESZTIVÁL Feladat sor 1.
Egy hét napig tartó fesztiválon napi és heti jegyeket árusítanak. a) Az egyik évben 87 000 eladott jegyből 70 000 volt napijegy. Az eladott jegyek hány százaléka volt hetijegy? b) Egy másik évben összesen 12 000 hetijegy fogyott el, ami az összes eladott jegy 15%-a. Hány látogató volt összesen?
2.
2007-ben a Sziget fesztiválon összesen 371 000 ember vett részt. A helyszínt több különböző módon lehet megközelíteni: hévvel, busszal, hajóval, autóval vagy taxival. Egy megfigyelés szerint ezek százalékos megoszlását az alábbi táblázat mutatja: hév 64%
busz 18%
hajó 12%
autó 4,4%
taxi 1,6%
a) Milyen diagramtípusok alkalmasak a megoszlások ábrázolására? b) Kördiagram esetén mekkorák az egyes közlekedési eszköznek megfelelő körcikkek középponti szögei? (Az eredményeket egész fokokra kerekítsd!) c) Ábrázold kördiagramon a közlekedési eszközök százalékos megoszlását! d) Hány látogató érkezett az egyes járművekkel? e) Mi a véleményed ezekről az adatokról? Mit jelenthetnek a számok a fesztivál vendégeinek anyagi helyzetéről és kényelméről? f) Mennyi lenne a BKV bevétele (hév, busz, hajó), ha mindenki jegyet vált és egy jegy 230 Ft-ba kerül? 3.
2007-ben a Sziget fesztiválon összesen 371 000 ember vett részt. A felmérés szerint a különböző korcsoportok százalékos megoszlását az alábbi táblázat mutatja: Korcsoport Arány (%)
0–19 év 31
20–29 év 55
30–39 év 11
39 évnél idősebb 3
a) Ábrázold sávdiagramon a korcsoportok százalékos arányát! b) Melyik korcsoportból hányan voltak? Az eredményeket ezresekre kerekítsd! c) Hány százalékkal voltak többen a 30 év alattiak a náluk idősebbeknél? Az eredményt egész százalékra kerekítsd!
IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
3.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
4.
A Sziget fesztiválon felmérést végeztek a látogatók idegennyelv-ismeretéről. Négy lehetséges válasz közül kellett az egyiket bejelölni a kérdőív kitöltőjének aszerint, hogy valamely idegen nyelvből rendelkezik-e középszintű, felsőszintű, illetve anyanyelvi szintű tudással, vagy nem beszél semmilyen idegen nyelven. A felmérés számszerű eredményeit a következő kördiagramon ábrázolták:
nem tu d
középs z int any a nye lvi sz int
fels őszint
Számold ki a középponti szögek megmérése után, hogy a kérdőívet kitöltők hány százaléka tartozik az egyes kategóriákba! Az eredményt egészekre kerekítsd!
IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
4.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁS 1. a)
17000 100 19,5% . 87000
b)
12000 100 80 000 . 15
2. a) A közlekedési eszközök megoszlásának ábrázolására alkalmas a kördiagram, illetve a sávdiagram (azaz olyan diagramtípus, amely érzékelteti a különböző kategóriák megoszlását az egész sokaságon belül). Nem javasoltak (számítógépes munka esetén sem) a háromdimenziós ábrázolások (pl. tortadiagram, hasábdiagram), mert jellegükből fakadóan torzítanak. b) Arány (%-ban)
Középponti szögek nagysága (fokban)
hév busz hajó autó taxi
64 18 12 4,4 1,6
0,64 360 230 0,18 360 65 0,12 360 43 0,044 360 16 0,016 360 6
ÖSSZESEN
100
Közlekedési eszközök
360
c) 1,6% 4,4%
hév
12%
busz hajó 18% 64%
autó taxi
IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
5.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
d) Közlekedési eszközök
Arány (%-ban)
Látogatók száma
hév
64
0,64 371 000 237 440
busz
18
0,18 371 000 66 780
hajó
12
0,12 371 000 44 520
autó
4,4
0,044 371 000 16 324
taxi
1,6
0,016 371 000 5936
ÖSSZESEN
100
371 000
A kerekítések miatt csekély eltérés is elképzelhető. e)
Az adatok arra utalnak, hogy a Szigetre főleg fiatalok mennek, akiknek autóra, taxira kevésbé van lehetőségük. A másik ok a közutak szűk keresztmetszete, az állandó közlekedési dugók és a parkolási nehézségek, illetve a gyenge közbiztonság (például autófeltörések). Hajóval azért mennek viszonylag kevesen, mert a hajóállomást nehézkesebb megközelíteni, illetve jóval kisebb az áteresztőképessége, mint a hévnek. Hévvel azért mennek sokan, mert nagyon sűrűn jár, sok ember elfér egy-egy szerelvényen, gyors és közel áll meg a bejárathoz.
f)
237440 66780 44520 230 80 210 200 , tehát kb. 80 millió Ft.
3. a)
0–19 év
31%
55%
11%
3%
20–29 év 30–39 év 39 év felett
0%
20%
40%
60%
80%
100%
b) Korcsoport 0–19 év 20–29 év 30–39 év 39 évnél idősebb Összesen
Létszám 0,31 371 000 115 000 0,55 371 000 204 000 0,11 371 000 41 000 0,03 371 000 11 000 371 000
A kerekítések miatt csekély eltérés is elképzelhető. IX. Leíró statisztika
IX.4. Fesztivál
6.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
c)
204 000 115 000 41 000 11 000 100 513% 41 000 11 000
4. Középszint Felsőszint Anyanyelvi szint Nem tud
IX. Leíró statisztika
Középponti szög Százalékos arány 184 100 51% 184 360 65 100 18% 65 360 14 100 4% 14 360 97 100 27% 97 360
IX.4. Fesztivál
7.oldal/7
